Suites géométriques

Un capital placé qui grossit d'année en année, une population de bactéries qui double régulièrement, une quantité de médicament dans le sang qui diminue d'heure en heure, un lac envahi par une algue dont la surface augmente au même rythme chaque semaine… Toutes ces situations ont un point commun : à chaque étape, la grandeur est multipliée par le même nombre. Le chapitre précédent étudiait les suites arithmétiques, où l'on ajoute toujours la même quantité. Ce chapitre étudie les suites où l'on multiplie toujours par le même nombre : les suites géométriques. Elles sont l'outil naturel pour décrire les évolutions en pourcentage qui se répètent — et vous allez voir qu'elles se comportent très différemment des suites arithmétiques.

Des évolutions répétées au même taux

Partons d'une situation concrète. Une ville compte $10000$ habitants. Chaque année, sa population augmente de $5\mathrm{\%}$. Combien d'habitants comptera-t-elle dans un an ? dans deux ans ? dans dix ans ?

Pour répondre, rappelons l'outil vu en seconde : le coefficient multiplicateur.

Observez bien le calcul : d'une année à la suivante, c'est toujours la même multiplication par $\mathrm{1,05}$ qui se répète. Pour connaître la population dans dix ans, il faudrait enchaîner dix multiplications… C'est faisable, mais lourd. Ce phénomène — répéter indéfiniment la même multiplication — mérite un outil dédié. Cet outil, c'est la suite géométrique.

Suites géométriques : définition

Comme au chapitre précédent, une suite est une liste infinie de nombres, numérotés à partir de $0$. On note $u(n)$ le terme de rang $n$ : la suite $u$ associe à chaque entier naturel $n$ un nombre $u(n)$, exactement comme une fonction — mais une fonction définie uniquement sur les entiers naturels.

Autrement dit : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre $q$. C'est le pendant multiplicatif des suites arithmétiques, où l'on ajoutait toujours la même quantité $r$. Notez que si le premier terme est strictement positif et si $q>0$, alors, de proche en proche, tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Deux notations pour un même nombre. À côté de l'écriture fonctionnelle $u(n)$, on rencontre très souvent l'écriture indicielle $u_n$ (lire « $u$ indice $n$ »). Les deux désignent exactement le même terme : $u_3$ et $u(3)$ sont le même nombre. Avec cette notation, la relation de la définition s'écrit $u_{n+1}=q\times u_n$. Les deux écritures sont utilisées, en cours comme dans les sujets : il faut savoir lire l'une et l'autre.

Terme général

La relation $u(n+1)=q\times u(n)$ définit la suite de proche en proche : pour connaître $u(10)$, il faut avoir calculé $u(9)$, donc $u(8)$, et ainsi de suite. Pour atteindre directement un terme lointain, il nous faut une formule explicite, qui donne $u(n)$ en fonction de $n$ seul.

L'idée est simple. Partons de $u(0)$ et déroulons la définition :

$$u(1)=q\times u(0)u(2)=q\times u(1)=q\times q\times u(0)=q^2\times u(0)u(3)=q\times u(2)=q^3\times u(0)\dots$$

Pour passer du rang $0$ au rang $n$, on effectue $n$ multiplications par $q$, c'est-à-dire une multiplication par $q^n$. De proche en proche, on obtient ainsi la formule suivante.

Retenez le réflexe de comptage : l'exposant de $q$ est le nombre d'étapes franchies depuis le premier terme, c'est-à-dire la différence des rangs.

Sens de variation

Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur au précédent, décroissante lorsque chaque terme est inférieur au précédent, constante lorsque tous les termes sont égaux. Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, tout se lit sur la raison.

Pourquoi ? Comparons deux termes consécutifs en étudiant leur différence :

$$u(n+1)-u(n)=q\times u(n)-u(n)=u(n)\times (q-1)\mathrm{.}$$

Comme les termes $u(n)$ sont strictement positifs, cette différence est du signe de $q-1$. Si $q>1$, elle est positive : chaque terme dépasse le précédent, la suite est croissante. Si $q<1$, elle est négative : la suite est décroissante. Si $q=1$, elle est nulle : la suite ne bouge pas.

Trois suites, trois comportements :

• $u(n)=2\times {\mathrm{1,5}}^n$ : la raison est $\mathrm{1,5}>1$, la suite est croissante. Chaque terme vaut $\mathrm{1,5}$ fois le précédent : c'est une hausse de $50\mathrm{\%}$ à chaque rang.
• $v(n)=20\times {\mathrm{0,75}}^n$ : la raison est $\mathrm{0,75}$, comprise entre $0$ et $1$, la suite est décroissante. Chaque terme vaut $75\mathrm{\%}$ du précédent : baisse de $25\mathrm{\%}$ à chaque rang.
• $w(n)=7\times 1^n=7$ : la raison est $1$, la suite est constante, tous ses termes valent $7$.

Représentation graphique

Pour visualiser une suite, on place dans un repère les points de coordonnées $(n;u(n))$ : abscisse le rang, ordonnée le terme. Comme $n$ ne prend que des valeurs entières, on obtient un nuage de points isolés : on ne relie pas les points, car la suite n'a aucune valeur entre deux rangs entiers — le phénomène est dit discret.

Reprenons la suite croissante $u(n)=2\times {\mathrm{1,5}}^n$. Sa table de valeurs (arrondies au centième) :

Observez la forme du nuage : les points ne montent pas régulièrement, ils montent de plus en plus vite. D'un rang au suivant, on gagne d'abord $1$, puis $\mathrm{1,5}$, puis $\mathrm{2,25}$… L'écart entre deux points consécutifs grandit à chaque étape, puisque chaque terme est $\mathrm{1,5}$ fois le précédent. Cette allure caractéristique, qui « décolle », est appelée allure exponentielle.

Regardons maintenant la suite décroissante $v(n)=20\times {\mathrm{0,75}}^n$, dont les premiers termes sont $20$ ; $15$ ; $\mathrm{11,25}$ ; environ $\mathrm{8,44}$ ; $\mathrm{6,33}$ ; $\mathrm{4,75}$ ; $\mathrm{3,56}$.

La décroissance est rapide au début, puis de plus en plus lente : on retire $25\mathrm{\%}$ d'une valeur qui diminue, donc on retire de moins en moins. Les points se rapprochent de l'axe des abscisses sans jamais le toucher : les termes deviennent aussi proches de $0$ qu'on veut, mais restent strictement positifs.

Linéaire contre exponentiel. La comparaison avec les suites arithmétiques saute aux yeux sur un graphique. Plaçons sur le même repère la suite arithmétique $a(n)=2+3n$ (points bleus) et la suite géométrique $g(n)=2\times {\mathrm{1,5}}^n$ (points dorés).

La suite arithmétique ajoute toujours la même quantité : ses points sont parfaitement alignés, la croissance est linéaire. La suite géométrique multiplie toujours par le même nombre : sa croissance s'accélère, c'est la croissance exponentielle. Ici, la suite arithmétique fait la course en tête jusqu'au rang $5$ ($a(5)=17$ contre $g(5)\approx \mathrm{15,19}$)… mais au rang $6$, la géométrique la dépasse ($g(6)\approx \mathrm{22,78}$ contre $a(6)=20$) — et l'écart ne fera ensuite que se creuser : une suite géométrique croissante finit toujours par dépasser n'importe quelle suite arithmétique.

Modéliser une évolution à taux constant

Nous avons maintenant tous les outils pour traiter la situation qui a ouvert le chapitre — et toutes celles qui lui ressemblent : population, capital, abonnés, émissions de gaz à effet de serre, quantité de médicament… Dès qu'une grandeur évolue du même pourcentage à chaque étape, une suite géométrique la modélise.

Les problèmes de seuil. Très souvent, la question se pose dans l'autre sens : non pas « combien vaudra la grandeur au rang $n$ ? », mais « à partir de quel rang la grandeur dépassera-t-elle (ou passera-t-elle sous) une valeur donnée ? ». On ne dispose pas, en première, d'un calcul direct pour répondre : on procède par exploration, en calculant les termes un à un jusqu'à franchir le seuil.

À retenir