Statistiques à deux variables quantitatives

Le nombre d'heures d'entraînement d'un sportif et sa performance, la dose d'un médicament et la concentration mesurée dans le sang, le prix d'un produit et le nombre d'unités vendues, la tension aux bornes d'une résistance et l'intensité qui la traverse : dans toutes ces situations, on mesure deux grandeurs numériques sur les mêmes individus, et on se demande si elles sont liées. Quand l'une augmente, l'autre augmente-t-elle aussi ? Peut-on prévoir la valeur de l'une à partir de la valeur de l'autre ?

En seconde, vous avez déjà croisé deux variables, mais elles étaient qualitatives (des catégories : fille/garçon, fumeur/non-fumeur…) et l'outil était le tableau croisé d'effectifs. Cette année, les deux variables sont quantitatives : ce sont des nombres, et on peut donc les placer dans un repère. C'est tout l'objet de ce chapitre : représenter ces couples de nombres par un nuage de points, résumer la tendance du nuage par une droite d'ajustement, puis utiliser cette droite pour faire des prévisions, sans jamais oublier de garder un œil critique sur le modèle.

Nous suivrons tout au long du chapitre un même exemple : dans une classe de première technologique, on a demandé à $8$ élèves combien d'heures ils avaient révisé avant le dernier contrôle, et on a relevé leur note.

Série statistique à deux variables et nuage de points

Commençons par nommer précisément l'objet que nous étudions. Pour chaque élève, on dispose de deux nombres : ses heures de révision et sa note. Chaque élève est donc représenté par un couple de nombres.

Dans notre exemple, la série compte $n=8$ couples : $(1;5)$, $(2;7)$, $(3;8)$, et ainsi de suite jusqu'à $(8;16)$. Le couple $(4;10)$ se lit : « le quatrième élève a révisé $4$ heures et a obtenu $10$ sur $20$ ».

Un tableau de couples est difficile à lire d'un seul coup d'œil. L'idée fondamentale du chapitre est de voir la série : chaque couple $(x_i;y_i)$ est un point du plan, et la série toute entière devient un ensemble de points.

Voici le nuage de points de notre série :

Le point moyen

Avant de chercher une droite, résumons le nuage par un seul point : son « centre de gravité ». L'idée est naturelle : on connaît déjà la moyenne d'une série à une variable ; ici, on calcule la moyenne de chacune des deux variables.

Une remarque importante : le point moyen n'est en général pas un point du nuage. Ici, aucun élève n'a révisé exactement $\mathrm{4,5}$ heures ni obtenu $\mathrm{10,5}$ : $G$ est un point fictif, qui résume la position d'ensemble du nuage, exactement comme la moyenne d'une classe n'est la note d'aucun élève en particulier. Nous verrons que ce point joue pourtant un rôle central : les bonnes droites d'ajustement passent par lui.

Ajustement affine

Revenons à l'observation faite sur le nuage : les huit points semblent presque alignés. Quand un nuage a cette forme allongée, presque rectiligne, il est naturel de vouloir résumer la tendance par une droite. Une telle droite a une équation de la forme $y=ax+b$ : elle transforme le nuage de huit points en une formule unique, qui relie la note aux heures de révision. C'est ce qu'on appelle ajuster le nuage.

Toute la question est dans le « au plus près » : comment choisir cette droite ? Il existe plusieurs méthodes, de la plus intuitive à la plus précise. Nous en présentons trois.

Première méthode : l'ajustement au jugé. C'est la méthode graphique, à la règle. On pose une règle transparente sur le nuage et on trace une droite qui passe « au milieu » des points : à peu près autant de points au-dessus qu'en dessous, et le plus près possible de chacun. On lit ensuite graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine pour obtenir une équation. Cette méthode est rapide et donne une bonne première idée de la tendance, mais elle a un défaut évident : deux personnes ne traceront jamais exactement la même droite. Pour obtenir une droite que tout le monde peut retrouver par le calcul, il faut une méthode plus systématique.

Deuxième méthode : la droite de Mayer. L'idée est astucieuse : plutôt que de juger à l'œil, on coupe le nuage en deux moitiés et on fait confiance aux points moyens.

Cette propriété est très utile en pratique : elle permet de vérifier un calcul de droite de Mayer (si la droite obtenue ne passe pas par $G$, il y a une erreur quelque part) et de tracer rapidement la droite connaissant $G$ et le coefficient directeur.

Troisième méthode : la droite des moindres carrés. La droite de Mayer est déjà une bonne droite, mais on peut se demander s'il existe une meilleure droite, et surtout ce que « meilleure » veut dire. Voici le critère retenu par les statisticiens. Pour une droite donnée et pour chaque point du nuage, on mesure l'écart vertical entre le point et la droite : c'est la distance, comptée parallèlement à l'axe des ordonnées, entre la valeur observée $y_i$ et la valeur que la droite prédit pour l'abscisse $x_i$. Sur notre exemple, c'est l'écart entre la vraie note d'un élève et la note que le modèle lui attribue.

Pourquoi les carrés des écarts, et pas les écarts eux-mêmes ? D'abord parce qu'un carré est toujours positif : les écarts au-dessus et en dessous de la droite ne peuvent pas se compenser. Ensuite parce qu'élever au carré pénalise fortement les grands écarts : la droite obtenue évite de laisser un point très loin d'elle. Parmi toutes les droites imaginables, il en existe une et une seule qui rend cette somme minimale, et c'est elle que l'on retient.

Bonne nouvelle : vous n'avez aucun calcul théorique à mener pour trouver cette droite. Son équation s'obtient directement à la machine.

Signalons enfin une propriété que la droite des moindres carrés partage avec la droite de Mayer : elle passe elle aussi par le point moyen $G$ du nuage. Le point moyen est décidément le point de passage obligé de tout bon ajustement.

Interpoler, extrapoler

Une droite d'ajustement n'est pas une fin en soi : on la construit pour s'en servir. Son équation $y=ax+b$ permet d'estimer la valeur de $y$ pour une valeur de $x$ qui ne figure pas dans la série, ou inversement. Le vocabulaire distingue deux situations, selon que la valeur de $x$ choisie est à l'intérieur ou à l'extérieur de la plage des données.

Retenez le contraste entre les deux premiers exemples : la même droite, le même calcul, mais une estimation solide dans un cas et un résultat impossible dans l'autre. Toute la différence tient à la position de $x$ par rapport aux données observées.

Pertinence et limites d'un ajustement

Le programme insiste sur une compétence qui dépasse le calcul : l'esprit critique. Avant d'utiliser un ajustement affine, et après avoir obtenu une estimation, il faut se demander si le modèle est légitime.

Quand un ajustement affine est-il pertinent ? La réponse se lit sur le nuage. Un ajustement affine est pertinent lorsque le nuage a une forme allongée et presque rectiligne : les points se répartissent de part et d'autre d'une direction bien visible, comme dans notre exemple des révisions. Dans ce cas, la droite résume fidèlement la tendance, et les estimations par interpolation sont fiables.

Quand ne l'est-il pas ? Deux situations doivent alerter :

• Le nuage est courbé : les points dessinent un arc, une montée qui ralentit, une décroissance qui s'accélère… Une droite ne peut pas suivre une courbe ; l'ajustement affine passerait à côté de la forme réelle du phénomène. C'est par exemple le cas d'une population de bactéries en croissance rapide ou d'un objet qui refroidit.
• Le nuage est très dispersé : les points sont éparpillés sans direction visible, comme jetés au hasard. Aucune droite ne « passe près » de points qui ne s'alignent pas ; on peut toujours calculer une équation à la machine, mais elle ne résume rien, et les prévisions qu'on en tirerait n'auraient aucune valeur.

Dans les deux cas, la machine fournira docilement une équation si on la lui demande : c'est à vous de juger, au vu du nuage, si cette équation a un sens.

Enfin, même quand l'ajustement est pertinent sur la plage des données, il ne dit rien de ce qui se passe au-delà. Notre exemple des $\mathrm{21,75}$ sur $20$ le montre : un modèle validé sur des révisions de $1$ à $8$ heures n'a jamais promis d'être valable pour $12$ heures. Avant toute extrapolation, demandez-vous si la tendance a des raisons de se prolonger : existe-t-il un plafond (une note maximale, une capacité de production limitée), un seuil, un changement de régime prévisible ? Une extrapolation proche des données peut être raisonnable ; une extrapolation lointaine est toujours fragile.

Ces réflexes ne sont pas qu'un exercice scolaire : l'ajustement affine est un outil de travail quotidien dans de nombreux domaines. En chimie, la droite d'étalonnage relie la concentration d'une solution à son absorbance : on la construit à partir de solutions connues, puis on interpole pour doser une solution inconnue. En électricité, la tension aux bornes d'une résistance et l'intensité qui la traverse donnent un nuage rectiligne dont le coefficient directeur est la résistance. En économie et en gestion, on ajuste des chiffres de ventes ou des coûts de production pour bâtir des prévisions, en sachant qu'une prévision à long terme (une extrapolation lointaine) doit toujours être maniée avec prudence. Dans tous les cas, la démarche est celle de ce chapitre : représenter, ajuster, estimer, et surtout juger de la confiance à accorder au modèle.