1ʳᵉ PCM · Chapitre 01 · Géométrie dans le plan

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, radian, angles orientés, fonctions sinus et cosinus, fonctions t ↦ A cos(ωt + φ), angles associés.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Branchez un oscilloscope sur une prise de courant : la tension qui s'affiche n'est pas constante, elle oscille régulièrement, dessinant une vague qui se répète cinquante fois par seconde. La même forme d'onde apparaît partout en sciences et en technologie : le son capté par un micro, la vibration d'une pièce mécanique, le courant produit par un alternateur, le mouvement d'un piston entraîné par une roue qui tourne. Tous ces phénomènes ont un point commun : ils proviennent, de près ou de loin, d'une rotation. Pour les décrire mathématiquement, il faut donc des fonctions capables de traduire une rotation en nombres — ce sont les fonctions cosinus et sinus, construites sur un cercle. Ce chapitre reprend la trigonométrie là où le collège l'avait laissée (dans le triangle rectangle) et la généralise à tous les angles, positifs, négatifs, même supérieurs à un tour complet ; il se termine par l'étude des signaux sinusoïdaux $t \mapsto A \cos (ω t + φ)$ , le modèle mathématique commun à tous les phénomènes évoqués ci-dessus.

Le cercle trigonométrique et le radian

Toute la trigonométrie de ce chapitre se lit sur un unique objet, qu'il faut commencer par installer soigneusement. Dans un repère orthonormé $(O; I; J)$ , on trace le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ . Pour mesurer des angles, il faut aussi choisir un sens de parcours : par convention, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct (ou sens trigonométrique). L'autre sens, celui des aiguilles d'une montre, est le sens indirect.

Définition

Cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Le point $I (1; 0)$ sert de point de départ pour repérer les angles.

Cercle trigonométrique de centre O avec les points I(1 ; 0) et J(0 ; 1), et une flèche indiquant le sens direct de parcours, inverse des aiguilles d'une montre

Reste à choisir une unité pour mesurer les angles. Le degré, hérité des Babyloniens, découpe le tour complet en $360$ parts : c'est une convention commode pour le dessin, mais arbitraire. Les mathématiques et la physique préfèrent une unité définie par le cercle lui-même : le radian. L'idée est de mesurer un angle par la longueur de l'arc qu'il découpe sur le cercle.

Définition

Radian. Un angle de $1$ radian (noté $1$ rad) est l'angle au centre qui intercepte, sur un cercle, un arc de longueur égale au rayon de ce cercle. Sur le cercle trigonométrique, dont le rayon vaut $1$ , un angle de $1$ rad intercepte donc un arc de longueur $1$ .

Cercle trigonométrique avec un arc de longueur 1 tracé en gras du point I jusqu'au point M repéré par un angle de 1 radian, la mention « arc de longueur 1 » et l'angle « 1 rad » annotés

Cette définition rend les calculs de longueurs immédiats. Le périmètre d'un cercle de rayon $1$ vaut $2 π$ : un tour complet mesure donc $2 π$ rad, un demi-tour mesure $π$ rad, un quart de tour $\frac{π}{2}$ rad. Comme un tour complet vaut aussi $360^{\circ}$ , on obtient la correspondance fondamentale :

π rad = 180^{\circ}

La mesure d'un angle en degrés et sa mesure en radians sont proportionnelles : passer de l'une à l'autre est un simple calcul de proportionnalité, avec le coefficient $\frac{π}{180}$ . Le tableau suivant, à connaître par cœur, rassemble les angles usuels.

Degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$360$
Radians	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$2 π$

On remarque que les angles usuels s'expriment tous comme des fractions simples de $π$ : c'est l'un des conforts du radian. Retenir « $180^{\circ} = π$ » suffit à retrouver toute la ligne : $30^{\circ}$ est le sixième de $180^{\circ}$ , donc $30^{\circ} = \frac{π}{6}$ ; $45^{\circ}$ en est le quart, donc $45^{\circ} = \frac{π}{4}$ , et ainsi de suite.

Méthode

Convertir entre degrés et radians. Les mesures en degrés et en radians étant proportionnelles avec $180^{\circ} = π$ rad :

degrés vers radians : multiplier la mesure en degrés par $\frac{π}{180}$ ;
radians vers degrés : multiplier la mesure en radians par $\frac{180}{π}$ .

En cas de doute, un tableau de proportionnalité avec la colonne $180^{\circ} \leftrightarrow π$ permet toujours de retrouver le résultat.

Exemple

Conversions. Convertissons $120^{\circ}$ en radians : $120 \times \frac{π}{180} = \frac{120 π}{180} = \frac{2 π}{3}$ . Donc $120^{\circ} = \frac{2 π}{3}$ rad, ce qui est cohérent : $120^{\circ}$ vaut deux fois $60^{\circ}$ , et $\frac{2 π}{3}$ vaut bien deux fois $\frac{π}{3}$ .

Dans l'autre sens, convertissons $\frac{5 π}{6}$ rad en degrés : $\frac{5 π}{6} \times \frac{180}{π} = \frac{5 \times 180}{6} = 150$ . Donc $\frac{5 π}{6}$ rad $= 150^{\circ}$ .

Enfin, un angle de $1$ rad vaut $\frac{180}{π} \approx {57,3}^{\circ}$ : le radian est une unité assez « grosse », un peu inférieure à $60^{\circ}$ .

La définition du radian donne aussi, sans effort, la longueur d'un arc de cercle quelconque : sur un cercle de rayon $R$ , chaque radian d'angle « déroule » une longueur $R$ d'arc.

Propriété

Longueur d'un arc de cercle. Sur un cercle de rayon $R$ , un angle au centre de mesure $θ$ en radians intercepte un arc de longueur $L = R θ$ Cette formule n'est valable que si $θ$ est exprimé en radians : c'est elle qui justifie l'adoption de cette unité.

Exemple

Longueur d'arc. Un plateau circulaire de rayon $R = 5$ cm tourne d'un angle de $\frac{π}{3}$ rad (soit $60^{\circ}$ ). Un point situé au bord du plateau parcourt un arc de longueur $L = R θ = 5 \times \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3} \approx 5,2$ cm. Avec la mesure en degrés, il aurait fallu passer par une fraction du périmètre ( $\frac{60}{360}$ de $2 π R$ ) : le radian rend le calcul direct.

Angles orientés et mesure principale

Imaginons maintenant que l'on enroule la droite des nombres réels autour du cercle trigonométrique, comme un fil autour d'une bobine : l'origine du fil est posée sur le point $I$ , la partie positive s'enroule dans le sens direct, la partie négative dans le sens indirect. Chaque nombre réel $x$ vient alors se poser sur un point $M$ du cercle : on dit que $M$ est le point image de $x$ , et que $x$ est une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{O I}; \vec{O M})$ . L'adjectif « orienté » rappelle que le signe compte : $x = \frac{π}{2}$ place $M$ en $J$ (quart de tour dans le sens direct), tandis que $x = - \frac{π}{2}$ place $M$ au point diamétralement opposé à $J$ (quart de tour dans le sens indirect).

Une remarque essentielle : le fil mesure $2 π$ par tour. Les réels $x$ et $x + 2 π$ se posent donc exactement sur le même point du cercle, de même que $x + 4 π$ , $x - 2 π$ , et plus généralement tous les nombres de la forme $x + 2 k π$ où $k$ est un entier relatif. Un même point du cercle — donc un même angle orienté — possède ainsi une infinité de mesures, qui diffèrent toutes d'un nombre entier de tours.

Propriété

Mesures d'un angle orienté. Si $x$ est une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{O I}; \vec{O M})$ , alors les mesures de cet angle sont exactement les réels $x + 2 k π, k \in Z$ Deux mesures d'un même angle diffèrent d'un multiple de $2 π$ (un nombre entier de tours complets).

Par exemple, $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{3} + 2 π = \frac{7 π}{3}$ et $\frac{π}{3} - 2 π = - \frac{5 π}{3}$ repèrent le même point du cercle. Pour communiquer sans ambiguïté, on convient de privilégier, parmi toutes ces mesures, celle qui est la plus proche de zéro.

Définition

Mesure principale. Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, une seule appartient à l'intervalle $] - π; π]$ : on l'appelle la mesure principale de l'angle. C'est la mesure de plus petite valeur absolue ; elle correspond au chemin le plus court pour aller de $I$ au point $M$ le long du cercle.

Notons le rôle des bornes : $- π$ est exclu et $π$ est inclus, car $- π$ et $π$ repèrent le même point (le point diamétralement opposé à $I$ ) et il faut n'en garder qu'un.

Méthode

Trouver la mesure principale d'un angle. On part de la mesure donnée, et on lui ajoute ou retranche $2 π$ autant de fois que nécessaire pour tomber dans $] - π; π]$ :

si la mesure est trop grande (supérieure à $π$ ), retrancher $2 π$ , et recommencer tant qu'on dépasse $π$ ;
si elle est trop petite (inférieure ou égale à $- π$ ), ajouter $2 π$ , et recommencer tant qu'il le faut ;
vérifier à la fin que le résultat appartient bien à $] - π; π]$ .

En pratique, avec une mesure en fraction de $π$ , on met tout au même dénominateur : retrancher $2 π$ à $\frac{17 π}{4}$ , c'est retrancher $\frac{8 π}{4}$ .

Exemple

Mesure principale de $\frac{17 π}{4}$ . Cette mesure dépasse largement $π$ : on retranche des tours. $\frac{17 π}{4} - 2 π = \frac{17 π}{4} - \frac{8 π}{4} = \frac{9 π}{4}$ , encore supérieur à $π$ . On retranche de nouveau : $\frac{9 π}{4} - \frac{8 π}{4} = \frac{π}{4}$ . Comme $\frac{π}{4}$ appartient à $] - π; π]$ , la mesure principale est $\frac{π}{4}$ : le point image de $\frac{17 π}{4}$ est le même que celui de $\frac{π}{4}$ , atteint après deux tours complets supplémentaires.

Mesure principale de $- \frac{7 π}{3}$ . Cette mesure est inférieure à $- π$ : on ajoute un tour. $- \frac{7 π}{3} + 2 π = - \frac{7 π}{3} + \frac{6 π}{3} = - \frac{π}{3}$ , qui appartient à $] - π; π]$ . La mesure principale est donc $- \frac{π}{3}$ .

Savoir placer rapidement un point sur le cercle à partir d'une mesure est le geste de base de tout le chapitre : il servira à lire les cosinus et sinus, à repérer les symétries et à résoudre les équations. On raisonne en fractions de tour, à partir des repères fixes que sont $I$ (mesure $0$ ), $J$ (mesure $\frac{π}{2}$ ) et leurs points diamétralement opposés (mesures $π$ et $- \frac{π}{2}$ ).

Exemple

Placer les points images de $\frac{3 π}{4}$ , $- \frac{π}{6}$ et $5 π$ . Pour $\frac{3 π}{4}$ : c'est $\frac{3}{8}$ de tour dans le sens direct, entre $\frac{π}{2}$ et $π$ ; le point se situe au milieu du quart de cercle supérieur gauche. Pour $- \frac{π}{6}$ : le signe négatif impose de tourner dans le sens indirect ; on descend de $I$ d'un douzième de tour, le point est juste sous l'axe des abscisses, à droite. Pour $5 π$ : on écrit $5 π = π + 4 π = π + 2 \times 2 π$ , soit un demi-tour suivi de deux tours complets ; le point image est celui de $π$ , diamétralement opposé à $I$ , et la mesure principale de $5 π$ est $π$ .

Cosinus et sinus

Le cercle trigonométrique étant tracé dans un repère, chaque point du cercle possède une abscisse et une ordonnée. C'est précisément ainsi que l'on définit le cosinus et le sinus d'un réel quelconque — plus besoin de triangle rectangle, donc plus de limitation aux angles aigus.

Définition

Cosinus et sinus. Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$ , noté $\cos x$ , est l'abscisse du point $M$ ; le sinus de $x$ , noté $\sin x$ , est l'ordonnée du point $M$ . Autrement dit, $M$ a pour coordonnées $(\cos x; \sin x)$ .

Cercle trigonométrique avec le point M repéré par l'angle x égal à pi sur 3, des pointillés de lecture horizontaux et verticaux menant à cos x sur l'axe des abscisses et sin x sur l'axe des ordonnées, avec leurs étiquettes

Pour lire $\cos x$ , on projette donc $M$ verticalement sur l'axe des abscisses ; pour lire $\sin x$ , on le projette horizontalement sur l'axe des ordonnées. Cette définition prolonge celle du collège : pour un angle aigu, le triangle formé par $O$ , $M$ et le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses est rectangle, d'hypoténuse $O M = 1$ , et on retrouve « côté adjacent sur hypoténuse » et « côté opposé sur hypoténuse ». Mais elle donne aussi un sens à $\cos x$ et $\sin x$ pour n'importe quel réel $x$ , avec des valeurs qui peuvent être négatives : au point $I$ , on lit $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$ ; au point $J$ , $\cos \frac{π}{2} = 0$ et $\sin \frac{π}{2} = 1$ ; au point diamétralement opposé à $I$ , $\cos π = - 1$ et $\sin π = 0$ .

Deux propriétés découlent immédiatement de cette lecture sur le cercle.

Propriété

Encadrement et relation fondamentale. Pour tout réel $x$ :

$- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ , car le point $M$ reste sur un cercle de rayon $1$ : son abscisse et son ordonnée ne peuvent pas sortir de $[- 1; 1]$ ;
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ (relation fondamentale de la trigonométrie).

La relation fondamentale n'est autre que le théorème de Pythagore lu sur le cercle. Notons $H$ le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses : le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ , avec $O H = ∣ \cos x ∣$ , $H M = ∣ \sin x ∣$ et une hypoténuse $O M = 1$ (le rayon du cercle). Le théorème de Pythagore donne $O H^{2} + H M^{2} = O M^{2}$ , c'est-à-dire $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ . Rappelons au passage la convention d'écriture : $\cos^{2} x$ désigne $(\cos x)^{2}$ , le carré du cosinus de $x$ .

Cette relation permet de calculer l'une des deux valeurs quand on connaît l'autre — au signe près, qu'on détermine en situant le point sur le cercle.

Exemple

Utiliser la relation fondamentale. Soit $x$ un réel de l'intervalle $[\frac{π}{2}; π]$ tel que $\sin x = 0,6$ . Calculons $\cos x$ . La relation fondamentale donne $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - 0,36 = 0,64$ , donc $\cos x = 0,8$ ou $\cos x = - 0,8$ . Pour trancher, situons le point image : lorsque $x$ appartient à $[\frac{π}{2}; π]$ , le point $M$ se trouve dans le quart supérieur gauche du cercle, où les abscisses sont négatives. Donc $\cos x = - 0,8$ .

Enfin, les angles usuels de la section 1 ont des cosinus et sinus exacts, à connaître parfaitement : ce sont les valeurs remarquables, qu'on retrouve en plaçant les points images sur le cercle (elles proviennent des triangles particuliers : le triangle équilatéral coupé en deux pour $\frac{π}{6}$ et $\frac{π}{3}$ , le demi-carré pour $\frac{π}{4}$ ).

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Un moyen mnémotechnique pour la ligne des sinus : de $0$ à $\frac{π}{2}$ , elle s'écrit $\frac{\sqrt{0}}{2}$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{4}}{2}$ — les racines des entiers de $0$ à $4$ , divisées par $2$ . La ligne des cosinus est la même lue à l'envers : sur cet intervalle, quand l'angle grandit, le sinus augmente et le cosinus diminue, ce que la lecture du cercle confirme.

Angles associés

Le cercle trigonométrique est riche en symétries, et ces symétries relient entre eux les cosinus et sinus d'angles « associés » à un même réel $x$ : les angles $- x$ , $π - x$ , $π + x$ , $\frac{π}{2} - x$ et $\frac{π}{2} + x$ . L'enjeu est pratique : connaître les valeurs remarquables du tableau précédent, qui ne couvrent que $[0; π]$ et surtout le premier quart de cercle, suffira alors pour calculer le cosinus et le sinus de n'importe quel angle usuel du cercle, comme $\frac{2 π}{3}$ ou $- \frac{5 π}{6}$ .

Observons la figure suivante, où les quatre points images de $x$ , $- x$ , $π - x$ et $π + x$ sont placés pour $x = \frac{π}{6}$ .

Cercle trigonométrique avec les quatre points images des angles x, moins x, pi moins x et pi plus x pour x égal à pi sur 6, reliés par des pointillés montrant les symétries par rapport aux axes et au centre

Les symétries sautent aux yeux. Le point $M (- x)$ est le symétrique de $M (x)$ par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnée opposée — donc même cosinus, sinus opposé. Le point $M (π - x)$ est le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : abscisse opposée, même ordonnée. Le point $M (π + x)$ , atteint en ajoutant un demi-tour, est le symétrique par rapport au centre $O$ : abscisse et ordonnée toutes deux opposées.

Les deux derniers angles associés font intervenir la première bissectrice (la droite d'équation $y = x$ ) : le point $M ⁣ (\frac{π}{2} - x)$ est le symétrique de $M (x)$ par rapport à cette droite, ce qui échange abscisse et ordonnée — le cosinus de l'un est le sinus de l'autre. Quant à $M ⁣ (\frac{π}{2} + x)$ , il s'obtient à partir de $M (x)$ par un quart de tour direct.

Cercle trigonométrique avec les points images des angles x, pi sur 2 moins x et pi sur 2 plus x pour x égal à pi sur 6, illustrant l'échange des coordonnées entre angles complémentaires

Propriété

Angles associés. Pour tout réel $x$ :

$\cos (- x) = \cos x$ et $\sin (- x) = - \sin x$ ;
$\cos (π - x) = - \cos x$ et $\sin (π - x) = \sin x$ ;
$\cos (π + x) = - \cos x$ et $\sin (π + x) = - \sin x$ ;
$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ et $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ;
$\cos (\frac{π}{2} + x) = - \sin x$ et $\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$ .

Inutile d'apprendre ces dix égalités comme une liste : chacune se retrouve en dix secondes en dessinant le cercle, en plaçant les deux points et en comparant leurs coordonnées. C'est le réflexe à acquérir, et c'est lui qu'on mobilise dans les calculs de valeurs.

Exemple

Calculer $\cos \frac{2 π}{3}$ et $\sin \frac{5 π}{6}$ . L'angle $\frac{2 π}{3}$ n'est pas dans le tableau des valeurs remarquables, mais il s'écrit $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ : son point image est le symétrique de celui de $\frac{π}{3}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Donc $\cos \frac{2 π}{3} = \cos (π - \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ De même, $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , et la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées conserve l'ordonnée : $\sin \frac{5 π}{6} = \sin (π - \frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ Un dernier, avec un angle négatif : $\cos (- \frac{π}{4}) = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , car le cosinus ne change pas quand on change le signe de l'angle.

Les symétries du cercle permettent aussi de résoudre les équations trigonométriques les plus courantes : trouver tous les réels $x$ tels que $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ , où $a$ est une valeur remarquable. La méthode est entièrement graphique.

Méthode

Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ par lecture du cercle.

Tracer le cercle trigonométrique. Pour $\cos x = a$ : placer $a$ sur l'axe des abscisses et tracer la droite verticale passant par ce point. Pour $\sin x = a$ : placer $a$ sur l'axe des ordonnées et tracer la droite horizontale.
Repérer les points d'intersection de cette droite avec le cercle : si $- 1 < a < 1$ il y en a deux, si $a = 1$ ou $a = - 1$ un seul, si $a$ est en dehors de $[- 1; 1]$ aucun (l'équation n'a alors pas de solution).
Identifier un angle remarquable $α$ pour l'un des points ; le second s'en déduit par symétrie ( $- α$ pour un cosinus, $π - α$ pour un sinus).
Écrire les solutions sur $R$ en ajoutant les tours complets : $x = α + 2 k π$ ou $x = - α + 2 k π$ (avec $k \in Z$ ) pour un cosinus ; $x = α + 2 k π$ ou $x = π - α + 2 k π$ pour un sinus. Si l'énoncé demande les solutions dans un intervalle donné, ne garder que celles-là.

Exemple

Résoudre $\cos x = \frac{1}{2}$ sur $R$ . On trace la droite verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$ : elle coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le tableau des valeurs remarquables identifie le point du haut : c'est le point image de $\frac{π}{3}$ . Le point du bas est donc celui de $- \frac{π}{3}$ . Les solutions sont tous les réels qui repèrent l'un de ces deux points : $x = \frac{π}{3} + 2 k π ou x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$ Dans l'intervalle $] - π; π]$ , l'équation a exactement deux solutions : $- \frac{π}{3}$ et $\frac{π}{3}$ .

Résoudre $\sin x = - \frac{1}{2}$ sur $R$ . On trace la droite horizontale d'ordonnée $- \frac{1}{2}$ : elle coupe le cercle en deux points de la moitié inférieure, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Comme $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , le point de droite est l'image de $- \frac{π}{6}$ ; celui de gauche est son symétrique, image de $π - (- \frac{π}{6}) = \frac{7 π}{6}$ , dont la mesure principale est $- \frac{5 π}{6}$ . Les solutions sont donc $x = - \frac{π}{6} + 2 k π ou x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

Les fonctions sinus et cosinus

Jusqu'ici, $\cos x$ et $\sin x$ étaient des nombres attachés à un angle. Changeons de point de vue : tout réel $x$ possède un cosinus et un sinus, ce qui définit deux fonctions sur $R$ tout entier.

Définition

Fonctions cosinus et sinus. La fonction cosinus est la fonction définie sur $R$ par $x \mapsto \cos x$ ; la fonction sinus est la fonction définie sur $R$ par $x \mapsto \sin x$ . Leurs courbes représentatives s'appellent des sinusoïdes.

Courbes représentatives des fonctions cosinus, en bleu foncé, et sinus, en doré, sur l'intervalle de moins deux pi à deux pi, avec les étiquettes y = cos x et y = sin x

La figure révèle immédiatement le trait le plus frappant de ces courbes : le même motif s'y répète indéfiniment, de longueur $2 π$ . L'explication vient du cercle : les réels $x$ et $x + 2 π$ ont le même point image, donc le même cosinus et le même sinus. On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques.

Propriété

Périodicité. Pour tout réel $x$ , $\cos (x + 2 π) = \cos x et \sin (x + 2 π) = \sin x$ Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2 π$ : leurs courbes sont invariantes par translation de $2 π$ (et de tout multiple de $2 π$ ) parallèlement à l'axe des abscisses.

Conséquence pratique majeure : il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2 π$ , par exemple $[- π; π]$ , puis de translater le morceau de courbe obtenu pour connaître la fonction partout. Et ce travail se réduit encore de moitié grâce à une deuxième propriété, elle aussi héritée du cercle : la parité. Les relations des angles associés pour $- x$ affirment que $\cos (- x) = \cos x$ et $\sin (- x) = - \sin x$ ; c'est exactement dire que le cosinus est une fonction paire et le sinus une fonction impaire.

Propriété

Parité et symétries des courbes. La fonction cosinus est paire : pour tout réel $x$ , $\cos (- x) = \cos x$ , et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction sinus est impaire : pour tout réel $x$ , $\sin (- x) = - \sin x$ , et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.

Ces symétries se vérifient sur la figure : la courbe du cosinus se replie exactement sur elle-même le long de l'axe des ordonnées, celle du sinus se superpose à elle-même par demi-tour autour de l'origine. Les autres angles associés apportent d'ailleurs des symétries supplémentaires : par exemple, la relation $\sin (π - x) = \sin x$ signifie que deux abscisses symétriques par rapport à $\frac{π}{2}$ ont la même image par sinus — l'arche de la sinusoïde au-dessus de $[0; π]$ est donc symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x = \frac{π}{2}$ .

Reste à décrire les variations. Suivons le point $M$ sur le cercle pendant que $x$ croît de $0$ à $π$ : le point part de $I$ et remonte le long du demi-cercle supérieur jusqu'au point opposé à $I$ . Son abscisse — le cosinus — ne fait que diminuer, de $1$ jusqu'à $- 1$ . Son ordonnée — le sinus — commence par augmenter, de $0$ jusqu'au maximum $1$ atteint en $J$ pour $x = \frac{π}{2}$ , puis redescend jusqu'à $0$ .

Propriété

Variations sur $[0; π]$ . La fonction cosinus est décroissante sur $[0; π]$ . La fonction sinus est croissante sur $[0; \frac{π}{2}]$ puis décroissante sur $[\frac{π}{2}; π]$ .

x

0

\pi

\cos x

1

-1

x

0

\dfrac{\pi}{2}

\pi

\sin x

0

1

0

Sur $[- π; 0]$ , inutile de refaire l'étude : la parité s'en charge. La courbe du cosinus étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, le cosinus est croissant sur $[- π; 0]$ (image miroir de sa décroissance sur $[0; π]$ ). La courbe du sinus étant symétrique par rapport à l'origine, le sinus est décroissant sur $[- π; - \frac{π}{2}]$ puis croissant sur $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ . D'où les tableaux de variations complets sur $[- π; π]$ :

x

-\pi

0

\pi

\cos x

-1

1

-1

x

-\pi

-\dfrac{\pi}{2}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

\sin x

0

-1

1

0

Ces tableaux résument tout le comportement des deux fonctions : sur $[- π; π]$ , le cosinus atteint son maximum $1$ en $0$ et son minimum $- 1$ aux deux bords, tandis que le sinus atteint son maximum $1$ en $\frac{π}{2}$ et son minimum $- 1$ en $- \frac{π}{2}$ . La périodicité reproduit ensuite ces extremums tous les $2 π$ . Dernière observation sur la figure : la courbe du sinus semble être celle du cosinus décalée de $\frac{π}{2}$ vers la droite — c'est exact, et c'est la relation d'angles associés $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ qui le traduit. Les deux sinusoïdes ont la même forme ; seule leur position horizontale diffère. Cette idée de « sinusoïde décalée » est précisément le sujet de la dernière section.

Signaux sinusoïdaux

Revenons à la physique. Une tension alternative, un signal sonore pur, la vibration d'une structure : toutes ces grandeurs évoluent au cours du temps $t$ selon une même famille de fonctions, obtenues à partir du cosinus (ou du sinus) en réglant trois paramètres — la hauteur des oscillations, leur rapidité, et leur décalage temporel.

Définition

Signal sinusoïdal. Un signal sinusoïdal est une fonction de la forme $t \mapsto A \cos (ω t + φ) ou t \mapsto A \sin (ω t + φ)$ où $A$ , $ω$ et $φ$ sont des constantes réelles ( $A \neq 0$ , $ω > 0$ ). Dans cette écriture :

$∣ A ∣$ est l'amplitude du signal : la valeur maximale atteinte ; le signal oscille entre $- ∣ A ∣$ et $∣ A ∣$ ;
$ω$ est la pulsation, exprimée en radians par seconde (rad/s) lorsque $t$ est en secondes ;
la quantité $ω t + φ$ est la phase instantanée du signal à l'instant $t$ ;
$φ$ est la phase à l'origine : la valeur de la phase instantanée à l'instant $t = 0$ .

Interprétons ces paramètres sur le cercle trigonométrique. Imaginons un point qui tourne sur le cercle à vitesse constante de $ω$ radians par seconde : à l'instant $t$ , il a tourné de $ω t$ radians depuis sa position de départ, laquelle est repérée par l'angle $φ$ . L'angle qui le repère à l'instant $t$ est donc la phase instantanée $ω t + φ$ , et le signal $A \cos (ω t + φ)$ est, à un facteur $A$ près, l'abscisse de ce point tournant. Un signal sinusoïdal, c'est très exactement la projection d'un mouvement de rotation uniforme — voilà pourquoi les alternateurs, qui produisent l'électricité en faisant tourner des bobines, délivrent des tensions sinusoïdales.

Le point tournant met un certain temps $T$ à faire un tour complet, c'est-à-dire à parcourir $2 π$ radians à la vitesse $ω$ : ce temps vaut $T = \frac{2 π}{ω}$ , et au bout de ce temps le signal reprend exactement les mêmes valeurs.

Propriété

Période et fréquence. Le signal $t \mapsto A \cos (ω t + φ)$ est périodique de période $T = \frac{2 π}{ω}$ exprimée en secondes lorsque $ω$ est en rad/s. En effet, remplacer $t$ par $t + T$ augmente la phase instantanée de $ω T = 2 π$ , ce qui ne change pas la valeur du cosinus : $A \cos (ω (t + T) + φ) = A \cos (ω t + φ + 2 π) = A \cos (ω t + φ)$ . Le nombre de périodes par seconde est la fréquence $f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}$ exprimée en hertz (Hz). Le même résultat vaut pour $t \mapsto A \sin (ω t + φ)$ .

La courbe d'un signal sinusoïdal est une sinusoïde, déformée et déplacée par les trois paramètres : l'amplitude $∣ A ∣$ l'étire verticalement, la pulsation $ω$ la comprime horizontalement (plus $ω$ est grand, plus la période $T$ est courte et plus les oscillations sont serrées), et la phase à l'origine $φ$ la décale horizontalement. Étudions un exemple complet.

Exemple

Étude du signal $s (t) = 3 \cos (π t)$ . Ce signal, représenté ci-dessous sur l'intervalle $[0; 4]$ (en secondes), s'écrit sous la forme $A \cos (ω t + φ)$ avec $A = 3$ , $ω = π$ rad/s et $φ = 0$ .

Son amplitude vaut $3$ : le signal oscille entre $- 3$ et $3$ , valeurs atteintes mais jamais dépassées.
Sa période vaut $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{π} = 2$ s : le motif se reproduit toutes les $2$ secondes, ce que la courbe confirme.
Sa fréquence vaut $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0,5$ Hz : une demi-oscillation complète par seconde.
Sa phase à l'origine est $φ = 0$ : à $t = 0$ , la phase instantanée $π t$ vaut $0$ , et le signal démarre à son maximum $s (0) = 3 \cos 0 = 3$ .

Quelques valeurs se calculent avec les valeurs remarquables : $s ⁣ (\frac{1}{3}) = 3 \cos \frac{π}{3} = 3 \times \frac{1}{2} = 1,5$ , puis $s (1) = 3 \cos π = - 3$ (le minimum, atteint au bout d'une demi-période) et $s (2) = 3 \cos (2 π) = 3$ : au bout d'une période complète, le signal est revenu à son maximum de départ.

Courbe du signal s(t) égal 3 cosinus de pi t sur l'intervalle de 0 à 4 secondes, avec les droites en pointillés marquant l'amplitude entre moins 3 et 3 et la période T égale à 2 secondes annotée entre deux maximums

En pratique — sur un écran d'oscilloscope par exemple — on fait souvent le chemin inverse : on dispose de la courbe d'un signal et on cherche à retrouver ses caractéristiques. Deux lectures graphiques suffisent.

Méthode

Lire l'amplitude et la période sur une courbe, en déduire $ω$ et $f$ .

Amplitude : lire la valeur maximale du signal sur l'axe des ordonnées (les oscillations sont comprises entre $- ∣ A ∣$ et $∣ A ∣$ , symétriques autour de $0$ ) ; ce maximum est l'amplitude $∣ A ∣$ .
Période : mesurer sur l'axe des abscisses la durée $T$ entre deux maximums consécutifs (ou deux minimums consécutifs, ou tout motif qui se répète) ; c'est la période.
En déduire la pulsation $ω = \frac{2 π}{T}$ et la fréquence $f = \frac{1}{T}$ .

Exemple

Une tension alternative. Sur l'écran d'un oscilloscope, une tension $u (t) = U \cos (ω t + φ)$ oscille entre $- 325$ V et $325$ V, et deux maximums consécutifs sont séparés de $0,02$ s. On lit directement l'amplitude $U = 325$ V et la période $T = 0,02$ s. On en déduit la fréquence $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,02} = 50$ Hz et la pulsation $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0,02} = 100 π \approx 314$ rad/s. Ce sont les caractéristiques de la tension du secteur en France : $50$ oscillations par seconde, avec des pointes à $325$ V (la valeur « $230$ V » indiquée sur les appareils est une valeur moyenne appelée valeur efficace, étudiée en physique).

Le vocabulaire de ce chapitre — amplitude, période, fréquence, pulsation, phase instantanée, phase à l'origine — est exactement celui du cours de physique-chimie sur les signaux et les ondes : c'est le même objet mathématique qui décrit une tension alternative, une onde sonore ou une vibration mécanique. La trigonométrie construite pas à pas depuis le cercle unité fournit ainsi le langage commun de tous les phénomènes oscillants.

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