1ʳᵉ spé · Chapitre 02 · Algèbre

Second degré

Forme canonique, discriminant, racines, factorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme.

Ce qu'il faut savoir faire

Résoudre une équation du second degré est l'un des plus vieux problèmes des mathématiques : il y a près de 4 000 ans, les scribes de Babylone savaient déjà en traiter des cas particuliers, et au IXe siècle le mathématicien Al-Khwârizmî en donna les premières méthodes générales — son traité d'al-jabr a d'ailleurs donné son nom à l'algèbre. Ce chapitre reprend cette longue histoire avec les acquis de la classe de seconde — la fonction carré, les identités remarquables, les tableaux de signes — et la mène à son terme : une méthode universelle, valable pour toutes les équations du second degré. Le fil conducteur est simple : une même fonction polynôme du second degré possède trois écritures — développée, canonique, factorisée — et chacune répond à une famille de questions. Savoir passer de l'une à l'autre, puis choisir la bonne forme pour la bonne question : voilà tout l'art du second degré.

La fonction polynôme du second degré

En seconde, l'étude des fonctions de référence a fait la part belle à la fonction carré $x \mapsto x^{2}$ . Les fonctions de ce chapitre en sont les héritières directes : on ajoute simplement un terme en $x$ et un terme constant.

Définition

Fonction polynôme du second degré. Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $R$ qui peut s'écrire sous la forme

f (x) = a x^{2} + b x + c,

où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ .

Cette écriture est appelée forme développée réduite de $f$ . L'expression $a x^{2} + b x + c$ est un trinôme du second degré (ou simplement un trinôme), et les réels $a$ , $b$ et $c$ sont ses coefficients.

Remarques.

La condition $a \neq 0$ est essentielle : sans terme en $x^{2}$ , la fonction serait affine. En revanche, $b$ ou $c$ peuvent être nuls ; par extension, on parle encore de « trinôme » même lorsque l'expression n'a plus trois termes.
« Peut s'écrire » : une fonction donnée sous une autre forme (un produit, une expression non réduite…) est du second degré dès lors que son développement réduit est de la forme $a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ . D'où l'importance de développer et réduire avant de conclure, comme le montre le dernier exemple ci-dessous.

Exemple

Les fonctions suivantes, définies sur $R$ , sont des fonctions polynômes du second degré :

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ : forme développée réduite, avec $a = 3$ , $b = - 5$ et $c = 2$ ;
$g (x) = 5 x^{2}$ : ici $b = 0$ et $c = 0$ , mais $a = 5 \neq 0$ ;
$h (x) = (2 x - 1) (x + 3)$ : en développant, $h (x) = 2 x^{2} + 6 x - x - 3 = 2 x^{2} + 5 x - 3$ , donc $h$ est bien du second degré, avec $a = 2$ , $b = 5$ et $c = - 3$ .

En revanche :

$k (x) = 2 x + 5$ n'est pas du second degré : le coefficient de $x^{2}$ est nul ( $k$ est une fonction affine) ;
$m (x) = (x + 2)^{2} - x^{2}$ n'est pas non plus du second degré, malgré les apparences : en développant, $m (x) = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} = 4 x + 4$ . Les termes en $x^{2}$ se compensent, et $m$ est affine. Avant de conclure, on développe et on réduit, toujours.

Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Ce fait, admis pour l'instant, sera éclairé dans la section suivante : nous verrons que cette courbe se déduit de la parabole d'équation $y = a x^{2}$ par une simple translation. Le coefficient $a$ commande à lui seul l'allure de la courbe :

son signe donne l'orientation : si $a > 0$ , la parabole est « tournée vers le haut » (ses branches montent) ; si $a < 0$ , elle est « tournée vers le bas » ;
sa valeur absolue règle l'ouverture : plus $∣ a ∣$ est grand, plus la parabole est resserrée autour de son axe ; plus $∣ a ∣$ est petit, plus elle est évasée.

Ainsi, sur la figure ci-dessous, la parabole d'équation $y = 2 x^{2}$ est plus resserrée que celle d'équation $y = \frac{1}{2} x^{2}$ , toutes deux tournées vers le haut, tandis que celle d'équation $y = - x^{2}$ est tournée vers le bas.

Trois paraboles de sommet l'origine : y = 2x^2, resserrée et tournée vers le haut ; y = (1/2)x^2, plus évasée ; y = -x^2, tournée vers le bas

La forme canonique

La forme développée réduite se prête bien au calcul des images — on remplace $x$ par une valeur — mais elle cache la géométrie de la parabole : où se trouve le sommet ? où la fonction change-t-elle de sens ? Pour répondre, il faut réécrire le trinôme. C'est le rôle de la forme canonique, dont l'unique ingrédient est une vieille connaissance de seconde : les identités remarquables.

Propriété

Complétion du carré. Pour tous réels $x$ et $a$ :

x^{2} + 2 a x = (x + a)^{2} - a^{2} .

En effet, $(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2}$ , donc $(x + a)^{2} - a^{2} = x^{2} + 2 a x$ . Autrement dit, $x^{2} + 2 a x$ est « le début du carré » $(x + a)^{2}$ : pour le transformer en carré parfait, il suffit de retrancher $a^{2}$ . Ici, $a$ désigne un réel quelconque — dans la pratique, ce sera la moitié du coefficient de $x$ , à ne pas confondre avec le coefficient dominant du trinôme.

Méthode

Mettre un trinôme sous forme canonique.

Si le coefficient dominant vaut $1$ : repérer dans $x^{2} + b x$ le début d'un carré — la moitié du coefficient de $x$ donne le nombre à mettre dans la parenthèse — puis remplacer $x^{2} + b x$ par ${(x + \frac{b}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}$ .
Sinon : factoriser d'abord le coefficient dominant dans les termes en $x^{2}$ et en $x$ , puis appliquer l'étape 1 à l'intérieur de la parenthèse.
Réduire les constantes, et contrôler le résultat en redéveloppant.

Exemple

Avec un coefficient dominant égal à $1$ . Soit $f (x) = x^{2} - 6 x + 7$ . L'expression $x^{2} - 6 x$ est le début du carré $(x - 3)^{2}$ (la moitié de $- 6$ vaut $- 3$ ), et $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ : donc $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ , et

f (x) = (x - 3)^{2} - 9 + 7 = (x - 3)^{2} - 2.

Avec un coefficient dominant différent de $1$ . Soit $g (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ . On factorise d'abord $2$ dans les deux premiers termes :

g (x) = 2 (x^{2} + 2 x) - 1 = 2 [(x + 1)^{2} - 1] - 1 = 2 (x + 1)^{2} - 2 - 1 = 2 (x + 1)^{2} - 3.

Contrôle : $2 (x + 1)^{2} - 3 = 2 (x^{2} + 2 x + 1) - 3 = 2 x^{2} + 4 x - 1$ , on retrouve bien $g (x)$ .

Ce qui vient d'être fait sur deux exemples est toujours possible : c'est le théorème suivant, que l'on admet dans le cas général.

Propriété

Théorème (admis). Toute fonction polynôme du second degré $f (x) = a x^{2} + b x + c$ peut s'écrire sous la forme

f (x) = a (x - α)^{2} + β avec α = - \frac{b}{2 a} et β = f (α) .

Cette écriture est appelée forme canonique de $f$ .

Remarques.

En remplaçant $x$ par $α$ dans la forme canonique, on obtient $f (α) = a \times 0 + β = β$ : le nombre $β$ est bien l'image de $α$ , ce qui rend la formule $β = f (α)$ naturelle.
Le calcul de la forme canonique par ces formules générales n'est pas un attendu du programme : on privilégie la complétion du carré sur des cas simples, comme dans les exemples ci-dessus. La formule $α = - \frac{b}{2 a}$ reste néanmoins précieuse pour repérer rapidement l'abscisse du sommet.

Lecture graphique : une translation. Posons $g (x) = a x^{2}$ , dont la courbe est une parabole de sommet l'origine. La forme canonique s'écrit $f (x) = a (x - α)^{2} + β = g (x - α) + β$ : l'ordonnée du point d'abscisse $x$ de la courbe de $f$ s'obtient en prenant l'ordonnée du point d'abscisse $x - α$ de la parabole d'équation $y = a x^{2}$ , puis en lui ajoutant $β$ . D'après les translations de courbes vues en seconde, la courbe de $f$ est l'image de la parabole d'équation $y = a x^{2}$ par la translation qui amène l'origine sur le point $S (α; β)$ .

Par exemple, la courbe d'équation $y = (x - 2)^{2}$ — une forme canonique avec $a = 1$ , $α = 2$ et $β = 0$ — est l'image de la parabole d'équation $y = x^{2}$ par la translation de $2$ unités vers la droite :

La parabole y = x^2 en pointillés et la parabole y = (x-2)^2 qui s'en déduit par une translation de 2 unités vers la droite, matérialisée par une flèche horizontale

Au passage, ceci justifie l'affirmation de la section 1 : la courbe de toute fonction polynôme du second degré est bien une parabole, copie translatée de la parabole d'équation $y = a x^{2}$ .

Propriété

Sommet et axe de symétrie. Soit $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ une fonction polynôme du second degré sous forme canonique, et $P$ sa parabole.

Le point $S (α; β)$ est le sommet de $P$ .
La droite d'équation $x = α$ est axe de symétrie de $P$ .

La symétrie se vérifie par un calcul direct : pour tout réel $h$ , $f (α + h) = a h^{2} + β = f (α - h)$ . Deux points de la parabole dont les abscisses sont symétriques par rapport à $α$ ont donc la même ordonnée.

Le sommet est le point où la fonction change de sens : c'est l'objet de la propriété suivante, la plus utile du chapitre pour les problèmes concrets.

Propriété

Variations. Soit $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ une fonction polynôme du second degré.

Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $] - \infty; α]$ puis strictement croissante sur $[α; + \infty [$ . Elle admet en $α$ un minimum, égal à $β$ .

x

-\infty

\alpha

+\infty

f(x)

\beta

Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $] - \infty; α]$ puis strictement décroissante sur $[α; + \infty [$ . Elle admet en $α$ un maximum, égal à $β$ .

x

-\infty

\alpha

+\infty

f(x)

\beta

Pourquoi ces variations ? Aucun calcul nouveau n'est nécessaire : la courbe de $f$ est l'image de la parabole d'équation $y = a x^{2}$ par une translation, et une translation ne modifie pas le sens de variation — elle déplace la courbe en bloc, en envoyant le point de bascule de l'abscisse $0$ sur l'abscisse $α$ . Or les variations de $x \mapsto a x^{2}$ se déduisent de celles de la fonction carré, connues depuis la seconde : multiplier toutes les images par un réel $a > 0$ conserve l'ordre (décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$ ), tandis que multiplier par $a < 0$ renverse toutes les comparaisons (croissante puis décroissante). En translatant, le point de bascule $0$ devient $α$ , et l'ordonnée du creux (ou du pic) devient $β$ .

Exemple

Étude complète de $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ .

Forme canonique. $x^{2} - 4 x$ est le début du carré $(x - 2)^{2}$ , donc $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ et

f (x) = (x - 2)^{2} - 4 + 3 = (x - 2)^{2} - 1.

On lit $a = 1$ , $α = 2$ et $β = - 1$ .

Sommet, axe, variations. Comme $a = 1 > 0$ , la parabole est tournée vers le haut, de sommet $S (2; - 1)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = 2$ . La fonction $f$ est décroissante sur $] - \infty; 2]$ puis croissante sur $[2; + \infty [$ , avec un minimum égal à $- 1$ , atteint en $2$ .

x

-\infty

2

+\infty

f(x)

-1

Où la parabole coupe-t-elle l'axe des abscisses ? La forme canonique répond déjà : $f (x) = 0$ équivaut à $(x - 2)^{2} = 1$ , c'est-à-dire (résolution de $X^{2} = 1$ , vue en seconde) $x - 2 = 1$ ou $x - 2 = - 1$ , soit $x = 3$ ou $x = 1$ . La parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $1$ et $3$ — symétriques par rapport à l'axe $x = 2$ , comme il se doit.

La parabole d'équation y = x^2 - 4x + 3 : elle coupe l'axe des abscisses en 1 et en 3 ; son sommet S(2 ; -1) et son axe de symétrie, la droite verticale x = 2, sont marqués

Ce dernier calcul — résoudre $f (x) = 0$ à l'aide de la forme canonique — n'a rien d'un cas particulier. Généralisé à un trinôme quelconque, il fournit la méthode universelle promise en introduction.

Résoudre une équation du second degré

Définition

Équation du second degré. Racines. Une équation du second degré d'inconnue $x$ est une équation qui peut se ramener à la forme

a x^{2} + b x + c = 0, avec a \neq 0.

Les solutions de cette équation sont appelées les racines du trinôme $a x^{2} + b x + c$ .

Définition

Discriminant. Le discriminant du trinôme $a x^{2} + b x + c$ est le réel

Δ = b^{2} - 4 a c .

Son nom dit son rôle : il discrimine — c'est-à-dire sépare — les trois situations possibles, selon son signe.

Propriété

Théorème (résolution de l'équation du second degré). Soit l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ , avec $a \neq 0$ , et $Δ = b^{2} - 4 a c$ son discriminant.

Si $Δ > 0$ : l'équation admet exactement deux solutions réelles,

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} et x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} .

Si $Δ = 0$ : l'équation admet une unique solution, $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , appelée racine double.
Si $Δ < 0$ : l'équation n'admet aucune solution réelle.

On résume souvent les deux formules du premier cas en une seule écriture : $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ . La démonstration qui suit est exigible : toute sa mécanique repose sur la forme canonique.

Démonstration. Mettons le trinôme sous forme canonique. Pour tout réel $x$ , comme $a \neq 0$ :

a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c .

Or $x^{2} + \frac{b}{a} x$ est le début du carré ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ : d'après l'identité de complétion du carré,

x^{2} + \frac{b}{a} x = {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} .

En reportant, puis en réduisant les constantes :

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a},

soit, en reconnaissant le discriminant :

a x^{2} + b x + c = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] .

Comme $a \neq 0$ , l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ équivaut donc à

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}} .

Discutons selon le signe de $Δ$ , en notant que $4 a^{2} > 0$ .

Si $Δ < 0$ : le membre de droite $\frac{Δ}{4 a^{2}}$ est strictement négatif, alors que le membre de gauche, un carré, est positif ou nul. L'égalité est impossible : l'équation n'a aucune solution réelle.
Si $Δ = 0$ : l'équation devient ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0$ . Un carré est nul si, et seulement si, le nombre lui-même est nul : l'unique solution est donnée par $x + \frac{b}{2 a} = 0$ , c'est-à-dire $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ > 0$ : le réel $\sqrt{Δ}$ existe, et $\frac{Δ}{4 a^{2}} = {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}$ — l'élévation au carré efface le signe éventuel de $2 a$ . L'équation s'écrit alors comme l'annulation d'une différence de deux carrés :

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2} = 0,

qui se factorise grâce à l'identité $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ :

(x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) = 0.

Un produit est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs est nul :

x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} ou x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} .

Ces deux solutions sont distinctes, car $\sqrt{Δ} \neq 0$ . $□$

Exemple

Un exemple par cas.

$Δ > 0$ : résolvons $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ . Ici $a = 2$ , $b = - 5$ et $c = 2$ , donc $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 > 0$ , et $\sqrt{Δ} = 3$ . Les deux solutions sont

x_{1} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} et x_{2} = \frac{5 + 3}{4} = 2,

d'où $S = {\frac{1}{2}; 2}$ .

$Δ = 0$ : résolvons $2 x^{2} - 12 x + 18 = 0$ . Ici $Δ = (- 12)^{2} - 4 \times 2 \times 18 = 144 - 144 = 0$ : une unique solution, la racine double $x_{0} = - \frac{- 12}{2 \times 2} = 3$ , d'où $S = {3}$ . On pouvait aller plus vite : en divisant les deux membres par $2$ , l'équation devient $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , c'est-à-dire $(x - 3)^{2} = 0$ .
$Δ < 0$ : résolvons $x^{2} + x + 1 = 0$ . Ici $Δ = 1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3 < 0$ : l'équation n'a aucune solution réelle, $S = \emptyset$ .

Graphiquement, les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Le théorème se lit alors sur la figure suivante, qui croise le signe de $a$ (lignes) et celui de $Δ$ (colonnes) :

Six paraboles selon le signe de a (lignes) et de Delta (colonnes) : la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, le touche en un seul point, ou ne le rencontre pas

Si $Δ > 0$ , la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points, les racines : sommet sous l'axe et branches vers le haut si $a > 0$ (première ligne), sommet au-dessus de l'axe et branches vers le bas si $a < 0$ (seconde ligne).
Si $Δ = 0$ , la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point, son sommet, sans le traverser : elle est « posée sur l'axe » si $a > 0$ , « suspendue sous l'axe » si $a < 0$ .
Si $Δ < 0$ , la parabole ne rencontre jamais l'axe des abscisses : elle est entièrement au-dessus si $a > 0$ , entièrement en dessous si $a < 0$ .

Méthode

Le réflexe avant le discriminant. Le discriminant traite tous les cas, mais il n'est pas toujours le chemin le plus court. Après avoir ramené l'équation à la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ , on teste d'abord quatre pistes de factorisation directe :

Pas de terme constant ( $c = 0$ ) : on factorise par $x$ . Ainsi $3 x^{2} - 7 x = 0$ s'écrit $x (3 x - 7) = 0$ , d'où $x = 0$ ou $x = \frac{7}{3}$ .
Pas de terme en $x$ ( $b = 0$ ) : on isole $x^{2}$ et on résout $x^{2} = k$ comme en seconde. Ainsi $2 x^{2} - 10 = 0$ donne $x^{2} = 5$ , d'où $x = \sqrt{5}$ ou $x = - \sqrt{5}$ (et si $k < 0$ , aucune solution).
Identité remarquable : $x^{2} + 10 x + 25 = 0$ s'écrit $(x + 5)^{2} = 0$ , d'où l'unique solution $x = - 5$ .
Racine évidente : on teste mentalement des valeurs simples ( $1$ , $- 1$ , $2$ …). Pour $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , la valeur $x = 1$ convient ( $1 - 5 + 4 = 0$ ) ; on vérifie que $x = 4$ convient aussi ( $16 - 20 + 4 = 0$ ), et le théorème garantit qu'une équation du second degré n'a pas plus de deux solutions. La section 5 donnera un moyen systématique de déduire la deuxième racine de la première.

Si aucune piste n'aboutit en quelques secondes : discriminant.

Factoriser un trinôme

Résoudre $f (x) = 0$ et factoriser $f$ sont les deux faces d'une même pièce : connaître les racines, c'est pouvoir écrire le trinôme en produit de facteurs du premier degré — et réciproquement, une forme factorisée livre ses racines immédiatement, par l'équation produit nul. Le théorème suivant précise ce lien.

Propriété

Factorisation d'un trinôme. Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (avec $a \neq 0$ ) et $Δ$ son discriminant.

Si $Δ > 0$ , en notant $x_{1}$ et $x_{2}$ les deux racines : pour tout réel $x$ ,

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Si $Δ = 0$ , en notant $x_{0}$ la racine double : pour tout réel $x$ ,

f (x) = a (x - x_{0})^{2} .

Si $Δ < 0$ : le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

Démonstration. Les deux premiers cas sont déjà acquis. Dans la démonstration du théorème de la section 3, nous avons établi que, pour $Δ > 0$ ,

f (x) = a (x - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}) = a (x - x_{2}) (x - x_{1}),

ce qui est la factorisation annoncée ; et que, pour $Δ = 0$ , la forme canonique se réduit à $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = a (x - x_{0})^{2}$ , puisque $\frac{Δ}{4 a^{2}} = 0$ . Pour $Δ < 0$ , raisonnons par l'absurde : si l'on pouvait écrire $f (x) = a (x - r) (x - s)$ , alors $f (r) = 0$ et $r$ serait une racine de $f$ ; or, lorsque $Δ < 0$ , le trinôme n'a aucune racine. Une telle factorisation est donc impossible. $□$

Remarque. Lorsque $Δ = 0$ , le facteur $(x - x_{0})$ apparaît deux fois dans la factorisation $a (x - x_{0})^{2}$ : c'est l'origine du nom racine double.

Méthode

Factoriser un trinôme : les stratégies dans l'ordre. Comme pour les équations, les formules générales sont l'arme lourde ; on tente d'abord les pistes rapides.

Racine évidente. Si une racine $x_{1}$ saute aux yeux, le théorème garantit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ : il ne reste qu'à trouver $x_{2}$ , par identification ou par le produit des racines (section suivante).
Coefficient de $x$ nul. $3 x^{2} - 27 = 3 (x^{2} - 9) = 3 (x - 3) (x + 3)$ : c'est l'identité $A^{2} - B^{2}$ . (Si les deux termes sont de même signe, comme dans $3 x^{2} + 27$ , alors $Δ < 0$ : pas de factorisation.)
Identité remarquable. $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x)^{2} + 2 \times (2 x) \times 3 + 3^{2} = (2 x + 3)^{2}$ .
Somme et produit de tête. Chercher deux nombres dont on devine la somme et le produit : pour $x^{2} - 7 x + 10$ , les nombres $2$ et $5$ (somme $7$ , produit $10$ ) donnent $x^{2} - 7 x + 10 = (x - 2) (x - 5)$ . La section suivante justifiera ce réflexe.
Formules générales. En dernier recours : calculer $Δ$ , puis les racines, puis écrire $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Attention : ne jamais oublier le facteur $a$ en tête de la factorisation — le produit $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ seul se développe en un trinôme de coefficient dominant $1$ , et non $a$ .

Exemple

Deux factorisations complètes.

Par racine évidente : $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ . On remarque que $f (1) = 2 - 3 + 1 = 0$ : le réel $1$ est racine. Le théorème donne $f (x) = 2 (x - 1) (x - x_{2})$ . Pour trouver $x_{2}$ , comparons les termes constants : le développement de $2 (x - 1) (x - x_{2})$ a pour terme constant $2 \times (- 1) \times (- x_{2}) = 2 x_{2}$ , qui doit valoir $1$ ; donc $x_{2} = \frac{1}{2}$ , et

f (x) = 2 (x - 1) (x - \frac{1}{2}) = (x - 1) (2 x - 1) .

Par les formules générales : $g (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2$ . Le discriminant vaut $Δ = 5^{2} - 4 \times 3 \times (- 2) = 25 + 24 = 49 = 7^{2}$ , d'où

x_{1} = \frac{- 5 - 7}{6} = - 2 et x_{2} = \frac{- 5 + 7}{6} = \frac{1}{3},

et la factorisation

g (x) = 3 (x + 2) (x - \frac{1}{3}) = (x + 2) (3 x - 1) .

Dans les deux cas, un développement rapide permet de contrôler le résultat.

Les trois écritures du trinôme sont maintenant toutes disponibles. Récapitulons ce que chacune donne à lire :

Forme	Écriture	Ce qu'on y lit directement	Existence
Développée réduite	$a x^{2} + b x + c$	le coefficient $a$ ; l'image de $0$ : $f (0) = c$	toujours
Canonique	$a (x - α)^{2} + β$	le sommet $S (α; β)$ , l'extremum, les variations	toujours
Factorisée	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , le signe	seulement si $Δ ⩾ 0$

Somme et produit des racines

La stratégie « somme et produit de tête » de la section précédente n'a rien de magique : elle repose sur deux relations générales entre les racines et les coefficients, que voici.

Propriété

Somme et produit des racines. Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ un trinôme dont le discriminant vérifie $Δ ⩾ 0$ , et $x_{1}$ , $x_{2}$ ses racines (avec $x_{1} = x_{2} = x_{0}$ si $Δ = 0$ ). Alors leur somme $S$ et leur produit $P$ valent :

S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .

Démonstration. Puisque $Δ ⩾ 0$ , le trinôme se factorise : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , écriture qui couvre aussi le cas $Δ = 0$ avec $x_{1} = x_{2} = x_{0}$ . Développons :

a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a (x^{2} - x_{2} x - x_{1} x + x_{1} x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} .

Cette expression et $a x^{2} + b x + c$ définissent la même fonction : leurs coefficients sont donc égaux (résultat admis). En identifiant les coefficients de $x$ et les termes constants :

- a (x_{1} + x_{2}) = b et a x_{1} x_{2} = c,

c'est-à-dire, en divisant par $a \neq 0$ : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . $□$

Méthode

Deux usages au quotidien.

Trouver la deuxième racine quand on en connaît une. Si $x_{1}$ est connue (racine évidente, lecture graphique…), alors $x_{2} = \frac{P}{x_{1}}$ — ou $x_{2} = S - x_{1}$ . Plus besoin de discriminant.
Détecter mentalement des racines entières. Chercher deux nombres de somme $- \frac{b}{a}$ et de produit $\frac{c}{a}$ , en passant en revue les couples de diviseurs du produit. Le signe de $P$ guide la recherche : si $P > 0$ , les racines sont de même signe ; si $P < 0$ , elles sont de signes contraires.

Ces relations offrent enfin une vérification express après tout calcul de racines : leur somme doit valoir $- \frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$ .

Exemple

Deuxième racine gratuite. Soit $f (x) = 5 x^{2} - 4 x - 1$ . On remarque que $f (1) = 5 - 4 - 1 = 0$ : donc $x_{1} = 1$ est racine. Le produit des racines vaut $P = \frac{c}{a} = - \frac{1}{5}$ , donc $x_{2} = \frac{P}{x_{1}} = - \frac{1}{5}$ . Contrôle par la somme : $1 + (- \frac{1}{5}) = \frac{4}{5}$ , qui vaut bien $- \frac{b}{a} = \frac{4}{5}$ .
Racines entières de tête. Pour $x^{2} + 3 x - 10$ : on cherche deux nombres de somme $- 3$ et de produit $- 10$ ; le couple $2$ et $- 5$ convient, ce sont les racines. Pour $x^{2} - 11 x + 28$ : somme $11$ , produit $28$ ; les racines sont $4$ et $7$ .

Pour aller plus loin. La propriété se retourne : si deux nombres $u$ et $v$ ont pour somme $s$ et pour produit $p$ , alors $(x - u) (x - v) = x^{2} - s x + p$ . Autrement dit, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont, s'ils existent, les racines de l'équation $x^{2} - s x + p = 0$ — et ils existent si, et seulement si, $Δ = s^{2} - 4 p ⩾ 0$ . Par exemple, deux nombres de somme $10$ et de produit $21$ ? L'équation $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ a pour discriminant $100 - 84 = 16$ , d'où les racines $\frac{10 - 4}{2} = 3$ et $\frac{10 + 4}{2} = 7$ : ces deux nombres sont $3$ et $7$ . Cet aller-retour entre nombres et équations, déjà au cœur des problèmes d'Al-Khwârizmî, est un approfondissement du programme.

Signe d'un trinôme

Après les équations ( $f (x) = 0$ ), les inéquations : pour résoudre $f (x) ⩾ 0$ ou $f (x) < 0$ , il faut connaître le signe du trinôme sur tout $R$ . Commençons par la situation la plus favorable, celle où le trinôme est déjà factorisé — un terrain connu depuis la seconde : une expression affine $m x + p$ (avec $m \neq 0$ ) s'annule en $- \frac{p}{m}$ , est du signe de $m$ après cette valeur et du signe contraire avant ; et le signe d'un produit s'obtient facteur par facteur, par la règle des signes, dans un tableau.

Exemple

Signe d'un trinôme factorisé. Étudions le signe de $f (x) = (3 - x) (2 x + 4)$ sur $R$ .

Le facteur $2 x + 4$ s'annule en $x = - 2$ ; son coefficient directeur $2$ est positif : signe $-$ avant $- 2$ , signe $+$ après.
Le facteur $3 - x$ s'annule en $x = 3$ ; son coefficient directeur $- 1$ est négatif : signe $+$ avant $3$ , signe $-$ après.

x

-\infty

-2

3

+\infty

2x+4

-

0

+

+

3-x

+

+

0

-

f(x)

-

0

+

0

-

Conclusion : $f (x) > 0$ pour $x \in] - 2; 3 [$ ; $f (x) < 0$ pour $x \in] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [$ ; et $f$ s'annule en $- 2$ et en $3$ .

Développons : $f (x) = 6 x + 12 - 2 x^{2} - 4 x = - 2 x^{2} + 2 x + 12$ . Nous venons donc d'étudier le signe d'un trinôme de coefficient dominant $a = - 2$ et de racines $- 2$ et $3$ — et le tableau montre qu'il est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines, du signe de $- a$ (positif) entre elles. Ce constat est général.

Propriété

Signe d'un trinôme. Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (avec $a \neq 0$ ) et $Δ$ son discriminant.

Si $Δ > 0$ , en notant $x_{1} < x_{2}$ les racines : $f (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $- a$ entre les racines, et s'annule en $x_{1}$ et en $x_{2}$ .

x

-\infty

x_1

x_2

+\infty

f(x)

signe de

a

0

signe de

-a

0

signe de

a

Si $Δ = 0$ : $f (x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_{0}$ , et s'annule en $x_{0}$ .

x

-\infty

x_0

+\infty

f(x)

signe de

a

0

signe de

a

Si $Δ < 0$ : $f (x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ , sans jamais s'annuler.

x

-\infty

+\infty

f(x)

signe de

a

En une phrase : un trinôme est partout du signe de $a$ , sauf strictement entre ses racines lorsqu'elles existent.

Démonstration.

Si $Δ > 0$ : d'après la section 4, $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . À l'extérieur des racines, les facteurs $x - x_{1}$ et $x - x_{2}$ ont le même signe (tous deux négatifs avant $x_{1}$ , tous deux positifs après $x_{2}$ ) : leur produit est strictement positif, donc $f (x)$ est du signe de $a$ . Entre les racines, les deux facteurs sont de signes contraires : leur produit est strictement négatif, donc $f (x)$ est du signe de $- a$ .
Si $Δ = 0$ : $f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ , et $(x - x_{0})^{2} > 0$ pour tout $x \neq x_{0}$ .
Si $Δ < 0$ : d'après la forme canonique établie dans la démonstration de la section 3, $f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]$ ; le crochet est la somme d'un carré et du réel $- \frac{Δ}{4 a^{2}} > 0$ : il est strictement positif. Donc $f (x)$ est du signe de $a$ et ne s'annule jamais. $□$

Ce théorème se lit d'ailleurs sur la figure des six positions de la parabole (section 3) : la parabole est du côté de l'axe des abscisses dicté par le signe de $a$ , sauf entre ses racines lorsqu'elle en a.

Méthode

Résoudre une inéquation du second degré (du type $f (x) ⩾ 0$ , $f (x) < 0$ …). Acquis depuis : collège.

Tout ramener dans le premier membre, en développant et réduisant si besoin, pour comparer un trinôme à $0$ .
Chercher les racines du trinôme : réflexes de factorisation directe, sinon discriminant.
Repérer le signe de $a$ et dresser le tableau de signes grâce au théorème.
Conclure en intervalle(s), en surveillant les bornes : les racines sont incluses pour une inégalité large ( $⩽$ , $⩾$ ), exclues pour une inégalité stricte.

Une inéquation du second degré ne se résout jamais « comme une équation » : c'est le tableau de signes qui permet de conclure.

Exemple

Résolvons l'inéquation $2 x^{2} + x ⩽ 3$ .

Elle équivaut à $2 x^{2} + x - 3 ⩽ 0$ .
Racines du trinôme $2 x^{2} + x - 3$ : le discriminant vaut $Δ = 1^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 1 + 24 = 25 = 5^{2}$ , d'où

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{4} = - \frac{3}{2} et x_{2} = \frac{- 1 + 5}{4} = 1.

Le coefficient dominant $a = 2$ est positif : le trinôme est négatif entre ses racines, positif à l'extérieur.

x

-\infty

-\dfrac{3}{2}

1

+\infty

2x^2+x-3

+

0

-

0

+

L'inégalité étant large, les racines conviennent : $S = [- \frac{3}{2}; 1]$ .

Choisir la forme adaptée

Chaque section de ce chapitre a mis en avant une écriture du trinôme. Reste la compétence qui les chapeaute toutes : choisir la forme adaptée à la question posée, quitte à en changer en cours de route.

Question posée	Forme la plus efficace	Ce qu'on utilise
Image de $0$ , coefficient $a$	développée réduite	$f (0) = c$
Résoudre $f (x) = 0$ , signe, inéquation	factorisée	produit nul, tableau de signes
Extremum, variations, sommet, axe de symétrie	canonique	$α$ et $β$
Résoudre $f (x) = k$	canonique	on se ramène à un carré égal à une constante

Exemple

Une fonction, trois formes, quatre questions. Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6$ . Établissons d'abord ses trois formes.

Canonique : $f (x) = 2 (x^{2} - 2 x) - 6 = 2 [(x - 1)^{2} - 1] - 6 = 2 (x - 1)^{2} - 8$ .
Factorisée : $Δ = (- 4)^{2} - 4 \times 2 \times (- 6) = 16 + 48 = 64 = 8^{2}$ , d'où les racines $x_{1} = \frac{4 - 8}{4} = - 1$ et $x_{2} = \frac{4 + 8}{4} = 3$ , et $f (x) = 2 (x + 1) (x - 3)$ .

Quatre questions, quatre choix :

Quelle est l'image de $0$ ? Forme développée : $f (0) = c = - 6$ .
Résoudre $f (x) = 0$ . Forme factorisée : produit nul, donc $x = - 1$ ou $x = 3$ .
Quel est le minimum de $f$ ? Forme canonique : comme $a = 2 > 0$ , la fonction $f$ admet un minimum, $β = - 8$ , atteint en $α = 1$ .
Résoudre $f (x) = 10$ . Forme canonique : l'équation $2 (x - 1)^{2} - 8 = 10$ équivaut à $(x - 1)^{2} = 9$ , c'est-à-dire $x - 1 = 3$ ou $x - 1 = - 3$ , d'où $x = 4$ ou $x = - 2$ .

Chaque question avait sa forme. La question 4, par exemple, est aussi accessible par la forme développée ( $2 x^{2} - 4 x - 16 = 0$ , puis discriminant), mais au prix d'un calcul nettement plus long.

Cette souplesse est décisive dans les problèmes d'optimisation, où l'on cherche la valeur la plus grande (ou la plus petite) d'une aire, d'un coût, d'une hauteur…

Méthode

Optimiser une quantité avec la forme canonique.

Mettre le problème en fonction : choisir la variable $x$ et exprimer la quantité à optimiser comme une fonction de $x$ — souvent un trinôme.
Préciser l'intervalle d'étude, imposé par les contraintes concrètes du problème (longueurs positives, etc.).
Mettre sous forme canonique : l'extremum se lit alors directement — un maximum $β$ atteint en $α$ si $a < 0$ , un minimum $β$ atteint en $α$ si $a > 0$ — après avoir vérifié que $α$ appartient bien à l'intervalle d'étude.
Conclure en répondant à la question concrète, avec les unités.

Exemple

L'enclos de plus grande aire. Un jardinier dispose de $20$ mètres de grillage pour former un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur remplace l'un des côtés, le grillage fournit les trois autres. Quelles dimensions donnent à l'enclos la plus grande aire possible ?

Mise en fonction. Notons $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Le grillage restant pour le côté parallèle au mur mesure $20 - 2 x$ . L'aire de l'enclos vaut donc

A (x) = x (20 - 2 x) = - 2 x^{2} + 20 x .

Intervalle d'étude. Il faut $x > 0$ et $20 - 2 x > 0$ , c'est-à-dire $x < 10$ : on étudie $A$ sur $] 0; 10 [$ .
Forme canonique. $A (x) = - 2 (x^{2} - 10 x) = - 2 [(x - 5)^{2} - 25] = - 2 (x - 5)^{2} + 50$ . Comme $a = - 2 < 0$ , la fonction $A$ admet un maximum, égal à $50$ , atteint en $x = 5$ — qui appartient bien à l'intervalle d'étude.

x

0

5

10

A(x)

50

Conclusion. L'aire est maximale pour $x = 5$ : l'enclos mesure alors $5$ m sur $20 - 10 = 10$ m, et son aire vaut $5 \times 10 = 50 m^{2}$ .

En résumé : le second degré tient tout entier dans un va-et-vient entre trois écritures. La forme développée réduite donne les coefficients et l'image de $0$ ; la forme canonique révèle le sommet, les variations et l'extremum ; la forme factorisée, quand elle existe, livre les racines et le signe — et le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ orchestre l'ensemble. La méthode de résolution démontrée dans ce chapitre achève ainsi un problème ouvert il y a quatre millénaires, et la démarche « la bonne forme pour la bonne question » restera un réflexe précieux bien au-delà. Ce chapitre n'est d'ailleurs qu'un début : un prochain chapitre d'analyse, armé d'un outil entièrement nouveau, redémontrera les variations de la parabole et les étendra à bien d'autres fonctions ; et jusqu'en probabilités, l'étude de la variance fera resurgir… une forme canonique.

Le cours en PDF(PDF, 141 Ko)

Bloqué sur « Second degré » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver une séance

Forme

Écriture

Ce qu'on y lit directement

Existence

Développée réduite

a x^{2} + b x + c

le coefficient

a

; l'image de

0

f (0) = c

toujours

Canonique

a (x - α)^{2} + β

le sommet

S (α; β)

, l'extremum, les variations

toujours

Factorisée

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

les racines

x_{1}

x_{2}

, le signe

seulement si

Δ ⩾ 0

Question posée

Forme la plus efficace

Ce qu'on utilise

Image de

0

, coefficient

a

développée réduite

f (0) = c

Résoudre

f (x) = 0

, signe, inéquation

factorisée

produit nul, tableau de signes

Extremum, variations, sommet, axe de symétrie

canonique

α

β

Résoudre

f (x) = k

canonique

on se ramène à un carré égal à une constante