1ʳᵉ techno · Chapitre 08 · Statistiques et probabilités

Probabilités conditionnelles et indépendance

Indépendance de deux événements, formule des probabilités totales dans les cas simples.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Indépendance de deux événements
Formule des probabilités totales dans les cas simples

En seconde, vous avez appris à lire des tableaux croisés d'effectifs, à calculer des fréquences conditionnelles et à construire des arbres pondérés. Ces outils sont au cœur de ce chapitre : nous allons les réactiver, les consolider, puis les enrichir de deux notions nouvelles, l'indépendance de deux événements et la formule des probabilités totales. Ces techniques sont partout dans les séries technologiques : analyser des données de santé (un dépistage est-il plus fiable chez les personnes vaccinées ?), contrôler la qualité d'une production industrielle (quelle proportion de pièces défectueuses en sortie d'usine ?), étudier une clientèle (le mode d'achat dépend-il du profil du client ?). Ce chapitre est aussi un incontournable de l'épreuve anticipée de mathématiques que vous passerez en fin d'année : les exercices de probabilités conditionnelles, avec tableau ou arbre, y figurent presque systématiquement.

Probabilité conditionnelle : les rappels indispensables

Avant d'entrer dans le vif du sujet, remettons en place le vocabulaire du modèle probabiliste vu en seconde, car tout le chapitre repose dessus.

Propriété

Rappels du modèle probabiliste (seconde). On considère une expérience aléatoire d'univers $Ω$ (l'ensemble des résultats possibles) et deux événements $A$ et $B$ .

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ , et $P (Ω) = 1$ .
L'événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est réalisé exactement quand $A$ ne l'est pas :

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

L'événement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand $A$ et $B$ le sont tous les deux ; l'événement $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisé quand au moins un des deux l'est, et :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

En situation d'équiprobabilité (tous les résultats ont la même chance), la probabilité d'un événement s'obtient en divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

Passons maintenant à la notion centrale vue en fin de seconde. L'idée est simple : quand on dispose d'une information supplémentaire (« l'événement $A$ est réalisé »), les probabilités changent, car on ne raisonne plus sur tout l'univers, mais seulement sur la partie de l'univers où $A$ est réalisé.

Définition

Probabilité conditionnelle. Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P (A) \neq 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est définie par :

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Elle se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : c'est la probabilité que $B$ se réalise, lorsque l'on sait déjà que $A$ est réalisé.

Trois remarques importantes sur cette définition.

$P_{A} (B)$ est une probabilité comme les autres : c'est un nombre compris entre $0$ et $1$ .
La condition $P (A) \neq 0$ est indispensable : on ne peut pas diviser par zéro, et il n'aurait de toute façon aucun sens de « savoir que $A$ est réalisé » si $A$ est impossible.
Les règles habituelles restent valables « sachant $A$ ». En particulier, la formule du contraire s'applique :

P_{A} (\overline{B}) = 1 - P_{A} (B)

Si $30 %$ des clients d'un magasin paient en espèces sachant qu'ils achètent un article de moins de $10$ euros, alors $70 %$ paient autrement, sous la même condition.

Voyons comment cette définition fonctionne concrètement dans un tableau croisé d'effectifs, la situation la plus fréquente dans les exercices.

Exemple

Un centre de santé a suivi $200$ patients pendant l'hiver. Chaque patient est soit vacciné contre la grippe, soit non vacciné, et a contracté ou non la grippe. On note $V$ l'événement « le patient est vacciné » et $G$ l'événement « le patient a contracté la grippe ». Les effectifs sont résumés dans le tableau suivant.

	$G$ (grippe)	$\overline{G}$ (pas de grippe)	Total
$V$ (vaccinés)	$12$	$108$	$120$
$\overline{V}$ (non vaccinés)	$28$	$52$	$80$
Total	$40$	$160$	$200$

On choisit un patient au hasard parmi les $200$ (situation d'équiprobabilité).

Calcul de $P_{V} (G)$ avec la formule. On lit dans le tableau :

P (V) = \frac{120}{200} = 0,6 et P (V \cap G) = \frac{12}{200} = 0,06

Donc :

P_{V} (G) = \frac{P (V \cap G)}{P (V)} = \frac{0,06}{0,6} = 0,1

Calcul direct dans le tableau. On peut retrouver ce résultat sans passer par la formule : sachant que le patient est vacciné, l'univers se restreint à la ligne de $V$ , qui contient $120$ patients. Parmi eux, $12$ ont contracté la grippe :

P_{V} (G) = \frac{12}{120} = 0,1

Interprétation : parmi les patients vaccinés, $10 %$ ont contracté la grippe.

Comparaison avec les non-vaccinés. De la même façon, en se restreignant à la ligne de $\overline{V}$ :

P_{\overline{V}} (G) = \frac{28}{80} = 0,35

Parmi les non-vaccinés, $35 %$ ont contracté la grippe. L'information « le patient est vacciné ou non » change donc nettement la probabilité d'avoir la grippe : c'est tout l'intérêt des probabilités conditionnelles.

Réactivons aussi la formule de la réunion. Sur l'ensemble des patients, $P (G) = \frac{40}{200} = 0,2$ . La probabilité que le patient soit vacciné ou ait contracté la grippe (au moins l'un des deux) est alors :

P (V \cup G) = P (V) + P (G) - P (V \cap G) = 0,6 + 0,2 - 0,06 = 0,74

On peut le vérifier directement dans le tableau : les patients concernés sont les $120$ vaccinés et les $28$ non-vaccinés grippés, soit $\frac{148}{200} = 0,74$ .

Méthode

Calculer une probabilité conditionnelle $P_{A} (B)$ dans un tableau croisé d'effectifs.

Repérer la ligne (ou la colonne) de l'événement $A$ : c'est le nouvel univers, on ignore tout le reste du tableau.
Lire l'effectif de la case $A \cap B$ (l'intersection de la ligne de $A$ et de la colonne de $B$ ).
Diviser : $P_{A} (B) = \frac{effectif de A \cap B}{effectif de A}$ .

Piège classique du dénominateur. Pour $P (A \cap B)$ , on divise l'effectif de la case par l'effectif total du tableau ; pour $P_{A} (B)$ , on divise ce même effectif par le total de la ligne de $A$ . Dans l'exemple : $P (V \cap G) = \frac{12}{200} = 0,06$ alors que $P_{V} (G) = \frac{12}{120} = 0,1$ . Ce sont deux nombres différents qui répondent à deux questions différentes.

Dernière mise en garde : ne confondez pas $P_{V} (G)$ (parmi les vaccinés, quelle proportion a la grippe ?) et $P_{G} (V)$ (parmi les malades de la grippe, quelle proportion est vaccinée ?). Ici $P_{G} (V) = \frac{12}{40} = 0,3$ , ce qui n'a rien à voir avec $P_{V} (G) = 0,1$ . Avant tout calcul, identifiez bien quel événement est le « sachant » : c'est lui qui donne le dénominateur.

Dans beaucoup d'énoncés, le tableau n'est pas fourni : c'est à vous de le construire à partir de pourcentages donnés dans le texte. C'est un savoir-faire à part entière, très utile pour organiser les informations avant tout calcul.

Exemple

Construire le tableau à partir d'un énoncé. Une enseigne de prêt-à-porter a interrogé $500$ clients. L'étude indique que $60 %$ des clients interrogés ont moins de $35$ ans. Parmi les clients de moins de $35$ ans, $70 %$ achètent principalement en ligne ; parmi les clients de $35$ ans ou plus, seulement $40 %$ achètent principalement en ligne. On note $J$ l'événement « le client a moins de $35$ ans » et $L$ l'événement « le client achète principalement en ligne ».

Traduisons pas à pas. Les clients de moins de $35$ ans sont au nombre de $0,6 \times 500 = 300$ , donc les autres sont $500 - 300 = 200$ . Parmi les $300$ jeunes clients, $0,7 \times 300 = 210$ achètent en ligne (donc $90$ en magasin). Parmi les $200$ autres, $0,4 \times 200 = 80$ achètent en ligne (donc $120$ en magasin). D'où le tableau :

	$L$ (en ligne)	$\overline{L}$ (en magasin)	Total
$J$ (moins de $35$ ans)	$210$	$90$	$300$
$\overline{J}$ ( $35$ ans ou plus)	$80$	$120$	$200$
Total	$290$	$210$	$500$

Une fois le tableau construit, toutes les probabilités deviennent des lectures directes. Par exemple, la probabilité qu'un client choisi au hasard achète en ligne est $P (L) = \frac{290}{500} = 0,58$ , et la probabilité qu'un client acheteur en ligne ait moins de $35$ ans est $P_{L} (J) = \frac{210}{290} \approx 0,72$ .

Remarquez au passage que les pourcentages « parmi les clients de moins de $35$ ans, $70 %$ … » de l'énoncé sont des probabilités conditionnelles : $P_{J} (L) = 0,7$ et $P_{\overline{J}} (L) = 0,4$ . Repérer les mots « parmi », « sachant que », « chez les… » est le premier réflexe à acquérir pour traduire correctement un énoncé.

Arbres pondérés et probabilités composées

Le tableau croisé convient quand on dispose d'effectifs. Mais très souvent, l'énoncé donne directement des pourcentages en cascade : « $60 %$ des pièces viennent de la machine 1 ; parmi elles, $2 %$ sont défectueuses… ». L'outil adapté est alors l'arbre pondéré, que vous avez construit en seconde. Rappelons sa structure sur le cas le plus courant : un premier niveau avec un événement $A$ et son contraire $\overline{A}$ , puis un second niveau avec $B$ et son contraire $\overline{B}$ .

Arbre pondéré générique à deux niveaux : A et son contraire, puis B et son contraire

Un point essentiel, souvent oublié : les probabilités portées par les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles. La branche qui va de $A$ vers $B$ porte $P_{A} (B)$ , car on y suppose que $A$ est déjà réalisé.

Propriété

Règles des arbres pondérés.

Règle des nœuds. La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à $1$ . Par exemple, au premier niveau : $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ ; et après $A$ : $P_{A} (B) + P_{A} (\overline{B}) = 1$ .
Règle des chemins. La probabilité de l'intersection des événements rencontrés le long d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches. Pour le chemin qui passe par $A$ puis $B$ :

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

Cette égalité, appelée formule des probabilités composées, découle directement de la définition de $P_{A} (B)$ : en multipliant les deux membres de $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ par $P (A)$ , on obtient bien $P (A) \times P_{A} (B) = P (A \cap B)$ .

Autrement dit, l'arbre pondéré n'est pas seulement un dessin : chacune de ses règles traduit une propriété mathématique. Mettons-les en œuvre sur un exemple de contrôle qualité, que nous allons suivre jusqu'à la fin du chapitre.

Exemple

Exemple filé : la production d'une usine. Une usine fabrique des pièces à l'aide de deux machines. La machine $M_{1}$ produit $60 %$ des pièces et la machine $M_{2}$ en produit $40 %$ . Le service qualité a mesuré que $2 %$ des pièces produites par $M_{1}$ sont défectueuses, contre $5 %$ de celles produites par $M_{2}$ .

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note :

$M_{1}$ : « la pièce provient de la machine $M_{1}$ » ;
$M_{2}$ : « la pièce provient de la machine $M_{2}$ » ;
$D$ : « la pièce est défectueuse ».

L'énoncé se traduit ainsi : $P (M_{1}) = 0,6$ , $P (M_{2}) = 0,4$ , puis $P_{M_{1}} (D) = 0,02$ et $P_{M_{2}} (D) = 0,05$ (les taux de pièces défectueuses sont bien des probabilités conditionnelles : ils sont donnés « machine par machine »).

Vérifions au passage la règle des nœuds : $0,6 + 0,4 = 1$ au premier niveau, et après $M_{1}$ , la branche $\overline{D}$ porte $1 - 0,02 = 0,98$ ; après $M_{2}$ , elle porte $1 - 0,05 = 0,95$ .

Appliquons maintenant la règle des chemins pour calculer la probabilité que la pièce vienne de $M_{1}$ et soit défectueuse :

P (M_{1} \cap D) = P (M_{1}) \times P_{M_{1}} (D) = 0,6 \times 0,02 = 0,012

De même pour la machine $M_{2}$ :

P (M_{2} \cap D) = P (M_{2}) \times P_{M_{2}} (D) = 0,4 \times 0,05 = 0,02

Interprétation : $1,2 %$ des pièces de l'usine proviennent de $M_{1}$ et sont défectueuses ; $2 %$ des pièces proviennent de $M_{2}$ et sont défectueuses. Remarquez que, bien que $M_{2}$ produise moins de pièces, elle fournit plus de pièces défectueuses que $M_{1}$ , car son taux de défaut est nettement plus élevé.

Méthode

Construire un arbre pondéré à partir d'un énoncé.

Identifier les deux étapes de l'expérience et nommer les événements (une lettre par événement, définie explicitement : « on note $D$ : "la pièce est défectueuse" »).
Placer le premier niveau : l'événement dont la probabilité est donnée directement (sans « parmi » ni « sachant ») et son contraire.
Placer le second niveau : sur les branches issues de chaque nœud, inscrire les probabilités conditionnelles données par l'énoncé (les pourcentages introduits par « parmi… », « chez… »).
Compléter les branches manquantes avec la règle des nœuds : la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ .
Vérifier : chaque niveau de l'arbre doit être cohérent avec l'énoncé avant de commencer les calculs.

Tableau ou arbre : comment choisir ? Les deux outils décrivent les mêmes situations, et vous pouvez toujours passer de l'un à l'autre. En pratique :

si l'énoncé donne des effectifs (résultats d'un sondage, d'un recensement), le tableau croisé est le plus direct ;
si l'énoncé donne des pourcentages en cascade (« $60 %$ des pièces…, parmi elles $2 %$ … »), l'arbre pondéré traduit l'énoncé branche par branche ;
si la question porte sur une probabilité conditionnelle « dans le sens de l'arbre » (la condition est au premier niveau), la réponse se lit directement sur une branche.

Gardez cet exemple en tête : nous y reviendrons dans la dernière partie pour répondre à la vraie question du contrôle qualité, « quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse, toutes machines confondues ? ».

Indépendance de deux événements

Voici la première nouveauté du chapitre. Dans l'exemple du centre de santé, savoir que le patient était vacciné changeait la probabilité d'avoir la grippe ( $0,1$ au lieu de $0,2$ pour l'ensemble des patients). Mais il arrive que l'information « $A$ est réalisé » ne change rien aux chances de $B$ : par exemple, savoir qu'une pièce de monnaie est tombée sur pile ne modifie en rien la probabilité qu'un dé lancé à côté affiche un $6$ . On dit alors que les événements sont indépendants.

Définition

Événements indépendants. Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. On dit que l'événement $B$ est indépendant de $A$ lorsque :

P_{A} (B) = P (B)

Autrement dit : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$ .

Cette définition est fidèle à l'intuition, mais elle présente un défaut apparent : elle semble donner un rôle différent à $A$ (le « sachant ») et à $B$ . La propriété suivante montre qu'il n'en est rien : l'indépendance est en réalité symétrique, et se reconnaît par un simple produit.

Propriété

Caractérisation par le produit. Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles. $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

Démonstration.

Premier sens. Supposons $P_{A} (B) = P (B)$ . La formule des probabilités composées donne $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ , donc en remplaçant $P_{A} (B)$ par $P (B)$ : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .
Sens réciproque. Supposons $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . Alors :

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{P (A) \times P (B)}{P (A)} = P (B)

Le rôle de $A$ et de $B$ est symétrique dans l'égalité $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ : le même raisonnement, mené en conditionnant par $B$ , donne $P_{B} (A) = P (A)$ . Ainsi, si $B$ est indépendant de $A$ , alors $A$ est indépendant de $B$ : on peut dire simplement que « $A$ et $B$ sont indépendants », sans préciser d'ordre.

Méthode

Justifier ou utiliser l'indépendance de deux événements.

Pour justifier que $A$ et $B$ sont indépendants (ou ne le sont pas) : calculer séparément $P (A \cap B)$ d'une part, $P (A) \times P (B)$ d'autre part, puis comparer les deux résultats. S'ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. On peut aussi comparer $P_{A} (B)$ et $P (B)$ : c'est équivalent.
Pour utiliser une indépendance donnée par l'énoncé (« on admet que $A$ et $B$ sont indépendants ») : remplacer directement $P (A \cap B)$ par $P (A) \times P (B)$ dans les calculs, ou $P_{A} (B)$ par $P (B)$ .
Ne jamais affirmer une indépendance « à l'intuition » : sans calcul ou sans indication de l'énoncé, on ne peut pas conclure.

Exemple

Un lycée propose trois ateliers du midi : théâtre, musique et échecs. Chacun des $200$ élèves inscrits participe à exactement un atelier. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » (les garçons correspondent donc à $\overline{F}$ ), et $T$ , $M$ , $E$ les événements « l'élève est inscrit à l'atelier théâtre / musique / échecs ».

	Filles ( $F$ )	Garçons ( $\overline{F}$ )	Total
Théâtre ( $T$ )	$40$	$40$	$80$
Musique ( $M$ )	$40$	$20$	$60$
Échecs ( $E$ )	$20$	$40$	$60$
Total	$100$	$100$	$200$

On choisit un élève au hasard parmi les $200$ .

Les événements $F$ et $T$ sont-ils indépendants ? On calcule séparément :

P (F \cap T) = \frac{40}{200} = 0,2 et P (F) \times P (T) = \frac{100}{200} \times \frac{80}{200} = 0,5 \times 0,4 = 0,2

Les deux résultats sont égaux : $F$ et $T$ sont indépendants. Interprétation : la proportion de filles à l'atelier théâtre ( $\frac{40}{80} = 0,5$ ) est la même que dans tout le lycée ; savoir que l'élève fait du théâtre n'apprend rien sur le fait que ce soit une fille ou un garçon.

Les événements $F$ et $M$ sont-ils indépendants ? Avec les mêmes données :

P (F \cap M) = \frac{40}{200} = 0,2 et P (F) \times P (M) = 0,5 \times \frac{60}{200} = 0,5 \times 0,3 = 0,15

Cette fois $0,2 \neq 0,15$ : $F$ et $M$ ne sont pas indépendants. On le voit aussi avec les conditionnelles : $P_{M} (F) = \frac{40}{60} \approx 0,67$ , alors que $P (F) = 0,5$ . Les filles sont surreprésentées à l'atelier musique.

Voyons maintenant le second volet de la capacité attendue : utiliser une indépendance donnée par l'énoncé.

Exemple

Utiliser l'indépendance. Dans un atelier, deux machines fonctionnent sans lien entre elles. Un jour donné, la première tombe en panne avec la probabilité $0,04$ et la seconde avec la probabilité $0,1$ . On note $A$ : « la première machine tombe en panne » et $B$ : « la seconde machine tombe en panne ». L'énoncé précise que les pannes des deux machines sont indépendantes (aucune cause commune : machines séparées, alimentations distinctes).

Probabilité que les deux machines tombent en panne le même jour. Grâce à l'indépendance, on peut remplacer $P (A \cap B)$ par le produit :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B) = 0,04 \times 0,1 = 0,004

Probabilité qu'au moins une machine tombe en panne. On utilise la formule de la réunion, rappelée en début de chapitre :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0,04 + 0,1 - 0,004 = 0,136

Sans l'hypothèse d'indépendance, aucun de ces deux calculs n'aurait été possible avec les seules données de l'énoncé : c'est elle qui permet de calculer la probabilité de l'intersection.

Attention : indépendant ne veut pas dire incompatible ! Ce sont même deux notions opposées. Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c'est-à-dire lorsque $P (A \cap B) = 0$ . Si de plus $P (A) \neq 0$ et $P (B) \neq 0$ , alors $P (A) \times P (B) \neq 0$ , donc $P (A \cap B) \neq P (A) \times P (B)$ : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants. C'est logique : si $A$ et $B$ sont incompatibles, savoir que $A$ est réalisé change radicalement les chances de $B$ , puisqu'il devient impossible.

La formule des probabilités totales

Voici la seconde nouveauté du chapitre. Reprenons la situation type : une expérience se déroule en deux étapes, et on connaît les probabilités conditionnelles d'un événement $B$ selon que $A$ est réalisé ou non, c'est-à-dire $P_{A} (B)$ et $P_{\overline{A}} (B)$ . La question naturelle est alors : quelle est la probabilité de $B$ « au total », sans condition ? C'est exactement la question du contrôle qualité laissée en suspens : connaissant le taux de défaut de chaque machine, quel est le taux de défaut global de l'usine ?

L'idée est simple : les événements $A$ et $\overline{A}$ recouvrent tout l'univers sans se chevaucher (tout résultat réalise soit $A$ , soit $\overline{A}$ , jamais les deux). L'événement $B$ se découpe donc en deux morceaux qui ne se chevauchent pas : « $B$ avec $A$ » et « $B$ avec $\overline{A}$ ». Il suffit d'additionner les probabilités de ces deux morceaux.

Propriété

Formule des probabilités totales. Soit $A$ un événement tel que $P (A) \neq 0$ et $P (\overline{A}) \neq 0$ . Pour tout événement $B$ :

P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) + P (\overline{A}) \times P_{\overline{A}} (B)

Lecture sur l'arbre : pour obtenir $P (B)$ , on repère tous les chemins qui mènent à $B$ (il y en a deux : celui qui passe par $A$ et celui qui passe par $\overline{A}$ ), on calcule le produit le long de chaque chemin, puis on additionne les résultats.

Reprenons l'exemple filé de l'usine pour voir la formule en action.

Exemple

Retour à l'usine. Rappelons la situation : $P (M_{1}) = 0,6$ , $P (M_{2}) = 0,4$ , $P_{M_{1}} (D) = 0,02$ , $P_{M_{2}} (D) = 0,05$ . Toute pièce provient soit de $M_{1}$ , soit de $M_{2}$ : ces deux événements recouvrent tout l'univers sans se chevaucher ( $M_{2}$ joue ici le rôle de $\overline{M_{1}}$ ).

Sur l'arbre, deux chemins mènent à $D$ : celui qui passe par $M_{1}$ et celui qui passe par $M_{2}$ . Nous avons déjà calculé leurs probabilités :

P (M_{1} \cap D) = 0,6 \times 0,02 = 0,012 et P (M_{2} \cap D) = 0,4 \times 0,05 = 0,02

La formule des probabilités totales donne alors :

P (D) = P (M_{1} \cap D) + P (M_{2} \cap D) = 0,012 + 0,02 = 0,032

Interprétation : $3,2 %$ des pièces produites par l'usine sont défectueuses, toutes machines confondues. Remarquez que ce taux global se situe logiquement entre les deux taux par machine ( $2 %$ et $5 %$ ), plus près de celui de $M_{1}$ qui produit la majorité des pièces.

Méthode

Calculer $P (B)$ avec la formule des probabilités totales.

Construire ou compléter l'arbre pondéré : premier niveau $A$ et $\overline{A}$ , second niveau $B$ et $\overline{B}$ , avec les probabilités conditionnelles sur les branches du second niveau (penser à la règle des nœuds pour compléter les branches manquantes).
Repérer tous les chemins qui mènent à $B$ et calculer la probabilité de chacun par la règle des chemins (produit des probabilités le long du chemin).
Additionner les probabilités de ces chemins : la somme est $P (B)$ .

Deux réflexes de vérification vous éviteront bien des erreurs.

Le résultat doit être compris entre les deux probabilités conditionnelles. $P (B)$ est une « moyenne pondérée » de $P_{A} (B)$ et de $P_{\overline{A}} (B)$ : dans l'usine, $P (D) = 0,032$ est bien compris entre $0,02$ et $0,05$ . Un résultat en dehors de cette fourchette signale une erreur de calcul.
La somme des probabilités des quatre chemins de l'arbre vaut $1$ . Dans l'usine : $0,012 + 0,588 + 0,02 + 0,38 = 1$ . Cette vérification rapide valide l'ensemble de l'arbre.

Voici un second exemple, dans un contexte de gestion, pour vous entraîner à dérouler la méthode.

Exemple

Une enseigne de distribution travaille avec deux fournisseurs. Le fournisseur $A$ assure $70 %$ des livraisons et le fournisseur $B$ les $30 %$ restants. Les données du service logistique indiquent que $10 %$ des livraisons du fournisseur $A$ arrivent en retard, contre $20 %$ de celles du fournisseur $B$ . On choisit une livraison au hasard et on note $R$ l'événement « la livraison arrive en retard ».

L'énoncé donne : $P (A) = 0,7$ , $P (B) = 0,3$ , $P_{A} (R) = 0,1$ et $P_{B} (R) = 0,2$ . Deux chemins mènent à $R$ (par $A$ ou par $B$ ), donc :

P (R) = 0,7 \times 0,1 + 0,3 \times 0,2 = 0,07 + 0,06 = 0,13

Au total, $13 %$ des livraisons de l'enseigne arrivent en retard. On remarque que le fournisseur $B$ , pourtant minoritaire, est responsable de presque la moitié des retards ( $0,06$ sur $0,13$ ) : c'est le genre de constat que permet la formule des probabilités totales dans une étude de gestion.

Remarque. Le même raisonnement fonctionne lorsque trois événements recouvrent tout l'univers sans se chevaucher : on additionne alors les trois chemins qui mènent à $B$ . Par exemple, si une usine possède trois machines produisant respectivement $50 %$ , $30 %$ et $20 %$ des pièces, avec des taux de défaut de $4 %$ , $2 %$ et $1 %$ , la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est :

P (D) = 0,5 \times 0,04 + 0,3 \times 0,02 + 0,2 \times 0,01 = 0,02 + 0,006 + 0,002 = 0,028

soit $2,8 %$ de pièces défectueuses. Le principe reste identique : un chemin par machine, un produit par chemin, puis la somme.

Ce qu'il faut retenir

Voici les réflexes à maîtriser à la fin de ce chapitre.

Probabilité conditionnelle. $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ (avec $P (A) \neq 0$ ) : on restreint l'univers à $A$ . Dans un tableau croisé, $P_{A} (B)$ se calcule en divisant l'effectif de $A \cap B$ par l'effectif de la ligne de $A$ , jamais par l'effectif total. Toujours identifier quel événement est le « sachant ».
Arbres pondérés. Somme des probabilités issues d'un même nœud égale à $1$ ; produit le long d'un chemin égal à la probabilité de l'intersection : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles.
Indépendance. $A$ et $B$ (de probabilités non nulles) sont indépendants si et seulement si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , ce qui revient à $P_{A} (B) = P (B)$ . Pour le justifier : calculer les deux membres séparément, puis comparer. Ne jamais conclure sans calcul.
Indépendant, incompatible : ne pas confondre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Formule des probabilités totales. $P (B) = P (A) \times P_{A} (B) + P (\overline{A}) \times P_{\overline{A}} (B)$ : sur l'arbre, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$ .
Vérifications systématiques. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ ; la somme des probabilités de tous les chemins de l'arbre vaut $1$ ; un $P (B)$ calculé par probabilités totales est compris entre les deux probabilités conditionnelles utilisées.

Avec ces réflexes, vous êtes équipés pour traiter les exercices types de l'épreuve anticipée : traduire l'énoncé (tableau ou arbre), calculer des probabilités conditionnelles et des intersections, justifier une indépendance par le calcul, et remonter à une probabilité globale grâce à la formule des probabilités totales.

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