Intégration sur un intervalle quelconque

En première année, l'intégrale portait toujours sur un segment $[a,b]$, et la fonction intégrée était continue par morceaux sur ce segment. Ces deux hypothèses n'étaient pas décoratives : elles garantissaient que la fonction était bornée, que le domaine était de longueur finie, et donc que l'aire sous la courbe était un nombre réel parfaitement défini. Toute la théorie de MPSI, sommes de Darboux comprises, reposait sur cette double finitude.

Or les intégrales qui apparaissent en deuxième année, en probabilités, en physique, en analyse de Fourier ou dans les fonctions spéciales, ne rentrent presque jamais dans ce cadre. On veut donner un sens à ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$, dont le domaine n'est pas borné ; à ${\int }_0^1\ln t\mathrm{d}t$, dont la fonction n'est pas bornée au voisinage de $0$ ; à ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$, qui cumule les deux difficultés. Ce chapitre construit exactement cela : une intégrale sur un intervalle quelconque, borné ou non, ouvert ou non.

Le procédé est d'une simplicité désarmante et tient en une phrase : on intègre sur un segment, puis on fait tendre le segment vers l'intervalle et on regarde si l'on obtient une limite finie. Autrement dit, l'objet nouveau se définit comme une limite d'objets anciens, et rien de ce que vous savez sur les intégrales de segment n'est perdu. La contrepartie est qu'une intégrale généralisée peut ne pas exister : la première question posée par tout exercice de ce chapitre n'est plus « combien vaut cette intégrale ? » mais « cette intégrale converge-t-elle ? ». Le vocabulaire, les critères de comparaison, les intégrales de référence : tout ce début de chapitre est le décalque exact de ce que vous avez fait sur les séries numériques, et cette analogie est votre meilleure alliée.

Une distinction s'installe alors, qui n'existait pas en première année et que les correcteurs de concours traquent sans pitié : convergence de l'intégrale et intégrabilité de la fonction sont deux notions différentes. La seconde est plus forte : elle demande la convergence de ${\int }_I\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, pas seulement celle de ${\int }_{I}f$. Sur un segment, les deux coïncident ; sur un intervalle quelconque, non, et l'exemple $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ est là pour le rappeler à chaque colle. Toute la théorie sérieuse, à partir de la moitié du chapitre, ne parle plus que de fonctions intégrables : c'est la bonne classe, celle qui forme un espace vectoriel, celle sur laquelle les grands théorèmes s'énoncent.

Ces grands théorèmes, justement, sont trois, et ils constituent le cœur du programme de MP. Le théorème de convergence dominée permet d'échanger une limite et une intégrale ; le théorème d'intégration terme à terme permet d'échanger une somme de série et une intégrale ; les théorèmes de régularité des intégrales à paramètre permettent d'échanger une dérivation et une intégrale. Les trois reposent sur la même idée, la domination : on majore toutes les fonctions en jeu, uniformément, par une seule fonction intégrable indépendante du paramètre. Retenez ce mot, il structure la seconde moitié du chapitre. Les deux premiers théorèmes sont admis (leur démonstration relève de la théorie de la mesure, hors programme) ; le troisième, lui, se démontre entièrement à partir du premier, et cette démonstration est exigible.

Les notations suivantes valent partout. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; la lettre $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, souvent écrit $]a,b[$ avec $-\mathrm{\infty }⩽a<b⩽+\mathrm{\infty }$. L'ensemble des fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb{K}$ est noté ${\mathcal{C}}_{\mathrm{p}\mathrm{m}}^0(I,\mathbb{K})$, celui des fonctions intégrables $L^1(I,\mathbb{K})$. On écrit systématiquement ${\mathrm{e}}^x$ pour l'exponentielle, $\mathrm{i}$ pour l'unité imaginaire et $\mathrm{d}t$ pour l'élément différentiel. La phrase « l'intégrale ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ converge » et la phrase « $f$ est intégrable sur $I$ » ne sont jamais employées l'une pour l'autre. La fonction dominante d'un théorème de domination s'appelle toujours $\phi$. Enfin, $\mathrm{\Gamma }$ désigne la fonction d'Euler $\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$, étudiée en fin de chapitre.

Cadre : fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque

Ce que l'on sait déjà : l'intégrale sur un segment

Ces sept énoncés sont le socle. Tout ce que nous allons construire s'obtiendra en les appliquant sur un segment, puis en passant à la limite. Aucun d'eux ne sera redémontré.

Continuité par morceaux sur un intervalle quelconque

Démonstration. Chacune de ces affirmations est vraie sur un segment, par les théorèmes de première année. Or être continue par morceaux sur $I$, c'est l'être sur chaque segment de $I$. Soit donc $[\alpha ,\beta ]\subset I$ un segment : les restrictions de $f$ et de $g$ à $[\alpha ,\beta ]$ sont continues par morceaux, donc $\lambda f+\mu g$, $fg$, $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, $\mathrm{R}\mathrm{e}(f)$, $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$, $\max (f,g)$ et $\min (f,g)$ le sont également sur $[\alpha ,\beta ]$. Le segment étant quelconque, la conclusion vaut sur $I$. Enfin, la fonction nulle appartient à ${\mathcal{C}}_{\mathrm{p}\mathrm{m}}^0(I,\mathbb{K})$, qui est donc un sous-espace vectoriel de l'espace de toutes les fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. $\mathrm{\square }$

Pourquoi l'intégrale sur un segment ne suffit plus

Soit $f\in {\mathcal{C}}_{\mathrm{p}\mathrm{m}}^0(I,\mathbb{K})$. Si $I$ est un segment, ${\int }_{I}f$ est déjà définie et il n'y a rien à faire. Dans tous les autres cas, deux obstructions, et exactement deux, empêchent d'appliquer directement la théorie de première année.

Première obstruction : l'intervalle n'est pas borné. Sur $I=[1,+\mathrm{\infty }[$, la fonction $f(t)=\frac{1}{t^2}$ est parfaitement continue et bornée, mais $I$ n'est pas un segment : la « somme de Riemann » sur $I$ n'a aucun sens en première année. L'aire sous la courbe est pourtant intuitivement finie, et l'on voudrait pouvoir l'écrire ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}$.

Seconde obstruction : la fonction n'est pas bornée au voisinage d'une borne finie. Sur $I=]0,1]$, la fonction $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$ est continue, l'intervalle est borné, mais $f$ n'est pas prolongeable en une fonction continue par morceaux sur $[0,1]$, car $f(t)\to +\mathrm{\infty }$ quand $t\to 0^{+}$. Une fonction continue par morceaux sur un segment est toujours bornée : $f$ n'entre donc pas dans le cadre de première année.

Intégrales généralisées

Définition sur un intervalle semi-ouvert

Démonstration. Notons $\mathrm{\ell }={\lim }_{t\to b^{-}}f(t)$ et $\tilde{f}$ le prolongement de $f$ à $[a,b]$ défini par $\tilde{f}(b)=\mathrm{\ell }$. La fonction $\tilde{f}$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ : sur tout segment $[a,x]$ avec $x<b$ elle l'est par hypothèse, et elle admet une limite finie en $b^{-}$, ce qui achève de vérifier la définition de première année. Pour $x\in [a,b[$, on a ${\int }_a^{x}f={\int }_a^x\tilde{f}$, et la fonction $x\mapsto {\int }_a^x\tilde{f}$ est continue sur $[a,b]$ (elle est même lipschitzienne, de rapport ${\sup }_{[a,b]}\mathrm{\mid }\tilde{f}\mathrm{\mid }$, qui est fini). Donc ${\int }_a^{x}f\to {\int }_a^b\tilde{f}$ quand $x\to b^{-}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. C'est le théorème fondamental de première année, appliqué sur chaque segment de $I$ contenant $a$ et $x_0$ : les deux propriétés énoncées (continuité de $F$, dérivabilité aux points de continuité de $f$) sont locales, donc se lisent sur un segment. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Pour $x\in [a,b[$, le théorème fondamental donne ${\int }_a^{x}f=F(x)-F(a)$. La fonction $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ admet donc une limite finie en $b^{-}$ si et seulement si $F$ en admet une, et les deux limites diffèrent de la constante $F(a)$. $\mathrm{\square }$

Intégrale sur un intervalle ouvert

Démonstration. Soient $c,c^{\mathrm{\prime }}\in ]a,b[$ ; quitte à échanger leurs rôles, supposons $c⩽c^{\mathrm{\prime }}$. Le segment $[c,c^{\mathrm{\prime }}]$ est inclus dans $]a,b[$, donc $K={\int }_c^{c^{\mathrm{\prime }}}f(t)\mathrm{d}t$ est un nombre bien défini.

Convergence en $a$. Pour tout $x\in ]a,c[$, la relation de Chasles sur le segment $[x,c^{\mathrm{\prime }}]$ donne

$${\int }_x^{c^{\mathrm{\prime }}}f(t)\mathrm{d}t={\int }_x^{c}f(t)\mathrm{d}t+K\mathrm{.}$$

Le nombre $K$ ne dépend pas de $x$ : la fonction $x\mapsto {\int }_x^{c^{\mathrm{\prime }}}f$ admet donc une limite finie en $a^{+}$ si et seulement si $x\mapsto {\int }_x^{c}f$ en admet une, et dans ce cas les deux limites diffèrent de $K$. Ainsi ${\int }_a^{c^{\mathrm{\prime }}}f$ et ${\int }_a^{c}f$ sont de même nature, et en cas de convergence

$${\int }_a^{c^{\mathrm{\prime }}}f={\int }_a^{c}f+K\mathrm{.}$$

Convergence en $b$. De même, pour $y\in ]c^{\mathrm{\prime }},b[$, Chasles donne ${\int }_c^{y}f=K+{\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{y}f$, donc ${\int }_c^{b}f$ et ${\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f$ sont de même nature, et en cas de convergence

$${\int }_c^{b}f=K+{\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f\mathrm{.}$$

Conclusion. Les deux intégrales relatives à $c$ convergent si et seulement si les deux intégrales relatives à $c^{\mathrm{\prime }}$ convergent, et alors

$${\int }_a^{c^{\mathrm{\prime }}}f+{\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f=({\int }_a^{c}f+K)+({\int }_c^{b}f-K)={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f\mathrm{.}$$

La valeur ne dépend donc pas de $c$. $\mathrm{\square }$

Cas d'une fonction positive : la notation $+\mathrm{\infty }$

Démonstration. Pour $a⩽x⩽y<b$, on a $F(y)-F(x)={\int }_x^{y}f⩾0$ par positivité de l'intégrale sur le segment $[x,y]$ : $F$ est croissante. Le théorème de la limite monotone conclut ; sa démonstration est rappelée dans la section consacrée au critère de majoration. $\mathrm{\square }$

Les intégrales de référence

Tout ce chapitre repose sur une poignée d'intégrales dont la nature doit être connue instantanément. Elles se démontrent toutes par le critère des primitives.

Démonstration. La fonction $t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ ; seule la borne $+\mathrm{\infty }$ pose problème. Soit $x>1$.

Cas $\alpha \mathrm{\ne }1$. Une primitive de $t\mapsto t^{-\alpha }$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$, donc

$${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}={\left[\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]}_1^x=\frac{x^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$ et $x^{1-\alpha }\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale converge et vaut ${\displaystyle \frac{-1}{1-\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}$. Si $\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ et $x^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale diverge.

Cas $\alpha =1$. On a ${\displaystyle {\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }}$ : l'intégrale diverge. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue sur $]0,1]$ ; seule la borne $0$ pose problème (et si $\alpha ⩽0$, la fonction se prolonge par continuité en $0$, donc l'intégrale converge trivialement — ce que le calcul va confirmer). Soit $x\in ]0,1[$.

Cas $\alpha \mathrm{\ne }1$. Comme ci-dessus,

$${\int }_x^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}={\left[\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]}_x^1=\frac{1-x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Si $\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ et $x^{1-\alpha }\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ : l'intégrale converge et vaut ${\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}$. Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$ et $x^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale diverge.

Cas $\alpha =1$. On a ${\displaystyle {\int }_x^1\frac{\mathrm{d}t}{t}=-\ln x\underset{x\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }}$ : l'intégrale diverge. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $x\mapsto (x-a{)}^{-\alpha }$ est continue sur $]a,b]$ ; le problème est en $a$. Pour $\epsilon \in ]0,b-a[$, le changement de variable affine $u=x-a$ sur le segment $[a+\epsilon ,b]$ (licite : il s'agit du changement de variable de première année, avec $u$ de classe ${\mathcal{C}}^1$) donne

$${\int }_{a+\epsilon }^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^{\alpha }}={\int }_{\epsilon }^{b-a}\frac{\mathrm{d}u}{u^{\alpha }}\mathrm{.}$$

Quand $\epsilon \to 0^{+}$, le membre de droite converge si et seulement si $\alpha <1$, d'après l'étude précédente menée sur $]0,b-a]$, et sa limite vaut alors ${\displaystyle \frac{(b-a{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$.

Pour la seconde intégrale, le changement de variable affine $u=a+b-x$ échange les deux bornes et transforme $(b-x{)}^{-\alpha }$ en $(u-a{)}^{-\alpha }$ : on est ramené au cas précédent. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-at}$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

Cas $a\mathrm{\ne }0$. Pour $x>0$,

$${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-at}\mathrm{d}t={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{-at}}{-a}\right]}_0^x=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-ax}}{a}\mathrm{.}$$

Si $a>0$, alors $-ax\to -\mathrm{\infty }$, donc ${\mathrm{e}}^{-ax}\to 0$ et l'intégrale converge, de valeur ${\displaystyle \frac{1}{a}}$. Si $a<0$, alors $-ax\to +\mathrm{\infty }$, donc ${\mathrm{e}}^{-ax}\to +\mathrm{\infty }$ ; le numérateur tend vers $-\mathrm{\infty }$ et le dénominateur est un réel strictement négatif fixe, donc le quotient tend vers $+\mathrm{\infty }$ : l'intégrale diverge.

Cas $a=0$. On a ${\int }_0^{x}1\mathrm{d}t=x\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale diverge. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $\ln$ est continue sur $]0,1]$ et tend vers $-\mathrm{\infty }$ en $0^{+}$ : la borne $0$ est un vrai problème. Une primitive de $\ln$ sur $]0,1]$ est $t\mapsto t\ln t-t$, car $(t\ln t-t{)}^{\mathrm{\prime }}=\ln t+t\cdot \frac{1}{t}-1=\ln t$. Donc, pour $x\in ]0,1[$,

$${\int }_x^1\ln t\mathrm{d}t=[t\ln t-t{]}_x^1=(0-1)-(x\ln x-x)=-1-x\ln x+x\mathrm{.}$$

Par croissances comparées, $x\ln x\to 0$ quand $x\to 0^{+}$, et $x\to 0$. La limite existe donc et vaut $-1$. $\mathrm{\square }$

Quatre natures à lire instantanément, sans le moindre calcul.

Les cas b et c portent sur la même fonction : seule la borne étudiée change, et la nature bascule. C'est tout le message du tableau ci-dessus.

Propriétés et calcul des intégrales généralisées

Dans toute cette section, $I=]a,b[$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ avec $-\mathrm{\infty }⩽a<b⩽+\mathrm{\infty }$. Tous les énoncés valent aussi bien sur $[a,b[$ ou $]a,b]$ : il suffit d'oublier la borne qui ne pose pas de problème.

Linéarité

Démonstration. Fixons $c\in ]a,b[$. Pour $x\in [c,b[$, la linéarité de l'intégrale sur le segment $[c,x]$ donne

$${\int }_c^x(\lambda f+\mu g)=\lambda {\int }_c^{x}f+\mu {\int }_c^{x}g\mathrm{.}$$

Quand $x\to b^{-}$, les deux intégrales du membre de droite admettent des limites finies par hypothèse ; par opérations sur les limites, le membre de gauche admet donc une limite finie, égale à $\lambda {\int }_c^{b}f+\mu {\int }_c^{b}g$. L'intégrale ${\int }_c^b(\lambda f+\mu g)$ converge donc, avec la valeur annoncée. Le même raisonnement en $a$, puis la relation de Chasles de la définition, donnent le résultat sur $]a,b[$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par l'absurde. Si ${\int }_a^b(f+g)$ convergeait, alors, ${\int }_a^{b}f$ convergeant aussi, la linéarité appliquée à $g=(f+g)+(-1)\cdot f$ donnerait la convergence de ${\int }_a^{b}g$, ce qui contredit l'hypothèse. $\mathrm{\square }$

Chasles, positivité, croissance

Démonstration. C'est exactement la définition de la convergence sur un intervalle ouvert, jointe à l'indépendance du découpage démontrée plus haut. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Fixons $c\in ]a,b[$ et soient $y\in ]a,c]$ et $x\in [c,b[$. Sur le segment $[y,x]$, la positivité de l'intégrale de première année donne ${\int }_y^{x}f⩾0$. En faisant tendre $y$ vers $a^{+}$ puis $x$ vers $b^{-}$, et en utilisant le passage à la limite dans les inégalités larges, on obtient ${\int }_a^{b}f⩾0$. Le point 2 s'en déduit en appliquant le point 1 à $g-f$, dont l'intégrale converge par linéarité et vaut ${\int }_a^{b}g-{\int }_a^{b}f$. $\mathrm{\square }$

Fonctions à valeurs complexes

Démonstration. Sur un segment $[y,x]\subset ]a,b[$, la linéarité donne ${\int }_y^{x}f={\int }_y^x\mathrm{R}\mathrm{e}(f)+\mathrm{i}{\int }_y^x\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$, les deux intégrales du membre de droite étant réelles. Or une fonction à valeurs complexes admet une limite finie en un point si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire en admettent une, et la limite est alors la somme correspondante. On applique ce résultat en $b^{-}$ puis en $a^{+}$. La dernière égalité s'obtient en changeant $\mathrm{i}$ en $-\mathrm{i}$. $\mathrm{\square }$

Intégration par parties

Démonstration. Fixons $c\in ]a,b[$ et traitons d'abord la borne $b$. Pour $x\in [c,b[$, les fonctions $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[c,x]$ : l'intégration par parties de première année s'y applique et donne

$${\int }_c^x{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)\mathrm{d}t=u(x)v(x)-u(c)v(c)-{\int }_c^{x}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}(\star )$$

Cette identité relie trois quantités dépendant de $x$ : $A(x)={\int }_c^x{u}^{\mathrm{\prime }}v$, $B(x)=u(x)v(x)$ et $C(x)={\int }_c^{x}u{v}^{\mathrm{\prime }}$, par la relation $A(x)=B(x)-u(c)v(c)-C(x)$. Si deux d'entre elles admettent une limite finie en $b^{-}$, la troisième aussi, puisqu'elle s'exprime comme somme des deux autres et d'une constante. On raisonne de même en $a$, avec $y\in ]a,c]$ et l'identité

$${\int }_y^c{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)\mathrm{d}t=u(c)v(c)-u(y)v(y)-{\int }_y^{c}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Supposons maintenant que deux des trois objets de l'énoncé existent. Chacun d'eux est la conjonction d'une condition en $a$ et d'une condition en $b$ ; par ce qui précède, la troisième condition est satisfaite en $a$ comme en $b$, donc le troisième objet existe. Il ne reste qu'à passer à la limite dans $(\star )$ quand $x\to b^{-}$, puis dans la seconde identité quand $y\to a^{+}$, et à sommer les deux résultats :

$${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}v=(\underset{t\to b^{-}}{\lim }u(t)v(t)-\underset{t\to a^{+}}{\lim }u(t)v(t))-{\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }},$$

les termes $u(c)v(c)$ se simplifiant. $\mathrm{\square }$

Changement de variable

Démonstration. Supposons d'abord $\phi$ strictement croissante. C'est une bijection continue strictement croissante de $]\alpha ,\beta [$ sur $]a,b[$, donc

$$\underset{u\to {\alpha }^{+}}{\lim }\phi (u)=a,\underset{u\to {\beta }^{-}}{\lim }\phi (u)=b,$$

et sa réciproque ${\phi }^{-1}:]a,b[\to ]\alpha ,\beta [$ est continue, strictement croissante, avec ${\phi }^{-1}(x)\to \beta$ quand $x\to b^{-}$ et ${\phi }^{-1}(x)\to \alpha$ quand $x\to a^{+}$.

Fixons $u_0\in ]\alpha ,\beta [$ et posons $t_0=\phi (u_0)$. Pour $u\in ]\alpha ,\beta [$, la fonction $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment d'extrémités $u_0$ et $u$, à valeurs dans $]a,b[$ où $f$ est continue : le théorème de changement de variable de première année s'applique sur ce segment et donne

$${\int }_{u_0}^{u}f(\phi (s)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(s)\mathrm{d}s={\int }_{t_0}^{\phi (u)}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Notons $G(u)$ le membre de gauche et $F(x)={\int }_{t_0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ pour $x\in ]a,b[$ : l'identité s'écrit $G=F\circ \phi$.

Sens direct. Si $F$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $b^{-}$, alors, comme $\phi (u)\to b$ avec $\phi (u)<b$ quand $u\to {\beta }^{-}$, la composition des limites donne $G(u)=F(\phi (u))\to \mathrm{\ell }$.

Sens réciproque. Si $G$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ en ${\beta }^{-}$, on écrit $F=G\circ {\phi }^{-1}$ : comme ${\phi }^{-1}(x)\to \beta$ avec ${\phi }^{-1}(x)<\beta$ quand $x\to b^{-}$, la composition des limites donne $F(x)\to \mathrm{\ell }$.

Les deux intégrales sont donc de même nature en la borne $b$, avec la même valeur. Le raisonnement est identique en $\alpha$ et $a$, et la relation de Chasles permet de recoller les deux moitiés. Enfin $\mathrm{\mid }{\phi }^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }={\phi }^{\mathrm{\prime }}$ puisque $\phi$ est croissante, ce qui est bien la formule annoncée.

Supposons maintenant $\phi$ strictement décroissante. Alors $\phi (u)\to b$ quand $u\to {\alpha }^{+}$ et $\phi (u)\to a$ quand $u\to {\beta }^{-}$, et $\mathrm{\mid }{\phi }^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=-{\phi }^{\mathrm{\prime }}$. L'identité sur les segments devient, pour $u>u_0$,

$${\int }_{u_0}^{u}f(\phi (s))\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(s)\mid \mathrm{d}s=-{\int }_{t_0}^{\phi (u)}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{\phi (u)}^{t_0}f(t)\mathrm{d}t,$$

et $\phi (u)\to a^{+}$ quand $u\to {\beta }^{-}$ : on conclut exactement comme ci-dessus, les deux bornes s'échangeant. $\mathrm{\square }$

Critère de majoration et fonctions positives

Le calcul explicite d'une primitive est un luxe rare. Dès que la fonction résiste, on renonce à calculer et l'on se contente de comparer. Toute la théorie de la comparaison repose sur un unique théorème, valable pour les fonctions positives seulement.

Le critère de majoration

Démonstration. Posons $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ pour $x\in [a,b[$. Pour $a⩽x⩽y<b$, la relation de Chasles et la positivité de l'intégrale sur le segment $[x,y]$ donnent

$$F(y)-F(x)={\int }_x^{y}f(t)\mathrm{d}t⩾0,$$

donc $F$ est croissante sur $[a,b[$. Il suffit maintenant de démontrer le théorème de la limite monotone, que nous rédigeons pour être complets.

Cas où $F$ est majorée. L'ensemble $\{F(x);x\in [a,b[\}$ est une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ : elle admet donc une borne supérieure $L\in \mathbb{R}$. Soit $\epsilon >0$. Par caractérisation de la borne supérieure, $L-\epsilon$ ne majore pas cet ensemble : il existe $x_0\in [a,b[$ tel que $F(x_0)>L-\epsilon$. Par croissance de $F$, pour tout $x\in [x_0,b[$,

$$L-\epsilon <F(x_0)⩽F(x)⩽L,$$

donc $\mathrm{\mid }F(x)-L\mathrm{\mid }<\epsilon$. Cela vaut pour tout $\epsilon >0$ : $F(x)\to L$ quand $x\to b^{-}$, et l'intégrale converge, de valeur $L=\sup F$.

Cas où $F$ n'est pas majorée. Soit $M\in \mathbb{R}$. Comme $M$ ne majore pas $F$, il existe $x_0\in [a,b[$ tel que $F(x_0)>M$, donc, par croissance, $F(x)>M$ pour tout $x\in [x_0,b[$. Cela vaut pour tout $M$ : $F(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to b^{-}$, et l'intégrale diverge. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Supposons ${\int }_a^{b}g$ convergente et notons $J$ sa valeur. Pour tout $x\in [a,b[$, la croissance de l'intégrale sur le segment $[a,x]$ donne

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t⩽{\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t⩽J,$$

la seconde inégalité venant de ce que $x\mapsto {\int }_a^{x}g$ est croissante (car $g⩾0$) et converge vers $J$, donc est majorée par $J$. La fonction $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ est donc majorée par $J$ : par le critère de majoration, ${\int }_a^{b}f$ converge, et sa valeur, qui est le sup des ${\int }_a^{x}f$, est inférieure ou égale à $J$.

Le point 2 est la contraposée du point 1. $\mathrm{\square }$

Deux réflexes sur les fonctions positives

Démonstration. Traitons le cas $\mathrm{\ell }>0$ (les autres s'y ramènent en changeant $f$ en $-f$, ou sont plus simples encore). Par définition de la limite appliquée avec $\epsilon =\frac{\mathrm{\ell }}{2}>0$, il existe $A⩾a$ tel que $f(t)⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2}$ pour tout $t⩾A$. Alors, pour $x⩾A$,

$${\int }_A^{x}f(t)\mathrm{d}t⩾{\int }_A^x\frac{\mathrm{\ell }}{2}\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{\ell }}{2}(x-A)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Donc ${\int }_A^{+\mathrm{\infty }}f$ diverge, et ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$ aussi, puisque les deux ont même nature. $\mathrm{\square }$

Fonctions intégrables

Définition et vocabulaire

Démonstration. Quitte à découper $I$ en deux à l'aide de la relation de Chasles, il suffit de traiter le cas $I=[a,b[$.

Cas réel. Introduisons les parties positive et négative de $f$ :

$$f^{+}=\max (f,0)=\frac{\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+f}{2},f^{-}=\max (-f,0)=\frac{\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }-f}{2}\mathrm{.}$$

Ces deux fonctions sont continues par morceaux sur $[a,b[$ (combinaisons linéaires de $f$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ qui le sont), positives, et vérifient

$$f=f^{+}-f^{-},\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }=f^{+}+f^{-},0⩽f^{+}⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid },0⩽f^{-}⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Comme ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ converge par hypothèse, le théorème de comparaison appliqué aux encadrements $0⩽f^{\pm }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ montre que ${\int }_a^b{f}^{+}$ et ${\int }_a^b{f}^{-}$ convergent. Par linéarité, ${\int }_a^{b}f={\int }_a^b{f}^{+}-{\int }_a^b{f}^{-}$ converge.

Variante. On peut aussi remarquer que $0⩽f+\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽2\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, ce qui donne la convergence de ${\int }_a^b(f+\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid })$ par comparaison, puis celle de ${\int }_a^{b}f={\int }_a^b(f+\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid })-{\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ par linéarité.

Cas complexe. Supposons $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Les inégalités $\mathrm{\mid }\mathrm{R}\mathrm{e}(f)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }\mathrm{I}\mathrm{m}(f)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et le théorème de comparaison montrent que les fonctions réelles $\mathrm{R}\mathrm{e}(f)$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ sont intégrables sur $[a,b[$. Par le cas réel, ${\int }_a^b\mathrm{R}\mathrm{e}(f)$ et ${\int }_a^b\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ convergent, donc ${\int }_a^{b}f$ converge, avec ${\int }_a^{b}f={\int }_a^b\mathrm{R}\mathrm{e}(f)+\mathrm{i}{\int }_a^b\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Si $f⩾0$, alors $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }=f$ et les deux énoncés sont littéralement identiques. Si $f⩽0$, alors $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }=-f$ et l'on conclut par linéarité. $\mathrm{\square }$

Le contre-exemple fondamental : la fonction sinus cardinal

L'espace $L^1(I,\mathbb{K})$

Démonstration. La fonction nulle est intégrable, donc $L^1(I,\mathbb{K})$ est non vide. Soient $f,g\in L^1(I,\mathbb{K})$ et $\lambda \in \mathbb{K}$. La fonction $f+\lambda g$ est continue par morceaux sur $I$, et pour tout $t\in I$,

$$0⩽\mid f(t)+\lambda g(t)\mid ⩽\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Le membre de droite est une fonction positive continue par morceaux dont l'intégrale converge, par linéarité appliquée à ${\int }_I\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et ${\int }_I\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$. Par le théorème de comparaison, ${\int }_I\mathrm{\mid }f+\lambda g\mathrm{\mid }$ converge : $f+\lambda g\in L^1(I,\mathbb{K})$. Donc $L^1(I,\mathbb{K})$ est un sous-espace vectoriel.

Pour le point 2 : toute fonction de $L^1(I,\mathbb{K})$ a une intégrale convergente, et la linéarité des intégrales convergentes a déjà été établie. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Cas réel. Les trois fonctions $-\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, $f$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ sont continues par morceaux sur $I$, d'intégrales convergentes, et vérifient $-\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽f⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$. Par croissance de l'intégrale,

$$-{\int }_I\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽{\int }_{I}f⩽{\int }_I\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid },$$

ce qui est exactement l'inégalité annoncée.

Cas complexe. Notons $J={\int }_{I}f(t)\mathrm{d}t\in \mathbb{C}$. Si $J=0$, l'inégalité est évidente puisque le membre de droite est positif. Supposons $J\mathrm{\ne }0$ et écrivons $J$ sous forme trigonométrique : $J=\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ avec $\theta \in \mathbb{R}$. Alors, par linéarité,

$$\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }J={\int }_I{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le membre de gauche est un réel : le membre de droite est donc égal à sa propre partie réelle, ce qui donne

$$\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }=\mathrm{R}\mathrm{e}({\int }_I{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }f(t)\mathrm{d}t)={\int }_I\mathrm{R}\mathrm{e}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }f(t))\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Or, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)⩽\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ ; donc, pour tout $t\in I$,

$$\mathrm{R}\mathrm{e}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }f(t))⩽\mid {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }f(t)\mid =\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les deux membres sont des fonctions continues par morceaux d'intégrale convergente sur $I$ : la croissance de l'intégrale donne $\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }⩽{\int }_I\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $t_0\in I$ tel que $f(t_0)>0$.

La fonction $f$ est continue en $t_0$. Appliquons la définition de la continuité avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{f(t_0)}{2}}>0$ : il existe $\eta >0$ tel que, pour tout $t\in I$ vérifiant $\mathrm{\mid }t-t_0\mathrm{\mid }⩽\eta$,

$$\mathrm{\mid }f(t)-f(t_0)\mathrm{\mid }⩽\frac{f(t_0)}{2},\text{donc}f(t)⩾f(t_0)-\frac{f(t_0)}{2}=\frac{f(t_0)}{2}\mathrm{.}$$

Comme $I$ est un intervalle non réduit à un point, l'ensemble $I\cap [t_0-\eta ,t_0+\eta ]$ est un intervalle contenant $t_0$ et non réduit à ce point : il contient donc un segment $[\alpha ,\beta ]$ avec $\alpha <\beta$.

Sur ce segment, $f⩾{\displaystyle \frac{f(t_0)}{2}}$, donc, par croissance de l'intégrale sur un segment,

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t⩾\frac{f(t_0)}{2}(\beta -\alpha )>0.$$

Par ailleurs, $f$ étant positive et intégrable sur $I$, la relation de Chasles donne

$${\int }_{I}f=\underset{⩾0}{\underbrace{{\int }_{I\cap ]-\mathrm{\infty },\alpha ]}f}}+{\int }_{\alpha }^{\beta }f+\underset{⩾0}{\underbrace{{\int }_{I\cap [\beta ,+\mathrm{\infty }[}f}}⩾{\int }_{\alpha }^{\beta }f>0,$$

ce qui contredit l'hypothèse ${\int }_{I}f=0$. Donc $f(t)=0$ pour tout $t\in I$. $\mathrm{\square }$

Translations, symétries, dilatations

Démonstration. Les trois énoncés sont des cas particuliers du théorème de changement de variable, appliqué à l'application affine $\phi (u)=\lambda u+c$, qui est une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ strictement monotone de $\frac{1}{\lambda }(I-c)$ sur l'intérieur de $I$, avec $\mathrm{\mid }{\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }$ constant. On applique le théorème à $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ pour obtenir l'équivalence des intégrabilités, puis à $f$ pour l'égalité des intégrales. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par la relation de Chasles, ${\int }_{\mathbb{R}}f={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$, les deux intégrales convergeant puisque $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ donc sur chaque moitié. La symétrie $t\mapsto -t$ transforme ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(t)\mathrm{d}t$ en ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(-t)\mathrm{d}t$, qui vaut $-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$ si $f$ est impaire et $+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$ si $f$ est paire. On somme. $\mathrm{\square }$

Comparaison et intégrabilité

Nous disposons maintenant d'une bonne classe de fonctions, $L^1(I,\mathbb{K})$, et d'un critère pour les fonctions positives. Il reste à transformer ce critère en une méthode applicable sans réfléchir : comparer $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ à une fonction de référence au voisinage de chaque borne.

Les relations de comparaison au voisinage d'une borne

Les deux théorèmes de comparaison

Démonstration. Par définition de la domination, il existe $M⩾0$ et $c\in [a,b[$ tels que

$$0⩽\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽Mg(t)\text{pour tout }t\in [c,b[\mathrm{.}$$

L'intégrale ${\int }_c^{b}Mg$ converge, car ${\int }_a^{b}g$ converge et $M$ est une constante. Par le théorème de comparaison des fonctions positives, ${\int }_c^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ converge : $f$ est intégrable sur $[c,b[$.

Sur $[a,c]$, la fonction $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est continue par morceaux sur un segment, donc son intégrale existe au sens de la première année. La relation de Chasles donne alors la convergence de ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, c'est-à-dire l'intégrabilité de $f$ sur $[a,b[$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Appliquons la définition de $f-g=o(g)$ avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : il existe $c\in [a,b[$ tel que, pour tout $t\in [c,b[$,

$$\mathrm{\mid }f(t)-g(t)\mathrm{\mid }⩽\frac{1}{2}g(t),$$

c'est-à-dire, en développant la valeur absolue,

$$\frac{1}{2}g(t)⩽f(t)⩽\frac{3}{2}g(t)\mathrm{.}(\star \star )$$

Le point 1 en découle : $f(t)⩾\frac{1}{2}g(t)⩾0$ sur $[c,b[$, donc $f$ y est positive. En particulier, pour $f$ comme pour $g$, intégrabilité et convergence de l'intégrale coïncident sur $[c,b[$, et il suffit de raisonner sur la convergence.

Supposons $g$ intégrable sur $[a,b[$. L'encadrement $0⩽f⩽\frac{3}{2}g$ sur $[c,b[$ et le théorème de comparaison donnent la convergence de ${\int }_c^{b}f$, donc celle de ${\int }_a^{b}f$ par Chasles. Réciproquement, si $f$ est intégrable, l'encadrement $0⩽g⩽2f$ sur $[c,b[$ (obtenu en multipliant par $2$ l'inégalité de gauche de $(\star \star )$) donne la convergence de ${\int }_c^{b}g$, donc celle de ${\int }_a^{b}g$. Les points 2 et 3 sont établis.

$\mathrm{\square }$

L'énoncé suppose $g$ positive au voisinage de $b$ ; il s'étend aussitôt au cas où $g$ y est négative, en lui appliquant ce qui précède avec $-f$ et $-g$. Ce qui compte, c'est que $g$ soit de SIGNE CONSTANT.

La règle pratique « en $t^{\alpha }$ »

Démonstration. Point 1. Si $t^{\alpha }f(t)\to L\in \mathbb{K}$, la fonction $t\mapsto t^{\alpha }f(t)$ est bornée au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ : il existe $M⩾0$ et $A⩾a$ tels que $\mathrm{\mid }{t}^{\alpha }f(t)\mathrm{\mid }⩽M$ pour $t⩾A$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽\frac{M}{t^{\alpha }}\text{pour }t⩾A\mathrm{.}$$

Ainsi $f=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{t^{\alpha }}\right)$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, et $t\mapsto t^{-\alpha }$ est intégrable sur $[A,+\mathrm{\infty }[$ puisque $\alpha >1$. Le théorème de comparaison par domination conclut.

Point 2. Supposons d'abord $\mathrm{\ell }$ fini, donc $\mathrm{\ell }>0$. Il existe $A⩾a$ tel que $tf(t)⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2}$ pour $t⩾A$, soit $f(t)⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2t}⩾0$. Comme ${\int }_A^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t}$ diverge, le théorème de comparaison des fonctions positives donne la divergence de ${\int }_A^{+\mathrm{\infty }}f$, donc de ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$. Si $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$, il existe $A$ tel que $tf(t)⩾1$ pour $t⩾A$, et l'on conclut de même avec $f(t)⩾\frac{1}{t}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Identique à celle du point 1 précédent : la limite finie fournit une majoration $\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{M}{(b-t{)}^{\alpha }}}$ au voisinage de $b$, et $t\mapsto (b-t{)}^{-\alpha }$ est intégrable sur $[a,b[$ car $\alpha <1$. $\mathrm{\square }$

La méthode complète

Quelques natures à établir de tête, pour fixer les réflexes.

Intégration des relations de comparaison

Les théorèmes précédents comparent des natures. Ceux de cette section vont plus loin : ils comparent des valeurs asymptotiques, en transportant une relation de comparaison entre les fonctions vers une relation de comparaison entre leurs intégrales. C'est l'outil des développements asymptotiques d'intégrales, très demandé aux concours.

Dans toute la section, $f,g\in {\mathcal{C}}_{\mathrm{p}\mathrm{m}}^0([a,b[,\mathbb{K})$ avec $-\mathrm{\infty }<a<b⩽+\mathrm{\infty }$, et $g$ est positive. Deux situations, et deux seulement.

Cas convergent : comparaison des restes

Démonstration du point 1. Soit $\epsilon >0$. Par définition de $f=o(g)$ au voisinage de $b$, il existe $c\in [a,b[$ tel que

$$\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽\epsilon g(t)\text{pour tout }t\in [c,b[\mathrm{.}$$

Intégrabilité. Cette majoration dit en particulier que $f=O(g)$ ; comme $g$ est intégrable, le théorème de comparaison par domination donne l'intégrabilité de $f$ sur $[a,b[$. En particulier, pour tout $x\in [a,b[$, les deux intégrales ${\int }_x^{b}f$ et ${\int }_x^{b}g$ convergent.

Majoration du reste. Soit $x\in [c,b[$. L'inégalité triangulaire pour les intégrales, puis la croissance de l'intégrale appliquée sur $[x,b[$ à $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽\epsilon g$, donnent

$$\mid {\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t\mid ⩽{\int }_x^b\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t⩽\epsilon {\int }_x^{b}g(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Nous avons donc montré : pour tout $\epsilon >0$, il existe $c\in [a,b[$ tel que $\mid {\int }_x^{b}f\mid ⩽\epsilon {\int }_x^{b}g$ pour tout $x\in [c,b[$. C'est exactement la définition de

$${\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t=o({\int }_x^{b}g(t)\mathrm{d}t)(x\to b^{-})\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration du point 2. Identique, avec une constante $M$ à la place de $\epsilon$ : il existe $M⩾0$ et $c$ tels que $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽Mg$ sur $[c,b[$, d'où $\mid {\int }_x^{b}f\mid ⩽M{\int }_x^{b}g$ pour $x\in [c,b[$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 3. Posons $h=f-g$, continue par morceaux sur $[a,b[$ et à valeurs réelles. L'hypothèse $f\sim g$ signifie $h=o(g)$ ; le point 1 s'applique donc à $h$ et donne l'intégrabilité de $h$, puis

$${\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_x^{b}g(t)\mathrm{d}t={\int }_x^{b}h(t)\mathrm{d}t=o({\int }_x^{b}g(t)\mathrm{d}t),$$

la première égalité venant de la linéarité (les trois intégrales convergent). C'est précisément la définition de ${\int }_x^{b}f\sim {\int }_x^{b}g$. L'intégrabilité de $f=g+h$ résulte de celle de $g$ et de $h$. $\mathrm{\square }$

Cas divergent : comparaison des intégrales partielles

Démonstration du point 1. Notons $G(x)={\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t$, qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x\to b^{-}$. Soit $\epsilon >0$.

Étape 1 : la majoration locale. Puisque $f=o(g)$, il existe $c\in [a,b[$ tel que $\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽\epsilon g(t)$ pour tout $t\in [c,b[$.

Étape 2 : le découpage. Posons $K=\mid {\int }_a^{c}f(t)\mathrm{d}t\mid$, qui est un nombre réel fixe (intégrale sur le segment $[a,c]$ d'une fonction continue par morceaux). Pour $x\in [c,b[$, la relation de Chasles et l'inégalité triangulaire donnent

$$\mid {\int }_a^{x}f\mid ⩽\mid {\int }_a^{c}f\mid +\mid {\int }_c^{x}f\mid ⩽K+{\int }_c^x\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽K+\epsilon {\int }_c^{x}g⩽K+\epsilon G(x),$$

la dernière inégalité utilisant ${\int }_c^{x}g⩽{\int }_a^{x}g=G(x)$, valable car $g⩾0$.

Étape 3 : absorber la constante. Comme $G(x)\to +\mathrm{\infty }$, il existe $c^{\mathrm{\prime }}\in [c,b[$ tel que $G(x)⩾{\displaystyle \frac{K}{\epsilon }}$ pour tout $x\in [c^{\mathrm{\prime }},b[$, c'est-à-dire $K⩽\epsilon G(x)$. Alors, pour tout $x\in [c^{\mathrm{\prime }},b[$,

$$\mid {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\mid ⩽\epsilon G(x)+\epsilon G(x)=2\epsilon G(x)\mathrm{.}$$

Le réel $\epsilon >0$ étant arbitraire, cela signifie exactement ${\int }_a^{x}f=o(G(x))$ quand $x\to b^{-}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 2. Même schéma, avec $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽Mg$ sur $[c,b[$ : on obtient $\mid {\int }_a^{x}f\mid ⩽K+MG(x)$, puis, pour $x$ assez proche de $b$ pour que $G(x)⩾K$, la majoration $\mid {\int }_a^{x}f\mid ⩽(M+1)G(x)$, qui est la domination annoncée. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 3. Posons de nouveau $h=f-g$, de sorte que $h=o(g)$. Le point 1 appliqué à $h$ donne

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{x}h(t)\mathrm{d}t=o(G(x))(x\to b^{-}),$$

c'est-à-dire ${\int }_a^{x}f=G(x)+o(G(x))=G(x)(1+o(1))$. Comme $G(x)\to +\mathrm{\infty }$, on en déduit d'une part que ${\int }_a^{x}f\to +\mathrm{\infty }$, donc que ${\int }_a^{b}f$ diverge, et d'autre part que ${\int }_a^{x}f\sim G(x)={\int }_a^{x}g$. $\mathrm{\square }$

Trois exemples de calcul asymptotique

Théorème de convergence dominée

Voici le premier des trois grands théorèmes du chapitre. La question qu'il résout est la suivante : si une suite de fonctions $(f_n)$ converge vers une fonction $f$, a-t-on

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t={\int }_I(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(t))\mathrm{d}t?$$

Autrement dit, peut-on échanger la limite et l'intégrale ? La réponse est non en général, et les contre-exemples de cette section le montrent brutalement. Le théorème de convergence dominée donne une condition suffisante remarquablement maniable : il suffit de coincer toutes les $f_n$ sous une seule fonction intégrable.

L'énoncé

Démonstration. Posons $g_n=\mathrm{\mid }{f}_n-f\mathrm{\mid }$. Chaque $g_n$ est continue par morceaux sur $I$ ; la suite $(g_n)$ converge simplement vers la fonction nulle, qui est continue par morceaux ; et pour tous $n$ et $t$,

$$g_n(t)=\mathrm{\mid }{f}_n(t)-f(t)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{f}_n(t)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽2\phi (t),$$

la fonction $2\phi$ étant positive, continue par morceaux, intégrable et indépendante de $n$. Le théorème de convergence dominée appliqué à $(g_n)$ donne ${\int }_I{g}_n\to {\int }_{I}0=0$. $\mathrm{\square }$

Trois contre-exemples : chaque hypothèse est indispensable

Extension aux familles à paramètre continu

Démonstration. Elle se déduit du théorème de convergence dominée par la caractérisation séquentielle des limites, et ne coûte que quelques lignes.

Soit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite quelconque d'éléments de $J$ convergeant vers $x_0$. Posons $f_n=f_{x_n}$ pour $n\in \mathbb{N}$, et vérifions les trois hypothèses du théorème de convergence dominée.

• Chaque $f_n=f_{x_n}$ est continue par morceaux sur $I$, par l'hypothèse 1.
• Soit $t\in I$ fixé. Par l'hypothèse 2, $f_x(t)\to f(t)$ quand $x\to x_0$ ; par caractérisation séquentielle des limites appliquée à la fonction $x\mapsto f_x(t)$, la suite $f_{x_n}(t)$ converge vers $f(t)$. Donc $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$, et $f$ est continue par morceaux.
• Pour tous $n$ et $t$, $\mathrm{\mid }{f}_n(t)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{f}_{x_n}(t)\mathrm{\mid }⩽\phi (t)$, avec $\phi$ positive intégrable indépendante de $n$.

Le théorème de convergence dominée s'applique et donne ${\displaystyle {\int }_I{f}_{x_n}\to {\int }_{I}f}$.

Ceci vaut pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $J$ de limite $x_0$. Par caractérisation séquentielle des limites appliquée cette fois à la fonction $x\mapsto {\int }_I{f}_x$, on conclut que ${\int }_I{f}_x\to {\int }_{I}f$ quand $x\to x_0$. $\mathrm{\square }$

Comment rédiger une application du théorème

Intégration terme à terme

Deuxième grand théorème. La question est la même que précédemment, avec une somme de série à la place d'une limite : sous quelles conditions a-t-on

$${\int }_I(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(t))\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t?$$

Comme une somme de série est une limite de sommes partielles, on pourrait espérer que le théorème de convergence dominée règle tout ; il faudrait pour cela dominer les sommes partielles, ce qui n'est en général pas commode. Les deux énoncés ci-dessous fournissent des conditions directement vérifiables sur les $f_n$.

Les deux énoncés du programme

Un exemple complet dans le cas positif

Quand aucun des deux théorèmes ne s'applique

Intégrales à paramètre

Troisième et dernier grand théorème, et le plus utilisé aux concours. On se donne une fonction de deux variables $f(x,t)$ et l'on intègre par rapport à $t$, ce qui produit une fonction de la seule variable $x$ :

$$g:x⟼{\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Une foule de fonctions importantes se présentent sous cette forme : la fonction $\mathrm{\Gamma }$, les transformées intégrales, les solutions d'équations différentielles. La question est de savoir si $g$ hérite de la régularité de $f$ : est-elle continue ? dérivable ? de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ ? Et si oui, peut-on dériver sous le signe intégrale ?

Dans toute la section, $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$, et $f:A\times I\to \mathbb{K}$. La variable $x\in A$ est le paramètre, la variable $t\in I$ est celle d'intégration.

Continuité

Démonstration. Bonne définition. Soit $x\in A$. Comme $A$ est un intervalle, il existe un segment $[\alpha ,\beta ]\subset A$ contenant $x$. La domination donne $\mathrm{\mid }f(x,\cdot )\mathrm{\mid }⩽{\phi }_{[\alpha ,\beta ]}$ avec ${\phi }_{[\alpha ,\beta ]}$ intégrable, et $f(x,\cdot )$ est continue par morceaux : par le théorème de comparaison, $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$, donc $g(x)$ est bien défini.

Réduction à un segment. La continuité est une propriété locale. Soit $x_0\in A$ ; choisissons un segment $[\alpha ,\beta ]\subset A$ qui soit un voisinage de $x_0$ relativement à $A$. C'est toujours possible : si $x_0$ est intérieur à $A$, on prend $\alpha <x_0<\beta$ dans $A$ ; si $x_0$ est une extrémité de $A$ appartenant à $A$, disons la borne gauche, on prend $\alpha =x_0$ et $\beta \in A$ avec $\beta >x_0$. Dans les deux cas, toute suite d'éléments de $A$ convergeant vers $x_0$ est, à partir d'un certain rang, à valeurs dans $[\alpha ,\beta ]$. Notons $\phi ={\phi }_{[\alpha ,\beta ]}$.

Caractérisation séquentielle. Pour montrer que $g$ est continue en $x_0$, il suffit de montrer que, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ convergeant vers $x_0$, on a $g(x_n)\to g(x_0)$. Fixons une telle suite ; quitte à supprimer les premiers termes, on peut supposer $x_n\in [\alpha ,\beta ]$ pour tout $n$. Posons

$$f_n:I\to \mathbb{K},f_n(t)=f(x_n,t)\mathrm{.}$$

Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée.

• Régularité. Pour tout $n$, $f_n=f(x_n,\cdot )$ est continue par morceaux sur $I$, par l'hypothèse 1.
• Convergence simple. Soit $t\in I$ fixé. La fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue en $x_0$ par l'hypothèse 2, et $x_n\to x_0$ : par caractérisation séquentielle de la continuité, $f(x_n,t)\to f(x_0,t)$. Autrement dit, $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers $t\mapsto f(x_0,t)$, qui est continue par morceaux sur $I$ par l'hypothèse 1.
• Domination. Pour tout $n$ et tout $t\in I$, $\mathrm{\mid }{f}_n(t)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(x_n,t)\mathrm{\mid }⩽\phi (t)$ puisque $x_n\in [\alpha ,\beta ]$ ; et $\phi$ est positive, continue par morceaux, intégrable sur $I$ et indépendante de $n$.

Le théorème de convergence dominée s'applique et donne

$$g(x_n)={\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_{I}f(x_0,t)\mathrm{d}t=g(x_0)\mathrm{.}$$

Ceci valant pour toute suite $(x_n)\to x_0$, la caractérisation séquentielle de la continuité donne la continuité de $g$ en $x_0$. Le point $x_0\in A$ étant quelconque, $g$ est continue sur $A$. $\mathrm{\square }$

Dérivation : la formule de Leibniz

Démonstration. Bonne définition. L'hypothèse 1 assure directement que $g(x)$ existe pour tout $x\in A$.

Choix du segment. Soit $x_0\in A$. Comme dans la démonstration précédente, choisissons un segment $[\alpha ,\beta ]\subset A$ qui soit un voisinage de $x_0$ relativement à $A$, et notons $\phi ={\phi }_{[\alpha ,\beta ]}$.

Le taux d'accroissement. Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $[\alpha ,\beta ]\setminus \{x_0\}$ convergeant vers $x_0$. Pour $t\in I$, posons

$$h_n(t)=\frac{f(x_n,t)-f(x_0,t)}{x_n-x_0}\mathrm{.}$$

Comme $t\mapsto f(x_n,t)$ et $t\mapsto f(x_0,t)$ sont intégrables sur $I$, la linéarité donne

$${\int }_I{h}_n(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{x_n-x_0}({\int }_{I}f(x_n,t)\mathrm{d}t-{\int }_{I}f(x_0,t)\mathrm{d}t)=\frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\mathrm{.}$$

Le taux d'accroissement de $g$ est donc lui-même une intégrale, et il s'agit d'y passer à la limite.

Vérification des hypothèses du théorème de convergence dominée.

• Régularité. Chaque $h_n$ est une combinaison linéaire de deux fonctions continues par morceaux sur $I$ : elle est continue par morceaux sur $I$.
• Convergence simple. Soit $t\in I$ fixé. La fonction $x\mapsto f(x,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $A$ par l'hypothèse 2, donc dérivable en $x_0$ ; comme $x_n\to x_0$ avec $x_n\mathrm{\ne }{x}_0$, la caractérisation séquentielle de la limite donne

$$h_n(t)=\frac{f(x_n,t)-f(x_0,t)}{x_n-x_0}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x_0,t)\mathrm{.}$$

La suite $(h_n)$ converge donc simplement sur $I$ vers $t\mapsto \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x_0,t)$, qui est continue par morceaux sur $I$ par l'hypothèse 3.

• Domination. Soit $t\in I$ fixé. La fonction $s\mapsto f(s,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[\alpha ,\beta ]$, donc, pour tout $n$,

$$f(x_n,t)-f(x_0,t)={\int }_{x_0}^{x_n}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{.}$$

Cette intégrale porte sur un segment inclus dans $[\alpha ,\beta ]$, où la domination s'applique : $\mid \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(s,t)\mid ⩽\phi (t)$. L'inégalité triangulaire sur un segment donne donc

$$\mid f(x_n,t)-f(x_0,t)\mid ⩽\mid {\int }_{x_0}^{x_n}\mid \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(s,t)\mid \mathrm{d}s\mid ⩽\phi (t)\mid x_n-x_0\mid ,$$

c'est-à-dire, en divisant par $\mathrm{\mid }{x}_n-x_0\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$,

$$\mid h_n(t)\mid ⩽\phi (t)\text{pour tout }n\text{ et tout }t\in I\mathrm{.}$$

C'est bien une domination par une fonction positive, continue par morceaux, intégrable et indépendante de $n$. (C'est ici, et uniquement ici, que sert l'inégalité des accroissements finis, sous sa forme intégrale, valable aussi pour $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.)

Conclusion partielle. Le théorème de convergence dominée s'applique :

$$\frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}={\int }_I{h}_n(t)\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_I\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x_0,t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Ceci vaut pour toute suite $(x_n)$ de $[\alpha ,\beta ]\setminus \{x_0\}$ tendant vers $x_0$ : par caractérisation séquentielle des limites, $g$ est dérivable en $x_0$ et

$$g^{\mathrm{\prime }}(x_0)={\int }_I\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x_0,t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Continuité de la dérivée. Il reste à voir que $g^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur $A$. Appliquons le théorème de continuité à la fonction $(x,t)\mapsto \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)$ : elle est continue par morceaux en $t$ à $x$ fixé (hypothèse 3) ; elle est continue en $x$ à $t$ fixé, car $x\mapsto f(x,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, donc sa dérivée est continue (hypothèse 2) ; et elle est dominée sur tout segment de $A$ (hypothèse 4). Le théorème de continuité s'applique donc et montre que $x\mapsto {\int }_I\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)\mathrm{d}t=g^{\mathrm{\prime }}(x)$ est continue sur $A$.

Ainsi $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par récurrence sur $k$. Le cas $k=1$ est le théorème précédent. Supposons le résultat acquis au rang $k-1$ pour $k⩾2$.

Les hypothèses au rang $k$ entraînent celles au rang $k-1$, sauf pour la domination : au rang $k-1$, il faudrait dominer $\frac{{\mathrm{\partial }}^{k-1}f}{\mathrm{\partial }{x}^{k-1}}$ sur tout segment $[\alpha ,\beta ]\subset A$. Or, pour $x\in [\alpha ,\beta ]$ et $t\in I$, l'écriture intégrale de la dérivée $(k-1)$-ième donne

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{k-1}f}{\mathrm{\partial }{x}^{k-1}}(x,t)=\frac{{\mathrm{\partial }}^{k-1}f}{\mathrm{\partial }{x}^{k-1}}(\alpha ,t)+{\int }_{\alpha }^x\frac{{\mathrm{\partial }}^{k}f}{\mathrm{\partial }{x}^k}(s,t)\mathrm{d}s,$$

d'où, avec l'hypothèse 4,

$$\mid \frac{{\mathrm{\partial }}^{k-1}f}{\mathrm{\partial }{x}^{k-1}}(x,t)\mid ⩽\mid \frac{{\mathrm{\partial }}^{k-1}f}{\mathrm{\partial }{x}^{k-1}}(\alpha ,t)\mid +(\beta -\alpha )\phi (t)=:\psi (t),$$

et $\psi$ est positive, continue par morceaux, intégrable (l'hypothèse 3 donne l'intégrabilité du premier terme, l'hypothèse 4 celle du second) et indépendante de $x$. L'hypothèse de récurrence s'applique donc : $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^{k-1}$ sur $A$ avec $g^{(j)}(x)={\int }_I\frac{{\mathrm{\partial }}^{j}f}{\mathrm{\partial }{x}^j}(x,t)\mathrm{d}t$ pour $j⩽k-1$.

Il reste à dériver une fois de plus $g^{(k-1)}$. On applique pour cela le théorème de dérivation à la fonction $(x,t)\mapsto \frac{{\mathrm{\partial }}^{k-1}f}{\mathrm{\partial }{x}^{k-1}}(x,t)$ : elle est intégrable en $t$ (hypothèse 3), de classe ${\mathcal{C}}^1$ en $x$ (hypothèse 1), sa dérivée en $x$ est $\frac{{\mathrm{\partial }}^{k}f}{\mathrm{\partial }{x}^k}$, continue par morceaux en $t$ (hypothèse 2) et dominée sur tout segment (hypothèse 4). Donc $g^{(k-1)}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $g^{(k)}(x)={\int }_I\frac{{\mathrm{\partial }}^{k}f}{\mathrm{\partial }{x}^k}(x,t)\mathrm{d}t$. Ainsi $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$. $\mathrm{\square }$

Exemple complet : la fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler

Méthodes à retenir