Fonction dérivée et variations

Sur le tableau de bord d'une voiture, le compteur n'affiche pas la vitesse moyenne depuis le départ : il affiche la vitesse à cet instant précis, et cette vitesse change sans cesse au fil du trajet. De même, le responsable d'un atelier ne se contente pas de connaître le coût total de sa production : il veut estimer ce que coûterait la fabrication d'une unité supplémentaire, et cette estimation dépend du niveau de production déjà atteint. Dans les deux situations, une quantité « instantanée » varie d'un point à l'autre, et c'est cette quantité elle-même qu'il faut savoir suivre. Le chapitre précédent a fourni l'outil ponctuel : le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Ce chapitre franchit l'étape décisive : en laissant $a$ parcourir tous les réels, les nombres dérivés s'assemblent en une nouvelle fonction, la fonction dérivée. Son intérêt tient en une phrase, qui est le programme du chapitre : le signe de la dérivée raconte les variations de la fonction. Savoir dériver, c'est donc savoir dire où une fonction monte, où elle descend et où elle atteint ses maximums et minimums — la question centrale de tous les problèmes d'optimisation.

De la tangente à la fonction dérivée

Rappelons brièvement l'acquis du chapitre « Nombre dérivé et tangente ». Pour une fonction $f$ et un réel $a$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ mesure la pente moyenne de la courbe entre deux de ses points ; lorsque $h$ se rapproche de $0$, ce taux se rapproche d'une valeur fixe, le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Graphiquement, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : un nombre dérivé positif signale une tangente qui monte, un nombre dérivé négatif une tangente qui descend.

Jusqu'ici, ce calcul se menait en un point à la fois : $f^{\mathrm{\prime }}(2)$ pour connaître la pente en $2$, puis $f^{\mathrm{\prime }}(5)$ pour la pente en $5$, et ainsi de suite. L'idée nouvelle du chapitre est de considérer tous ces nombres dérivés ensemble : chaque réel $a$ possède le sien, et la correspondance qui à $a$ associe $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ définit donc une fonction à part entière.

Prenons garde à bien distinguer les deux objets qui cohabitent désormais : $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est un nombre (le coefficient directeur d'une tangente particulière), tandis que $f^{\mathrm{\prime }}$ est une fonction (la règle qui fournit ce nombre pour chaque abscisse). C'est la même différence qu'entre l'image $f(2)$ et la fonction $f$ : la notation est fidèle à cette parenté, et calculer $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ reviendra simplement à évaluer la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ en $a$.

Toutes les fonctions étudiées dans ce chapitre — les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $3$ — sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Reste à savoir calculer leurs dérivées, en commençant par les briques élémentaires dont elles sont faites.

Les deux premières formules se comprennent géométriquement. La courbe d'une fonction constante est une droite horizontale : en chaque point, la tangente est cette droite elle-même, de coefficient directeur $0$. La courbe d'une fonction affine $x\mapsto ax+b$ est une droite de coefficient directeur $a$, qui est là aussi sa propre tangente en chaque point : le nombre dérivé vaut $a$ partout. Pour la fonction carré, revenons une fois au taux de variation, entre un réel $a$ et $a+h$ :

$${\displaystyle \frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}}={\displaystyle \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}}={\displaystyle \frac{2ah+h^2}{h}}=2a+h$$

Quand $h$ se rapproche de $0$, ce taux se rapproche de $2a$ : le nombre dérivé de la fonction carré en $a$ vaut $2a$, et cela pour n'importe quel réel $a$ — c'est bien la formule annoncée. Un calcul analogue, un peu plus long, justifie la formule de la fonction cube. Ces quatre résultats sont à connaître parfaitement ; le tableau suivant les récapitule.

Dériver un polynôme

Les fonctions rencontrées dans les problèmes ne se réduisent presque jamais à une brique isolée : ce sont des sommes de multiples de ces briques, comme $4x^2-5x+7$ ou $2x^3-9x^2+12x-1$. Deux règles suffisent pour les dériver toutes.

En combinant ces deux règles avec les dérivées de référence, tout devient mécanique : la dérivée de $a{x}^2$ est $a\times 2x=2ax$, celle de $a{x}^3$ est $a\times 3x^2=3a{x}^2$. Un polynôme de degré inférieur ou égal à $3$ étant une somme de tels termes, il se dérive terme à terme.

Avec un peu d'entraînement, ces dérivées s'écrivent d'un seul jet. Quelques exemples supplémentaires, à recalculer soi-même pour vérifier que la mécanique est en place :

Signe de la dérivée et sens de variation

Nous voici au cœur du chapitre. Observons la courbe ci-dessous et imaginons que l'on fasse glisser un point le long d'elle, en traçant la tangente à chaque position. Sur la partie gauche, la courbe grimpe : toutes les tangentes montent, leur coefficient directeur est positif — autrement dit $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$. Entre les deux points marqués, la courbe descend : les tangentes descendent, et $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$. Sur la partie droite, la courbe remonte et les tangentes redeviennent montantes. Aux deux points de bascule $(-1;2)$ et $(1;-2)$, la tangente est exactement horizontale : son coefficient directeur est nul, donc $f^{\mathrm{\prime }}$ s'y annule.

Cette observation n'a rien de particulier à cette courbe : elle exprime un lien général entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction — le résultat central du chapitre.

Un mot sur le statut de cette propriété. Dans un sens, elle peut se démontrer : si $f$ est croissante sur $I$, ses taux de variation sont tous positifs, donc les nombres dérivés — qui en sont les valeurs limites — le sont aussi. C'est la réciproque que l'on admet : si la dérivée est positive sur tout l'intervalle, alors la fonction y est croissante. L'interprétation géométrique la rend très naturelle — une courbe dont toutes les tangentes montent ne peut que monter — et c'est elle que l'on utilise en permanence : elle permet de déduire les variations de $f$, souvent difficiles à établir directement, d'une simple étude de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$.

Revenons aux deux points de bascule de la figure. Le point $(-1;2)$ est plus haut que tous les points de la courbe qui l'entourent : on dit que $f$ admet un maximum local égal à $2$, atteint en $-1$. De même, le point $(1;-2)$ est plus bas que tous ses voisins : $f$ admet un minimum local égal à $-2$, atteint en $1$. L'adjectif « local » a son importance : il signifie « au voisinage du point », car ailleurs la courbe monte plus haut que $2$ et descend plus bas que $-2$, comme le montre la figure.

Attention : l'annulation de la dérivée ne suffit pas, c'est le changement de signe qui crée l'extremum. La fonction cube fournit le contre-exemple à retenir : sa dérivée $3x^2$ s'annule en $0$, mais elle est positive de part et d'autre — la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier et n'admet aucun extremum en $0$. Sa courbe possède bien une tangente horizontale à l'origine, mais elle la traverse au lieu de rebondir dessus.

La propriété fonctionne enfin dans les deux sens, et la lecture inverse est tout aussi utile : connaître les variations d'une fonction, c'est connaître le signe de sa dérivée.

Étude complète d'une fonction : le tableau de variations

Tous les ingrédients sont réunis pour l'étude complète d'une fonction : dériver, étudier le signe de la dérivée, puis rassembler l'information dans un tableau où la ligne des signes de $f^{\mathrm{\prime }}$ surmonte la ligne des variations de $f$. C'est le savoir-faire central du chapitre, celui que mobilisent tous les problèmes concrets.

La figure suivante superpose la courbe de $f$ et celle de sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$, tracée en rouge dans un second repère aligné sous le premier. Prenez le temps d'y faire l'aller-retour : tant que la parabole rouge est au-dessus de l'axe des abscisses (avant $-1$, puis après $1$), la courbe de $f$ monte ; quand la parabole passe sous l'axe (entre $-1$ et $1$), la courbe de $f$ descend ; et les deux racines de $f^{\mathrm{\prime }}$, en $-1$ et $1$, se trouvent exactement à la verticale des deux tangentes horizontales de la courbe de $f$. Ce va-et-vient entre la courbe d'une fonction et celle de sa dérivée est une lecture à maîtriser : de nombreux exercices donnent l'une et demandent de raisonner sur l'autre.

Optimiser une grandeur

Reste à faire travailler la dérivée sur des situations réelles, et elles abondent. En cinématique, si $d(t)$ désigne la distance parcourue par un mobile à l'instant $t$, la dérivée $d^{\mathrm{\prime }}(t)$ est sa vitesse instantanée — celle qu'affiche le compteur, par opposition à la vitesse moyenne d'un trajet. En économie, si $C(q)$ est le coût total de production de $q$ objets, la dérivée $C^{\mathrm{\prime }}(q)$, appelée coût marginal, estime le coût de fabrication d'une unité supplémentaire au niveau de production $q$. Les exercices développent ces deux contextes ; détaillons ici le troisième grand usage de la dérivée, l'optimisation : trouver la valeur de la variable qui rend une grandeur maximale ou minimale.

On peut remarquer que $A$ est ici un polynôme de degré $2$ : la symétrie de la parabole aurait aussi mené au sommet. Mais la démarche par la dérivée a l'avantage d'être universelle — elle traite sans changer d'un iota les volumes de boîtes, les bénéfices ou les distances de freinage modélisés par des polynômes de degré $3$, hors de portée du chapitre précédent. La méthode, elle, ne varie jamais : traduire la situation par une fonction et son intervalle de validité, dériver, étudier le signe de la dérivée, dresser le tableau de variations, et lire la réponse à l'endroit où la dérivée s'annule en changeant de signe. C'est cette routine, simple et puissante, que les exercices du chapitre vont installer.