Devoir surveillé — Compléments d'analyse

Consignes générales. Le sujet comporte cinq exercices indépendants, qui peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés : toutes les valeurs numériques utiles sont fournies dans les énoncés, ou se calculent à la main. La qualité de la rédaction, et en particulier la vérification explicite des hypothèses des théorèmes employés, entre pour une part importante dans l'appréciation des copies.

On cherche à calculer le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ d'une fonction sans la dériver, en n'utilisant que des valeurs de $f$. Deux formules sont en concurrence. Soient $a$ un réel et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un intervalle ouvert contenant $a$. Pour $h>0$ assez petit, on pose

$$D_1(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{et}{D}_2(h)=\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\mathrm{.}$$

1. Énoncer la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ pour $f$ au voisinage de $a$, puis en déduire les deux écritures de $f(a+h)$ et de $f(a-h)$ lorsque $h$ tend vers $0$. (0,5 point)

2. Démontrer que $D_1(h)-f^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{h}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)+o(h)$ lorsque $h\to 0$. En déduire, dans le cas où $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$, un équivalent simple de $D_1(h)-f^{\mathrm{\prime }}(a)$. (0,75 point)

3. Démontrer que $D_2(h)-f^{\mathrm{\prime }}(a)=o(h)$ lorsque $h\to 0$. Aucune règle de calcul sur les développements limités n'étant au programme, on reviendra à la définition de la négligeabilité pour justifier la nature du reste. (0,5 point)

4. Application. On prend $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $a=1$ et $h={\displaystyle \frac{1}{10}}$. Calculer les valeurs exactes, sous forme de fractions, de $D_1\left(\frac{1}{10}\right)$ et de $D_2\left(\frac{1}{10}\right)$, puis des deux erreurs commises sur $f^{\mathrm{\prime }}(1)$. Comparer l'erreur de $D_1$ à la valeur annoncée par la question 2, et les deux erreurs entre elles. (0,75 point)

5. Un élève conclut : « l'erreur commise par $D_2$ est négligeable devant $h$, donc en divisant $h$ par $10$ on divise cette erreur par au moins $100$ ». Cette conclusion est-elle justifiée par ce qui précède ? Énoncer précisément ce que les questions 2 et 3 permettent d'affirmer, et ce qu'elles ne permettent pas d'affirmer. (0,5 point)

À un réel $a$ fixé, on associe la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par

$$u_n(a)={\mathrm{e}}^{1\mathrm{/}n}-1-\frac{a}{n}\mathrm{.}$$

Le cours traite un cas analogue, celui de la série de terme général ${\displaystyle \frac{1}{n}}-\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$, et l'on procédera de la même façon. La question posée ici est différente : il s'agit de déterminer, selon la valeur du paramètre $a$, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{u}_n(a)}$.

1. Démontrer que, quel que soit le réel $a$, la suite $(u_n(a))$ converge vers $0$. (0,25 point)

2. Écrire le développement limité à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle, puis en déduire que

   $$u_n(a)=\frac{1-a}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^2}\right)\mathrm{.}$$

   (0,5 point)

3. On suppose $a\mathrm{\ne }1$. Démontrer que $u_n(a)\sim {\displaystyle \frac{1-a}{n}}$, puis déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{u}_n(a)}$. On prendra garde au signe des termes, qui dépend de la position de $a$ par rapport à $1$. (0,75 point)

4. On suppose $a=1$. Déterminer un équivalent simple de $u_n(1)$, puis la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{u}_n(1)}$. (0,5 point)

5. Conclure : pour quelles valeurs de $a$ la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{u}_n(a)}$ converge-t-elle ? (0,25 point)

6. Soient $a$ et $b$ deux réels. On pose $v_n={\mathrm{e}}^{1\mathrm{/}n}-1-{\displaystyle \frac{a}{n}}-{\displaystyle \frac{b}{n^2}}$ pour $n⩾1$. Déterminer, en fonction de $a$ et de $b$, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{v}_n}$. Que faut-il en retenir ? (0,5 point)

Soit $a$ un réel. Pour tout entier $n⩾2$, on pose

$$u_n=n^a-(n-1{)}^a\mathrm{.}$$

L'objet de l'exercice est de déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}{u}_n}$ de deux façons indépendantes, puis de comparer ce que chacune apprend.

1. Première méthode. Pour $n⩾2$, calculer la somme partielle ${\displaystyle \sum _{k=2}^n{u}_k}$ par télescopage. En déduire, en discutant selon la valeur de $a$, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}{u}_n}$, ainsi que sa somme lorsqu'elle converge. (0,5 point)

2. Seconde méthode. On suppose $a\mathrm{\ne }0$. À l'aide d'un développement limité à l'ordre $1$, démontrer que

   (On pourra commencer par mettre $n^a$ en facteur. La quantité conjuguée, utile pour une différence de racines carrées, ne sert à rien ici.) (1 point)

3. Retrouver, à l'aide de cet équivalent et des séries de Riemann, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}{u}_n}$ selon le signe de $a$. Vérifier l'accord avec la question 1. (0,75 point)

4. Contrôle sur un cas explicite. On prend $a=-2$. Écrire $u_n$ sous la forme d'un quotient, puis retrouver directement l'équivalent de la question 2 et la somme de la question 1. (0,5 point)

Pour deux réels $a$ et $b$, on considère la fonction $\phi$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$\phi (t)=\frac{a}{1+t}-\frac{b}{1+3t}\mathrm{.}$$

1. Démontrer que les deux intégrales ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{1+t}}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{1+3t}}$ divergent. (0,5 point)

2. Peut-on en déduire la nature de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\phi (t)dt}$ ? Justifier en citant précisément l'hypothèse du théorème de linéarité qui fait défaut. (0,5 point)

3. Soit $x>0$. Justifier que $\phi$ est continue sur $[0,x]$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^x\phi (t)dt}$. (0,5 point)

4. Déterminer tous les couples $(a,b)$ de réels pour lesquels l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\phi (t)dt}$ converge, et donner sa valeur dans ce cas. (1 point)

5. On prend désormais $a=1$ et $b=3$. Vérifier que

   $$\phi (t)=\frac{-2}{(1+t)(1+3t)}$$

   pour tout $t⩾0$, en déduire un équivalent simple de $\phi (t)$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$, puis retrouver la convergence de l'intégrale sans calculer de primitive. (0,5 point)

6. Généralisation. Soit $c>0$. Pour quels couples $(a,b)$ l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(\frac{a}{1+t}-\frac{b}{1+ct})dt}$ converge-t-elle, et que vaut-elle alors ? Interpréter la condition obtenue en comparant les équivalents des deux termes en $+\mathrm{\infty }$. (0,25 point)

Un laboratoire étudie le devenir d'un principe actif dans l'organisme à l'aide d'un modèle à deux compartiments, le sang et les tissus. Le temps $t$ est exprimé en heures. Pour $t⩾0$, on note $x(t)$ la quantité de principe actif présente dans le sang et $y(t)$ celle présente dans les tissus, toutes deux en milligrammes, et l'on pose

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Les fonctions $x$ et $y$ sont supposées dérivables sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Le modèle repose sur trois hypothèses, les coefficients étant exprimés par heure.

• Le sang cède aux tissus, par unité de temps, une quantité proportionnelle à ce qu'il contient, de coefficient $3$, et perd de même une quantité $1\times x(t)$, définitivement éliminée par les reins.
• Les tissus rendent au sang, par unité de temps, une quantité proportionnelle à ce qu'ils contiennent, de coefficient $1$, et perdent de même une quantité $1\times y(t)$, définitivement dégradée sur place.
• Aucun apport extérieur n'a lieu après l'instant initial.

À l'instant $t=0$, on injecte $8$ milligrammes de principe actif dans le sang.

Les trois parties s'enchaînent : la partie A met le modèle en équations, la partie B le résout, la partie C en tire une grandeur que l'on obtiendra finalement sans passer par la résolution.

Partie A — Le modèle

1. Traduire les hypothèses en un système de deux équations différentielles, et montrer qu'il s'écrit $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ avec

   $$A=\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ 3& -2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

   Préciser la condition initiale $X(0)$. (0,75 point)

2. Énoncer le théorème du cours qui garantit l'existence et l'unicité d'une solution vérifiant cette condition initiale. (0,25 point)

3. On note $s(t)=x(t)+y(t)$ la quantité de principe actif encore présente dans l'organisme à l'instant $t$. Sans résoudre le système, démontrer que $s^{\mathrm{\prime }}(t)=-s(t)$ pour tout $t⩾0$, en déduire l'expression de $s(t)$, puis interpréter. (0,5 point)

Partie B — Résolution

4. Justifier qu'un réel $\lambda$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si $\det (A-\lambda I_2)=0$. Déterminer les valeurs propres de $A$ et justifier que $A$ est diagonalisable. (0,75 point)

5. Déterminer un vecteur propre associé à chaque valeur propre. En déduire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, calculer $P^{-1}$ et vérifier que $P{P}^{-1}=I_2$. (0,75 point)

6. À l'aide du changement d'inconnue $Y=P^{-1}X$, résoudre le problème de Cauchy et démontrer que, pour tout $t⩾0$,

   $$x(t)=2{\mathrm{e}}^{-t}+6{\mathrm{e}}^{-5t}\text{et}y(t)=6{\mathrm{e}}^{-t}-6{\mathrm{e}}^{-5t}\mathrm{.}$$

   Vérifier la cohérence de ce résultat avec la question 3. (1 point)

7. Déterminer un équivalent simple de $x(t)$ et un équivalent simple de $y(t)$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$, puis la limite du quotient ${\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}}$. Comparer cette limite au rapport des coordonnées des vecteurs propres de la question 5, et commenter. (0,5 point)

Partie C — L'exposition totale

On appelle exposition de chaque compartiment l'intégrale de sa quantité sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, c'est-à-dire

$$M_x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x(t)dt\text{et}{M}_y={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y(t)dt,$$

exprimées en milligrammes-heures. C'est cette grandeur, et non la dose injectée, qui mesure l'effet cumulé du traitement sur chaque compartiment. On pose $M=\left(\begin{array}{c}{M}_x\\ M_y\end{array}\right)$.

8. Démontrer que ces deux intégrales convergent et calculer leurs valeurs. Vérifier que $M_x+M_y$ est bien l'intégrale de la fonction $s$ obtenue à la question 3. (0,75 point)

9. Soit $T>0$. Justifier que $x$ et $y$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,T]$, puis démontrer les deux égalités de colonnes

   $${\int }_0^T{X}^{\mathrm{\prime }}(t)dt=X(T)-X(0)\text{et}{\int }_0^{T}AX(t)dt=A{\int }_0^{T}X(t)dt,$$

   où l'intégrale d'une colonne de fonctions désigne la colonne des intégrales de ses coefficients. (0,75 point)

10. En faisant tendre $T$ vers $+\mathrm{\infty }$ dans l'égalité qui en résulte, démontrer que $AM=-X(0)$, puis que $M=-A^{-1}X(0)$ après avoir justifié que $A$ est inversible. Vérifier que l'on retrouve les valeurs de la question 8. (1,25 point)

11. On administre désormais la même dose totale de $8$ milligrammes, mais répartie entre les deux compartiments : $x(0)=x_0$ et $y(0)=8-x_0$, avec $x_0\in [0,8]$. Sans résoudre le système, exprimer $M_x$ et $M_y$ en fonction de $x_0$, puis déterminer la répartition qui rend l'exposition tissulaire maximale. Que remarque-t-on sur la somme $M_x+M_y$ ? (0,5 point)

12. La démonstration des deux égalités $AM=-X(0)$ puis $M=-A^{-1}X(0)$ s'appuie sur la question 6 en deux endroits précis : lesquels ? Quelle hypothèse portant sur $A$ et sur ses valeurs propres permettrait de justifier ces deux points sans connaître l'expression des solutions ? (0,5 point)