1ʳᵉ techno · Chapitre 07 · Statistiques et probabilités

Statistiques à deux variables quantitatives

Nuage de points, point moyen, ajustement affine, interpolation et extrapolation.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Nuage de points
Point moyen
Ajustement affine
Interpolation et extrapolation

Le nombre d'heures d'entraînement d'un sportif et sa performance, la dose d'un médicament et la concentration mesurée dans le sang, le prix d'un produit et le nombre d'unités vendues, la tension aux bornes d'une résistance et l'intensité qui la traverse : dans toutes ces situations, on mesure deux grandeurs numériques sur les mêmes individus, et on se demande si elles sont liées. Quand l'une augmente, l'autre augmente-t-elle aussi ? Peut-on prévoir la valeur de l'une à partir de la valeur de l'autre ?

En seconde, vous avez déjà croisé deux variables, mais elles étaient qualitatives (des catégories : fille/garçon, fumeur/non-fumeur…) et l'outil était le tableau croisé d'effectifs. Cette année, les deux variables sont quantitatives : ce sont des nombres, et on peut donc les placer dans un repère. C'est tout l'objet de ce chapitre : représenter ces couples de nombres par un nuage de points, résumer la tendance du nuage par une droite d'ajustement, puis utiliser cette droite pour faire des prévisions, sans jamais oublier de garder un œil critique sur le modèle.

Nous suivrons tout au long du chapitre un même exemple : dans une classe de première technologique, on a demandé à $8$ élèves combien d'heures ils avaient révisé avant le dernier contrôle, et on a relevé leur note.

$x_{i}$ (heures de révision)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$y_{i}$ (note sur 20)	$5$	$7$	$8$	$10$	$11$	$13$	$14$	$16$

Série statistique à deux variables et nuage de points

Commençons par nommer précisément l'objet que nous étudions. Pour chaque élève, on dispose de deux nombres : ses heures de révision et sa note. Chaque élève est donc représenté par un couple de nombres.

Définition

Série statistique à deux variables quantitatives. Une série statistique à deux variables quantitatives est la donnée, pour chaque individu d'une population, d'un couple de nombres $(x_{i}; y_{i})$ :

$x_{i}$ est la valeur de la première variable pour le $i$ -ème individu ;
$y_{i}$ est la valeur de la seconde variable pour ce même individu.

La série est donc une liste de couples $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ , …, $(x_{n}; y_{n})$ , où $n$ est le nombre d'individus.

Dans notre exemple, la série compte $n = 8$ couples : $(1; 5)$ , $(2; 7)$ , $(3; 8)$ , et ainsi de suite jusqu'à $(8; 16)$ . Le couple $(4; 10)$ se lit : « le quatrième élève a révisé $4$ heures et a obtenu $10$ sur $20$ ».

Un tableau de couples est difficile à lire d'un seul coup d'œil. L'idée fondamentale du chapitre est de voir la série : chaque couple $(x_{i}; y_{i})$ est un point du plan, et la série toute entière devient un ensemble de points.

Définition

Nuage de points. Dans un repère, le nuage de points associé à une série statistique à deux variables est l'ensemble des points $M_{i}$ de coordonnées $(x_{i}; y_{i})$ , pour $i$ allant de $1$ à $n$ .

Méthode

Représenter un nuage de points.

Choisir les axes : la variable $x$ en abscisse, la variable $y$ en ordonnée. En général, on place en abscisse la variable qui « explique » (ici les heures de révision) et en ordonnée la variable que l'on cherche à prévoir (ici la note).
Indiquer sur chaque axe le nom de la variable et son unité (heures, euros, degrés…).
Choisir une fenêtre adaptée : les graduations doivent couvrir toutes les valeurs de la série, sans écraser le nuage. Les deux axes peuvent avoir des échelles différentes, et il est permis de ne pas faire commencer un axe à zéro si les valeurs s'y prêtent.
Placer les points sans jamais les relier : chaque point représente un individu, il ne se passe rien « entre » deux individus.

Voici le nuage de points de notre série :

Nuage de points de la série : heures de révision en abscisse, note sur 20 en ordonnée, huit points qui montent régulièrement

Exemple

Lecture du nuage. Le point le plus à gauche a pour coordonnées $(1; 5)$ : l'élève qui n'a révisé qu'une heure a obtenu $5$ sur $20$ . Le point le plus à droite, $(8; 16)$ , correspond à l'élève qui a révisé $8$ heures et obtenu $16$ .

Une première observation qualitative s'impose : les points montent de gauche à droite. Plus un élève a révisé, meilleure est sa note. Mieux encore : les points semblent presque alignés, comme rangés le long d'une droite invisible. C'est cette impression visuelle que nous allons exploiter dans la suite du chapitre.

Le point moyen

Avant de chercher une droite, résumons le nuage par un seul point : son « centre de gravité ». L'idée est naturelle : on connaît déjà la moyenne d'une série à une variable ; ici, on calcule la moyenne de chacune des deux variables.

Définition

Point moyen. Le point moyen d'un nuage de points est le point $G$ de coordonnées $(\overset{ˉ}{x}; \overset{ˉ}{y})$ , où :

$\overset{ˉ}{x}$ est la moyenne des valeurs $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ ;
$\overset{ˉ}{y}$ est la moyenne des valeurs $y_{1}$ , $y_{2}$ , …, $y_{n}$ .

Méthode

Calculer les coordonnées du point moyen.

Additionner toutes les valeurs de $x$ , puis diviser par l'effectif $n$ : on obtient $\overset{ˉ}{x}$ .
Additionner toutes les valeurs de $y$ , puis diviser par $n$ : on obtient $\overset{ˉ}{y}$ .
Conclure : le point moyen est $G (\overset{ˉ}{x}; \overset{ˉ}{y})$ .

Exemple

Point moyen de notre série. L'effectif est $n = 8$ .

Moyenne des heures de révision :

\overset{ˉ}{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4,5

Moyenne des notes :

\overset{ˉ}{y} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 + 16}{8} = \frac{84}{8} = 10,5

Le point moyen du nuage est donc $G (4,5; 10,5)$ : en moyenne, les élèves ont révisé $4,5$ heures et obtenu $10,5$ sur $20$ .

Nuage de points avec le point moyen G de coordonnées 4,5 et 10,5, repéré par des pointillés de lecture

Une remarque importante : le point moyen n'est en général pas un point du nuage. Ici, aucun élève n'a révisé exactement $4,5$ heures ni obtenu $10,5$ : $G$ est un point fictif, qui résume la position d'ensemble du nuage, exactement comme la moyenne d'une classe n'est la note d'aucun élève en particulier. Nous verrons que ce point joue pourtant un rôle central : les bonnes droites d'ajustement passent par lui.

Ajustement affine

Revenons à l'observation faite sur le nuage : les huit points semblent presque alignés. Quand un nuage a cette forme allongée, presque rectiligne, il est naturel de vouloir résumer la tendance par une droite. Une telle droite a une équation de la forme $y = a x + b$ : elle transforme le nuage de huit points en une formule unique, qui relie la note aux heures de révision. C'est ce qu'on appelle ajuster le nuage.

Définition

Ajustement affine. Réaliser un ajustement affine d'un nuage de points, c'est déterminer une droite d'équation $y = a x + b$ qui passe « au plus près » de l'ensemble des points du nuage. Cette droite est appelée droite d'ajustement ; elle modélise la relation entre les deux variables.

Toute la question est dans le « au plus près » : comment choisir cette droite ? Il existe plusieurs méthodes, de la plus intuitive à la plus précise. Nous en présentons trois.

Première méthode : l'ajustement au jugé. C'est la méthode graphique, à la règle. On pose une règle transparente sur le nuage et on trace une droite qui passe « au milieu » des points : à peu près autant de points au-dessus qu'en dessous, et le plus près possible de chacun. On lit ensuite graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine pour obtenir une équation. Cette méthode est rapide et donne une bonne première idée de la tendance, mais elle a un défaut évident : deux personnes ne traceront jamais exactement la même droite. Pour obtenir une droite que tout le monde peut retrouver par le calcul, il faut une méthode plus systématique.

Deuxième méthode : la droite de Mayer. L'idée est astucieuse : plutôt que de juger à l'œil, on coupe le nuage en deux moitiés et on fait confiance aux points moyens.

Méthode

Déterminer la droite de Mayer.

Ranger les points du nuage dans l'ordre des abscisses croissantes, puis partager le nuage en deux sous-nuages de même effectif (ou presque) : les points « de gauche » et les points « de droite ».
Calculer le point moyen $G_{1}$ du premier sous-nuage et le point moyen $G_{2}$ du second, avec la méthode de la section précédente.
La droite de Mayer est la droite $(G_{1} G_{2})$ . Son coefficient directeur se calcule comme en seconde :

a = \frac{y_{G_{2}} - y_{G_{1}}}{x_{G_{2}} - x_{G_{1}}}

puis on trouve $b$ en écrivant que la droite passe par $G_{1}$ : $b = y_{G_{1}} - a \times x_{G_{1}}$ .

Exemple

Droite de Mayer de notre série. Les abscisses sont déjà rangées dans l'ordre croissant. On partage les $8$ points en deux sous-nuages de $4$ points.

Premier sous-nuage (les $4$ premiers points) : $(1; 5)$ , $(2; 7)$ , $(3; 8)$ , $(4; 10)$ . Son point moyen est $G_{1}$ :

x_{G_{1}} = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5 y_{G_{1}} = \frac{5 + 7 + 8 + 10}{4} = \frac{30}{4} = 7,5

donc $G_{1} (2,5; 7,5)$ .

Second sous-nuage (les $4$ derniers points) : $(5; 11)$ , $(6; 13)$ , $(7; 14)$ , $(8; 16)$ . Son point moyen est $G_{2}$ :

x_{G_{2}} = \frac{5 + 6 + 7 + 8}{4} = \frac{26}{4} = 6,5 y_{G_{2}} = \frac{11 + 13 + 14 + 16}{4} = \frac{54}{4} = 13,5

donc $G_{2} (6,5; 13,5)$ .

Équation de la droite $(G_{1} G_{2})$ . Le coefficient directeur vaut :

a = \frac{13,5 - 7,5}{6,5 - 2,5} = \frac{6}{4} = 1,5

La droite passe par $G_{1} (2,5; 7,5)$ , donc :

b = 7,5 - 1,5 \times 2,5 = 7,5 - 3,75 = 3,75

La droite de Mayer a pour équation $y = 1,5 x + 3,75$ . Concrètement, ce modèle dit : chaque heure de révision supplémentaire rapporte environ $1,5$ point sur la note.

Nuage partagé en deux sous-nuages de couleurs différentes, avec les points moyens G1 et G2 et la droite de Mayer qui les relie

Propriété

La droite de Mayer passe par le point moyen. La droite de Mayer d'un nuage passe toujours par le point moyen $G$ du nuage entier.

Vérification sur notre exemple : pour $x = 4,5$ , la droite donne $y = 1,5 \times 4,5 + 3,75 = 6,75 + 3,75 = 10,5$ . On retrouve exactement l'ordonnée de $G (4,5; 10,5)$ : la droite passe bien par le point moyen.

Cette propriété est très utile en pratique : elle permet de vérifier un calcul de droite de Mayer (si la droite obtenue ne passe pas par $G$ , il y a une erreur quelque part) et de tracer rapidement la droite connaissant $G$ et le coefficient directeur.

Troisième méthode : la droite des moindres carrés. La droite de Mayer est déjà une bonne droite, mais on peut se demander s'il existe une meilleure droite, et surtout ce que « meilleure » veut dire. Voici le critère retenu par les statisticiens. Pour une droite donnée et pour chaque point du nuage, on mesure l'écart vertical entre le point et la droite : c'est la distance, comptée parallèlement à l'axe des ordonnées, entre la valeur observée $y_{i}$ et la valeur que la droite prédit pour l'abscisse $x_{i}$ . Sur notre exemple, c'est l'écart entre la vraie note d'un élève et la note que le modèle lui attribue.

Définition

Droite des moindres carrés. La droite des moindres carrés (ou droite de régression) d'un nuage de points est la droite d'équation $y = a x + b$ pour laquelle la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite est la plus petite possible.

Pourquoi les carrés des écarts, et pas les écarts eux-mêmes ? D'abord parce qu'un carré est toujours positif : les écarts au-dessus et en dessous de la droite ne peuvent pas se compenser. Ensuite parce qu'élever au carré pénalise fortement les grands écarts : la droite obtenue évite de laisser un point très loin d'elle. Parmi toutes les droites imaginables, il en existe une et une seule qui rend cette somme minimale, et c'est elle que l'on retient.

Nuage de points avec la droite des moindres carrés et, en pointillés, les écarts verticaux entre chaque point et la droite

Bonne nouvelle : vous n'avez aucun calcul théorique à mener pour trouver cette droite. Son équation s'obtient directement à la machine.

Méthode

Obtenir la droite des moindres carrés à la calculatrice ou au tableur.

À la calculatrice : entrer les valeurs de $x$ dans une liste et les valeurs de $y$ dans une autre (mode statistiques à deux variables), puis demander la régression linéaire (souvent notée « LinReg » ou « ax+b »). La calculatrice affiche les valeurs de $a$ et de $b$ .
Au tableur : saisir les deux séries en colonnes, tracer le nuage de points, puis insérer une « courbe de tendance linéaire » en demandant l'affichage de son équation.
Écrire l'équation $y = a x + b$ avec les coefficients obtenus (on les arrondit, en le précisant).

Exemple

Droite des moindres carrés de notre série. On entre les heures de révision et les notes dans la calculatrice, qui affiche, en arrondissant les coefficients au centième :

y \approx 1,52 x + 3,64

On remarque que cette équation est très proche de celle de la droite de Mayer ( $y = 1,5 x + 3,75$ ) : sur un nuage aussi bien aligné que le nôtre, les deux méthodes donnent presque la même droite. C'est rassurant, et c'est le signe que la tendance du nuage est nette.

Signalons enfin une propriété que la droite des moindres carrés partage avec la droite de Mayer : elle passe elle aussi par le point moyen $G$ du nuage. Le point moyen est décidément le point de passage obligé de tout bon ajustement.

Interpoler, extrapoler

Une droite d'ajustement n'est pas une fin en soi : on la construit pour s'en servir. Son équation $y = a x + b$ permet d'estimer la valeur de $y$ pour une valeur de $x$ qui ne figure pas dans la série, ou inversement. Le vocabulaire distingue deux situations, selon que la valeur de $x$ choisie est à l'intérieur ou à l'extérieur de la plage des données.

Définition

Interpolation, extrapolation. Soit une série dont les abscisses observées vont de $x_{\min}$ à $x_{\max}$ , ajustée par une droite d'équation $y = a x + b$ .

Interpoler, c'est estimer la valeur de $y$ pour une valeur de $x$ située à l'intérieur de la plage des données, c'est-à-dire entre $x_{\min}$ et $x_{\max}$ .
Extrapoler, c'est estimer la valeur de $y$ pour une valeur de $x$ située à l'extérieur de cette plage, c'est-à-dire inférieure à $x_{\min}$ ou supérieure à $x_{\max}$ .

Méthode

Utiliser un ajustement affine pour faire une estimation.

Repérer la plage des données : entre quelles valeurs les $x_{i}$ observés sont-ils compris ? En déduire si l'estimation demandée est une interpolation ou une extrapolation.
Remplacer $x$ par la valeur choisie dans l'équation de la droite, et calculer $y$ (ou, si c'est $y$ qui est donné, résoudre l'équation pour trouver $x$ ).
Conclure par une phrase dans le contexte, avec les unités, en employant un vocabulaire prudent : « on peut estimer que… », « le modèle prévoit environ… ».
Garder l'esprit critique, surtout pour une extrapolation : plus on s'éloigne des données, moins l'estimation est fiable.

Exemple

Une interpolation. Dans notre série, les heures de révision observées vont de $1$ à $8$ heures. Que peut espérer un élève qui révise $5$ h $30$ , c'est-à-dire $x = 5,5$ ?

La valeur $5,5$ est comprise entre $1$ et $8$ : c'est une interpolation. Avec la droite de Mayer $y = 1,5 x + 3,75$ :

y = 1,5 \times 5,5 + 3,75 = 8,25 + 3,75 = 12

Un élève qui révise $5$ h $30$ peut donc espérer une note d'environ $12$ sur $20$ . Cette estimation est crédible : elle se situe au cœur du nuage, dans une zone où le modèle colle bien aux données.

Exemple

Une extrapolation… qui déraille. Que prévoit le même modèle pour un élève qui réviserait $12$ heures ?

La valeur $x = 12$ est nettement au-delà de $8$ , le maximum observé : c'est une extrapolation. Le calcul donne :

y = 1,5 \times 12 + 3,75 = 18 + 3,75 = 21,75

Une note de $21,75$ … sur $20$ ! Le modèle prévoit une note impossible. Le calcul est juste, c'est le modèle qui atteint ses limites : une droite monte indéfiniment, alors qu'une note est plafonnée à $20$ . En réalité, au-delà d'un certain volume de révision, chaque heure supplémentaire rapporte de moins en moins : la relation cesse d'être affine. Cet exemple illustre la règle d'or des extrapolations : plus on s'éloigne de la plage des données, moins la prévision est fiable, au point de devenir absurde.

Exemple

Utiliser l'ajustement dans l'autre sens. L'équation peut aussi servir à estimer $x$ connaissant $y$ . Combien d'heures de révision faut-il, selon le modèle, pour viser $15$ sur $20$ ?

On cherche $x$ tel que $1,5 x + 3,75 = 15$ . On résout :

1,5 x = 15 - 3,75 = 11,25 donc x = \frac{11,25}{1,5} = 7,5

Le modèle estime qu'il faut environ $7$ h $30$ de révision pour viser $15$ sur $20$ . La valeur $7,5$ est comprise entre $1$ et $8$ : on reste dans la plage des données, l'estimation est raisonnable.

Retenez le contraste entre les deux premiers exemples : la même droite, le même calcul, mais une estimation solide dans un cas et un résultat impossible dans l'autre. Toute la différence tient à la position de $x$ par rapport aux données observées.

Pertinence et limites d'un ajustement

Le programme insiste sur une compétence qui dépasse le calcul : l'esprit critique. Avant d'utiliser un ajustement affine, et après avoir obtenu une estimation, il faut se demander si le modèle est légitime.

Quand un ajustement affine est-il pertinent ? La réponse se lit sur le nuage. Un ajustement affine est pertinent lorsque le nuage a une forme allongée et presque rectiligne : les points se répartissent de part et d'autre d'une direction bien visible, comme dans notre exemple des révisions. Dans ce cas, la droite résume fidèlement la tendance, et les estimations par interpolation sont fiables.

Quand ne l'est-il pas ? Deux situations doivent alerter :

Le nuage est courbé : les points dessinent un arc, une montée qui ralentit, une décroissance qui s'accélère… Une droite ne peut pas suivre une courbe ; l'ajustement affine passerait à côté de la forme réelle du phénomène. C'est par exemple le cas d'une population de bactéries en croissance rapide ou d'un objet qui refroidit.
Le nuage est très dispersé : les points sont éparpillés sans direction visible, comme jetés au hasard. Aucune droite ne « passe près » de points qui ne s'alignent pas ; on peut toujours calculer une équation à la machine, mais elle ne résume rien, et les prévisions qu'on en tirerait n'auraient aucune valeur.

Dans les deux cas, la machine fournira docilement une équation si on la lui demande : c'est à vous de juger, au vu du nuage, si cette équation a un sens.

Enfin, même quand l'ajustement est pertinent sur la plage des données, il ne dit rien de ce qui se passe au-delà. Notre exemple des $21,75$ sur $20$ le montre : un modèle validé sur des révisions de $1$ à $8$ heures n'a jamais promis d'être valable pour $12$ heures. Avant toute extrapolation, demandez-vous si la tendance a des raisons de se prolonger : existe-t-il un plafond (une note maximale, une capacité de production limitée), un seuil, un changement de régime prévisible ? Une extrapolation proche des données peut être raisonnable ; une extrapolation lointaine est toujours fragile.

Ces réflexes ne sont pas qu'un exercice scolaire : l'ajustement affine est un outil de travail quotidien dans de nombreux domaines. En chimie, la droite d'étalonnage relie la concentration d'une solution à son absorbance : on la construit à partir de solutions connues, puis on interpole pour doser une solution inconnue. En électricité, la tension aux bornes d'une résistance et l'intensité qui la traverse donnent un nuage rectiligne dont le coefficient directeur est la résistance. En économie et en gestion, on ajuste des chiffres de ventes ou des coûts de production pour bâtir des prévisions, en sachant qu'une prévision à long terme (une extrapolation lointaine) doit toujours être maniée avec prudence. Dans tous les cas, la démarche est celle de ce chapitre : représenter, ajuster, estimer, et surtout juger de la confiance à accorder au modèle.

Méthode

Les réflexes du chapitre.

Une série à deux variables quantitatives est une liste de couples $(x_{i}; y_{i})$ ; on la représente par un nuage de points, sans relier les points.
Le point moyen $G (\overset{ˉ}{x}; \overset{ˉ}{y})$ se calcule en prenant la moyenne de chaque variable ; ce n'est en général pas un point du nuage.
Ajuster un nuage allongé, c'est le résumer par une droite $y = a x + b$ : au jugé (à la règle), par la droite de Mayer (droite reliant les points moyens des deux moitiés du nuage), ou par la droite des moindres carrés (obtenue à la calculatrice ; elle minimise la somme des carrés des écarts verticaux). Ces deux dernières passent par le point moyen $G$ .
Interpoler (à l'intérieur de la plage des $x$ observés) donne des estimations fiables si l'ajustement est pertinent ; extrapoler (à l'extérieur) est d'autant plus risqué qu'on s'éloigne des données.
Toujours juger la pertinence du modèle : forme du nuage (allongée ou non), dispersion, et vraisemblance du résultat dans le contexte.

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