Suites numériques

Une population qui grandit d'année en année, un capital qui produit des intérêts, un ballon qui rebondit de moins en moins haut : de nombreux phénomènes évoluent par étapes, valeur après valeur. L'objet mathématique qui décrit ces évolutions discrètes est la suite numérique : une liste infinie de nombres, numérotés dans l'ordre. Ce chapitre met en place le vocabulaire et les modes de génération des suites, étudie deux familles fondamentales — les suites arithmétiques et les suites géométriques —, apprend à calculer des sommes de termes consécutifs, et jette un premier regard, encore intuitif, sur le comportement des suites à long terme.

Qu'est-ce qu'une suite ?

Le réel $u_n$ est le terme de rang $n$ (on dit aussi : d'indice $n$) de la suite. Lorsque la suite est définie sur $\mathbb{N}$ tout entier, $u_0$ est son terme initial. Il faut bien distinguer le rang d'un terme (sa position dans la liste) de sa valeur.

Une suite peut n'être définie qu'à partir d'un rang $n_0$ : la suite de terme général $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ n'existe qu'à partir du rang $1$, et la suite de terme général $v_n=\sqrt{n-3}$ à partir du rang $3$. On précise alors : « pour tout entier $n⩾1$ », « pour tout entier $n⩾3$ ».

Les trois façons d'engendrer une suite

Premier mode : la formule explicite. La suite est définie par une formule $u_n=f(n)$ qui donne chaque terme directement en fonction de son rang. N'importe quel terme se calcule alors immédiatement, sans connaître les autres.

Une suite se représente graphiquement par un nuage de points isolés de coordonnées $(n;u_n)$. On ne relie jamais ces points : la suite n'est définie que pour les valeurs entières de $n$.

Sur la figure, les sept premiers termes de la suite précédente : $5$, $2$, $1$, $2$, $5$, $10$, $17$. Les pointillés repèrent le point $(5;10)$ : le terme de rang $5$ vaut $10$.

Deuxième mode : la relation de récurrence. La suite est définie par la donnée de son premier terme et d'une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ qui exprime chaque terme en fonction du précédent. Les termes se calculent alors de proche en proche.

Troisième mode : un motif géométrique ou combinatoire. Une suite peut compter les objets d'une configuration qui grandit étape par étape. L'exemple le plus célèbre est celui des nombres triangulaires $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, … : le triangle de rang $n$ s'obtient en ajoutant une ligne de $n$ points sous le triangle précédent, de sorte que $t_n=1+2+3+\cdots +n$. Nous démontrerons dans la section sur les sommes que $t_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$.

Suites arithmétiques

Première famille fondamentale : les suites qui avancent d'un pas constant, en ajoutant toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite arithmétique est exactement une suite à accroissements constants : la différence entre deux termes consécutifs vaut toujours $r$. C'est ce qui fournit la méthode de preuve.

Démonstration. Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute $r$. De proche en proche : $u_1=u_0+r$, puis $u_2=u_1+r=u_0+2r$, puis $u_3=u_2+r=u_0+3r$, et ainsi de suite. Pour atteindre $u_n$ depuis $u_0$, on effectue $n$ passages au terme suivant, donc on ajoute $n$ fois la raison : $u_n=u_0+nr$. La formule générale s'en déduit : $u_n-u_p=(u_0+nr)-(u_0+pr)=(n-p)r$. $\mathrm{\square }$

Lien avec les fonctions affines. Le terme général s'écrit $u_n=rn+u_0$ : c'est l'image de $n$ par la fonction affine $x\mapsto rx+u_0$. Les points $(n;u_n)$ du nuage sont donc alignés sur la droite d'équation $y=rx+u_0$, de coefficient directeur $r$. Une suite arithmétique traduit une croissance linéaire.

Suites géométriques

Deuxième famille fondamentale : les suites qui avancent par multiplication constante, en multipliant toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Démonstration. Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie par $q$. De proche en proche : $u_1=q{u}_0$, puis $u_2=q{u}_1=q^2{u}_0$, puis $u_3=q{u}_2=q^3{u}_0$, et ainsi de suite. Pour atteindre $u_n$ depuis $u_0$, on effectue $n$ multiplications par $q$, donc $u_n=u_0\times q^n$. De même, pour aller de $u_p$ à $u_n$, on multiplie $n-p$ fois par $q$, d'où $u_n=u_p\times q^{n-p}$. $\mathrm{\square }$

Lien avec les évolutions à taux constant. On sait depuis la seconde qu'augmenter une quantité de $t\mathrm{\%}$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$, et que la diminuer de $t\mathrm{\%}$ revient à la multiplier par $1-{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Une quantité qui subit la même évolution en pourcentage à chaque étape est donc modélisée par une suite géométrique. Réflexe à installer : « évolution à taux fixe » se traduit par « suite géométrique ».

Sens de variation d'une suite

Attention à la réciproque de la troisième stratégie. Si $(u_n)$ est croissante, la fonction $f$ n'est pas forcément croissante : la suite ne « voit » $f$ qu'aux points entiers. Ainsi, pour $f(x)={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$, la fonction décroît sur $[0;{\displaystyle \frac{1}{2}}]$, donc n'est pas croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ ; pourtant la suite de terme général $u_n=f(n)$ est croissante, car $u_{n+1}-u_n={(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=2n⩾0$.

Sommes de termes consécutifs

Combien vaut $1+2+3+\cdots +100$ ? Additionner les termes un à un serait long ; une idée astucieuse donne le résultat en deux lignes.

Démonstration (méthode de Gauss). Notons $S$ cette somme, et écrivons-la dans les deux sens :

$$S=1+2+\cdots +(n-1)+n\text{et}S=n+(n-1)+\cdots +2+1.$$

Additionnons les deux égalités en regroupant les termes par colonnes : chaque colonne vaut $1+n$, puis $2+(n-1)$, puis $3+(n-2)$… soit toujours $n+1$, et il y a $n$ colonnes. Donc $2S=n(n+1)$, c'est-à-dire $S={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Ainsi $1+2+\cdots +100={\displaystyle \frac{100\times 101}{2}}=5050$, et la formule des nombres triangulaires annoncée à la section 2 est démontrée : $t_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$.

Démonstration. Notons $S=1+q+q^2+\cdots +q^n$ et calculons $(1-q)S=S-qS$. En multipliant chaque terme de $S$ par $q$ :

$$qS=q+q^2+\cdots +q^n+q^{n+1}\mathrm{.}$$

Les sommes $S$ et $qS$ contiennent les mêmes termes $q$, $q^2$, …, $q^n$ : dans la différence $S-qS$, ils s'éliminent tous deux à deux, et il ne reste que le premier terme de $S$ et le dernier de $qS$ :

$$S-qS=1-q^{n+1}\mathrm{.}$$

Comme $q\mathrm{\ne }1$, on peut diviser les deux membres par $1-q$, ce qui donne la formule. $\mathrm{\square }$

Modéliser avec des suites : linéaire ou exponentiel ?

Les deux familles étudiées correspondent à deux modes d'évolution radicalement différents :

• une quantité qui gagne ou perd le même montant à chaque étape (accroissements constants) suit un modèle arithmétique : c'est la croissance linéaire, celle des points alignés ;
• une quantité qui évolue au même taux à chaque étape (coefficient multiplicateur constant) suit un modèle géométrique : c'est la croissance exponentielle. Le lien précis avec la fonction exponentielle sera établi dans un chapitre ultérieur.

Sur la figure, la suite arithmétique de terme général $a_n=3+2n$ (en bleu) progresse régulièrement, tandis que la suite géométrique de terme général $g_n=3\times {\mathrm{1,4}}^n$ (en doré) démarre plus lentement… puis accélère : dès le rang $4$, elle dépasse la suite arithmétique, et l'écart se creuse ensuite de plus en plus vite. C'est un fait général : une suite géométrique de terme initial strictement positif et de raison $q>1$ finit toujours par dépasser n'importe quelle suite arithmétique.

Vers la notion de limite (approche intuitive)

Que deviennent les termes d'une suite lorsque le rang $n$ devient très grand ? Observons trois comportements types.

Premier comportement : les termes s'accumulent sur une valeur. Soit $(u_n)$ la suite de terme général $u_n=5+8\times {\mathrm{0,6}}^n$. Dressons un tableau de valeurs :

L'écart entre $u_n$ et $5$, égal à $8\times {\mathrm{0,6}}^n$, semble devenir aussi petit que l'on veut pourvu que $n$ soit assez grand : les points du nuage s'accumulent sur la droite d'équation $y=5$. On conjecture que $u_n$ tend vers $5$ lorsque $n$ devient grand.

Deuxième comportement : les termes dépassent tout nombre fixé. Soit $(v_n)$ la suite de terme général $v_n=\mathrm{0,3}{n}^2$. Ses termes finissent par dépasser n'importe quel nombre fixé à l'avance : $v_n>1000$ dès que $n⩾58$, et $v_n>{10}^6$ dès que $n⩾1826$. On conjecture que $v_n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Le rang à partir duquel un seuil est dépassé se trouve à la calculatrice, par un tableau de valeurs, ou avec une boucle while :

n = 0
while 0.3 * n**2 <= 10**6:
    n = n + 1
print(n)  # affiche 1826

Troisième comportement : ni l'un ni l'autre. Soit $(w_n)$ la suite de terme général $w_n=5+3\times (-1{)}^n$. Ses termes valent alternativement $8$ (rangs pairs) et $2$ (rangs impairs) : ils ne s'accumulent sur aucune valeur unique et ne dépassent pas tout nombre fixé. Cette suite n'a pas de limite.

Suites et Python

Python manipule naturellement les suites : le rang est l'entier d'une boucle, et les premiers termes se rangent dans une liste.

Formule explicite et liste des premiers termes, pour la suite de terme général $u_n=n^2-4n+5$ :

def u(n):
    # formule explicite
    return n**2 - 4*n + 5

valeurs = []
for n in range(7):
    valeurs.append(u(n))
print(valeurs)  # affiche [5, 2, 1, 2, 5, 10, 17]

Calcul de proche en proche et somme cumulée, pour la suite définie par $v_0=4$ et $v_{n+1}=2v_n-3$ :

# suite definie par v(0) = 4 et v(n+1) = 2*v(n) - 3
terme = 4
somme = 4
for k in range(10):
    terme = 2 * terme - 3
    somme = somme + terme
print(terme)  # v(10) : affiche 1027
print(somme)  # v(0) + v(1) + ... + v(10) : affiche 2080

Enfin, la suite factorielle, citée par le programme : elle est définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=(n+1)\times u_n$, de sorte que $u_n=1\times 2\times \cdots \times n$ pour $n⩾1$. Ce nombre se note $n!$ et se lit « factorielle $n$ ».

def factorielle(n):
    # f(0) = 1 et f(n) = n * f(n-1)
    f = 1
    for k in range(1, n + 1):
        f = f * k
    return f

print(factorielle(6))  # affiche 720

La suite de Fibonacci, autre grand classique cité par le programme (chaque terme est la somme des deux précédents), est étudiée en exercice.

L'essentiel en un coup d'œil

• Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ; $u_n$ est le terme de rang $n$ ; sa représentation graphique est un nuage de points isolés, jamais reliés.
• Trois modes de génération : formule explicite $u_n=f(n)$ (tout terme accessible directement), relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ avec terme initial (calcul de proche en proche), motif géométrique ou combinatoire.
• Sens de variation : signe de $u_{n+1}-u_n$ ; pour des termes strictement positifs, comparaison de ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ avec $1$ ; sens de variation de $f$ lorsque $u_n=f(n)$.
• Comportement à long terme : en première, on conjecture (tableau de valeurs, nuage de points, algorithme de seuil) — la théorie des limites attendra la terminale.