1ʳᵉ techno · Chapitre 11 · Activités géométriques

Géométrie plane : figures régulières

STD2A uniquement

Polygones réguliers, frises et pavages, motif élémentaire et transformations.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Polygones réguliers
Frises et pavages
Motif élémentaire et transformations

Observe la rosace d'une cathédrale, un carrelage hexagonal ou le motif d'un tissu imprimé : derrière ces créations se cache une géométrie très organisée. Un même motif y est répété par des rotations, des translations ou des symétries, avec une régularité qui ne doit rien au hasard. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à analyser ces figures régulières — polygones, rosaces, frises, pavages — et surtout à en créer toi-même, comme le font les designers et les architectes. Tu verras aussi comment raccorder « en douceur » des segments et des arcs de cercle, un savoir-faire essentiel pour dessiner le profil d'un objet ou d'un lettrage.

Polygones réguliers

Triangle équilatéral, carré, hexagone d'une ruche : ces figures partagent une même perfection. Aucun côté ne dépasse, aucun angle ne se distingue des autres. C'est exactement ce que dit la définition.

Définition

Un polygone régulier est un polygone dont :

tous les côtés ont la même longueur ;
tous les angles intérieurs ont la même mesure.

Les sommets d'un polygone régulier sont tous situés sur un même cercle : on dit que le polygone est inscriptible dans ce cercle. Le centre $O$ de ce cercle est appelé le centre du polygone, et son rayon $r$ est le rayon du polygone.

Les polygones réguliers les plus courants portent des noms que tu connais : le triangle équilatéral ( $n = 3$ côtés), le carré ( $n = 4$ ), le pentagone régulier ( $n = 5$ ), l'hexagone régulier ( $n = 6$ ) et l'octogone régulier ( $n = 8$ ). Attention, les deux conditions de la définition sont indispensables : un rectangle non carré a quatre angles égaux mais des côtés de longueurs différentes, un losange non carré a quatre côtés égaux mais des angles différents — aucun des deux n'est régulier.

En reliant le centre $O$ aux $n$ sommets, on partage le tour complet ( $360^{\circ}$ ) en $n$ angles identiques : c'est la clé de toutes les mesures d'angles.

Propriété

Dans un polygone régulier à $n$ côtés, de centre $O$ :

l'angle au centre, formé par les deux rayons qui encadrent un côté, mesure $\frac{360^{\circ}}{n}$ ;
chaque angle intérieur mesure $180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}$ .

Hexagone régulier inscrit dans son cercle de centre O : l'angle au centre AOB, entre deux rayons consécutifs, est marqué 60 degrés, et l'angle intérieur au sommet de gauche est marqué 120 degrés

Sur la figure, l'hexagone régulier ( $n = 6$ ) est inscrit dans son cercle : l'angle au centre $\hat{A O B}$ mesure $\frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$ , et chaque angle intérieur mesure $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ .

Exemple

Pour le carré ( $n = 4$ ) : angle au centre $\frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$ ; angle intérieur $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ .
Pour l'octogone régulier ( $n = 8$ ) : angle au centre $\frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ ; angle intérieur $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ . C'est la forme des panneaux STOP !

Remarque. En réduisant au même dénominateur, $180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} = \frac{180^{\circ} \times n - 360^{\circ}}{n} = \frac{(n - 2) \times 180^{\circ}}{n}$ : tu croiseras parfois l'angle intérieur écrit sous cette seconde forme. Les deux expressions donnent exactement le même résultat.

Distances, périmètres et aires

Pour mesurer un polygone régulier, une seule idée suffit : le découper depuis son centre. En reliant $O$ aux $n$ sommets, on obtient $n$ triangles isocèles superposables (leurs deux grands côtés sont des rayons du polygone). Tout se calcule ensuite dans l'un de ces triangles.

Pentagone régulier inscrit dans son cercle et découpé en cinq triangles isocèles depuis le centre O : le triangle du bas est mis en valeur, l'apothème a joint O au milieu H du côté c avec un angle droit codé, et le rayon r joint O à un sommet

Sur la figure, le segment qui joint le centre $O$ au milieu $H$ d'un côté est perpendiculaire à ce côté : sa longueur est la même pour tous les côtés, et elle porte un nom.

Propriété

La distance du centre $O$ à chacun des côtés d'un polygone régulier est appelée l'apothème du polygone, notée $a$ : c'est la longueur du segment qui joint $O$ au milieu d'un côté, perpendiculairement à ce côté.

L'aire $A$ d'un polygone régulier de périmètre $P$ et d'apothème $a$ vaut :

A = \frac{P \times a}{2}

Cette formule se démontre avec le découpage : chacun des $n$ triangles a pour base un côté de longueur $c$ et pour hauteur l'apothème $a$ , donc pour aire $\frac{c \times a}{2}$ . En additionnant les $n$ triangles, l'aire du polygone vaut $n \times \frac{c \times a}{2} = \frac{(n \times c) \times a}{2} = \frac{P \times a}{2}$ , puisque le périmètre est justement $P = n \times c$ .

Reste à calculer $c$ et $a$ quand on connaît le rayon. C'est la trigonométrie du triangle rectangle, vue en 3e, qui s'en charge.

Méthode

Calculer le côté et l'apothème d'un polygone régulier à $n$ côtés, de rayon $r$ . On travaille dans le triangle $O H A$ , rectangle en $H$ , où $A$ est un sommet et $H$ le milieu d'un côté issu de $A$ (voir la figure ci-dessus).

Calcule le demi-angle au centre : $\hat{A O H} = \frac{180^{\circ}}{n}$ (la moitié de $\frac{360^{\circ}}{n}$ , car le segment $[O H]$ partage l'angle au centre en deux).
Dans le triangle OHA, l'hypoténuse est le rayon [OA]. La trigonométrie donne :
- le demi-côté : $H A = r \times \sin (\frac{180^{\circ}}{n})$ , d'où le côté $c = 2 \times H A$ ;
- l'apothème : $a = O H = r \times \cos (\frac{180^{\circ}}{n})$ .
Termine par le périmètre $P = n \times c$ , puis l'aire $A = \frac{P \times a}{2}$ .

Exemple

Un pentagone régulier de rayon $r = 5$ cm.

Angle au centre : $\frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$ , donc demi-angle au centre $\hat{A O H} = 36^{\circ}$ .
Demi-côté : $H A = 5 \times \sin (36^{\circ}) \approx 2,94$ cm, donc $c \approx 5,88$ cm.
Apothème : $a = 5 \times \cos (36^{\circ}) \approx 4,05$ cm.
Périmètre : $P \approx 5 \times 5,88 = 29,4$ cm.
Aire : $A = \frac{P \times a}{2} \approx 59,4 {cm}^{2}$ (en gardant les valeurs non arrondies dans le calcul).

Un cas mérite d'être retenu par cœur, tant il est fréquent en design : l'hexagone.

Propriété

Dans un hexagone régulier, l'angle au centre vaut $60^{\circ}$ : chacun des $6$ triangles du découpage a un angle au sommet de $60^{\circ}$ et deux angles à la base de $\frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$ . Ces triangles sont donc équilatéraux.

Conséquence : le côté d'un hexagone régulier est égal à son rayon ( $c = r$ ), et son périmètre vaut $P = 6 \times r$ . C'est ce qui rend l'hexagone si facile à construire au compas.

Transformations et motif élémentaire

Depuis le collège, tu connais quatre transformations qui déplacent les figures sans les déformer. Petit rappel :

Transformation	Ce qu'il faut préciser	Ce qu'elle fait
Symétrie axiale	l'axe (une droite)	retourne la figure comme dans un miroir
Symétrie centrale	le centre (un point)	fait faire un demi-tour à la figure
Translation	la direction, le sens et la longueur du déplacement (par exemple « celle qui envoie $A$ sur $B$ »)	fait glisser la figure sans la tourner
Rotation	le centre, l'angle (en degrés) et le sens	fait tourner la figure autour du centre

Toutes les quatre conservent les longueurs, les angles, les périmètres et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ. C'est précisément cette propriété qui permet de répéter un motif à l'identique.

Définition

Un motif élémentaire d'une figure est une partie de cette figure, la plus petite possible, qui permet de reconstruire la figure entière en lui appliquant des transformations (rotations, translations, symétries…).

Un polygone régulier en est le premier exemple : son motif élémentaire est l'un des triangles isocèles du découpage (le centre et un côté), et les rotations font le reste.

Hexagone régulier obtenu à partir d'un triangle élémentaire OAB, mis en valeur, par rotations successives de 60 degrés autour du centre O ; l'arc fléché indique la rotation qui envoie A sur B

Sur la figure, le triangle $O A B$ est le motif élémentaire : la rotation de centre $O$ et d'angle $60^{\circ}$ l'envoie sur le triangle voisin, puis sur le suivant, et ainsi de suite. Après $6$ rotations, le tour est bouclé : $6 \times 60^{\circ} = 360^{\circ}$ , et l'hexagone est complet. Le même principe construit n'importe quel polygone régulier, avec l'angle $\frac{360^{\circ}}{n}$ .

La rosace applique exactement la même idée à un motif plus décoratif : un pétale, une feuille, un arc… répété par rotations successives autour d'un centre.

Rosace à huit pétales : un pétale en forme de losange, mis en valeur, est reproduit autour du centre O par rotations successives de 45 degrés, indiquées par un arc fléché

Sur cette rosace, le pétale foncé est répété par rotations successives de $45^{\circ}$ autour de $O$ : il faut $8$ pétales pour boucler le tour, car $8 \times 45^{\circ} = 360^{\circ}$ .

Méthode

Créer une figure par répétition d'un motif.

Dessine un motif élémentaire simple : un triangle, un quadrilatère, un pétale…
Choisis une ou deux transformations selon l'effet recherché :
- une rotation d'angle $\frac{360^{\circ}}{n}$ autour d'un centre pour une rosace à $n$ éléments ;
- une translation répétée pour une frise ;
- deux translations de directions différentes pour un pavage.
Applique la transformation au motif, puis à l'image obtenue, puis à l'image de l'image… jusqu'à couvrir la zone voulue.
Contrôle la cohérence : pour une rosace, l'angle choisi doit diviser $360^{\circ}$ , sinon le dernier motif chevauche le premier.

Frises et pavages

Bordure d'une poterie grecque, carrelage d'une salle de bain, moucharabieh : dès qu'un motif se répète le long d'une bande ou remplit tout un plan, on parle de frise ou de pavage.

Définition

Une frise est une bande dans laquelle un motif se répète régulièrement par des translations répétées dans une seule direction.
Un pavage est un recouvrement du plan sans trou ni chevauchement, obtenu en répétant un motif par des transformations : deux translations de directions différentes, éventuellement complétées par des rotations ou des symétries.

Frise composée d'un carré décoré d'un triangle rectangle, répété cinq fois le long d'une bande ; le motif élémentaire est encadré en pointillés et une flèche indique la translation qui le répète

Sur la frise ci-dessus, le motif élémentaire (encadré) est un carré décoré d'un triangle rectangle. La translation qui fait glisser ce motif d'une case vers la droite, appliquée encore et encore, engendre toute la bande. Le motif élémentaire d'une frise ou d'un pavage est souvent une figure très simple : un triangle rectangle ou isocèle, un parallélogramme, un rectangle.

Pavage du plan par des parallélogrammes : le motif élémentaire est mis en valeur et deux flèches indiquent les deux translations, l'une horizontale et l'autre oblique, qui le répètent

Méthode

Analyser une frise ou un pavage.

Cherche le motif élémentaire : la plus petite partie de la figure qui se répète. Teste en pensée : « si je répète ce morceau, est-ce que je retrouve tout le dessin ? » Si un morceau plus petit suffit, c'est lui le motif.
Identifie les transformations qui le répètent : pour une frise, une translation (décris sa direction, son sens et sa longueur) ; pour un pavage, deux translations de directions différentes — et regarde si des rotations ou des symétries interviennent aussi.
Vérifie qu'en appliquant ces transformations au motif, on reconstruit toute la figure sans trou ni chevauchement.

Exemple

Sur le pavage ci-dessus, le motif élémentaire est le parallélogramme mis en valeur. Deux translations suffisent à le répéter : celle indiquée par la flèche horizontale (qui envoie chaque parallélogramme sur son voisin de droite) et celle indiquée par la flèche oblique (qui l'envoie sur son voisin du dessus). En combinant ces deux translations, le motif recouvre tout le plan, sans trou ni chevauchement.

Remarque. Autour d'un sommet d'un pavage, les angles réunis doivent totaliser exactement $360^{\circ}$ . Un polygone régulier ne peut donc paver le plan à lui seul que si son angle intérieur divise $360^{\circ}$ : c'est le cas du triangle équilatéral ( $60^{\circ}$ ), du carré ( $90^{\circ}$ ) et de l'hexagone régulier ( $120^{\circ}$ )… et d'aucun autre ! Le pentagone régulier, par exemple, a des angles intérieurs de $108^{\circ}$ : trois pentagones autour d'un point laissent un vide ( $3 \times 108^{\circ} = 324^{\circ}$ ), et quatre se chevauchent ( $432^{\circ}$ ).

Raccordements et tangente à un cercle

Le profil d'un vase, la panse d'une lettre, l'arche d'un pont : en design, la plupart des contours sont faits de segments et d'arcs de cercle mis bout à bout. Pour que l'œil ne perçoive aucune cassure au point de jonction, il faut raccorder ces morceaux « en douceur ». L'outil géométrique qui garantit ce raccordement lisse est la tangente.

Propriété

La tangente à un cercle de centre $O$ en un point $A$ du cercle est la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire au rayon $[O A]$ .

C'est la seule droite qui touche le cercle en ce seul point $A$ : elle « frôle » le cercle sans le traverser.

Cercle de centre O et point A sur le cercle : la droite d, tangente au cercle en A, est perpendiculaire au rayon OA, l'angle droit étant codé par un petit carré en A

Sur la figure, la droite $d$ est tangente au cercle en $A$ : le petit carré code l'angle droit entre le rayon $[O A]$ et la droite $d$ . Retourne l'idée dans l'autre sens : si tu veux qu'un trait rectiligne prolonge un arc de cercle sans cassure, ce trait doit être la tangente à l'arc au point de jonction.

Méthode

Réussir un raccordement « lisse ».

Segment + arc de cercle : au point de jonction, le segment doit être tangent au cercle, c'est-à-dire que le rayon aboutissant au point de jonction est perpendiculaire au segment. Pour construire le raccordement, trace donc la perpendiculaire au segment à son extrémité : le centre de l'arc se trouve sur cette perpendiculaire.
Arc + arc : les deux arcs se raccordent sans cassure lorsque les deux centres et le point de contact sont alignés. Les deux arcs ont alors la même tangente au point de contact.

Si la condition n'est pas respectée, le contour présente un angle visible au point de jonction : le raccordement est « cassé ».

C'est exactement ainsi que sont dessinés les congés d'un meuble, les courbes d'un logo ou les pleins et déliés d'un caractère typographique : chaque jonction segment-arc ou arc-arc respecte la règle de la tangente, et l'œil glisse sur le contour sans accroc.

Polygones réguliers, rosaces, frises, pavages, raccordements : tu disposes maintenant de toute la panoplie du géomètre-designer. Retiens la démarche du chapitre : observer une figure, analyser son motif élémentaire et les transformations qui le répètent, puis créer à ton tour.

Le cours en PDF(PDF, 93 Ko)

Bloqué sur « Géométrie plane : figures régulières » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte