1ʳᵉ ens. sci. · Chapitre 06 · Phénomènes d'évolution

Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Prolongement des suites géométriques, propriétés algébriques admises, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Prolongement des suites géométriques
Propriétés algébriques admises
Taux d'évolution moyen
Problèmes de seuil

Au chapitre précédent, vous avez appris à modéliser les évolutions à taux constant avec les suites géométriques : une population qui gagne $5 %$ par an, un capital multiplié par $1,03$ chaque année, et la formule $u (n) = u (0) \times q^{n}$ pour atteindre directement n'importe quel rang. Mais un rang $n$ est un nombre entier : la suite fournit la valeur année après année, comme des photographies prises à intervalles réguliers. Entre deux photos, elle ne dit rien.

Or, dans la réalité, beaucoup de grandeurs évoluent à chaque instant : un capital produit des intérêts jour après jour, une population de bactéries grossit sans interruption, la quantité de médicament dans le sang diminue en continu, l'algue qui envahit un étang pousse même entre deux relevés. Pour décrire ces phénomènes, il nous faut un outil qui donne la valeur de la grandeur pour tous les nombres $x ⩾ 0$ — pas seulement pour les entiers.

C'est l'objet de ce dernier chapitre de l'année : prolonger les suites géométriques en fonctions exponentielles $x \mapsto a^{x}$ . Au passage, nous gagnerons deux outils précieux : la racine $n$ -ième, qui donne un sens à l'exposant $\frac{1}{n}$ , et le taux d'évolution moyen, qui répond à une question très concrète — « $+ 21 %$ en deux ans, ça fait combien par an ? ».

Du discret au continu

Reprenons l'algue du chapitre précédent. Une algue recouvre $1 m^{2}$ d'un étang, et chaque semaine sa surface est multipliée par $1,5$ . La surface au bout de $n$ semaines est donnée par la suite géométrique $s (n) = {1,5}^{n}$ (premier terme $1$ , raison $1,5$ ) :

Semaines $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Surface $s (n)$ en $m^{2}$	$1$	$1,5$	$2,25$	$3,375$	$\approx 5,06$	$\approx 7,59$

En plaçant les points $(n; s (n))$ dans un repère, on obtient le nuage de points habituel. Mais posons une question toute simple : quelle est la surface au bout de deux semaines et demie ? L'algue n'arrête pas de pousser entre deux relevés — la surface existe bel et bien à l'instant $x = 2,5$ . Or le nuage de points ne dit rien entre les abscisses $2$ et $3$ : la suite est un modèle discret, et notre question est continue.

L'idée de ce chapitre tient en une phrase : compléter le nuage de points. On relie les points isolés par une courbe régulière, sans trou ni cassure, qui prolonge exactement la tendance du nuage.

Les points isolés de la suite géométrique de raison 1,5 (en orange), complétés par la courbe continue d'équation y égale 1,5 puissance x : le nuage discret devient une courbe sans trou

Ce prolongement a un sens mathématique précis, que l'on admet : pour tout nombre $a > 0$ et tout nombre $x ⩾ 0$ (entier ou non), on sait définir le nombre $a^{x}$ , et les points $(x; a^{x})$ dessinent exactement la courbe ci-dessus. Quand $x$ est un entier, $a^{x}$ est la puissance que vous connaissez depuis la seconde ( $a^{3} = a \times a \times a$ ) ; quand $x$ n'est pas entier, c'est la calculatrice qui fournit la valeur, avec la même touche puissance.

Méthode

Calculer $a^{x}$ à la calculatrice.

Utiliser la touche puissance : ^ (ou x^y selon les modèles).
Saisir la base, la touche puissance, puis l'exposant : pour ${1,5}^{2,5}$ , taper 1.5 ^ 2.5.
Contrôler l'ordre de grandeur : le résultat doit être compris entre les deux puissances entières qui encadrent l'exposant.

Exemple

Calculons la surface de l'algue au bout de $2,5$ semaines. La calculatrice donne

{1,5}^{2,5} \approx 2,76.

Contrôle de cohérence : ${1,5}^{2} = 2,25$ et ${1,5}^{3} = 3,375$ , et l'on a bien $2,25 < 2,76 < 3,375$ — la valeur s'insère exactement entre les deux points entiers du nuage. La surface vaut environ $2,76 m^{2}$ au bout de deux semaines et demie.

On peut ainsi dresser une table de valeurs aussi fine qu'on veut (arrondies au centième) :

$x$	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$	$2,5$	$3$
${1,5}^{x}$	$1$	$\approx 1,22$	$1,5$	$\approx 1,84$	$2,25$	$\approx 2,76$	$3,375$

Le passage du discret au continu est fait : là où la suite $s (n) = {1,5}^{n}$ ne connaissait que les rangs entiers, la fonction $x \mapsto {1,5}^{x}$ répond pour n'importe quel instant $x ⩾ 0$ .

Arrêtons-nous une seconde sur la valeur ${1,5}^{0,5} \approx 1,22$ . Que représente ce nombre ? C'est le coefficient multiplicateur d'une demi-semaine de croissance. Et si on l'applique deux fois de suite — deux demi-semaines, donc une semaine entière — on doit retrouver le coefficient hebdomadaire : de fait, ${1,22}^{2} \approx 1,5$ . Le nombre ${1,5}^{0,5}$ est donc « le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $1,5$ »… autrement dit sa racine carrée. Ce n'est pas un hasard, et c'est justement l'objet de la section suivante.

La racine n-ième et l'exposant 1/n

Parmi tous ces nouveaux exposants, une famille joue un rôle particulier : les fractions de la forme $\frac{1}{n}$ , où $n$ est un entier naturel non nul. Que peut bien valoir $8^{1 / 3}$ ?

Admettons un instant que la règle $(a^{x})^{y} = a^{x \times y}$ , que vous connaissez pour les exposants entiers, reste vraie pour ces nouveaux exposants (nous l'énoncerons officiellement dans la section suivante). Alors :

{(a^{1 / n})}^{n} = a^{n \times \frac{1}{n}} = a^{1} = a .

Autrement dit : $a^{1 / n}$ est un nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ . C'est exactement ce qu'on appelle une racine.

Définition

Soit $a$ un réel positif et $n$ un entier naturel non nul. La racine $n$ -ième de $a$ est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ . On la note $a^{1 / n}$ :

{(a^{1 / n})}^{n} = a .

Pour $n = 2$ , on retrouve une vieille connaissance : $a^{1 / 2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ , c'est-à-dire la racine carrée. Ainsi $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ — la notation exposant généralise la notation racine.

Exemple

$8^{1 / 3} = 2$ , car $2^{3} = 8$ : la racine cubique de $8$ vaut $2$ .
$81^{1 / 4} = 3$ , car $3^{4} = 81$ .
$10 000^{1 / 4} = 10$ , car $10^{4} = 10 000$ .
$25^{1 / 2} = \sqrt{25} = 5$ , et $5^{1 / 2} = \sqrt{5} \approx 2,24$ .
Quand aucune valeur exacte ne saute aux yeux, la calculatrice répond : $10^{1 / 3} \approx 2,154$ . Contrôle : ${2,154}^{3} \approx 9,994$ , très proche de $10$ — c'est bien une valeur approchée de la racine cubique de $10$ .

Méthode

Calculer une racine $n$ -ième à la calculatrice.

Écrire la racine sous forme d'exposant : la racine $n$ -ième de $a$ , c'est $a^{1 / n}$ .
Saisir l'exposant entre parenthèses : pour $10^{1 / 3}$ , taper 10 ^ (1 / 3).
Attention au piège : sans parenthèses, 10 ^ 1 / 3 calcule $\frac{10^{1}}{3} \approx 3,33$ — ce qui est faux. Les parenthèses autour de l'exposant sont indispensables.
Contrôler : élever le résultat à la puissance $n$ doit redonner (environ) $a$ .

La fonction exponentielle de base a

Donnons maintenant un cadre propre à ce que nous construisons depuis le début du chapitre.

Définition

Soit $a$ un réel strictement positif. La fonction $x \mapsto a^{x}$ , définie pour tout $x$ de l'intervalle $[0; + \infty [$ , est appelée fonction exponentielle de base $a$ .

Deux garde-fous à retenir. La base $a$ est strictement positive : on ne définit pas $(- 2)^{x}$ . L'exposant $x$ est positif ou nul : dans ce chapitre, on ne donne pas de sens à un exposant strictement négatif, et cela suffit largement — le temps écoulé, une durée, un nombre d'étapes sont toujours des quantités positives.

Les règles de calcul sur les puissances entières, vues en seconde, s'étendent à tous ces nouveaux exposants. On admet la propriété suivante.

Propriété

Propriétés algébriques (admises, par extension des propriétés des puissances entières). Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tous réels $x ⩾ 0$ et $y ⩾ 0$ :

$a^{x} \times a^{y} = a^{x + y}$ — multiplier les puissances, c'est additionner les exposants ;
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ , valable lorsque $x ⩾ y$ (pour que l'exposant reste positif ou nul) ;
${(a^{x})}^{y} = a^{x \times y}$ ;
$a^{x} \times b^{x} = (a \times b)^{x}$ ;
$a^{0} = 1$ et $a^{1} = a$ .

La dernière ligne mérite qu'on s'y arrête : quelle que soit la base $a > 0$ , on a $a^{0} = 1$ . Toutes les fonctions exponentielles démarrent donc de la même valeur $1$ en $x = 0$ — nous verrons ce que cela donne graphiquement dans la section suivante.

Exemple

Ces règles permettent de simplifier des calculs sans calculatrice, même avec des exposants non entiers :

$3^{2,5} \times 3^{1,5} = 3^{2,5 + 1,5} = 3^{4} = 81$ ;
$\frac{5^{3,5}}{5^{1,5}} = 5^{3,5 - 1,5} = 5^{2} = 25$ ;
${(2^{1,5})}^{2} = 2^{1,5 \times 2} = 2^{3} = 8$ ;
$2^{0,5} \times 8^{0,5} = (2 \times 8)^{0,5} = 16^{0,5} = \sqrt{16} = 4$ .

Aucun de ces quatre calculs ne demande de connaître la valeur de $3^{2,5}$ ou de $2^{0,5}$ : les propriétés font tout le travail.

Variations et représentation graphique

Comment se comporte la fonction $x \mapsto a^{x}$ quand $x$ grandit ? Exactement comme la suite géométrique qu'elle prolonge : tout dépend de la position de la base $a$ par rapport à $1$ .

Propriété

Sens de variation de $x \mapsto a^{x}$ sur $[0; + \infty [$ .

Si $a > 1$ , la fonction est croissante.
Si $a = 1$ , la fonction est constante (égale à $1$ , car $1^{x} = 1$ pour tout $x$ ).
Si $0 < a < 1$ , la fonction est décroissante.

C'est le prolongement direct du résultat du chapitre précédent : la suite géométrique $q^{n}$ est croissante si $q > 1$ , constante si $q = 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ . En complétant le nuage de points, on complète aussi le sens de variation.

Voici les courbes de cinq fonctions exponentielles, pour des bases de part et d'autre de $1$ :

Famille de courbes des fonctions exponentielles de bases 2, 1,4, 1, 0,8 et 0,5 sur l'intervalle de 0 à 4 : les bases supérieures à 1 donnent des courbes croissantes, la base 1 donne une droite horizontale, les bases inférieures à 1 donnent des courbes décroissantes ; toutes les courbes passent par le point de coordonnées 0 et 1

Trois observations à retenir sur cette figure.

Toutes les courbes passent par le point $(0; 1)$ . C'est la traduction graphique de $a^{0} = 1$ : peu importe la base, la valeur en $x = 0$ vaut toujours $1$ .
Plus la base est grande, plus ça monte vite. Pour $a > 1$ , la courbe « décolle » : c'est l'allure exponentielle déjà repérée sur les nuages de points du chapitre 5. Comparez $y = 2^{x}$ et $y = {1,4}^{x}$ : en $x = 4$ , la première vaut $16$ quand la seconde vaut environ $3,84$ .
Pour $0 < a < 1$ , la courbe descend et se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre. En effet $a^{x}$ est toujours strictement positif ; mais les valeurs deviennent vite très petites : ${0,5}^{4} = 0,0625$ déjà en $x = 4$ . La courbe longe l'axe des abscisses sans le toucher.

Méthode

Identifier la base d'une courbe exponentielle.

Vérifier que la courbe passe par le point $(0; 1)$ — c'est la signature de toute fonction $x \mapsto a^{x}$ .
Lire l'ordonnée du point d'abscisse $1$ : comme $a^{1} = a$ , cette ordonnée est la base elle-même.
Contrôler la cohérence avec le sens de variation : courbe qui monte, base supérieure à $1$ ; courbe qui descend, base comprise entre $0$ et $1$ .

Exemple

Sur la figure ci-dessus, la courbe la plus haute passe par le point $(1; 2)$ : sa base vaut $2$ , c'est bien celle de $y = 2^{x}$ . La courbe décroissante qui passe par $(1; 0,5)$ est celle de $y = {0,5}^{x}$ .

Et sans figure ? Le sens de variation se lit directement sur la base : $x \mapsto {1,02}^{x}$ est croissante car $1,02 > 1$ , tandis que $x \mapsto {0,98}^{x}$ est décroissante car $0,98 < 1$ . Même quand la base est très proche de $1$ , le critère ne change pas — seule la vitesse de l'évolution devient plus lente.

Résumons les deux cas intéressants dans des tableaux de variations. Cas $a > 1$ (fonction croissante, valeur $1$ au départ) :

x

0

+\infty

a^x

1

Cas $0 < a < 1$ (fonction décroissante, valeur $1$ au départ, valeurs qui se rapprochent de $0$ sans l'atteindre) :

x

0

+\infty

a^x

1

Modéliser une évolution exponentielle

Le lien entre pourcentages et exponentielles est le même qu'au chapitre précédent — simplement, il fonctionne désormais à tout instant. Une grandeur qui évolue de $t %$ par unité de temps est multipliée par le même coefficient à chaque unité : sa valeur à l'instant $x$ suit une fonction exponentielle.

Méthode

Reconnaître et modéliser une évolution exponentielle.

Reconnaître : la grandeur évolue du même pourcentage $t %$ à chaque unité de temps (ou est multipliée par le même coefficient). Si l'évolution se fait par ajout d'une quantité fixe, le modèle est linéaire, pas exponentiel.
Traduire le taux en coefficient multiplicateur : $a = 1 + \frac{t}{100}$ pour une hausse, $a = 1 - \frac{t}{100}$ pour une baisse.
Modéliser : en notant $C$ la valeur initiale, la valeur à l'instant $x ⩾ 0$ est $f (x) = C \times a^{x}$ . On vérifie que $f (0) = C \times a^{0} = C$ : le modèle démarre bien de la valeur initiale.
Exploiter : calculer $f (x)$ pour les instants demandés — entiers ou non —, puis conclure dans le contexte (unités, arrondi raisonnable).

Discret ou continu ? Deux modèles cohabitent désormais, et le choix dépend de la situation. Si la grandeur n'a de sens qu'à des étapes entières — des intérêts versés une fois par an, un loyer révisé chaque année —, la suite géométrique du chapitre 5 suffit : le phénomène est discret. Si la grandeur évolue à chaque instant — une population, une substance dans le sang, une surface qui pousse —, la fonction exponentielle prend le relais : le phénomène est continu. Les deux modèles coïncident sur les valeurs entières ( $f (n) = C \times a^{n}$ est exactement le terme général de la suite) : la fonction ne contredit jamais la suite, elle la complète.

Exemple

Reprenons la ville du chapitre précédent : $10 000$ habitants, et une croissance de $5 %$ par an.

Le taux est constant : $+ 5 %$ par an — le modèle exponentiel s'applique.
Le coefficient multiplicateur annuel est $1 + \frac{5}{100} = 1,05$ .
La population, $x$ années après le recensement, est modélisée par $f (x) = 10 000 \times {1,05}^{x}$ .
La nouveauté par rapport à la suite : on peut interroger le modèle à n'importe quel instant. Au bout de deux ans et demi : $f (2,5) = 10 000 \times {1,05}^{2,5} \approx 11 297$ habitants — une question sans réponse au chapitre 5. Et au bout de dix ans : $f (10) = 10 000 \times {1,05}^{10} \approx 16 289$ habitants.

Exemple

Une décroissance exponentielle. La pression atmosphérique diminue d'environ $12 %$ par kilomètre d'altitude. Au niveau de la mer, elle vaut environ $1 013$ hPa (hectopascals). Le coefficient multiplicateur par kilomètre est $1 - \frac{12}{100} = 0,88$ , donc la pression (en hPa) à l'altitude $x$ (en km) est modélisée par $f (x) = 1 013 \times {0,88}^{x}$ .

Remarquez que la variable $x$ n'est pas ici un temps, mais une altitude : le modèle exponentiel s'applique à toute grandeur qui évolue d'un pourcentage constant par unité — de temps, de distance ou d'autre chose. À $1,5$ km d'altitude : $f (1,5) = 1 013 \times {0,88}^{1,5} \approx 836$ hPa. Au sommet de l'Everest ( $8,8$ km) : $f (8,8) = 1 013 \times {0,88}^{8,8} \approx 329$ hPa — moins d'un tiers de la pression au niveau de la mer, ce qui explique le recours aux bouteilles d'oxygène. La base $0,88$ est comprise entre $0$ et $1$ : le modèle décrit bien une grandeur qui décroît, sans jamais s'annuler.

Des ordres de grandeur qui défient l'intuition. La marque de fabrique de la croissance exponentielle, c'est qu'elle finit toujours par dépasser n'importe quelle croissance linéaire — même si celle-ci part loin devant. Comparons $g (x) = 100 x$ (on ajoute $100$ à chaque étape) et $f (x) = 2^{x}$ (on double à chaque étape) :

$x$	$5$	$10$	$15$	$20$
$100 x$	$500$	$1 000$	$1 500$	$2 000$
$2^{x}$	$32$	$1 024$	$32 768$	$1 048 576$

En $x = 5$ , le linéaire écrase l'exponentiel. En $x = 10$ , l'exponentiel est déjà passé devant. En $x = 20$ , il est plus de $500$ fois plus grand — et l'écart ne fera que se creuser. Doubler, encore et encore, va toujours plus vite qu'ajouter, même beaucoup.

Exemple

Le nénuphar qui double. Un nénuphar double de surface chaque jour et recouvre entièrement un étang au bout de $30$ jours. Au bout de combien de jours en recouvrait-il la moitié ?

La réponse intuitive « $15$ jours » est fausse. La surface double du jour $29$ au jour $30$ : la moitié de l'étang était donc recouverte au jour $29$ , la veille de la fin ! De même, au jour $28$ il n'en couvrait qu'un quart, et au jour $26$ un seizième — environ $6 %$ de l'étang à quatre jours de l'envahissement total. Une croissance exponentielle paraît longtemps anodine, puis tout se joue dans les dernières étapes : c'est ce qui la rend si difficile à anticiper, des épidémies aux intérêts composés.

Le taux d'évolution moyen

Le loyer d'un appartement a augmenté de $21 %$ en deux ans. À quel taux annuel cela correspond-il ? La réponse spontanée — « $21 \div 2 = 10,5 %$ par an » — est fausse, et ce chapitre nous donne enfin les outils pour trouver le bon taux : c'est la question du taux d'évolution moyen.

Définition

Une grandeur subit $n$ évolutions successives, de coefficient multiplicateur global $CM$ . Le taux d'évolution moyen est le taux unique $t_{m}$ qui, appliqué $n$ fois de suite, produit la même évolution globale.

Traduisons en calcul. Appliquer $n$ fois le taux $t_{m}$ , c'est multiplier $n$ fois par $1 + t_{m}$ , c'est-à-dire multiplier par $(1 + t_{m})^{n}$ . Ce coefficient doit égaler le coefficient global : voilà une équation dont l'inconnue est sous une puissance $n$ -ième — exactement ce que la racine $n$ -ième sait résoudre.

Propriété

Taux d'évolution moyen. Si une grandeur subit $n$ évolutions successives de coefficient multiplicateur global $CM$ , le taux moyen $t_{m}$ vérifie

(1 + t_{m})^{n} = CM, donc 1 + t_{m} = {CM}^{1 / n} .

En pratique : ${CM}^{1 / n}$ est le coefficient multiplicateur moyen, et on en déduit $t_{m} = {CM}^{1 / n} - 1$ , qu'on convertit en pourcentage.

Méthode

Calculer un taux d'évolution moyen.

Déterminer le coefficient multiplicateur global $CM$ sur l'ensemble de la période (à partir du taux global, ou du quotient valeur finale sur valeur initiale).
Compter le nombre $n$ d'évolutions successives.
Calculer le coefficient moyen ${CM}^{1 / n}$ (racine $n$ -ième, à la calculatrice si besoin, avec les parenthèses autour de l'exposant).
Conclure : $t_{m} = {CM}^{1 / n} - 1$ , converti en pourcentage — positif pour une hausse moyenne, négatif pour une baisse moyenne.

Exemple

Le loyer : $+ 21 %$ en deux ans. Le coefficient global est $CM = 1 + \frac{21}{100} = 1,21$ , pour $n = 2$ évolutions annuelles. Le coefficient moyen vaut

{1,21}^{1 / 2} = \sqrt{1,21} = 1,1.

Le taux moyen est donc $t_{m} = 1,1 - 1 = 0,1$ , soit $+ 10 %$ par an. Vérification : ${1,1}^{2} = 1,21$ — deux hausses de $10 %$ redonnent bien $+ 21 %$ au total. Ce n'est pas $10,5 %$ !

Exemple

Une baisse : $- 27,1 %$ en trois ans. La fréquentation d'un cinéma a chuté de $27,1 %$ en trois ans. Le coefficient global est $CM = 1 - \frac{27,1}{100} = 0,729$ , pour $n = 3$ . Le coefficient moyen vaut ${0,729}^{1 / 3} = 0,9$ (car ${0,9}^{3} = 0,729$ ), donc $t_{m} = 0,9 - 1 = - 0,1$ : la fréquentation a baissé en moyenne de $10 %$ par an.

Quand la racine n'est pas exacte, la calculatrice prend le relais : une production qui augmente de $34 %$ en cinq ans a pour coefficient moyen ${1,34}^{1 / 5} \approx 1,0603$ , soit une hausse moyenne d'environ $6,0 %$ par an.

Exemple

Le piège à éviter : diviser le taux par $n$ . Reprenons le loyer à $+ 21 %$ en deux ans, et testons la réponse « intuitive » de $10,5 %$ par an. Deux hausses successives de $10,5 %$ multiplient le loyer par

{1,105}^{2} = 1,221 025,

soit une hausse globale de $22,1 %$ environ — et non de $21 %$ . Diviser le taux global par $n$ donne donc un résultat faux, et toujours trop grand pour une hausse : les évolutions successives se multiplient, elles ne s'additionnent pas. Chaque hausse s'applique à une valeur déjà augmentée, ce qui amplifie l'effet total — c'est le mécanisme des intérêts composés, déjà croisé au chapitre 5.

Résoudre un problème de seuil

Comme au chapitre précédent, la question se pose souvent à l'envers : non pas « que vaudra la grandeur à l'instant $x$ ? », mais « à partir de quand dépassera-t-elle (ou passera-t-elle sous) une valeur donnée ? ». Il s'agit de résoudre une équation du type $a^{x} = k$ … et, en première, aucune formule ne donne directement $x$ . Ce n'est pas un problème : trois approches permettent de conclure proprement.

Méthode

Résoudre un problème de seuil : trois approches.

Par le calcul : dresser une table de valeurs (ou tâtonner à la calculatrice) en calculant $f (x)$ pour des valeurs successives de $x$ , jusqu'à franchir le seuil. Conclure par un encadrement : la dernière valeur sous le seuil et la première au-dessus.
Graphiquement : tracer la courbe de $f$ et la droite horizontale d'équation $y = seuil$ (à la main ou sur la calculatrice), puis lire l'abscisse du point d'intersection. La lecture donne une valeur approchée, à confirmer par le calcul si le franchissement est serré.
Avec un outil numérique : un tableur (valeur initiale dans une cellule, formule de multiplication recopiée vers le bas) ou un programme Python muni d'une boucle while, qui répète la multiplication jusqu'au franchissement et compte les étapes.

Dans tous les cas, terminer par une phrase de conclusion dans le contexte.

Traitons un même problème par les trois approches. On place un capital de $1 500$ € sur un livret rémunéré à $4 %$ par an, les intérêts étant versés en fin d'année. Au bout de combien d'années le capital dépassera-t-il $2 500$ € ?

Modélisation. Chaque année, le capital est multiplié par $1,04$ . Le capital (en euros) au bout de $x$ années est donc modélisé par $f (x) = 1 500 \times {1,04}^{x}$ , et l'on cherche le plus petit nombre entier d'années $n$ tel que $f (n) > 2 500$ (les intérêts ne tombent qu'en fin d'année).

Exemple

Approche 1 : la table de valeurs. La calculatrice donne, arrondi au centime :

Années $n$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$
Capital $f (n)$ en €	$2 220,37$	$2 309,18$	$2 401,55$	$2 497,61$	$2 597,51$

Encadrement du seuil : $f (13) \approx 2 497,61 < 2 500$ et $f (14) \approx 2 597,51 > 2 500$ . Remarquez comme l'année $13$ échoue de peu — à moins de $3$ € près ! C'est précisément pour cela qu'on ne conclut jamais « au jugé » : seul le calcul des deux valeurs qui encadrent le seuil permet d'affirmer que la réponse est $14$ années.

Exemple

Approche 2 : la lecture graphique. On trace la courbe de $f$ et la droite horizontale d'équation $y = 2 500$ (sur la calculatrice : entrer la fonction 1500 * 1.04^X et la constante 2500, puis chercher l'intersection). L'abscisse du point d'intersection se lit : environ $13$ — en réalité très légèrement au-dessus de $13$ . La lecture graphique montre d'un coup d'œil la zone du franchissement, mais elle ne permet pas de trancher entre $13$ et $14$ années quand c'est aussi serré : on confirme par le calcul, comme dans l'approche 1, que $13$ années ne suffisent pas. La réponse est bien $14$ années.

Exemple

Approche 3 : un programme Python. L'idée est de faire faire le tâtonnement par la machine : partir du capital initial, multiplier par $1,04$ en boucle tant que le seuil n'est pas atteint, et compter les années.

C = 1500      # capital initial en euros
n = 0         # nombre d'années écoulées
while C < 2500:
    C = 1.04 * C
    n = n + 1
print(n)

La boucle while se relit comme une phrase : « tant que le capital est strictement inférieur à $2 500$ , appliquer une année d'intérêts et compter une année de plus ». À la sortie de la boucle, le seuil vient d'être franchi. Le programme affiche 14 — en parfait accord avec les deux autres approches.

Conclusion. C'est au bout de $14$ années que le capital dépasse pour la première fois $2 500$ €. Trois chemins, une seule réponse : choisissez celui qui vous met le plus en confiance, et gardez les autres pour vérifier.

À retenir

Méthode

Les réflexes du chapitre.

Prolonger le discret en continu. La fonction $x \mapsto a^{x}$ ( $a > 0$ , $x ⩾ 0$ ) complète le nuage de points de la suite géométrique $q^{n}$ : mêmes valeurs aux entiers, et une valeur pour tous les instants intermédiaires, fournie par la calculatrice.
Les règles de calcul s'étendent (elles sont admises) : $a^{x} \times a^{y} = a^{x + y}$ , $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (avec $x ⩾ y$ ), ${(a^{x})}^{y} = a^{x \times y}$ , $a^{x} \times b^{x} = (a b)^{x}$ , et surtout $a^{0} = 1$ , $a^{1} = a$ .
Racine $n$ -ième. $a^{1 / n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ ; en particulier $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ . À la calculatrice : exposant entre parenthèses.
Variations. Croissante si $a > 1$ , constante si $a = 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ ; toutes les courbes passent par $(0; 1)$ , et pour $0 < a < 1$ la courbe se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre.
Modéliser. Une évolution de $t %$ par unité de temps se modélise par $f (x) = C \times {(1 + \frac{t}{100})}^{x}$ (hausse) ou $f (x) = C \times {(1 - \frac{t}{100})}^{x}$ (baisse), où $C$ est la valeur initiale.
Taux moyen. Sur $n$ évolutions de coefficient global $CM$ : $1 + t_{m} = {CM}^{1 / n}$ . Ne jamais diviser le taux global par $n$ : les évolutions se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
Problème de seuil. Pas de formule directe pour $a^{x} = k$ : on explore par table de valeurs, lecture graphique ou programme (boucle while), et on conclut par un encadrement et une phrase.

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Bloqué sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » ?

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