Modélisation quadratique

Les fonctions affines rencontrées dans les chapitres précédents modélisent des évolutions régulières : une grandeur qui augmente, ou diminue, toujours au même rythme. Mais beaucoup de phénomènes réels ne se comportent pas ainsi. Un ballon lancé vers l'avant monte, puis redescend. La recette d'une buvette augmente quand on relève un peu le prix, puis s'effondre si on exagère. Une population de bactéries croît, puis décroît quand le milieu s'épuise. L'arche d'un viaduc s'élève, puis redescend vers l'autre pilier. Pour décrire ces situations qui montent puis descendent (ou l'inverse), il faut des fonctions qui changent de sens de variation — les premières que nous étudions. Les plus simples sont les fonctions polynômes de degré 2, dont les courbes sont des paraboles : c'est très exactement la forme d'une balle en vol ou du câble d'un pont suspendu. Ce chapitre apprend à les reconnaître, à lire leurs courbes, et à s'en servir pour trouver un maximum ou un minimum. Bonne nouvelle : il n'y a aucune formule à mémoriser — tout repose sur la symétrie de la parabole.

Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

Le nombre $a$ est le coefficient du terme en $x^2$ : c'est lui qui fait le « degré 2 », et on va voir qu'il commande l'allure de la courbe. Les nombres $b$ et $c$ peuvent être nuls, pas $a$.

Le signe de $a$ se lit donc d'un seul coup d'œil sur la courbe — c'est le premier réflexe à prendre devant une parabole.

La famille $x\mapsto a{x}^2$ : le rôle du coefficient $a$. La plus simple des fonctions polynômes de degré 2 est la fonction carré $x\mapsto x^2$, étudiée en seconde : sa parabole passe par l'origine, qui est son point le plus bas, et elle est tournée vers le haut. Multiplier $x^2$ par un coefficient $a$ transforme cette courbe de deux façons :

• le signe de $a$ donne l'orientation : la courbe de $y=-x^2$ est celle de la fonction carré retournée vers le bas (chaque point passe de l'ordonnée $x^2$ à l'ordonnée $-x^2$) ;
• la taille de $a$ règle l'ouverture : plus $a$ est éloigné de $0$, plus la parabole est resserrée — la courbe de $y=2x^2$ monte deux fois plus vite que celle de $y=x^2$ ; à l'inverse, plus $a$ est proche de $0$, plus la parabole est évasée, comme celle de $y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$.

Toutes les paraboles de cette famille ont le même point le plus bas (ou le plus haut) : l'origine $(0;0)$.

La famille $x\mapsto a{x}^2+c$ : une translation verticale. Ajouter une constante $c$ à $a{x}^2$ décale tous les points de la courbe de $c$ unités vers le haut (vers le bas si $c$ est négatif). La parabole garde exactement la même forme, seul son point remarquable bouge : il passe de $(0;0)$ à $(0;c)$. Ainsi, la courbe de $y=x^2+2$ est celle de la fonction carré remontée de $2$ unités, et celle de $y=x^2-1$ est la même descendue de $1$ unité. On remarque au passage que $c=f(0)$ : c'est l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées.

Axe de symétrie, sommet et variations

Sur toutes les figures précédentes, une même régularité saute aux yeux : chaque parabole possède une droite verticale qui la partage en deux moitiés parfaitement symétriques, comme les deux versants d'une vallée ou les deux côtés d'une arche. Cette symétrie n'est pas un hasard : c'est la propriété centrale du chapitre, celle qui remplace toutes les formules.

À retenir : le sommet est le point le plus bas de la parabole quand elle est tournée vers le haut, le point le plus haut quand elle est tournée vers le bas. C'est donc lui que l'on cherche dans tous les problèmes de maximum ou de minimum — le sommet de l'arche, le point culminant de la trajectoire, la recette maximale.

Reste la vraie question : comment trouver $x_S$ à partir de l'expression de $f$ ? Aucune formule n'est nécessaire. L'idée clé est la suivante : deux points de la parabole qui ont la même ordonnée sont symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc exactement à mi-chemin entre eux. Il suffit alors de dénicher deux points à la même hauteur — et il y a une hauteur toute trouvée : celle du point $(0;c)$ où la parabole coupe l'axe des ordonnées, car la courbe repasse une deuxième fois à la hauteur $c$.

La symétrie se voit aussi dans un tableau de valeurs. Calculons quelques valeurs de la fonction $f(x)=x^2-4x+1$ de l'exemple précédent :

Les valeurs se répètent en miroir de part et d'autre de $x=2$ : $f(1)=f(3)$, $f(0)=f(4)$, $f(-1)=f(5)$… C'est la symétrie de la parabole, lue dans les nombres. Réciproquement, repérer deux valeurs égales dans un tableau de valeurs suffit pour localiser l'axe de symétrie : il passe au milieu.

Remarque. Si l'expression ne contient pas de terme en $x$ (comme $x\mapsto -x^2+9$), l'équation $f(x)=c$ n'a qu'une seule solution, $x=0$ : on retrouve la famille $x\mapsto a{x}^2+c$ de la section précédente, dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées et le sommet le point $(0;c)$.

Forme factorisée : racines et signe

L'axe des ordonnées n'est pas le seul axe intéressant : les points où la parabole traverse l'axe des abscisses jouent un rôle essentiel — c'est là que la grandeur modélisée s'annule (le ballon touche le sol, la recette est nulle…). Ces abscisses portent un nom.

Certaines fonctions polynômes de degré 2 sont données sous forme factorisée :

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),$$

c'est-à-dire comme produit d'une constante et de deux facteurs du premier degré. En développant, on vérifie qu'il s'agit bien d'un polynôme de degré 2 ; par exemple $2(x-1)(x+3)=2(x^2+2x-3)=2x^2+4x-6$. Cette forme est une mine d'informations.

Justifions rapidement ces deux points. D'abord, $f(x)=0$ équivaut à $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ; comme $a\mathrm{\ne }0$, l'équation produit nul donne $x=x_1$ ou $x=x_2$. Ensuite, les deux points d'intersection avec l'axe des abscisses sont à la même hauteur (zéro !) : ils sont donc symétriques par rapport à l'axe de symétrie, qui passe au milieu — c'est exactement le même raisonnement qu'à la section précédente, avec la hauteur $0$ au lieu de la hauteur $c$.

La forme factorisée donne aussi le signe de $f(x)$, c'est-à-dire les intervalles où la parabole est au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. L'outil est connu depuis la seconde : le tableau de signes d'un produit.

Remarque : toutes les paraboles ne coupent pas l'axe des abscisses. Considérons $f(x)=x^2+1$ : pour tout réel $x$, on a $x^2\ge 0$, donc $f(x)\ge 1>0$. L'équation $f(x)=0$ n'a aucune solution : cette fonction n'a aucune racine, et sa parabole (tournée vers le haut, de sommet $(0;1)$) reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Une telle fonction ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Il existe aussi des paraboles qui touchent l'axe en un seul point : celle de la fonction carré $x\mapsto x^2$, par exemple, dont l'unique racine est $0$ — son sommet est posé sur l'axe. Une fonction polynôme de degré 2 a donc zéro, une ou deux racines.

Modéliser avec un polynôme de degré 2

Tout est en place pour utiliser les fonctions polynômes de degré 2 comme modèles. Les situations sont partout : la hauteur d'un ballon au cours du temps (physique), le profil d'une arche de viaduc ou du câble d'un pont suspendu (architecture), la taille d'une population qui croît puis décroît (SVT), ou encore une recette qui dépend du prix de vente (économie). Dans tous les cas, la question type est la même : pour quelle valeur de la variable la grandeur est-elle maximale (ou minimale) ? — et la réponse est toujours au sommet de la parabole.

La même démarche fonctionne dans tous les domaines. En physique, par exemple, la hauteur (en mètres) d'une balle lancée verticalement peut être modélisée par $h(t)=5t(4-t)$, où $t$ est le temps en secondes. La forme factorisée donne immédiatement les racines $0$ et $4$ : la balle part du sol à l'instant $t=0$ et y retombe à l'instant $t=4$. Le sommet de la trajectoire est atteint au milieu, à $t=2$ secondes, et la hauteur maximale vaut

$$h(2)=5\times 2\times (4-2)=5\times 2\times 2=20\text{ m}\grave{\text{e}}\text{tres}\mathrm{.}$$

Seul l'intervalle $[0;4]$ a un sens ici : avant le lancer et après l'impact, le modèle ne décrit plus rien.

Terminons par un mot sur la démarche de modélisation elle-même. Le modèle « $120-3x$ ventes au prix $x$ » n'est pas une loi exacte de la nature : c'est une approximation raisonnable, valable seulement sur son domaine de validité — ici $[0;40]$, car en dehors le « nombre de ventes » deviendrait négatif, ce qui n'a aucun sens. Tout modèle quadratique a ainsi ses limites : la trajectoire d'un ballon n'est parabolique que tant qu'il est en vol, l'arche d'un viaduc n'existe qu'entre ses deux piliers, une population ne suit son modèle que tant que les conditions du milieu restent celles de l'étude. La démarche, elle, est toujours la même : traduire la situation par une fonction, reconnaître un polynôme de degré 2, puis laisser la symétrie de la parabole faire le travail — racines, milieu des racines, sommet — pour répondre à la question. C'est cette démarche qui sera mise en œuvre dans les exercices, et c'est elle qui est attendue à l'épreuve.