Devoir surveillé — Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

Consignes générales. Calculatrices et documents interdits. Le barème est indiqué question par question et totalise $20$ points. Tout théorème invoqué doit voir ses hypothèses vérifiées ; en particulier, le passage de « dérivée nulle » à « fonction constante » exige un intervalle, et il faut le dire. Les cinq exercices sont indépendants.

On rappelle qu'une période d'une fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ est un réel $T\mathrm{\ne }0$ tel que $h(x+T)=h(x)$ pour tout réel $x$, et que $h$ est dite périodique lorsqu'elle possède au moins une période. On utilisera librement les deux résultats suivants : $\cos u=1$ si et seulement si $u\in 2\pi \mathbb{Z}$, et le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. (0,25 pt) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\cos x+\cos \left({\displaystyle \frac{3x}{2}}\right)$. Vérifier que $4\pi$ est une période de $g$.

2. (1 pt) Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $g(x)=2$. En déduire l'ensemble de toutes les périodes de $g$, puis sa plus petite période strictement positive.

3. (0,5 pt) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos x+\cos \left(\sqrt{2}x\right)$. En reprenant l'argument de la question 2, déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)=2$, puis démontrer que $f$ n'est pas périodique.

4. (1 pt) Soit $\alpha$ un réel strictement positif et $h_{\alpha }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h_{\alpha }(x)=\cos x+\cos (\alpha x)$. Démontrer que $h_{\alpha }$ est périodique si et seulement si $\alpha$ est rationnel. Lorsque $\alpha ={\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, vérifier que $2q\pi$ est une période de $h_{\alpha }$.

On rappelle les résultats du cours utilisés ici. La fonction $\mathrm{th}={\displaystyle \frac{\mathrm{sh}}{}}$ est définie, dérivable et impaire sur $\mathbb{R}$, avec

$${\mathrm{th}}^{\mathrm{\prime }}=1-{\mathrm{th}}^2=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^2},$$

et $-1<\mathrm{th}x<1$ pour tout réel $x$, avec $\mathrm{th}u⟶1$ quand $u\to +\mathrm{\infty }$. La fonction $\mathrm{ch}$ est paire, vaut $1$ en $0$, est strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et tend vers $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$.

Soit $a$ un réel strictement positif. On s'intéresse au nombre de solutions réelles de l'équation

$$\left({\mathcal{E}}_a\right):\mathrm{th}(ax)=x,$$

et l'on pose, pour tout réel $x$, ${\psi }_a(x)=\mathrm{th}(ax)-x$.

1. (0,5 pt) Montrer que ${\psi }_a$ est impaire, que $0$ est solution de $\left({\mathcal{E}}_a\right)$, et que toute solution appartient à $]-1,1[$.

2. (0,25 pt) Justifier que ${\psi }_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et démontrer que, pour tout réel $x$,

$${\psi }_a^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{a}{{\mathrm{ch}}^2(ax)}-1.$$

3. (0,5 pt) On suppose $0<a⩽1$. Démontrer que $\left({\mathcal{E}}_a\right)$ admet $0$ pour unique solution. On distinguera les cas $a<1$ et $a=1$.

4. (1,5 pt) On suppose $a>1$. On commencera par établir que ${\psi }_a^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ si et seulement si $\mathrm{ch}(ax)<\sqrt{a}$. Démontrer qu'il existe un unique réel $c>0$ tel que ${\psi }_a^{\mathrm{\prime }}$ soit strictement positive sur $]-c,c[$ et strictement négative sur $]c,+\mathrm{\infty }[$ et sur $]-\mathrm{\infty },-c[$. Dresser le tableau de variations de ${\psi }_a$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis démontrer que $\left({\mathcal{E}}_a\right)$ admet exactement trois solutions, que l'on note $-x_a$, $0$ et $x_a$ avec $x_a>0$.

5. (1,25 pt) On suppose toujours $a>1$. Démontrer que $a⟼x_a$ est strictement croissante sur $]1,+\mathrm{\infty }[$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}_a}$. Pour la croissance, on pourra calculer le signe de ${\psi }_{a_2}\left(x_a\right)$ pour $a_2>a$.

Soit $a>0$ et soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,a]$, strictement croissante, telle que $f(0)=0$. On pose $b=f(a)$. On admet, conformément aux résultats admis dans tout ce chapitre, que $f$ réalise une bijection de $[0,a]$ sur $[0,b]$ et que sa bijection réciproque $\phi$ est continue sur $[0,b]$.

1. (1,5 pt) On pose, pour $x\in [0,a]$,

$$H(x)={\int }_0^{x}f(t)dt+{\int }_0^{f(x)}\phi (u)du-xf(x)\mathrm{.}$$

a. Justifier que $H$ est dérivable sur $[0,a]$ et calculer $H^{\mathrm{\prime }}(x)$. On prendra soin de justifier la dérivabilité du deuxième terme, dont la borne dépend de $x$ par l'intermédiaire de $f$.

b. En déduire que

$${\int }_0^{a}f(t)dt+{\int }_0^b\phi (u)du=ab,$$

et donner une interprétation de cette égalité en termes d'aires.

2. (0,25 pt) Vérifier la formule sur $f:x\mapsto x^3$ avec $a=1$, en calculant séparément les deux intégrales.

3. (0,5 pt) On prend $f:x\mapsto x^2+x$ sur $[0,1]$. Vérifier les hypothèses, calculer ${\displaystyle {\int }_0^2\phi (u)du}$ à l'aide de la question 1.

4. (0,5 pt) Même question pour $f:x\mapsto x+\sin x$ sur $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, pour lequel $b={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+1$. Que se passerait-il si l'on essayait d'expliciter $\phi$ ?

À l'instant $t=0$, une cuve contient $100$ litres d'eau pure. On y déverse une saumure à $12$ grammes de sel par litre à raison de $5$ litres par minute, et le mélange homogène s'écoule par le fond à raison de $3$ litres par minute. On note $q(t)$ la masse de sel dans la cuve à l'instant $t$, en grammes, et $V(t)=100+2t$ son volume de liquide, en litres. On admet que $q$ est dérivable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et que $q^{\mathrm{\prime }}(t)$ est la différence des débits massiques de sel entrant et sortant.

1. (0,75 pt) Justifier l'expression de $V(t)$, puis démontrer que $q$ vérifie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation différentielle

$$(E):q^{\mathrm{\prime }}(t)+\frac{3}{100+2t}q(t)=60.$$

2. (0,5 pt) Résoudre sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation homogène associée à $(E)$.

3. (0,25 pt) Déterminer $\lambda$ réel tel que $t\mapsto \lambda (100+2t)$ soit solution de $(E)$, puis l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. (0,25 pt) Déterminer la fonction $q$ correspondant à la situation décrite, en explicitant la condition initiale utilisée.

5. (1 pt) On note $c(t)={\displaystyle \frac{q(t)}{V(t)}}$ la concentration en sel, en grammes par litre. Exprimer $c(t)$, calculer $c(0)$ et ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }c(t)}$, puis l'instant exact où $c$ atteint la moitié de cette limite.

Dans tout ce problème, $a$ et $b$ désignent deux réels fixés, $I=]0,+\mathrm{\infty }[$, et l'on s'intéresse à l'équation

$$(E):x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+ax{y}^{\mathrm{\prime }}+by=0,$$

d'inconnue une fonction $y$ deux fois dérivable sur $I$. Ce n'est pas une équation à coefficients constants, et le cours ne dit rien de ce cas. L'objet du problème est de montrer qu'un changement de variable la ramène à une équation à coefficients constants, d'en déduire la forme de toutes ses solutions, puis d'en tirer un phénomène que les équations à coefficients constants ne présentent jamais.

Partie A. Le changement de variable.

1. (0,5 pt) Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. On pose $z(t)=y\left(e^t\right)$ pour $t\in \mathbb{R}$. Justifier que $z$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, puis exprimer $z^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ à l'aide de $e^t$, $y^{\mathrm{\prime }}\left(e^t\right)$ et $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(e^t\right)$.

2. (1 pt) En déduire que $y$ est solution de $(E)$ sur $I$ si et seulement si $z$ est solution sur $\mathbb{R}$ de

$$(F):z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(a-1)z^{\mathrm{\prime }}+bz=0.$$

On pourra poser $x=e^t$ et remarquer que tout réel $x>0$ s'écrit ainsi d'une seule manière.

3. (0,25 pt) Réciproquement, soit $z$ une solution de $(F)$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que la fonction que la question 1 associe à $y:x\mapsto z(\ln x)$ est $z$ elle-même, et conclure que $y$ est solution de $(E)$ sur $I$.

Partie B. Les trois formes de solutions.

On note $(C):r^2+(a-1)r+b=0$ l'équation caractéristique de $(F)$, et $\mathrm{\Delta }$ son discriminant.

4. (0,5 pt) Vérifier que $r^2+(a-1)r+b=r(r-1)+ar+b$ pour tout réel $r$. En calculant $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+ax{y}^{\mathrm{\prime }}+by$ pour $y:x\mapsto x^r$, avec $r$ réel, expliquer le lien entre $(C)$ et $(E)$. On comparera avec l'équation obtenue à la question 2 : c'est un moyen de contrôler celle-ci.

5. (0,5 pt) En transportant les formules du cours par la partie A, et sans les redémontrer, décrire l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $I$ dans le cas $\mathrm{\Delta }>0$ (racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$), puis dans le cas $\mathrm{\Delta }=0$ (racine double $r_0$).

6. (1,5 pt) Cas $\mathrm{\Delta }<0$. On note $\alpha \pm i\beta$ les racines de $(C)$, avec $\beta >0$. Pour $r\in \mathbb{C}$, on définit la fonction $p_r$, de la variable réelle $x\in I$ et à valeurs complexes, par $p_r(x)=e^{r\ln x}$, que l'on note aussi $x^r$ ; pour $r$ réel, on retrouve la fonction puissance du cours.

a. Montrer que $p_r$ est dérivable sur $I$ et que $p_r^{\mathrm{\prime }}=r{p}_{r-1}$. En déduire, en reprenant le calcul de la question 4, que $p_{\alpha +i\beta }$ est solution de $(E)$.

b. Déterminer les parties réelle et imaginaire de $p_{\alpha +i\beta }$, et vérifier que ce sont des solutions réelles de $(E)$.

c. Décrire l'ensemble des solutions réelles de $(E)$ sur $I$.

7. (0,25 pt) Application : résoudre sur $I$ l'équation $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2x{y}^{\mathrm{\prime }}-2y=0$.

Partie C. Deux conséquences.

8. (0,75 pt) Résoudre sur $I$ l'équation $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-x{y}^{\mathrm{\prime }}+y=x^3$. On observera que le calcul de la question 2 ne fait intervenir que le membre de gauche : l'équation transportée s'écrit donc $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2z^{\mathrm{\prime }}+z=e^{3t}$, que l'on résoudra par les méthodes du cours avant de revenir à $y$.

9. (1 pt) On admet, dans les cas $\mathrm{\Delta }>0$ et $\mathrm{\Delta }<0$, que toutes les solutions de $(E)$ sur $I$ tendent vers $0$ quand $x$ tend vers $0^{+}$ si et seulement si les racines de $(C)$ ont une partie réelle strictement positive. Démontrer ce critère dans le cas $\mathrm{\Delta }=0$, puis traduire la condition « toutes les racines de $(C)$ ont une partie réelle strictement positive » en une condition portant sur le couple $(a,b)$.

10. (1,5 pt) On considère enfin l'équation $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+x{y}^{\mathrm{\prime }}+y=0$ sur $I$.

a. Résoudre cette équation.

b. Soit $y$ une solution non nulle. Justifier qu'il existe $R>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$ tels que $y(x)=R\cos (\ln x-\theta )$ pour tout $x\in I$, puis démontrer que $y$ possède une infinité de zéros dans $]0,1]$ et que l'on peut les ranger en une suite qui tend vers $0$.

c. En considérant en outre la suite ${\xi }_n=e^{\theta -2n\pi }$, en déduire que $y$ n'admet pas de limite en $0^{+}$. Commenter en comparant avec les solutions d'une équation à coefficients constants.