Suites arithmétiques et fonctions affines

Beaucoup de grandeurs évoluent au fil du temps : un capital placé à la banque, le nombre d'abonnés d'une chaîne de vidéos, la température d'un plat qui cuit, le niveau moyen des océans. Pour étudier ces phénomènes d'évolution, on distingue deux situations. Tantôt la grandeur ne prend de valeurs qu'à des instants séparés — chaque année, chaque mois, à chaque étape — et l'évolution est dite discrète : l'outil adapté est alors une suite numérique, notion nouvelle que ce chapitre introduit. Tantôt la grandeur varie sans interruption, à chaque instant, et l'évolution est dite continue : l'outil adapté est une fonction, notion déjà rencontrée en seconde. Ce chapitre étudie le plus simple de tous les modèles d'évolution : celui où la grandeur augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque pas. Cet accroissement constant porte un nom : la croissance linéaire. Nous allons la découvrir sous ses deux visages — côté discret avec les suites arithmétiques, côté continu avec les fonctions affines — et constater qu'il s'agit en réalité d'un seul et même modèle.

Les suites numériques

Commençons par une situation concrète. Une chaîne de vidéos compte aujourd'hui $500$ abonnés. On relève le nombre d'abonnés chaque mois : au bout d'un mois, puis de deux mois, puis de trois… On obtient une liste de nombres, un par mois. Pas de relevé « au bout d'un mois et demi » : la grandeur n'est observée qu'à des rangs entiers ($0$ mois, $1$ mois, $2$ mois…). C'est exactement ce que modélise une suite.

Cette notation $u(n)$ ressemble volontairement à la notation des fonctions : une suite fonctionne comme une fonction, mais qui n'accepte que des entiers naturels en entrée. Ainsi $u(3)$ est le nombre associé au rang $3$, exactement comme $f(3)$ est l'image de $3$ par une fonction $f$.

Remarque (notation indicielle). Le terme de rang $n$ se note aussi $u_n$, avec le rang en indice : c'est la notation indicielle, la plus courante dans les livres et les sujets. Les deux écritures $u(n)$ et $u_n$ désignent exactement la même chose, et nous utiliserons librement l'une ou l'autre.

Comment décrire une suite ? Deux modes de génération existent, et il est essentiel de bien les distinguer.

Premier mode : par une relation de récurrence. On donne le premier terme, et une règle qui permet de passer de chaque terme au suivant.

Second mode : par une formule explicite. On donne directement une formule qui exprime $u(n)$ en fonction de $n$, comme pour une fonction.

Un des objectifs de ce chapitre est justement de passer du premier mode au second : pour les suites que nous allons étudier, nous saurons transformer la relation de récurrence en formule explicite.

Suites arithmétiques

Dans l'exemple des abonnés, on ajoute toujours le même nombre ($30$) pour passer d'un terme au suivant. Les suites qui évoluent ainsi, à accroissement constant, portent un nom.

Calculons pour nous entraîner les six termes qui suivent le premier terme de la suite arithmétique définie par $u(0)=3$ et $r=2$ :

Revenons au défaut de la relation de récurrence : pour connaître $u(24)$, faut-il vraiment calculer les $23$ termes précédents ? Non — et c'est le résultat central de ce chapitre.

Justification. Partons de $u(0)$ et avançons de proche en proche : $u(1)=u(0)+r$, puis $u(2)=u(1)+r=u(0)+2r$, puis $u(3)=u(2)+r=u(0)+3r$… À chaque pas, on ajoute une fois de plus la raison. Pour atteindre le rang $n$, on effectue $n$ pas depuis le rang $0$, donc on a ajouté $n$ fois la raison en tout : $u(n)=u(0)+n\times r$. $\mathrm{\square }$

Remarque. Si la suite commence au rang $1$ (premier terme $u(1)$), le même raisonnement s'applique : pour aller du rang $1$ au rang $n$, on effectue $n-1$ pas, donc $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$. Avant d'utiliser une formule, on vérifie toujours à quel rang commence la suite.

Une suite est dite croissante lorsque chaque terme est supérieur au précédent, décroissante lorsque chaque terme est inférieur au précédent. Pour une suite arithmétique, la réponse se lit sur la raison.

Justification. Pour tout entier naturel $n$, on a $u(n+1)-u(n)=r$ : le signe de cette différence — donc la comparaison entre un terme et le suivant — est exactement le signe de $r$. $\mathrm{\square }$

Ainsi la suite des abonnés ($r=30>0$) est croissante, tandis que la suite de la citerne ($r=-15<0$) est décroissante.

Représentation graphique

Comment représenter une suite ? Comme une suite n'est définie qu'aux rangs entiers, on place dans un repère les points de coordonnées $(n;u(n))$ pour $n=0$, $1$, $2$… On obtient des points isolés — surtout, on ne les relie pas : entre deux rangs entiers, la suite n'existe pas.

La figure représente la suite arithmétique $u(n)=1+\mathrm{0,5}n$ pour les rangs $n=0$ à $6$. Le caractère arithmétique se voit : d'un point au suivant, on avance de $1$ vers la droite et on monte toujours de la même quantité, la raison $\mathrm{0,5}$. Résultat : les points sont alignés, posés sur la droite d'équation $y=1+\mathrm{0,5}x$. Ce n'est pas un hasard, et c'est justement cette droite qui fait le pont vers la deuxième partie du chapitre : les fonctions affines.

Fonctions affines : le modèle continu

Toutes les grandeurs n'évoluent pas par paliers. La température d'un plat, la hauteur d'eau dans une baignoire qui se remplit, le prix d'une course en fonction de la distance parcourue : ces grandeurs varient continûment, et peuvent être évaluées en n'importe quelle valeur réelle, pas seulement aux entiers. L'outil adapté est une fonction — et quand l'accroissement est constant, c'est une fonction affine, déjà rencontrée en seconde. Remobilisons ces acquis.

Remarque. Deux cas particuliers méritent d'être signalés : si $p=0$, la fonction $f(x)=mx$ est dite linéaire et traduit une situation de proportionnalité ; si $m=0$, la fonction $f(x)=p$ est constante.

La figure représente la fonction affine $f(x)=2x-1$. On y lit les deux paramètres : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0;-1)$, donc $p=-1$ ; et le petit triangle montre que lorsque $x$ augmente de $1$, la valeur de $f(x)$ augmente de $2$, donc $m=2$. Ce « quand $x$ avance de $1$, $y$ monte de $m$ » est exactement l'analogue continu de la raison d'une suite arithmétique. La propriété suivante le confirme.

Justification. On calcule la différence des images : $f(x_2)-f(x_1)=(m{x}_2+p)-(m{x}_1+p)=m(x_2-x_1)$. Comme $x_2-x_1\mathrm{\ne }0$, on peut diviser : ${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}=m$. $\mathrm{\square }$

Cette propriété est très utile en pratique : elle permet de retrouver $m$ à partir de deux valeurs de la fonction. Si l'on sait que $f(2)=7$ et $f(5)=16$, alors $m={\displaystyle \frac{16-7}{5-2}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$, sans connaître l'expression de $f$.

Le taux d'accroissement explique ce résultat : quand $x$ augmente, $f(x)$ varie de $m$ fois cette augmentation — il monte si $m>0$, il descend si $m<0$. Pour une fonction affine croissante ($m>0$), le tableau de variations est le suivant :

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$f(x)$

Remarque. Les fonctions affines sont partout dans la vie économique et sociale : un abonnement composé d'une part fixe et d'une part variable selon la consommation, les courbes d'offre et de demande en fonction du prix… Le barème de l'impôt sur le revenu, lui, est une fonction affine par morceaux : sur chaque tranche de revenu, l'impôt est donné par une fonction affine, mais le coefficient directeur change d'une tranche à l'autre.

Discret ou continu ? Le parallèle

Prenons du recul. Suites arithmétiques et fonctions affines racontent la même histoire — une grandeur qui varie à accroissement constant — dans deux décors différents : rangs entiers d'un côté, valeurs réelles de l'autre. Le tableau suivant met le parallèle en évidence.

Les deux formules $u(n)=u(0)+nr$ et $f(x)=p+mx$ sont mot pour mot les mêmes : valeur de départ, plus l'accroissement multiplié par le chemin parcouru. Face à une situation concrète, la seule vraie question est donc : la grandeur évolue-t-elle par paliers ou continûment ?

À l'inverse, une grandeur comme le niveau moyen des océans, mesurable à tout instant et dont la montée est à peu près régulière sur quelques décennies, se modélise par une fonction affine du temps : même modèle linéaire, version continue.

Problèmes de seuil

Dernière compétence du chapitre, et l'une des plus utiles : répondre aux questions du type « à partir de quand la grandeur dépassera-t-elle telle valeur ? ». Cette valeur à atteindre s'appelle un seuil. Dans le cas d'une croissance linéaire, une inéquation du premier degré — outil de seconde — suffit à répondre.

Deux autres approches permettent de résoudre un problème de seuil, et il faut savoir les mobiliser aussi :

• par lecture graphique : on trace la droite horizontale d'équation $y=S$ sur la représentation de la suite ou de la fonction, et on repère le premier point (ou la première abscisse) situé au-dessus ;
• avec une table de valeurs : à la calculatrice ou au tableur, on fait afficher les termes $u(n)$ les uns après les autres et on repère le premier rang où le seuil est franchi. C'est souvent le moyen le plus rapide de vérifier un calcul.

Conclusion

Le modèle linéaire — suites arithmétiques côté discret, fonctions affines côté continu — est le plus simple de tous les modèles d'évolution : une valeur de départ, un accroissement constant, et tout se calcule. Sa simplicité fait sa force, mais aussi sa limite : dans la réalité, beaucoup de grandeurs n'évoluent pas d'une quantité constante — une population ou une épidémie, par exemple, croissent d'autant plus vite qu'elles sont déjà grandes. D'autres modèles d'évolution, adaptés à ces situations, seront étudiés plus loin dans l'année.