Géométrie repérée

Au dix-septième siècle, René Descartes a eu une idée qui a transformé les mathématiques : repérer chaque point du plan par deux nombres, ses coordonnées. Les objets géométriques — droites, cercles — deviennent alors des équations, et les raisonnements géométriques se ramènent à des calculs. En seconde, cette méthode a permis d'étudier les droites à l'aide de leurs équations cartésiennes et de leurs vecteurs directeurs. Le chapitre précédent a fourni un outil nouveau : le produit scalaire, qui détecte l'orthogonalité. En combinant les deux, ce chapitre enrichit la géométrie repérée de tout ce qui touche à la perpendicularité : vecteurs normaux, projections orthogonales, équations de cercles. Dans tout le chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}})$ — c'est indispensable, car les formules du produit scalaire en coordonnées ne valent que dans un tel repère.

Rappels : droites et vecteurs directeurs

Rappelons brièvement les acquis de seconde, sans les redémontrer.

Une même droite admet une infinité d'équations cartésiennes : en multipliant $3x-2y+5=0$ par $2$, on obtient $6x-4y+10=0$, qui décrit exactement la même droite. On choisit en général l'équation aux coefficients les plus simples.

Rappelons enfin les formules du produit scalaire qui serviront sans cesse : dans un repère orthonormé, pour $\vec{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$,

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }},\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{x^2+y^2},$$

et $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}=0$.

Vecteur normal à une droite

Jusqu'ici, une droite était décrite par sa direction : un vecteur directeur. L'idée nouvelle de ce chapitre est de la décrire par sa perpendiculaire : un vecteur normal. Cela peut sembler un détour, mais c'est en réalité un raccourci — le produit scalaire rend les vecteurs normaux extraordinairement commodes.

Comme tous les vecteurs directeurs d'une droite sont colinéaires entre eux, un vecteur orthogonal à l'un est orthogonal à tous : la définition ne dépend pas du vecteur directeur choisi. Et si $\vec{n}$ est normal à $d$, tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{n}$ l'est aussi : une droite admet une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux.

Voici la propriété centrale du chapitre. Elle est remarquable de simplicité : les coefficients $a$ et $b$ de l'équation, qu'on lisait « en croix » pour obtenir un vecteur directeur, se lisent directement pour obtenir un vecteur normal.

Démonstration. La droite $d$ admet pour vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$. Le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est non nul, car $(a;b)\mathrm{\ne }(0;0)$. Calculons le produit scalaire dans le repère orthonormé :

$$\vec{n}\cdot \vec{u}=a\times (-b)+b\times a=-ab+ab=0.$$

Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}$ sont donc orthogonaux : $\vec{n}$ est normal à $d$.

Réciproquement, soit $d$ une droite de vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ et $A(x_A;y_A)$ un point de $d$. Un point $M(x;y)$ appartient à $d$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$ (car $\overrightarrow{AM}$ est soit nul, soit directeur de $d$), c'est-à-dire

$$\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0⟺a(x-x_A)+b(y-y_A)=0⟺ax+by+c=0,$$

en posant $c=-a{x}_A-b{y}_A$. $\mathrm{\square }$

Attention au piège classique. Pour la droite $ax+by+c=0$, le vecteur $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est normal, le vecteur $\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ est directeur. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Un bon réflexe : vérifier que le produit scalaire des deux vecteurs annoncés vaut bien $0$.

Le vecteur normal fournit aussi un critère efficace de perpendicularité entre droites.

En effet, deux droites sont parallèles lorsque leurs directions coïncident, donc lorsque leurs normales coïncident aussi ; elles sont perpendiculaires lorsque leurs directions sont orthogonales, ce qui se transporte aux vecteurs normaux (chaque normale fait un angle droit avec la direction de sa droite).

Déterminer une équation de droite par un point et un vecteur normal

La démonstration de la réciproque ci-dessus contient une méthode redoutablement efficace, qui mérite d'être isolée : pour écrire l'équation d'une droite, il suffit d'un point et d'un vecteur normal.

Cette méthode trouve une application immédiate et très classique : la médiatrice d'un segment. Rappelons que la médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par le milieu de $[AB]$ — c'est donc exactement une droite définie par un point (le milieu) et un vecteur normal ($\overrightarrow{AB}$).

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le chapitre sur le produit scalaire a introduit le projeté orthogonal ; donnons-en la définition et apprenons surtout à calculer ses coordonnées.

Comment calculer les coordonnées de $H$ ? Le point $H$ est caractérisé par deux conditions, qui fournissent chacune une équation :

• $H$ appartient à $d$ : ses coordonnées vérifient l'équation de $d$ ;
• la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $d$ : le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$ de $d$ (les deux sont orthogonaux à la direction de $d$).

Le projeté orthogonal a une interprétation géométrique importante : parmi tous les points de la droite, c'est le plus proche de $A$.

Démonstration. Soit $M$ un point de $d$ distinct de $H$. Comme $(AH)$ est perpendiculaire à $d$ et que $H$ et $M$ appartiennent à $d$, le triangle $AHM$ est rectangle en $H$. Le théorème de Pythagore donne

$$A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2\mathrm{.}$$

Or $M\mathrm{\ne }H$, donc $H{M}^2>0$, d'où $A{M}^2>A{H}^2$ et, les longueurs étant positives, $AM>AH$. $\mathrm{\square }$

Remarque. Retenons la démarche : pour calculer la distance d'un point à une droite, on calcule d'abord le projeté orthogonal $H$, puis la longueur $AH$. C'est le passage obligé en première — et le calcul de $H$ est de toute façon souvent demandé pour lui-même.

Équation de cercle

Après les droites, le deuxième grand objet de la géométrie repérée : le cercle. Sa définition — l'ensemble des points à distance $r$ d'un centre — se traduit immédiatement en équation grâce à la formule de la distance.

Démonstration. Soit $M(x;y)$ un point du plan. Les longueurs $\mathrm{\Omega }M$ et $r$ étant positives, l'égalité $\mathrm{\Omega }M=r$ équivaut à $\mathrm{\Omega }{M}^2=r^2$. Or, dans un repère orthonormé,

$$\mathrm{\Omega }{M}^2=(x-x_{\mathrm{\Omega }}{)}^2+(y-y_{\mathrm{\Omega }}{)}^2\mathrm{.}$$

Donc $M\in \mathcal{C}⟺\mathrm{\Omega }M=r⟺(x-x_{\mathrm{\Omega }}{)}^2+(y-y_{\mathrm{\Omega }}{)}^2=r^2$. $\mathrm{\square }$

Attention : dans l'équation figure $r^2$, pas $r$. Le cercle de centre $\mathrm{\Omega }(1;2)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$, et non $\dots =3$. Réciproquement, si une équation se termine par $=25$, le rayon vaut $5$.

Reconnaître une équation de cercle

En développant $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$, on obtient $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ : le cercle « se cache » derrière une équation développée. Le problème inverse se pose naturellement : une équation de la forme

$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$

représente-t-elle toujours un cercle ? La réponse s'obtient en refaisant le chemin à l'envers, grâce à la forme canonique (la technique de complétion du carré, déjà vue au chapitre sur le second degré) :

$$x^2+ax={(x+\frac{a}{2})}^2-\frac{a^2}{4}\mathrm{.}$$

Remarque. Une équation où les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont différents, ou qui contient un terme en $xy$, ne peut pas représenter un cercle. Si les deux coefficients sont égaux mais différents de $1$ (par exemple $2x^2+2y^2-8x+4=0$), on commence par tout diviser par ce coefficient.

Le cercle de diamètre $[AB]$

Rappelons enfin une caractérisation vue au chapitre sur le produit scalaire, très utile pour obtenir l'équation d'un cercle dont on connaît un diamètre.

Utiliser un repère pour étudier une configuration

Toutes les techniques du chapitre convergent vers un même usage : démontrer des propriétés géométriques par le calcul. C'est le cœur de la méthode de Descartes — remplacer un raisonnement de géométrie pure, parfois difficile à trouver, par un calcul systématique en coordonnées.

Premier exemple : la configuration est donnée directement par des coordonnées.

Second exemple : cette fois, aucune coordonnée n'est donnée — c'est à nous de choisir le repère. C'est là que la méthode déploie toute sa puissance.

Remarque. Comparez avec une démonstration « sans repère » : il faudrait repérer une rotation ou des triangles semblables, ce qui demande une idée. Ici, aucune idée n'est nécessaire — seulement un bon choix de repère et un calcul soigné. C'est tout l'esprit de la géométrie repérée : le calcul remplace l'astuce.

En résumé : dans un repère orthonormé, une droite se décrit par un point et un vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ (lu directement sur l'équation $ax+by+c=0$), le projeté orthogonal se calcule par un système et donne la distance d'un point à une droite, et un cercle se reconnaît en complétant les carrés. Armé du produit scalaire, le repère devient une véritable machine à démontrer — les chapitres suivants, et après eux la terminale avec la géométrie dans l'espace, prolongeront cette méthode.