Devoir surveillé — Analyse asymptotique

Les six questions sont indépendantes. Sauf mention contraire, $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

1. (0,5 pt) Déterminer un équivalent simple de $u_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}$, défini pour $n⩾2$.

2. (0,5 pt) Déterminer un équivalent simple de $v_n=\ln (n^2+n+1)-2\ln n$, défini pour $n⩾1$.

3. (0,5 pt) Déterminer la limite de $w_n=n^2(\cos {\displaystyle \frac{1}{n}}-\cos {\displaystyle \frac{2}{n}})$.

4. (0,5 pt) Déterminer la limite de $t_n={(n^2+3^n)}^{1\mathrm{/}n}$.

5. (0,5 pt) Déterminer un équivalent simple de $a_n=\mathrm{Arctan}(n+1)-\mathrm{Arctan}(n)$.

6. (0,5 pt) Déterminer la limite de $b_n={\displaystyle \frac{(\ln n{)}^{\sqrt{n}}}{n}}$, défini pour $n⩾2$.

Les trois questions sont indépendantes. Tous les développements sont demandés au voisinage de $0$.

1. (1 pt) Déterminer le développement limité à l'ordre $3$ de $f(x)=\sqrt{1+x}{e}^{-x\mathrm{/}2}$, par deux méthodes : d'abord comme produit de deux développements usuels, puis en développant $\ln f$. On vérifiera que les deux résultats coïncident.

2. (1 pt) Déterminer le développement limité à l'ordre $5$ de $g(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{Arctan}x}{1+x^2}}$. En déduire, par primitivation, celui de $h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(\mathrm{Arctan}x)}^2$ à l'ordre $6$.

3. (1 pt) Soit $k$ la fonction définie pour $x\in ]-\pi ,\pi [\setminus \{0\}$ par $k(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Montrer que $k$ se prolonge par continuité en $0$, donner le développement limité à l'ordre $3$ de ce prolongement, et en déduire $k^{\mathrm{\prime }}(0)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=2x\mathrm{Arctan}x,$$

et l'on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. (0,5 pt) Démontrer que $f$ est paire, puis que $\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour tout $x>0$.

2. (0,75 pt) Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $4$ en $0$. En déduire l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$, la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$, et la nature du point critique $0$.

3. (1,25 pt) Démontrer que, lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$,

$$f(x)=\pi x-2+\frac{2}{3x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{.}$$

En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote oblique en $+\mathrm{\infty }$, dont on donnera l'équation, ainsi que la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote.

4. (0,5 pt) En déduire, sans nouveau calcul de développement, l'asymptote de $\mathcal{C}$ en $-\mathrm{\infty }$ et la position de $\mathcal{C}$ par rapport à elle.

Pour tout entier $n⩾2$, on considère l'équation d'inconnue réelle $x$

$$\left(E_n\right):x+x^2+\cdots +x^n=1,$$

que l'on étudie sur le segment $[0,1]$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $\left(E_n\right)$ admet une unique solution dans $[0,1]$, notée $x_n$, et que $x_n$ appartient à l'intervalle ouvert $]0,1[$.

2. (0,5 pt) Démontrer que la suite ${\left(x_n\right)}_{n⩾2}$ est strictement décroissante. Qu'en déduit-on ?

3. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $n⩾2$,

$$2x_n-1=x_n^{n+1}\mathrm{.}$$

En déduire que $x_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout $n$, puis la limite de la suite $\left(x_n\right)$.

4. (0,75 pt) Démontrer que $x_n^{n+1}\sim {\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}$. On pourra étudier ${\left(2x_n\right)}^{n+1}$ en passant au logarithme.

5. (0,5 pt) En déduire le développement asymptotique

$$x_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+2}}+o\left(\frac{1}{2^n}\right),$$

et comparer la vitesse de convergence obtenue à celle d'une suite en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$.

Pour tout entier $n⩾3$, on pose

$$p_n=2n\sin \frac{\pi }{n}\text{et}{P}_n=2n\tan \frac{\pi }{n}\mathrm{.}$$

Ces deux quantités sont les périmètres des polygones réguliers à $n$ côtés respectivement inscrit dans le cercle de rayon $1$ et circonscrit à ce cercle ; le périmètre du cercle lui-même vaut $2\pi$. C'est en calculant $p_{96}$ et $P_{96}$ qu'Archimède a encadré $\pi$ entre ${\displaystyle \frac{223}{71}}$ et ${\displaystyle \frac{22}{7}}$. L'objet du problème est de montrer que l'on peut faire beaucoup mieux avec les mêmes ingrédients.

On utilisera librement le développement limité de la tangente en $0$ :

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o\left(x^6\right)\mathrm{.}$$

Partie A — Les deux suites d'Archimède

1. (0,75 pt) Démontrer que $\sin t<t<\tan t$ pour tout $t\in ]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. En déduire que $p_n<2\pi <P_n$ pour tout $n⩾3$.

2. (1 pt) Démontrer que, quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$,

$$p_n=2\pi -\frac{{\pi }^3}{3n^2}+\frac{{\pi }^5}{60n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\mathrm{.}$$

3. (1 pt) Établir de même le développement asymptotique de $P_n$ à la précision ${\displaystyle \frac{1}{n^4}}$.

4. (0,75 pt) En déduire un équivalent de $2\pi -p_n$ et un équivalent de $P_n-2\pi$. Que vaut la limite de ${\displaystyle \frac{P_n-2\pi }{2\pi -p_n}}$ ? Interpréter.

Partie B — Accélérer la convergence

5. (0,75 pt) On pose $m_n={\displaystyle \frac{p_n+P_n}{2}}$. Démontrer que $m_n-2\pi \sim {\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6n^2}}$. La moyenne des deux périmètres gagne-t-elle un ordre de grandeur ?

6. (1,25 pt) Démontrer qu'il existe un unique couple $(a,b)$ de réels vérifiant simultanément

$$a+b=1\text{et}a{p}_n+b{P}_n-2\pi =o\left(\frac{1}{n^2}\right),$$

et le déterminer.

7. (1,5 pt) On pose désormais $q_n={\displaystyle \frac{2p_n+P_n}{3}}$. Démontrer que

$$q_n=2\pi +\frac{{\pi }^5}{10n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\mathrm{.}$$

8. (1 pt) En déduire un équivalent de $q_n-2\pi$, puis la limite de ${\displaystyle \frac{q_n-2\pi }{2\pi -p_n}}$. Démontrer enfin que $q_n>2\pi$ à partir d'un certain rang, et commenter ce résultat au vu de la question 1.