Produit scalaire

On sait depuis la seconde additionner deux vecteurs et multiplier un vecteur par un nombre. Mais peut-on multiplier deux vecteurs entre eux ? La physique suggère une réponse. Imaginons une luge tirée par une corde inclinée : si la corde est presque horizontale, presque tout l'effort sert à avancer ; si elle est presque verticale, l'effort soulève la luge mais ne la fait guère progresser. L'efficacité d'une force dépend donc à la fois de son intensité, de la longueur du déplacement et de l'angle entre les deux — trois informations qu'une seule opération va condenser en un nombre. Cette opération est le produit scalaire : elle associe à deux vecteurs non pas un vecteur, mais un nombre (un « scalaire »). C'est l'outil de ce chapitre, et il rend des services bien au-delà de la physique : calculer des angles et des longueurs sans les mesurer, démontrer que deux droites sont perpendiculaires, généraliser le théorème de Pythagore aux triangles quelconques.

Définition géométrique

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment un angle : en plaçant leurs origines au même point, on note $\theta$ une mesure de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$. Le chapitre de trigonométrie a montré que $\cos (-\theta )=\cos \theta$ et $\cos (\theta +2\pi )=\cos \theta$ : le cosinus ne dépend donc pas de la mesure choisie, et on peut toujours raisonner avec l'angle non orienté, compris entre $0$ et $\pi$ (entre $0^{\circ }$ et ${180}^{\circ }$). C'est ce cosinus qui entre dans la définition.

Insistons sur la nature du résultat : $\vec{u}\cdot \vec{v}$ est un nombre, pas un vecteur — c'est tout le sens du mot « scalaire ». Un cas particulier mérite d'être isolé : celui où l'on multiplie un vecteur par lui-même. L'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{u}$ est nul, et $\cos 0=1$.

Cette égalité est la passerelle entre produit scalaire et longueurs : elle servira constamment dans les développements de la section 3. Autre lecture directe de la définition : comme $\parallel \vec{u}\parallel$ et $\parallel \vec{v}\parallel$ sont des nombres positifs, le signe du produit scalaire est celui de $\cos \theta$, que le chapitre de trigonométrie permet de connaître :

• si $\theta$ est aigu ($0⩽\theta <{90}^{\circ }$), alors $\cos \theta >0$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}>0$ : les deux vecteurs « pointent globalement dans le même sens » ;
• si $\theta$ est droit ($\theta ={90}^{\circ }$), alors $\cos \theta =0$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ : ce cas capital fait l'objet de la section 5 ;
• si $\theta$ est obtus (${90}^{\circ }<\theta ⩽{180}^{\circ }$), alors $\cos \theta <0$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}<0$ : les deux vecteurs « pointent globalement en sens contraires ».

Projection orthogonale

La définition avec le cosinus exige de connaître l'angle entre les vecteurs. Or, sur beaucoup de figures, on connaît plutôt des longueurs et des angles droits. Une deuxième lecture du produit scalaire, par projection, est alors bien plus efficace. Commençons par définir l'outil.

Le lien avec le produit scalaire est le suivant : dans $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, on peut remplacer $\overrightarrow{AC}$ par son projeté orthogonal sur l'axe $(AB)$ sans changer le résultat. Seule compte la composante de $\overrightarrow{AC}$ le long de $\overrightarrow{AB}$ ; la composante perpendiculaire ne contribue en rien — exactement comme la partie verticale de la traction sur la corde de la luge ne fait pas avancer celle-ci.

Propriétés : symétrie et bilinéarité

Pour calculer efficacement, il faut savoir comment le produit scalaire se comporte vis-à-vis des opérations sur les vecteurs. La réponse tient en deux propriétés, admises ici, qui font du produit scalaire une opération très proche de la multiplication des nombres.

Concrètement, ces règles autorisent à développer et factoriser des expressions vectorielles exactement comme des expressions algébriques, en remplaçant chaque carré scalaire par un carré de norme. Développons par exemple $\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2$ : c'est le carré scalaire $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})$, qui donne, par bilinéarité puis symétrie, $\vec{u}\cdot \vec{u}+\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \vec{u}+\vec{v}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}{\parallel }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\parallel \vec{v}{\parallel }^2$. On reconnaît la structure de l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, et les deux autres identités du collège se transposent de la même façon.

Ces développements relient les trois quantités $\parallel \vec{u}\parallel$, $\parallel \vec{v}\parallel$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}$ : dès que deux d'entre elles sont connues (ainsi que la norme d'une somme ou d'une différence), la troisième s'en déduit.

En base orthonormée

Passons à la géométrie repérée. Lorsque le plan est muni d'un repère orthonormé — axes perpendiculaires et même unité de longueur sur chacun — le produit scalaire se calcule directement à partir des coordonnées, sans figure, sans angle et sans projection.

Attention : ces formules ne sont valables que dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque (axes non perpendiculaires, ou unités différentes sur les deux axes), le calcul $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$ ne donne pas le produit scalaire — c'est pourquoi toutes les situations de géométrie repérée de ce chapitre se placent dans un repère orthonormé.

Orthogonalité

Reprenons l'observation de la section 1 : lorsque l'angle entre deux vecteurs non nuls est droit, son cosinus est nul, donc le produit scalaire aussi. Et réciproquement : si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, alors $\cos \theta =0$, ce qui impose $\theta ={90}^{\circ }$. Le produit scalaire fournit ainsi un critère purement calculatoire de perpendicularité — c'est l'une de ses applications les plus utiles.

Deux droites sont perpendiculaires dès que des vecteurs qui les dirigent sont orthogonaux : prouver un angle droit se ramène donc à vérifier qu'un produit scalaire est nul, ce qui remplace avantageusement la réciproque du théorème de Pythagore.

Angles et longueurs

Jusqu'ici, l'angle servait à calculer le produit scalaire. Inversons le point de vue : puisque $\vec{u}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}\parallel \times \parallel \vec{v}\parallel \times \cos \theta$, il suffit de connaître le produit scalaire et les normes pour isoler le cosinus, donc l'angle. Combiné aux formules en coordonnées, cela permet de mesurer un angle par le calcul.

Le produit scalaire éclaire aussi les longueurs dans un triangle quelconque. Dans un triangle $ABC$, on note traditionnellement $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ (chaque côté porte la lettre minuscule du sommet opposé) et $\widehat{A}$ l'angle au sommet $A$. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, et le développement de $\parallel \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\parallel }^2$ (section 3) fournit $a^2=b^2+c^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire le théorème suivant.

Une autre relation de longueurs découle des identités remarquables : en additionnant membre à membre les développements de $\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2$ et $\parallel \vec{u}-\vec{v}{\parallel }^2$, les doubles produits opposés s'éliminent.

Produit scalaire et physique : le travail d'une force

Revenons à la luge de l'introduction : le produit scalaire est né pour ce genre de situation, et le cours de physique-chimie l'utilise sous le nom de travail d'une force. Lorsqu'un objet se déplace en ligne droite d'un point $A$ à un point $B$ sous l'action d'une force constante $\vec{F}$, l'efficacité de la force sur ce déplacement se mesure exactement par un produit scalaire.

Toutes les propriétés du chapitre se relisent physiquement. Le signe d'abord : si $\theta$ est aigu, le travail est positif — la force aide le mouvement, on dit qu'elle est motrice ; si $\theta$ est obtus, le travail est négatif — la force s'oppose au mouvement (comme les frottements), on dit qu'elle est résistante. Le cas de l'angle droit est remarquable : une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas, puisque $\cos {90}^{\circ }=0$. C'est le cas du poids d'un chariot roulant sur un sol horizontal : la force est verticale, le déplacement horizontal, et le poids n'aide ni ne freine le mouvement — son travail est nul.

La bilinéarité ensuite : si plusieurs forces $\overrightarrow{F_1}$ et $\overrightarrow{F_2}$ s'appliquent à l'objet, la force résultante est $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$, et $(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB}$ Le travail de la somme des forces est la somme des travaux : ce principe, constamment utilisé en mécanique, n'est rien d'autre que la propriété de la section 3 appliquée aux forces.