1ʳᵉ techno · Chapitre 01 · Analyse

Suites numériques

Modes de génération (fonctionnel, récurrence), sens de variation, représentation par nuage de points.

Ce qu'il faut savoir faire

Modes de génération (fonctionnel, récurrence)
Sens de variation
Représentation par nuage de points

Le nombre d'abonnés d'une chaîne relevé chaque semaine, un capital placé sur un livret et relevé chaque année, la température d'une boisson chaude mesurée minute après minute, une colonie de bactéries comptée heure par heure : toutes ces évolutions ont un point commun. On ne les observe pas en continu, mais étape par étape. À chaque étape correspond un nombre, et ces nombres forment une liste que l'on peut numéroter : valeur au départ, valeur à l'étape 1, valeur à l'étape 2, et ainsi de suite, sans fin. Une telle liste infinie de nombres numérotés est l'objet mathématique central de ce chapitre : la suite numérique. Nous allons apprendre à définir une suite, à calculer ses termes, à la représenter graphiquement et à l'utiliser pour modéliser des situations concrètes.

Qu'est-ce qu'une suite ?

Reprenons la colonie de bactéries. On compte $200$ bactéries au départ, $260$ au bout d'une heure, $338$ au bout de deux heures… On obtient une liste de nombres, chacun repéré par son numéro d'étape : le nombre $260$ est associé à l'étape $1$ , le nombre $338$ à l'étape $2$ . C'est exactement l'idée d'une suite.

Définition

Suite numérique. Une suite $u$ associe à chaque entier naturel $n$ (c'est-à-dire $n = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ , …) un nombre, noté $u (n)$ et lu « $u$ de $n$ ».

Le nombre $u (n)$ est le terme de rang $n$ de la suite.
L'entier $n$ est le rang (le numéro d'étape) de ce terme.
Le nombre $u (0)$ est le premier terme de la suite, aussi appelé terme initial.

La notation $u (n)$ est celle des fonctions : une suite est en effet une fonction particulière, dont la variable ne prend que des valeurs entières ( $0$ , $1$ , $2$ , …). Il existe une seconde notation, avec le rang écrit en indice : $u_{n}$ . Les deux écritures $u (n)$ et $u_{n}$ désignent exactement le même nombre, ce sont deux notations pour le terme de rang $n$ . Vous rencontrerez les deux ; dans ce cours, nous utiliserons principalement $u (n)$ .

Exemple

Soit $u$ la suite des nombres pairs : $u (0) = 0$ , $u (1) = 2$ , $u (2) = 4$ , $u (3) = 6$ , etc. Le terme de rang $3$ vaut $6$ : son rang est $3$ (sa position dans la liste), sa valeur est $6$ . Il ne faut jamais confondre les deux.

Une suite peut aussi provenir de mesures, sans aucune formule : si $t (n)$ désigne la température en degrés d'une boisson chaude au bout de $n$ minutes, on peut avoir relevé $t (0) = 80$ , $t (1) = 68$ , $t (2) = 59$ , $t (3) = 52$ . La liste des relevés définit bien une suite.

Deux façons d'engendrer une suite

Une liste de mesures ne donne que quelques termes. Pour décrire tous les termes d'une suite d'un seul coup, on dispose de deux modes de génération.

Premier mode : la relation fonctionnelle (mode explicite).

Définition

Suite définie de façon explicite. Une suite $u$ est définie de façon explicite lorsqu'une formule donne directement $u (n)$ en fonction du rang $n$ .

Par exemple : pour tout entier naturel $n$ , $u (n) = 2 n + 3$ .

Méthode

Calculer un terme de rang donné (mode explicite). Remplacer $n$ par le rang voulu dans la formule, puis effectuer le calcul. L'accès est direct : pour connaître $u (50)$ , il est inutile de calculer les termes précédents.

Exemple

Soit $u$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u (n) = 2 n + 3$ .

$u (0) = 2 \times 0 + 3 = 3$ , puis $u (1) = 2 \times 1 + 3 = 5$ et $u (2) = 2 \times 2 + 3 = 7$ .
Directement, sans étape intermédiaire : $u (50) = 2 \times 50 + 3 = 103$ .

Autre exemple, avec la suite $w$ définie par $w (n) = n^{2} - 6 n + 10$ : on obtient $w (0) = 10$ , $w (1) = 1 - 6 + 10 = 5$ et, en accès direct, $w (10) = 100 - 60 + 10 = 50$ .

Second mode : la relation de récurrence.

Dans beaucoup de situations, on ne connaît pas de formule directe, mais on sait décrire comment on passe d'une étape à la suivante : « chaque heure, la quantité diminue de 20 % », « chaque mois, on ajoute 15 € ». C'est le second mode de génération.

Définition

Suite définie par récurrence. Une suite $v$ est définie par récurrence lorsqu'on donne :

son premier terme, par exemple $v (0)$ ;
une relation qui exprime chaque terme en fonction du précédent, c'est-à-dire $v (n + 1)$ en fonction de $v (n)$ .

Attention à bien lire les notations : $v (n + 1)$ est le terme suivant $v (n)$ dans la liste (le rang augmente de $1$ ), alors que $v (n) + 1$ est la valeur de $v (n)$ augmentée de $1$ . Ce sont deux nombres différents en général.

Méthode

Calculer un terme de rang donné (mode récurrence). Partir du premier terme et appliquer la relation de proche en proche : $v (0)$ donne $v (1)$ , qui donne $v (2)$ , qui donne $v (3)$ … Pour atteindre $v (50)$ , il faut avoir calculé tous les termes précédents. Pour un rang lointain, on confie les calculs à un tableur ou à un programme (voir la dernière section).

Exemple

Soit $v$ la suite définie par $v (0) = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v (n + 1) = 2 \times v (n) - 3$ .

$v (1) = 2 \times v (0) - 3 = 2 \times 5 - 3 = 7$ ;
$v (2) = 2 \times v (1) - 3 = 2 \times 7 - 3 = 11$ ;
$v (3) = 2 \times v (2) - 3 = 2 \times 11 - 3 = 19$ .

Impossible de calculer $v (10)$ sans passer par $v (4)$ , $v (5)$ , … , $v (9)$ : c'est toute la différence avec le mode explicite.

Retenez bien cette différence pratique : avec une formule explicite, on saute directement au rang voulu ; avec une relation de récurrence, on avance pas à pas depuis le premier terme.

Représentation graphique : le nuage de points

Pour visualiser une suite, on place dans un repère les points de coordonnées $(n; u (n))$ : le rang en abscisse, le terme en ordonnée. On obtient un nuage de points isolés. On ne relie jamais ces points : le phénomène est discret, il ne se passe rien entre deux rangs entiers (il n'existe pas de terme de rang $2,5$ ).

Voici trois nuages, issus de trois suites que nous retrouverons dans tout le chapitre.

Un abonnement de salle de sport coûte $20$ € d'inscription, puis $5$ € par séance. Le coût total en euros après $n$ séances est $u (n) = 20 + 5 n$ .

$n$ (séances)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$u (n)$ (euros)	$20$	$25$	$30$	$35$	$40$	$45$	$50$

Nuage de points de la suite u(n) = 20 + 5n : points alignés qui montent régulièrement

Les points sont alignés et montent régulièrement : d'une séance à la suivante, le coût augmente toujours de $5$ €.

La suite $w (n) = n^{2} - 6 n + 10$ donne les valeurs $10$ , $5$ , $2$ , $1$ , $2$ , $5$ , $10$ pour $n$ allant de $0$ à $6$ .

Nuage de points de la suite w(n) = n au carré moins 6n plus 10 : les points descendent puis remontent

Ici, les points descendent d'abord, puis remontent : la suite ne monte pas toujours, ne descend pas toujours. Nous y reviendrons dans la section sur le sens de variation.

Une quantité de médicament dans le sang vaut $100$ mg au départ, et chaque heure il en reste $80 %$ : $v (0) = 100$ et $v (n + 1) = 0,8 \times v (n)$ . Les premiers termes sont $100$ ; $80$ ; $64$ ; $51,2$ ; $40,96$ ; environ $32,77$ ; environ $26,21$ .

Nuage de points de la suite v définie par v(0) = 100 et v(n+1) = 0,8 fois v(n) : la baisse ralentit

La quantité diminue à chaque heure, mais la baisse ralentit : on perd $20$ mg la première heure, puis $16$ mg, puis $12,8$ mg… Graphiquement, les termes semblent se rapprocher de $0$ sans jamais l'atteindre.

Méthode

Lire un nuage de points. Acquis depuis : collège.

Pour lire un terme : repérer le point dont l'abscisse est le rang voulu, puis lire son ordonnée. Sur le nuage du médicament, le point d'abscisse $3$ a pour ordonnée $51,2$ : donc $v (3) = 51,2$ .
Pour répondre à une question du type « à partir de quel rang $u (n)$ dépasse-t-il $40$ ? » : repérer les points situés au-dessus de la ligne horizontale d'ordonnée $40$ , et lire leurs abscisses. Sur le nuage de la salle de sport, cela se produit à partir du rang $5$ .

Sens de variation

Sur les nuages précédents, on voit des suites qui montent, qui descendent, ou qui font les deux. Donnons un sens précis à ces observations.

Définition

Sens de variation d'une suite. Soit $u$ une suite.

$u$ est croissante lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u (n + 1) ⩾ u (n)$ : chaque terme est supérieur ou égal au précédent.
$u$ est décroissante lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u (n + 1) ⩽ u (n)$ : chaque terme est inférieur ou égal au précédent.
$u$ est constante lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u (n + 1) = u (n)$ : tous les termes sont égaux.

Comparer $u (n + 1)$ et $u (n)$ revient à regarder le signe de leur différence : c'est la méthode à retenir.

Méthode

Étudier le sens de variation d'une suite. Calculer et simplifier la différence $u (n + 1) - u (n)$ , puis étudier son signe : Acquis depuis : première spé.

si $u (n + 1) - u (n) ⩾ 0$ pour tout $n$ , la suite est croissante ;
si $u (n + 1) - u (n) ⩽ 0$ pour tout $n$ , la suite est décroissante ;
si le signe change selon les valeurs de $n$ , la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Exemple

Une suite croissante. Pour la suite $u (n) = 20 + 5 n$ (l'abonnement) :

u (n + 1) - u (n) = 20 + 5 (n + 1) - (20 + 5 n) = 5

La différence vaut $5$ , elle est toujours strictement positive : la suite $u$ est croissante. C'est cohérent avec le nuage, dont les points montent régulièrement.

Exemple

Une suite décroissante. Pour la suite du médicament, définie par $v (0) = 100$ et $v (n + 1) = 0,8 \times v (n)$ :

v (n + 1) - v (n) = 0,8 \times v (n) - v (n) = - 0,2 \times v (n)

Chaque terme $v (n)$ est une quantité de médicament, donc un nombre positif : la différence $- 0,2 \times v (n)$ est toujours négative. La suite $v$ est décroissante, ce que confirme le nuage.

Exemple

Une suite ni croissante ni décroissante. Pour la suite $w (n) = n^{2} - 6 n + 10$ , le nuage montre des points qui descendent puis remontent. Vérifions par le calcul :

$w (0) = 10$ et $w (1) = 5$ : on a $w (1) < w (0)$ , donc la suite n'est pas croissante ;
$w (4) = 2$ et $w (5) = 5$ : on a $w (5) > w (4)$ , donc la suite n'est pas décroissante.

La suite $w$ n'est donc ni croissante ni décroissante. Le calcul de la différence le confirme : $w (n + 1) - w (n) = (n + 1)^{2} - 6 (n + 1) + 10 - (n^{2} - 6 n + 10) = 2 n - 5$ , un résultat négatif pour $n ⩽ 2$ et positif pour $n ⩾ 3$ .

Remarquez au passage : pour affirmer qu'une suite n'est pas croissante (ou pas décroissante), un seul contre-exemple suffit. Ici, la seule comparaison $w (1) < w (0)$ suffisait à écarter la croissance.

Modéliser une évolution discrète

Modéliser, c'est traduire une situation réelle en langage mathématique. Quand une grandeur évolue étape par étape, l'outil adapté est la suite. C'est la capacité centrale de ce chapitre.

Méthode

Modéliser une situation par une suite.

Identifier la grandeur étudiée et l'étape (la séance, l'heure, l'année…) : poser $u (n) =$ valeur de la grandeur à l'étape $n$ , avec son unité.
Choisir le rang initial : à quoi correspond $n = 0$ , et que vaut $u (0)$ ?
Traduire l'énoncé par une relation explicite (si la valeur se calcule directement à partir de $n$ ) ou par une relation de récurrence (si l'énoncé décrit le passage d'une étape à la suivante).
Exploiter le modèle : calculer des termes, tracer le nuage, répondre à la question posée par une phrase.

Exemple

Un modèle explicite : l'abonnement. Une salle de sport facture $20$ € d'inscription, puis $5$ € par séance. Quel est le coût total de $12$ séances ?

La grandeur est le coût total en euros ; l'étape est la séance. On pose $u (n) =$ coût total après $n$ séances.
Au départ ( $n = 0$ , aucune séance), on a déjà payé l'inscription : $u (0) = 20$ .
Chaque séance ajoute $5$ € : après $n$ séances, on a payé $20 + 5 n$ euros. La relation est explicite : $u (n) = 20 + 5 n$ .
Accès direct au rang $12$ : $u (12) = 20 + 5 \times 12 = 80$ . Douze séances coûtent au total $80$ €.

Exemple

Un modèle par récurrence : le médicament. On injecte $100$ mg d'un médicament à un patient. Chaque heure, $20 %$ de la quantité présente dans le sang est éliminée. Au bout de combien d'heures la quantité devient-elle inférieure à $30$ mg ?

La grandeur est la quantité de médicament en mg ; l'étape est l'heure. On pose $v (n) =$ quantité au bout de $n$ heures.
Rang initial : $v (0) = 100$ .
Chaque heure, il reste $80 %$ de la quantité, soit $0,8$ fois la quantité : l'énoncé décrit le passage d'une heure à la suivante, la relation est une récurrence : $v (n + 1) = 0,8 \times v (n)$ .
On explore en calculant les termes un à un : $v (1) = 80$ , $v (2) = 64$ , $v (3) = 51,2$ , $v (4) = 40,96$ , $v (5) = 32,768$ , puis $v (6) = 26,2144$ .

On constate l'encadrement : $v (6) < 30 < v (5)$ . C'est donc au bout de $6$ heures que la quantité de médicament passe pour la première fois sous les $30$ mg.

Cette démarche d'exploration (calculer les termes jusqu'à franchir le seuil, puis conclure par un encadrement et une phrase) est le réflexe à avoir pour toute question de seuil. Quand le seuil est loin, on ne calcule pas à la main : on utilise un tableur ou un programme.

Suites au tableur et en Python

Au tableur. On place les rangs en colonne A et les termes en colonne B, puis on recopie une formule vers le bas.

Cas explicite, avec $u (n) = 2 n + 3$ : la formule utilise le rang en colonne A.

	A	B
1	$n$	$u (n)$
2	0	`=2*A2+3`
3	1	`=2*A3+3`

On saisit =2*A2+3 en B2, puis on recopie vers le bas : le tableur adapte automatiquement la ligne.

Cas d'une récurrence, avec $v (0) = 100$ et $v (n + 1) = 0,8 \times v (n)$ : la formule utilise la cellule du dessus.

	A	B
1	$n$	$v (n)$
2	0	`100`
3	1	`=0,8*B2`
4	2	`=0,8*B3`

On saisit la valeur initiale $100$ en B2, la formule =0,8*B2 en B3, puis on recopie vers le bas. Attention : dans un tableur en français, le séparateur décimal est la virgule (0,8).

En Python. Le mode explicite se traduit par une fonction, avec accès direct au rang voulu :

def u(n):
    return 2*n + 3

print(u(50))   # affiche 103

Le mode par récurrence se traduit par une boucle for, qui refait le passage à l'étape suivante autant de fois que nécessaire (ici $10$ fois, pour obtenir $v (10)$ ) :

v = 100
for i in range(10):
    v = 0.8 * v
print(v)   # affiche la valeur de v(10)

La boucle traduit exactement le calcul « de proche en proche » : c'est l'ordinateur qui avance pas à pas à notre place. En Python, le séparateur décimal est le point (0.8).

À retenir

Méthode

Les réflexes du chapitre. Acquis depuis : première (ens. scient.).

Une suite est une liste infinie de nombres numérotés : $u (n)$ est le terme de rang $n$ , et les notations $u (n)$ et $u_{n}$ désignent le même nombre.
Formule explicite $u (n) = \dots$ : on remplace $n$ par le rang voulu, l'accès à n'importe quel terme est direct.
Relation de récurrence ( $v (0)$ donné et $v (n + 1)$ en fonction de $v (n)$ ) : on calcule de proche en proche ; pour un rang lointain, tableur ou boucle Python.
Le nuage de points $(n; u (n))$ se lit rang en abscisse, terme en ordonnée, et on ne relie jamais les points.
Sens de variation : étudier le signe de la différence $u (n + 1) - u (n)$ ; un seul contre-exemple suffit à écarter la croissance ou la décroissance.

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=2*A2+3

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100

=0,8*B2

=0,8*B3