Analyse asymptotique

Depuis le début de l'année, chaque limite a été un cas particulier. Pour ${\displaystyle \frac{n^2+3n}{2n^2-1}}$, on factorise par $n^2$. Pour $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$, on multiplie par la quantité conjuguée. Pour ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$, on invoque le taux d'accroissement du sinus en $0$. Pour ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$, on passe au logarithme. Chaque expression nouvelle réclame une astuce nouvelle, et l'on finit par retenir la ruse plutôt que le résultat. Ce chapitre remplace cette collection de ruses par une méthode : une fois celle-ci en main, la quasi-totalité des formes indéterminées se traite par un calcul réglé, presque sans idée.

Le changement de point de vue tient en une phrase : on cesse de se demander vers quoi une quantité tend, pour se demander comment elle y tend, c'est-à-dire à quelle vitesse. Dire que $n^2$ et $n^2+3n$ tendent toutes deux vers $+\mathrm{\infty }$ n'apprend rien ; dire qu'elles y tendent à la même vitesse, alors que $n^3$ y va infiniment plus vite, permet de comparer, de classer, et surtout de négliger sans se tromper. C'est le mot d'ordre du chapitre. Dans $n^2+3n$, le terme $3n$ ne pèse rien face à $n^2$ : on peut l'oublier, à condition de dire clairement dans quel sens. Mais tout dépend du calcul où on l'oublie : dans une différence, le terme que l'on croyait négligeable devient parfois le terme principal, et c'est exactement ce qui rend $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ délicat. Toute la technicité du chapitre consiste à savoir jusqu'où pousser l'approximation.

Deux outils vont être construits, et ils fonctionnent ensemble. Le premier est un langage : les relations de comparaison, qui permettent d'écrire noir sur blanc « cette quantité est négligeable devant celle-là » ($o$), « elle est du même ordre de grandeur » ($O$), « elle se comporte comme » ($\sim$). Ce langage est d'abord bâti pour les suites, puis transposé mot pour mot aux fonctions au voisinage d'un point. Le second outil est un instrument de mesure : le développement limité, qui remplace une fonction compliquée par un polynôme, avec un contrôle exact de l'erreur commise. La formule de Taylor-Young fournit ces polynômes pour toutes les fonctions usuelles d'un seul coup, et l'on apprendra à les additionner, les multiplier, les composer, les primitiver, exactement comme on manipule des nombres.

Le bénéfice est très concret. Une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ se lève en trois lignes de développement limité. La tangente d'une courbe en un point, et surtout la position de la courbe par rapport à cette tangente, se lisent sur les premiers coefficients. Une asymptote oblique en $+\mathrm{\infty }$, avec le côté par lequel la courbe s'en approche, s'obtient par le même calcul après un changement de variable. Le comportement fin d'une suite récurrente comme $u_{n+1}=\sin (u_n)$, la taille de la somme $1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$, la vitesse à laquelle une intégrale ${\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x$ tend vers zéro : tout cela devient accessible, alors qu'aucun de ces problèmes ne se traite avec les seuls théorèmes sur les limites.

Le plan suit cette progression. Nous comparons d'abord les suites entre elles, en insistant lourdement sur ce qui est permis et sur ce qui est interdit — les fautes sur les équivalents sont les plus fréquentes de l'année. Nous établissons ensuite le classement des suites de référence, les fameuses croissances comparées. Le même langage est alors transporté aux fonctions. Vient le cœur du chapitre : les développements limités, leur unicité, la formule de Taylor-Young, le catalogue des développements usuels et les cinq opérations qui permettent de les combiner. Nous en tirons les applications géométriques, puis nous poussons la machine plus loin avec les développements asymptotiques, qui donnent le comportement d'une suite implicite, d'une suite récurrente, d'une somme ou d'une intégrale. Une dernière section rassemble les méthodes.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes. Dire qu'une propriété est vraie au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ pour une suite signifie qu'elle est vraie à partir d'un certain rang, c'est-à-dire qu'il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel qu'elle soit vraie pour tout $n⩾n_0$ ; pour une fonction, être vraie au voisinage de $a\in \mathbb{R}$ signifie qu'il existe $\eta >0$ telle qu'elle soit vraie sur $]a-\eta ,a+\eta [$ (intersecté avec l'ensemble de définition), et au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ qu'il existe $A\in \mathbb{R}$ telle qu'elle soit vraie sur $]A,+\mathrm{\infty }[$. Les suites sont notées $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$, les fonctions $f$, $g$, $h$ ; les lettres $\epsilon$ et $\epsilon (x)$ sont réservées aux suites et aux fonctions de limite nulle au point considéré, et la lettre $\theta$ à celles de limite $1$. Les trois relations de comparaison se notent $u_n=O(v_n)$ (dominée), $u_n=o(v_n)$ (négligeable) et $u_n\sim v_n$ (équivalente) ; pour les fonctions, on précise le point sous le symbole, , ou bien en toutes lettres « au voisinage de $a$ ». Enfin, ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$ désigne un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$, ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(a)$ un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $a$, et $f^{(k)}$ la dérivée $k$-ième de $f$, avec la convention $f^{(0)}=f$. La variable $h$ est réservée à l'accroissement dans les développements en un point $a$, où l'on pose systématiquement $x=a+h$.

Comparer deux suites

Les trois relations de comparaison

Toutes les définitions de cette section reposent sur la même idée : écrire $u_n$ comme le produit de $v_n$ par un facteur dont on contrôle le comportement. Ce facteur est borné, ou de limite nulle, ou de limite $1$ — et ces trois choix donnent les trois relations du chapitre.

Le symbole $o$ se lit « petit o », le symbole $O$ « grand O », et ces notations sont dues à Landau. Voici leur traduction en langage quantifié, qui est parfois plus commode dans les démonstrations.

Démonstration. Point 1, sens direct. Si $u_n=w_n{v}_n$ à partir du rang $n_0$ avec $(w_n)$ bornée par $M$, alors $\mid u_n\mid =\mid w_n\mid \mid v_n\mid ⩽M\mid v_n\mid$ pour $n⩾n_0$.

Point 1, réciproque. Supposons $\mid u_n\mid ⩽M\mid v_n\mid$ pour $n⩾n_0$. Posons $w_n={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$ lorsque $v_n\mathrm{\ne }0$, et $w_n=0$ sinon. Si $v_n=0$, l'inégalité impose $u_n=0$, donc l'égalité $u_n=w_n{v}_n$ est vraie dans les deux cas ; et $\mid w_n\mid ⩽M$, donc $(w_n)$ est bornée.

Point 2. Même raisonnement, en remplaçant « $(w_n)$ bornée » par « $({\epsilon }_n)$ de limite nulle » : dire que ${\epsilon }_n\to 0$, c'est dire que pour tout $\epsilon >0$ on a $\mid {\epsilon }_n\mid ⩽\epsilon$ à partir d'un certain rang. $\mathrm{\square }$

En pratique, on ne travaille presque jamais avec ces définitions : dès que la suite de référence $(v_n)$ ne s'annule pas, tout se lit sur le quotient, et c'est la caractérisation à utiliser.

Démonstration. Traitons le point 3, les deux autres étant identiques. Supposons $u_n\sim v_n$ : il existe $({\theta }_n)$ de limite $1$ et un rang $n_0$ tels que $u_n={\theta }_n{v}_n$ pour $n⩾n_0$. Quitte à augmenter $n_0$, on peut supposer aussi $v_n\mathrm{\ne }0$ pour $n⩾n_0$ ; en divisant, ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}={\theta }_n\to 1$.

Réciproquement, si ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\to 1$, posons ${\theta }_n={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$ pour $n$ assez grand : c'est une suite de limite $1$ et $u_n={\theta }_n{v}_n$. $\mathrm{\square }$

Ce que chaque relation signifie

Premières propriétés

Démonstration. Point 1. Supposons $u_n\sim v_n$ : il existe $({\theta }_n)$ de limite $1$ telle que $u_n={\theta }_n{v}_n$ à partir d'un certain rang. Alors

$$u_n-v_n=({\theta }_n-1)v_n,$$

et la suite $({\theta }_n-1)$ tend vers $0$ : c'est exactement dire $u_n-v_n=o(v_n)$. Réciproquement, si $u_n-v_n={\epsilon }_n{v}_n$ avec ${\epsilon }_n\to 0$, alors $u_n=(1+{\epsilon }_n)v_n$ et $(1+{\epsilon }_n)$ tend vers $1$, donc $u_n\sim v_n$.

Point 2. Une suite de limite nulle est bornée : le facteur $({\epsilon }_n)$ de la définition de $o$ convient comme facteur borné dans la définition de $O$. Pour la réciproque, $(-1{)}^n=O(1)$ mais $(-1{)}^n$ n'est pas $o(1)$, puisque la suite $((-1{)}^n)$ ne tend pas vers $0$.

Point 3, réflexivité. $u_n=1\times u_n$, et la suite constante égale à $1$ a bien pour limite $1$. Donc $u_n\sim u_n$.

Point 3, symétrie. Supposons $u_n\sim v_n$, c'est-à-dire $u_n={\theta }_n{v}_n$ pour $n⩾n_0$, avec ${\theta }_n\to 1$. Comme ${\theta }_n\to 1>{\displaystyle \frac{1}{2}}$, il existe un rang $n_1$ tel que ${\theta }_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$ — en particulier ${\theta }_n\mathrm{\ne }0$ — pour tout $n⩾n_1$. Pour $n⩾\max (n_0,n_1)$, on peut donc écrire

$$v_n={\displaystyle \frac{1}{{\theta }_n}}{u}_n,$$

et la suite $\left({\displaystyle \frac{1}{{\theta }_n}}\right)$ tend vers $1$ par quotient de limites. Donc $v_n\sim u_n$.

Point 3, transitivité. Supposons $u_n\sim v_n$ et $v_n\sim w_n$ : il existe $({\theta }_n)$ et $({\theta }_n^{\mathrm{\prime }})$ de limite $1$ telles que $u_n={\theta }_n{v}_n$ et $v_n={\theta }_n^{\mathrm{\prime }}{w}_n$ à partir d'un certain rang. Alors $u_n={\theta }_n{\theta }_n^{\mathrm{\prime }}{w}_n$, et $({\theta }_n{\theta }_n^{\mathrm{\prime }})$ tend vers $1$ comme produit de deux suites de limite $1$. Donc $u_n\sim w_n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Écrivons $u_n={\theta }_n{v}_n$ avec ${\theta }_n\to 1$. Si $\mathrm{\ell }$ est finie, le produit de limites donne $u_n\to 1\times \mathrm{\ell }=\mathrm{\ell }$. Si $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$, on utilise le fait que ${\theta }_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$ à partir d'un certain rang, et que $v_n>0$ à partir d'un certain rang : alors $u_n⩾{\displaystyle \frac{v_n}{2}}$ pour $n$ assez grand, et le théorème de minoration donne $u_n\to +\mathrm{\infty }$. Le cas $\mathrm{\ell }=-\mathrm{\infty }$ s'en déduit en changeant les signes.

Point 2. Supposons $u_n\to \mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Alors ${\displaystyle \frac{u_n}{\mathrm{\ell }}}\to 1$, ce qui est exactement $u_n\sim \mathrm{\ell }$ d'après la caractérisation par le quotient (la suite constante $\mathrm{\ell }$ ne s'annule pas). $\mathrm{\square }$

Démonstration. Écrivons $u_n={\theta }_n{v}_n$ pour $n⩾n_1$, avec ${\theta }_n\to 1$. Puisque ${\theta }_n\to 1$ et que $1>0$, il existe un rang $n_2$ tel que ${\theta }_n>0$ pour tout $n⩾n_2$ (appliquer la définition de la limite avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : ${\theta }_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}>0$).

Posons $n_0=\max (n_1,n_2)$. Pour $n⩾n_0$, l'égalité $u_n={\theta }_n{v}_n$ avec ${\theta }_n>0$ montre que $u_n$ et $v_n$ sont nuls en même temps, et qu'ils ont le même signe strict sinon ; en multipliant, $u_n{v}_n={\theta }_n{v}_n^2⩾0$. $\mathrm{\square }$

Le cas interdit : l'équivalent à la suite nulle

Opérations licites sur les équivalents

Voici ce que l'on a le droit de faire. La liste est courte, et il faut la connaître exactement : tout ce qui n'y figure pas est à considérer comme interdit jusqu'à démonstration du contraire.

Démonstration. Point 1. Par hypothèse, il existe deux suites $({\theta }_n)$ et $({\theta }_n^{\mathrm{\prime }})$ de limite $1$ et un rang $n_0$ tels que, pour $n⩾n_0$,

$$u_n={\theta }_n{v}_n\text{et}{a}_n={\theta }_n^{\mathrm{\prime }}{b}_n\mathrm{.}$$

En multipliant ces deux égalités : $u_n{a}_n={\theta }_n{\theta }_n^{\mathrm{\prime }}{v}_n{b}_n$ pour $n⩾n_0$. La suite $({\theta }_n{\theta }_n^{\mathrm{\prime }})$ tend vers $1$ comme produit de deux suites de limite $1$, donc $u_n{a}_n\sim v_n{b}_n$.

Point 2. Reprenons les mêmes notations. Comme ${\theta }_n^{\mathrm{\prime }}\to 1$, il existe un rang à partir duquel ${\theta }_n^{\mathrm{\prime }}⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc ${\theta }_n^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$. Pour $n$ assez grand, $a_n$ et $b_n$ sont non nuls et

$${\displaystyle \frac{u_n}{a_n}}={\displaystyle \frac{{\theta }_n{v}_n}{{\theta }_n^{\mathrm{\prime }}{b}_n}}={\displaystyle \frac{{\theta }_n}{{\theta }_n^{\mathrm{\prime }}}}\cdot {\displaystyle \frac{v_n}{b_n}},$$

avec ${\displaystyle \frac{{\theta }_n}{{\theta }_n^{\mathrm{\prime }}}}\to 1$ par quotient de limites. D'où le résultat.

Point 3. Pour $n$ assez grand, $u_n>0$ et $v_n>0$, et ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\to 1$. Alors

$${\displaystyle \frac{u_n^{\alpha }}{v_n^{\alpha }}}={\left({\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\right)}^{\alpha }=\exp (\alpha \ln {\displaystyle \frac{u_n}{v_n}})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\exp (\alpha \ln 1)=1$$

par continuité de $\ln$ en $1$ et de $\exp$ en $0$. Donc $u_n^{\alpha }\sim v_n^{\alpha }$.

Point 4. De $u_n={\theta }_n{v}_n$ on tire $\mid u_n\mid =\mid {\theta }_n\mid \mid v_n\mid$, et $\mid {\theta }_n\mid \to 1$ par continuité de la valeur absolue. $\mathrm{\square }$

Les interdits

Les équivalents usuels

Ce tableau est à connaître par cœur, et à savoir appliquer à une suite $(u_n)$ de limite nulle — c'est l'hypothèse essentielle, sans laquelle rien n'est vrai. Il se démontrera en une ligne à partir des développements limités ; pour l'instant, retenons que chaque ligne provient d'un taux d'accroissement en $0$.

Les suites de référence : croissances comparées

Pour comparer une suite quelconque à quelque chose, encore faut-il disposer d'une famille de suites bien classées. C'est le rôle des puissances, des exponentielles et des factorielles, dont l'ordre est fixé une fois pour toutes par le théorème suivant.

Le théorème des croissances comparées

Démonstration. Première relation : $(\ln n{)}^{\beta }=o(n^{\alpha })$. Posons $\gamma ={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}>0$ et remarquons que

$${\displaystyle \frac{(\ln n{)}^{\beta }}{n^{\alpha }}}={\left({\displaystyle \frac{\ln n}{n^{\gamma }}}\right)}^{\beta }\mathrm{.}$$

Il suffit donc de montrer que ${\displaystyle \frac{\ln n}{n^{\gamma }}}\to 0$, puisque $t\mapsto t^{\beta }$ est continue en $0$ avec $0^{\beta }=0$. Partons de l'inégalité de convexité $\ln x⩽x-1⩽x$, valable pour tout $x>0$, appliquée à $x=n^{\gamma \mathrm{/}2}$ :

$${\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\ln n=\ln \left(n^{\gamma \mathrm{/}2}\right)⩽n^{\gamma \mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

Pour $n⩾1$, on en déduit

$$0⩽{\displaystyle \frac{\ln n}{n^{\gamma }}}⩽{\displaystyle \frac{2}{\gamma }}\cdot {\displaystyle \frac{n^{\gamma \mathrm{/}2}}{n^{\gamma }}}={\displaystyle \frac{2}{\gamma }}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^{\gamma \mathrm{/}2}}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

et le théorème d'encadrement conclut.

Deuxième relation : $n^{\alpha }=o(a^n)$. Posons $w_n={\displaystyle \frac{n^{\alpha }}{a^n}}>0$ pour $n⩾1$ et étudions le rapport de deux termes consécutifs :

$${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{(n+1{)}^{\alpha }}{n^{\alpha }}}\cdot {\displaystyle \frac{a^n}{a^{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{a}}{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{\alpha }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\displaystyle \frac{1}{a}}<1.$$

Choisissons un réel $q$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{a}}<q<1$. Par définition de la limite, il existe un rang $n_0$ tel que ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}⩽q$, c'est-à-dire $w_{n+1}⩽q{w}_n$, pour tout $n⩾n_0$. Une récurrence immédiate donne alors

$$\mathrm{\forall }n⩾n_0,0<w_n⩽q^{n-n_0}{w}_{n_0}=\left({\displaystyle \frac{w_{n_0}}{q^{n_0}}}\right)q^n\mathrm{.}$$

Comme $0<q<1$, la suite géométrique $(q^n)$ tend vers $0$, donc $w_n\to 0$ par encadrement : c'est bien $n^{\alpha }=o(a^n)$.

Troisième relation : $a^n=o(n!)$. Même méthode, avec $w_n={\displaystyle \frac{a^n}{n!}}>0$ :

$${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{a^{n+1}}{a^n}}\cdot {\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}}={\displaystyle \frac{a}{n+1}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et la même récurrence donne $0<w_n⩽{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-n_0}{w}_{n_0}$ pour $n⩾n_0$, quantité qui tend vers $0$. Donc $w_n\to 0$.

Quatrième relation : $n!=o(n^n)$. Ici le calcul est direct. Pour $n⩾1$,

$$0<{\displaystyle \frac{n!}{n^n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{2}{n}}\times \cdots \times {\displaystyle \frac{n-1}{n}}\times {\displaystyle \frac{n}{n}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}\times 1\times \cdots \times 1={\displaystyle \frac{1}{n}},$$

puisque chacun des facteurs ${\displaystyle \frac{k}{n}}$ est inférieur ou égal à $1$. Par encadrement, ${\displaystyle \frac{n!}{n^n}}\to 0$. $\mathrm{\square }$

La formule de Stirling

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible et nous ne la donnons pas. En revanche, son usage est très fréquent : c'est le seul moyen d'obtenir un équivalent d'une expression contenant des factorielles, notamment des coefficients binomiaux.

Classer des suites en pratique

Comparer deux fonctions au voisinage d'un point

Tout ce qui précède se transpose aux fonctions, à un détail près, mais ce détail est capital : pour une suite, il n'y a qu'un seul endroit où l'on peut comparer, l'infini ; pour une fonction, il y en a autant que de points. Une relation de comparaison entre fonctions n'a aucun sens tant qu'on n'a pas dit en quel point on se place.

Les définitions

Dans toute cette section, $a$ désigne un élément de $\mathbb{R}$, ou l'un des symboles $+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$, ou encore $a^{+}$ ou $a^{-}$ lorsqu'on veut se restreindre à un côté. Les fonctions $f$ et $g$ sont supposées définies au voisinage de $a$, éventuellement privé du point $a$ lui-même.

Démonstration. Elle est mot pour mot celle du cas des suites : dans un sens on divise l'égalité $f=wg$ (ou $f=\epsilon g$, ou $f=\theta g$) par $g$, dans l'autre on pose $w={\displaystyle \frac{f}{g}}$ (ou $\epsilon$, ou $\theta$) sur un voisinage de $a$ où $g$ ne s'annule pas. $\mathrm{\square }$

Les mêmes propriétés

Démonstration. Toutes ces démonstrations sont identiques à celles données pour les suites : on remplace « à partir d'un certain rang » par « au voisinage de $a$ », et « limite d'une suite » par « limite d'une fonction en $a$ ». Par exemple, pour la symétrie de : de $f=\theta g$ avec $\theta \to 1$ en $a$, on déduit $\theta ⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$ donc $\theta \mathrm{\ne }0$ au voisinage de $a$, puis $g={\displaystyle \frac{1}{\theta }}f$ avec ${\displaystyle \frac{1}{\theta }}\to 1$. Nous ne les reprenons pas. $\mathrm{\square }$

Croissances comparées pour les fonctions

Démonstration. Point 1. Les démonstrations sont celles données pour les suites, transposées telles quelles : l'inégalité $\ln t⩽t$ appliquée à $t=x^{\gamma \mathrm{/}2}$ pour la première relation, et pour la seconde le fait que ${\displaystyle \frac{x^{\alpha }}{e^{\lambda x}}}=\exp (\alpha \ln x-\lambda x)=\exp (-x(\lambda -\alpha {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}))$, dont l'exposant tend vers $-\mathrm{\infty }$ puisque ${\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\to 0$.

Point 2. C'est le point 1 déguisé. Posons $x={\displaystyle \frac{1}{t}}$, de sorte que $x\to 0^{+}$ équivaut à $t\to +\mathrm{\infty }$. Alors

$$x^{\alpha }\mid \ln x{\mid }^{\beta }={\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }}}\mid -\ln t{\mid }^{\beta }={\displaystyle \frac{(\ln t{)}^{\beta }}{t^{\alpha }}}$$

pour $t>1$, et cette quantité tend vers $0$ d'après le point 1. Par composition des limites, $x^{\alpha }\mid \ln x{\mid }^{\beta }\to 0$ quand $x\to 0^{+}$.

Point 3. Posons $x=-t$ avec $t\to +\mathrm{\infty }$ : alors $\mid x{\mid }^{\alpha }{e}^x={\displaystyle \frac{t^{\alpha }}{e^t}}\to 0$ d'après le point 1. $\mathrm{\square }$

Composer à droite : transporter un équivalent

Voici le seul théorème de composition qui soit vrai, et il est très utile : il permet de fabriquer un équivalent en $0$ puis de le transporter partout où l'on veut, y compris le long d'une suite.

Démonstration. Par hypothèse, il existe une fonction $\theta$, de limite $1$ en $a$, et un voisinage $V$ de $a$ tels que $f(x)=\theta (x)g(x)$ pour tout $x\in V$ distinct de $a$.

Comme $u(t)\to a$ lorsque $t\to b$, il existe un voisinage $W$ de $b$ tel que $u(t)\in V$ pour tout $t\in W$ ; et par hypothèse $u(t)\mathrm{\ne }a$ sur un voisinage de $b$, quitte à rétrécir $W$. Pour $t\in W$, on peut donc écrire

$$f(u(t))=\theta (u(t))g(u(t))\mathrm{.}$$

Enfin, par composition des limites, $\theta \circ u$ tend vers $1$ lorsque $t\to b$. La fonction $\theta \circ u$ joue donc le rôle du facteur de limite $1$ dans la définition, et .

Le cas des suites est identique : on applique la définition avec la suite $(\theta (u_n))$, qui tend vers $1$ par composition d'une limite de suite et d'une limite de fonction. $\mathrm{\square }$

Les équivalents usuels en $0$

Développements limités

Un équivalent donne le premier terme du comportement d'une fonction. Souvent, cela ne suffit pas — nous l'avons vu, une différence de deux quantités équivalentes est inexploitable. Le développement limité répond à ce besoin : il fournit non pas un terme, mais autant de termes qu'on veut, sous la forme d'un polynôme qui approche la fonction avec une erreur contrôlée.

Définition

Une écriture équivalente, souvent commode dans les démonstrations, consiste à faire apparaître explicitement la fonction de limite nulle : $f$ admet un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$ si et seulement s'il existe des réels $a_0,\dots ,a_n$ et une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $0$ tels que

$$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+x^n\epsilon (x)\mathrm{.}$$

Unicité des coefficients

C'est le théorème fondateur du chapitre : sans lui, l'expression « le développement limité » n'aurait pas de sens, et aucune identification de coefficients ne serait légitime.

Démonstration. Supposons que $f$ admette deux développements limités à l'ordre $n$ en $0$ :

$$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)\text{et}f(x)=\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k+o\left(x^n\right)\mathrm{.}$$

En soustrayant ces deux égalités, et en posant $c_k=a_k-b_k$, il vient

$$\sum _{k=0}^n{c}_k{x}^k=o\left(x^n\right)\text{au voisinage de }0,$$

car la différence de deux fonctions négligeables devant $x^n$ est encore négligeable devant $x^n$. Il s'agit de montrer que tous les $c_k$ sont nuls.

Raisonnons par l'absurde et supposons que ce ne soit pas le cas. L'ensemble $\{k\in \{0,\dots ,n\}:c_k\mathrm{\ne }0\}$ est alors une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus petit élément, que nous notons $p$. Par définition de $p$, on a $c_0=\cdots =c_{p-1}=0$ et $c_p\mathrm{\ne }0$, de sorte que

$$\sum _{k=0}^n{c}_k{x}^k=\sum _{k=p}^n{c}_k{x}^k=x^p(c_p+c_{p+1}x+\cdots +c_n{x}^{n-p})\mathrm{.}$$

Observons d'autre part que $o(x^n)=o(x^p)$ ici, au sens où toute fonction négligeable devant $x^n$ est négligeable devant $x^p$ puisque $p⩽n$ : si $h(x)=x^n\epsilon (x)$ avec $\epsilon \to 0$, alors $h(x)=x^p\times (x^{n-p}\epsilon (x))$ et le facteur $x^{n-p}\epsilon (x)$ tend bien vers $0$.

Divisons donc l'égalité par $x^p$, pour $x\mathrm{\ne }0$ au voisinage de $0$ :

$$c_p+c_{p+1}x+\cdots +c_n{x}^{n-p}={\displaystyle \frac{o\left(x^p\right)}{x^p}}\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}0.$$

Mais le membre de gauche est une fonction polynomiale, qui tend vers $c_p$ lorsque $x\to 0$. Par unicité de la limite, $c_p=0$, ce qui contredit le choix de $p$.

Tous les $c_k$ sont donc nuls, c'est-à-dire $a_k=b_k$ pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$. $\mathrm{\square }$

Troncature

Démonstration. Partons de $f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o(x^n)}$ et séparons la somme en deux :

$$f(x)=\sum _{k=0}^p{a}_k{x}^k+\sum _{k=p+1}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)\mathrm{.}$$

Il reste à voir que les deux derniers blocs sont des $o(x^p)$. Pour le premier : chaque monôme $a_k{x}^k$ avec $k⩾p+1$ s'écrit $x^p\times \left(a_k{x}^{k-p}\right)$, et $a_k{x}^{k-p}\to 0$ puisque $k-p⩾1$ ; donc $a_k{x}^k=o(x^p)$, et une somme finie de $o(x^p)$ est un $o(x^p)$. Pour le second : nous avons vu dans la démonstration précédente que $o(x^n)=o(x^p)$ dès que $p⩽n$.

Finalement $f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^p{a}_k{x}^k+o(x^p)}$, ce qui est le ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_p(0)$ annoncé, et ses coefficients sont bien les $a_k$ par unicité. $\mathrm{\square }$

Parité

Démonstration. Point 1. Partons du développement $f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o(x^n)}$ et remplaçons $x$ par $-x$ :

$$f(-x)=\sum _{k=0}^n{a}_k(-x{)}^k+o((-x{)}^n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right),$$

la dernière égalité utilisant que $\mid (-x{)}^n\mid =\mid x^n\mid$, de sorte que négligeable devant $(-x{)}^n$ et négligeable devant $x^n$, c'est la même chose.

Comme $f$ est paire, $f(-x)=f(x)$ : la fonction $f$ admet donc les deux développements limités à l'ordre $n$

$$\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)\text{et}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)\mathrm{.}$$

Par unicité, $a_k=(-1{)}^k{a}_k$ pour tout $k$. Si $k$ est impair, cela s'écrit $a_k=-a_k$, donc $2a_k=0$, donc $a_k=0$.

Point 2. Même raisonnement avec $f(-x)=-f(x)$ : l'unicité donne $(-1{)}^k{a}_k=-a_k$, et pour $k$ pair on obtient $a_k=-a_k$, donc $a_k=0$. $\mathrm{\square }$

Développements limités d'ordre $0$ et $1$

Démonstration. Point 1. Dire que $f(x)=a_0+o(1)$ au voisinage de $0$, c'est dire que $f(x)-a_0$ tend vers $0$, c'est-à-dire que $f$ tend vers $a_0$ en $0$ : les deux énoncés sont littéralement identiques. La continuité en $0$ s'écrit ensuite ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)$, soit $a_0=f(0)$ par unicité de la limite.

Point 2. Supposons $f$ dérivable en $0$. Par définition, ${\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}\to f^{\mathrm{\prime }}(0)$, donc

$${\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}=f^{\mathrm{\prime }}(0)+\epsilon (x)\text{avec }\epsilon (x)\to 0,\text{d’o}\grave{\text{u}}f(x)=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x+x\epsilon (x),$$

c'est-à-dire $f(x)=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x+o(x)$.

Réciproquement, supposons $f(x)=a_0+a_{1}x+o(x)$. La troncature à l'ordre $0$ donne $f(x)=a_0+o(1)$, donc $a_0=f(0)$ par le point 1 et la continuité supposée de $f$ en $0$. Alors, pour $x\mathrm{\ne }0$,

$${\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}=a_1+{\displaystyle \frac{o(x)}{x}}\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}{a}_1,$$

donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a_1$. $\mathrm{\square }$

Ce qu'un développement limité ne dit pas

La formule de Taylor-Young

Nous savons ce qu'est un développement limité, mais nous n'en connaissons encore qu'un seul, celui de ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$. La formule de Taylor-Young comble ce vide d'un seul coup : elle affirme que toute fonction suffisamment dérivable admet un développement limité, et elle en donne les coefficients.

Énoncé et démonstration

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur $n$. Pour $n\in \mathbb{N}$, notons $\mathcal{P}(n)$ l'assertion : « pour toute fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur un intervalle $I$ et tout $a\in I$, on a $g(a+h)={\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{g^{(k)}(a)}{k!}{h}^k+o(h^n)}$ ».

Initialisation. Pour $n=0$, l'assertion s'écrit $g(a+h)=g(a)+o(1)$, c'est-à-dire $g(a+h)-g(a)\to 0$ quand $h\to 0$ : c'est exactement la continuité de $g$ en $a$, garantie par l'hypothèse $g$ de classe ${\mathcal{C}}^0$.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie et soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur $I$, avec $a\in I$. La fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est alors de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $I$, et l'hypothèse de récurrence appliquée à $f^{\mathrm{\prime }}$ donne, puisque $(f^{\mathrm{\prime }}{)}^{(k)}=f^{(k+1)}$ :

$$f^{\mathrm{\prime }}(a+h)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}}{h}^k+o\left(h^n\right)\mathrm{.}$$

Introduisons la fonction « erreur » que nous voulons contrôler : pour $h$ tel que $a+h\in I$, posons

$$\phi (h)=f(a+h)-\sum _{k=0}^{n+1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}{h}^k\mathrm{.}$$

La fonction $\phi$ est dérivable, $\phi (0)=0$, et en dérivant terme à terme le polynôme (le terme $k$ donne $\frac{f^{(k)}(a)}{(k-1)!}{h}^{k-1}$, car $\frac{k}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}$) :

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(h)=f^{\mathrm{\prime }}(a+h)-\sum _{k=1}^{n+1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{(k-1)!}}{h}^{k-1}=f^{\mathrm{\prime }}(a+h)-\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(j+1)}(a)}{j!}}{h}^j=o\left(h^n\right)$$

d'après le développement de $f^{\mathrm{\prime }}$ écrit plus haut.

Exploitons maintenant cette information à l'aide de l'inégalité des accroissements finis. Soit $\epsilon >0$. Puisque ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(h)=o(h^n)$, il existe $\eta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }t,\mid t\mid ⩽\eta \text{ et }a+t\in I⟹\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\epsilon \mid t{\mid }^n\mathrm{.}$$

Fixons $h$ avec $\mid h\mid ⩽\eta$ et $a+h\in I$. Pour tout $t$ compris entre $0$ et $h$, on a $\mid t\mid ⩽\mid h\mid$, donc $\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\epsilon \mid t{\mid }^n⩽\epsilon \mid h{\mid }^n$. La fonction $\phi$ est dérivable sur le segment d'extrémités $0$ et $h$, de dérivée majorée en valeur absolue par la constante $\epsilon \mid h{\mid }^n$ : l'inégalité des accroissements finis donne

$$\mid \phi (h)-\phi (0)\mid ⩽\epsilon \mid h{\mid }^n\times \mid h-0\mid =\epsilon \mid h{\mid }^{n+1}\mathrm{.}$$

Comme $\phi (0)=0$, cela s'écrit $\mid \phi (h)\mid ⩽\epsilon \mid h{\mid }^{n+1}$ dès que $\mid h\mid ⩽\eta$. Le réel $\epsilon >0$ étant arbitraire, cela signifie exactement $\phi (h)=o\left(h^{n+1}\right)$, c'est-à-dire

$$f(a+h)=\sum _{k=0}^{n+1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}{h}^k+o\left(h^{n+1}\right)\mathrm{.}$$

L'assertion $\mathcal{P}(n+1)$ est démontrée, et la récurrence s'achève. $\mathrm{\square }$

Le tableau des développements limités usuels

Ces développements sont tous obtenus par Taylor-Young — il suffit de calculer les dérivées successives en $0$ — sauf ceux de la seconde table, que l'on obtient par les opérations de la section suivante. Ils sont à connaître par cœur.

Les quatre suivants n'ont pas de terme général simple : on les retient à l'ordre indiqué.

Opérations sur les développements limités

Toute la puissance de calcul du chapitre est ici. Cinq opérations permettent de fabriquer le développement limité de n'importe quelle expression construite à partir des fonctions usuelles, sans jamais calculer une dérivée. Dans toute la section, $f$ et $g$ désignent deux fonctions admettant un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$, de parties régulières respectives $P$ et $Q$ ; on note $T_n(R)$ la troncature à l'ordre $n$ d'un polynôme $R$, c'est-à-dire le polynôme obtenu en ne gardant que les monômes de degré $⩽n$.

Somme et combinaison linéaire

Démonstration. Écrivons $f(x)=P(x)+x^n{\epsilon }_1(x)$ et $g(x)=Q(x)+x^n{\epsilon }_2(x)$ avec ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2\to 0$. Alors

$$\lambda f(x)+\mu g(x)=\lambda P(x)+\mu Q(x)+x^n(\lambda {\epsilon }_1(x)+\mu {\epsilon }_2(x)),$$

et $\lambda {\epsilon }_1+\mu {\epsilon }_2\to 0$. $\mathrm{\square }$

Produit

Démonstration. Écrivons $f=P+x^n{\epsilon }_1$ et $g=Q+x^n{\epsilon }_2$ avec ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2\to 0$. En développant le produit :

$$f(x)g(x)=P(x)Q(x)+x^n(P(x){\epsilon }_2(x)+Q(x){\epsilon }_1(x)+x^n{\epsilon }_1(x){\epsilon }_2(x))\mathrm{.}$$

Le contenu de la grande parenthèse tend vers $0$ quand $x\to 0$ : les polynômes $P$ et $Q$ sont bornés au voisinage de $0$ (ils tendent vers $P(0)$ et $Q(0)$), et chacun des trois termes est le produit d'une quantité bornée par une quantité de limite nulle. Donc le second bloc est un $o(x^n)$.

Il reste à traiter $PQ$. Séparons ce polynôme en sa troncature et son reste : $PQ=T_n(PQ)+R$, où $R$ ne contient que des monômes de degré $⩾n+1$. Chacun de ces monômes est un $o(x^n)$, donc $R(x)=o(x^n)$. Finalement

$$f(x)g(x)=T_n(PQ)(x)+o\left(x^n\right)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Composition

C'est l'opération la plus délicate, à cause d'une hypothèse que l'on oublie une fois sur deux.

Démonstration. Écrivons $f(y)=F(y)+y^n{\epsilon }_1(y)$ avec ${\epsilon }_1(y)\to 0$ quand $y\to 0$, et $u(x)=U(x)+x^n{\epsilon }_2(x)$ avec ${\epsilon }_2(x)\to 0$. Comme $U(0)=0$, le polynôme $U$ n'a pas de terme constant, donc $U(x)=O(x)$ ; il en résulte que $u(x)=O(x)$, et en particulier $u(x{)}^n=O(x^n)$.

Le reste. En substituant, $f(u(x))=F(u(x))+u(x{)}^n{\epsilon }_1(u(x))$. Le second terme est le produit de $u(x{)}^n=O(x^n)$ par ${\epsilon }_1(u(x))$, qui tend vers $0$ par composition des limites (puisque $u(x)\to 0$) : c'est donc un $o(x^n)$.

La partie polynomiale. Il reste à comparer $F(u(x))$ et $F(U(x))$. Posons $A=U(x)$ et $B=x^n{\epsilon }_2(x)$, de sorte que $u(x)=A+B$ avec $A=O(x)$ borné au voisinage de $0$ et $B=o(x^n)$. Pour tout $k$, la factorisation

$$(A+B{)}^k-A^k=B((A+B{)}^{k-1}+(A+B{)}^{k-2}A+\cdots +A^{k-1})$$

montre que $(A+B{)}^k-A^k$ est le produit de $B=o(x^n)$ par une quantité bornée au voisinage de $0$ : c'est un $o(x^n)$. En combinant linéairement sur les monômes de $F$, on obtient $F(u(x))=F(U(x))+o(x^n)$.

Conclusion. Le polynôme $F\circ U$ se sépare en sa troncature et ses monômes de degré $>n$, ces derniers formant un $o(x^n)$. Donc $f(u(x))=T_n(F\circ U)(x)+o(x^n)$. $\mathrm{\square }$

Quotient

Démonstration. Notons $Q$ la partie régulière de $g$ et $b_0=Q(0)=g(0)\mathrm{\ne }0$. Écrivons

$$g(x)=b_0(1+v(x))\text{avec}v(x)={\displaystyle \frac{g(x)-b_0}{b_0}}\mathrm{.}$$

La fonction $v$ admet un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$ (différence puis produit par une constante) et $v(x)\to 0$. On peut donc composer le développement usuel ${\displaystyle \frac{1}{1+y}}=1-y+y^2-\cdots +(-1{)}^n{y}^n+o(y^n)$ avec $v$ : la fonction ${\displaystyle \frac{1}{1+v}}$ admet un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$, donc ${\displaystyle \frac{1}{g}}={\displaystyle \frac{1}{b_0}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+v}}$ aussi. Il ne reste qu'à multiplier par le développement de $f$, ce qui est licite d'après le théorème du produit. $\mathrm{\square }$

Primitivation

Voici l'opération la plus économique du chapitre : elle fait gagner un ordre, alors que toutes les autres en font perdre.

Démonstration. Introduisons la fonction erreur

$$\phi (x)=f(x)-f(0)-\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{a_k}{k+1}}{x}^{k+1},x\in I\mathrm{.}$$

Elle est dérivable sur $I$, vérifie $\phi (0)=0$, et sa dérivée vaut

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=o\left(x^n\right),$$

par hypothèse. Soit alors $\epsilon >0$. Il existe $\eta >0$ tel que $\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\epsilon \mid t{\mid }^n$ pour tout $t\in I$ vérifiant $\mid t\mid ⩽\eta$.

Fixons $x\in I$ avec $\mid x\mid ⩽\eta$. Pour tout $t$ compris entre $0$ et $x$, on a $\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\epsilon \mid t{\mid }^n⩽\epsilon \mid x{\mid }^n$. L'inégalité des accroissements finis appliquée à $\phi$ sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ donne alors

$$\mid \phi (x)\mid =\mid \phi (x)-\phi (0)\mid ⩽\epsilon \mid x{\mid }^n\times \mid x\mid =\epsilon \mid x{\mid }^{n+1}\mathrm{.}$$

Comme $\epsilon$ est arbitraire, $\phi (x)=o\left(x^{n+1}\right)$, ce qui est exactement l'énoncé. $\mathrm{\square }$

Choisir le bon ordre

Applications des développements limités

Lever une forme indéterminée

C'est l'usage le plus courant, et il est mécanique : on développe chaque morceau à un ordre suffisant, on simplifie, on lit la limite.

Tangente et position relative

Le ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_1$ donne la tangente ; les termes suivants disent de quel côté la courbe se trouve. C'est l'application géométrique la plus importante du chapitre.

Démonstration. Point 1. La troncature à l'ordre $1$ donne $f(x)=a_0+a_{1}x+o(x)$, donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f(0)=a_0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a_1$ ; l'équation de la tangente en résulte.

Point 2. Par hypothèse, $f(x)-(a_0+a_{1}x)=a_p{x}^p+o\left(x^p\right)$. Comme $a_p\mathrm{\ne }0$, le terme $a_p{x}^p$ n'est pas nul pour $x\mathrm{\ne }0$ et l'on a bien . Deux fonctions équivalentes ayant le même signe au voisinage du point, la différence a le signe de $a_p{x}^p$ pour $x$ non nul assez proche de $0$.

Points 3 et 4. Si $p$ est pair, $x^p>0$ pour $x\mathrm{\ne }0$, donc $a_p{x}^p$ garde le signe de $a_p$ des deux côtés. Si $p$ est impair, $x^p$ est du signe de $x$, donc $a_p{x}^p$ change de signe en $0$. $\mathrm{\square }$

Extremum local

Démonstration. On a , donc cette différence a le signe de $a_p{x}^p$ pour $x\mathrm{\ne }0$ voisin de $0$.

Si $p$ est pair et $a_p>0$, alors $f(x)-f(0)>0$ pour tout $x\mathrm{\ne }0$ assez proche de $0$ : c'est la définition d'un minimum local strict. Si $a_p<0$, on obtient de même un maximum local strict. Si $p$ est impair, la différence est strictement positive d'un côté et strictement négative de l'autre : $f$ prend des valeurs plus grandes et plus petites que $f(0)$ dans tout voisinage de $0$, donc il n'y a pas d'extremum. $\mathrm{\square }$

Branches infinies et asymptotes

Un développement limité se fait en un point ; pour étudier une courbe à l'infini, on commence donc par ramener l'infini en $0$.

La figure ci-dessous illustre la situation sur un exemple plus simple, celui de $g(x)=x+1+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, dont le développement asymptotique est immédiat : la droite $y=x+1$ est asymptote en $+\mathrm{\infty }$, et la courbe reste au-dessus puisque $g(x)-(x+1)={\displaystyle \frac{1}{x}}>0$.

Développements asymptotiques

Un équivalent donne un terme, un développement limité en donne $n$ mais seulement au voisinage d'un point et seulement en puissances de $x$. Il arrive qu'on ait besoin de plus de souplesse : décrire une suite avec des termes en ${\displaystyle \frac{\ln n}{n}}$, une intégrale avec des termes en ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$, une racine d'équation avec des termes de nature variée. C'est l'objet des développements asymptotiques.

Définition

Développement asymptotique d'une suite

Suites définies implicitement

Une suite peut être définie non par une formule, mais comme la solution d'une équation dépendant de $n$. Le plan d'étude est toujours le même.

Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$

Lorsqu'une suite récurrente converge vers un point fixe $\mathrm{\ell }$, la question naturelle est la vitesse de convergence. Dans le cas — fréquent — où $f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{\ell })=1$, la convergence est lente et le comportement s'obtient par une méthode standard : passer à ${\displaystyle \frac{1}{u_n^{\alpha }}}$ pour transformer la récurrence en une suite dont les écarts successifs convergent.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Par hypothèse, il existe un rang $N$ tel que

$$\mathrm{\forall }k⩾N,\mid v_{k+1}-v_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}$$

Soit $n>N$. La somme télescopique ${\displaystyle v_n-v_N=\sum _{k=N}^{n-1}(v_{k+1}-v_k)}$ donne, en retranchant $(n-N)\mathrm{\ell }$ et en appliquant l'inégalité triangulaire :

$$\mid v_n-v_N-(n-N)\mathrm{\ell }\mid =\mid \sum _{k=N}^{n-1}(v_{k+1}-v_k-\mathrm{\ell })\mid ⩽\sum _{k=N}^{n-1}\mid v_{k+1}-v_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽(n-N){\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}⩽n{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}$$

Écrivons alors $v_n-n\mathrm{\ell }=(v_N-N\mathrm{\ell })+(v_n-v_N-(n-N)\mathrm{\ell })$, d'où

$$\mid {\displaystyle \frac{v_n}{n}}-\mathrm{\ell }\mid ={\displaystyle \frac{\mid v_n-n\mathrm{\ell }\mid }{n}}⩽{\displaystyle \frac{\mid v_N-N\mathrm{\ell }\mid }{n}}+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}$$

Le premier terme du membre de droite tend vers $0$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$, le rang $N$ étant désormais fixé : il existe donc $N^{\mathrm{\prime }}$ tel que ce terme soit inférieur à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N^{\mathrm{\prime }}$. Finalement, pour $n⩾\max (N,N^{\mathrm{\prime }})$,

$$\mid {\displaystyle \frac{v_n}{n}}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

C'est la définition de ${\displaystyle \frac{v_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Comparaison d'une somme et d'une intégrale

Comment estimer une somme comme $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$, dont on ne connaît aucune expression close ? L'idée est géométrique : une somme de valeurs $f(k)$ est une somme d'aires de rectangles de largeur $1$, et si $f$ est monotone ces rectangles encadrent l'aire sous la courbe, c'est-à-dire une intégrale — que l'on sait calculer.

Démonstration. Soit $k$ un entier avec $p⩽k⩽q-1$. Pour tout $t\in [k,k+1]$, la décroissance de $f$ donne

$$f(k+1)⩽f(t)⩽f(k)\mathrm{.}$$

Ces trois fonctions étant continues sur le segment $[k,k+1]$, la croissance de l'intégrale permet d'intégrer cet encadrement sur $[k,k+1]$ :

$${\int }_k^{k+1}f(k+1)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(k)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Les deux intégrales extrêmes portent sur des constantes et le segment est de longueur $1$ : elles valent respectivement $f(k+1)$ et $f(k)$. D'où le premier encadrement.

Sommons-le maintenant pour $k$ variant de $p$ à $q-1$. La relation de Chasles donne ${\displaystyle \sum _{k=p}^{q-1}{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t={\int }_p^{q}f(t)\mathrm{d}t}$, tandis que le membre de gauche donne ${\displaystyle \sum _{k=p}^{q-1}f(k+1)=\sum _{k=p+1}^{q}f(k)}$ après changement d'indice, et le membre de droite ${\displaystyle \sum _{k=p}^{q-1}f(k)}$. Le cas croissant se traite en appliquant ce qui précède à $-f$. $\mathrm{\square }$

Comportement asymptotique d'une intégrale dépendant de $n$

Dernière famille de problèmes : une suite définie par une intégrale, $I_n={\displaystyle {\int }_a^b{g}_n(t)\mathrm{d}t}$, dont on cherche la limite puis un équivalent.

Méthodes du chapitre

Les exercices d'analyse asymptotique se ramènent à huit questions types. Chacune se traite par un algorithme fixe : la difficulté n'est jamais dans l'idée, elle est dans le choix de l'ordre et dans la rigueur de la rédaction. Une règle vaut pour toutes : ne jamais écrire un $o$ sans savoir de quelle variable et de quel point il parle.

Pour finir, les cinq réflexes à avoir en tête quand un exercice de ce chapitre résiste.

1. Toujours dire en quel point on travaille. « $f=o(g)$ » sans point n'est pas une phrase mathématique.
2. Devant une différence, oublier les équivalents. Deux termes équivalents qui se soustraient annulent toute l'information : il faut un développement limité.
3. Ne jamais composer un équivalent à gauche par $\exp$, $\ln$, ou une puissance à exposant variable. La composition à droite, elle, est toujours licite.
4. Quand il ne reste qu'un $o$, remonter d'un ordre. Un calcul qui ne donne rien n'est pas un calcul faux, c'est un calcul trop court.
5. Contrôler par la parité et par les ordres de grandeur. Un terme en $x^2$ dans une fonction impaire, un reste plus gros que le terme précédent, un équivalent nul : ce sont des erreurs, pas des surprises.