Variables aléatoires

Au chapitre précédent, vous avez appris à calculer la probabilité d'un scénario complet dans une répétition d'épreuves de Bernoulli : « la joueuse réussit ses deux premiers tirs au but », « au moins une graine germe »… Mais dans beaucoup de situations concrètes, ce qui nous intéresse vraiment n'est pas le scénario lui-même : c'est un nombre qui en découle. Combien d'euros ce jeu de grattage va-t-il me rapporter ? Combien de clients satisfaits parmi les trois interrogés ? Quelle recette pour le stand de la kermesse ? Chaque fois, l'expérience est aléatoire, et le nombre qui en résulte l'est donc aussi : impossible de le connaître à l'avance, mais possible d'étudier ses valeurs et leurs probabilités. L'outil qui permet cette étude s'appelle une variable aléatoire. Ce chapitre vous apprend à la définir en situation, à dresser sa loi de probabilité, à calculer son espérance (le résultat moyen que l'on peut « espérer »), puis à faire le lien avec l'épreuve de Bernoulli du chapitre précédent et avec la simulation sur machine.

La notion de variable aléatoire

Partons d'un exemple. Sur un stand de kermesse, on lance un dé équilibré à six faces : si le dé affiche $6$, on gagne $5$ € ; s'il affiche $4$ ou $5$, on gagne $1$ € ; sinon, on perd $2$ €. L'expérience aléatoire est le lancer du dé, et ses issues sont les six faces. Mais ce qui intéresse le joueur, c'est son gain : un nombre qui dépend de l'issue obtenue. À chaque issue du lancer correspond un nombre, $5$, $1$ ou $-2$. C'est exactement l'idée d'une variable aléatoire.

Il n'y a aucun formalisme à retenir ici : une variable aléatoire, c'est simplement « le nombre que produit l'expérience ». Toute la suite du chapitre consiste à étudier ce nombre. Voici quelques situations très variées où une variable aléatoire apparaît naturellement.

Dans chacun de ces exemples, la variable aléatoire ne prend qu'un nombre limité de valeurs que l'on peut lister : on dit qu'elle est discrète. Ce sont les seules variables aléatoires étudiées cette année.

Pour travailler avec une variable aléatoire, il faut pouvoir décrire des événements qui la concernent : « le joueur gagne $5$ € », « au plus une machine est en panne »… Deux écritures servent à cela.

Ces écritures sont des raccourcis très pratiques, mais il faut savoir passer sans hésiter de l'écriture mathématique à la phrase en français, et inversement. C'est la première capacité du chapitre.

Vous voyez le principe : on revient toujours aux issues de l'expérience, on regarde quel nombre chacune produit, et on additionne les probabilités des issues qui conviennent. Ranger tous ces résultats dans un tableau, c'est précisément dresser la loi de probabilité de $X$.

Loi de probabilité

Une fois les valeurs possibles de $X$ identifiées et leurs probabilités calculées, il est naturel de tout rassembler dans un tableau : les valeurs sur la première ligne, les probabilités correspondantes sur la seconde. Ce tableau contient toute l'information sur $X$.

Ce tableau n'est pas quelconque : comme les valeurs $x_1,\dots ,x_k$ recouvrent tout ce qui peut arriver, les probabilités de la seconde ligne recouvrent toutes les issues de l'expérience. Leur somme est donc obligatoirement égale à $1$, exactement comme la somme des probabilités des chemins d'un arbre au chapitre précédent.

Construisons une loi de probabilité complète, de l'énoncé jusqu'au tableau vérifié.

Retenez ce réflexe : pour un événement du type $\{X⩽a\}$, on repère dans le tableau toutes les valeurs inférieures ou égales à $a$ et on additionne leurs probabilités. La loi de probabilité répond ainsi à toutes les questions de probabilité sur $X$. Mais elle permet aussi de répondre à une question différente et très concrète : en moyenne, combien ce jeu rapporte-t-il ?

L'espérance

Imaginez qu'un joueur enchaîne un très grand nombre de parties du jeu de la kermesse. Certaines parties lui rapportent $5$ €, d'autres $1$ €, beaucoup lui coûtent $2$ €. Sur l'ensemble, gagne-t-il ou perd-il de l'argent ? Pour le savoir, il faut calculer une moyenne des gains possibles ; mais pas une moyenne ordinaire, car les trois gains n'ont pas la même chance de se produire. Le gain $-2$, deux fois plus probable que le gain $1$, doit peser deux fois plus lourd dans la moyenne. On calcule donc une moyenne pondérée par les probabilités : c'est l'espérance.

L'espérance est l'outil idéal pour juger un jeu d'argent : elle dit qui, du joueur ou de l'organisateur, est gagnant sur le long terme. Attention toutefois à une subtilité : quand une partie coûte une mise, il faut raisonner sur le gain algébrique, c'est-à-dire ce que le joueur reçoit moins ce qu'il a payé.

Nous savons désormais définir une variable aléatoire, dresser sa loi et calculer son espérance. Il est temps de retrouver une vieille connaissance du chapitre précédent : l'épreuve de Bernoulli, qui donne naissance à la plus simple de toutes les variables aléatoires.

La loi de Bernoulli

Au chapitre précédent, une épreuve de Bernoulli était une expérience à deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $\bar{S}$, de probabilité $1-p$. Pour en faire une variable aléatoire, il suffit d'associer un nombre à chacune des deux issues, et le choix le plus naturel est le plus simple qui soit : $1$ pour le succès, $0$ pour l'échec. On obtient ainsi une variable qui « compte » le succès.

C'est la loi la plus simple que l'on puisse imaginer : deux valeurs seulement, et un unique paramètre $p$ qui décrit tout. Son espérance se calcule en une ligne.

Reconnaître une situation modélisée par une loi de Bernoulli est une capacité attendue. La démarche reprend les réflexes du chapitre précédent.

Une dernière remarque, qui prépare toute la fin du chapitre. Si l'on répète l'épreuve $n$ fois dans les mêmes conditions, on obtient une liste de $0$ et de $1$ : un échantillon de taille $n$ de la loi de Bernoulli. La fréquence des $1$ dans cet échantillon (le nombre de $1$ divisé par $n$) est alors une estimation naturelle du paramètre $p$ : c'est la proportion de succès observée. Mais cette fréquence varie d'un échantillon à l'autre, puisque le hasard s'en mêle. À quel point varie-t-elle ? Peut-on lui faire confiance ? C'est ce que la simulation va nous montrer.

Simulation et fluctuation d'échantillonnage

Plutôt que de lancer un dé mille fois ou d'interroger cent clients réels, on peut demander à un ordinateur de simuler l'expérience. Python fournit pour cela la fonction random() du module random : chaque appel renvoie un nombre décimal « tiré au hasard » entre $0$ et $1$, tous les nombres de cet intervalle étant également probables.

Comment en tirer un succès de probabilité $p$ ? L'idée est très simple : la probabilité que le nombre renvoyé par random() soit inférieur à $p$ est exactement $p$. En effet, les nombres possibles remplissent uniformément l'intervalle de $0$ à $1$, de longueur $1$ ; ceux qui sont inférieurs à $p$ remplissent l'intervalle de $0$ à $p$, de longueur $p$. La proportion de « place » favorable est donc $p$. Ainsi, le test random() < p est vrai avec la probabilité $p$ et faux avec la probabilité $1-p$ : c'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ !

Voici un script complet qui simule un échantillon de taille $n=100$ d'une loi de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,4}$ (imaginez par exemple que l'on interroge $100$ habitants d'une ville où $40\mathrm{\%}$ des habitants utilisent les transports en commun), et qui calcule la fréquence des $1$. La variable compteur est un compteur : elle démarre à $0$ et augmente de $1$ à chaque succès rencontré. C'est le principe d'accumulateur : une variable qui accumule un résultat au fil de la boucle.

from random import random

p = 0.4
n = 100

compteur = 0                  # compteur de succès, démarre à 0
for i in range(n):
    if random() < p:          # succès avec la probabilité p
        compteur = compteur + 1

frequence = compteur / n      # fréquence des 1 dans l'échantillon
print(frequence)

Exécutez ce script plusieurs fois : vous obtiendrez par exemple $\mathrm{0,43}$, puis $\mathrm{0,38}$, puis $\mathrm{0,41}$… Jamais deux fois la même valeur, et pas exactement $\mathrm{0,4}$ ! Ce phénomène porte un nom : la fluctuation d'échantillonnage. La fréquence observée des $1$ varie d'un échantillon à l'autre, tout en restant « dans les parages » de $p$. Pour étudier sérieusement cette fluctuation, un ou deux échantillons ne suffisent pas : il en faut plusieurs centaines. Le script suivant simule $N=500$ échantillons de taille $n=100$ et accumule les $500$ fréquences observées dans une liste.

from random import random

p = 0.4
n = 100
N = 500

frequences = []               # liste accumulant les fréquences observées
for j in range(N):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            compteur = compteur + 1
    frequences.append(compteur / n)

Que faire de ces $500$ nombres ? D'abord, les représenter. L'histogramme ci-dessous regroupe les $500$ fréquences observées par petites classes : on voit combien d'échantillons ont donné une fréquence proche de $\mathrm{0,30}$, de $\mathrm{0,40}$, de $\mathrm{0,50}$…

La lecture de cet histogramme est riche d'enseignements. Les $500$ fréquences observées s'étalent entre $\mathrm{0,20}$ et $\mathrm{0,55}$ : la fluctuation est bien réelle, certains échantillons s'éloignent nettement de $p=\mathrm{0,4}$. Mais l'immense majorité des fréquences se concentre autour de $\mathrm{0,4}$, matérialisé par la ligne pointillée : plus on s'éloigne de $p$, plus les échantillons se font rares. On peut aussi représenter les fréquences par un nuage de points, un point par échantillon : voici les $100$ premiers échantillons de la simulation.

Les points dansent de part et d'autre de la ligne $p=\mathrm{0,4}$, la plupart restant dans la bande délimitée par les deux lignes $p-2s$ et $p+2s$. Mais que désigne ce nombre $s$ ? C'est l'écart-type de la série des $500$ fréquences observées, c'est-à-dire l'indicateur de dispersion que vous connaissez en statistique : il mesure à quel point les fréquences s'écartent, en moyenne, de leur centre. On le calcule à la machine (calculatrice ou Python) sur la série simulée ; ici, la machine donne $s\approx \mathrm{0,049}$. Il est alors naturel de compter combien d'échantillons ont donné une fréquence à distance au plus $s$, $2s$ ou $3s$ de $p$, c'est-à-dire dans l'intervalle $[p-ks;p+ks]$ pour $k=1$, $2$ ou $3$. Un compteur suffit :

s = 0.049                     # écart-type de la série, donné par la machine
k = 2
compteur = 0
for f in frequences:
    if p - k * s <= f <= p + k * s:
        compteur = compteur + 1
print(compteur * 100 / N)     # pourcentage d'échantillons dans l'intervalle

Sur notre simulation de $500$ échantillons, les résultats sont les suivants :

• $\mathrm{68,8}\mathrm{\%}$ des échantillons ont une fréquence à distance au plus $s$ de $p$ ;
• $\mathrm{93,6}\mathrm{\%}$ ont une fréquence à distance au plus $2s$ de $p$ ;
• $\mathrm{99,2}\mathrm{\%}$ ont une fréquence à distance au plus $3s$ de $p$.

Une dernière question, très naturelle : peut-on réduire la fluctuation ? Intuitivement, oui : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée devrait être fiable. La simulation permet de préciser cette intuition. Reprenons $N=500$ échantillons d'une loi de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,5}$, pour plusieurs tailles $n$, et calculons chaque fois l'écart-type $s$ de la série des fréquences :

La lecture ligne à ligne est déjà parlante : quand $n$ est multiplié par $4$ (de $25$ à $100$, puis de $100$ à $400$), l'écart-type $s$ est divisé par $2$ (de $\mathrm{0,103}$ à $\mathrm{0,051}$, puis à $\mathrm{0,025}$). Pour visualiser la tendance, plaçons pour chaque taille $n$ un point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ et d'ordonnée $s$ :

Les quatre points sont presque alignés sur une droite passant par l'origine : l'écart-type $s$ est proportionnel à ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$. On retiendra que la dispersion des fréquences observées est de l'ordre de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$.

Cette dernière règle a des conséquences très concrètes : un institut de sondage qui veut une estimation deux fois plus précise doit interroger quatre fois plus de personnes, avec le coût que cela représente. La précision se paie cher, et c'est la racine carrée qui en est responsable.

Résumons le chemin parcouru. Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire ; sa loi de probabilité rassemble ses valeurs et leurs probabilités dans un tableau dont la somme vaut $1$ ; son espérance $E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_k{p}_k$ en donne la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions, ce qui permet notamment de juger si un jeu est favorable, défavorable ou équitable. La loi de Bernoulli, qui vaut $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ sinon, est la plus simple d'entre elles, et son espérance est $p$. Enfin, la simulation d'échantillons a révélé la fluctuation d'échantillonnage : la fréquence observée des $1$ varie autour de $p$, s'en écarte rarement de plus de $2s$ ou $3s$, et sa dispersion diminue comme ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ quand la taille des échantillons augmente. Ces idées, ici simplement observées sur des simulations, seront approfondies en terminale.