1ʳᵉ techno · Chapitre 12 · Activités géométriques

Géométrie dans l'espace

STD2A uniquement

Repérage orthonormal, perspective cavalière, sections de cubes et de cylindres, ellipses.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Repérage orthonormal
Perspective cavalière
Sections de cubes et de cylindres
Ellipses

Représenter l'espace sur une feuille de papier est l'un des gestes fondamentaux du designer : le croquis d'un meuble, le plan d'une structure architecturale, le rendu d'un objet décoratif sont tous des images planes d'objets en trois dimensions. Au chapitre « Géométrie plane : figures régulières », vous avez étudié les figures du plan, leurs symétries et leurs constructions ; ce chapitre franchit le pas de la troisième dimension. Trois outils vont s'enchaîner : les coordonnées, qui permettent de repérer un point de l'espace par trois nombres, comme le fait tout logiciel de modélisation 3D ; la perspective cavalière, qui donne des règles précises pour dessiner un objet en volume sur une feuille ; et les sections planes, qui décrivent la figure obtenue quand on coupe un solide, du cube tranché en biais au vase coupé en biseau. L'esprit du chapitre est moins une étude abstraite de la géométrie qu'un dialogue permanent entre observation, analyse et création : chaque résultat sera l'occasion de mieux voir, et de mieux dessiner.

Se repérer dans l'espace

Comment indiquer sans ambiguïté la position d'un point dans l'espace ? Dans le plan, deux nombres suffisaient : une abscisse et une ordonnée. Dans l'espace, il en faut un troisième, qui mesure la hauteur. C'est exactement ainsi que travaillent les logiciels de modélisation 3D : chaque sommet d'un objet y est enregistré par trois nombres, et c'est aussi ainsi qu'un architecte situe un point d'un bâtiment, en donnant sa position au sol puis son altitude.

Définition

Repère orthonormal de l'espace. Un repère orthonormal de l'espace est constitué d'un point $O$ , appelé origine, et de trois axes gradués passant par $O$ , deux à deux perpendiculaires et portant la même unité de longueur. Dans un tel repère, chaque point $M$ de l'espace est repéré par trois nombres, ses coordonnées, notées $(x; y; z)$ : l'abscisse $x$ , l'ordonnée $y$ et la cote $z$ (aussi appelée altitude).

Le solide le mieux adapté à la lecture des coordonnées est le pavé droit : ses arêtes suivent naturellement les trois directions du repère. La figure ci-dessous montre un pavé $A B C D E F G H$ placé dans un repère d'origine $A$ , dont les axes suivent les arêtes $[A B)$ , $[A D)$ et $[A E)$ .

Pavé droit dans un repère orthonormal de l'espace

Exemple

Lire des coordonnées dans un pavé droit. Le pavé $A B C D E F G H$ de la figure a pour dimensions $A B = 5$ , $A D = 3$ et $A E = 2$ . L'origine du repère est $A$ , donc $A (0; 0; 0)$ . Le point $B$ est sur l'axe des abscisses à la distance $5$ de l'origine : $B (5; 0; 0)$ . De même $D (0; 3; 0)$ et $E (0; 0; 2)$ . Le sommet $C$ , au sol, s'atteint en avançant de $5$ selon le premier axe puis de $3$ selon le deuxième : $C (5; 3; 0)$ . Enfin, le sommet $G$ , opposé à $A$ , s'atteint en avançant de $5$ , puis de $3$ , puis en montant de $2$ : ses coordonnées sont $G (5; 3; 2)$ .

Une bonne nouvelle accompagne ces coordonnées : la formule du milieu, vue en seconde dans le plan, s'étend telle quelle à l'espace. Les coordonnées du milieu d'un segment s'obtiennent en faisant la moyenne des coordonnées des extrémités, coordonnée par coordonnée. Ainsi, le milieu de la grande diagonale $[A G]$ du pavé précédent, avec $A (0; 0; 0)$ et $G (5; 3; 2)$ , a pour coordonnées $(2,5; 1,5; 1)$ : c'est le centre du pavé.

Distance entre deux points

Repérer les points ne suffit pas : le designer a besoin de mesurer. Quelle est la longueur de la tige qui traverse un meuble de part en part, la diagonale d'une pièce, l'arête oblique d'une structure ? Dans le plan, la formule de la distance reposait sur le théorème de Pythagore ; dans l'espace, elle repose sur le même théorème, appliqué deux fois de suite.

Propriété

Distance entre deux points de l'espace. Dans un repère orthonormal de l'espace, la distance entre les points $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ est

A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}}

Pour comprendre d'où vient cette formule, plaçons les deux points aux sommets opposés d'un pavé droit et suivons la grande diagonale. La figure ci-dessous montre un pavé de dimensions $4$ , $3$ et $2$ , avec la diagonale de la base $[A C]$ et la grande diagonale $[A G]$ tracées.

Double théorème de Pythagore dans un pavé droit

Le calcul se fait en deux étages. Au sol d'abord : le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ , donc le théorème de Pythagore donne la diagonale de la base, $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ . En hauteur ensuite : l'arête $[C G]$ est verticale, donc perpendiculaire au plan du sol, et le triangle $A C G$ est rectangle en $C$ ; une seconde application du théorème de Pythagore donne $A G^{2} = A C^{2} + C G^{2}$ . En rassemblant les deux étapes, $A G^{2} = A B^{2} + B C^{2} + C G^{2}$ : la somme des trois carrés qui apparaît sous la racine de la formule.

Exemple

Grande diagonale d'un pavé $4 \times 3 \times 2$ . Dans le pavé de la figure, on a $A (0; 0; 0)$ et $G (4; 3; 2)$ . La diagonale de la base vaut $A C = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ . Puis, dans le triangle $A C G$ rectangle en $C$ , $A G = \sqrt{A C^{2} + C G^{2}} = \sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29} \approx 5,39$ . La formule de la distance donne directement le même résultat : $A G = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (3 - 0)^{2} + (2 - 0)^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ .

Retenez la logique plus encore que la formule : une diagonale au sol par Pythagore, puis un triangle rectangle vertical par Pythagore. Ce raisonnement en deux temps ressert dans de nombreuses situations, même sans coordonnées.

La perspective cavalière

Savoir repérer et mesurer dans l'espace est une chose ; savoir représenter l'espace sur une feuille en est une autre. La perspective cavalière est la réponse la plus simple à ce problème : c'est celle des croquis techniques, des schémas de mobilier, des dessins de colisage. Son principe est une projection parallèle : on projette l'objet sur un plan (la feuille) parallèlement à une droite fixée, comme si des rayons de lumière tous parallèles entre eux venaient écraser l'objet sur le plan.

Définition

Perspective cavalière. La perspective cavalière est la représentation d'un objet de l'espace obtenue par projection sur un plan, parallèlement à une droite donnée. En pratique, le dessin obéit à trois conventions :

les faces parallèles au plan de projection (les faces frontales) sont dessinées en vraie grandeur ;
les arêtes perpendiculaires au plan de projection (les fuyantes) sont dessinées suivant une même direction oblique, faisant un angle $α$ avec l'horizontale (souvent $45^{\circ}$ ), et leurs longueurs sont multipliées par un même coefficient $k$ (souvent $0,5$ ou $0,7$ ) ;
les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Cube en perspective cavalière, conventions de dessin

Cette représentation déforme l'objet : c'est inévitable, puisqu'on aplatit trois dimensions sur deux. Tout l'art consiste à savoir précisément ce qui est fiable sur le dessin et ce qui ne l'est pas. La réponse tient dans les propriétés de la projection parallèle.

Propriété

Propriétés d'une projection parallèle. Une projection parallèle, donc une perspective cavalière, conserve : les milieux des segments, les contacts entre les figures (en particulier les points de tangence), les rapports de longueurs portées par une même droite (un point au tiers d'un segment reste au tiers de son image) et le parallélisme (deux droites parallèles ont des images parallèles).

Elle ne conserve pas : les longueurs (une fuyante est raccourcie), les angles (un angle droit peut devenir aigu ou obtus) et donc les formes (un carré devient un parallélogramme, un cercle devient une ellipse).

Conservé par la projection	Non conservé
milieux des segments	longueurs (sur les fuyantes)
contacts, points de tangence	angles
rapports de longueurs sur une même droite	formes : le carré devient un parallélogramme
parallélisme	formes : le cercle devient une ellipse

Ces propriétés se lisent sur le cube de la figure : les arêtes parallèles du cube restent parallèles sur le dessin, mais les faces latérales, pourtant carrées, apparaissent comme des parallélogrammes.

Exemple

Dessiner un cube d'arête $4$ cm. On choisit $α = 45^{\circ}$ et $k = 0,5$ . La face avant est un carré de $4$ cm de côté, dessiné en vraie grandeur. Les fuyantes partent des sommets de ce carré à $45^{\circ}$ , avec une longueur de $4 \times 0,5 = 2$ cm. Il reste à relier leurs extrémités pour obtenir la face arrière, carré de $4$ cm lui aussi, et à repasser en pointillés les trois arêtes cachées.

C'est la capacité centrale de cette partie du programme : une fois qu'on sait dessiner un quadrillage ou un cube en perspective cavalière, on sait y installer n'importe quel objet, un meuble dans une pièce, un motif sur une façade, une pièce de mobilier dans son gabarit.

Sections planes d'un cube

Couper un solide par un plan est un geste très concret : trancher un fromage, tailler un bloc de plâtre en maquette, scier une poutre en biais. La figure obtenue à l'endroit de la coupe est une figure plane, et le designer a besoin de la connaître exactement, à la fois pour la dessiner et pour la fabriquer.

Définition

Section plane d'un solide. La section d'un solide par un plan est la figure plane formée par l'intersection du plan et du solide : c'est la surface qui apparaît à l'endroit de la coupe.

Étudions deux coupes du cube qui servent de guides pour toutes les autres. Sur la figure ci-dessous, le cube $A B C D E F G H$ d'arête $a$ est coupé de deux façons : à gauche par un plan parallèle à une face, à droite par un plan contenant deux arêtes opposées.

Deux sections planes d'un cube

Propriété

Deux sections du cube d'arête $a$ .

La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré de côté $a$ , identique à la face : en faisant glisser le plan de coupe d'une face à la face opposée, la coupe reste la même.
La section d'un cube par un plan contenant deux arêtes opposées (un plan diagonal, par exemple le plan passant par $A$ , $C$ , $G$ et $E$ ) est un rectangle de dimensions $a$ et $a \sqrt{2}$ : deux de ses côtés sont des arêtes du cube, les deux autres sont des diagonales de faces, de longueur $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ d'après le théorème de Pythagore.

Un point mérite toute votre attention : sur le dessin en perspective cavalière, ces sections paraissent déformées. Le rectangle diagonal $A C G E$ , par exemple, apparaît comme un parallélogramme penché, et rien sur le dessin ne permet d'y mesurer ses dimensions. La vraie grandeur d'une section ne se lit jamais sur la perspective : elle se reconstruit par le calcul, puis se dessine à part, en vraie grandeur, comme le ferait un plan de fabrication.

Méthode

Dessiner la section d'un cube par un plan.

Placer sur la perspective les points où le plan de coupe rencontre les arêtes du cube.
Relier deux points de la section seulement s'ils appartiennent à une même face : chaque face coupée fournit un côté de la section.
Utiliser le parallélisme, qui est conservé en perspective : le plan de coupe traverse deux faces parallèles du cube selon deux droites parallèles, donc les côtés de la section situés sur deux faces parallèles se dessinent parallèles.
Pour obtenir la vraie grandeur de la section, calculer les longueurs de ses côtés (théorème de Pythagore dans les faces), puis la tracer à part avec les instruments.

Exemple

Section diagonale d'un cube d'arête $6$ . Le plan passant par $A$ , $C$ , $G$ et $E$ coupe le cube d'arête $6$ selon un rectangle dont un côté est l'arête $A E = 6$ et l'autre la diagonale de face $A C = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ . La section en vraie grandeur est donc un rectangle de dimensions $6 \times 6 \sqrt{2}$ , soit environ $6 \times 8,49$ : voilà les mesures à reporter pour la découper dans une plaque.

Sections planes d'un cylindre : l'ellipse

Après le cube, l'autre grand solide du designer est le cylindre de révolution : un vase, un tuyau, un pied de table, une colonne. Un cylindre de révolution est décrit par deux nombres, le rayon $r$ de sa base circulaire et sa hauteur $h$ ; son axe est la droite verticale qui joint les centres des deux bases. Coupons-le à notre tour, selon trois directions de plan, illustrées sur la figure ci-dessous.

Trois sections planes d'un cylindre de révolution

Propriété

Sections d'un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ .

Par un plan perpendiculaire à l'axe : la section est un cercle de rayon $r$ , identique aux bases, quelle que soit la hauteur de la coupe.
Par un plan contenant l'axe : la section est un rectangle de dimensions $2 r \times h$ , dont la largeur est un diamètre de la base.
Par un plan oblique par rapport à l'axe, coupant toute la surface latérale : la section est une courbe ovale et régulière appelée ellipse.

La troisième coupe est la plus riche, et c'est elle qui introduit une figure nouvelle. Regardez un verre d'eau incliné : la surface de l'eau y dessine une ellipse. Coupez un tuyau en oblique, taillez un vase en biseau, regardez une assiette de biais : toujours des ellipses. Donnons-lui son vocabulaire.

Définition

Ellipse : vocabulaire. Une ellipse possède un centre, qui est son centre de symétrie. Le plus long segment qui la traverse en passant par le centre est son grand axe ; le plus court est son petit axe. Les deux axes sont perpendiculaires en le centre, et l'ellipse est symétrique par rapport à chacun d'eux.

Pour la section oblique d'un cylindre, ces deux axes se comprennent très bien. Le petit axe vaut toujours le diamètre $2 r$ : en coupant en biais, on ne change pas la largeur du cylindre. Le grand axe, lui, est plus long que $2 r$ et dépend de l'inclinaison de la coupe : plus le plan est incliné par rapport à l'horizontale, plus la coupe s'étire et plus le grand axe s'allonge. Une coupe presque horizontale donne une ellipse presque circulaire ; une coupe très inclinée donne une ellipse très allongée. C'est exactement ce qu'observe l'œil sur une assiette : vue de dessus elle est un cercle, vue de biais une ellipse d'autant plus aplatie que le regard est rasant.

Dessiner un cercle en perspective

Il reste à boucler la boucle. Nous avons vu qu'une projection parallèle ne conserve pas les formes, et que le cercle, en particulier, devient une ellipse : c'est vrai pour la section oblique d'un cylindre, et c'est vrai aussi pour tout cercle dessiné en perspective cavalière. Le bord d'une table ronde, l'ouverture d'un vase, un arc de cercle dans un logo : dès qu'on les met en perspective, il faut savoir tracer leur ellipse. Or on ne peut pas la dessiner au compas. La solution est un détour élégant : encadrer le cercle dans un carré, et laisser la projection faire le travail.

L'idée repose sur deux propriétés conservées par la projection parallèle : les milieux et les contacts. Un cercle inscrit dans un carré touche chacun des quatre côtés en son milieu ; l'image du carré est un parallélogramme, l'image du cercle est une ellipse, et cette ellipse touche encore chaque côté du parallélogramme en son milieu, puisque milieux et points de tangence sont conservés.

Méthode

Construire l'image perspective d'un cercle à partir de son carré circonscrit.

En vraie grandeur, tracer le carré circonscrit au cercle et marquer les quatre points de tangence : ce sont les milieux des côtés du carré.
Dessiner l'image du carré en perspective cavalière : c'est un parallélogramme.
Placer les milieux des quatre côtés du parallélogramme : comme les milieux sont conservés par la projection, ce sont les images des points de tangence.
Tracer à main levée l'ellipse tangente aux quatre côtés du parallélogramme en ces milieux : comme les contacts sont conservés, c'est l'image du cercle.

Image perspective d'un cercle par son carré circonscrit

La propriété fonctionne aussi dans l'autre sens, et c'est une capacité attendue du programme : pour construire un parallélogramme circonscrit à une ellipse donnée, il suffit de mener les côtés tangents à l'ellipse de sorte qu'ils la touchent aux milieux ; tout parallélogramme circonscrit à une ellipse la touche en effet aux milieux de ses côtés. En pratique, on trace deux cordes parallèles au grand axe et deux cordes parallèles au petit axe, tangentes à la courbe, et le parallélogramme se referme de lui-même.

Vous disposez maintenant de la panoplie complète du dessin d'espace : des coordonnées pour situer et calculer, la perspective cavalière pour représenter, les sections pour comprendre ce que révèle une coupe, et le carré circonscrit pour apprivoiser le cercle. Essayez-la sur des objets réels : dessinez en perspective une table ronde posée sur un carrelage, l'arche d'un pont, un logo circulaire sur la façade oblique d'un bâtiment. À chaque fois, le même dialogue s'installe entre le calcul et le crayon, et c'est précisément ce dialogue, entre observation, analyse et création, qui fait la géométrie du designer.

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