Géométrie plane : figures régulières

Observe la rosace d'une cathédrale, un carrelage hexagonal ou le motif d'un tissu imprimé : derrière ces créations se cache une géométrie très organisée. Un même motif y est répété par des rotations, des translations ou des symétries, avec une régularité qui ne doit rien au hasard. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à analyser ces figures régulières — polygones, rosaces, frises, pavages — et surtout à en créer toi-même, comme le font les designers et les architectes. Tu verras aussi comment raccorder « en douceur » des segments et des arcs de cercle, un savoir-faire essentiel pour dessiner le profil d'un objet ou d'un lettrage.

Polygones réguliers

Triangle équilatéral, carré, hexagone d'une ruche : ces figures partagent une même perfection. Aucun côté ne dépasse, aucun angle ne se distingue des autres. C'est exactement ce que dit la définition.

Les polygones réguliers les plus courants portent des noms que tu connais : le triangle équilatéral ($n=3$ côtés), le carré ($n=4$), le pentagone régulier ($n=5$), l'hexagone régulier ($n=6$) et l'octogone régulier ($n=8$). Attention, les deux conditions de la définition sont indispensables : un rectangle non carré a quatre angles égaux mais des côtés de longueurs différentes, un losange non carré a quatre côtés égaux mais des angles différents — aucun des deux n'est régulier.

En reliant le centre $O$ aux $n$ sommets, on partage le tour complet (${360}^{\circ }$) en $n$ angles identiques : c'est la clé de toutes les mesures d'angles.

Sur la figure, l'hexagone régulier ($n=6$) est inscrit dans son cercle : l'angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{6}}={60}^{\circ }$, et chaque angle intérieur mesure ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$.

Remarque. En réduisant au même dénominateur, ${180}^{\circ }-{\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\times n-{360}^{\circ }}{n}}={\displaystyle \frac{(n-2)\times {180}^{\circ }}{n}}$ : tu croiseras parfois l'angle intérieur écrit sous cette seconde forme. Les deux expressions donnent exactement le même résultat.

Distances, périmètres et aires

Pour mesurer un polygone régulier, une seule idée suffit : le découper depuis son centre. En reliant $O$ aux $n$ sommets, on obtient $n$ triangles isocèles superposables (leurs deux grands côtés sont des rayons du polygone). Tout se calcule ensuite dans l'un de ces triangles.

Sur la figure, le segment qui joint le centre $O$ au milieu $H$ d'un côté est perpendiculaire à ce côté : sa longueur est la même pour tous les côtés, et elle porte un nom.

Cette formule se démontre avec le découpage : chacun des $n$ triangles a pour base un côté de longueur $c$ et pour hauteur l'apothème $a$, donc pour aire ${\displaystyle \frac{c\times a}{2}}$. En additionnant les $n$ triangles, l'aire du polygone vaut $n\times {\displaystyle \frac{c\times a}{2}}={\displaystyle \frac{(n\times c)\times a}{2}}={\displaystyle \frac{P\times a}{2}}$, puisque le périmètre est justement $P=n\times c$.

Reste à calculer $c$ et $a$ quand on connaît le rayon. C'est la trigonométrie du triangle rectangle, vue en 3e, qui s'en charge.

Un cas mérite d'être retenu par cœur, tant il est fréquent en design : l'hexagone.

Transformations et motif élémentaire

Depuis le collège, tu connais quatre transformations qui déplacent les figures sans les déformer. Petit rappel :

Toutes les quatre conservent les longueurs, les angles, les périmètres et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ. C'est précisément cette propriété qui permet de répéter un motif à l'identique.

Un polygone régulier en est le premier exemple : son motif élémentaire est l'un des triangles isocèles du découpage (le centre et un côté), et les rotations font le reste.

Sur la figure, le triangle $OAB$ est le motif élémentaire : la rotation de centre $O$ et d'angle ${60}^{\circ }$ l'envoie sur le triangle voisin, puis sur le suivant, et ainsi de suite. Après $6$ rotations, le tour est bouclé : $6\times {60}^{\circ }={360}^{\circ }$, et l'hexagone est complet. Le même principe construit n'importe quel polygone régulier, avec l'angle ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}$.

La rosace applique exactement la même idée à un motif plus décoratif : un pétale, une feuille, un arc… répété par rotations successives autour d'un centre.

Sur cette rosace, le pétale foncé est répété par rotations successives de ${45}^{\circ }$ autour de $O$ : il faut $8$ pétales pour boucler le tour, car $8\times {45}^{\circ }={360}^{\circ }$.

Frises et pavages

Bordure d'une poterie grecque, carrelage d'une salle de bain, moucharabieh : dès qu'un motif se répète le long d'une bande ou remplit tout un plan, on parle de frise ou de pavage.

Sur la frise ci-dessus, le motif élémentaire (encadré) est un carré décoré d'un triangle rectangle. La translation qui fait glisser ce motif d'une case vers la droite, appliquée encore et encore, engendre toute la bande. Le motif élémentaire d'une frise ou d'un pavage est souvent une figure très simple : un triangle rectangle ou isocèle, un parallélogramme, un rectangle.

Remarque. Autour d'un sommet d'un pavage, les angles réunis doivent totaliser exactement ${360}^{\circ }$. Un polygone régulier ne peut donc paver le plan à lui seul que si son angle intérieur divise ${360}^{\circ }$ : c'est le cas du triangle équilatéral (${60}^{\circ }$), du carré (${90}^{\circ }$) et de l'hexagone régulier (${120}^{\circ }$)… et d'aucun autre ! Le pentagone régulier, par exemple, a des angles intérieurs de ${108}^{\circ }$ : trois pentagones autour d'un point laissent un vide ($3\times {108}^{\circ }={324}^{\circ }$), et quatre se chevauchent (${432}^{\circ }$).

Raccordements et tangente à un cercle

Le profil d'un vase, la panse d'une lettre, l'arche d'un pont : en design, la plupart des contours sont faits de segments et d'arcs de cercle mis bout à bout. Pour que l'œil ne perçoive aucune cassure au point de jonction, il faut raccorder ces morceaux « en douceur ». L'outil géométrique qui garantit ce raccordement lisse est la tangente.

Sur la figure, la droite $d$ est tangente au cercle en $A$ : le petit carré code l'angle droit entre le rayon $[OA]$ et la droite $d$. Retourne l'idée dans l'autre sens : si tu veux qu'un trait rectiligne prolonge un arc de cercle sans cassure, ce trait doit être la tangente à l'arc au point de jonction.

C'est exactement ainsi que sont dessinés les congés d'un meuble, les courbes d'un logo ou les pleins et déliés d'un caractère typographique : chaque jonction segment-arc ou arc-arc respecte la règle de la tangente, et l'œil glisse sur le contour sans accroc.

Polygones réguliers, rosaces, frises, pavages, raccordements : tu disposes maintenant de toute la panoplie du géomètre-designer. Retiens la démarche du chapitre : observer une figure, analyser son motif élémentaire et les transformations qui le répètent, puis créer à ton tour.