Compléments d'analyse

Ce chapitre est la boîte à outils de la deuxième année. Il ne construit pas d'objet nouveau, il ne vous demandera pas d'apprendre une théorie supplémentaire : il vous donne les instruments de mesure qui manquaient en première année, et sans lesquels la plupart des chapitres qui suivent resteraient inaccessibles. C'est un chapitre de moyens, pas de fins, et c'est précisément ce qui le rend indispensable.

En première année, vous avez appris à calculer une limite. C'est déjà beaucoup, mais c'est un outil grossier. Savoir que $n^2+n$ et $n^2$ tendent toutes les deux vers $+\mathrm{\infty }$ ne dit rien de leur différence de comportement, et savoir que $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n^2}$ tendent toutes les deux vers $0$ ne dit rien du fait que la seconde y va infiniment plus vite que la première. Or c'est exactement cette information fine dont on a besoin. La négligeabilité, notée $u_n=o(v_n)$, et l'équivalence, notée $u_n\sim v_n$, sont les deux instruments qui la fournissent : ils permettent de dire laquelle de deux suites l'emporte, et de combien.

Ces deux notions changent radicalement la manière de traiter les séries. En première année, on ne savait déterminer la nature d'une série qu'en calculant explicitement ses sommes partielles, ce qui limitait l'étude aux séries géométriques, exponentielles et télescopiques. Grâce aux règles de comparaison, on décide désormais de la nature d'une série sans jamais calculer sa somme : il suffit de comparer son terme général à celui d'une série de référence. C'est un renversement complet de méthode, et c'est ce que les concours attendent.

Le même mouvement se produit pour les intégrales. Une intégrale sur un segment $[a,b]$ est un objet de première année, parfaitement défini. Mais que signifie ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}dt$, où la borne supérieure n'est pas un nombre ? La quatrième partie donne un sens précis à ce genre d'écriture, exactement comme le chapitre sur les séries avait donné un sens à une somme infinie, et par le même procédé : on travaille sur un objet fini, l'intégrale ${\int }_a^{x}f(t)dt$, puis on fait tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$.

Il faut dire pourquoi le programme introduit ces intégrales ici, car la raison est très concrète : elles existent pour permettre l'étude des variables aléatoires à densité, qui font l'objet du chapitre de probabilités suivant. Une durée de vie, un temps d'attente, un revenu ne prennent pas leurs valeurs dans un ensemble fini ; leur loi se décrit par une densité, et l'espérance d'une telle variable est une intégrale sur $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$. Sans le présent chapitre, on ne pourrait même pas écrire cette espérance, encore moins dire quand elle existe. De la même manière, les séries sont l'outil des variables aléatoires discrètes infinies : les deux moitiés de ce chapitre préparent les deux moitiés du cours de probabilités.

La première partie, elle, regarde dans une autre direction. Les systèmes différentiels sont l'outil des modèles d'évolution en temps continu : un prix qui s'ajuste à l'écart entre l'offre et la demande, deux marchés qui s'influencent l'un l'autre, un stock qui se reconstitue. Là où une suite décrit une évolution par sauts d'une période à la suivante, un système différentiel décrit une évolution qui se produit à chaque instant, et c'est souvent le cadre naturel de la modélisation économique.

Cette première partie est aussi, et c'est sa grande vertu, l'application la plus concrète de la réduction vue au chapitre précédent d'algèbre linéaire. Diagonaliser une matrice pouvait passer pour un exercice de calcul sans destination ; on découvre ici que c'est exactement la manipulation qui découple un système d'équations liées les unes aux autres. Résoudre $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ quand $A$ est diagonalisable, c'est écrire $A=PD{P}^{-1}$, poser $Y=P^{-1}X$, résoudre $n$ équations indépendantes du type $z^{\mathrm{\prime }}=\lambda z$ que vous savez traiter depuis la première année, et revenir par $X=PY$. Rien de plus. La diagonalisation trouve ici sa justification.

Le chapitre comporte enfin deux paragraphes plus techniques, mais très rentables aux concours : les suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$, dont l'étude suit un mode d'emploi immuable en cinq étapes que vous appliquerez des dizaines de fois, et les développements limités à l'ordre $1$ ou $2$, qui décrivent une fonction au voisinage d'un point avec une précision qu'aucune limite ne donne.

Un mot sur la manière de travailler ce chapitre. Son contenu est moins difficile que son usage : chaque énoncé pris isolément est simple, mais tout se joue dans le respect scrupuleux des hypothèses. On n'additionne pas des équivalents, on ne compare pas des séries de signe quelconque, on n'écrit pas une intégrale généralisée avant d'avoir prouvé qu'elle converge. Les mises en garde de ce cours ne sont pas des précautions oratoires : ce sont les fautes réellement commises dans les copies, et elles coûtent des questions entières.

Notations fixées pour tout le chapitre. Pour les systèmes différentiels, l'inconnue est une colonne de fonctions $X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$, le système s'écrit $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, la matrice de passage est notée $P$, la matrice diagonale $D$, et le changement d'inconnues est $Y=P^{-1}X$, c'est-à-dire $X=PY$. Les valeurs propres sont notées ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, ${\lambda }_3$ et les constantes d'intégration $C_1$, $C_2$, $C_3$. Pour les suites, on note $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites étudiées, $k$ l'indice muet, $S_n={\sum }_{k=n_0}^n{u}_k$ la somme partielle et $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ la série harmonique. La négligeabilité s'écrit $u_n=o(v_n)$ et l'équivalence $u_n\sim v_n$, avec la précision lorsqu'elle est utile, et pour les fonctions. Les intégrales généralisées sont notées ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt$, et l'intégrale partielle $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$. Un développement limité s'écrit $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+(x-x_0{)}^2\epsilon (x-x_0)$ avec $\epsilon (h)⟶0$ quand $h⟶0$. Le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

Du système à l'écriture matricielle

Le programme suggère d'aborder ce paragraphe par un exemple fondé sur la loi de l'offre et de la demande. Commençons donc par là, avant toute définition.

Considérons deux biens substituables, disons le beurre et la margarine, dont les prix à l'instant $t$ sont notés $p_1(t)$ et $p_2(t)$. Sur chaque marché, la demande diminue quand le prix du bien augmente, mais elle augmente quand le prix du concurrent augmente, puisque les acheteurs se reportent. La loi de l'offre et de la demande dit que le prix monte quand la demande excède l'offre, et descend dans le cas contraire, avec une vitesse proportionnelle à cet écart. Si l'on modélise la demande excédentaire sur le premier marché par $3-2p_1(t)+p_2(t)$, et symétriquement sur le second, on obtient

$$\{\begin{array}{l}{p}_1^{\mathrm{\prime }}(t)=-2p_1(t)+p_2(t)+3\\ p_2^{\mathrm{\prime }}(t)=p_1(t)-2p_2(t)+3\end{array}$$

Aucune des deux équations ne peut se résoudre seule : la dérivée de $p_1$ dépend de $p_2$, et réciproquement. On dit que les deux équations sont couplées. C'est cette difficulté que toute la partie va lever, et l'outil sera l'écriture matricielle. En posant

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}{p}_1(t)\\ p_2(t)\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$$

le système se résume à la seule égalité $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$. Nous traiterons d'abord le cas $B=0$, dit homogène, puis nous verrons qu'un simple changement d'inconnue ramène le cas général au cas homogène.

Le problème de Cauchy

Un système différentiel possède en général une infinité de solutions, exactement comme l'équation $z^{\mathrm{\prime }}=\lambda z$ de première année, dont les solutions $C{\mathrm{e}}^{\lambda t}$ dépendent d'une constante libre. Pour sélectionner une solution et une seule, il faut une information supplémentaire : la valeur de $X$ à un instant donné.

Ce théorème est admis : sa démonstration dépasse le programme. Il faut en revanche comprendre exactement ce qu'il affirme, car il est la justification silencieuse de toute la pratique du chapitre.

Résolution lorsque $A$ est diagonalisable

Voici le cœur de la partie. Toute la méthode repose sur une remarque très simple : un système découplé se résout immédiatement.

Le cas découplé. Supposons d'abord $A$ diagonale, égale à $D$, de coefficients diagonaux ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$. Le système $X^{\mathrm{\prime }}=DX$ s'écrit alors

$$x_1^{\mathrm{\prime }}={\lambda }_1{x}_1,x_2^{\mathrm{\prime }}={\lambda }_2{x}_2,\dots ,x_n^{\mathrm{\prime }}={\lambda }_n{x}_n$$

Chaque équation ne fait intervenir qu'une seule inconnue : les équations sont indépendantes. Or vous savez depuis la première année que les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $z^{\mathrm{\prime }}=\lambda z$ sont exactement les fonctions $t\mapsto C{\mathrm{e}}^{\lambda t}$, où $C$ est une constante réelle quelconque. Les solutions du système découplé sont donc

$$x_1(t)=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t},\dots ,x_n(t)=C_n{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}t}$$

avec $n$ constantes libres. Le cas diagonal est réglé.

Le cas général. Si $A$ est seulement diagonalisable, il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$. L'idée est de changer d'inconnue pour se ramener au cas précédent.

Démonstration. Les matrices $P$ et $P^{-1}$ sont constantes : dériver $Y=P^{-1}X$ coefficient par coefficient revient donc à dériver seulement $X$, ce qui donne $Y^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}{X}^{\mathrm{\prime }}$, et de même $X^{\mathrm{\prime }}=P{Y}^{\mathrm{\prime }}$.

Supposons $X^{\mathrm{\prime }}=AX$. Alors, en utilisant $A=PD{P}^{-1}$ et $X=PY$,

$$Y^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}{X}^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}AX=P^{-1}\left(PD{P}^{-1}\right)PY=\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)Y=DY$$

Réciproquement, supposons $Y^{\mathrm{\prime }}=DY$. Alors

$$X^{\mathrm{\prime }}=P{Y}^{\mathrm{\prime }}=PDY=PD\left(P^{-1}X\right)=\left(PD{P}^{-1}\right)X=AX$$

Les deux implications donnent l'équivalence annoncée. $\mathrm{\square }$

Systèmes affines et état d'équilibre

Le modèle économique de l'ouverture n'était pas homogène : il comportait un terme constant $B$. C'est le cas général en modélisation, et il se ramène au précédent par un changement d'inconnue très simple, qui a de surcroît une interprétation économique directe.

Démonstration. Cherchons d'abord les solutions constantes. Si $X$ est constante, alors $X^{\mathrm{\prime }}=0$, et l'équation devient $0=AX+B$, c'est-à-dire $AX=-B$. Comme $A$ est inversible, ce système a une solution et une seule, $X=-A^{-1}B=X_e$. Réciproquement, la fonction constante égale à $X_e$ vérifie $A{X}_e+B=-A{A}^{-1}B+B=-B+B=0=X_e^{\mathrm{\prime }}$ : c'est bien une solution.

Passons au changement d'inconnue. La colonne $X_e$ étant constante, sa dérivée est nulle, donc $Z^{\mathrm{\prime }}=X^{\mathrm{\prime }}-X_e^{\mathrm{\prime }}=X^{\mathrm{\prime }}$. Par ailleurs $X=Z+X_e$, donc

$$AX+B=A(Z+X_e)+B=AZ+\underset{=0}{\underbrace{A{X}_e+B}}=AZ$$

Ainsi $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$ équivaut à $Z^{\mathrm{\prime }}=AZ$. $\mathrm{\square }$

Ce paragraphe est le plus utile de toute la partie du point de vue de la modélisation. Un modèle économique en temps continu s'écrit presque toujours sous la forme affine $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$ : le vecteur $B$ contient les données exogènes (offre autonome, demande incompressible, dépense publique) et la matrice $A$ décrit les interactions entre les variables. L'état d'équilibre $X_e$ est la configuration où plus rien ne bouge, c'est-à-dire l'équilibre du marché au sens des économistes, et le changement d'inconnue $Z=X-X_e$ dit que seul l'écart à l'équilibre a une dynamique propre. Toute la question devient : cet écart s'éteint-il, ou s'amplifie-t-il ?

Comportement asymptotique des trajectoires

C'est la question que nous venons de poser, et elle se tranche sans résoudre le système, au seul vu du signe des valeurs propres.

Démonstration. L'expression de $X(t)$ est la traduction de $X=PY$ avec $y_i(t)=C_i{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}$ : le produit $PY$ est la combinaison des colonnes de $P$ affectées des coefficients $y_i$.

Premier cas. Si ${\lambda }_i<0$ pour tout $i$, alors ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}⟶0$ quand $t⟶+\mathrm{\infty }$. Chaque terme de la somme tend donc vers la colonne nulle, et par somme d'un nombre fini de limites, $X(t)⟶0$.

Deuxième cas. Supposons ${\lambda }_j>0$ et $C_j\mathrm{\ne }0$, et raisonnons par l'absurde en supposant toutes les composantes de $X$ bornées. Comme $Y=P^{-1}X$, chaque composante de $Y$ est une combinaison linéaire à coefficients constants des composantes de $X$ ; elle serait donc bornée elle aussi. Or $y_j(t)=C_j{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}$ et ${\lambda }_j>0$ entraînent $\mid y_j(t)\mid =\mid C_j\mid {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}⟶+\mathrm{\infty }$ : la fonction $y_j$ n'est pas bornée. Contradiction.

Troisième cas. Si ${\lambda }_i=0$, alors ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}={\mathrm{e}}^0=1$ pour tout $t$, et le terme vaut $C_i{V}_i$, indépendant de $t$. $\mathrm{\square }$

La figure ci-dessous illustre les deux régimes sur une même composante $t\mapsto x(t)$. La première courbe correspond à des valeurs propres $-1$ et $-2$ : les deux exponentielles s'éteignent, la trajectoire s'amortit vers $0$. La seconde correspond à des valeurs propres $-1$ et $\mathrm{0,5}$ : le terme en ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}t}$ finit par écraser tout le reste, et la trajectoire explose. Notez que dans le second cas la courbe commence par sembler sage, ce qui doit vous rendre méfiant vis-à-vis d'une conclusion tirée des premiers instants.

Équation scalaire d'ordre 2 et système d'ordre 1

Une équation différentielle scalaire du second ordre n'est pas un objet nouveau : c'est un système d'ordre $1$ déguisé, et le déguisement se lève par un changement d'inconnue.

Démonstration. Supposons $y$ solution et posons $x=y$, $z=y^{\mathrm{\prime }}$. Alors $x^{\mathrm{\prime }}=y^{\mathrm{\prime }}=z$, ce qui est la première ligne du système. Et $z^{\mathrm{\prime }}=y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-a{y}^{\mathrm{\prime }}-by=-bx-az$, ce qui est la seconde ligne. Donc $X^{\mathrm{\prime }}=AX$.

Réciproquement, si $X=\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)$ vérifie $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, la première ligne donne $z=x^{\mathrm{\prime }}$, donc $x$ est deux fois dérivable, et la seconde ligne s'écrit $x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=z^{\mathrm{\prime }}=-bx-az$, c'est-à-dire $x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{x}^{\mathrm{\prime }}+bx=0$ : la fonction $y=x$ est solution de l'équation scalaire.

Calculons enfin le polynôme caractéristique de $A$ :

$$\det (A-\lambda I_2)=\det \left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ -b& -a-\lambda \end{array}\right)=(-\lambda )(-a-\lambda )-(1)(-b)={\lambda }^2+a\lambda +b$$

C'est bien l'équation caractéristique de première année. $\mathrm{\square }$

Comparaison des suites

Suites négligeables

Démonstration. Supposons $u_n=o(v_n)$ : il existe $({\epsilon }_n)$ de limite nulle telle que $u_n={\epsilon }_n{v}_n$ à partir d'un certain rang. Comme $v_n\mathrm{\ne }0$ à partir d'un certain rang, on peut diviser à partir du plus grand des deux rangs, et ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}={\epsilon }_n⟶0$.

Réciproquement, supposons ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}⟶0$ et posons ${\epsilon }_n={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$, défini à partir du rang où $v_n\mathrm{\ne }0$. Alors ${\epsilon }_n⟶0$ et $u_n={\epsilon }_n{v}_n$ à partir de ce rang. $\mathrm{\square }$

En pratique, c'est toujours cette caractérisation par le quotient que l'on utilise : elle transforme une question de comparaison en un calcul de limite.

Suites équivalentes

Démonstration. Supposons $u_n\sim v_n$ : il existe $({\alpha }_n)$ de limite $1$ telle que $u_n={\alpha }_n{v}_n$ à partir d'un certain rang. Posons ${\epsilon }_n={\alpha }_n-1$. Alors ${\epsilon }_n⟶1-1=0$ et

$$u_n-v_n={\alpha }_n{v}_n-v_n=({\alpha }_n-1)v_n={\epsilon }_n{v}_n$$

ce qui est exactement $u_n-v_n=o(v_n)$.

Réciproquement, supposons $u_n-v_n=o(v_n)$ : il existe $({\epsilon }_n)$ de limite nulle telle que $u_n-v_n={\epsilon }_n{v}_n$ à partir d'un certain rang. Alors $u_n=(1+{\epsilon }_n)v_n$, et la suite ${\alpha }_n=1+{\epsilon }_n$ tend vers $1$ : on a bien $u_n\sim v_n$. $\mathrm{\square }$

Cette caractérisation est la bonne façon de comprendre l'équivalence : dire que $u_n\sim v_n$, c'est dire que l'erreur commise en remplaçant $u_n$ par $v_n$ est négligeable devant $v_n$ elle-même. L'équivalence est donc une approximation relative, et non absolue : $n^2+n\sim n^2$ bien que l'écart $n$ tende vers $+\mathrm{\infty }$, parce que cet écart est petit devant $n^2$.

Démonstration. Écrivons $u_n={\alpha }_n{v}_n$ avec ${\alpha }_n⟶1$, pour $n⩾N$.

Le signe. Comme ${\alpha }_n⟶1$ et que $1>\frac{1}{2}$, la définition de la limite fournit un rang $N_1⩾N$ à partir duquel ${\alpha }_n>\frac{1}{2}$, donc ${\alpha }_n>0$. Le produit $u_n={\alpha }_n{v}_n$ a alors le même signe que $v_n$, pour tout $n⩾N_1$.

La limite finie. Si $v_n⟶\mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }$ réel, le théorème du produit des limites donne $u_n={\alpha }_n{v}_n⟶1\times \mathrm{\ell }=\mathrm{\ell }$.

La limite infinie. Si $v_n⟶+\mathrm{\infty }$, alors $v_n>0$ à partir d'un certain rang, et pour $n$ assez grand $u_n={\alpha }_n{v}_n⩾\frac{1}{2}{v}_n$ d'après ce qui précède. Comme $\frac{1}{2}{v}_n⟶+\mathrm{\infty }$, le théorème de minoration donne $u_n⟶+\mathrm{\infty }$. Le cas $v_n⟶-\mathrm{\infty }$ se traite de même.

La réciproque s'obtient en échangeant les rôles de $(u_n)$ et $(v_n)$, ce qui est licite puisque $v_n=\frac{1}{{\alpha }_n}{u}_n$ avec $\frac{1}{{\alpha }_n}⟶1$. $\mathrm{\square }$

Règles de calcul, et surtout les pièges

Démonstration. Écrivons $u_n={\alpha }_n{v}_n$ et $a_n={\beta }_n{b}_n$ avec ${\alpha }_n⟶1$ et ${\beta }_n⟶1$, à partir d'un rang commun.

Produit. On a $u_n{a}_n=\left({\alpha }_n{\beta }_n\right)v_n{b}_n$, et ${\alpha }_n{\beta }_n⟶1\times 1=1$ par produit des limites.

Quotient. À partir du rang où ${\beta }_n\mathrm{\ne }0$, ce qui est acquis puisque ${\beta }_n⟶1$, on a ${\displaystyle \frac{u_n}{a_n}}={\displaystyle \frac{{\alpha }_n}{{\beta }_n}}\times {\displaystyle \frac{v_n}{b_n}}$, et ${\displaystyle \frac{{\alpha }_n}{{\beta }_n}}⟶{\displaystyle \frac{1}{1}}=1$.

Puissance. Pour $p⩾1$, $u_n^p={\alpha }_n^p{v}_n^p$ avec ${\alpha }_n^p⟶1^p=1$. Pour $p⩽-1$, on applique ce qui précède à l'exposant $-p⩾1$ puis la règle du quotient.

Transitivité. Si $u_n={\alpha }_n{v}_n$ et $v_n={\gamma }_n{w}_n$, alors $u_n=\left({\alpha }_n{\gamma }_n\right)w_n$ avec ${\alpha }_n{\gamma }_n⟶1$. La symétrie vient de $v_n=\frac{1}{{\alpha }_n}{u}_n$, licite dès que ${\alpha }_n\mathrm{\ne }0$, et $\frac{1}{{\alpha }_n}⟶1$. $\mathrm{\square }$

Retenez la liste : produit, quotient, puissance entière. Elle est complète. Tout ce qui n'y figure pas est interdit, et deux opérations en particulier sont des pièges à répétition.

Les croissances comparées réécrites

Vous connaissez depuis la première année les théorèmes de croissances comparées, énoncés sous forme de limites. Les voici réécrits avec la négligeabilité, qui est leur forme naturelle et de très loin la plus commode.

Chacune de ces relations se lit dans le même sens : la quantité de gauche est infiniment plus petite que celle de droite. Par transitivité, on peut les enchaîner, ce qui donne la hiérarchie suivante, à connaître par cœur.

Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$

Le problème posé

Une suite arithmétique ou géométrique se calcule par une formule explicite : on sait exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et tout devient facile. Pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ avec une fonction $f$ quelconque, il n'existe en général aucune formule explicite. Essayez avec $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ : vous obtiendrez des radicaux emboîtés qui ne se simplifient pas.

Il faut donc changer de stratégie et étudier la suite par ses propriétés : reste-t-elle dans une zone raisonnable, est-elle monotone, est-elle bornée, converge-t-elle, et vers quoi ? C'est cette démarche que toute la partie met en place, et elle aboutit à une méthode en cinq étapes valable pour presque tous les exercices que vous rencontrerez.

Première difficulté, souvent négligée par les copies : il faut d'abord s'assurer que la suite existe. Si $f(x)=\sqrt{x+2}$ et que l'un des termes devenait strictement inférieur à $-2$, le suivant ne serait pas défini et la suite s'arrêterait. D'où la notion suivante.

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété « $u_n$ est bien défini et $u_n\in I$ ».

Initialisation. Le terme $u_0$ est donné et appartient à $I$ par hypothèse : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Alors $u_n$ est bien défini et $u_n\in I$. Comme $f$ est définie sur $I$ tout entier, la quantité $f(u_n)$ existe, donc $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien défini. De plus $u_n\in I$ et $I$ est stable par $f$, donc $f(u_n)\in I$, c'est-à-dire $u_{n+1}\in I$. La propriété $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Le point fixe

Démonstration. Supposons $u_n⟶\mathrm{\ell }$ et $f$ continue en $\mathrm{\ell }$. Calculons de deux façons la limite de la suite $\left(u_{n+1}\right)$.

Première façon. La suite $\left(u_{n+1}\right)$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang : elle converge donc vers la même limite, et $u_{n+1}⟶\mathrm{\ell }$.

Seconde façon. Pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$. La suite $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ et $f$ est continue en $\mathrm{\ell }$ : la caractérisation séquentielle de la continuité donne $f(u_n)⟶f(\mathrm{\ell })$, c'est-à-dire $u_{n+1}⟶f(\mathrm{\ell })$.

La suite $\left(u_{n+1}\right)$ admet donc les deux limites $\mathrm{\ell }$ et $f(\mathrm{\ell })$. Par unicité de la limite d'une suite convergente, ces deux réels sont égaux :

$$f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }\mathrm{\square }$$

Le cas où $f$ est croissante

C'est le cas favorable, et c'est celui que les énoncés proposent le plus souvent, parce qu'il livre la monotonie de la suite sans effort.

Démonstration. Traitons le premier cas, le second étant identique en renversant les inégalités. Supposons $u_1⩾u_0$ et montrons par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $u_{n+1}⩾u_n$ ».

Initialisation. $\mathcal{P}(0)$ s'écrit $u_1⩾u_0$, ce qui est l'hypothèse.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_{n+1}⩾u_n$. Les deux réels $u_n$ et $u_{n+1}$ appartiennent à $I$ d'après la propriété du paragraphe précédent. La fonction $f$ étant croissante sur $I$, elle conserve l'ordre :

$$u_n⩽u_{n+1}⟹f(u_n)⩽f(u_{n+1})$$

c'est-à-dire $u_{n+1}⩽u_{n+2}$. La propriété $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $u_{n+1}⩾u_n$ pour tout $n$ : la suite est croissante. $\mathrm{\square }$

Une fois la monotonie acquise, la convergence se déduit du théorème de la limite monotone, connu depuis la première année : une suite croissante et majorée converge, une suite décroissante et minorée converge. Or la majoration est déjà en poche : si l'intervalle stable choisi est $I=[a,b]$, alors $a⩽u_n⩽b$ pour tout $n$. La première étape de l'étude paie donc une seconde fois.

La méthode complète

La figure ci-dessous représente la construction graphique des premiers termes, appelée diagramme en escalier. On y lit la courbe de $f$, la droite d'équation $y=x$, et la construction de $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$.

Voici comment on lit ce dessin, car il obéit à une règle unique répétée à chaque étape. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses. On monte verticalement jusqu'à la courbe de $f$ : l'ordonnée atteinte est $f(u_0)$, c'est-à-dire $u_1$. Pour reporter cette valeur sur l'axe des abscisses et recommencer, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ : sur cette droite, l'abscisse est égale à l'ordonnée, donc on se retrouve au point d'abscisse $u_1$. On remonte alors verticalement vers la courbe pour obtenir $u_2$, et ainsi de suite. Le tracé forme un escalier lorsque $f$ est croissante, d'où le nom, et l'on voit les marches se resserrer autour du point fixe, c'est-à-dire du point d'intersection de la courbe et de la droite.

Un exemple complet

Compléments sur les séries

Vous savez déjà l'essentiel : une série $\sum u_n$ est la suite $(S_n)$ de ses sommes partielles $S_n={\sum }_{k=n_0}^n{u}_k$, elle converge lorsque cette suite admet une limite finie, vous connaissez la série géométrique, la série exponentielle, la notion de convergence absolue, et la condition nécessaire « si $\sum u_n$ converge, alors $u_n⟶0$ ».

Tout cela avait un défaut : pour conclure, il fallait calculer $S_n$. Or on ne sait calculer une somme partielle que dans deux ou trois situations très particulières. La deuxième année lève cet obstacle en apportant des critères qui donnent la nature d'une série sans jamais calculer sa somme. Le prix à payer est une hypothèse, presque toujours la même : la positivité du terme général. Le plan de cette partie est donc le suivant : d'abord comprendre pourquoi les séries à termes positifs sont si simples, puis en tirer trois règles de comparaison, puis se donner un catalogue de séries de référence auxquelles comparer, et enfin traiter le cas des séries de signe quelconque.

Séries à termes positifs : deux issues, pas trois

Tout ce paragraphe repose sur une remarque d'une simplicité désarmante : quand on additionne des nombres positifs, le total ne peut que croître.

Démonstration. Montrons d'abord la croissance. Pour tout $n⩾n_0$,

$$S_{n+1}-S_n=\sum _{k=n_0}^{n+1}{u}_k-\sum _{k=n_0}^n{u}_k=u_{n+1}⩾0$$

par hypothèse de positivité. La suite $(S_n)$ est donc croissante.

Appliquons-lui le théorème de la limite monotone, connu depuis le chapitre sur les suites. Il affirme exactement ceci : une suite croissante et majorée converge, et une suite croissante non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$. Les deux cas de l'énoncé en découlent immédiatement, et ils sont bien exclusifs l'un de l'autre.

Reste la majoration $S_n⩽S$ dans le cas convergent. Fixons $n⩾n_0$. Pour tout $m⩾n$, la croissance donne $S_n⩽S_m$ ; en faisant tendre $m$ vers $+\mathrm{\infty }$ dans cette inégalité large, qui se conserve par passage à la limite, on obtient $S_n⩽S$. $\mathrm{\square }$

Les trois règles de comparaison

Démonstration du cas (i). Quitte à modifier un nombre fini de termes, ce qui ne change pas la nature d'une série, supposons que $0⩽u_k⩽v_k$ pour tout $k⩾n_0$. Notons $S_n$ et $T_n$ les sommes partielles respectives. La croissance de la somme finie donne, pour tout $n⩾n_0$,

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n{u}_k⩽\sum _{k=n_0}^n{v}_k=T_n$$

Supposons $\sum v_n$ convergente, de somme $T$. Comme $\sum v_n$ est à termes positifs, la propriété précédente donne $T_n⩽T$ pour tout $n$. En combinant, $S_n⩽T$ pour tout $n$ : la suite $(S_n)$ est majorée par le réel $T$. Comme $\sum u_n$ est elle aussi à termes positifs, elle converge.

La seconde affirmation est la contraposée de la première : si $\sum v_n$ convergeait, $\sum u_n$ convergerait, ce qui contredit l'hypothèse. $\mathrm{\square }$

Démonstration du cas (ii). Par définition de la négligeabilité, on peut écrire $u_n={\epsilon }_n{v}_n$ où ${\epsilon }_n⟶0$. En appliquant la définition de la limite avec le seuil $1$, il existe un rang $N$ tel que $\mid {\epsilon }_n\mid ⩽1$ pour tout $n⩾N$. Pour un tel $n$, la positivité de $v_n$ donne

$$0⩽u_n={\epsilon }_n{v}_n⩽v_n$$

On est ramené au cas (i), qui conclut. $\mathrm{\square }$

Démonstration du cas (iii). Écrivons $u_n=v_n(1+{\epsilon }_n)$ avec ${\epsilon }_n⟶0$, ce qui est la traduction de $u_n\sim v_n$. En appliquant la définition de la limite avec le seuil $\frac{1}{2}$, il existe un rang $N$ tel que $\mid {\epsilon }_n\mid ⩽\frac{1}{2}$ pour tout $n⩾N$, c'est-à-dire

$$\frac{1}{2}⩽1+{\epsilon }_n⩽\frac{3}{2}$$

En multipliant par $v_n⩾0$, on obtient l'encadrement, valable pour tout $n⩾N$,

$$\frac{1}{2}{v}_n⩽u_n⩽\frac{3}{2}{v}_n$$

Il ne reste qu'à lire cet encadrement deux fois. Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum \frac{3}{2}{v}_n$ converge aussi (linéarité), et l'inégalité de droite jointe au cas (i) donne la convergence de $\sum u_n$. Réciproquement, si $\sum u_n$ converge, l'inégalité de gauche et le cas (i) donnent la convergence de $\sum \frac{1}{2}{v}_n$, donc celle de $\sum v_n$. Les deux séries ont bien la même nature. $\mathrm{\square }$

Les séries de Riemann

Comparer, c'est bien ; encore faut-il disposer d'une famille de séries à laquelle comparer. C'est le rôle des séries de Riemann, qui couvrent toute la gamme des vitesses de décroissance polynomiale.

Ce résultat doit être connu par cœur, condition comprise, et mobilisable instantanément. Il sera démontré dans la partie consacrée aux intégrales généralisées, où l'encadrement des sommes partielles par des intégrales le rendra transparent.

Deux cas sont d'ores et déjà à votre portée. Pour $\alpha ⩽0$, le terme général $\frac{1}{n^{\alpha }}=n^{-\alpha }$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement. Pour $\alpha =1$, on retrouve la série harmonique ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n}$, dont la divergence a été démontrée en première année, et dont les sommes partielles $H_n$ vérifient $H_n⩾\ln (n+1)$.

Voici le catalogue complet des séries de référence dont vous disposez. Il tient en trois lignes, et rien d'autre n'est exigible.

Séries à termes quelconques

Dès que le terme général change de signe, les trois règles précédentes deviennent inutilisables. Le programme ne fournit alors qu'un seul outil, déjà rencontré en première année.

Sommes télescopiques

Démonstration. Ici, contrairement à tout le reste du paragraphe, la somme partielle se calcule. Pour tout $n⩾n_0$, les termes intermédiaires se détruisent deux à deux :

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_{n_0}$$

Le réel $a_{n_0}$ est une constante indépendante de $n$. La suite $(S_n)$ converge donc si, et seulement si la suite $(a_{n+1})$ converge, c'est-à-dire si, et seulement si $(a_n)$ converge ; et dans ce cas $S_n⟶\mathrm{\ell }-a_{n_0}$. $\mathrm{\square }$

La méthode d'ensemble

Comparaison des fonctions et développements limités

Tout ce que vous savez faire sur les suites, comparer des vitesses, remplacer une expression compliquée par une expression simple, se transpose aux fonctions. L'enjeu est double : lever des indéterminations dans les calculs de limites, et décrire finement le comportement d'une courbe au voisinage d'un point.

Négligeabilité et équivalence des fonctions

Les équivalents usuels en $0$

Démonstration. Les trois se lisent comme des taux d'accroissement en $0$. Posons $f(x)={\mathrm{e}}^x$ : la fonction $f$ est dérivable en $0$, de dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(0)={\mathrm{e}}^0=1$, donc

$$\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=1$$

ce qui est exactement l'équivalence annoncée. Le même argument avec $g(x)=\ln (1+x)$, dérivable en $0$ de dérivée $g^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{1}{1+0}=1$, donne le deuxième ; et avec $h(x)=(1+x{)}^{\alpha }$, dérivable en $0$ de dérivée $h^{\mathrm{\prime }}(0)=\alpha (1+0{)}^{\alpha -1}=\alpha$, le quotient $\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{x}$ tend vers $\alpha$, d'où le troisième. $\mathrm{\square }$

Développements limités

Un équivalent donne le terme dominant. Un développement limité donne le terme dominant et le suivant, ce qui permet d'aller plus loin : décrire une courbe près d'un point, ou lever une indétermination que l'équivalent ne suffit pas à lever.

Les trois développements limités de référence en $0$

Démonstration. Les trois s'obtiennent par la formule de Taylor-Young en $x_0=0$, et le calcul est court.

La fonction exponentielle. Elle est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$, et $f(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x$. Donc $f(0)=1$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=1$, d'où $a_0=1$, $a_1=1$ et $a_2=\frac{1}{2}$.

Le logarithme. La fonction $g:x\mapsto \ln (1+x)$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, qui est un voisinage de $0$, avec

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+x}\text{et}{g}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}$$

Donc $g(0)=0$, $g^{\mathrm{\prime }}(0)=1$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-1$, d'où $a_0=0$, $a_1=1$ et $a_2=-\frac{1}{2}$.

La puissance. La fonction $h:x\mapsto (1+x{)}^{\alpha }$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, avec

$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\alpha (1+x{)}^{\alpha -1}\text{et}{h}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\alpha (\alpha -1)(1+x{)}^{\alpha -2}$$

Donc $h(0)=1$, $h^{\mathrm{\prime }}(0)=\alpha$, $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=\alpha (\alpha -1)$, d'où $a_2=\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}$. $\mathrm{\square }$

Allure locale du graphe

Démonstration. Par unicité du développement limité et par la formule de Taylor-Young, $a_0=f(x_0)$ et $a_1=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$ : la droite d'équation $y=a_0+a_1(x-x_0)$ est donc bien la tangente en $x_0$.

Étudions la différence entre l'ordonnée de la courbe et celle de la tangente. Pour $x$ au voisinage de $x_0$, posons

$$d(x)=f(x)-(a_0+a_1(x-x_0))=a_2(x-x_0{)}^2+(x-x_0{)}^2\epsilon (x-x_0)$$

et factorisons par $(x-x_0{)}^2$ :

$$d(x)=(x-x_0{)}^2(a_2+\epsilon (x-x_0))$$

Comme $\epsilon (h)⟶0$ quand $h\to 0$ et que $\mid a_2\mid >0$, la définition de la limite appliquée au seuil $\mid a_2\mid$ fournit un réel $\eta >0$ tel que

$$\mid x-x_0\mid <\eta ⟹\mid \epsilon (x-x_0)\mid <\mid a_2\mid$$

Pour un tel $x$, la quantité $a_2+\epsilon (x-x_0)$ est du signe de $a_2$ : on lui ajoute en effet un nombre de valeur absolue strictement plus petite que $\mid a_2\mid$, ce qui ne peut pas lui faire changer de signe. Enfin $(x-x_0{)}^2>0$ dès que $x\mathrm{\ne }{x}_0$.

Le produit $d(x)$ est donc du signe de $a_2$ pour tout $x$ vérifiant $0<\mid x-x_0\mid <\eta$. Si $a_2>0$, alors $d(x)>0$ et la courbe est au-dessus de la tangente ; si $a_2<0$, alors $d(x)<0$ et la courbe est en dessous. $\mathrm{\square }$

La figure ci-dessous illustre le cas le plus simple, celui de la fonction exponentielle en $0$. Son développement limité ${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+x^2\epsilon (x)$ donne $a_2=\frac{1}{2}>0$ : la courbe est au-dessus de sa tangente $y=1+x$, et l'écart entre les deux se referme comme $\frac{x^2}{2}$ quand on approche de $0$.

Lever une indétermination

Intégration généralisée à un intervalle quelconque

L'intégrale sur un segment $[a,b]$ ne pose aucun problème d'existence dès que la fonction est continue. Que se passe-t-il si l'on remplace $b$ par $+\mathrm{\infty }$ ? L'aire sous la courbe s'étend alors sur une longueur infinie, et rien ne garantit qu'elle soit finie. Ce paragraphe donne un sens précis à cette question, et fournit les critères pour y répondre.

Définition

Propriétés

La relation de Chasles se sépare des trois précédentes, car elle ne suppose aucune convergence : c'est même précisément là son intérêt.

Chacune de ces propriétés s'obtient de la même façon : on l'écrit sur le segment $[a,x]$, où elle est connue depuis la première année, puis on passe à la limite quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, en utilisant les théorèmes d'opérations sur les limites et la conservation des inégalités larges.

Les intégrales de référence

Démonstration. La fonction $t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ pour tout réel $\alpha$. Soit $x⩾1$. Il faut distinguer selon que $\alpha$ vaut $1$ ou non, car la primitive n'est pas la même.

Cas $\alpha \mathrm{\ne }1$. Une primitive de $t\mapsto t^{-\alpha }$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$, donc

$${\int }_1^x\frac{dt}{t^{\alpha }}={\left[\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]}_1^x=\frac{x^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }$$

Si $\alpha >1$, l'exposant $1-\alpha$ est strictement négatif, donc $x^{1-\alpha }⟶0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, et l'intégrale partielle tend vers

$$\frac{0-1}{1-\alpha }=\frac{-1}{1-\alpha }=\frac{1}{\alpha -1}$$

La limite est finie : l'intégrale converge et vaut $\frac{1}{\alpha -1}$.

Si $\alpha <1$, l'exposant $1-\alpha$ est strictement positif, donc $x^{1-\alpha }⟶+\mathrm{\infty }$, et comme $1-\alpha >0$ le quotient tend vers $+\mathrm{\infty }$ : l'intégrale diverge.

Cas $\alpha =1$. Une primitive de $t\mapsto \frac{1}{t}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ est $\ln$, donc

$${\int }_1^x\frac{dt}{t}=[\ln t{]}_1^x=\ln x\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$$

L'intégrale diverge.

En rassemblant les trois cas, l'intégrale converge si, et seulement si $\alpha >1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Soit $x⩾0$. Comme $\lambda \mathrm{\ne }0$, une primitive est $t\mapsto -\frac{1}{\lambda }{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc

$${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\lambda t}dt={[-\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}{\lambda }]}_0^x=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}}{\lambda }$$

Comme $\lambda >0$, on a $-\lambda x⟶-\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, donc ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}⟶0$ et l'intégrale partielle tend vers $\frac{1}{\lambda }$, qui est un réel. L'intégrale converge et vaut $\frac{1}{\lambda }$. $\mathrm{\square }$

La figure ci-dessus mérite qu'on s'y arrête, car elle contient toute l'idée du paragraphe. Les deux fonctions représentées, $t\mapsto \frac{1}{t}$ et $t\mapsto \frac{1}{t^2}$, tendent l'une comme l'autre vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ : leurs courbes se rapprochent toutes deux de l'axe des abscisses. Pourtant l'aire sous la première est infinie et l'aire sous la seconde est finie, égale à $1$ d'après le calcul précédent avec $\alpha =2$. Tendre vers $0$ ne suffit donc pas : ce qui compte, c'est la vitesse, et la frontière se situe exactement en $\alpha =1$. C'est le pendant continu du fait, déjà connu, que $u_n⟶0$ ne suffit pas à faire converger $\sum u_n$.

Fonctions positives

Démonstration. La fonction $f$ étant continue sur $[a,+\mathrm{\infty }[$, le théorème fondamental de l'intégration assure que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur cet intervalle, avec $F^{\mathrm{\prime }}=f$. Or $f⩾0$ par hypothèse, donc $F^{\mathrm{\prime }}⩾0$ : la fonction $F$ est croissante sur $[a,+\mathrm{\infty }[$.

Le théorème de la limite monotone pour les fonctions donne alors exactement les deux cas de l'énoncé. Si $F$ est majorée, étant croissante elle admet une limite finie en $+\mathrm{\infty }$, donc l'intégrale converge. Si $F$ n'est pas majorée, étant croissante elle tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc l'intégrale diverge. Ces deux cas sont exhaustifs et exclusifs. $\mathrm{\square }$

Démonstration du cas (i). Grâce à la relation de Chasles, qui ne change pas la nature d'une intégrale généralisée, on peut supposer que l'inégalité $0⩽f(t)⩽g(t)$ vaut pour tout $t⩾a$. Notons $F(x)={\int }_a^{x}f$ et $G(x)={\int }_a^{x}g$.

La croissance de l'intégrale sur le segment $[a,x]$ donne, pour tout $x⩾a$,

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt⩽{\int }_a^{x}g(t)dt=G(x)$$

Supposons ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g$ convergente, de valeur $I$. La fonction $g$ étant positive, $G$ est croissante, donc majorée par sa limite : $G(x)⩽I$ pour tout $x⩾a$. En combinant, $F(x)⩽I$ pour tout $x$ : la fonction $F$ est majorée. Comme $f$ est positive, la propriété précédente conclut à la convergence de ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$.

La seconde implication en est la contraposée. $\mathrm{\square }$

Les cas (ii) et (iii) se déduisent du cas (i) exactement comme pour les séries : la négligeabilité donne $0⩽f⩽g$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, et l'équivalence donne l'encadrement $\frac{1}{2}g⩽f⩽\frac{3}{2}g$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, dont les deux inégalités s'exploitent tour à tour.

Convergence absolue

Le pont entre séries et intégrales de Riemann

Le programme autorise à déduire la convergence des séries de Riemann de celle des intégrales de Riemann. Voici cette déduction, rédigée en entier : elle démontre le résultat admis dans la partie précédente.

Cas $\alpha >1$ : la série converge. Sommons l'inégalité de gauche pour $k$ allant de $1$ à $n$. La relation de Chasles recolle les intégrales consécutives :

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1{)}^{\alpha }}⩽\sum _{k=1}^n{\int }_k^{k+1}\frac{dt}{t^{\alpha }}={\int }_1^{n+1}\frac{dt}{t^{\alpha }}$$

La fonction intégrée étant positive, l'intégrale partielle est croissante en sa borne, donc majorée par sa limite, qui vaut $\frac{1}{\alpha -1}$ d'après le calcul des intégrales de Riemann. Ainsi

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1{)}^{\alpha }}⩽\frac{1}{\alpha -1}$$

En ajoutant le terme d'indice $1$ de part et d'autre, la somme partielle de la série vérifie, pour tout $n⩾1$,

$$S_{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^{\alpha }}=1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1{)}^{\alpha }}⩽1+\frac{1}{\alpha -1}$$

La série est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées : elle converge.

Cas $0<\alpha ⩽1$ : la série diverge. Sommons cette fois l'inégalité de droite pour $k$ allant de $1$ à $n$ :

$${\int }_1^{n+1}\frac{dt}{t^{\alpha }}=\sum _{k=1}^n{\int }_k^{k+1}\frac{dt}{t^{\alpha }}⩽\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha }}=S_n$$

Or l'intégrale de gauche a été calculée plus haut : elle vaut $\frac{(n+1{)}^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }$ si $\alpha <1$, et $\ln (n+1)$ si $\alpha =1$. Dans les deux cas elle tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Par minoration, $S_n⟶+\mathrm{\infty }$ : la série diverge.

Cas $\alpha ⩽0$. Le terme général $\frac{1}{n^{\alpha }}=n^{-\alpha }$ ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

En rassemblant, ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ converge si, et seulement si $\alpha >1$. $\mathrm{\square }$

La méthode d'ensemble

Les réflexes du chapitre

Ce chapitre rassemble quatre thèmes qui semblent indépendants, mais qui obéissent tous à la même logique : remplacer un objet compliqué par un objet de référence auquel il ressemble. Le tableau suivant condense cette logique en autant de réflexes. Il ne remplace pas le cours, il vous dit seulement par où commencer.

Deux principes traversent le tableau. Le premier : on ne compare que des quantités positives. C'est l'hypothèse qui revient partout, pour les séries comme pour les intégrales, et c'est celle que l'on oublie le plus souvent d'écrire. Le second : on travaille toujours sur un objet fini, somme partielle ou intégrale sur un segment, et l'infini n'intervient qu'au dernier moment, par un passage à la limite. Les deux tiers des fautes de ce chapitre viennent d'un oubli de l'un ou l'autre.

Enfin, un mot sur la suite du programme, car ce chapitre n'est pas une fin en soi. Le chapitre de probabilités qui vient, consacré aux variables aléatoires à densité, en est le prolongement direct. Une densité est une fonction positive dont l'intégrale sur $\mathbb{R}$ vaut $1$ : la définition même de cet objet exige la convergence d'une intégrale sur un intervalle non borné, et le découpage en deux morceaux que nous avons imposé. L'espérance et la variance seront des intégrales généralisées dont on devra d'abord établir la convergence absolue avant d'en parler, exactement comme l'espérance d'une variable discrète exigeait la convergence absolue d'une série. Les lois usuelles que vous rencontrerez, à commencer par la loi exponentielle, reposent sur l'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}dt$ démontrée dans ce chapitre. Autrement dit, tout ce qui précède n'était pas un exercice de style : c'était la construction de l'outil.