Calcul vectoriel et produit scalaire

Les vecteurs de seconde savent additionner des déplacements, repérer des points, traduire un alignement ou un parallélisme. Mais ils restent muets sur deux questions pourtant essentielles en géométrie : quelle est la mesure d'un angle ? deux droites sont-elles perpendiculaires ? Le produit scalaire, introduit dans ce chapitre, comble ce manque. C'est une opération qui, à deux vecteurs, associe un nombre réel (un « scalaire », d'où son nom), et ce nombre encode à la fois des informations de longueur et des informations d'angle. Grâce à lui, démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur devient un calcul, souvent plus rapide et plus sûr qu'un raisonnement géométrique direct. L'outil est si efficace qu'il est au cœur de la physique (travail d'une force) et qu'il vous suivra bien au-delà de la première.

Deux définitions du produit scalaire

Il existe plusieurs manières équivalentes de définir le produit scalaire. Nous en donnons deux dans cette section : l'une géométrique, par projection orthogonale, l'autre trigonométrique, par le cosinus de l'angle. Chacune deviendra une méthode de calcul à part entière.

Définition par projection orthogonale

Commençons par la définition la plus visuelle. Étant donné trois points $A$, $B$ et $C$ avec $A\mathrm{\ne }B$, on peut projeter le point $C$ orthogonalement sur la droite $(AB)$ : le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le point $H$ de la droite $(AB)$ tel que $(CH)\perp (AB)$ (si $C$ est déjà sur la droite, alors $H=C$).

Autrement dit, on « écrase » le vecteur $\overrightarrow{AC}$ sur la direction de $\overrightarrow{AB}$, et on multiplie les longueurs, avec un signe qui dit si la projection pointe dans le même sens que $\overrightarrow{AB}$ ou non. On admet que le résultat ne dépend pas des points $A$, $B$, $C$ choisis pour représenter $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : le produit scalaire est bien une opération sur les vecteurs eux-mêmes.

Définition par le cosinus

La seconde définition fait intervenir l'angle entre les deux vecteurs. Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on note $(\vec{u};\vec{v})$ l'angle qu'ils forment ; dans ce chapitre, seul son cosinus intervient, et l'on peut donc raisonner avec la mesure géométrique de l'angle, comprise dans $[0;\pi ]$.

Vérifions que les deux définitions donnent bien le même nombre. Plaçons-nous dans le cas où l'angle $\alpha =(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ est aigu. Dans le triangle $ACH$, rectangle en $H$, le cosinus vu au collège donne $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AH}{AC}}$, c'est-à-dire $AH=AC\cos \alpha$. Comme l'angle est aigu, $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens, et la première définition donne :

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH=AB\times AC\cos \alpha =\parallel \overrightarrow{AB}\parallel \times \parallel \overrightarrow{AC}\parallel \times \cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\mathrm{.}$$

On retrouve la seconde définition. Si l'angle est obtus, son cosinus est négatif, et $H$ se trouve de l'autre côté de $A$ : le signe « moins » de la projection correspond exactement au signe du cosinus. Si l'angle est droit, $H=A$ et $\cos \alpha =0$ : les deux définitions donnent $0$. Les deux points de vue coïncident donc dans tous les cas.

Retenons au passage la lecture du signe : le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est positif lorsque l'angle est aigu, négatif lorsque l'angle est obtus, nul lorsque l'angle est droit.

Le carré scalaire

Que vaut le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même ? Si $\vec{u}\mathrm{\ne }\vec{0}$, l'angle $(\vec{u};\vec{u})$ est nul et son cosinus vaut $1$, donc $\vec{u}\cdot \vec{u}=\parallel \vec{u}\parallel \times \parallel \vec{u}\parallel \times 1=\parallel \vec{u}{\parallel }^2$. Et si $\vec{u}=\vec{0}$, les deux membres sont nuls.

Cette égalité, toute simple, est la clé de voûte du chapitre : c'est elle qui permettra de convertir des longueurs en produits scalaires et réciproquement, notamment dans la formule d'Al-Kashi.

Caractérisation de l'orthogonalité

Nous avons observé que le produit scalaire de deux vecteurs non nuls s'annule exactement lorsque l'angle qu'ils forment est droit. C'est cette propriété qui fait du produit scalaire l'outil roi pour les questions de perpendicularité, et elle mérite une définition en bonne et due forme.

Pour deux vecteurs non nuls, cette définition coïncide avec l'intuition : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}\parallel \parallel \vec{v}\parallel \cos (\vec{u};\vec{v})$ est nul si et seulement si $\cos (\vec{u};\vec{v})=0$, c'est-à-dire si et seulement si l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ est droit. En termes de points : pour $A$, $B$, $C$, $D$ avec $A\mathrm{\ne }B$ et $C\mathrm{\ne }D$, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$.

La force de cette caractérisation apparaîtra pleinement dans la section suivante : une fois muni de coordonnées, « démontrer une perpendicularité » se réduira à vérifier qu'un calcul donne zéro.

Propriétés : symétrie et bilinéarité

Le produit scalaire porte bien son nom de « produit » : il se comporte, vis-à-vis de l'addition des vecteurs et de la multiplication par un réel, comme le produit des nombres vis-à-vis de l'addition. Les propriétés suivantes, que l'on admet, autorisent tous les développements et factorisations habituels.

Par symétrie, les règles valent aussi « à gauche » : $(\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot \vec{w}+\vec{v}\cdot \vec{w}$ et $\vec{u}\cdot (k\vec{v})=k(\vec{u}\cdot \vec{v})$. En pratique, on développe un produit scalaire de sommes exactement comme un produit de sommes de nombres, en distribuant terme à terme. Une seule vigilance : le résultat d'un produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. On ne peut donc pas « enchaîner » les produits scalaires, et une écriture comme $\vec{u}\cdot \vec{v}\cdot \vec{w}$ n'a pas de sens.

En base orthonormée

Munissons maintenant le plan d'un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ : les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux et de norme $1$. On dit que $(\vec{i};\vec{j})$ est une base orthonormée. Dans ce cadre, le produit scalaire admet une expression remarquablement simple à partir des coordonnées.

Démonstration. Les vecteurs de la base vérifient $\vec{i}\cdot \vec{i}=\parallel \vec{i}{\parallel }^2=1$, $\vec{j}\cdot \vec{j}=\parallel \vec{j}{\parallel }^2=1$ et $\vec{i}\cdot \vec{j}=0$ (vecteurs orthogonaux). Par définition des coordonnées, $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ et $\vec{v}=x^{\mathrm{\prime }}\vec{i}+y^{\mathrm{\prime }}\vec{j}$. En développant par bilinéarité :

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=(x\vec{i}+y\vec{j})\cdot (x^{\mathrm{\prime }}\vec{i}+y^{\mathrm{\prime }}\vec{j})=x{x}^{\mathrm{\prime }}\vec{i}\cdot \vec{i}+x{y}^{\mathrm{\prime }}\vec{i}\cdot \vec{j}+y{x}^{\mathrm{\prime }}\vec{j}\cdot \vec{i}+y{y}^{\mathrm{\prime }}\vec{j}\cdot \vec{j}$$

soit $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}\times 1+x{y}^{\mathrm{\prime }}\times 0+y{x}^{\mathrm{\prime }}\times 0+y{y}^{\mathrm{\prime }}\times 1=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Deux conséquences immédiates, en appliquant la formule à $\vec{v}=\vec{u}$ puis en traduisant l'orthogonalité :

On retrouve les formules de norme et de distance vues en seconde : elles apparaissent maintenant comme des cas particuliers du produit scalaire, puisque $\parallel \vec{u}{\parallel }^2=\vec{u}\cdot \vec{u}=x\times x+y\times y=x^2+y^2$.

Le programme 2026 met en avant une lecture supplémentaire de ces formules, qui éclaire le rôle des vecteurs de la base.

En effet, $\vec{u}\cdot \vec{i}=x\times 1+y\times 0=x$ (le vecteur $\vec{i}$ a pour coordonnées $(1;0)$), et de même $\vec{u}\cdot \vec{j}=y$. Autrement dit, l'abscisse de $\vec{u}$ mesure « ce que $\vec{u}$ contient dans la direction de $\vec{i}$ » : c'est exactement l'idée de la projection orthogonale de la première section, appliquée aux axes du repère. Cette remarque, nouvelle dans le programme, prendra toute son importance dans les études ultérieures.

La formule du cosinus, lue à l'envers, permet alors de calculer un angle à partir des coordonnées.

Développement de normes

Que devient l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ dans le monde des vecteurs ? La bilinéarité permet de développer le carré scalaire d'une somme, et le résultat est frappant de ressemblance.

Démonstration. Le carré d'une norme est un carré scalaire : $\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})$. On développe par bilinéarité :

$$(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot \vec{u}+\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \vec{u}+\vec{v}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}{\parallel }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\parallel \vec{v}{\parallel }^2,$$

en utilisant la symétrie ($\vec{v}\cdot \vec{u}=\vec{u}\cdot \vec{v}$). Pour la seconde formule, on remplace $\vec{v}$ par $-\vec{v}$ : la norme de $-\vec{v}$ est celle de $\vec{v}$, et $\vec{u}\cdot (-\vec{v})=-\vec{u}\cdot \vec{v}$, d'où le changement de signe du double produit. $\mathrm{\square }$

En isolant $\vec{u}\cdot \vec{v}$ dans ces égalités, on obtient les identités de polarisation : elles expriment le produit scalaire uniquement à l'aide de normes, sans angle ni coordonnées.

C'est une quatrième méthode de calcul : si l'on connaît les trois longueurs d'un triangle, on connaît tous les produits scalaires entre ses côtés, sans avoir besoin du moindre angle.

Nous disposons désormais de quatre méthodes pour calculer un produit scalaire. Savoir choisir la bonne selon les données de l'énoncé est une capacité attendue du programme : c'est l'objet du tableau suivant.

Formule d'Al-Kashi

Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Que devient cette relation dans un triangle quelconque ? La réponse est la formule d'Al-Kashi (mathématicien persan du XVe siècle), parfois appelée « théorème de Pythagore généralisé » : un terme correctif, proportionnel au cosinus de l'angle, vient compléter l'égalité.

Convenons des notations usuelles dans un triangle $ABC$ : on pose $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$ (chaque côté porte la lettre minuscule du sommet opposé), et on note $\widehat{A}=\widehat{BAC}$ l'angle au sommet $A$.

Démonstration (exigible). L'idée est d'écrire le côté $[BC]$ comme une différence de vecteurs issus de $A$, puis de développer le carré de la norme. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Donc :

$$a^2=B{C}^2=\parallel \overrightarrow{BC}{\parallel }^2=\parallel \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\parallel }^2\mathrm{.}$$

D'après le développement de $\parallel \vec{u}-\vec{v}{\parallel }^2$ (avec $\vec{u}=\overrightarrow{AC}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$) :

$$a^2=\parallel \overrightarrow{AC}{\parallel }^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+\parallel \overrightarrow{AB}{\parallel }^2=A{C}^2+A{B}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$

Or, par la définition avec le cosinus, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=c\times b\times \cos \widehat{A}$. En remplaçant :

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Remarque. Si l'angle $\widehat{A}$ est droit, alors $\cos \widehat{A}=0$ et la formule devient $a^2=b^2+c^2$ : on retrouve exactement le théorème de Pythagore. La formule d'Al-Kashi le généralise donc à tous les triangles, le terme $-2bc\cos \widehat{A}$ mesurant « l'écart à l'angle droit » : il est négatif pour un angle aigu (le côté $a$ est plus court que ne le prédit Pythagore) et positif pour un angle obtus (le côté $a$ est plus long).

La formule s'utilise dans les deux sens : connaissant deux côtés et l'angle entre eux, on calcule le troisième côté ; connaissant les trois côtés, on calcule chaque angle.

Transformation de $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ et ensembles de points

Cette dernière section illustre la troisième capacité attendue du chapitre : utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique. Le problème type est le suivant : décrire l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant une condition portant sur $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$, où $A$ et $B$ sont deux points fixés. La difficulté est que les deux vecteurs dépendent du point mobile $M$ ; l'astuce, classique et féconde, consiste à faire apparaître un point fixe bien choisi, le milieu de $[AB]$, grâce à la relation de Chasles.

Démonstration. On insère le point $I$ dans chaque vecteur par la relation de Chasles : $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$. Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$, donc :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot (\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})\mathrm{.}$$

On reconnaît la forme $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})$, qui se développe par bilinéarité en $\vec{u}\cdot \vec{u}-\vec{v}\cdot \vec{v}$ (les doubles produits $-\vec{u}\cdot \vec{v}$ et $+\vec{v}\cdot \vec{u}$ se compensent par symétrie). Ainsi :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\parallel \overrightarrow{MI}{\parallel }^2-\parallel \overrightarrow{IA}{\parallel }^2=M{I}^2-I{A}^2\mathrm{.}$$

Enfin, $IA={\displaystyle \frac{AB}{2}}$ puisque $I$ est le milieu de $[AB]$, d'où $I{A}^2={\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}$. $\mathrm{\square }$

L'intérêt de cette transformation saute aux yeux : dans le membre de droite, la seule quantité qui dépend de $M$ est la distance $MI$ au point fixe $I$. Toute condition sur $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ se traduit donc en une condition sur $MI$, c'est-à-dire en un problème de distance à un point fixe : on est ramené à reconnaître un cercle. Le cas le plus important est celui de la condition $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

Démonstration (exigible). Notons $I$ le milieu de $[AB]$ et $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$, c'est-à-dire le cercle de centre $I$ et de rayon ${\displaystyle \frac{AB}{2}}$. Soit $M$ un point du plan. D'après la propriété précédente :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}\mathrm{.}$$

On raisonne alors par équivalences :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0⟺M{I}^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}=0⟺M{I}^2={\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}⟺MI={\displaystyle \frac{AB}{2}},$$

la dernière équivalence venant du fait que $MI$ et ${\displaystyle \frac{AB}{2}}$ sont des nombres positifs (deux nombres positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés le sont). Or $MI={\displaystyle \frac{AB}{2}}$ signifie exactement que $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon ${\displaystyle \frac{AB}{2}}$, c'est-à-dire à $\mathcal{C}$.

Chaque implication ayant été obtenue par équivalence, on a montré les deux sens : tout point vérifiant $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ est sur $\mathcal{C}$, et tout point de $\mathcal{C}$ vérifie $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. L'ensemble cherché est donc le cercle de diamètre $[AB]$. $\mathrm{\square }$

Remarque géométrique. Ce résultat redémontre un théorème du collège. Soit $M$ un point du cercle de diamètre $[AB]$, distinct de $A$ et de $B$. Alors $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ avec $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ non nuls : ces vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. On retrouve ainsi l'énoncé familier : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, et l'angle droit est au sommet opposé au diamètre. Réciproquement, si $AMB$ est rectangle en $M$, alors $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.

Plus généralement, la transformation $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}$ permet d'étudier les ensembles de points définis par $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=k$ pour un réel $k$ : la condition équivaut à $M{I}^2=k+{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}$, et l'ensemble est un cercle de centre $I$, le point $I$ seul, ou l'ensemble vide, selon le signe du membre de droite. C'est un bel exemple de la démarche générale de ce chapitre : le produit scalaire traduit une question géométrique en un calcul, et le calcul rend la réponse.

Ce chapitre a donc tenu sa promesse : angles, longueurs et perpendicularités se calculent désormais avec une seule opération. Le chapitre suivant de géométrie prolongera ce travail dans le plan repéré, en donnant des équations aux objets géométriques rencontrés ici.