1ʳᵉ ens. sci. · Chapitre 04 · Phénomènes d'évolution

Modélisation quadratique

Polynômes de degré 2 : parabole, axe de symétrie, sommet, racines et signe sous forme factorisée (sans discriminant).

Ce qu'il faut savoir faire

Polynômes de degré 2 : parabole
Axe de symétrie
Sommet
Racines et signe sous forme factorisée (sans discriminant)

Les fonctions affines rencontrées dans les chapitres précédents modélisent des évolutions régulières : une grandeur qui augmente, ou diminue, toujours au même rythme. Mais beaucoup de phénomènes réels ne se comportent pas ainsi. Un ballon lancé vers l'avant monte, puis redescend. La recette d'une buvette augmente quand on relève un peu le prix, puis s'effondre si on exagère. Une population de bactéries croît, puis décroît quand le milieu s'épuise. L'arche d'un viaduc s'élève, puis redescend vers l'autre pilier. Pour décrire ces situations qui montent puis descendent (ou l'inverse), il faut des fonctions qui changent de sens de variation — les premières que nous étudions. Les plus simples sont les fonctions polynômes de degré 2, dont les courbes sont des paraboles : c'est très exactement la forme d'une balle en vol ou du câble d'un pont suspendu. Ce chapitre apprend à les reconnaître, à lire leurs courbes, et à s'en servir pour trouver un maximum ou un minimum. Bonne nouvelle : il n'y a aucune formule à mémoriser — tout repose sur la symétrie de la parabole.

Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

Définition

Fonction polynôme de degré 2. Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $R$ qui peut s'écrire sous la forme

f (x) = a x^{2} + b x + c,

où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$ .

Le nombre $a$ est le coefficient du terme en $x^{2}$ : c'est lui qui fait le « degré 2 », et on va voir qu'il commande l'allure de la courbe. Les nombres $b$ et $c$ peuvent être nuls, pas $a$ .

Exemple

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 6$ est une fonction polynôme de degré 2, avec $a = 2$ , $b = - 8$ et $c = 6$ .
$g (x) = - x^{2} + 9$ aussi, avec $a = - 1$ , $b = 0$ et $c = 9$ : le terme en $x$ peut être absent.
$h (x) = (x - 1) (x + 5)$ aussi, même si cela ne se voit pas au premier coup d'œil : en développant, $h (x) = x^{2} + 5 x - x - 5 = x^{2} + 4 x - 5$ , donc $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 5$ .
En revanche, $k (x) = 4 x + 1$ n'en est pas une : il n'y a pas de terme en $x^{2}$ (autrement dit $a = 0$ ). C'est une fonction affine.

Propriété

Allure de la courbe. Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (en forme de vallée) ;
si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas (en forme de colline).

Le signe de $a$ se lit donc d'un seul coup d'œil sur la courbe — c'est le premier réflexe à prendre devant une parabole.

Deux paraboles : tournée vers le haut (a positif, sommet S(1 ; −2)) et tournée vers le bas (a négatif, sommet S(−1 ; 3)), axes de symétrie en pointillés

La famille $x \mapsto a x^{2}$ : le rôle du coefficient $a$ . La plus simple des fonctions polynômes de degré 2 est la fonction carré $x \mapsto x^{2}$ , étudiée en seconde : sa parabole passe par l'origine, qui est son point le plus bas, et elle est tournée vers le haut. Multiplier $x^{2}$ par un coefficient $a$ transforme cette courbe de deux façons :

le signe de $a$ donne l'orientation : la courbe de $y = - x^{2}$ est celle de la fonction carré retournée vers le bas (chaque point passe de l'ordonnée $x^{2}$ à l'ordonnée $- x^{2}$ ) ;
la taille de $a$ règle l'ouverture : plus $a$ est éloigné de $0$ , plus la parabole est resserrée — la courbe de $y = 2 x^{2}$ monte deux fois plus vite que celle de $y = x^{2}$ ; à l'inverse, plus $a$ est proche de $0$ , plus la parabole est évasée, comme celle de $y = \frac{x^{2}}{4}$ .

Toutes les paraboles de cette famille ont le même point le plus bas (ou le plus haut) : l'origine $(0; 0)$ .

La famille $x \mapsto a x^{2} + c$ : une translation verticale. Ajouter une constante $c$ à $a x^{2}$ décale tous les points de la courbe de $c$ unités vers le haut (vers le bas si $c$ est négatif). La parabole garde exactement la même forme, seul son point remarquable bouge : il passe de $(0; 0)$ à $(0; c)$ . Ainsi, la courbe de $y = x^{2} + 2$ est celle de la fonction carré remontée de $2$ unités, et celle de $y = x^{2} - 1$ est la même descendue de $1$ unité. On remarque au passage que $c = f (0)$ : c'est l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées.

Rôle des coefficients : à gauche quatre paraboles de la famille y = ax2 (a = 1, 2, 1/4 et -1), à droite la parabole de la fonction carré translatée verticalement de +2 et de -1

Exemple

Associer une parabole à une expression. Une parabole est tournée vers le bas et son point le plus haut est $(0; 5)$ . Parmi les expressions $x \mapsto x^{2} + 5$ , $x \mapsto - x^{2} + 5$ et $x \mapsto - x^{2} - 5$ , laquelle lui correspond ?

Tournée vers le bas : le coefficient de $x^{2}$ est négatif, ce qui élimine $x \mapsto x^{2} + 5$ .
Point le plus haut en $(0; 5)$ : la constante vaut $5$ , ce qui élimine $x \mapsto - x^{2} - 5$ (dont la courbe passe par $(0; - 5)$ ).

C'est donc la courbe de $x \mapsto - x^{2} + 5$ .

Axe de symétrie, sommet et variations

Sur toutes les figures précédentes, une même régularité saute aux yeux : chaque parabole possède une droite verticale qui la partage en deux moitiés parfaitement symétriques, comme les deux versants d'une vallée ou les deux côtés d'une arche. Cette symétrie n'est pas un hasard : c'est la propriété centrale du chapitre, celle qui remplace toutes les formules.

Propriété

Symétrie, sommet et variations. La parabole représentant une fonction polynôme de degré 2 $f$ admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation $x = x_{S}$ . Le point de la parabole situé sur cet axe est appelé le sommet : c'est le point $S (x_{S}; y_{S})$ , avec $y_{S} = f (x_{S})$ .

Si $a > 0$ , la fonction $f$ est décroissante sur $] - \infty; x_{S}]$ puis croissante sur $[x_{S}; + \infty [$ : elle atteint en $x_{S}$ son minimum, qui vaut $y_{S}$ .

x

-\infty

x_S

+\infty

f(x)

y_S

Si $a < 0$ , la fonction $f$ est croissante sur $] - \infty; x_{S}]$ puis décroissante sur $[x_{S}; + \infty [$ : elle atteint en $x_{S}$ son maximum, qui vaut $y_{S}$ .

x

-\infty

x_S

+\infty

f(x)

y_S

À retenir : le sommet est le point le plus bas de la parabole quand elle est tournée vers le haut, le point le plus haut quand elle est tournée vers le bas. C'est donc lui que l'on cherche dans tous les problèmes de maximum ou de minimum — le sommet de l'arche, le point culminant de la trajectoire, la recette maximale.

Reste la vraie question : comment trouver $x_{S}$ à partir de l'expression de $f$ ? Aucune formule n'est nécessaire. L'idée clé est la suivante : deux points de la parabole qui ont la même ordonnée sont symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc exactement à mi-chemin entre eux. Il suffit alors de dénicher deux points à la même hauteur — et il y a une hauteur toute trouvée : celle du point $(0; c)$ où la parabole coupe l'axe des ordonnées, car la courbe repasse une deuxième fois à la hauteur $c$ .

Méthode

Trouver l'axe de symétrie et le sommet, sans formule.

Calculer $f (0) = c$ : la parabole coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $c$ .
Résoudre l'équation $f (x) = c$ : les constantes se simplifient, il reste une équation qui se factorise par $x$ (facteur commun) et se résout comme une équation produit nul. On obtient deux solutions.
Ces deux solutions sont les abscisses de deux points de la parabole situés à la même hauteur $c$ : l'axe de symétrie passe au milieu. Son équation est $x = x_{S}$ , où $x_{S}$ est le milieu des deux solutions.
Le sommet est sur l'axe : c'est le point $S (x_{S}; f (x_{S}))$ . Il ne reste qu'à calculer $f (x_{S})$ .

Exemple

Étude complète de $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

$f (0) = 1$ : la parabole coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $1$ .
On résout $f (x) = 1$ :

x^{2} - 4 x + 1 = 1 ⟺ x^{2} - 4 x = 0 ⟺ x (x - 4) = 0.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc $x = 0$ ou $x = 4$ . 3. Les points d'abscisses $0$ et $4$ sont à la même hauteur : l'axe de symétrie passe au milieu, en $x_{S} = \frac{0 + 4}{2} = 2$ . L'axe de symétrie a pour équation $x = 2$ . 4. Le sommet a pour abscisse $2$ et pour ordonnée

f (2) = 2^{2} - 4 \times 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = - 3,

c'est donc le point $S (2; - 3)$ .

Comme $a = 1 > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : $f$ est décroissante puis croissante, et admet en $2$ un minimum qui vaut $- 3$ .

x

-\infty

2

+\infty

f(x)

-3

La symétrie se voit aussi dans un tableau de valeurs. Calculons quelques valeurs de la fonction $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ de l'exemple précédent :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$6$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$

Les valeurs se répètent en miroir de part et d'autre de $x = 2$ : $f (1) = f (3)$ , $f (0) = f (4)$ , $f (- 1) = f (5)$ … C'est la symétrie de la parabole, lue dans les nombres. Réciproquement, repérer deux valeurs égales dans un tableau de valeurs suffit pour localiser l'axe de symétrie : il passe au milieu.

Exemple

Un cas tourné vers le bas : $g (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ . Ici $a = - 1 < 0$ : la parabole est tournée vers le bas, la fonction admet un maximum au sommet. Cherchons-le.

$g (0) = - 5$ .
On résout $g (x) = - 5$ :

- x^{2} + 6 x - 5 = - 5 ⟺ - x^{2} + 6 x = 0 ⟺ x (6 - x) = 0,

donc $x = 0$ ou $x = 6$ . 3. L'axe de symétrie passe au milieu de $0$ et $6$ : il a pour équation $x = 3$ . 4. Le sommet a pour ordonnée $g (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ : c'est le point $S (3; 4)$ .

La fonction $g$ est donc croissante sur $] - \infty; 3]$ puis décroissante sur $[3; + \infty [$ , avec un maximum égal à $4$ , atteint en $x = 3$ .

x

-\infty

3

+\infty

g(x)

4

Remarque. Si l'expression ne contient pas de terme en $x$ (comme $x \mapsto - x^{2} + 9$ ), l'équation $f (x) = c$ n'a qu'une seule solution, $x = 0$ : on retrouve la famille $x \mapsto a x^{2} + c$ de la section précédente, dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées et le sommet le point $(0; c)$ .

Forme factorisée : racines et signe

L'axe des ordonnées n'est pas le seul axe intéressant : les points où la parabole traverse l'axe des abscisses jouent un rôle essentiel — c'est là que la grandeur modélisée s'annule (le ballon touche le sol, la recette est nulle…). Ces abscisses portent un nom.

Définition

Racine. Une racine d'une fonction polynôme de degré 2 $f$ est une solution de l'équation $f (x) = 0$ . Graphiquement, c'est l'abscisse d'un point d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Certaines fonctions polynômes de degré 2 sont données sous forme factorisée :

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),

c'est-à-dire comme produit d'une constante et de deux facteurs du premier degré. En développant, on vérifie qu'il s'agit bien d'un polynôme de degré 2 ; par exemple $2 (x - 1) (x + 3) = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 x^{2} + 4 x - 6$ . Cette forme est une mine d'informations.

Propriété

Ce que révèle la forme factorisée. Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , avec $a \neq 0$ .

Les racines de $f$ sont exactement $x_{1}$ et $x_{2}$ : la parabole coupe l'axe des abscisses aux points $(x_{1}; 0)$ et $(x_{2}; 0)$ .
Le sommet a pour abscisse le milieu des racines : $x_{S} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Justifions rapidement ces deux points. D'abord, $f (x) = 0$ équivaut à $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ; comme $a \neq 0$ , l'équation produit nul donne $x = x_{1}$ ou $x = x_{2}$ . Ensuite, les deux points d'intersection avec l'axe des abscisses sont à la même hauteur (zéro !) : ils sont donc symétriques par rapport à l'axe de symétrie, qui passe au milieu — c'est exactement le même raisonnement qu'à la section précédente, avec la hauteur $0$ au lieu de la hauteur $c$ .

Exemple

Étude de $f (x) = 0,5 (x + 1) (x - 3)$ . Attention aux signes : le facteur $x + 1$ s'écrit $x - (- 1)$ , sa racine est bien $- 1$ .

Racines : $f (x) = 0 ⟺ x + 1 = 0$ ou $x - 3 = 0$ , c'est-à-dire $x = - 1$ ou $x = 3$ .
Sommet : son abscisse est le milieu des racines, $x_{S} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ , et son ordonnée vaut

f (1) = 0,5 \times (1 + 1) \times (1 - 3) = 0,5 \times 2 \times (- 2) = - 2.

Le sommet est donc $S (1; - 2)$ et l'axe de symétrie a pour équation $x = 1$ .

Comme $a = 0,5 > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : $f$ admet en $1$ un minimum qui vaut $- 2$ .

Inversement, si on lit sur une courbe les racines $- 1$ et $3$ et le sommet $(1; - 2)$ , on peut retrouver l'expression : elle s'écrit $f (x) = a (x + 1) (x - 3)$ , et la condition $f (1) = - 2$ donne $a \times 2 \times (- 2) = - 2$ , donc $a = 0,5$ .

Parabole de la fonction f(x) = 0,5(x+1)(x−3) : racines −1 et 3, axe de symétrie x = 1, sommet (1 ; −2)

La forme factorisée donne aussi le signe de $f (x)$ , c'est-à-dire les intervalles où la parabole est au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. L'outil est connu depuis la seconde : le tableau de signes d'un produit.

Méthode

Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée.

Déterminer la racine de chaque facteur du premier degré, et ranger ces racines dans l'ordre croissant sur la première ligne du tableau.
Remplir une ligne de signes par facteur : un facteur du premier degré est du signe de son coefficient directeur après sa racine, du signe contraire avant. Par exemple $x - 1$ est négatif avant $1$ , positif après.
Remplir la dernière ligne avec la règle des signes. La constante $a$ compte aussi : si $a < 0$ , elle inverse tous les signes du produit ; si $a > 0$ , elle ne change rien.
Conclure en citant les intervalles demandés.

Exemple

Signe de $f (x) = 2 (x - 1) (x + 3)$ . Le facteur $x - 1$ s'annule en $1$ , le facteur $x + 3$ en $- 3$ : les racines de $f$ sont $- 3$ et $1$ . Le coefficient $2$ est positif : il ne modifie pas le signe du produit. On dresse le tableau, racines rangées dans l'ordre croissant :

x

-\infty

-3

1

+\infty

x-1

-

-

0

+

x+3

-

0

+

+

f(x)

+

0

-

0

+

Conclusion. $f (x) \leq 0$ sur $[- 3; 1]$ , et $f (x) \geq 0$ sur $] - \infty; - 3]$ ainsi que sur $[1; + \infty [$ .

Le résultat se comprend très bien avec la géométrie : la parabole est tournée vers le haut ( $a = 2 > 0$ ) et coupe l'axe des abscisses en $- 3$ et en $1$ ; elle passe donc au-dessous de l'axe entre ses racines, et au-dessus à l'extérieur.

Exemple

Avec une constante négative : $g (x) = - 2 (x - 2) (x + 1)$ . Les racines sont $2$ et $- 1$ . Cette fois la constante $- 2$ est négative : on lui consacre une ligne du tableau pour ne pas l'oublier — elle inverse le signe du produit.

x

-\infty

-1

2

+\infty

-2

-

-

-

x-2

-

-

0

+

x+1

-

0

+

+

g(x)

-

0

+

0

-

Conclusion. $g (x) \geq 0$ sur $[- 1; 2]$ , et $g (x) \leq 0$ à l'extérieur. Là encore, la géométrie confirme : la parabole est tournée vers le bas ( $a = - 2 < 0$ ), donc elle est au-dessus de l'axe des abscisses entre ses racines.

Remarque : toutes les paraboles ne coupent pas l'axe des abscisses. Considérons $f (x) = x^{2} + 1$ : pour tout réel $x$ , on a $x^{2} \geq 0$ , donc $f (x) \geq 1 > 0$ . L'équation $f (x) = 0$ n'a aucune solution : cette fonction n'a aucune racine, et sa parabole (tournée vers le haut, de sommet $(0; 1)$ ) reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Une telle fonction ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Il existe aussi des paraboles qui touchent l'axe en un seul point : celle de la fonction carré $x \mapsto x^{2}$ , par exemple, dont l'unique racine est $0$ — son sommet est posé sur l'axe. Une fonction polynôme de degré 2 a donc zéro, une ou deux racines.

Modéliser avec un polynôme de degré 2

Tout est en place pour utiliser les fonctions polynômes de degré 2 comme modèles. Les situations sont partout : la hauteur d'un ballon au cours du temps (physique), le profil d'une arche de viaduc ou du câble d'un pont suspendu (architecture), la taille d'une population qui croît puis décroît (SVT), ou encore une recette qui dépend du prix de vente (économie). Dans tous les cas, la question type est la même : pour quelle valeur de la variable la grandeur est-elle maximale (ou minimale) ? — et la réponse est toujours au sommet de la parabole.

Méthode

Optimiser une grandeur avec un polynôme de degré 2.

Repérer la grandeur à optimiser (recette, hauteur, aire…) et la variable dont elle dépend (prix, temps, longueur…).
Exprimer la grandeur en fonction de la variable, et préciser l'intervalle des valeurs qui ont un sens dans la situation concrète.
Reconnaître un polynôme de degré 2 (développer si nécessaire) et regarder le signe du coefficient de la variable au carré : parabole tournée vers le bas, c'est un maximum que l'on cherche au sommet ; tournée vers le haut, un minimum.
Trouver le sommet grâce à la symétrie : racines de la forme factorisée puis milieu des racines (ou résolution de $f (x) = c$ ), et calcul de la valeur au sommet. Conclure en répondant à la question posée, avec les unités.

Exemple

Le bon prix pour la buvette. La buvette d'un festival vend une boisson ; on note $x$ son prix, en euros. Une étude de la fréquentation montre qu'à ce prix, elle en vend environ $120 - 3 x$ par soirée : plus la boisson est chère, moins il y a d'acheteurs. Quel prix choisir pour que la recette soit maximale ?

Grandeur et variable. La grandeur à optimiser est la recette $R$ , en euros ; elle dépend du prix $x$ .
Mise en fonction. La recette est le produit du prix par le nombre de boissons vendues :

R (x) = x (120 - 3 x) .

Le prix est positif, et le nombre de ventes doit l'être aussi : $120 - 3 x \geq 0$ , c'est-à-dire $x \leq 40$ . On étudie donc $R$ sur $[0; 40]$ . 3. Un polynôme de degré 2. En développant, $R (x) = 120 x - 3 x^{2}$ : le coefficient de $x^{2}$ vaut $- 3 < 0$ , la parabole est tournée vers le bas — la recette admet bien un maximum, atteint au sommet. Par ailleurs, en factorisant $120 - 3 x = 3 (40 - x)$ , on obtient une forme factorisée :

R (x) = 3 x (40 - x) .

Sommet par symétrie. L'équation produit nul $R (x) = 0$ donne $x = 0$ ou $x = 40$ : les racines sont $0$ et $40$ . Elles ont un sens concret : boisson gratuite, recette nulle ; et à $40$ euros, plus un seul acheteur. Le sommet est au milieu des racines, en $x = \frac{0 + 40}{2} = 20$ , et

R (20) = 20 \times (120 - 3 \times 20) = 20 \times 60 = 1 200.

x

0

20

40

R(x)

0

1\,200

0

Conclusion. La recette est maximale pour un prix de vente de $20$ euros : elle vaut alors $1 200$ euros par soirée.

La même démarche fonctionne dans tous les domaines. En physique, par exemple, la hauteur (en mètres) d'une balle lancée verticalement peut être modélisée par $h (t) = 5 t (4 - t)$ , où $t$ est le temps en secondes. La forme factorisée donne immédiatement les racines $0$ et $4$ : la balle part du sol à l'instant $t = 0$ et y retombe à l'instant $t = 4$ . Le sommet de la trajectoire est atteint au milieu, à $t = 2$ secondes, et la hauteur maximale vaut

h (2) = 5 \times 2 \times (4 - 2) = 5 \times 2 \times 2 = 20 mètres .

Seul l'intervalle $[0; 4]$ a un sens ici : avant le lancer et après l'impact, le modèle ne décrit plus rien.

Terminons par un mot sur la démarche de modélisation elle-même. Le modèle « $120 - 3 x$ ventes au prix $x$ » n'est pas une loi exacte de la nature : c'est une approximation raisonnable, valable seulement sur son domaine de validité — ici $[0; 40]$ , car en dehors le « nombre de ventes » deviendrait négatif, ce qui n'a aucun sens. Tout modèle quadratique a ainsi ses limites : la trajectoire d'un ballon n'est parabolique que tant qu'il est en vol, l'arche d'un viaduc n'existe qu'entre ses deux piliers, une population ne suit son modèle que tant que les conditions du milieu restent celles de l'étude. La démarche, elle, est toujours la même : traduire la situation par une fonction, reconnaître un polynôme de degré 2, puis laisser la symétrie de la parabole faire le travail — racines, milieu des racines, sommet — pour répondre à la question. C'est cette démarche qui sera mise en œuvre dans les exercices, et c'est elle qui est attendue à l'épreuve.

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x

- 1

0

1

2

3

4

5

f (x)

6

1

- 2

- 3

- 2

1

6