L'espace Rⁿ, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

Le premier semestre vous a appris à calculer. Une matrice y était un tableau de nombres que l'on additionne, que l'on multiplie, que l'on élève à une puissance et que l'on inverse parfois ; un système linéaire, une liste d'équations que le pivot de Gauss finit toujours par ramener à une forme échelonnée. Ces gestes sont acquis, et ce chapitre ne les remplace pas : il s'en sert du début à la fin. Le pivot est ici l'outil unique, et pratiquement chaque question de ce chapitre se termine par un échelonnement.

Ce qui change, c'est ce dont on parle. Jusqu'ici, l'objet d'étude était le tableau lui-même ; désormais, ce sera l'ensemble que le tableau décrit. Quand vous résolvez un système homogène de trois équations à quatre inconnues et que vous trouvez une infinité de solutions dépendant de deux paramètres, vous avez en main bien davantage qu'une liste de quadruplets : vous tenez un objet géométrique, avec une taille propre, que ces deux paramètres mesurent. Le vocabulaire de ce chapitre sert exactement à dire cela. Une combinaison linéaire décrit comment on fabrique de nouveaux vecteurs à partir de vecteurs donnés ; un sous-espace vectoriel est un ensemble stable pour cette fabrication ; une base en est une description minimale, sans redondance ; la dimension compte les vecteurs d'une base et donne enfin une mesure ; le rang compte, dans une famille ou dans une matrice, ce qui est vraiment utile. Ce sont cinq mots pour une seule idée : distinguer, derrière un paquet de nombres, la quantité d'information qu'il contient réellement.

Le programme de la voie ECG fixe pour ce chapitre un parti pris qu'il faut connaître, parce qu'il détermine ce que l'on vous demandera. Il écrit noir sur blanc que ce chapitre « ne doit pas donner lieu à un exposé théorique » et que « l'étude se limitera à l'espace ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, en privilégiant les exemples pour $n$ dans $\{2,3,4\}$ ». Autrement dit : aucune théorie générale, aucun axiome à réciter, aucun objet en dehors de ceux que vous manipulez déjà. Tout se passe dans ${\mathbb{R}}^2$, ${\mathbb{R}}^3$, ${\mathbb{R}}^4$ et leurs sous-espaces, et un sous-espace vectoriel n'est pas défini par une liste de conditions à vérifier : c'est, tout simplement, l'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille finie de vecteurs. Ce choix a une conséquence heureuse, que vous mesurerez dès la section $2$ : la plupart des questions du type « montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel » se règlent en exhibant des générateurs, souvent lus directement sur un pivot.

Ce chapitre est aussi, par unité de temps de travail, l'un des plus rentables de l'année. Les sujets d'ECRICOME, d'EDHEC et d'EM Lyon comportent presque tous un problème d'algèbre linéaire, et les questions d'ouverture y sont invariablement les mêmes : montrer qu'une famille est libre, en déduire une base et une dimension, déterminer le noyau et l'image d'une matrice, appliquer le théorème du rang, conclure sur l'inversibilité. Ce sont des points que l'on prend en dix minutes quand les gestes sont automatisés, et que l'on perd entièrement sinon. Le plan suit cette logique. Les sections $1$ à $3$ installent le décor : l'espace ${\mathbb{R}}^n$, les sous-espaces vectoriels et les systèmes homogènes, qui en sont la source principale. Les sections $4$ à $8$ construisent le vocabulaire de la description : sous-espace engendré, familles génératrices, familles libres, bases, dimension, rang. Les sections $9$ à $11$ traitent les applications linéaires, leur noyau, leur image et le théorème du rang. La section $12$ rassemble les méthodes en fiches, et la dernière liste les erreurs qui reviennent chaque année.

Voici enfin les notations en vigueur dans tout le chapitre. Les entiers $n$, $m$ et $p$ désignent des entiers naturels non nuls, et les exemples se placent presque toujours dans ${\mathbb{R}}^2$, ${\mathbb{R}}^3$ ou ${\mathbb{R}}^4$. Les vecteurs sont notés $u$, $v$, $w$, éventuellement indexés $u_1,u_2,\dots$, et les scalaires par des lettres grecques $\lambda$, $\mu$, $\alpha$, $\beta$. Un vecteur $u$ de ${\mathbb{R}}^n$ est un $n$-uplet, écrit en ligne dans le texte courant ; la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique est notée par la lettre majuscule correspondante, $U$ ou $X$, élément de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. La base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ est $(e_1,\dots ,e_n)$, et le vecteur nul est $0_{{\mathbb{R}}^n}$, abrégé en $0$ quand aucune confusion n'est possible. Les sous-espaces vectoriels sont notés $F$, $G$, $H$, le sous-espace engendré par une famille est $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$, et la dimension est $\dim F$. Les applications linéaires sont notées $f$ et $g$, leur noyau et leur image $\mathrm{Ker}f$ et $\mathrm{Im}f$, leur rang $\mathrm{rg}(f)$. L'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes est ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$, l'identité d'ordre $n$ est $I_n$, la transposée de $A$ est ${}^{t}A$, et $\mathrm{rg}(A)$ est le rang de $A$. Les opérations sur les lignes s'écrivent comme au premier semestre, par exemple $L_2\leftarrow L_2-2L_1$. Enfin, le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

L'espace ${\mathbb{R}}^n$

Définition et opérations

Un $n$-uplet est ordonné : dans ${\mathbb{R}}^3$, les vecteurs $(1,2,3)$ et $(3,2,1)$ sont différents. Et deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales une à une, ce qui sera notre outil de traduction permanent : une égalité entre vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$ vaut exactement $n$ égalités entre réels.

Les deux opérations se font donc coordonnée par coordonnée, et rien d'autre n'est défini : il n'existe pas de produit de deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$, ni de quotient. Écrire $uv$ ou ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ n'a aucun sens dans ce chapitre.

Démonstration. Chacune de ces égalités se vérifie coordonnée par coordonnée, et se ramène alors à une règle de calcul connue sur les réels. Par exemple, la $k$-ième coordonnée de $\lambda (u+v)$ vaut $\lambda (x_k+y_k)$, celle de $\lambda u+\lambda v$ vaut $\lambda x_k+\lambda y_k$, et ces deux réels sont égaux par distributivité de la multiplication sur l'addition dans $\mathbb{R}$. Les autres se traitent de la même façon, en utilisant la commutativité, l'associativité, le rôle de $0$ et celui de $1$ dans $\mathbb{R}$. $\mathrm{\square }$

Ces règles sont exactement celles auxquelles vous êtes habitué avec les nombres, et c'est précisément ce qui rend le calcul vectoriel confortable : on développe, on réduit, on transpose un terme d'un membre à l'autre, sans précaution particulière. Le seul point qui demande un peu d'attention est le suivant.

Démonstration. Si $\lambda =0$, toutes les coordonnées de $\lambda u$ valent $0\times x_k=0$, donc $\lambda u=0_{{\mathbb{R}}^n}$ ; si $u=0_{{\mathbb{R}}^n}$, elles valent $\lambda \times 0=0$, même conclusion.

Réciproquement, supposons $\lambda u=0_{{\mathbb{R}}^n}$ et $\lambda \mathrm{\ne }0$. Pour chaque indice $k$, on a $\lambda x_k=0$ avec $\lambda \mathrm{\ne }0$, donc $x_k=0$ en divisant par $\lambda$. Toutes les coordonnées de $u$ sont nulles, c'est-à-dire $u=0_{{\mathbb{R}}^n}$. $\mathrm{\square }$

Combinaisons linéaires

Une famille $(u_1,\dots ,u_p)$ est une liste ordonnée de vecteurs ; l'entier $p$ est son cardinal. L'ordre compte, et un même vecteur peut y figurer deux fois : c'est une liste, pas un ensemble.

Retenez le geste, car c'est celui de tout le chapitre : une question de combinaison linéaire est une question de système linéaire, dont les inconnues sont les coefficients.

Base canonique et matrice colonne des coordonnées

Ainsi, dans ${\mathbb{R}}^3$, $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ et $e_3=(0,0,1)$ ; dans ${\mathbb{R}}^4$, il y a quatre vecteurs $e_1,\dots ,e_4$, construits de la même façon.

Démonstration. Existence. La $k$-ième coordonnée du vecteur $x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$ vaut $x_k$, puisque seul le terme $x_k{e}_k$ contribue à cette place, tous les autres $e_j$ ayant une $k$-ième coordonnée nulle. Ce vecteur a donc les mêmes coordonnées que $u$ : il lui est égal.

Unicité. Supposons $u={\lambda }_1{e}_1+\cdots +{\lambda }_n{e}_n$. Le membre de droite vaut $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$, et l'égalité de deux $n$-uplets est l'égalité de leurs coordonnées une à une : ${\lambda }_k=x_k$ pour tout $k$. Les coefficients sont donc imposés. $\mathrm{\square }$

Ce résultat, d'apparence anodine, autorise l'identification qui gouverne tout le chapitre, et que le programme demande explicitement de mettre en place.

Un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$ et sa colonne de coordonnées portent exactement la même information : l'un se lit sur l'autre sans le moindre calcul. C'est pourquoi on se permet de passer de l'un à l'autre en permanence, et le programme va jusqu'à dire que l'étude « se limitera à l'espace ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ ». Il n'y a là aucune subtilité, seulement une convention d'écriture : la ligne dans le texte, la colonne dans les calculs matriciels. Écrire $u=(1,2,3)$ dans une phrase et $U=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ dans un produit, c'est parler du même objet. Attention en revanche à ne pas mélanger les deux dans une même égalité : $(1,2,3)$ n'est pas une matrice, et un produit $AU$ exige la colonne.

L'intérêt immédiat de cette identification est qu'une combinaison linéaire devient un produit matriciel.

Démonstration. C'est le calcul du produit d'une matrice par une colonne, vu au premier semestre. Le $i$-ième coefficient de $A\mathrm{\Lambda }$ vaut $a_{i,1}{\lambda }_1+a_{i,2}{\lambda }_2+\cdots +a_{i,p}{\lambda }_p$, où $a_{i,j}$ est le $i$-ième coefficient de la colonne $U_j$, c'est-à-dire la $i$-ième coordonnée de $u_j$. Or la $i$-ième coordonnée de ${\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p$ vaut précisément ${\lambda }_1{a}_{i,1}+\cdots +{\lambda }_p{a}_{i,p}$. Les deux colonnes ont les mêmes coefficients. $\mathrm{\square }$

Cette propriété est le pont entre les deux semestres. Chercher si un vecteur $w$ est combinaison linéaire de $u_1,\dots ,u_p$, c'est chercher une colonne $\mathrm{\Lambda }$ telle que $A\mathrm{\Lambda }=W$ : autrement dit, résoudre un système linéaire dont la matrice a les $u_j$ pour colonnes. Tout le pivot du premier semestre s'applique tel quel.

Sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^n$

La définition du programme

Cette définition n'est pas celle que vous trouverez dans les manuels de mathématiques générales, qui passent par une liste de conditions à vérifier. Le programme de la voie appliquée a fait un autre choix, volontairement concret : un sous-espace vectoriel, c'est ce qu'engendre une poignée de vecteurs. La conséquence pratique est considérable, et il faut la comprendre dès maintenant : pour prouver qu'une partie est un sous-espace vectoriel, on ne récite rien, on produit des générateurs.

Deux cas extrêmes méritent d'être signalés tout de suite. D'une part, la partie $\{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$, réduite au vecteur nul, est un sous-espace vectoriel : c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille $(0_{{\mathbb{R}}^n})$, puisque $\lambda \cdot 0_{{\mathbb{R}}^n}=0_{{\mathbb{R}}^n}$ pour tout $\lambda$. On l'appelle le sous-espace nul. D'autre part, ${\mathbb{R}}^n$ tout entier est un sous-espace vectoriel de lui-même : c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de sa base canonique, d'après la section $1$.

Stabilité par combinaison linéaire

Démonstration. Écrivons $F$ comme l'ensemble des combinaisons linéaires de $u_1,\dots ,u_p$.

Point $1$. En prenant tous les coefficients nuls, $0u_1+\cdots +0u_p=0_{{\mathbb{R}}^n}$, qui est donc dans $F$.

Point $2$. Soient $u$ et $v$ dans $F$ : il existe des réels $a_1,\dots ,a_p$ et $b_1,\dots ,b_p$ tels que $u=a_1{u}_1+\cdots +a_p{u}_p$ et $v=b_1{u}_1+\cdots +b_p{u}_p$. Alors, en développant et en regroupant les termes de même indice grâce aux règles de calcul de la section $1$,

$$\lambda u+\mu v=(\lambda a_1+\mu b_1)u_1+(\lambda a_2+\mu b_2)u_2+\cdots +(\lambda a_p+\mu b_p)u_p\mathrm{.}$$

Ce vecteur est bien une combinaison linéaire de $u_1,\dots ,u_p$, donc il appartient à $F$. $\mathrm{\square }$

Par récurrence immédiate, un sous-espace vectoriel est en fait stable par combinaison linéaire de n'importe quel nombre de ses vecteurs : si $v_1,\dots ,v_q$ sont dans $F$, toute combinaison ${\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_q{v}_q$ y est encore. C'est cette phrase qu'il faut avoir en tête chaque fois qu'on manipule un sous-espace : on ne sort jamais de $F$ en combinant des vecteurs de $F$.

Le point $1$ est, lui, l'outil d'élimination le plus rapide du chapitre : une partie qui ne contient pas le vecteur nul n'est pas un sous-espace vectoriel, et cela se voit en une ligne.

Comment reconnaître un sous-espace vectoriel

Les sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^2$

Le programme demande explicitement de classifier les sous-espaces vectoriels du plan. Le résultat est court, et sa démonstration est un bon exercice de synthèse sur tout ce qui précède.

Démonstration. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$.

Premier cas. Si $F$ ne contient que le vecteur nul, on est dans le type $1$.

Sinon, il existe un vecteur $u=(a,b)$ de $F$ avec $u\mathrm{\ne }{0}_{{\mathbb{R}}^2}$. Par stabilité, tous les multiples $\lambda u$ appartiennent à $F$, donc $\mathrm{Vect}(u)\subset F$.

Deuxième cas. Si $F=\mathrm{Vect}(u)$, on est dans le type $2$.

Troisième cas. Sinon, il existe un vecteur $v=(c,d)$ de $F$ qui n'appartient pas à $\mathrm{Vect}(u)$. Montrons d'abord que $ad-bc\mathrm{\ne }0$. Supposons au contraire $ad-bc=0$. Comme $u$ est non nul, l'une au moins de ses coordonnées est non nulle. Si $a\mathrm{\ne }0$, posons $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{a}}$ : alors $\lambda a=c$, et $\lambda b={\displaystyle \frac{bc}{a}}={\displaystyle \frac{ad}{a}}=d$, donc $\lambda u=(c,d)=v$, ce qui placerait $v$ dans $\mathrm{Vect}(u)$ et contredirait notre hypothèse. Si $b\mathrm{\ne }0$, on pose de même $\lambda ={\displaystyle \frac{d}{b}}$, et l'on obtient $\lambda b=d$ puis $\lambda a={\displaystyle \frac{ad}{b}}={\displaystyle \frac{bc}{b}}=c$, donc encore $\lambda u=v$, même contradiction. Ainsi $ad-bc\mathrm{\ne }0$.

Soit maintenant $w=(x,y)$ un vecteur quelconque de ${\mathbb{R}}^2$. Cherchons $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha u+\beta v=w$, c'est-à-dire

$$\{\begin{array}{l}a\alpha +c\beta =x\\ b\alpha +d\beta =y\end{array}$$

La matrice de ce système est $M=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$, de déterminant $\det (M)=ad-bc\mathrm{\ne }0$. D'après le critère d'inversibilité à l'ordre $2$ du premier semestre, $M$ est inversible, donc le système admet une unique solution $(\alpha ,\beta )$. Le vecteur $w$ est donc combinaison linéaire de $u$ et $v$, deux vecteurs de $F$ ; par stabilité, $w\in F$. Comme $w$ était quelconque, ${\mathbb{R}}^2\subset F$, et donc $F={\mathbb{R}}^2$.

Enfin, les trois types s'excluent. Le sous-espace nul ne contient aucun vecteur non nul, il ne peut donc être ni une droite ni le plan. Et une droite $\mathrm{Vect}(u)$, avec $u=(a,b)$ non nul, n'est jamais ${\mathbb{R}}^2$ tout entier : le vecteur $(-b,a)$ ne lui appartient pas. En effet, si l'on avait $(-b,a)=\lambda (a,b)$, alors $-b=\lambda a$ et $a=\lambda b$, d'où, en multipliant la première égalité par $b$ et la seconde par $a$, $-b^2=\lambda ab$ et $a^2=\lambda ab$. On en tirerait $a^2+b^2=0$, donc $a=b=0$, ce qui contredit $u\mathrm{\ne }{0}_{{\mathbb{R}}^2}$. $\mathrm{\square }$

Il faut lire ce théorème comme un catalogue : dans le plan, il n'y a rien d'autre qu'un point, des droites passant par l'origine, et le plan entier. La même exploration menée dans ${\mathbb{R}}^3$ donne quatre types : le sous-espace nul, les droites vectorielles $\mathrm{Vect}(u)$ avec $u$ non nul, les plans vectoriels engendrés par deux vecteurs non colinéaires, et ${\mathbb{R}}^3$ lui-même. Nous ne le démontrerons pas, et il n'y a pas lieu de l'apprendre comme un théorème ; ce vocabulaire de droite et de plan vectoriels est en revanche commode, et il correspondra exactement, à la section $7$, aux sous-espaces de dimension $1$ et de dimension $2$.

Les systèmes linéaires homogènes

C'est de loin la source la plus fréquente de sous-espaces vectoriels dans les exercices, et le pivot de Gauss en donne tout ce qu'on peut souhaiter : la preuve que c'en est un, une famille génératrice, et bientôt une base.

Démonstration. Nous savons déjà, depuis le premier semestre, que ${\mathcal{S}}_0$ contient le $p$-uplet nul, et qu'il est stable par somme et par produit par un réel ; donc, en combinant les deux, $\lambda u+\mu v\in {\mathcal{S}}_0$ dès que $u$ et $v$ y sont. Mais la définition retenue cette année exige davantage : il faut exhiber une famille finie de vecteurs dont ${\mathcal{S}}_0$ soit l'ensemble des combinaisons linéaires. C'est le pivot qui la fournit.

Appliquons la méthode du pivot de Gauss au système. Il devient échelonné, et l'on distingue les inconnues principales, celles qui portent un pivot, des inconnues secondaires, les autres. Notons $r$ le nombre de pivots, de sorte qu'il reste $q=p-r$ inconnues secondaires. Comme le système est homogène, il est toujours compatible, et la remontée exprime chaque inconnue principale comme une combinaison linéaire des inconnues secondaires, sans terme constant. En notant $t_1,\dots ,t_q$ les inconnues secondaires, chaque coordonnée de la solution générale est donc de la forme $c_1{t}_1+\cdots +c_q{t}_q$ pour des réels $c_j$ fixes. En regroupant les termes selon les paramètres, le vecteur solution s'écrit

$$u=t_1{w}_1+t_2{w}_2+\cdots +t_q{w}_q,$$

où $w_j$ est le vecteur obtenu en donnant à $t_j$ la valeur $1$ et à tous les autres paramètres la valeur $0$. Réciproquement, tout vecteur de cette forme est solution, puisque les valeurs des paramètres sont libres. Ainsi

$${\mathcal{S}}_0=\{t_1{w}_1+\cdots +t_q{w}_q;(t_1,\dots ,t_q)\in {\mathbb{R}}^q\},$$

qui est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille finie $(w_1,\dots ,w_q)$ : c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^p$. Si $q=0$, le système n'a que la solution nulle et ${\mathcal{S}}_0=\{0_{{\mathbb{R}}^p}\}$, qui en est un aussi. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration contient la méthode complète, et c'est elle que l'on exécute en exercice. Détaillons-la sur un exemple, à quatre inconnues, comme le programme y invite.

Observez ce que le pivot a livré gratuitement : non seulement l'ensemble des solutions, mais une famille génératrice lue directement sur la paramétrisation. Nous verrons à la section $7$ que cette famille est même toujours une base, ce qui donnera aussitôt la dimension : ici, deux paramètres, donc un sous-espace de dimension $2$ dans ${\mathbb{R}}^4$.

Le sous-espace vectoriel engendré

Comparez cette définition avec celle de la section $2$ : ce sont les mêmes mots. C'est voulu, et c'est même tout l'intérêt du choix du programme.

Démonstration. La première affirmation est la définition même d'un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^n$ : $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille finie. Il n'y a rien à vérifier.

Pour la seconde, fixons un indice $k$ et prenons le coefficient ${\lambda }_k=1$, tous les autres étant nuls : la combinaison correspondante vaut $u_k$, qui appartient donc au $\mathrm{Vect}$. $\mathrm{\square }$

Voilà pourquoi la voie $1$ de la méthode de la section $2$ est si économique : dès qu'une partie est écrite sous forme de $\mathrm{Vect}$, la question « est-ce un sous-espace vectoriel ? » est réglée. Toute la difficulté, en pratique, consiste donc à mettre une partie sous cette forme, ce qui est précisément ce que fait le pivot.

Démonstration. Supposons d'abord que tous les $u_k$ appartiennent à $F$, et soit $w$ un élément de $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$ : il existe des réels ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ tels que $w={\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p$. Comme $F$ est stable par combinaison linéaire (section $2$), le vecteur $w$ appartient à $F$. D'où l'inclusion.

Réciproquement, si $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)\subset F$, chaque $u_k$ appartient au $\mathrm{Vect}$ d'après la propriété précédente, donc à $F$. $\mathrm{\square }$

Cette équivalence est d'un usage constant, et c'est elle qui rend les inclusions faciles à démontrer : pour établir $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)\subset F$, on ne prend jamais un élément quelconque du $\mathrm{Vect}$ ; on vérifie seulement que les $p$ générateurs sont dans $F$. C'est $p$ vérifications immédiates au lieu d'un raisonnement général.

Les opérations qui ne changent pas le $\mathrm{Vect}$

Démonstration. Point $1$ : l'ensemble des combinaisons linéaires ne dépend pas de l'ordre dans lequel on écrit les vecteurs, puisque l'addition est commutative.

Point $2$ : notons $F$ le $\mathrm{Vect}$ de départ et $G$ celui obtenu en remplaçant $u_1$ par $\lambda u_1$, avec $\lambda \mathrm{\ne }0$. Le vecteur $\lambda u_1$ appartient à $F$, et les autres aussi, donc $G\subset F$ d'après la propriété précédente. Réciproquement, $u_1={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}(\lambda u_1)$ appartient à $G$, et les autres également, donc $F\subset G$. C'est exactement ici que sert l'hypothèse $\lambda \mathrm{\ne }0$.

Point $3$ : notons $G$ le $\mathrm{Vect}$ obtenu en remplaçant $u_1$ par $u_1+\alpha u_2$. Ce vecteur est dans $F$, et les autres aussi, donc $G\subset F$. Réciproquement, $u_1=(u_1+\alpha u_2)-\alpha u_2$ s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la nouvelle famille, donc $u_1\in G$ ; les autres y sont aussi, d'où $F\subset G$.

Point $4$ : supposons $u_p={\alpha }_1{u}_1+\cdots +{\alpha }_{p-1}{u}_{p-1}$ et notons $G=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_{p-1})$. Toute combinaison linéaire de $u_1,\dots ,u_{p-1}$ en est une de $u_1,\dots ,u_p$ avec un dernier coefficient nul, donc $G\subset F$. Réciproquement, $u_p$ appartient à $G$ par hypothèse et $u_1,\dots ,u_{p-1}$ aussi, donc $F\subset G$. $\mathrm{\square }$

Ces quatre opérations sont exactement celles du pivot de Gauss, transposées aux vecteurs d'une famille. C'est ce qui justifie la technique centrale du chapitre : écrire les vecteurs en lignes dans une matrice et échelonner ne change pas le sous-espace engendré, et permet donc de simplifier une famille sans rien perdre.

Familles génératrices

Le mot « au moins » mérite d'être souligné : une famille génératrice garantit l'existence d'une écriture, jamais son unicité. C'est précisément l'unicité qui manquera jusqu'à la section $7$.

Par construction, tout sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^n$ admet une famille génératrice finie : c'est la définition même. La base canonique, elle, engendre ${\mathbb{R}}^n$ tout entier, d'après la section $1$.

Ce dernier exemple illustre le va-et-vient que le chapitre exploite sans cesse. Un sous-espace vectoriel se décrit de deux manières : par une famille génératrice, ce qui est commode pour fabriquer des vecteurs, ou par des équations, ce qui est commode pour tester l'appartenance d'un vecteur donné. Passer d'une description à l'autre, c'est résoudre un système, dans un sens ou dans l'autre.

Notez enfin qu'une famille génératrice peut être inutilement grande. La famille $((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1),(2,5,9))$ engendre encore ${\mathbb{R}}^3$, puisqu'elle contient déjà une famille génératrice, mais son quatrième vecteur n'apporte rien : il vaut $2w_1+3w_2+4w_3$. Éliminer ces redondances, c'est exactement l'objet des deux sections suivantes.

Familles libres, familles liées

Lisez bien le sens de l'implication. On ne demande pas que la combinaison à coefficients nuls donne le vecteur nul, ce qui est toujours vrai et sans intérêt ; on demande la réciproque. Une faute de rédaction fréquente consiste à écrire « $0u_1+\cdots +0u_p=0$, donc la famille est libre » : cette phrase ne démontre rien. La rédaction correcte commence toujours par « soient ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ des réels tels que ${\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p=0_{{\mathbb{R}}^n}$ » et se termine par « donc ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_p=0$ ».

Insistons sur le point $3$ : quand une famille est liée, la réponse attendue n'est pas le mot « liée », mais la relation. Un correcteur qui ne voit pas la relation écrite ne donne pas les points.

Les cas particuliers à connaître

Démonstration. Point $1$. Si $u\mathrm{\ne }0$ et $\lambda u=0$, la propriété de la section $1$ impose $\lambda =0$ : la famille est libre. Si $u=0$, alors $1\cdot u=0$ est une relation de dépendance à coefficient non nul : la famille est liée.

Point $2$. Supposons $(u,v)$ liée : il existe $\lambda$, $\mu$ non tous deux nuls avec $\lambda u+\mu v=0$. Si $\lambda \mathrm{\ne }0$, alors $u=-{\displaystyle \frac{\mu }{\lambda }}v$ ; sinon $\mu \mathrm{\ne }0$ et $v=-{\displaystyle \frac{\lambda }{\mu }}u$. Dans les deux cas, l'un est multiple de l'autre. Réciproquement, si $u=\alpha v$, alors $1\cdot u+(-\alpha )v=0$ est une relation dont le premier coefficient vaut $1\mathrm{\ne }0$ ; et si c'est $v$ qui s'écrit $v=\alpha u$, on conclut de même en échangeant les rôles de $u$ et de $v$.

Point $3$. Si $u_k=0$, la relation $0u_1+\cdots +1\cdot u_k+\cdots +0u_p=0$ a un coefficient non nul. Si $u_j=u_k$ avec $j\mathrm{\ne }k$, la relation $1\cdot u_j+(-1)u_k=0$, complétée par des zéros, convient.

Point $4$. Soit $(u_1,\dots ,u_p)$ libre et considérons la sous-famille obtenue en ne gardant que certains indices. Toute relation de dépendance portant sur cette sous-famille se prolonge en une relation portant sur la famille entière, en affectant le coefficient $0$ aux vecteurs supprimés. La famille entière étant libre, tous ces coefficients sont nuls, en particulier ceux de la sous-famille. La seconde formulation est la contraposée de la première. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'équation $\alpha u+\beta v=0_{{\mathbb{R}}^2}$ équivaut au système homogène de matrice $M=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$, d'inconnues $\alpha$ et $\beta$. Si $ad-bc\mathrm{\ne }0$, la matrice $M$ est inversible d'après le critère d'ordre $2$ du premier semestre, donc le système homogène n'admet que la solution nulle : la famille est libre. Si $ad-bc=0$, la matrice $M$ n'est pas inversible, donc le système $M\mathrm{\Lambda }=0$ admet une solution non nulle, ce qui fournit une relation de dépendance : la famille est liée. $\mathrm{\square }$

Ce critère est réservé à ${\mathbb{R}}^2$, et à deux vecteurs. Il n'existe pas de déterminant d'ordre $3$ dans ce programme : pour une famille de trois ou quatre vecteurs, la seule méthode est le pivot.

Attention enfin à ne pas étendre le point $2$ : à partir de trois vecteurs, « liée » ne signifie plus « deux d'entre eux sont colinéaires ». La famille $((1,0),(0,1),(1,1))$ est liée, puisque le troisième vecteur est la somme des deux premiers, et pourtant aucun de ses vecteurs n'est multiple d'un autre. Confondre les deux notions est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Exemples traités

Bases et dimension

Définition d'une base

Le programme définit une base par l'unicité de la décomposition, et c'est cette formulation qu'il faut connaître en premier.

Démonstration. Supposons d'abord que la famille soit une base de $F$.

Elle est génératrice. Tout vecteur de $F$ admet une décomposition, donc s'écrit comme combinaison linéaire des $u_k$ : ainsi $F\subset \mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$. L'inclusion réciproque vient de la propriété de la section $4$, les $u_k$ étant des vecteurs de $F$. Donc $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$.

Elle est libre. Soient ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ des réels tels que ${\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p=0_{{\mathbb{R}}^n}$. Le vecteur nul appartient à $F$, et il admet aussi la décomposition $0u_1+\cdots +0u_p$. Par unicité de la décomposition du vecteur nul, on conclut ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_p=0$.

Réciproquement, supposons la famille libre et génératrice de $F$, et soit $w\in F$.

Existence. La famille étant génératrice, $w$ s'écrit comme combinaison linéaire des $u_k$.

Unicité. Supposons deux écritures,

$$w={\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p\text{et}w={\mu }_1{u}_1+\cdots +{\mu }_p{u}_p\mathrm{.}$$

En soustrayant membre à membre et en regroupant les termes de même indice,

$$({\lambda }_1-{\mu }_1)u_1+({\lambda }_2-{\mu }_2)u_2+\cdots +({\lambda }_p-{\mu }_p)u_p=0_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{.}$$

La famille étant libre, tous ces coefficients sont nuls, c'est-à-dire ${\lambda }_k={\mu }_k$ pour tout $k$. Les deux écritures coïncident. $\mathrm{\square }$

Retenez le geste de cette démonstration, car il resservira : pour comparer deux décompositions, on les soustrait et l'on invoque la liberté. C'est le seul argument disponible, et il fonctionne à chaque fois.

Démonstration. C'est exactement la propriété d'existence et d'unicité démontrée à la section $1$ : tout $u=(x_1,\dots ,x_n)$ s'écrit d'une unique façon $x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$. Son nom n'était donc pas usurpé. $\mathrm{\square }$

C'est ce résultat qui justifie, rétrospectivement, la définition de la matrice colonne des coordonnées : la colonne $X$ contient les coordonnées de $u$ dans la base canonique, et ces coordonnées sont uniques.

Dimension

Ce théorème est admis par le programme, et il ne faut donc pas chercher à le démontrer ; il faut en revanche mesurer ce qu'il apporte. Sans lui, le nombre de vecteurs d'une base ne serait qu'une caractéristique de la base choisie ; avec lui, c'est une caractéristique du sous-espace lui-même, et l'on peut lui donner un nom.

Ainsi $\dim {\mathbb{R}}^n=n$, puisque la base canonique compte $n$ vecteurs. Un sous-espace de dimension $1$ est une droite vectorielle, un sous-espace de dimension $2$ un plan vectoriel : le vocabulaire géométrique de la section $2$ prend ici son sens précis.

Ces résultats sont eux aussi admis, et ils sont ceux que vous utiliserez le plus souvent, parce qu'ils divisent le travail par deux. Pour montrer qu'une famille est une base d'un sous-espace dont la dimension est connue, on compte ses vecteurs, on vérifie que le compte tombe juste, puis on démontre une seule des deux propriétés, la liberté en général, qui se ramène à un système homogène. On ne vérifie jamais les deux.

Ce dernier exemple contient une observation générale qu'il faut retenir : la famille obtenue en séparant les paramètres, à la fin d'un pivot, est toujours libre. En effet, chaque paramètre $t_j$ apparaît, dans le vecteur général, à la place de la coordonnée de l'inconnue secondaire correspondante ; le vecteur $w_j$ a donc un $1$ à cette place, tandis que tous les autres $w_i$ y ont un $0$. Une combinaison nulle $t_1{w}_1+\cdots +t_q{w}_q=0$ impose alors, en lisant cette coordonnée, $t_j=0$, et cela pour chaque $j$. La dimension de l'ensemble des solutions d'un système homogène est donc le nombre d'inconnues secondaires, c'est-à-dire le nombre de paramètres.

La conséquence la plus rentable

Démonstration. Notons $p$ la dimension commune. Si $p=0$, alors $F=\{0_{{\mathbb{R}}^n}\}=G$ et c'est terminé.

Supposons $p⩾1$ et considérons une base $(u_1,\dots ,u_p)$ de $F$. C'est une famille libre, et la liberté ne dépend que des vecteurs eux-mêmes, pas de l'ensemble dans lequel on les regarde. Comme $F\subset G$, ces $p$ vecteurs appartiennent à $G$ : ils y forment une famille libre de $p=\dim G$ vecteurs, donc une base de $G$ d'après le théorème du bon cardinal. Par conséquent

$$G=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)=F,$$

la seconde égalité venant de ce que cette famille est aussi une base de $F$. $\mathrm{\square }$

Un cas particulier mérite d'être isolé, car il resservira à chaque section : tout sous-espace vectoriel $F$ de ${\mathbb{R}}^n$ étant contenu dans ${\mathbb{R}}^n$, on a

$$F={\mathbb{R}}^n⟺\dim F=n\mathrm{.}$$

Ce critère est, à lui seul, l'une des raisons d'être de la dimension. Démontrer une égalité de deux sous-espaces par double inclusion est souvent long ; ici, une inclusion et deux calculs de dimensions suffisent. Le schéma de rédaction est immuable : on établit $F\subset G$, on calcule $\dim F$ et $\dim G$, on constate qu'elles sont égales, on conclut. Attention toutefois : l'inclusion est indispensable. Deux sous-espaces de même dimension n'ont aucune raison d'être égaux, comme le montrent deux droites distinctes du plan.

Rang d'une famille de vecteurs

Le rang mesure le nombre de vecteurs réellement utiles de la famille, une fois éliminées les redondances. Une famille de six vecteurs de rang $2$ ne décrit, en fin de compte, qu'un plan.

Démonstration. Notons $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$, de sorte que $r=\dim F$.

Première ligne. La famille est génératrice de $F$, donc elle compte au moins $\dim F$ vecteurs : $r⩽p$. Si $r=p$, c'est une famille génératrice de $F$ ayant exactement $\dim F$ vecteurs, donc une base de $F$ d'après le théorème du bon cardinal, donc une famille libre. Réciproquement, si la famille est libre, c'est une famille libre de vecteurs de $F$, donc $p⩽\dim F=r$ ; avec l'inégalité déjà obtenue, $r=p$.

Seconde ligne. $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^n$, donc $r=\dim F⩽n$. L'égalité $\dim F=n$ équivaut à $F={\mathbb{R}}^n$, c'est-à-dire au fait que la famille engendre ${\mathbb{R}}^n$. $\mathrm{\square }$

Cette méthode repose sur deux justifications, qu'il faut savoir donner. D'abord, les opérations élémentaires sur les lignes sont exactement les opérations de la section $4$ : elles ne changent donc pas le sous-espace engendré, ni par conséquent sa dimension. Ensuite, les lignes non nulles d'une matrice échelonnée forment une famille libre. Pour le voir, supposons une combinaison linéaire de ces lignes égale à la ligne nulle, et regardons la colonne du premier pivot : toutes les lignes suivantes y ont un coefficient nul, donc le coefficient affecté à la première ligne est nul. On recommence avec le deuxième pivot, puis le troisième, et ainsi de suite : tous les coefficients sont nuls. Les lignes non nulles sont donc à la fois génératrices et libres : c'est une base du $\mathrm{Vect}$, dont le cardinal est le rang.

Applications linéaires de ${\mathbb{R}}^n$ dans ${\mathbb{R}}^m$

L'application associée à une matrice

Vérifiez les formats, car c'est là que se glissent les fautes : $A$ a $m$ lignes et $n$ colonnes, $X$ a $n$ lignes et $1$ colonne, donc $AX$ a $m$ lignes et $1$ colonne. L'application va bien de ${\mathbb{R}}^n$ dans ${\mathbb{R}}^m$, et le nombre de colonnes de $A$ est la dimension de l'espace de départ. Cette phrase servira encore au moment du théorème du rang.

Démonstration. Soient $u$ et $v$ dans ${\mathbb{R}}^n$, de colonnes $X$ et $Y$, et soient $\lambda$, $\mu$ deux réels. La colonne de $\lambda u+\mu v$ est $\lambda X+\mu Y$, puisque les opérations se font coordonnée par coordonnée. Calculons le $i$-ième coefficient de $A(\lambda X+\mu Y)$ : il vaut

$$\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}(\lambda x_j+\mu y_j)=\lambda \sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{x}_j+\mu \sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j,$$

c'est-à-dire $\lambda$ fois le $i$-ième coefficient de $AX$ plus $\mu$ fois celui de $AY$. Les deux colonnes $A(\lambda X+\mu Y)$ et $\lambda AX+\mu AY$ ont donc les mêmes coefficients : elles sont égales, et $f_A$ est linéaire.

Enfin, en prenant $\lambda =\mu =0$, on obtient $f_A(0_{{\mathbb{R}}^n})=0_{{\mathbb{R}}^m}$. $\mathrm{\square }$

L'égalité $f(0)=0$ fournit un test d'élimination immédiat : si une application envoie le vecteur nul ailleurs que sur le vecteur nul, elle n'est pas linéaire, et c'est démontré en une ligne.

La matrice canoniquement associée

Réciproquement, toute application linéaire de ${\mathbb{R}}^n$ dans ${\mathbb{R}}^m$ provient d'une matrice, et d'une seule.

Démonstration. Existence. Notons $A$ la matrice décrite dans l'énoncé, de colonnes $C_1,\dots ,C_n$, où $C_j$ est la colonne de $f(e_j)$. Soit $u=(x_1,\dots ,x_n)$ un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$, de colonne $X$. La décomposition sur la base canonique donne $u=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$, et la linéarité de $f$, appliquée de proche en proche, donne

$$f(u)=x_{1}f(e_1)+x_{2}f(e_2)+\cdots +x_{n}f(e_n)\mathrm{.}$$

D'après la propriété de la section $1$, la colonne de ce vecteur est le produit $AX$. Donc $f(u)=f_A(u)$ pour tout $u$.

Unicité. Supposons $f=f_B$ pour une matrice $B$. En appliquant $f$ au vecteur $e_j$, dont la colonne $E_j$ est la $j$-ième colonne de $I_n$, on obtient la colonne $B{E}_j$, qui est exactement la $j$-ième colonne de $B$. Cette colonne est donc imposée par $f$, et cela pour tout $j$ : la matrice est unique. $\mathrm{\square }$

De façon générale, une application $f:{\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^m$ est linéaire si et seulement si chacune des $m$ coordonnées de $f(u)$ est une combinaison linéaire des coordonnées de $u$, autrement dit une expression du premier degré sans terme constant, l'expression nulle étant admise. C'est le critère de reconnaissance à vue, et il permet d'écrire la matrice directement en lisant les coefficients.

Composition et produit matriciel

Démonstration. Soit $u$ un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$, de colonne $X$. La colonne de $f(u)$ est $AX$, puis celle de $g(f(u))$ est $B(AX)$. L'associativité du produit matriciel, admise au premier semestre, donne $B(AX)=(BA)X$. Ainsi $g\circ f$ est l'application associée à la matrice $BA$, donc elle est linéaire, et $BA$ est bien sa matrice canoniquement associée par unicité. Les formats sont cohérents : $B$ a $p$ lignes et $m$ colonnes, $A$ a $m$ lignes et $n$ colonnes, donc $BA$ a $p$ lignes et $n$ colonnes. $\mathrm{\square }$

L'ordre est inversé : la matrice de $g\circ f$ est $BA$, et non $AB$. C'est la faute la plus fréquente sur cette propriété, et elle est facile à éviter en se rappelant que dans $g\circ f$, c'est $f$ qui agit en premier, donc sa matrice doit être la plus proche de la colonne $X$.

Noyau et image

Retenez d'emblée où vivent ces deux ensembles, car les confondre est une faute lourde : le noyau est une partie de l'espace de départ ${\mathbb{R}}^n$, l'image une partie de l'espace d'arrivée ${\mathbb{R}}^m$.

Démonstration. Écrire $f(u)=0_{{\mathbb{R}}^m}$, c'est écrire $AX=0$, c'est-à-dire les $m$ équations linéaires homogènes obtenues en annulant chaque coefficient de la colonne $AX$. Le noyau est donc l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à $n$ inconnues : d'après la section $3$, c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^n$, et le pivot en fournit une famille génératrice explicite. $\mathrm{\square }$

C'est la traduction exacte de la phrase du programme : « le noyau d'une matrice est un sous-espace vectoriel ». Et cette propriété fournit la troisième voie de reconnaissance annoncée à la section $2$ : pour montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel, il suffit parfois de la reconnaître comme le noyau d'une matrice bien choisie.

Démonstration. Procédons par double inclusion.

Soit $w\in \mathrm{Im}f$ : il existe $u=(x_1,\dots ,x_n)$ tel que $w=f(u)$. La décomposition $u=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$ et la linéarité de $f$ donnent

$$w=x_{1}f(e_1)+\cdots +x_{n}f(e_n),$$

donc $w$ appartient à $\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots ,f(e_n))$.

Réciproquement, chaque $f(e_j)$ appartient à $\mathrm{Im}f$. Or $\mathrm{Im}f$ est stable par combinaison linéaire : si $w=f(u)$ et $w^{\mathrm{\prime }}=f(u^{\mathrm{\prime }})$, alors $\lambda w+\mu w^{\mathrm{\prime }}=f(\lambda u+\mu u^{\mathrm{\prime }})$ par linéarité, donc $\lambda w+\mu w^{\mathrm{\prime }}$ est encore une image. En itérant, toute combinaison linéaire des $f(e_j)$ est dans $\mathrm{Im}f$, d'où l'inclusion réciproque.

Enfin, $\mathrm{Im}f$ est l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille finie $(f(e_1),\dots ,f(e_n))$ : c'est donc un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^m$. Et la colonne de $f(e_j)$ est exactement $C_j$, la $j$-ième colonne de $A$. $\mathrm{\square }$

Ne cherchez donc jamais à décrire directement l'ensemble des $f(u)$ : on écrit les colonnes de la matrice, et on en extrait une famille libre par échelonnement.

Injectivité et surjectivité

Démonstration. Supposons $f$ injective et soit $u\in \mathrm{Ker}f$. Alors $f(u)=0_{{\mathbb{R}}^m}=f(0_{{\mathbb{R}}^n})$, et l'injectivité donne $u=0_{{\mathbb{R}}^n}$. Ainsi $\mathrm{Ker}f\subset \{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$ ; l'inclusion réciproque est acquise, puisque $f(0)=0$.

Réciproquement, supposons $\mathrm{Ker}f=\{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$ et soient $u$, $v$ tels que $f(u)=f(v)$. La linéarité donne

$$f(u-v)=f(u)-f(v)=0_{{\mathbb{R}}^m},$$

donc $u-v\in \mathrm{Ker}f$, c'est-à-dire $u-v=0_{{\mathbb{R}}^n}$, soit $u=v$. L'application $f$ est injective. $\mathrm{\square }$

Voilà l'un des résultats les plus rentables du programme : prouver l'injectivité d'une application quelconque demande de manipuler deux antécédents, alors que pour une application linéaire, il suffit de résoudre un système homogène. Notez la rédaction attendue de la conclusion : on écrit $\mathrm{Ker}f=\{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$, et surtout pas « $\mathrm{Ker}f=\mathrm{\varnothing }$ », qui est faux, le noyau contenant toujours le vecteur nul.

C'est la traduction directe de la définition : tout vecteur de ${\mathbb{R}}^m$ possède un antécédent, c'est-à-dire appartient à l'image. L'inclusion $\mathrm{Im}f\subset {\mathbb{R}}^m$ étant toujours vraie, seule l'inclusion réciproque est à établir, et le critère d'égalité par les dimensions de la section $7$ la ramène à la vérification $\dim \mathrm{Im}f=m$.

Un exemple entièrement traité

Rang d'une matrice et théorème du rang

Rang d'une matrice

D'après la section $10$, $\mathrm{Vect}(C_1,\dots ,C_n)$ n'est autre que l'image de $f$ : le rang d'une matrice est donc aussi la dimension de l'image de l'application associée,

$$\mathrm{rg}(A)=\dim \mathrm{Im}f\mathrm{.}$$

Ces trois façons de dire la même chose seront utilisées indifféremment.

Démonstration. La famille des colonnes compte $n$ vecteurs, donc son rang est au plus $n$ d'après la section $8$ ; et ces colonnes vivent dans ${\mathbb{R}}^m$, donc le sous-espace qu'elles engendrent est de dimension au plus $m$. Enfin, $\mathrm{rg}(A)=0$ signifie que le sous-espace engendré par les colonnes est réduit au vecteur nul, c'est-à-dire que toutes les colonnes sont nulles. $\mathrm{\square }$

Ce résultat est admis, et sa portée pratique est considérable. Les colonnes de ${}^{t}A$ sont les lignes de $A$ : l'égalité signifie donc que le rang se lit indifféremment sur les colonnes ou sur les lignes. On peut par conséquent échelonner en lignes pour calculer le rang d'une matrice, ce qui est infiniment plus commode, alors même que le rang est défini par les colonnes. Sans ce résultat, il faudrait transposer avant chaque calcul.

Le théorème du rang

Ce théorème est admis par le programme. Trois remarques sur son usage, car c'est le résultat le plus employé de toute l'algèbre linéaire.

D'abord, la dimension qui apparaît à droite est celle de l'espace de départ : la dimension $m$ de l'espace d'arrivée n'intervient nulle part. Écrire « $\dim \mathrm{Ker}f+\mathrm{rg}(f)=m$ » est une faute qui invalide tout ce qui suit. Le moyen de ne pas se tromper est de compter les colonnes de la matrice.

Ensuite, il est d'un usage économique : il fournit une des deux dimensions dès que l'autre est connue. En pratique, on calcule le noyau, qui ne demande qu'un système homogène, et l'on en déduit le rang sans autre calcul ; il ne reste alors qu'à exhiber le bon nombre de colonnes indépendantes pour avoir une base de l'image.

Enfin, il sert de contrôle systématique : à la fin de tout exercice sur une matrice, on vérifie que la somme tombe sur le nombre de colonnes. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul, et il est inutile d'aller plus loin.

Démonstration. Point $1$. L'application $f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}f=\{0\}$, c'est-à-dire $\dim \mathrm{Ker}f=0$, ce qui équivaut à $\mathrm{rg}(A)=n$ par le théorème du rang.

Point $2$. $f$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}f={\mathbb{R}}^m$. Comme $\mathrm{Im}f$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^m$, le critère d'égalité par les dimensions de la section $7$ montre que cette égalité équivaut à $\dim \mathrm{Im}f=m$, c'est-à-dire $\mathrm{rg}(A)=m$.

Point $3$. On a toujours $\mathrm{rg}(A)⩽m$. Si $n>m$, alors $\mathrm{rg}(A)⩽m<n$, donc $f$ n'est pas injective d'après le point $1$. De même, $\mathrm{rg}(A)⩽n$ ; si $n<m$, alors $\mathrm{rg}(A)<m$ et $f$ n'est pas surjective. $\mathrm{\square }$

Le point $3$ est un réflexe de contrôle immédiat : une application linéaire de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ n'est jamais injective, une application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ n'est jamais surjective. Un raisonnement qui prétend le contraire comporte une erreur.

Le cas des matrices carrées

Démonstration. Montrons $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 1$.

$1\Rightarrow 2$. Supposons $A$ inversible et soit $X$ tel que $AX=0$. En multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient $X=A^{-1}AX=A^{-1}0=0$. Donc $\mathrm{Ker}A=\{0\}$.

$2\Rightarrow 3$. Si $\mathrm{Ker}A=\{0\}$, alors $\dim \mathrm{Ker}A=0$, et le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(A)=n-0=n$.

$3\Rightarrow 4$. Si $\mathrm{rg}(A)=n$, la famille des $n$ colonnes de $A$ a un rang égal à son cardinal, donc elle est libre d'après la section $8$. C'est une famille libre de $n=\dim {\mathbb{R}}^n$ vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$ : c'est une base de ${\mathbb{R}}^n$, d'après le théorème du bon cardinal.

$4\Rightarrow 1$. Supposons que les colonnes de $A$ forment une base de ${\mathbb{R}}^n$. Elles engendrent alors ${\mathbb{R}}^n$, donc $\mathrm{Im}A={\mathbb{R}}^n$ : pour toute colonne $Y$, il existe une colonne $X$ telle que $AX=Y$. Appliquons cela aux $n$ colonnes $E_1,\dots ,E_n$ de $I_n$ : on obtient des colonnes $X_1,\dots ,X_n$ telles que $A{X}_j=E_j$. Notons $B$ la matrice dont les colonnes sont $X_1,\dots ,X_n$. La $j$-ième colonne de $AB$ vaut $A{X}_j=E_j$, donc $AB=I_n$. Comme $A$ et $B$ sont carrées de même ordre, le résultat admis au premier semestre permet de conclure : $A$ est inversible, et $A^{-1}=B$. $\mathrm{\square }$

Ces équivalences complètent la liste établie au premier semestre, et elles donnent un critère praticable à tout ordre : une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang vaut son ordre, ce qui se lit sur un échelonnement en lignes. C'est la méthode à utiliser dès l'ordre $3$, puisque le déterminant n'est disponible qu'à l'ordre $2$.

Méthodes à connaître

Cette section rassemble, sous forme de fiches, les gestes que l'on doit pouvoir exécuter sans réfléchir le jour du concours. Aucun n'est difficile ; ce qui se joue, c'est la rapidité et la propreté de la rédaction.

L'essentiel

Voici, pour finir, la carte du chapitre puis les erreurs qui coûtent des points chaque année.

Tout sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^n$ se présente sous l'une des deux formes suivantes, et l'exercice consiste presque toujours à passer de l'une à l'autre.

Les gestes à maîtriser tiennent en six lignes. Reconnaître un sous-espace vectoriel : générateurs, système homogène, ou noyau, jamais autre chose. Trouver une base et une dimension : pivot, paramètres, séparation, vérification. Décider de la liberté : combinaison nulle, système homogène, pivot, et relation explicite en cas de famille liée. Conclure qu'une famille est une base : compter d'abord, démontrer la liberté ensuite, citer le théorème du bon cardinal. Calculer un rang : échelonner en lignes et compter. Traiter une matrice : noyau par le système, rang par le théorème du rang, image par les colonnes, puis contrôle de la somme.

Oublier de compter les vecteurs. Le théorème du bon cardinal ne s'applique qu'au bon cardinal. Une famille libre de deux vecteurs ne sera jamais une base de ${\mathbb{R}}^3$, si soignée que soit la démonstration de sa liberté.

Confondre « liée » et « deux vecteurs colinéaires ». À partir de trois vecteurs, une famille peut être liée sans qu'aucun de ses vecteurs ne soit multiple d'un autre. Le seul test valable est le système homogène.

Confondre le noyau et l'image. Le noyau vit dans l'espace de départ, l'image dans l'espace d'arrivée, et le théorème du rang fait intervenir la dimension du départ, c'est-à-dire le nombre de colonnes de la matrice.

Écrire $\mathrm{Ker}f=\mathrm{\varnothing }$. Le noyau contient toujours le vecteur nul, il n'est donc jamais vide. La bonne écriture est $\mathrm{Ker}f=\{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$.

Inverser l'ordre dans la composition. La matrice de $g\circ f$ est $BA$, jamais $AB$ : c'est $f$ qui agit en premier, donc sa matrice touche la colonne en premier.

Conclure $F=G$ à partir des seules dimensions. L'égalité des dimensions ne suffit pas : il faut une inclusion. Deux droites distinctes du plan ont la même dimension et ne sont pas égales.

Chercher un déterminant d'ordre $3$. Il n'existe pas dans ce programme. Pour trois ou quatre vecteurs, la liberté et le rang se décident au pivot, et l'inversibilité d'une matrice carrée par son rang.

Sauter les vérifications. Un vecteur annoncé dans un noyau se réinjecte, un générateur annoncé dans un sous-espace se teste sur les équations, et la somme du théorème du rang se contrôle. Ces vérifications prennent trente secondes et sauvent des copies entières.