Second degré

Résoudre une équation du second degré est l'un des plus vieux problèmes des mathématiques : il y a près de 4 000 ans, les scribes de Babylone savaient déjà en traiter des cas particuliers, et au IXe siècle le mathématicien Al-Khwârizmî en donna les premières méthodes générales — son traité d'al-jabr a d'ailleurs donné son nom à l'algèbre. Ce chapitre reprend cette longue histoire avec les acquis de la classe de seconde — la fonction carré, les identités remarquables, les tableaux de signes — et la mène à son terme : une méthode universelle, valable pour toutes les équations du second degré. Le fil conducteur est simple : une même fonction polynôme du second degré possède trois écritures — développée, canonique, factorisée — et chacune répond à une famille de questions. Savoir passer de l'une à l'autre, puis choisir la bonne forme pour la bonne question : voilà tout l'art du second degré.

La fonction polynôme du second degré

En seconde, l'étude des fonctions de référence a fait la part belle à la fonction carré $x\mapsto x^2$. Les fonctions de ce chapitre en sont les héritières directes : on ajoute simplement un terme en $x$ et un terme constant.

Remarques.

• La condition $a\mathrm{\ne }0$ est essentielle : sans terme en $x^2$, la fonction serait affine. En revanche, $b$ ou $c$ peuvent être nuls ; par extension, on parle encore de « trinôme » même lorsque l'expression n'a plus trois termes.
• « Peut s'écrire » : une fonction donnée sous une autre forme (un produit, une expression non réduite…) est du second degré dès lors que son développement réduit est de la forme $a{x}^2+bx+c$ avec $a\mathrm{\ne }0$. D'où l'importance de développer et réduire avant de conclure, comme le montre le dernier exemple ci-dessous.

Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Ce fait, admis pour l'instant, sera éclairé dans la section suivante : nous verrons que cette courbe se déduit de la parabole d'équation $y=a{x}^2$ par une simple translation. Le coefficient $a$ commande à lui seul l'allure de la courbe :

• son signe donne l'orientation : si $a>0$, la parabole est « tournée vers le haut » (ses branches montent) ; si $a<0$, elle est « tournée vers le bas » ;
• sa valeur absolue règle l'ouverture : plus $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ est grand, plus la parabole est resserrée autour de son axe ; plus $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ est petit, plus elle est évasée.

Ainsi, sur la figure ci-dessous, la parabole d'équation $y=2x^2$ est plus resserrée que celle d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$, toutes deux tournées vers le haut, tandis que celle d'équation $y=-x^2$ est tournée vers le bas.

La forme canonique

La forme développée réduite se prête bien au calcul des images — on remplace $x$ par une valeur — mais elle cache la géométrie de la parabole : où se trouve le sommet ? où la fonction change-t-elle de sens ? Pour répondre, il faut réécrire le trinôme. C'est le rôle de la forme canonique, dont l'unique ingrédient est une vieille connaissance de seconde : les identités remarquables.

En effet, $(x+a{)}^2=x^2+2ax+a^2$, donc $(x+a{)}^2-a^2=x^2+2ax$. Autrement dit, $x^2+2ax$ est « le début du carré » $(x+a{)}^2$ : pour le transformer en carré parfait, il suffit de retrancher $a^2$. Ici, $a$ désigne un réel quelconque — dans la pratique, ce sera la moitié du coefficient de $x$, à ne pas confondre avec le coefficient dominant du trinôme.

Ce qui vient d'être fait sur deux exemples est toujours possible : c'est le théorème suivant, que l'on admet dans le cas général.

Remarques.

• En remplaçant $x$ par $\alpha$ dans la forme canonique, on obtient $f(\alpha )=a\times 0+\beta =\beta$ : le nombre $\beta$ est bien l'image de $\alpha$, ce qui rend la formule $\beta =f(\alpha )$ naturelle.
• Le calcul de la forme canonique par ces formules générales n'est pas un attendu du programme : on privilégie la complétion du carré sur des cas simples, comme dans les exemples ci-dessus. La formule $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ reste néanmoins précieuse pour repérer rapidement l'abscisse du sommet.

Lecture graphique : une translation. Posons $g(x)=a{x}^2$, dont la courbe est une parabole de sommet l'origine. La forme canonique s'écrit $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta =g(x-\alpha )+\beta$ : l'ordonnée du point d'abscisse $x$ de la courbe de $f$ s'obtient en prenant l'ordonnée du point d'abscisse $x-\alpha$ de la parabole d'équation $y=a{x}^2$, puis en lui ajoutant $\beta$. D'après les translations de courbes vues en seconde, la courbe de $f$ est l'image de la parabole d'équation $y=a{x}^2$ par la translation qui amène l'origine sur le point $S(\alpha ;\beta )$.

Par exemple, la courbe d'équation $y=(x-2{)}^2$ — une forme canonique avec $a=1$, $\alpha =2$ et $\beta =0$ — est l'image de la parabole d'équation $y=x^2$ par la translation de $2$ unités vers la droite :

Au passage, ceci justifie l'affirmation de la section 1 : la courbe de toute fonction polynôme du second degré est bien une parabole, copie translatée de la parabole d'équation $y=a{x}^2$.

La symétrie se vérifie par un calcul direct : pour tout réel $h$, $f(\alpha +h)=a{h}^2+\beta =f(\alpha -h)$. Deux points de la parabole dont les abscisses sont symétriques par rapport à $\alpha$ ont donc la même ordonnée.

Le sommet est le point où la fonction change de sens : c'est l'objet de la propriété suivante, la plus utile du chapitre pour les problèmes concrets.

Pourquoi ces variations ? Aucun calcul nouveau n'est nécessaire : la courbe de $f$ est l'image de la parabole d'équation $y=a{x}^2$ par une translation, et une translation ne modifie pas le sens de variation — elle déplace la courbe en bloc, en envoyant le point de bascule de l'abscisse $0$ sur l'abscisse $\alpha$. Or les variations de $x\mapsto a{x}^2$ se déduisent de celles de la fonction carré, connues depuis la seconde : multiplier toutes les images par un réel $a>0$ conserve l'ordre (décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0]$, croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$), tandis que multiplier par $a<0$ renverse toutes les comparaisons (croissante puis décroissante). En translatant, le point de bascule $0$ devient $\alpha$, et l'ordonnée du creux (ou du pic) devient $\beta$.

Ce dernier calcul — résoudre $f(x)=0$ à l'aide de la forme canonique — n'a rien d'un cas particulier. Généralisé à un trinôme quelconque, il fournit la méthode universelle promise en introduction.

Résoudre une équation du second degré

Son nom dit son rôle : il discrimine — c'est-à-dire sépare — les trois situations possibles, selon son signe.

On résume souvent les deux formules du premier cas en une seule écriture : $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$. La démonstration qui suit est exigible : toute sa mécanique repose sur la forme canonique.

Démonstration. Mettons le trinôme sous forme canonique. Pour tout réel $x$, comme $a\mathrm{\ne }0$ :

$$a{x}^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\mathrm{.}$$

Or $x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x$ est le début du carré ${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2$ : d'après l'identité de complétion du carré,

$$x^2+\frac{b}{a}x={(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}\mathrm{.}$$

En reportant, puis en réduisant les constantes :

$$a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a}+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a},$$

soit, en reconnaissant le discriminant :

$$a{x}^2+bx+c=a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}]\mathrm{.}$$

Comme $a\mathrm{\ne }0$, l'équation $a{x}^2+bx+c=0$ équivaut donc à

$${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}\mathrm{.}$$

Discutons selon le signe de $\mathrm{\Delta }$, en notant que $4a^2>0$.

• Si $\mathrm{\Delta }<0$ : le membre de droite ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}$ est strictement négatif, alors que le membre de gauche, un carré, est positif ou nul. L'égalité est impossible : l'équation n'a aucune solution réelle.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$ : l'équation devient ${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2=0$. Un carré est nul si, et seulement si, le nombre lui-même est nul : l'unique solution est donnée par $x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=0$, c'est-à-dire $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.
• Si $\mathrm{\Delta }>0$ : le réel $\sqrt{\mathrm{\Delta }}$ existe, et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\right)}^2$ — l'élévation au carré efface le signe éventuel de $2a$. L'équation s'écrit alors comme l'annulation d'une différence de deux carrés :

$${(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)}^2=0,$$

qui se factorise grâce à l'identité $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ :

$$(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})=0.$$

Un produit est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs est nul :

$$x=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\text{ou}x=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\mathrm{.}$$

Ces deux solutions sont distinctes, car $\sqrt{\mathrm{\Delta }}\mathrm{\ne }0$. $\mathrm{\square }$

Graphiquement, les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Le théorème se lit alors sur la figure suivante, qui croise le signe de $a$ (lignes) et celui de $\mathrm{\Delta }$ (colonnes) :

• Si $\mathrm{\Delta }>0$, la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points, les racines : sommet sous l'axe et branches vers le haut si $a>0$ (première ligne), sommet au-dessus de l'axe et branches vers le bas si $a<0$ (seconde ligne).
• Si $\mathrm{\Delta }=0$, la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point, son sommet, sans le traverser : elle est « posée sur l'axe » si $a>0$, « suspendue sous l'axe » si $a<0$.
• Si $\mathrm{\Delta }<0$, la parabole ne rencontre jamais l'axe des abscisses : elle est entièrement au-dessus si $a>0$, entièrement en dessous si $a<0$.

Factoriser un trinôme

Résoudre $f(x)=0$ et factoriser $f$ sont les deux faces d'une même pièce : connaître les racines, c'est pouvoir écrire le trinôme en produit de facteurs du premier degré — et réciproquement, une forme factorisée livre ses racines immédiatement, par l'équation produit nul. Le théorème suivant précise ce lien.

Démonstration. Les deux premiers cas sont déjà acquis. Dans la démonstration du théorème de la section 3, nous avons établi que, pour $\mathrm{\Delta }>0$,

$$f(x)=a(x-\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})=a(x-x_2)(x-x_1),$$

ce qui est la factorisation annoncée ; et que, pour $\mathrm{\Delta }=0$, la forme canonique se réduit à $f(x)=a{(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2=a(x-x_0{)}^2$, puisque ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}=0$. Pour $\mathrm{\Delta }<0$, raisonnons par l'absurde : si l'on pouvait écrire $f(x)=a(x-r)(x-s)$, alors $f(r)=0$ et $r$ serait une racine de $f$ ; or, lorsque $\mathrm{\Delta }<0$, le trinôme n'a aucune racine. Une telle factorisation est donc impossible. $\mathrm{\square }$

Remarque. Lorsque $\mathrm{\Delta }=0$, le facteur $(x-x_0)$ apparaît deux fois dans la factorisation $a(x-x_0{)}^2$ : c'est l'origine du nom racine double.

Les trois écritures du trinôme sont maintenant toutes disponibles. Récapitulons ce que chacune donne à lire :

Somme et produit des racines

La stratégie « somme et produit de tête » de la section précédente n'a rien de magique : elle repose sur deux relations générales entre les racines et les coefficients, que voici.

Démonstration. Puisque $\mathrm{\Delta }⩾0$, le trinôme se factorise : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, écriture qui couvre aussi le cas $\mathrm{\Delta }=0$ avec $x_1=x_2=x_0$. Développons :

$$a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-x_{2}x-x_{1}x+x_1{x}_2)=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2\mathrm{.}$$

Cette expression et $a{x}^2+bx+c$ définissent la même fonction : leurs coefficients sont donc égaux (résultat admis). En identifiant les coefficients de $x$ et les termes constants :

$$-a(x_1+x_2)=b\text{et}a{x}_1{x}_2=c,$$

c'est-à-dire, en divisant par $a\mathrm{\ne }0$ : $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$. $\mathrm{\square }$

Pour aller plus loin. La propriété se retourne : si deux nombres $u$ et $v$ ont pour somme $s$ et pour produit $p$, alors $(x-u)(x-v)=x^2-sx+p$. Autrement dit, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont, s'ils existent, les racines de l'équation $x^2-sx+p=0$ — et ils existent si, et seulement si, $\mathrm{\Delta }=s^2-4p⩾0$. Par exemple, deux nombres de somme $10$ et de produit $21$ ? L'équation $x^2-10x+21=0$ a pour discriminant $100-84=16$, d'où les racines ${\displaystyle \frac{10-4}{2}}=3$ et ${\displaystyle \frac{10+4}{2}}=7$ : ces deux nombres sont $3$ et $7$. Cet aller-retour entre nombres et équations, déjà au cœur des problèmes d'Al-Khwârizmî, est un approfondissement du programme.

Signe d'un trinôme

Après les équations ($f(x)=0$), les inéquations : pour résoudre $f(x)⩾0$ ou $f(x)<0$, il faut connaître le signe du trinôme sur tout $\mathbb{R}$. Commençons par la situation la plus favorable, celle où le trinôme est déjà factorisé — un terrain connu depuis la seconde : une expression affine $mx+p$ (avec $m\mathrm{\ne }0$) s'annule en $-{\displaystyle \frac{p}{m}}$, est du signe de $m$ après cette valeur et du signe contraire avant ; et le signe d'un produit s'obtient facteur par facteur, par la règle des signes, dans un tableau.

Développons : $f(x)=6x+12-2x^2-4x=-2x^2+2x+12$. Nous venons donc d'étudier le signe d'un trinôme de coefficient dominant $a=-2$ et de racines $-2$ et $3$ — et le tableau montre qu'il est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ (positif) entre elles. Ce constat est général.

Démonstration.

• Si $\mathrm{\Delta }>0$ : d'après la section 4, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. À l'extérieur des racines, les facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ ont le même signe (tous deux négatifs avant $x_1$, tous deux positifs après $x_2$) : leur produit est strictement positif, donc $f(x)$ est du signe de $a$. Entre les racines, les deux facteurs sont de signes contraires : leur produit est strictement négatif, donc $f(x)$ est du signe de $-a$.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$ : $f(x)=a(x-x_0{)}^2$, et $(x-x_0{)}^2>0$ pour tout $x\mathrm{\ne }{x}_0$.
• Si $\mathrm{\Delta }<0$ : d'après la forme canonique établie dans la démonstration de la section 3, $f(x)=a[{(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}]$ ; le crochet est la somme d'un carré et du réel $-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}>0$ : il est strictement positif. Donc $f(x)$ est du signe de $a$ et ne s'annule jamais. $\mathrm{\square }$

Ce théorème se lit d'ailleurs sur la figure des six positions de la parabole (section 3) : la parabole est du côté de l'axe des abscisses dicté par le signe de $a$, sauf entre ses racines lorsqu'elle en a.

Choisir la forme adaptée

Chaque section de ce chapitre a mis en avant une écriture du trinôme. Reste la compétence qui les chapeaute toutes : choisir la forme adaptée à la question posée, quitte à en changer en cours de route.

Cette souplesse est décisive dans les problèmes d'optimisation, où l'on cherche la valeur la plus grande (ou la plus petite) d'une aire, d'un coût, d'une hauteur…

En résumé : le second degré tient tout entier dans un va-et-vient entre trois écritures. La forme développée réduite donne les coefficients et l'image de $0$ ; la forme canonique révèle le sommet, les variations et l'extremum ; la forme factorisée, quand elle existe, livre les racines et le signe — et le discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ orchestre l'ensemble. La méthode de résolution démontrée dans ce chapitre achève ainsi un problème ouvert il y a quatre millénaires, et la démarche « la bonne forme pour la bonne question » restera un réflexe précieux bien au-delà. Ce chapitre n'est d'ailleurs qu'un début : un prochain chapitre d'analyse, armé d'un outil entièrement nouveau, redémontrera les variations de la parabole et les étendra à bien d'autres fonctions ; et jusqu'en probabilités, l'étude de la variance fera resurgir… une forme canonique.