1ʳᵉ spé · Chapitre 06 · Analyse

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, radian, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables, angles associés (l'étude des fonctions sin et cos est vue en terminale).

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Cercle trigonométrique
Radian
Cosinus et sinus d'un réel
Valeurs remarquables
Angles associés (l'étude des fonctions sin et cos est vue en terminale)

La trigonométrie est née du ciel. Pour prédire les éclipses et dresser des cartes du monde, les astronomes de Babylone puis de la Grèce antique — Hipparque au IIe siècle avant notre ère, Ptolémée trois siècles plus tard — dressaient de longues tables de cordes : à chaque angle au centre d'un cercle, ils associaient la longueur de la corde qu'il découpe. Ces tables, transmises et raffinées par les mathématiciens indiens puis arabes, ont donné naissance à nos sinus et cosinus, et servi pendant des siècles autant à l'astronomie qu'à l'arpentage et à la navigation. Au collège, ces deux mots désignaient des rapports de longueurs dans un triangle rectangle — ce qui limite les angles à l'intervalle entre $0$ et $90$ degrés. Ce chapitre lève cette limite : en enroulant la droite des nombres réels autour d'un cercle de rayon $1$ , on donnera un cosinus et un sinus à tout nombre réel, positif ou négatif, aussi grand soit-il. Le fil conducteur est le cercle lui-même : toutes les définitions, toutes les formules et toutes les résolutions d'équations de ce chapitre se lisent dessus.

Le cercle trigonométrique

Tout commence par le choix d'un cercle particulier, qui servira de décor à l'ensemble du chapitre.

Définition

Cercle trigonométrique. Dans un repère orthonormé $(O; I, J)$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ .

On l'oriente en choisissant un sens de parcours positif, appelé sens direct : le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect (ou sens négatif).

Le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé, avec le point I sur l'axe des abscisses, le point J sur l'axe des ordonnées, et une flèche indiquant le sens direct, inverse des aiguilles d'une montre

Le point $I (1; 0)$ jouera un rôle privilégié : c'est le point de départ de tous les parcours sur le cercle. Un déplacement le long du cercle dans le sens direct sera compté positivement, un déplacement dans le sens indirect négativement — exactement comme sur une droite graduée, où l'on compte positivement vers la droite et négativement vers la gauche.

Remarque

Le choix du sens direct peut sembler arbitraire — pourquoi contrarier les aiguilles des montres ? C'est une pure convention, universellement adoptée, et il faut la respecter scrupuleusement : tout ce qui suit (signe des angles, formules des angles associés…) en dépend. Un moyen de la retenir : dans le sens direct, on part de $I$ vers le haut, du côté des ordonnées positives.

Longueur d'arc et radian

Depuis les Babyloniens, on mesure les angles en degrés : un tour complet vaut $360$ degrés. Ce nombre $360$ , hérité de leur système de numération, n'a rien de mathématiquement naturel. Le cercle trigonométrique suggère une unité bien plus intrinsèque : mesurer un angle au centre par la longueur de l'arc qu'il découpe sur le cercle de rayon $1$ .

Définition

Le radian. Le radian (symbole rad) est la mesure d'un angle au centre qui intercepte, sur le cercle trigonométrique, un arc de longueur $1$ .

Plus généralement, la mesure en radians d'un angle au centre est égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle de rayon $1$ .

Le cercle trigonométrique a pour rayon $1$ , donc pour périmètre $2 π \times 1 = 2 π$ : un tour complet mesure $2 π$ radians, soit $360$ degrés. Un demi-tour mesure $π$ radians, soit $180$ degrés ; un quart de tour, $\frac{π}{2}$ radians, soit $90$ degrés.

Propriété

Conversion degrés–radians. La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés, avec la correspondance

180 degr \overset{ˊ}{e} s ⟷ π radians .

Pour convertir, on utilise donc un simple tableau de proportionnalité.

Voici les correspondances à connaître par cœur — elles reviendront sans cesse dans le chapitre :

Degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$360$
Radians	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$2 π$

Exemple

Deux conversions par proportionnalité.

Convertissons $120$ degrés en radians. Par proportionnalité : $120 \times \frac{π}{180} = \frac{120 π}{180} = \frac{2 π}{3}$ . Donc $120$ degrés $= \frac{2 π}{3}$ rad. On pouvait aussi le voir directement : $120 = 2 \times 60$ , donc $120$ degrés valent $2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ rad.
Convertissons $\frac{5 π}{6}$ rad en degrés : $\frac{5 π}{6} \times \frac{180}{π} = \frac{5 \times 180}{6} = 150$ . Donc $\frac{5 π}{6}$ rad $= 150$ degrés.

Le radian a un autre mérite : il rend la formule de la longueur d'arc d'une simplicité désarmante, quel que soit le rayon du cercle.

Propriété

Longueur d'un arc de cercle. Sur un cercle de rayon $R$ , un angle au centre de mesure $α$ radians (avec $0 ⩽ α ⩽ 2 π$ ) intercepte un arc de longueur

L = R α .

En particulier, sur le cercle trigonométrique ( $R = 1$ ) : la longueur de l'arc est égale à la mesure de l'angle en radians.

En effet, la longueur d'arc est proportionnelle à l'angle au centre : l'angle plein $2 π$ donne le périmètre entier $2 π R$ , donc l'angle $α$ donne $\frac{α}{2 π} \times 2 π R = R α$ . C'est précisément pour obtenir cette formule sans coefficient parasite que le radian a été inventé : en degrés, la même longueur s'écrirait $L = \frac{π R α}{180}$ , nettement moins mémorable.

Exemple

Sur un cercle de rayon $R = 3$ cm, un angle au centre de $\frac{π}{4}$ rad (c'est-à-dire $45$ degrés) intercepte un arc de longueur $L = 3 \times \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ cm, soit environ $2,36$ cm.

Convention. À partir de maintenant, et sauf mention contraire, tous les angles de ce chapitre sont mesurés en radians. Quand on écrit « l'angle $\frac{π}{3}$ », le mot « radian » est sous-entendu.

Enroulement de la droite des réels

Voici l'idée centrale du chapitre. Imaginons la droite des nombres réels comme un fil gradué, tangent au cercle trigonométrique au point $I (1; 0)$ , le zéro du fil posé sur $I$ , le fil dressé verticalement. Enroulons ce fil autour du cercle sans le tendre ni le détendre : la demi-droite des réels positifs s'enroule dans le sens direct, la demi-droite des réels négatifs dans le sens indirect. Chaque graduation du fil vient alors se poser sur un point précis du cercle.

Enroulement de la droite des réels, tangente au cercle trigonométrique en I, autour du cercle : les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les réels négatifs dans le sens indirect, et chaque réel x vient se poser sur son point image M(x)

Définition

Image d'un nombre réel. À tout nombre réel $x$ , l'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique associe un unique point $M$ du cercle, appelé point image de $x$ et noté $M (x)$ .

Concrètement : $M (x)$ est le point obtenu en parcourant, à partir de $I$ , un trajet de longueur $∣ x ∣$ le long du cercle — dans le sens direct si $x ⩾ 0$ , dans le sens indirect si $x < 0$ .

Exemple

Quelques points images à connaître. Le cercle a pour périmètre $2 π$ , un demi-tour vaut $π$ , un quart de tour vaut $\frac{π}{2}$ .

$M (0) = I$ : le réel $0$ ne bouge pas du point de départ.
$M ⁣ (\frac{π}{2}) = J (0; 1)$ : un quart de tour dans le sens direct.
$M (π) = I^{'} (- 1; 0)$ : un demi-tour.
$M ⁣ (- \frac{π}{2}) = J^{'} (0; - 1)$ : un quart de tour dans le sens indirect.
$M (2 π) = I$ : un tour complet ramène au point de départ.

Ce dernier exemple révèle le phénomène clé de l'enroulement : le fil est infini, le cercle ne l'est pas, donc le fil repasse indéfiniment sur les mêmes points. L'application $x \mapsto M (x)$ n'est pas injective : des réels différents peuvent avoir le même point image.

Propriété

Réels associés au même point. Deux réels $x$ et $y$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si, et seulement si, leur différence est un multiple entier de $2 π$ :

M (x) = M (y) ⟺ y = x + 2 k π avec k \in Z .

Autrement dit, les réels dont l'image est le point $M (x)$ sont exactement les nombres $x + 2 k π$ , où $k$ décrit $Z$ .

C'est une conséquence directe de la géométrie : ajouter $2 π$ au réel $x$ , c'est prolonger le trajet d'un tour complet de cercle, ce qui ramène exactement au même point ; ajouter $2 k π$ , c'est ajouter $k$ tours complets (dans le sens direct si $k > 0$ , indirect si $k < 0$ ). Ainsi $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{3} + 2 π = \frac{7 π}{3}$ et $\frac{π}{3} - 2 π = - \frac{5 π}{3}$ pointent tous les trois vers le même point du cercle.

Parmi cette infinité de réels associés à un même point, on en distingue un, le plus « économique » : celui qui correspond au trajet le plus court depuis $I$ .

Définition

Mesure principale. Parmi tous les réels $x + 2 k π$ ( $k \in Z$ ) associés à un même point $M$ du cercle trigonométrique, un et un seul appartient à l'intervalle $] - π; π]$ : on l'appelle la mesure principale associée au point $M$ .

L'existence et l'unicité se comprennent bien sur le cercle : les réels de $] - π; π]$ suffisent à atteindre chaque point du cercle exactement une fois (moins d'un demi-tour dans un sens ou dans l'autre, le demi-tour lui-même étant attribué par convention au sens direct, d'où la borne $π$ incluse et la borne $- π$ exclue).

Méthode

Trouver la mesure principale d'un réel $x$ .

Ajouter ou retrancher $2 π$ à $x$ , autant de fois que nécessaire, jusqu'à obtenir un réel dans $] - π; π]$ . En pratique, avec des multiples de $π$ , on met tout au même dénominateur : $2 π = \frac{8 π}{4} = \frac{6 π}{3} = \frac{12 π}{6}$ …
Si $x$ est grand, gagner du temps en retranchant d'un coup un multiple de $2 π$ bien choisi : encadrer $x$ entre deux multiples de $2 π$ pour trouver le bon $k$ .
Contrôler que le résultat appartient bien à $] - π; π]$ : strictement supérieur à $- π$ , inférieur ou égal à $π$ .

Exemple

Trois mesures principales.

Mesure principale de $\frac{17 π}{4}$ . Comme $2 π = \frac{8 π}{4}$ , retranchons deux tours : $\frac{17 π}{4} - 2 \times \frac{8 π}{4} = \frac{17 π - 16 π}{4} = \frac{π}{4}$ . Or $\frac{π}{4} \in] - π; π]$ : la mesure principale est $\frac{π}{4}$ .
Mesure principale de $- \frac{7 π}{3}$ . Comme $2 π = \frac{6 π}{3}$ , ajoutons un tour : $- \frac{7 π}{3} + \frac{6 π}{3} = - \frac{π}{3}$ . Or $- \frac{π}{3} \in] - π; π]$ : c'est la mesure principale.
Attention à la borne. La mesure principale de $3 π$ n'est pas $- π$ mais $π$ : en effet $3 π - 2 π = π$ , et $π$ appartient à $] - π; π]$ alors que $- π$ en est exclu.

Cosinus et sinus d'un nombre réel

L'enroulement associe à chaque réel $x$ un point $M (x)$ du cercle. Ce point, comme tout point du plan, possède deux coordonnées : ce sont elles qui définissent le cosinus et le sinus.

Définition

Cosinus et sinus. Soit $x$ un nombre réel et $M (x)$ son point image sur le cercle trigonométrique. On appelle :

cosinus de $x$ , noté $\cos x$ , l'abscisse du point $M (x)$ ;
sinus de $x$ , noté $\sin x$ , l'ordonnée du point $M (x)$ .

Ainsi, dans le repère $(O; I, J)$ , le point image a pour coordonnées $M (x) = (\cos x; \sin x)$ .

Le cercle trigonométrique avec un point M image d'un réel x : le cosinus de x se lit en abscisse sur l'axe horizontal, le sinus de x se lit en ordonnée sur l'axe vertical

Cette définition donne un sens à $\cos x$ et $\sin x$ pour tout réel $x$ : $\cos 100$ , $\sin (- 7)$ , $\cos ⁣ (\frac{2026 π}{3})$ existent, alors que le triangle rectangle du collège ne savait parler que des angles aigus. Encore faut-il vérifier que la nouvelle définition ne contredit pas l'ancienne.

Remarque

Cohérence avec le triangle rectangle du collège. Soit $x \in] 0; \frac{π}{2} [$ et $M = M (x)$ , situé dans le premier quart du cercle. Notons $H$ le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$ . Le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ , son hypoténuse $O M$ vaut $1$ (rayon du cercle), et l'angle $\hat{H O M}$ mesure $x$ radians. Les définitions de troisième donnent alors

\cos \hat{H O M} = \frac{O H}{O M} = \frac{O H}{1} = O H et \sin \hat{H O M} = \frac{H M}{O M} = H M .

Or $O H$ est l'abscisse de $M$ et $H M$ son ordonnée : on retrouve exactement $\cos x$ et $\sin x$ au sens de la nouvelle définition. Les deux points de vue coïncident sur les angles aigus ; le cercle ne fait qu'étendre le triangle rectangle à tous les réels.

Trois propriétés découlent immédiatement de la définition — la troisième est l'identité la plus célèbre de toute la trigonométrie.

Propriété

Premières propriétés. Pour tout réel $x$ :

$- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ ;
$\cos (x + 2 π) = \cos x$ et $\sin (x + 2 π) = \sin x$ ;
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ (où $\cos^{2} x$ désigne $(\cos x)^{2}$ ).

Démonstration.

Le point $M (x)$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ : son abscisse et son ordonnée sont donc comprises entre $- 1$ et $1$ .
Les réels $x$ et $x + 2 π$ ont le même point image (un tour complet de plus) : mêmes coordonnées, donc même cosinus et même sinus.
Le point $M (x)$ est à distance $1$ de l'origine, donc $O M^{2} = 1$ . Or, d'après le théorème de Pythagore appliqué dans le repère orthonormé (c'est la formule de la distance vue en seconde), $O M^{2} = (\cos x)^{2} + (\sin x)^{2}$ . D'où $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ . $□$

La propriété 2 traduit simplement l'enroulement : après un tour complet, on retrouve le même point, donc les mêmes coordonnées. Elle vaut plus généralement pour tout multiple de $2 π$ : $\cos (x + 2 k π) = \cos x$ et $\sin (x + 2 k π) = \sin x$ pour tout $k \in Z$ .

Exemple

Utiliser la relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ . Soit $x \in] \frac{π}{2}; π [$ un réel tel que $\sin x = \frac{5}{13}$ . Calculons $\cos x$ .

D'après la relation fondamentale, $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , donc $\cos x = \frac{12}{13}$ ou $\cos x = - \frac{12}{13}$ . Pour trancher, regardons le cercle : si $x \in] \frac{π}{2}; π [$ , le point $M (x)$ se trouve dans le deuxième quart du cercle, en haut à gauche — son abscisse est strictement négative. Donc

\cos x = - \frac{12}{13} .

Retenons la démarche : la relation fondamentale donne le cosinus au signe près, et c'est la position du point sur le cercle qui fixe le signe.

Valeurs remarquables

Pour la plupart des réels $x$ , les nombres $\cos x$ et $\sin x$ n'ont pas d'écriture exacte simple : la calculatrice n'en donne que des valeurs approchées. Mais pour une poignée de réels privilégiés, la géométrie fournit des valeurs exactes — et elles sont à connaître parfaitement.

Propriété

Valeurs remarquables.

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Un moyen mnémotechnique apprécié : la ligne des sinus se lit $\frac{\sqrt{0}}{2}$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{4}}{2}$ — les racines des entiers de $0$ à $4$ , toutes divisées par $2$ — et la ligne des cosinus est la même lue à l'envers. Ces valeurs se placent sur le cercle, où elles dessinent l'éventail suivant :

Le cercle trigonométrique avec les points images des valeurs remarquables et de leurs angles associés sur tout le cercle, chacun étiqueté par sa mesure principale

Les valeurs en $0$ et en $\frac{π}{2}$ sont immédiates : les points images sont $I (1; 0)$ et $J (0; 1)$ . Les autres se démontrent, et cette démonstration est un attendu du programme.

Propriété

Démonstration (exigible) : calcul de $\sin \frac{π}{4}$ , $\cos \frac{π}{3}$ et $\sin \frac{π}{3}$ .

Valeurs en $\frac{π}{4}$ — le demi-carré. Soit $M = M ⁣ (\frac{π}{4})$ et $H$ le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$ . L'angle $\frac{π}{4}$ vaut $45$ degrés : dans le triangle $O H M$ , rectangle en $H$ , les deux angles aigus valent $45$ degrés chacun ( $180 - 90 - 45 = 45$ ). Le triangle $O H M$ est donc isocèle rectangle en $H$ — c'est un demi-carré coupé selon sa diagonale, l'hypoténuse $O M = 1$ jouant le rôle de la diagonale. Ainsi $O H = H M$ , c'est-à-dire

\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4} .

Notons $c$ cette valeur commune, qui est strictement positive ( $M$ est dans le premier quart du cercle). La relation fondamentale donne $c^{2} + c^{2} = 1$ , soit $c^{2} = \frac{1}{2}$ , donc

c = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Conclusion : $\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Valeurs en $\frac{π}{3}$ — le triangle équilatéral coupé en deux. Soit $M = M ⁣ (\frac{π}{3})$ et $H$ le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$ . Considérons le triangle $O I M$ : ses côtés $O I$ et $O M$ sont deux rayons du cercle, donc $O I = O M = 1$ , et l'angle $\hat{I O M}$ vaut $\frac{π}{3}$ , c'est-à-dire $60$ degrés. Un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $60$ degrés a ses deux autres angles égaux à $\frac{180 - 60}{2} = 60$ degrés : le triangle $O I M$ est équilatéral, de côté $1$ .

Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est aussi médiane : la hauteur $(M H)$ issue de $M$ coupe donc le côté $[O I]$ en son milieu, si bien que

O H = \frac{O I}{2} = \frac{1}{2}, c’est- \overset{ˋ}{a} -dire \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .

Pour le sinus, la relation fondamentale donne

\sin^{2} \frac{π}{3} = 1 - \cos^{2} \frac{π}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4},

et comme $M$ est dans le premier quart du cercle, son ordonnée est positive :

\sin \frac{π}{3} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} . □

Remarque. Les valeurs en $\frac{π}{6}$ s'en déduisent sans nouveau calcul : les angles $\frac{π}{6}$ et $\frac{π}{3}$ sont complémentaires (leur somme vaut $\frac{π}{2}$ ), et nous verrons dans la section suivante que passer de $x$ à $\frac{π}{2} - x$ échange cosinus et sinus. D'où $\cos \frac{π}{6} = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{π}{6} = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Remarque

Un peu de culture : Archimède et le nombre $π$ . Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède encadra le périmètre du cercle entre ceux de deux polygones réguliers, l'un inscrit dans le cercle, l'autre circonscrit. En doublant le nombre de côtés jusqu'à $96$ , il obtint l'encadrement $\frac{223}{71} < π < \frac{22}{7}$ , soit environ $3,1408 < π < 3,1429$ — une précision remarquable, obtenue à la main. Sa méthode, entièrement algorithmique (chaque étape se déduit de la précédente par le même calcul), se programme aujourd'hui en quelques lignes et illustre bien le lien entre le cercle et le nombre $π$ qui gouverne tout ce chapitre.

Angles associés

Placer sur le cercle les points $M (x)$ et $M (- x)$ , puis $M (π - x)$ et $M (π + x)$ : une évidence saute aux yeux, ces quatre points se déduisent les uns des autres par les symétries naturelles du cercle. Comme le cosinus et le sinus sont des coordonnées, chaque symétrie se traduit immédiatement en formules.

Le cercle trigonométrique avec le point M(x) et ses trois symétriques M(-x), M(pi - x) et M(pi + x), obtenus par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées et au centre O

Propriété

Angles associés. Pour tout réel $x$ :

Angle opposé $- x$ — symétrie par rapport à l'axe des abscisses :

\cos (- x) = \cos x et \sin (- x) = - \sin x .

Angle supplémentaire $π - x$ — symétrie par rapport à l'axe des ordonnées :

\cos (π - x) = - \cos x et \sin (π - x) = \sin x .

Angle $π + x$ — symétrie par rapport au centre $O$ :

\cos (π + x) = - \cos x et \sin (π + x) = - \sin x .

Angle complémentaire $\frac{π}{2} - x$ — symétrie par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation $y = x$ ), qui échange abscisse et ordonnée :

\cos ⁣ (\frac{π}{2} - x) = \sin x et \sin ⁣ (\frac{π}{2} - x) = \cos x .

Justification par les symétries. Chaque formule se lit sur la figure.

Les réels $x$ et $- x$ correspondent à des trajets de même longueur depuis $I$ , l'un dans le sens direct, l'autre dans le sens indirect : leurs points images sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Cette symétrie conserve l'abscisse et change l'ordonnée en son opposée, d'où les formules du premier point.
Le point $M (π - x)$ s'obtient en partant du point $I^{'} (- 1; 0)$ , image de $π$ , et en revenant en arrière d'une longueur $x$ : il est le symétrique de $M (x)$ par rapport à l'axe des ordonnées, symétrie qui change l'abscisse en son opposée et conserve l'ordonnée.
Le point $M (π + x)$ est diamétralement opposé à $M (x)$ (un demi-tour de plus) : la symétrie de centre $O$ change les deux coordonnées en leurs opposées.
Enfin, la symétrie par rapport à la première bissectrice échange les deux coordonnées d'un point ; elle envoie $M (x)$ sur $M ⁣ (\frac{π}{2} - x)$ , d'où l'échange du cosinus et du sinus.

Méthode

Retrouver les formules sur un dessin plutôt que les apprendre par cœur. Huit formules, avec des signes qui se ressemblent : le par-cœur est fragile. Le bon réflexe tient en trois gestes.

Tracer un petit cercle trigonométrique et y placer $M (x)$ avec un $x$ « générique » du premier quart (autour de $30$ degrés).
Placer le point associé demandé — $M (- x)$ , $M (π - x)$ … — grâce à la symétrie correspondante.
Lire les signes : le point associé a-t-il la même abscisse que $M (x)$ ou l'opposée ? La même ordonnée ou l'opposée ? Les formules s'écrivent alors toutes seules.

Dix secondes de dessin remplacent avantageusement une formule mal mémorisée — et le correcteur voit que la symétrie est comprise.

Exemple

Calculer des valeurs hors du premier quart de cercle. Les angles associés étendent le tableau des valeurs remarquables à tout le cercle.

$\cos \frac{2 π}{3}$ : on remarque que $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ . Donc $\cos \frac{2 π}{3} = \cos ⁣ (π - \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ .
$\sin ⁣ (- \frac{π}{4}) = - \sin \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ (angle opposé).
$\cos \frac{7 π}{6}$ : on remarque que $\frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ . Donc $\cos \frac{7 π}{6} = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\sin \frac{5 π}{4}$ : on écrit $\frac{5 π}{4} = π + \frac{π}{4}$ , donc $\sin \frac{5 π}{4} = - \sin \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

À chaque fois, la même stratégie : ramener l'angle à une valeur remarquable du premier quart de cercle au moyen d'un angle associé, puis ajuster le signe.

Trouver les réels d'un cosinus ou d'un sinus donné

Renversons maintenant la question. Jusqu'ici, on partait d'un réel $x$ et on calculait $\cos x$ ; on se donne désormais une valeur $a$ et on cherche tous les réels $x$ tels que $\cos x = a$ (ou $\sin x = a$ ). Au programme de première, cette recherche se mène par lecture du cercle, pour des valeurs remarquables de $a$ — aucune théorie générale n'est nécessaire.

L'idée géométrique est limpide : les points du cercle d'abscisse $a$ sont les points d'intersection du cercle avec la droite verticale d'équation $x = a$ . Si $- 1 < a < 1$ , cette droite coupe le cercle en exactement deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses — donc images de deux réels opposés. Pour le sinus, même raisonnement avec la droite horizontale d'équation $y = a$ , qui coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées — images de deux réels supplémentaires.

Méthode

Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ (avec $a$ valeur remarquable) par lecture du cercle.

Tracer le cercle trigonométrique et la droite correspondante : verticale d'équation $x = a$ pour un cosinus, horizontale d'équation $y = a$ pour un sinus.
Repérer les points d'intersection avec le cercle et identifier, grâce au tableau des valeurs remarquables et aux angles associés, la mesure principale de chacun (dans $] - π; π]$ ).
Conclure selon l'ensemble de résolution demandé : sur $] - π; π]$ , donner les mesures principales trouvées ; sur $R$ , ajouter $+ 2 k π$ ( $k \in Z$ ) à chacune, puisque tous les réels associés aux mêmes points conviennent.

Exemple

Résolvons $\cos x = \frac{1}{2}$ .

Sur $] - π; π]$ . Traçons la droite verticale d'équation $x = \frac{1}{2}$ : elle coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le point du haut est $M ⁣ (\frac{π}{3})$ , puisque $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ; le point du bas est son symétrique, donc $M ⁣ (- \frac{π}{3})$ — et en effet $\cos ⁣ (- \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ . Sur $] - π; π]$ , l'ensemble des solutions est donc

S = {- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}} .

Sur $R$ . Tous les réels ayant le même point image que $\frac{π}{3}$ ou que $- \frac{π}{3}$ conviennent aussi, et eux seuls :

x = \frac{π}{3} + 2 k π ou x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z .

Exemple

Résolvons $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Sur $] - π; π]$ . Traçons la droite horizontale d'équation $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : elle coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Le point de droite est $M ⁣ (\frac{π}{4})$ , puisque $\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; le point de gauche est son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire $M ⁣ (π - \frac{π}{4}) = M ⁣ (\frac{3 π}{4})$ — et en effet $\sin \frac{3 π}{4} = \sin \frac{π}{4}$ par la formule de l'angle supplémentaire. D'où

S = {\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}} .

Sur $R$ . Les solutions sont les réels

x = \frac{π}{4} + 2 k π ou x = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z .

Retenons la différence de géométrie entre les deux types d'équations : pour un cosinus, les deux solutions principales sont opposées ( $x$ et $- x$ , symétrie horizontale) ; pour un sinus, elles sont supplémentaires ( $x$ et $π - x$ , symétrie verticale).

Exemple

Deux cas particuliers à connaître.

$\cos x = 1$ . La droite verticale d'équation $x = 1$ ne touche le cercle qu'en un seul point, $I (1; 0)$ : c'est un cas limite. Sur $] - π; π]$ , l'unique solution est $x = 0$ ; sur $R$ , les solutions sont les $x = 2 k π$ , $k \in Z$ .
$\sin x = - 1$ . La droite horizontale d'équation $y = - 1$ ne touche le cercle qu'au point $J^{'} (0; - 1)$ . Sur $] - π; π]$ , l'unique solution est $x = - \frac{π}{2}$ ; sur $R$ , les solutions sont les $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ , $k \in Z$ .

Et si $a > 1$ ou $a < - 1$ ? La droite ne rencontre pas le cercle : les équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$ n'ont aucune solution — ce que confirmaient déjà les encadrements $- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ .

En résumé : tout ce chapitre tient sur un cercle de rayon $1$ . L'enroulement de la droite des réels y donne à chaque nombre un point image, dont les coordonnées définissent le cosinus et le sinus ; la relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ dit que ce point reste sur le cercle ; les valeurs remarquables se démontrent avec un demi-carré et un triangle équilatéral ; les angles associés sont des symétries ; et résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ , c'est couper le cercle par une droite. Ce point de vue géométrique est le socle de la suite : en classe de terminale, $\cos$ et $\sin$ seront étudiés comme de véritables fonctions de la variable réelle, avec leurs courbes, leurs variations et leurs dérivées — et le cercle de ce chapitre restera la clé qui explique tout leur comportement.

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