Répétition d'épreuves de Bernoulli

Une joueuse de football s'avance pour une séance de tirs au but : chaque tir est réussi ou manqué. En sortie de chaîne, un contrôleur qualité examine des pièces les unes après les autres : chaque pièce est conforme ou défectueuse. Un élève répond au hasard aux questions d'un QCM : chaque réponse est juste ou fausse. Un jardinier sème des graines : chacune germe ou ne germe pas. Toutes ces situations ont deux points communs : une même expérience à deux issues se répète plusieurs fois, et chaque répétition se déroule dans les mêmes conditions. La question de ce chapitre est alors naturelle : comment calculer la probabilité d'un scénario complet, comme « la joueuse réussit ses deux premiers tirs et manque le troisième » ou « au moins une graine germe » ? Vous verrez que l'outil central est un arbre de probabilités, dans la continuité directe des arbres pondérés du chapitre précédent.

L'épreuve de Bernoulli

Commençons par donner un nom à la brique de base de toutes ces situations : une expérience aléatoire qui ne peut se terminer que de deux façons.

Remarquez que l'échec est simplement l'événement contraire du succès : la formule $P(\bar{S})=1-P(S)$, connue depuis la seconde, explique pourquoi sa probabilité vaut $1-p$. Une épreuve de Bernoulli est donc entièrement décrite par la donnée de son paramètre $p$. Voici quelques situations très différentes qui relèvent toutes de ce modèle.

Un mot de vocabulaire important, illustré par le troisième exemple : le « succès » n'a rien d'une bonne nouvelle ! C'est un choix de modélisation, dicté par la question posée. Si l'étude porte sur les pièces défectueuses, on appelle succès « la pièce est défectueuse », même si personne ne s'en réjouit. Le premier réflexe face à un énoncé est donc de décider clairement ce que l'on appelle succès, et d'identifier son paramètre $p$.

Répéter des épreuves identiques et indépendantes

Une épreuve de Bernoulli isolée n'a rien de bien mystérieux : la probabilité de succès est $p$, celle d'échec est $1-p$, et tout est dit. Les choses deviennent intéressantes quand on répète l'épreuve : trois tirs au but, quatre pièces contrôlées, deux clients interrogés. Encore faut-il préciser dans quelles conditions se fait cette répétition.

Ces deux conditions ne vont pas de soi : certaines répétitions ne les vérifient pas. Le cas classique est celui des tirages sans remise.

Avant tout calcul, il faut donc vérifier que la situation de l'énoncé relève bien du modèle. Trois questions suffisent.

L'arbre de probabilités

Voyons comment représenter la répétition de deux épreuves de Bernoulli de paramètre $p$. Comme au chapitre précédent, on construit un arbre : un premier niveau pour la première épreuve, avec les deux branches $S$ et $\bar{S}$, puis, à partir de chacun de ces deux nœuds, un second niveau pour la deuxième épreuve. La grande nouveauté par rapport aux arbres pondérés généraux, c'est que les épreuves étant identiques et indépendantes, toutes les branches menant à $S$ portent la même probabilité $p$, et toutes les branches menant à $\bar{S}$ portent $1-p$, quel que soit le niveau et quel que soit ce qui s'est passé avant.

Une issue de l'expérience complète correspond à un chemin de la racine de l'arbre jusqu'à une extrémité. Pour deux épreuves, il y a $4$ chemins : $SS$, $S\bar{S}$, $\bar{S}S$ et $\bar{S}\bar{S}$. Le chemin $S\bar{S}$, par exemple, se lit « succès à la première épreuve, puis échec à la seconde ». Reste à savoir quelle probabilité attribuer à chaque chemin : c'est la règle fondamentale du chapitre.

Mettons cette règle en œuvre sur un exemple complet.

Additionner les chemins d'un événement

Avec trois épreuves, l'arbre gagne un niveau et compte désormais $8$ chemins, de $SSS$ à $\bar{S}\bar{S}\bar{S}$.

Or les questions des exercices portent rarement sur un chemin unique : on demande plutôt la probabilité d'un événement comme « exactement deux succès », qui est réalisé par plusieurs chemins à la fois. La démarche est alors en deux temps : le produit le long de chaque chemin, puis la somme des chemins concernés.

Cet exemple met en lumière une remarque qui simplifie tous les calculs du chapitre : tous les chemins comportant le même nombre de succès ont la même probabilité, car le produit fait intervenir les mêmes facteurs dans un ordre différent. Inutile, donc, de recalculer chaque chemin un par un : on calcule la probabilité d'un seul chemin, on compte sur l'arbre combien de chemins réalisent l'événement, et on multiplie.

« Au moins un succès » : passer par le contraire

Une question revient sans cesse dans les exercices : « quelle est la probabilité d'obtenir au moins un succès ? ». Sur l'arbre des trois graines, l'événement « au moins une graine germe » est réalisé par tous les chemins contenant au moins un $S$… soit $7$ chemins sur $8$ ! Additionner sept probabilités serait long et source d'erreurs. Il existe un raccourci beaucoup plus élégant, qui repose sur l'événement contraire vu en seconde.

Jusqu'à quatre épreuves

Le programme de première demande de savoir traiter jusqu'à quatre épreuves. L'arbre a alors quatre niveaux et $16$ chemins : il devient volumineux, mais la méthode reste exactement la même.

Traitons l'exemple emblématique du programme, avec la démarche complète.

Terminons par un constat honnête : avec quatre épreuves, l'arbre compte déjà $16$ chemins, et chaque niveau supplémentaire doublerait ce nombre. C'est pourquoi, en première, on se limite à la répétition d'au plus quatre épreuves : dans ce cadre, l'arbre reste un outil lisible et fiable, à condition de le construire soigneusement et d'appliquer méthodiquement les deux règles du chapitre, le produit le long d'un chemin, puis la somme des chemins qui réalisent l'événement.