Nombre dérivé et tangente

Au chapitre « Généralités sur les fonctions », vous avez appris à mesurer la vitesse moyenne d'évolution d'une fonction : entre deux valeurs $x_1$ et $x_2$, le taux de variation ${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$ indique de combien la fonction évolue, en moyenne, chaque fois que $x$ augmente de $1$. Mais une moyenne gomme les détails. Le compteur d'une voiture n'affiche pas la vitesse moyenne du trajet : il affiche la vitesse à l'instant présent, celle qui change à chaque seconde. De la même façon, on aimerait mesurer la vitesse d'évolution d'une fonction non plus entre deux points, mais en un seul point de sa courbe. Ce chapitre construit l'outil qui répond à cette question, le nombre dérivé, et son interprétation géométrique, la tangente à une courbe. L'idée directrice est simple : pour observer ce qui se passe en un point, on calcule des taux de variation entre ce point et un point voisin, choisi de plus en plus proche.

Sécantes et taux de variation en un point

Commençons par rappeler le résultat central du chapitre précédent. Si $A(x_1;f(x_1))$ et $B(x_2;f(x_2))$ sont deux points distincts de la courbe d'une fonction $f$, la droite $(AB)$ est une sécante à la courbe, et le taux de variation de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est exactement le coefficient directeur de cette sécante.

Jusqu'ici, les deux valeurs $x_1$ et $x_2$ jouaient des rôles symétriques. Changeons de point de vue : fixons la première valeur, notée $a$, et donc le point $A$ de la courbe, puis faisons varier la seconde. Pour cela, on écrit la seconde valeur sous la forme $a+h$, où $h$ est un nombre non nul : le nombre $h$ mesure l'écart entre les deux valeurs. Il peut être positif (le second point est à droite de $A$) ou négatif (il est à gauche), mais jamais nul, sinon les deux points seraient confondus et il n'y aurait plus de sécante.

Ce taux dépend de $h$ : chaque choix de $h$ donne un second point différent, donc une sécante différente. Le calcul suivant, à savoir refaire, montre comment cette dépendance s'exprime pour la fonction carré.

La tangente, position limite des sécantes

Donnons à ce calcul sa signification géométrique. Sur la parabole représentant la fonction carré, plaçons le point $A(1;1)$ et observons quelques sécantes passant par $A$.

Prenons d'abord le point $B_1(3;9)$ de la parabole. Le taux de variation entre $1$ et $3$ vaut ${\displaystyle \frac{9-1}{3-1}}={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$ : la sécante $(A{B}_1)$ a pour pente $4$. Prenons maintenant un point plus proche de $A$, le point $B_2(2;4)$. Le taux entre $1$ et $2$ vaut ${\displaystyle \frac{4-1}{2-1}}=3$ : la sécante $(A{B}_2)$ a pour pente $3$, elle est moins inclinée que la première. Rapprochons encore le second point : grâce à la formule $2+h$, un point d'abscisse $\mathrm{1,5}$ donne une pente de $\mathrm{2,5}$, un point d'abscisse $\mathrm{1,1}$ donne une pente de $\mathrm{2,1}$.

Le phénomène est visible sur la figure : à mesure que le point $B$ glisse le long de la parabole vers $A$, la sécante $(AB)$ pivote autour du point $A$ et s'incline de moins en moins. Elle ne pivote pas indéfiniment : elle se rapproche d'une position limite, tracée sur la figure. Cette droite limite porte un nom.

La tangente touche la courbe au point $A$ et en épouse la direction : tout près du point de contact, la courbe et sa tangente sont presque indiscernables. Vous pouvez le constater à la calculatrice en zoomant plusieurs fois sur le point $A$ de la parabole : la courbe finit par ressembler à une droite, et cette droite est précisément la tangente.

Le nombre dérivé

La tangente est définie géométriquement comme une position limite. Quelle est sa pente ? Les pentes des sécantes fournissent la réponse. Pour la parabole au point $A(1;1)$, la sécante entre les abscisses $1$ et $1+h$ a pour pente le taux de variation $2+h$. Observons ce que devient ce taux quand $h$ se rapproche de $0$, c'est-à-dire quand le second point se rapproche de $A$ :

Plus $h$ est proche de $0$, plus le taux $2+h$ est proche de $2$ : on peut le rendre aussi proche de $2$ que l'on veut, en prenant $h$ suffisamment petit. Les mathématiciens disent que le taux de variation admet pour limite le nombre $2$ quand $h$ tend vers $0$. Ce nombre limite est la pente de la tangente, et il reçoit un nom et une notation.

Une précision importante : le nombre $h$ ne prend jamais la valeur $0$. En $h=0$, le quotient ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ n'aurait aucun sens, puisqu'on diviserait par zéro. On regarde ce que devient le taux quand $h$ s'approche de $0$ sans jamais l'atteindre : c'est toute la subtilité, et toute la puissance, de cette définition.

Nombre dérivé et tangente : lecture graphique

Rassemblons ce que nous venons de construire. Les pentes des sécantes issues du point $A$ sont les taux de variation, et ces taux se rapprochent du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Or les sécantes elles-mêmes se rapprochent de la tangente. La pente de la tangente est donc exactement le nombre dérivé : c'est l'interprétation géométrique fondamentale de ce chapitre.

Cette propriété fait du nombre dérivé une grandeur lisible sur un dessin, sans aucun calcul. Voici la courbe d'une fonction $f$ sur laquelle deux tangentes sont tracées : l'une au sommet de la courbe, au point de coordonnées $(0;3)$, l'autre au point $A(2;1)$.

Lisons la pente de la tangente au point $A(2;1)$ : en partant de $A$ et en suivant la tangente, quand on avance de $2$ unités vers la droite, on descend de $1$ unité. Son coefficient directeur vaut donc ${\displaystyle \frac{-1}{2}}$, et on en déduit $f^{\mathrm{\prime }}(2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Au sommet $(0;3)$, la tangente tracée est horizontale : une droite horizontale a pour coefficient directeur $0$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. Ce cas particulier est à retenir : dire que $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, c'est exactement dire que la tangente au point d'abscisse $a$ est horizontale.

Le signe du nombre dérivé se lit de la même façon : une tangente qui monte correspond à un nombre dérivé positif, une tangente qui descend (comme celle du point $A$) à un nombre dérivé négatif. La lecture fonctionne aussi dans l'autre sens : si l'on connaît $f(a)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, on peut construire la tangente à la règle.

C'est exactement ainsi que la tangente de la figure a été construite au point $A(2;1)$ : avec $f^{\mathrm{\prime }}(2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, on avance de $2$ unités et on descend de $1$ unité, ce qui donne le point $(4;0)$, puis on trace la droite passant par ces deux points.

Équation réduite de la tangente

La construction graphique a ses limites de précision. Pour travailler avec la tangente par le calcul, il faut son équation réduite, de la forme $y=mx+p$ comme pour toute droite non verticale. Or on connaît déjà tout ce qu'il faut : la tangente au point d'abscisse $a$ est la droite qui passe par le point de contact $A(a;f(a))$ et dont le coefficient directeur est $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

Deux vérifications rapides rendent cette formule naturelle. D'abord, en remplaçant $x$ par $a$, on obtient $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)\times 0+f(a)=f(a)$ : la droite passe bien par le point de contact. Ensuite, en développant $f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$, le coefficient de $x$ est $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ : la droite a bien la pente attendue.

Vitesse instantanée et coût marginal

Revenons au compteur de vitesse de l'introduction. Notons $d(t)$ la distance parcourue par un véhicule, en mètres, au bout de $t$ secondes. Le taux de variation de $d$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est le quotient de la distance parcourue par la durée écoulée : c'est la vitesse moyenne du véhicule entre ces deux instants. Quand la durée devient très courte, c'est-à-dire quand $t_2$ se rapproche de $t_1$, cette vitesse moyenne se rapproche du nombre dérivé $d^{\mathrm{\prime }}(t_1)$ : c'est la vitesse instantanée à l'instant $t_1$, celle qu'affiche le compteur. Le nombre dérivé n'est donc pas qu'un objet géométrique : c'est la bonne façon de mesurer une vitesse à un instant précis.

Le second contexte vient de l'économie. Notons $C(q)$ le coût total, en euros, de production de $q$ objets. Le taux de variation de $C$ entre $q$ et $q+1$ vaut ${\displaystyle \frac{C(q+1)-C(q)}{1}}=C(q+1)-C(q)$ : c'est le coût de fabrication de l'unité supplémentaire, la $(q+1)$-ième. Le nombre dérivé $C^{\mathrm{\prime }}(q)$ donne une bonne approximation de ce coût : les économistes l'appellent le coût marginal au niveau de production $q$. Il permet de répondre à une question très concrète : « produire un objet de plus, combien cela coûte-t-il ? »

Retenez l'essentiel du chapitre : en un point $A$ d'une courbe, les sécantes $(AB)$ pivotent vers une position limite, la tangente, à mesure que $B$ se rapproche de $A$ ; parallèlement, les taux de variation entre $a$ et $a+h$ se rapprochent d'un nombre limite quand $h$ tend vers $0$, le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Ces deux limites n'en font qu'une : $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$, dont l'équation réduite est $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$. Selon le contexte, ce même nombre se lit comme une vitesse instantanée ou comme un coût marginal : c'est l'un des outils les plus féconds des mathématiques, et le prochain chapitre lui donnera toute son ampleur.