1ʳᵉ spé · Chapitre 01 · Algèbre

Suites numériques

Modes de génération, suites arithmétiques et géométriques, terme général, sommes, approche de la limite.

Ce qu'il faut savoir faire

Modes de génération
Suites arithmétiques et géométriques
Terme général
Sommes
Approche de la limite

Une population qui grandit d'année en année, un capital qui produit des intérêts, un ballon qui rebondit de moins en moins haut : de nombreux phénomènes évoluent par étapes, valeur après valeur. L'objet mathématique qui décrit ces évolutions discrètes est la suite numérique : une liste infinie de nombres, numérotés dans l'ordre. Ce chapitre met en place le vocabulaire et les modes de génération des suites, étudie deux familles fondamentales — les suites arithmétiques et les suites géométriques —, apprend à calculer des sommes de termes consécutifs, et jette un premier regard, encore intuitif, sur le comportement des suites à long terme.

Qu'est-ce qu'une suite ?

Définition

Suite numérique. Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble $N$ des entiers naturels (éventuellement à partir d'un certain rang) et à valeurs réelles : à chaque entier naturel $n$ , elle associe un unique réel.

La suite se note $(u_{n})$ , et le réel qu'elle associe à l'entier $n$ se note $u_{n}$ . On rencontre aussi les notations $(u (n))$ et $u (n)$ , héritées des fonctions.

Le réel $u_{n}$ est le terme de rang $n$ (on dit aussi : d'indice $n$ ) de la suite. Lorsque la suite est définie sur $N$ tout entier, $u_{0}$ est son terme initial. Il faut bien distinguer le rang d'un terme (sa position dans la liste) de sa valeur.

Exemple

Soit $(u_{n})$ la suite des nombres impairs : $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 3$ , $u_{2} = 5$ , $u_{3} = 7$ … Le terme de rang $2$ vaut $5$ : son indice est $2$ , sa valeur est $5$ . Cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = 2 n + 1$ .

Remarque

Ne pas confondre $u_{n + 1}$ et $u_{n} + 1$ . Le terme $u_{n + 1}$ est le terme qui suit $u_{n}$ dans la liste : c'est l'indice qui augmente de $1$ . Au contraire, $u_{n} + 1$ est la valeur du terme $u_{n}$ augmentée de $1$ . Pour la suite des nombres impairs : $u_{n + 1} = 2 (n + 1) + 1 = 2 n + 3$ , alors que $u_{n} + 1 = 2 n + 2$ . La même vigilance s'impose entre $u_{2 n}$ et $2 u_{n}$ .

Une suite peut n'être définie qu'à partir d'un rang $n_{0}$ : la suite de terme général $u_{n} = \frac{1}{n}$ n'existe qu'à partir du rang $1$ , et la suite de terme général $v_{n} = \sqrt{n - 3}$ à partir du rang $3$ . On précise alors : « pour tout entier $n ⩾ 1$ », « pour tout entier $n ⩾ 3$ ».

Les trois façons d'engendrer une suite

Premier mode : la formule explicite. La suite est définie par une formule $u_{n} = f (n)$ qui donne chaque terme directement en fonction de son rang. N'importe quel terme se calcule alors immédiatement, sans connaître les autres.

Exemple

Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = n^{2} - 4 n + 5$ . On calcule $u_{0} = 5$ , $u_{1} = 1 - 4 + 5 = 2$ , $u_{2} = 4 - 8 + 5 = 1$ , et directement, sans étape intermédiaire : $u_{50} = 2500 - 200 + 5 = 2305$ .

Une suite se représente graphiquement par un nuage de points isolés de coordonnées $(n; u_{n})$ . On ne relie jamais ces points : la suite n'est définie que pour les valeurs entières de $n$ .

Nuage de points de la suite définie par u_n = n^2 - 4n + 5

Sur la figure, les sept premiers termes de la suite précédente : $5$ , $2$ , $1$ , $2$ , $5$ , $10$ , $17$ . Les pointillés repèrent le point $(5; 10)$ : le terme de rang $5$ vaut $10$ .

Deuxième mode : la relation de récurrence. La suite est définie par la donnée de son premier terme et d'une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ qui exprime chaque terme en fonction du précédent. Les termes se calculent alors de proche en proche.

Exemple

Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 3$ . On calcule successivement $v_{1} = 2 \times 4 - 3 = 5$ , puis $v_{2} = 2 \times 5 - 3 = 7$ , puis $v_{3} = 2 \times 7 - 3 = 11$ . Pour obtenir $v_{50}$ , il faut connaître $v_{49}$ , qui exige $v_{48}$ , et ainsi de suite : impossible d'atteindre $v_{50}$ directement — sauf à découvrir une formule explicite, ou à confier les calculs à un algorithme (voir la section Python en fin de chapitre).

Troisième mode : un motif géométrique ou combinatoire. Une suite peut compter les objets d'une configuration qui grandit étape par étape. L'exemple le plus célèbre est celui des nombres triangulaires $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15$ , … : le triangle de rang $n$ s'obtient en ajoutant une ligne de $n$ points sous le triangle précédent, de sorte que $t_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ . Nous démontrerons dans la section sur les sommes que $t_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Méthode

Passer d'un mode de génération à l'autre.

De l'explicite vers la récurrence : exprimer $u_{n + 1}$ à l'aide de la formule, puis faire apparaître $u_{n}$ . Pour $u_{n} = 3 n + 2$ : $u_{n + 1} = 3 (n + 1) + 2 = (3 n + 2) + 3 = u_{n} + 3$ ; la suite vérifie donc $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ .
De la récurrence vers l'explicite : c'est difficile en général. Ce chapitre résout complètement le problème pour deux familles de suites, les arithmétiques et les géométriques.
Vers un algorithme : tout mode de génération se traduit en quelques lignes de Python (dernière section).

Suites arithmétiques

Première famille fondamentale : les suites qui avancent d'un pas constant, en ajoutant toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Définition

Suite arithmétique. Une suite $(u_{n})$ est arithmétique lorsqu'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n + 1} = u_{n} + r .

Le réel $r$ s'appelle la raison de la suite.

Exemple

La suite des nombres impairs $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , … est arithmétique de terme initial $u_{0} = 1$ et de raison $r = 2$ .
La suite définie par $u_{0} = 100$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 7$ est arithmétique de raison $r = - 7$ : ses termes sont $100$ , $93$ , $86$ , $79$ , …
Contre-exemple. La suite des carrés $0$ , $1$ , $4$ , $9$ , … n'est pas arithmétique : on passe de $0$ à $1$ en ajoutant $1$ , mais de $1$ à $4$ en ajoutant $3$ . Les accroissements ne sont pas constants.

Une suite arithmétique est exactement une suite à accroissements constants : la différence entre deux termes consécutifs vaut toujours $r$ . C'est ce qui fournit la méthode de preuve.

Méthode

Prouver qu'une suite est arithmétique. Calculer la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ pour un entier naturel $n$ quelconque, et la simplifier. Si le résultat est une constante $r$ , indépendante de $n$ , la suite est arithmétique de raison $r$ ; si le résultat dépend de $n$ , elle ne l'est pas. Acquis depuis : première (ens. scient.).

Exemple : pour la suite de terme général $u_{n} = 5 n - 3$ , on a, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = 5 (n + 1) - 3 - (5 n - 3) = 5$ : la suite est arithmétique de raison $5$ et de terme initial $u_{0} = - 3$ .

Propriété

Terme général. Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ , alors pour tout entier naturel $n$ :

u_{n} = u_{0} + n r .

Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .

Démonstration. Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute $r$ . De proche en proche : $u_{1} = u_{0} + r$ , puis $u_{2} = u_{1} + r = u_{0} + 2 r$ , puis $u_{3} = u_{2} + r = u_{0} + 3 r$ , et ainsi de suite. Pour atteindre $u_{n}$ depuis $u_{0}$ , on effectue $n$ passages au terme suivant, donc on ajoute $n$ fois la raison : $u_{n} = u_{0} + n r$ . La formule générale s'en déduit : $u_{n} - u_{p} = (u_{0} + n r) - (u_{0} + p r) = (n - p) r$ . $□$

a. $(u_{n})$ arithmétique de terme initial $u_{0} = 7$ et de raison $r = - 2$ : $u_{20} = 7 + 20 \times (- 2) = - 33$ .

b. $(v_{n})$ arithmétique de raison $r = 3$ avec $v_{5} = 14$ : $v_{12} = v_{5} + (12 - 5) \times 3 = 14 + 21 = 35$ .

Lien avec les fonctions affines. Le terme général s'écrit $u_{n} = r n + u_{0}$ : c'est l'image de $n$ par la fonction affine $x \mapsto r x + u_{0}$ . Les points $(n; u_{n})$ du nuage sont donc alignés sur la droite d'équation $y = r x + u_{0}$ , de coefficient directeur $r$ . Une suite arithmétique traduit une croissance linéaire.

Suites géométriques

Deuxième famille fondamentale : les suites qui avancent par multiplication constante, en multipliant toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Définition

Suite géométrique. Une suite $(u_{n})$ est géométrique lorsqu'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n + 1} = q \times u_{n} .

Le réel $q$ s'appelle la raison de la suite.

Exemple

La suite des puissances de $2$ , soit $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , …, est géométrique de terme initial $u_{0} = 1$ et de raison $q = 2$ .
La suite définie par $u_{0} = 1000$ et $u_{n + 1} = 0,5 u_{n}$ est géométrique de raison $0,5$ : ses termes sont $1000$ , $500$ , $250$ , $125$ , …
Contre-exemple. Pour la suite des nombres triangulaires $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , …, on passe de $1$ à $3$ en multipliant par $3$ , mais de $3$ à $6$ en multipliant par $2$ : elle n'est pas géométrique.

Remarque

Dans les exemples de ce chapitre, la raison est strictement positive. Une raison négative est possible : avec $u_{0} = 1$ et $q = - 2$ , on obtient $1$ , $- 2$ , $4$ , $- 8$ , $16$ , … — les termes alternent en signe.

Méthode

Prouver qu'une suite est géométrique. Lorsque tous les termes sont non nuls, calculer le quotient $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ pour un entier naturel $n$ quelconque, et le simplifier. Si le résultat est une constante $q$ , indépendante de $n$ , la suite est géométrique de raison $q$ . Acquis depuis : première (ens. scient.).

Exemple : pour la suite de terme général $u_{n} = 5 \times 3^{n}$ , on a, pour tout entier naturel $n$ , $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5 \times 3^{n + 1}}{5 \times 3^{n}} = 3$ : la suite est géométrique de raison $3$ .

Propriété

Terme général. Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ , alors pour tout entier naturel $n$ :

u_{n} = u_{0} \times q^{n} .

Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ .

Démonstration. Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie par $q$ . De proche en proche : $u_{1} = q u_{0}$ , puis $u_{2} = q u_{1} = q^{2} u_{0}$ , puis $u_{3} = q u_{2} = q^{3} u_{0}$ , et ainsi de suite. Pour atteindre $u_{n}$ depuis $u_{0}$ , on effectue $n$ multiplications par $q$ , donc $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ . De même, pour aller de $u_{p}$ à $u_{n}$ , on multiplie $n - p$ fois par $q$ , d'où $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ . $□$

a. $(u_{n})$ géométrique de terme initial $u_{0} = 5$ et de raison $q = 2$ : $u_{10} = 5 \times 2^{10} = 5 \times 1024 = 5120$ .

b. $(v_{n})$ géométrique de raison $q = 3$ avec $v_{3} = 54$ : $v_{7} = v_{3} \times 3^{7 - 3} = 54 \times 81 = 4374$ .

Lien avec les évolutions à taux constant. On sait depuis la seconde qu'augmenter une quantité de $t %$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $1 + \frac{t}{100}$ , et que la diminuer de $t %$ revient à la multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . Une quantité qui subit la même évolution en pourcentage à chaque étape est donc modélisée par une suite géométrique. Réflexe à installer : « évolution à taux fixe » se traduit par « suite géométrique ».

Exemple

La population d'une ville de $20 000$ habitants augmente de $4 %$ chaque année. En notant $p_{n}$ la population après $n$ années, on a $p_{n + 1} = (1 + \frac{4}{100}) p_{n} = 1,04 p_{n}$ : la suite $(p_{n})$ est géométrique de raison $1,04$ et de terme initial $p_{0} = 20 000$ , donc $p_{n} = 20 000 \times {1,04}^{n}$ . Après dix ans : $p_{10} = 20 000 \times {1,04}^{10} \approx 29 605$ habitants.

Sens de variation d'une suite

Définition

Suite croissante, décroissante, constante. Soit $(u_{n})$ une suite.

$(u_{n})$ est croissante lorsque $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ ;
$(u_{n})$ est décroissante lorsque $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ ;
$(u_{n})$ est constante lorsque $u_{n + 1} = u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ .

Avec des inégalités strictes, la suite est dite strictement croissante ( $u_{n + 1} > u_{n}$ ) ou strictement décroissante ( $u_{n + 1} < u_{n}$ ).

Remarque

Une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : la suite de terme général $u_{n} = (- 1)^{n}$ , dont les termes sont $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , …, monte et descend alternativement.

Méthode

Étudier le sens de variation d'une suite. Trois stratégies.

Signe de la différence. Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ : toujours positif ou nul donne une suite croissante, toujours négatif ou nul une suite décroissante.
Quotient comparé à $1$ , réservé aux suites à termes strictement positifs. Si $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} ⩾ 1$ pour tout entier naturel $n$ , la suite est croissante ; si $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} ⩽ 1$ , elle est décroissante. Stratégie efficace lorsque l'expression contient des puissances.
Par une fonction. Si $u_{n} = f (n)$ pour tout entier naturel $n$ et si $f$ est croissante sur $[0; + \infty [$ , alors $(u_{n})$ est croissante ; de même avec « décroissante ».

Exemple

Trois études rédigées.

Soit $u_{n} = n^{2} - n$ . Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - (n + 1) - (n^{2} - n) = 2 n ⩾ 0$ : la suite $(u_{n})$ est croissante.
Soit $v_{n} = \frac{3^{n}}{n + 1}$ , à termes strictement positifs. Pour tout entier naturel $n$ ,

\frac{v_{n + 1}}{v_{n}} = \frac{3^{n + 1}}{n + 2} \times \frac{n + 1}{3^{n}} = \frac{3 n + 3}{n + 2} ⩾ 1,

car $3 n + 3 ⩾ n + 2$ équivaut à $2 n ⩾ - 1$ , vrai pour tout entier naturel $n$ . La suite $(v_{n})$ est croissante.

Soit $w_{n} = \sqrt{n}$ . La fonction racine carrée est croissante sur $[0; + \infty [$ , donc la suite $(w_{n})$ est croissante.

Attention à la réciproque de la troisième stratégie. Si $(u_{n})$ est croissante, la fonction $f$ n'est pas forcément croissante : la suite ne « voit » $f$ qu'aux points entiers. Ainsi, pour $f (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{2}$ , la fonction décroît sur $[0; \frac{1}{2}]$ , donc n'est pas croissante sur $[0; + \infty [$ ; pourtant la suite de terme général $u_{n} = f (n)$ est croissante, car $u_{n + 1} - u_{n} = {(n + \frac{1}{2})}^{2} - {(n - \frac{1}{2})}^{2} = 2 n ⩾ 0$ .

Propriété

Variations des suites arithmétiques et géométriques.

Une suite arithmétique de raison $r$ est strictement croissante si $r > 0$ , strictement décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ . En effet, $u_{n + 1} - u_{n} = r$ pour tout entier naturel $n$ .
Une suite géométrique de terme initial $u_{0} > 0$ et de raison $q > 0$ est strictement croissante si $q > 1$ , strictement décroissante si $0 < q < 1$ , constante si $q = 1$ . En effet, $u_{n + 1} - u_{n} = u_{0} q^{n} (q - 1)$ , où $u_{0} q^{n} > 0$ : le signe de la différence est celui de $q - 1$ .

Sommes de termes consécutifs

Combien vaut $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ ? Additionner les termes un à un serait long ; une idée astucieuse donne le résultat en deux lignes.

Propriété

Somme des premiers entiers. Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ :

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} .

Démonstration (méthode de Gauss). Notons $S$ cette somme, et écrivons-la dans les deux sens :

S = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n et S = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1.

Additionnons les deux égalités en regroupant les termes par colonnes : chaque colonne vaut $1 + n$ , puis $2 + (n - 1)$ , puis $3 + (n - 2)$ … soit toujours $n + 1$ , et il y a $n$ colonnes. Donc $2 S = n (n + 1)$ , c'est-à-dire $S = \frac{n (n + 1)}{2}$ . $□$

Ainsi $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ , et la formule des nombres triangulaires annoncée à la section 2 est démontrée : $t_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Remarque

Un peu d'histoire. La légende raconte que Gauss, écolier, trouva $1 + 2 + \dots + 100 = 5050$ en quelques secondes grâce à cette astuce. Bien avant lui, Nicole Oresme calculait au XIVe siècle des sommes de suites géométriques, et Léonard de Pise, dit Fibonacci, introduisait dès 1202 sa célèbre suite en modélisant la croissance d'un élevage de lapins.

Méthode

Calculer une somme de termes consécutifs.

Compter les termes : de $u_{p}$ à $u_{n}$ , la somme compte $n - p + 1$ termes.
Suite arithmétique : développer chaque terme, puis factoriser pour faire apparaître $1 + 2 + \dots + n$ .
Suite géométrique : factoriser par le premier terme pour faire apparaître $1 + q + \dots + q^{n}$ (propriété ci-dessous).

Exemple

Somme de termes d'une suite arithmétique. Soit $(u_{n})$ la suite de terme général $u_{n} = 5 + 3 n$ , et $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{20}$ , somme de $21$ termes. En écrivant chaque terme :

S = (5 + 3 \times 0) + (5 + 3 \times 1) + \dots + (5 + 3 \times 20) = 21 \times 5 + 3 \times (1 + 2 + \dots + 20) .

Or $1 + 2 + \dots + 20 = \frac{20 \times 21}{2} = 210$ , donc $S = 105 + 3 \times 210 = 735$ .

Propriété

Somme des premières puissances de $q$ . Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ :

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} .

Démonstration. Notons $S = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ et calculons $(1 - q) S = S - q S$ . En multipliant chaque terme de $S$ par $q$ :

q S = q + q^{2} + \dots + q^{n} + q^{n + 1} .

Les sommes $S$ et $q S$ contiennent les mêmes termes $q$ , $q^{2}$ , …, $q^{n}$ : dans la différence $S - q S$ , ils s'éliminent tous deux à deux, et il ne reste que le premier terme de $S$ et le dernier de $q S$ :

S - q S = 1 - q^{n + 1} .

Comme $q \neq 1$ , on peut diviser les deux membres par $1 - q$ , ce qui donne la formule. $□$

Exemple

Somme des puissances de $2$ . Avec $q = 2$ :

1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2048}{- 1} = 2047 = 2^{11} - 1.

Pour une suite géométrique quelconque, on factorise par le premier terme : $3 + 3 \times 2 + 3 \times 2^{2} + \dots + 3 \times 2^{10} = 3 \times (1 + 2 + \dots + 2^{10}) = 3 \times 2047 = 6141$ .

Modéliser avec des suites : linéaire ou exponentiel ?

Les deux familles étudiées correspondent à deux modes d'évolution radicalement différents :

une quantité qui gagne ou perd le même montant à chaque étape (accroissements constants) suit un modèle arithmétique : c'est la croissance linéaire, celle des points alignés ;
une quantité qui évolue au même taux à chaque étape (coefficient multiplicateur constant) suit un modèle géométrique : c'est la croissance exponentielle. Le lien précis avec la fonction exponentielle sera établi dans un chapitre ultérieur.

Croissance linéaire contre croissance exponentielle

Sur la figure, la suite arithmétique de terme général $a_{n} = 3 + 2 n$ (en bleu) progresse régulièrement, tandis que la suite géométrique de terme général $g_{n} = 3 \times {1,4}^{n}$ (en doré) démarre plus lentement… puis accélère : dès le rang $4$ , elle dépasse la suite arithmétique, et l'écart se creuse ensuite de plus en plus vite. C'est un fait général : une suite géométrique de terme initial strictement positif et de raison $q > 1$ finit toujours par dépasser n'importe quelle suite arithmétique.

Méthode

Reconnaître le bon modèle dans un énoncé. Acquis depuis : première (ens. scient.).

Repérer la quantité étudiée et le pas de temps, puis poser la suite : « $u_{n}$ désigne la valeur après $n$ étapes ».
Traduire l'évolution d'une étape à la suivante :
- « augmente de $50$ € chaque mois », « perd $2$ points à chaque partie » : accroissement constant, modèle arithmétique, $u_{n + 1} = u_{n} + r$ ;
- « augmente de $5 %$ par an », « perd $30 %$ de sa valeur à chaque rebond » : taux constant, modèle géométrique, $u_{n + 1} = (1 + \frac{t}{100}) u_{n}$ ou $u_{n + 1} = (1 - \frac{t}{100}) u_{n}$ .
Devant un tableau de données sans indication : calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ (constant pour une suite arithmétique), puis $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ (constant pour une suite géométrique).

Exemple

Capital à intérêts composés. On place $2 000$ € au taux annuel de $3 %$ : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts. En notant $c_{n}$ le capital en euros après $n$ années : $c_{n + 1} = 1,03 c_{n}$ , donc $(c_{n})$ est géométrique de raison $1,03$ , et $c_{n} = 2000 \times {1,03}^{n}$ . Après dix ans : $c_{10} = 2000 \times {1,03}^{10} \approx 2687,83$ €. Si la banque versait chaque année les mêmes $60$ € d'intérêts (modèle arithmétique de raison $60$ ), le capital ne serait que de $2600$ € : les intérêts composés rapportent davantage, et l'écart s'amplifie avec le temps.

Vers la notion de limite (approche intuitive)

Que deviennent les termes d'une suite lorsque le rang $n$ devient très grand ? Observons trois comportements types.

Trois comportements de suites pour n grand

Premier comportement : les termes s'accumulent sur une valeur. Soit $(u_{n})$ la suite de terme général $u_{n} = 5 + 8 \times {0,6}^{n}$ . Dressons un tableau de valeurs :

$n$	$0$	$1$	$2$	$5$	$10$	$20$
$u_{n}$	$13$	$9,8$	$7,88$	$\approx 5,62$	$\approx 5,05$	$\approx 5,0003$

L'écart entre $u_{n}$ et $5$ , égal à $8 \times {0,6}^{n}$ , semble devenir aussi petit que l'on veut pourvu que $n$ soit assez grand : les points du nuage s'accumulent sur la droite d'équation $y = 5$ . On conjecture que $u_{n}$ tend vers $5$ lorsque $n$ devient grand.

Deuxième comportement : les termes dépassent tout nombre fixé. Soit $(v_{n})$ la suite de terme général $v_{n} = 0,3 n^{2}$ . Ses termes finissent par dépasser n'importe quel nombre fixé à l'avance : $v_{n} > 1000$ dès que $n ⩾ 58$ , et $v_{n} > 10^{6}$ dès que $n ⩾ 1826$ . On conjecture que $v_{n}$ tend vers $+ \infty$ . Le rang à partir duquel un seuil est dépassé se trouve à la calculatrice, par un tableau de valeurs, ou avec une boucle while :

n = 0
while 0.3 * n**2 <= 10**6:
    n = n + 1
print(n)  # affiche 1826

Troisième comportement : ni l'un ni l'autre. Soit $(w_{n})$ la suite de terme général $w_{n} = 5 + 3 \times (- 1)^{n}$ . Ses termes valent alternativement $8$ (rangs pairs) et $2$ (rangs impairs) : ils ne s'accumulent sur aucune valeur unique et ne dépassent pas tout nombre fixé. Cette suite n'a pas de limite.

Remarque

À ce stade, « tend vers » relève de la conjecture, appuyée sur un tableau de valeurs, un nuage de points ou un algorithme. La définition précise de la limite d'une suite, et les théorèmes qui permettent de la démontrer, sont un objectif de la classe de terminale.

Suites et Python

Python manipule naturellement les suites : le rang est l'entier d'une boucle, et les premiers termes se rangent dans une liste.

Méthode

Programmer une suite.

Formule explicite : écrire une fonction def u(n) qui renvoie directement l'expression.
Relation de récurrence : partir du terme initial et appliquer la relation dans une boucle for ( $n$ tours de boucle pour atteindre le terme de rang $n$ ).
Liste des premiers termes : partir de la liste vide [] et la remplir avec append.
Somme cumulée : mettre à jour une variable somme à chaque tour de boucle.
Recherche de seuil : utiliser une boucle while tant que le seuil n'est pas atteint (voir la section précédente).

Formule explicite et liste des premiers termes, pour la suite de terme général $u_{n} = n^{2} - 4 n + 5$ :

def u(n):
    # formule explicite
    return n**2 - 4*n + 5

valeurs = []
for n in range(7):
    valeurs.append(u(n))
print(valeurs)  # affiche [5, 2, 1, 2, 5, 10, 17]

Calcul de proche en proche et somme cumulée, pour la suite définie par $v_{0} = 4$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 3$ :

# suite definie par v(0) = 4 et v(n+1) = 2*v(n) - 3
terme = 4
somme = 4
for k in range(10):
    terme = 2 * terme - 3
    somme = somme + terme
print(terme)  # v(10) : affiche 1027
print(somme)  # v(0) + v(1) + ... + v(10) : affiche 2080

Enfin, la suite factorielle, citée par le programme : elle est définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = (n + 1) \times u_{n}$ , de sorte que $u_{n} = 1 \times 2 \times \dots \times n$ pour $n ⩾ 1$ . Ce nombre se note $n!$ et se lit « factorielle $n$ ».

def factorielle(n):
    # f(0) = 1 et f(n) = n * f(n-1)
    f = 1
    for k in range(1, n + 1):
        f = f * k
    return f

print(factorielle(6))  # affiche 720

La suite de Fibonacci, autre grand classique cité par le programme (chaque terme est la somme des deux précédents), est étudiée en exercice.

L'essentiel en un coup d'œil

Une suite est une fonction définie sur $N$ ; $u_{n}$ est le terme de rang $n$ ; sa représentation graphique est un nuage de points isolés, jamais reliés.
Trois modes de génération : formule explicite $u_{n} = f (n)$ (tout terme accessible directement), relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec terme initial (calcul de proche en proche), motif géométrique ou combinatoire.
Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ; pour des termes strictement positifs, comparaison de $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ avec $1$ ; sens de variation de $f$ lorsque $u_{n} = f (n)$ .
Comportement à long terme : en première, on conjecture (tableau de valeurs, nuage de points, algorithme de seuil) — la théorie des limites attendra la terminale.

	Arithmétique	Géométrique
Définition	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \times u_{n}$
Terme général	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
Variation	selon le signe de $r$	pour $u_{0} > 0$ : selon $q$ face à $1$
Somme clé	$1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$	$1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ ( $q \neq 1$ )
Modèle	accroissements constants — croissance linéaire	taux constant — croissance exponentielle

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n

0

1

2

5

10

20

u_{n}

13

9,8

7,88

\approx 5,62

\approx 5,05

\approx 5,0003

# suite definie par v(0) = 4 et v(n+1) = 2*v(n) - 3 terme = 4 somme = 4 for k in range(10): terme = 2 * terme - 3 somme = somme + terme print(terme) # v(10) : affiche 1027 print(somme) # v(0) + v(1) + ... + v(10) : affiche 2080

Arithmétique

Géométrique

Définition

u_{n + 1} = u_{n} + r

u_{n + 1} = q \times u_{n}

Terme général

u_{n} = u_{0} + n r

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

Variation

selon le signe de

r

pour

u_{0} > 0

: selon

q

face à

1

Somme clé

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq 1

)

Modèle

accroissements constants — croissance linéaire

taux constant — croissance exponentielle