Matrices

Au premier semestre, vous avez appris à calculer sur des tableaux de nombres. Vous savez les additionner, les multiplier, les transposer, en chercher l'inverse par le pivot, reconnaître une matrice nilpotente et développer un binôme lorsque deux facteurs commutent. Une chose vous a pourtant été refusée : le sens. La définition du produit, avec sa somme d'indices, a été posée sans justification, et le chapitre s'achevait sur une promesse explicite, que voici tenue. Ce chapitre ne contient presque aucune technique de calcul nouvelle. Il contient la raison de toutes celles que vous connaissez déjà.

L'idée tient en une phrase, et tout le reste en découle. Soit $u$ une application linéaire d'un espace $E$ vers un espace $F$, tous deux de dimension finie. Le théorème de détermination par l'image d'une base affirme que $u$ est entièrement connue dès que l'on connaît les images $u(e_1),\dots ,u(e_p)$ des vecteurs d'une base de $E$. Chacun de ces vecteurs vit dans $F$ : si l'on fixe aussi une base de $F$, chacun est décrit sans ambiguïté par ses coordonnées, c'est-à-dire par une liste de $n$ scalaires. Une application linéaire, objet a priori infini puisqu'elle est définie sur un espace infini, se trouve donc décrite par exactement $np$ nombres. Rangeons-les dans un tableau, une colonne par vecteur de la base de départ : nous venons de fabriquer une matrice.

Cette construction n'est intéressante que si elle transporte fidèlement les opérations, et c'est le cas au-delà de ce qu'on pourrait espérer. La somme de deux applications linéaires correspond à la somme des matrices ; le produit par un scalaire, au produit de la matrice par ce scalaire ; l'image $u(x)$ d'un vecteur, au produit de la matrice par la colonne des coordonnées de $x$. Surtout, la composée $v\circ u$ correspond au produit des matrices, dans l'ordre $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(v)\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(u)$. Voilà l'explication attendue : la définition du produit matriciel, avec sa somme d'indices, n'a pas été inventée pour elle-même, elle a été calculée pour que ce théorème soit vrai. La non-commutativité du produit devient alors une évidence, puisque enchaîner deux transformations dans un ordre ou dans l'autre ne donne pas le même résultat ; l'associativité devient une trivialité, puisque la composition des applications est associative ; et l'inversibilité d'une matrice carrée devient la bijectivité de l'application qu'elle représente.

Il y a cependant un prix à payer, et il faut le comprendre immédiatement sous peine de ne rien comprendre à la suite. Une matrice ne représente pas une application linéaire : elle représente une application linéaire dans un couple de bases choisi. Changez les bases, et le tableau de nombres change du tout au tout, alors que l'application, elle, n'a pas bougé d'un pouce. Un même endomorphisme du plan peut avoir pour matrice un tableau plein de coefficients dans la base canonique et un tableau diagonal, presque vide, dans une base bien choisie. La matrice n'est donc pas l'objet mathématique : c'est une photographie de l'objet, prise sous un certain angle.

Cette dépendance, qui ressemble à un défaut, est en réalité le moteur de tout ce qui suit, et elle ouvre la question centrale du chapitre : puisque nous avons le droit de choisir les bases, quelles bases choisir pour que la matrice soit la plus simple possible ? La réponse dépend de la liberté dont on dispose. Pour une application linéaire de $E$ dans $F$, on peut changer la base au départ et à l'arrivée, indépendamment l'une de l'autre : la liberté est maximale, et la réponse est spectaculaire. Toute matrice, si compliquée soit-elle, se ramène à une matrice $J_r$ formée de $r$ coefficients $1$ sur le début de la diagonale et de zéros partout ailleurs. Autrement dit, un seul nombre résume la situation, le rang, et deux matrices se ramènent l'une à l'autre par changements de bases si et seulement si elles ont le même rang.

Pour un endomorphisme, la situation est tout autre, et beaucoup plus riche. Une seule base intervient, puisque l'espace de départ et celui d'arrivée sont le même : on ne peut plus la changer deux fois. La relation obtenue s'appelle la similitude, et elle est bien plus fine que la précédente. Le rang ne suffit plus à décider si deux matrices sont semblables, la trace non plus, et la classification complète dépasse largement le programme de première année. Ce que nous obtiendrons cette année, c'est une série d'invariants qui permettent de répondre par la négative, et des bases adaptées explicites dans les trois cas remarquables déjà rencontrés : les projecteurs, les symétries et les endomorphismes nilpotents.

Le plan suit cet ordre. Nous associons d'abord une matrice à une famille de vecteurs, puis à une application linéaire, et nous établissons le dictionnaire complet entre les deux mondes : structure d'espace vectoriel, produit et composition, inversibilité. Nous lisons ensuite sur une matrice le noyau, l'image et le rang de l'application qu'elle représente, ce qui referme au passage la question laissée ouverte au premier semestre sur les critères d'inversibilité. Viennent alors les changements de bases et leurs formules, puis les deux relations qu'ils engendrent : l'équivalence, entièrement gouvernée par le rang, et la similitude, dont nous étudions les invariants. La trace, dernier invariant du programme, occupe l'avant-dernière section. Une section de méthodes ferme le chapitre.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre et prolongent celles des deux chapitres précédents. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Les espaces vectoriels $E$, $F$, $G$ sont de dimension finie sur $\mathbb{K}$, sauf mention expresse du contraire, et leurs bases sont notées $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ pour $E$, $\mathcal{C}=(f_1,\dots ,f_n)$ pour $F$, $\mathcal{D}=(g_1,\dots ,g_q)$ pour $G$ ; une seconde base du même espace reçoit un prime, ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_p^{\mathrm{\prime }})$. Les applications linéaires sont notées $u$, $v$, $w$, l'ensemble de celles qui vont de $E$ dans $F$ est $\mathcal{L}(E,F)$, celui des endomorphismes de $E$ est $\mathcal{L}(E)$, le groupe des automorphismes de $E$ est $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$, et l'identité de $E$ est notée ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Le noyau, l'image et le rang gardent leurs notations : $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}$, $\mathrm{I}\mathrm{m}$, $\mathrm{r}\mathrm{g}$, et $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$ pour le sous-espace engendré. Du côté des matrices, on conserve ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, la matrice nulle $0_{n,p}$, l'identité $I_n$, les matrices élémentaires $E_{i,j}$, le symbole de Kronecker ${\delta }_{i,j}$, la transposée ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ et le groupe ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ des matrices inversibles. Les objets nouveaux sont notés ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(x_1,\dots ,x_p)$ pour la matrice d'une famille de vecteurs, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ pour celle d'une application linéaire, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ pour celle d'un endomorphisme, $P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ pour une matrice de passage, $J_r$ pour la matrice canonique de rang $r$, et $\mathrm{t}\mathrm{r}$ pour la trace. Les opérations élémentaires sur les lignes gardent leurs notations du premier semestre : $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \mathrm{\ne }0$, et $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$. Enfin, une convention de lecture qui évite l'essentiel des erreurs d'indices : dans une matrice de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, le nombre $p$ de colonnes compte toujours ce qui est au départ (les vecteurs de la famille, ou la dimension de l'espace de départ) et le nombre $n$ de lignes compte toujours ce qui est à l'arrivée (la dimension de l'espace dans lequel on écrit les coordonnées).

Matrice d'une famille de vecteurs

La colonne des coordonnées d'un vecteur

Tout part de la définition d'une base : dans un espace de dimension finie muni d'une base, tout vecteur s'écrit d'une et une seule manière comme combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Les coefficients de cette écriture sont les coordonnées du vecteur, et il n'y a plus qu'à les ranger.

Démonstration. Linéarité. Notons $(x_i)$ et $(y_i)$ les coordonnées de $x$ et de $y$ dans $\mathcal{B}$. Alors

$$\lambda x+\mu y=\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i+\mu \sum _{i=1}^n{y}_i{e}_i=\sum _{i=1}^n(\lambda x_i+\mu y_i)e_i\mathrm{.}$$

L'écriture d'un vecteur dans une base étant unique, la famille $(\lambda x_i+\mu y_i{)}_{1⩽i⩽n}$ est exactement la famille des coordonnées de $\lambda x+\mu y$. Or la colonne de coefficients $\lambda x_i+\mu y_i$ est précisément $\lambda {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(x)+\mu {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(y)$, puisque somme et multiplication par un scalaire se font coefficient par coefficient.

Injectivité. Si ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(x)=0_{n,1}$, toutes les coordonnées de $x$ sont nulles, donc $x={\sum }_{i}0\cdot e_i=0_E$. Le noyau de ${\theta }_{\mathcal{B}}$ est réduit au vecteur nul.

Surjectivité. Soit $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ de coefficients $x_1,\dots ,x_n$. Le vecteur $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i$ appartient à $E$ et vérifie ${\theta }_{\mathcal{B}}(x)=X$. $\mathrm{\square }$

Matrice d'une famille de vecteurs

Lire la liberté et le caractère générateur sur la matrice

Démonstration. Point 1. L'isomorphisme ${\theta }_{\mathcal{B}}$ envoie $x_j$ sur $C_j$, donc, par linéarité, il envoie ${\sum }_j{\lambda }_j{x}_j$ sur ${\sum }_j{\lambda }_j{C}_j$. Or la lecture par colonnes du produit, établie au premier semestre, donne $A\mathrm{\Lambda }={\sum }_{j=1}^p{\lambda }_j{C}_j$. Comme ${\theta }_{\mathcal{B}}$ est injective, ${\sum }_j{\lambda }_j{x}_j=0_E$ équivaut à ${\sum }_j{\lambda }_j{C}_j=0_{n,1}$, c'est-à-dire à $A\mathrm{\Lambda }=0_{n,1}$.

Point 2. Toujours par linéarité de ${\theta }_{\mathcal{B}}$, l'image du sous-espace $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x_1,\dots ,x_p)$ est $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(C_1,\dots ,C_p)$. Un isomorphisme conserve la dimension d'un sous-espace, car sa restriction à ce sous-espace est encore injective et linéaire. Les deux dimensions sont donc égales, et ce sont par définition les deux rangs.

Point 3. Une famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls : c'est exactement la traduction du point 1.

Point 4. La famille est génératrice si tout $x\in E$ s'écrit ${\sum }_j{\lambda }_j{x}_j$. En appliquant ${\theta }_{\mathcal{B}}$, cela équivaut à dire que toute colonne $Y$ s'écrit ${\sum }_j{\lambda }_j{C}_j=A\mathrm{\Lambda }$, puisque ${\theta }_{\mathcal{B}}$ est bijective. $\mathrm{\square }$

Matrice d'une application linéaire

Définition

Nous arrivons à la définition centrale du chapitre. Elle ne demande aucune idée nouvelle : c'est la matrice d'une famille de vecteurs, appliquée à la famille des images d'une base.

Comment on la lit, comment on l'écrit

Cas des endomorphismes

Démonstration. Pour tout $j$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E(e_j)=e_j$, dont les coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont $({\delta }_{1,j},\dots ,{\delta }_{n,j})$ : la $j$-ème colonne de la matrice est donc la $j$-ème colonne de $I_n$. Pour l'homothétie, $\lambda e_j$ a pour coordonnées $(\lambda {\delta }_{1,j},\dots ,\lambda {\delta }_{n,j})$, d'où la matrice $\lambda I_n$. $\mathrm{\square }$

L'application linéaire canoniquement associée à une matrice

Jusqu'ici, nous partions d'une application linéaire pour fabriquer une matrice. Le mouvement inverse est tout aussi utile, et il est canonique dès que l'on travaille dans les espaces ${\mathbb{K}}^p$ et ${\mathbb{K}}^n$, qui possèdent des bases privilégiées.

La matrice dépend des bases

L'isomorphisme entre $\mathcal{L}(E,F)$ et ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$

Le théorème

Démonstration. Notons $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ et $\mathcal{C}=(f_1,\dots ,f_n)$.

Linéarité. Soient $u,v\in \mathcal{L}(E,F)$, de matrices $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$, et soient $\lambda ,\mu \in \mathbb{K}$. Pour tout $j\in \{1,\dots ,p\}$, la définition de la somme et du produit par un scalaire dans $\mathcal{L}(E,F)$ donne

$$(\lambda u+\mu v)(e_j)=\lambda u(e_j)+\mu v(e_j)=\lambda \sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i+\mu \sum _{i=1}^n{b}_{i,j}{f}_i=\sum _{i=1}^n(\lambda a_{i,j}+\mu b_{i,j})f_i\mathrm{.}$$

L'écriture dans la base $\mathcal{C}$ étant unique, le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(\lambda u+\mu v)$ vaut $\lambda a_{i,j}+\mu b_{i,j}$, qui est le coefficient d'indice $(i,j)$ de $\lambda A+\mu B$. Les deux matrices sont donc égales.

Injectivité. Supposons $\mathrm{\Phi }(u)=0_{n,p}$. Alors, pour tout $j$, les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal{C}$ sont toutes nulles, donc $u(e_j)=0_F$. L'application $u$ coïncide avec l'application nulle sur la base $\mathcal{B}$ ; deux applications linéaires qui coïncident sur une base étant égales, $u=0$. Le noyau de $\mathrm{\Phi }$ est donc réduit à l'application nulle, et $\mathrm{\Phi }$ est injective.

Surjectivité. Soit $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Posons, pour $j\in \{1,\dots ,p\}$,

$$y_j=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i\in F\mathrm{.}$$

D'après le théorème de détermination par l'image d'une base, il existe une (unique) application linéaire $u\in \mathcal{L}(E,F)$ telle que $u(e_j)=y_j$ pour tout $j$. Par construction, les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal{C}$ sont les $a_{i,j}$, donc ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=A$. L'application $\mathrm{\Phi }$ est donc surjective.

Étant linéaire et bijective, $\mathrm{\Phi }$ est un isomorphisme. Les points 1, 2 et 3 en sont respectivement la linéarité, l'injectivité et la surjectivité. $\mathrm{\square }$

Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$

Démonstration. Choisissons une base $\mathcal{B}$ de $E$ et une base $\mathcal{C}$ de $F$, ce qui est possible puisque les deux espaces sont de dimension finie. Le théorème précédent fournit un isomorphisme entre $\mathcal{L}(E,F)$ et ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Deux espaces isomorphes ayant même dimension, et ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ étant de dimension $np$ (les $np$ matrices élémentaires $E_{i,j}$ en forment une base), on obtient $\dim \mathcal{L}(E,F)=np$.

Pour les cas particuliers : si $F=E$, alors $n=p$ et la dimension vaut $n^2$ ; si $F=\mathbb{K}$, qui est de dimension $1$, la dimension vaut $p\times 1=p=\dim E$. $\mathrm{\square }$

Une base de $\mathcal{L}(E,F)$

Démonstration. Point 1. La $k$-ème colonne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u_{i,j})$ est la colonne des coordonnées de $u_{i,j}(e_k)={\delta }_{j,k}{f}_i$. Pour $k\mathrm{\ne }j$, cette image est nulle, donc la colonne est nulle. Pour $k=j$, l'image est $f_i$, dont la colonne de coordonnées est celle qui ne comporte qu'un $1$, à la ligne $i$. C'est exactement la description de $E_{i,j}$.

Point 2. L'isomorphisme $\mathrm{\Phi }$ envoie la famille $(u_{i,j})$ sur la famille $(E_{i,j})$, qui est une base de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Un isomorphisme transportant les bases sur les bases (il conserve la liberté et le caractère générateur), la famille $(u_{i,j})$ est une base de $\mathcal{L}(E,F)$.

Point 3. On sait que $A={\sum }_i{\sum }_j{a}_{i,j}{E}_{i,j}$. En appliquant ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$, qui est linéaire, on obtient $u={\sum }_i{\sum }_j{a}_{i,j}{u}_{i,j}$. $\mathrm{\square }$

Produit matriciel et composition

Nous entrons dans le cœur du chapitre. Les deux théorèmes qui suivent expliquent, à eux seuls, pourquoi le produit matriciel a été défini comme il l'a été.

Image d'un vecteur : la formule $Y=AX$

Démonstration. Notons $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$, $\mathcal{C}=(f_1,\dots ,f_n)$, $A=(a_{i,j})$ et $X$ de coefficients $x_1,\dots ,x_p$, de sorte que $x={\sum }_{j=1}^p{x}_j{e}_j$. Par linéarité de $u$, puis en remplaçant chaque $u(e_j)$ par sa décomposition dans $\mathcal{C}$ :

$$u(x)=u\left(\sum _{j=1}^p{x}_j{e}_j\right)=\sum _{j=1}^p{x}_{j}u(e_j)=\sum _{j=1}^p{x}_j\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i\mathrm{.}$$

Les sommes étant finies, on peut les intervertir et regrouper les termes selon $f_i$ :

$$u(x)=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^p{a}_{i,j}{x}_j\right)f_i\mathrm{.}$$

L'écriture dans la base $\mathcal{C}$ étant unique, la $i$-ème coordonnée de $u(x)$ vaut ${\sum }_{j=1}^p{a}_{i,j}{x}_j$. Or c'est exactement le $i$-ème coefficient de la colonne $AX$, par définition du produit matriciel. $\mathrm{\square }$

Matrice d'une composée

Démonstration. Posons $A=(a_{i,j})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B=(b_{k,i})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{D}}(v)\in {\mathcal{M}}_{q,n}(\mathbb{K})$. Le produit $BA$ existe, puisque $B$ a $n$ colonnes et $A$ a $n$ lignes, et il appartient à ${\mathcal{M}}_{q,p}(\mathbb{K})$, qui est bien la taille attendue pour la matrice de $v\circ u\in \mathcal{L}(E,G)$.

Fixons $j\in \{1,\dots ,p\}$ et calculons la $j$-ème colonne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{D}}(v\circ u)$, c'est-à-dire les coordonnées de $(v\circ u)(e_j)$ dans $\mathcal{D}$. En décomposant $u(e_j)$ dans $\mathcal{C}$, puis en utilisant la linéarité de $v$, puis en décomposant chaque $v(f_i)$ dans $\mathcal{D}$ :

$$(v\circ u)(e_j)=v(u(e_j))=v\left(\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i\right)=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}v(f_i)=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}\sum _{k=1}^q{b}_{k,i}{g}_k\mathrm{.}$$

Intervertissons les deux sommes finies et regroupons selon $g_k$ :

$$(v\circ u)(e_j)=\sum _{k=1}^q\left(\sum _{i=1}^n{b}_{k,i}{a}_{i,j}\right)g_k\mathrm{.}$$

L'écriture dans la base $\mathcal{D}$ étant unique, le coefficient d'indice $(k,j)$ de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{D}}(v\circ u)$ vaut ${\sum }_{i=1}^n{b}_{k,i}{a}_{i,j}$. C'est très exactement le coefficient d'indice $(k,j)$ du produit $BA$. Les deux matrices ont même taille et mêmes coefficients : elles sont égales. $\mathrm{\square }$

L'isomorphisme d'algèbres $\mathcal{L}(E)\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$

Démonstration. Les points 1 et 2 sont le théorème d'isomorphisme de la section précédente, appliqué avec $F=E$ et $\mathcal{C}=\mathcal{B}$. Le point 3 est le théorème de la composée, appliqué avec $E=F=G$ et $\mathcal{B}=\mathcal{C}=\mathcal{D}$. Le point 4 a été démontré plus haut.

Pour les puissances, raisonnons par récurrence sur $k$. Pour $k=0$, $u^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $A^0=I_n$ : c'est le point 4. Supposons ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u^k)=A^k$, où $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$. Alors, par le point 3 appliqué à $u^{k+1}=u\circ u^k$,

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u^{k+1})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u){\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u^k)=A\cdot A^k=A^{k+1}\mathrm{.}$$

Enfin, si $Q={\sum }_{k=0}^d{c}_k{X}^k$, la linéarité de $\mathrm{\Phi }$ donne

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(Q(u))={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}\left(\sum _{k=0}^d{c}_k{u}^k\right)=\sum _{k=0}^d{c}_k{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u^k)=\sum _{k=0}^d{c}_k{A}^k=Q(A)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Isomorphismes et matrices inversibles

Démonstration. Sens direct. Supposons $u$ bijective. Sa réciproque $u^{-1}$ est linéaire de $F$ dans $E$ ; notons $B={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(u^{-1})$. Le théorème de la composée, appliqué à $u^{-1}\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, donne

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{B}}(u^{-1}\circ u)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(u^{-1}){\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=BA,\text{donc}BA={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=I_n\mathrm{.}$$

De même, $u\circ u^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$ donne $AB={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)=I_n$. Les deux égalités étant établies, $A$ est inversible et $A^{-1}=B$.

Sens réciproque. Supposons $A$ inversible. D'après la surjectivité de l'application $v\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(v)$, il existe $v\in \mathcal{L}(F,E)$ telle que ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(v)=A^{-1}$. Alors

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(v\circ u)=A^{-1}A=I_n={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E),$$

et l'injectivité de $w\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(w)$ donne $v\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Symétriquement, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C}}(u\circ v)=A{A}^{-1}=I_n$ donne $u\circ v={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$. Donc $u$ est bijective, de réciproque $v$, et ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(u^{-1})=A^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le théorème précédent, appliqué avec $F=E$ et $\mathcal{C}=\mathcal{B}$, montre que $\mathrm{\Phi }$ envoie $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ dans ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ et que tout élément de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est atteint : la restriction est donc une bijection de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ sur ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$, l'injectivité étant héritée de celle de $\mathrm{\Phi }$. Elle transforme la loi $\circ$ en la loi $\times$ d'après le théorème de la composée. C'est donc un isomorphisme de groupes. $\mathrm{\square }$

Noyau, image et rang d'une matrice

Définitions

Rang et colonnes

Démonstration. La lecture par colonnes du produit donne, pour toute colonne $X$ de coefficients $x_1,\dots ,x_p$,

$$AX=\sum _{j=1}^p{x}_j{C}_j\mathrm{.}$$

Quand $X$ décrit ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$, les scalaires $x_1,\dots ,x_p$ décrivent ${\mathbb{K}}^p$ tout entier : l'ensemble des $AX$ est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des colonnes, c'est-à-dire $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(C_1,\dots ,C_p)$. En prenant les dimensions, on obtient l'égalité des rangs. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'image de $u$ est engendrée par les images des vecteurs de la base : $\mathrm{I}\mathrm{m}u=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u(e_1),\dots ,u(e_p))$. L'isomorphisme ${\theta }_{\mathcal{C}}$ envoie $u(e_j)$ sur la $j$-ème colonne $C_j$ de $A$, donc il envoie $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ sur $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(C_1,\dots ,C_p)=\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$. Un isomorphisme conservant les dimensions, $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

Pour le noyau, soit $x\in E$ de colonne $X$. D'après la formule $Y=AX$, la colonne de $u(x)$ est $AX$ ; comme ${\theta }_{\mathcal{C}}$ est injective, $u(x)=0_F$ équivaut à $AX=0_{n,1}$. Ainsi ${\theta }_{\mathcal{B}}$ réalise une bijection de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ sur $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$, linéaire, donc un isomorphisme : les dimensions sont égales. $\mathrm{\square }$

Le théorème du rang matriciel

Démonstration. Appliquons le théorème du rang à l'application linéaire $u_A:{\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})\to {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, dont l'espace de départ est de dimension $p$ :

$$\dim {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u_A)+\mathrm{r}\mathrm{g}(u_A),\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}p=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}\mathrm{g}(A)\mathrm{.}$$

Pour la majoration : $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)⩽p$ d'après l'égalité précédente, puisque $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)⩾0$ ; et $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ est un sous-espace de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, donc $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)⩽n$. $\mathrm{\square }$

Caractérisations des matrices carrées inversibles

Nous pouvons maintenant régler une dette du premier semestre. Le chapitre de calcul matriciel énonçait trois raisonnements interdits, faute des outils nécessaires. Ces outils sont là.

Démonstration. Notons $u=u_A$, endomorphisme de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, espace de dimension finie $n$.

$1⟺5$. Si $A$ est inversible, $AX=Y$ équivaut à $X=A^{-1}Y$ : il y a une solution et une seule. Réciproquement, si tout système $AX=Y$ a une unique solution, $u$ est bijective, donc $A$ est inversible d'après le théorème reliant isomorphismes et matrices inversibles.

$1⟺3$ et $1⟺2$. L'application $u$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie : d'après le théorème d'équivalence en dimension égale, $u$ est bijective si et seulement si elle est injective, c'est-à-dire si et seulement si $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)=\{0\}$, ce qui est le point 3 ; et le théorème du rang montre que cette condition équivaut à $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=n$, ce qui est le point 2.

$2⟺4$. Les colonnes de $A$ forment une famille de $n$ vecteurs de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, espace de dimension $n$. Cette famille est une base si et seulement si son rang vaut $n$, c'est-à-dire si et seulement si $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=n$.

$1\Rightarrow 6$ et $1\Rightarrow 7$. Immédiat avec $B=A^{-1}$.

$6\Rightarrow 1$. Supposons $AB=I_n$. Alors $u_A\circ u_B=u_{I_n}=\mathrm{i}\mathrm{d}$, donc $u_A$ est surjective : pour tout $Y$, $Y=A(BY)$. Un endomorphisme surjectif d'un espace de dimension finie est bijectif, donc $A$ est inversible. En multipliant $AB=I_n$ à gauche par $A^{-1}$, il vient $B=A^{-1}$.

$7\Rightarrow 1$. Supposons $BA=I_n$. Si $AX=0$, alors $X=I_{n}X=B(AX)=0$ : le noyau de $A$ est nul, donc $A$ est inversible d'après l'équivalence $1⟺3$. En multipliant $BA=I_n$ à droite par $A^{-1}$, il vient $B=A^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Invariance du rang par multiplication par une matrice inversible

Démonstration. Multiplication à droite par une matrice inversible. Par définition,

$$\mathrm{I}\mathrm{m}(AQ)=\{AQX:X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})\}\mathrm{.}$$

Comme $Q$ est inversible, l'application $X\mapsto QX$ est une bijection de ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$ sur lui-même : quand $X$ décrit ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$, la colonne $Y=QX$ décrit aussi ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$ tout entier. Donc $\mathrm{I}\mathrm{m}(AQ)=\{AY\}=\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ : les deux images sont égales, donc les rangs aussi.

Multiplication à gauche par une matrice inversible. Ici,

$$\mathrm{I}\mathrm{m}(PA)=\{P(AX):X\}=\{PZ:Z\in \mathrm{I}\mathrm{m}(A)\},$$

c'est-à-dire l'image du sous-espace $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ par l'application $Z\mapsto PZ$. Cette application est un automorphisme de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, donc sa restriction à $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ est linéaire et injective : elle réalise un isomorphisme de $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ sur son image. Les deux sous-espaces ont donc même dimension, d'où $\mathrm{r}\mathrm{g}(PA)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

Cas général. En combinant les deux, $\mathrm{r}\mathrm{g}(PAQ)=\mathrm{r}\mathrm{g}(AQ)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

Inégalité. Soient $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{K})$. D'une part, $\mathrm{I}\mathrm{m}(AB)\subset \mathrm{I}\mathrm{m}(A)$, car tout $ABX$ est de la forme $AY$ ; donc $\mathrm{r}\mathrm{g}(AB)⩽\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$. D'autre part, $\mathrm{I}\mathrm{m}(AB)$ est l'image du sous-espace $\mathrm{I}\mathrm{m}(B)$ par l'application linéaire $Z\mapsto AZ$ ; d'après le théorème du rang appliqué à la restriction de cette application à $\mathrm{I}\mathrm{m}(B)$, sa dimension est au plus $\dim \mathrm{I}\mathrm{m}(B)=\mathrm{r}\mathrm{g}(B)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le premier semestre a établi que chaque opération élémentaire sur les lignes revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice inversible (matrice de transvection, de dilatation ou de permutation), et chaque opération élémentaire sur les colonnes à multiplier $A$ à droite par une telle matrice. Le théorème précédent conclut. $\mathrm{\square }$

Calcul du rang par le pivot

Démonstration. Notons $j_1<j_2<\cdots <j_r$ les indices des colonnes portant les pivots, c'est-à-dire le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle. Le système $TX=0$ s'écrit alors comme un système échelonné de $r$ équations, dans lequel les $r$ inconnues $x_{j_1},\dots ,x_{j_r}$ sont principales et les $p-r$ autres sont des paramètres. En remontant les équations, chaque inconnue principale s'exprime de manière unique en fonction des paramètres : à chaque choix des $p-r$ paramètres correspond donc une solution et une seule.

Notons $V_1,\dots ,V_{p-r}$ les solutions obtenues en donnant à l'un des paramètres la valeur $1$ et aux autres la valeur $0$. Toute solution est combinaison linéaire de ces colonnes, avec pour coefficients les valeurs des paramètres : la famille est génératrice de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(T)$. Elle est libre, car dans une combinaison ${\sum }_k{t}_k{V}_k$, la coordonnée correspondant au $k$-ème paramètre vaut exactement $t_k$ ; si la combinaison est nulle, tous les $t_k$ sont nuls. C'est donc une base, et $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(T)=p-r$.

Le théorème du rang donne alors $\mathrm{r}\mathrm{g}(T)=p-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(T)=p-(p-r)=r$. $\mathrm{\square }$

Changement de bases

Nous savons qu'une même application linéaire possède autant de matrices que de couples de bases. Il est temps de relier ces matrices entre elles.

Matrice de passage

Démonstration. Point 1. Par définition, la $j$-ème colonne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ est la colonne des coordonnées, dans la base d'arrivée $\mathcal{B}$, de l'image du $j$-ème vecteur de la base de départ ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$. Cette image est ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E(e_j^{\mathrm{\prime }})=e_j^{\mathrm{\prime }}$. C'est donc la colonne des coordonnées de $e_j^{\mathrm{\prime }}$ dans $\mathcal{B}$, c'est-à-dire la $j$-ème colonne de $P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$.

Point 3, formule de composition. Appliquons le théorème de la composée à ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, en prenant ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ comme base de départ, ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ comme base intermédiaire et $\mathcal{B}$ comme base d'arrivée :

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E){\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E),$$

ce qui s'écrit, avec le point 1, $P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}{P}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$. L'égalité $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{B}}=I_n$ vient de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=I_n$.

Point 2. Appliquons la formule du point 3 avec ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\mathcal{B}$ :

$$P_{\mathcal{B}\to \mathcal{B}}=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}{P}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}\to \mathcal{B}},\text{soit}{P}_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}{P}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}\to \mathcal{B}}=I_n\mathrm{.}$$

En échangeant les rôles de $\mathcal{B}$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, on obtient de même $P_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}\to \mathcal{B}}{P}_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}=I_n$. Les deux égalités donnent l'inversibilité et la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

Effet sur les coordonnées d'un vecteur

Démonstration. Notons $P=(p_{i,j})$, de sorte que $e_j^{\mathrm{\prime }}={\sum }_{i=1}^n{p}_{i,j}{e}_i$ pour tout $j$, et notons $x_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,x_n^{\mathrm{\prime }}$ les coefficients de $X^{\mathrm{\prime }}$. En décomposant $x$ dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ puis chaque $e_j^{\mathrm{\prime }}$ dans $\mathcal{B}$ :

$$x=\sum _{j=1}^n{x}_j^{\mathrm{\prime }}{e}_j^{\mathrm{\prime }}=\sum _{j=1}^n{x}_j^{\mathrm{\prime }}\sum _{i=1}^n{p}_{i,j}{e}_i=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{p}_{i,j}{x}_j^{\mathrm{\prime }}\right)e_i\mathrm{.}$$

L'écriture dans $\mathcal{B}$ étant unique, la $i$-ème coordonnée de $x$ dans $\mathcal{B}$ vaut ${\sum }_j{p}_{i,j}{x}_j^{\mathrm{\prime }}$, qui est le $i$-ème coefficient de $P{X}^{\mathrm{\prime }}$. Donc $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$. Comme $P$ est inversible, on en déduit $X^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}X$. $\mathrm{\square }$

Effet sur la matrice d'une application linéaire

Démonstration. Écrivons $u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F\circ u\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et appliquons deux fois le théorème de la composée, en choisissant soigneusement les bases à chaque étape : la base de départ est ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, on passe par $\mathcal{B}$, puis par $\mathcal{C}$, et l'on arrive dans ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}$. Il vient

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}(u)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)\times {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\times {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\mathrm{.}$$

Or ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}=P$, et ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)=P_{{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}\to \mathcal{C}}=Q^{-1}$. D'où $A^{\mathrm{\prime }}=Q^{-1}AP$. $\mathrm{\square }$

Cas d'un endomorphisme

Démonstration. C'est le théorème précédent avec $F=E$, $\mathcal{C}=\mathcal{B}$ et ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}={\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, de sorte que $Q=P$. $\mathrm{\square }$

Matrices équivalentes

Définition et interprétation

Démonstration. Réflexivité. $A=I_n^{-1}A{I}_p$, avec $I_p$ et $I_n$ inversibles.

Symétrie. Si $B=Q^{-1}AP$, alors en multipliant à gauche par $Q$ et à droite par $P^{-1}$, on obtient $A=QB{P}^{-1}=(Q^{-1}{)}^{-1}B(P^{-1})$, où $P^{-1}$ et $Q^{-1}$ sont inversibles. Donc $A$ est équivalente à $B$.

Transitivité. Si $B=Q^{-1}AP$ et $C=S^{-1}BR$ avec $P,R\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_p(\mathbb{K})$ et $Q,S\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$, alors

$$C=S^{-1}{Q}^{-1}APR=(QS{)}^{-1}A(PR),$$

et $PR$, $QS$ sont inversibles comme produits de matrices inversibles. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Condition suffisante. Si $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ et $B={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ pour une même application linéaire $u$, la formule de changement de base donne $B=Q^{-1}AP$ avec $P$ et $Q$ les matrices de passage, qui sont inversibles : $A$ et $B$ sont équivalentes.

Condition nécessaire. Supposons $B=Q^{-1}AP$. Prenons $E={\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$ muni de sa base canonique $\mathcal{B}$, $F={\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ muni de sa base canonique $\mathcal{C}$, et $u=u_A$, de sorte que $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$. Comme $P$ est inversible, ses colonnes forment une base de $E$, que nous notons ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, et l'on a $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ ; de même, les colonnes de $Q$ forment une base ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}$ de $F$ avec $Q=P_{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}$. La formule de changement de base donne alors ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}(u)=Q^{-1}AP=B$. $\mathrm{\square }$

La forme $J_r$

Démonstration. Posons $E={\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$, $F={\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, munis de leurs bases canoniques $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$, et soit $u=u_A$ l'application canoniquement associée, de sorte que $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)=r$. Tout le travail consiste à construire deux bases adaptées.

Construction de la base de départ. Le noyau $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ est un sous-espace de $E$, qui est de dimension finie : il admet donc un supplémentaire $S$ dans $E$, et le théorème du rang donne

$$\dim S=\dim E-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=p-(p-r)=r\mathrm{.}$$

Choisissons une base $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r)$ de $S$ et une base $({\epsilon }_{r+1},\dots ,{\epsilon }_p)$ de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, cette dernière étant de dimension $p-r$. Comme $E=S\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, la famille concaténée

$${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r,{\epsilon }_{r+1},\dots ,{\epsilon }_p)$$

est une base de $E$, adaptée à cette décomposition.

Construction de la base d'arrivée. Le théorème du rang affirme que la restriction de $u$ à $S$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\mathrm{I}\mathrm{m}u$. Par conséquent, la famille

$$(u({\epsilon }_1),\dots ,u({\epsilon }_r))$$

est l'image d'une base de $S$ par un isomorphisme : c'est une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$. Posons ${\varphi }_i=u({\epsilon }_i)$ pour $i\in \{1,\dots ,r\}$. Ces $r$ vecteurs forment une famille libre de $F$, que le théorème de la base incomplète permet de compléter en une base

$${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}=({\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_r,{\varphi }_{r+1},\dots ,{\varphi }_n)$$

de $F$.

La matrice dans ces bases. Calculons ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ colonne par colonne. Pour $j⩽r$, $u({\epsilon }_j)={\varphi }_j$, dont les coordonnées dans ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}$ sont $({\delta }_{1,j},\dots ,{\delta }_{n,j})$ : la colonne $j$ ne comporte qu'un $1$, à la ligne $j$. Pour $j>r$, le vecteur ${\epsilon }_j$ appartient à $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, donc $u({\epsilon }_j)=0$ et la colonne $j$ est nulle. La matrice obtenue est donc exactement $J_r$.

Conclusion. En notant $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et $Q=P_{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}$, qui sont inversibles, la formule de changement de base donne

$$J_r={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}(u)=Q^{-1}{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)P=Q^{-1}AP\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. Condition nécessaire. Si $B=Q^{-1}AP$ avec $P$ et $Q$ inversibles, l'invariance du rang par multiplication par une matrice inversible donne $\mathrm{r}\mathrm{g}(B)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

Condition suffisante. Supposons $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=\mathrm{r}\mathrm{g}(B)=r$. D'après le théorème précédent, $A$ est équivalente à $J_r$ et $B$ est équivalente à $J_r$. La relation d'équivalence étant symétrique et transitive, $A$ est équivalente à $B$. $\mathrm{\square }$

Rang de la transposée

Démonstration. Notons $r=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$. D'après le théorème précédent, il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_p(\mathbb{K})$ et $Q\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ telles que $A=Q{J}_r{P}^{-1}$, où $J_r\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Transposons, en utilisant la règle ${}^t(MN)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}N{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M$ appliquée deux fois :

$${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A={}^t\left(P^{-1}\right){}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}{J}_r{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}Q\mathrm{.}$$

Examinons les trois facteurs. La matrice ${}^t(P^{-1})=({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}P{)}^{-1}$ est inversible dans ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$, et ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}Q$ est inversible dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Quant à ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}{J}_r$, son coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $(J_r{)}_{j,i}$, c'est-à-dire $1$ si $j=i⩽r$ et $0$ sinon : c'est donc la matrice $J_r$ de ${\mathcal{M}}_{p,n}(\mathbb{K})$.

Ainsi ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ s'obtient à partir de $J_r$ en multipliant à gauche et à droite par des matrices inversibles, donc

$$\mathrm{r}\mathrm{g}\left({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A\right)=\mathrm{r}\mathrm{g}(J_r)=r=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. Le rang de la famille des colonnes de $A$ est $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$. Les lignes de $A$ sont, à la transposition près, les colonnes de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$, donc le rang de la famille des lignes de $A$ vaut $\mathrm{r}\mathrm{g}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)$, qui est égal à $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ d'après le théorème. $\mathrm{\square }$

Matrices semblables

Définition et interprétation

Démonstration. Réflexivité. $A=I_n^{-1}A{I}_n$.

Symétrie. Si $B=P^{-1}AP$, alors $A=PB{P}^{-1}=(P^{-1}{)}^{-1}B(P^{-1})$, et $P^{-1}$ est inversible.

Transitivité. Si $B=P^{-1}AP$ et $C=R^{-1}BR$, alors

$$C=R^{-1}{P}^{-1}APR=(PR{)}^{-1}A(PR),$$

et $PR$ est inversible. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Condition suffisante. Si $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme dans deux bases, la formule de changement de base donne $B=P^{-1}AP$ avec $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ inversible.

Condition nécessaire. Supposons $B=P^{-1}AP$ avec $P$ inversible. Prenons $E={\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, $\mathcal{B}$ sa base canonique et $u=u_A$, de sorte que $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$. Les colonnes de $P$, qui sont libres puisque $P$ est inversible, forment une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de $E$, et par construction $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$. La formule de changement de base donne alors ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)=P^{-1}AP=B$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Si $B=P^{-1}AP$, il suffit de prendre $Q=P$ dans la définition de l'équivalence pour obtenir $B=Q^{-1}AP$.

Pour la réciproque, considérons dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$

$$A=I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Ces deux matrices sont inversibles, donc de rang $2$ toutes les deux : elles sont équivalentes. Mais elles ne sont pas semblables, car pour toute $P$ inversible,

$$P^{-1}{I}_{2}P=P^{-1}P=I_2\mathrm{\ne }B\mathrm{.}$$

La matrice identité n'est semblable qu'à elle-même. $\mathrm{\square }$

Invariants de similitude

Démonstration. Point 1. Deux matrices semblables sont équivalentes, donc de même rang ; le théorème du rang donne ensuite l'égalité des dimensions des noyaux.

Point 2. Si $A$ est inversible, $B=P^{-1}AP$ est un produit de trois matrices inversibles, donc est inversible, et

$$B^{-1}=(P^{-1}AP{)}^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}(P^{-1}{)}^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}P\mathrm{.}$$

La réciproque s'obtient en échangeant les rôles de $A$ et $B$.

Point 3. Par récurrence sur $k$. Pour $k=0$, les deux membres valent $I_n$. Si $B^k=P^{-1}{A}^{k}P$, alors

$$B^{k+1}=B^{k}B=\left(P^{-1}{A}^{k}P\right)\left(P^{-1}AP\right)=P^{-1}{A}^k\left(P{P}^{-1}\right)AP=P^{-1}{A}^{k+1}P\mathrm{.}$$

C'est ici que réside tout l'intérêt de la similitude : les matrices intermédiaires se télescopent.

Point 4. Si $Q={\sum }_{k=0}^d{c}_k{X}^k$, alors, par linéarité et grâce au point 3,

$$Q(B)=\sum _{k=0}^d{c}_k{B}^k=\sum _{k=0}^d{c}_k{P}^{-1}{A}^{k}P=P^{-1}\left(\sum _{k=0}^d{c}_k{A}^k\right)P=P^{-1}Q(A)P\mathrm{.}$$

Comme $P^{-1}MP=0$ équivaut à $M=0$, on obtient l'équivalence annoncée.

Point 5. C'est le cas particulier $Q=X^k$ du point 4 : $A^k=0$ si et seulement si $B^k=0$. Les plus petits exposants qui annulent $A$ et $B$ sont donc les mêmes. $\mathrm{\square }$

Montrer que deux matrices ne sont pas semblables

Bases adaptées : projecteurs, symétries, sous-espaces stables

Cette section met en pratique tout ce qui précède : on cherche, pour trois familles d'endomorphismes déjà connues, la base qui rend la matrice la plus simple.

Projecteurs

Démonstration. La caractérisation des projecteurs donne $E=\mathrm{I}\mathrm{m}p\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$, avec $\dim \mathrm{I}\mathrm{m}p=r$ et $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p=n-r$. Choisissons une base $(e_1,\dots ,e_r)$ de $\mathrm{I}\mathrm{m}p$ et une base $(e_{r+1},\dots ,e_n)$ de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$ ; la famille concaténée $\mathcal{B}$ est une base de $E$.

Calculons les images. Pour $j⩽r$, le vecteur $e_j$ appartient à $\mathrm{I}\mathrm{m}p$, et l'on sait que $p$ fixe les vecteurs de son image : $p(e_j)=e_j$, dont la colonne de coordonnées est la $j$-ème colonne de $I_n$. Pour $j>r$, $e_j\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$, donc $p(e_j)=0_E$ et la colonne est nulle. La matrice obtenue est $J_r$.

Pour l'énoncé matriciel, si $A^2=A$, l'endomorphisme $u_A$ vérifie $u_A\circ u_A=u_A$ : c'est un projecteur de rang $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$, et la base construite ci-dessus fournit une matrice de passage $P$ telle que $P^{-1}AP=J_r$. $\mathrm{\square }$

Symétries

Démonstration. La caractérisation des symétries donne $E=F\oplus G$. Choisissons une base $(e_1,\dots ,e_r)$ de $F$ et une base $(e_{r+1},\dots ,e_n)$ de $G$, et concaténons-les en une base $\mathcal{B}$ de $E$. Pour $j⩽r$, $s(e_j)=e_j$, ce qui donne la $j$-ème colonne de $I_n$ ; pour $j>r$, $s(e_j)=-e_j$, ce qui donne l'opposée de la $j$-ème colonne de $I_n$. La matrice est donc diagonale, de coefficients diagonaux $1,\dots ,1,-1,\dots ,-1$. $\mathrm{\square }$

Sous-espaces stables

Démonstration. Condition nécessaire. Supposons $F$ stable. Choisissons une base $(e_1,\dots ,e_d)$ de $F$ et complétons-la en une base $\mathcal{B}$ de $E$, ce qui est possible par le théorème de la base incomplète. Pour $j⩽d$, le vecteur $e_j$ appartient à $F$, donc $u(e_j)\in F$ par stabilité : $u(e_j)$ est combinaison linéaire de $e_1,\dots ,e_d$ seulement, et ses coordonnées d'indices $d+1,\dots ,n$ sont nulles. Les $d$ premières colonnes ont donc leurs coefficients nuls à partir de la ligne $d+1$, ce qui est exactement l'énoncé.

Condition suffisante. Réciproquement, si la matrice a cette forme dans une base dont les $d$ premiers vecteurs engendrent $F$, alors pour $j⩽d$ le vecteur $u(e_j)$ est combinaison linéaire de $e_1,\dots ,e_d$, donc appartient à $F$. Tout élément $x$ de $F$ étant combinaison linéaire des $e_j$ pour $j⩽d$, la linéarité donne $u(x)\in F$. $\mathrm{\square }$

Endomorphismes nilpotents

Démonstration. Comme $u^2\mathrm{\ne }0$, il existe $x\in E$ tel que $u^2(x)\mathrm{\ne }{0}_E$. Posons

$$\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3),e_1=u^2(x),e_2=u(x),e_3=x\mathrm{.}$$

La famille est libre. Soient ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ tels que ${\lambda }_1{u}^2(x)+{\lambda }_{2}u(x)+{\lambda }_{3}x=0_E$. Appliquons $u^2$ : comme $u^3=0$, on a $u^4=0$ également, et il reste ${\lambda }_3{u}^2(x)=0_E$, donc ${\lambda }_3=0$ puisque $u^2(x)\mathrm{\ne }{0}_E$. L'égalité devient ${\lambda }_1{u}^2(x)+{\lambda }_{2}u(x)=0_E$ ; en appliquant $u$, il reste ${\lambda }_2{u}^2(x)=0_E$, donc ${\lambda }_2=0$. Enfin ${\lambda }_1{u}^2(x)=0_E$ donne ${\lambda }_1=0$. La famille est libre, et comme elle compte $3=\dim E$ vecteurs, c'est une base.

La matrice. On a $u(e_1)=u^3(x)=0_E$, donc la première colonne est nulle ; $u(e_2)=u^2(x)=e_1$, donc la deuxième colonne est ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$ ; et $u(e_3)=u(x)=e_2$, donc la troisième colonne est ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right)$. C'est la matrice annoncée. $\mathrm{\square }$

La trace

Définition et linéarité

Démonstration. Point 1. Le coefficient diagonal d'indice $i$ de $\lambda A+\mu B$ vaut $\lambda a_{i,i}+\mu b_{i,i}$. En sommant sur $i$ et en séparant la somme,

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(\lambda A+\mu B)=\sum _{i=1}^n(\lambda a_{i,i}+\mu b_{i,i})=\lambda \sum _{i=1}^n{a}_{i,i}+\mu \sum _{i=1}^n{b}_{i,i}=\lambda \mathrm{t}\mathrm{r}(A)+\mu \mathrm{t}\mathrm{r}(B)\mathrm{.}$$

La trace est bien une application linéaire de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K}$.

Point 2. Le coefficient d'indice $(i,i)$ de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ vaut $a_{i,i}$ : la transposition ne modifie pas la diagonale. Les deux sommes sont donc identiques.

Point 3. Les coefficients diagonaux de $\lambda I_n$ valent tous $\lambda$, et il y en a $n$. $\mathrm{\square }$

Le théorème $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$

Démonstration. Notons $A=(a_{i,k})$ avec $1⩽i⩽n$ et $1⩽k⩽p$, et $B=(b_{k,i})$ avec $1⩽k⩽p$ et $1⩽i⩽n$.

Le coefficient d'indice $(i,i)$ de $AB$ vaut ${\sum }_{k=1}^p{a}_{i,k}{b}_{k,i}$, donc

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^p{a}_{i,k}{b}_{k,i}\mathrm{.}$$

De même, le coefficient d'indice $(k,k)$ de $BA$ vaut ${\sum }_{i=1}^n{b}_{k,i}{a}_{i,k}$, donc

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)=\sum _{k=1}^p\sum _{i=1}^n{b}_{k,i}{a}_{i,k}\mathrm{.}$$

Les deux sommes doubles portent sur le même ensemble d'indices, à savoir tous les couples $(i,k)$ avec $1⩽i⩽n$ et $1⩽k⩽p$, et leurs termes généraux sont égaux puisque la multiplication est commutative dans $\mathbb{K}$ : $a_{i,k}{b}_{k,i}=b_{k,i}{a}_{i,k}$. Les sommes finies pouvant être interverties, les deux résultats coïncident. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Écrivons $B=P^{-1}AP$ avec $P$ inversible, et regroupons les facteurs en posant $M=P^{-1}A$ et $N=P$. Le théorème précédent donne

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(B)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(MN\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(NM\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(P{P}^{-1}A\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(I_{n}A\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Trace d'un endomorphisme

Démonstration. Bonne définition. Si $\mathcal{B}$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ sont deux bases de $E$, les matrices ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ et ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ sont semblables d'après la formule de changement de base. Elles ont donc la même trace, et le scalaire $\mathrm{t}\mathrm{r}(u)$ est bien défini.

Point 1. Fixons une base $\mathcal{B}$. L'application $w\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(w)$ est linéaire, et la trace matricielle aussi : la composée est linéaire.

Point 2. Posons $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ et $B={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(v)$. Alors ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(v\circ u)=BA$ et ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u\circ v)=AB$, et le théorème donne $\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)=\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)$.

Point 3. La matrice de ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ dans toute base est $I_n$, de trace $n=\dim E$. $\mathrm{\square }$

Trace d'un projecteur

Démonstration. Notons $r=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)$. Nous avons construit plus haut une base $\mathcal{B}$ de $E$, adaptée à la décomposition $E=\mathrm{I}\mathrm{m}p\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$, dans laquelle ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(p)=J_r$. La trace de $J_r$ vaut la somme de ses coefficients diagonaux, c'est-à-dire $r$ fois $1$ puis $n-r$ fois $0$, soit $r$. Comme la trace de $p$ se calcule dans n'importe quelle base,

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(p)=\mathrm{t}\mathrm{r}(J_r)=r=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)\mathrm{.}$$

Pour la version matricielle, $A^2=A$ signifie que $u_A$ est un projecteur, et $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=\mathrm{t}\mathrm{r}(u_A)=\mathrm{r}\mathrm{g}(u_A)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$. $\mathrm{\square }$

Méthodes du chapitre

Les exercices de ce chapitre se ramènent à un petit nombre de gestes, tous rencontrés dans les pages précédentes. La difficulté n'est jamais le calcul lui-même, qui reste élémentaire ; elle est de savoir dans quelles bases on travaille et dans quel sens vont les formules. Avant chaque calcul, écrivez explicitement les bases en jeu : la moitié des erreurs disparaît.

Pour finir, la liste des fautes qui coûtent le plus de points dans ce chapitre. Chacune a été signalée au moins une fois dans les pages précédentes.

1. Oublier de préciser les bases. Une matrice sans bases n'est pas un objet mathématique. Écrire systématiquement ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$, et nommer $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ dans la phrase qui précède.
2. Inverser lignes et colonnes. Une matrice d'application linéaire a autant de colonnes que la dimension de l'espace de départ. Les images des vecteurs de base se rangent en colonnes, jamais en lignes.
3. Se tromper de sens dans $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$. La matrice de passage transforme les nouvelles coordonnées en anciennes. En cas de doute, recalculer $P$ comme ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ et appliquer $Y=AX$.
4. Confondre équivalence et similitude. Deux matrices de même rang sont toujours équivalentes ; elles ne sont presque jamais semblables. La similitude exige une seule matrice $P$, des deux côtés.
5. Déduire $AB=BA$ de $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$. L'égalité des traces est une égalité de nombres, et elle est toujours vraie ; elle ne dit rien sur les matrices.
6. Utiliser le théorème du rang avec le nombre de lignes. La formule est $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)+\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)=p$, où $p$ est le nombre de colonnes, c'est-à-dire la dimension de l'espace de départ.