Devoir surveillé — Suites numériques

Les deux parties sont indépendantes. La calculatrice est autorisée.

Partie A. La suite $(u(n))$, que l'on peut aussi noter $(u_n)$, est définie de façon explicite (relation fonctionnelle) : pour tout entier naturel $n$,

$$u(n)=4n-1.$$

1. Calculer $u(0)$, $u(1)$ et $u(5)$.
2. Calculer $u(30)$.

Partie B. La suite $(v(n))$ est définie par son premier terme et une relation de récurrence : $v(0)=48$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$v(n+1)={\displaystyle \frac{v(n)}{2}}+10.$$

3. Calculer $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$.

4. Parmi les deux définitions de cet exercice, laquelle permet d'obtenir un terme de rang élevé, par exemple le terme de rang $100$, sans avoir à calculer tous les termes précédents ? Expliquer brièvement.

On a représenté ci-dessous le nuage de points $(n;d(n))$ des six premiers termes d'une suite $(d(n))$, pour $n$ allant de $0$ à $5$.

1. Lire graphiquement $d(0)$ et $d(3)$.
2. Pour quels rangs $n$ a-t-on $d(n)⩾6$ ?
3. La suite $(d(n))$ est-elle croissante ? Est-elle décroissante ? Justifier chacune des deux réponses.
4. Sur quels rangs la suite semble-t-elle croître ? Sur quels rangs semble-t-elle décroître ?
5. Pourquoi ne relie-t-on pas les points du nuage entre eux ?

Un restaurant utilise pour ses fritures une cuve d'huile de $300$ litres, remplie en début de saison. Chaque semaine, la cuisine consomme $40$ litres d'huile. On note $u(n)$ le volume d'huile, en litres, restant dans la cuve après $n$ semaines.

1. Donner $u(0)$, puis calculer $u(1)$ et $u(2)$.
2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$.
3. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a $u(n)=300-40n$.
4. Quel volume d'huile reste-t-il dans la cuve après $5$ semaines ?
5. Étudier le signe de la différence $u(n+1)-u(n)$. Qu'en déduit-on pour le sens de variation de la suite $(u(n))$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
6. Déterminer le premier rang $n$ pour lequel $u(n)<40$. Avant quelle semaine le restaurateur doit-il recommander de l'huile ?
7. Le restaurateur envisage un autre fonctionnement : chaque semaine, la cuisine ne consommerait que $10\mathrm{\%}$ du volume restant dans la cuve. On note $w(n)$ le volume restant après $n$ semaines avec ce nouveau modèle, et $w(0)=300$. Exprimer $w(n+1)$ en fonction de $w(n)$, puis calculer $w(1)$ et $w(2)$.

Un ciné-club compte $200$ abonnés cette année. Chaque année, $20\mathrm{\%}$ des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement, et $30$ nouveaux abonnés s'inscrivent. On note $u(n)$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ années. On a donc $u(0)=200$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u(n+1)=\mathrm{0,8}\times u(n)+30.$$

1. Calculer $u(1)$ et $u(2)$.

2. On souhaite calculer $u(10)$ à l'aide du script Python ci-dessous. Recopier le script et compléter les pointillés.

   u = ...
   for i in range(...):
       u = ...
   print(u)
   

3. Une fois complété, le script affiche 155.36870912. Que représente ce nombre ?

4. En poursuivant les calculs, vers quelle valeur le nombre d'abonnés semble-t-il se stabiliser à long terme ? Justifier la conjecture.