1ʳᵉ ens. sci. · Chapitre 02 · Phénomènes aléatoires

Phénomènes aléatoires

Probabilités conditionnelles, indépendance, répétition d'épreuves de Bernoulli (n ≤ 4), tests médicaux.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Probabilités conditionnelles
Indépendance
Répétition d'épreuves de Bernoulli (n ≤ 4)
Tests médicaux

En classe de seconde, le hasard a déjà été apprivoisé une première fois : on a appris à décrire une expérience aléatoire par un univers et une loi de probabilité, à croiser deux variables dans un tableau, à calculer des probabilités conditionnelles et à faire fonctionner les arbres pondérés. Ce chapitre consolide ces acquis et les prolonge dans deux directions nouvelles : l'indépendance de deux événements — que signifie exactement « ces deux événements n'ont rien à voir l'un avec l'autre » ? — et la répétition d'épreuves de Bernoulli, le modèle des situations où l'on rejoue plusieurs fois de suite la même expérience à deux issues, comme une série de tirs au but ou de lancers de pièce. L'enjeu dépasse largement la salle de classe : raisonner « sachant que », c'est comprendre ce que vaut réellement un test médical positif, déjouer les pièges des jeux de hasard, surveiller une chaîne de production. Le hasard ne se prédit pas, mais il se domestique. C'est enfin un chapitre stratégique pour l'épreuve anticipée de fin d'année : distinguer les trois probabilités $P (A \cap B)$ , $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ , lire un arbre ou un tableau croisé sans calculatrice sont des automatismes attendus, que ce cours travaille systématiquement.

Probabilité conditionnelle

Rappelons d'abord le vocabulaire de seconde, qui reste le cadre de tout le chapitre. Une expérience aléatoire a des issues connues d'avance mais imprévisibles ; l'ensemble de ces issues est l'univers $Ω$ , toujours supposé fini ici. Un événement est un ensemble d'issues ; l'événement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand $A$ et $B$ le sont simultanément, l'événement $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») quand l'un au moins des deux l'est, et l'événement contraire $\overline{A}$ quand $A$ ne l'est pas, avec la relation bien utile $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

L'idée centrale du chapitre a elle aussi été rencontrée en seconde : recevoir une information partielle change les probabilités. Si l'on apprend qu'un événement $A$ est réalisé — sans rien savoir de plus — l'univers se rétrécit : les issues extérieures à $A$ deviennent impossibles, et les chances se réévaluent à l'intérieur de $A$ .

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements d'une même expérience aléatoire, avec $P (A) \neq 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est la probabilité que $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé. Tout se passe comme si l'univers était restreint aux seules issues de $A$ : $P_{A} (B)$ mesure la part de $B$ à l'intérieur de $A$ .

Cette lecture par restriction de l'univers se traduit par une égalité, qui est l'outil de calcul du chapitre.

Propriété

Pour tous événements $A$ et $B$ avec $P (A) \neq 0$ :

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

et, en divisant les deux membres par $P (A)$ :

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Ce sont les deux faces d'une même égalité, et chacune a son usage. La première forme (la multiplication) sert à calculer la probabilité d'une intersection quand on connaît la probabilité conditionnelle — c'est elle qui fera fonctionner les arbres pondérés. La seconde forme (le quotient) sert à calculer une probabilité conditionnelle quand on connaît l'intersection. Savoir passer de l'une à l'autre sans hésiter est un réflexe à installer dès maintenant.

Remarque

Trois probabilités à ne jamais confondre — c'est un automatisme exigible de l'épreuve anticipée. Dans un lycée, considérons les événements $A$ : « l'élève étudie l'allemand » et $B$ : « l'élève est une fille », pour un élève tiré au hasard.

$P (A \cap B)$ répond à : « quelle est la part, dans tout le lycée, des filles qui étudient l'allemand ? » ;
$P_{A} (B)$ répond à : « parmi les germanistes, quelle est la part de filles ? » ;
$P_{B} (A)$ répond à : « parmi les filles, quelle est la part de germanistes ? ».

Trois questions différentes, trois dénominateurs différents, et en général trois nombres différents. Devant un énoncé, le bon réflexe est de se demander : « la proportion est prise parmi qui ? ». Si la réponse est « parmi tout le monde », c'est une intersection ; si c'est « parmi ceux qui vérifient $A$ », c'est un conditionnement par $A$ .

Exemple

Au mois de novembre, dans la ville de Camille, la probabilité qu'il pleuve un matin donné est $0,4$ . Les matins de pluie, Camille prend le bus pour aller au lycée avec une probabilité de $0,85$ (sinon, elle part à vélo). On sait par ailleurs que la probabilité qu'il pleuve et que Camille arrive en retard est $0,1$ . Notons $A$ : « il pleut ce matin », $B$ : « Camille prend le bus » et $R$ : « Camille arrive en retard ».

La phrase « les matins de pluie, Camille prend le bus avec une probabilité de $0,85$ » est un conditionnement : elle se traduit par $P_{A} (B) = 0,85$ . La multiplication donne alors :

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0,4 \times 0,85 = 0,34

Sur l'ensemble des matins de novembre, il pleut et Camille prend le bus environ un matin sur trois.

Dans l'autre sens, on connaît $P (A \cap R) = 0,1$ et l'on cherche la probabilité que Camille soit en retard sachant qu'il pleut. Le quotient donne :

P_{A} (R) = \frac{P (A \cap R)}{P (A)} = \frac{0,1}{0,4} = 0,25

Les matins de pluie, Camille arrive en retard une fois sur quatre. Remarquons l'écart entre les deux nombres : « pluie et retard » ne concerne qu'un matin sur dix ( $P (A \cap R) = 0,1$ ), mais parmi les matins de pluie, le retard frappe une fois sur quatre ( $P_{A} (R) = 0,25$ ) — la proportion n'est pas prise dans la même population de matins.

Probabilités conditionnelles dans un tableau croisé

Quand une population est décrite par deux caractères, le tableau croisé d'effectifs, bien connu depuis la seconde, contient toutes les probabilités du tirage au sort d'un individu — à condition de savoir où lire chaque type de probabilité. Le principe tient en une phrase : conditionner, c'est se restreindre à une ligne ou à une colonne.

Méthode

Calculer des probabilités dans un tableau croisé d'effectifs (tirage au sort équiprobable d'un individu).

Pour une probabilité simple ou une intersection : diviser l'effectif concerné (une marge ou une case intérieure) par le total général.
Pour une probabilité conditionnelle : identifier l'événement conditionnant (celui qui suit « sachant que » ou « parmi les »), se restreindre à sa ligne ou sa colonne, et diviser l'effectif de l'intersection par le total de cette ligne ou colonne — et non plus par le total général.
Conclure par une phrase en français commençant par « sachant que… » ou « parmi les… ».

Exemple

Une médiathèque compte $240$ abonnés. On croise l'âge et le fait d'avoir emprunté au moins une bande dessinée ce mois-ci :

	Moins de $18$ ans	$18$ ans ou plus	Total
Ont emprunté une BD	$60$	$45$	$105$
N'en ont pas emprunté	$30$	$105$	$135$
Total	$90$	$150$	$240$

On tire au sort un abonné (chacun a la même probabilité d'être choisi). Notons $J$ : « l'abonné a moins de $18$ ans » et $B$ : « l'abonné a emprunté au moins une BD ce mois-ci ».

Intersection : la case « moins de $18$ ans et BD » contient $60$ abonnés, à rapporter au total général :

P (J \cap B) = \frac{60}{240} = 0,25

Un abonné sur quatre est un jeune ayant emprunté une BD ce mois-ci.

Conditionnelle « sachant $J$ » : on se restreint à la colonne des moins de $18$ ans, de total $90$ :

P_{J} (B) = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}

Sachant que l'abonné tiré a moins de $18$ ans, la probabilité qu'il ait emprunté une BD est $\frac{2}{3}$ : deux jeunes abonnés sur trois ont emprunté une BD.

Conditionnelle « sachant $B$ » : on se restreint cette fois à la ligne des emprunteurs de BD, de total $105$ :

P_{B} (J) = \frac{60}{105} = \frac{4}{7}

Parmi les emprunteurs de BD, un peu plus de la moitié ( $\frac{4}{7} \approx 0,57$ ) ont moins de $18$ ans. Même case de départ ( $60$ ), trois dénominateurs différents ( $240$ , $90$ , $105$ ), trois probabilités différentes : le tableau rend visible d'un coup d'œil la distinction entre $P (J \cap B)$ , $P_{J} (B)$ et $P_{B} (J)$ .

Arbres pondérés

Le tableau croisé convient aux populations décrites par deux caractères. Quand l'expérience aléatoire se déroule en étapes successives — deux tirages, une météo puis un trajet, un choix puis un résultat — l'outil naturel est l'arbre pondéré, déjà manipulé en seconde.

Arbre pondéré générique à deux niveaux

Le vocabulaire : chaque point de l'arbre est un nœud ; de chaque nœud partent des branches, portant chacune un événement et un nombre appelé pondération ; une suite de branches, de la racine jusqu'à une extrémité, est un chemin. Sur la figure, la racine se sépare vers $A$ et $\overline{A}$ , puis chacun de ces nœuds se sépare vers $B$ et $\overline{B}$ : les branches du premier niveau portent les probabilités $P (A)$ et $P (\overline{A})$ , celles du deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles — la branche qui va de $A$ vers $B$ porte $P_{A} (B)$ , car à ce stade du chemin, on « sait » que $A$ est réalisé.

Propriété

Les trois règles de l'arbre pondéré.

La somme des pondérations des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations rencontrées le long de ce chemin ; c'est la probabilité de l'intersection des événements du chemin :
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet événement.

La règle 2 n'est pas nouvelle : c'est la formule de multiplication de la section 1, lue sur le dessin. La règle 3 mérite d'être retenue comme une phrase en français : pour calculer la probabilité d'un événement du deuxième niveau, on repère tous les chemins qui y aboutissent et on additionne leurs probabilités. La règle 1, enfin, est le contrôle de cohérence à effectuer avant tout calcul.

Méthode

Construire un arbre pondéré à partir d'un énoncé.

Identifier les étapes de l'expérience et les événements de chaque étape (souvent un événement et son contraire).
Poser le premier niveau : une branche par événement de la première étape, pondérée par sa probabilité.
Traduire les « sachant que » de l'énoncé : chaque phrase du type « si la première étape a donné tel résultat, alors… » fournit la pondération d'une branche du deuxième niveau. Les pondérations manquantes se complètent par la règle 1 (passage au contraire).
Vérifier qu'à chaque nœud, la somme des pondérations des branches qui en partent vaut $1$ .

Exemple

La veille d'une interrogation, Zoé révise avec une probabilité de $0,7$ . Quand elle a révisé, elle réussit l'interrogation avec une probabilité de $0,9$ ; quand elle n'a pas révisé, elle ne réussit qu'avec une probabilité de $0,4$ . Notons $V$ : « Zoé a révisé la veille » et $S$ : « Zoé réussit l'interrogation ».

Construisons l'arbre en suivant la méthode. Premier niveau : $P (V) = 0,7$ , donc $P (\overline{V}) = 1 - 0,7 = 0,3$ . Deuxième niveau, en traduisant les « quand elle a révisé / quand elle n'a pas révisé » : $P_{V} (S) = 0,9$ donc $P_{V} (\overline{S}) = 0,1$ , et $P_{\overline{V}} (S) = 0,4$ donc $P_{\overline{V}} (\overline{S}) = 0,6$ . À chaque nœud, la somme des pondérations vaut bien $1$ .

Règle 2 — probabilité que Zoé ait révisé et réussisse (chemin $V$ puis $S$ ) :

P (V \cap S) = P (V) \times P_{V} (S) = 0,7 \times 0,9 = 0,63

Règle 3 — probabilité que Zoé réussisse, tout court : deux chemins mènent à $S$ (par $V$ et par $\overline{V}$ ), on additionne leurs probabilités :

P (S) = P (V \cap S) + P (\overline{V} \cap S) = 0,7 \times 0,9 + 0,3 \times 0,4 = 0,63 + 0,12 = 0,75

Zoé réussit trois interrogations sur quatre, en moyenne.

Retour à la définition — sachant que Zoé a réussi, quelle est la probabilité qu'elle ait révisé ? Attention, $P_{S} (V)$ ne se lit sur aucune branche de l'arbre (l'arbre conditionne dans l'autre sens) : on revient au quotient de la section 1, avec les deux nombres que l'on vient de calculer :

P_{S} (V) = \frac{P (V \cap S)}{P (S)} = \frac{0,63}{0,75} = 0,84

Parmi les interrogations réussies, $84 %$ suivent une soirée de révisions : la réussite est un bon indice — mais pas une preuve — du travail de la veille.

Indépendance de deux événements

Dans tous les exemples précédents, l'information « tel événement est réalisé » modifiait la probabilité de l'autre : savoir qu'il pleut change la probabilité que Camille prenne le bus, savoir que Zoé a réussi change la probabilité qu'elle ait révisé. Mais il arrive que l'information ne change rien : c'est précisément la notion d'indépendance.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P (B) \neq 0$ . On dit que $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :

P_{B} (A) = P (A)

Autrement dit : savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$ . L'information « $B$ a eu lieu » n'apprend rien sur les chances de $A$ .

Propriété

$A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

En effet, la multiplication de la section 1 donne $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ ; remplacer $P_{B} (A)$ par $P (A)$ revient exactement à écrire $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . Cette caractérisation est symétrique en $A$ et $B$ : si $A$ est indépendant de $B$ , alors $B$ est indépendant de $A$ — on dit simplement que $A$ et $B$ sont indépendants, sans préciser d'ordre.

Méthode

Justifier ou utiliser une indépendance.

Pour justifier que $A$ et $B$ sont indépendants : calculer séparément $P_{B} (A)$ et $P (A)$ , puis les comparer. S'ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. On peut aussi comparer $P (A \cap B)$ et le produit $P (A) \times P (B)$ — c'est le même test.
Pour utiliser une indépendance donnée par l'énoncé (« les résultats sont indépendants », « les pannes surviennent indépendamment l'une de l'autre ») : remplacer directement la probabilité de l'intersection par le produit $P (A) \times P (B)$ , sans passer par une probabilité conditionnelle.
Dans les deux cas, conclure par une phrase : « savoir que $B$ est réalisé ne change pas (ou change) la probabilité de $A$ ».

Remarque

Indépendants n'est pas incompatibles — c'est l'erreur classique du chapitre. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps : $A \cap B = \emptyset$ , donc $P (A \cap B) = 0$ . Deux événements indépendants n'ont aucune influence l'un sur l'autre. Non seulement ces deux notions sont différentes, mais elles sont presque opposées : si $A$ et $B$ sont incompatibles avec $P (A) \neq 0$ et $P (B) \neq 0$ , alors $P (A \cap B) = 0$ tandis que $P (A) \times P (B) \neq 0$ — ils ne sont donc jamais indépendants. C'est cohérent avec l'intuition : apprendre que $B$ est réalisé est alors une information décisive sur $A$ , puisqu'elle rend $A$ impossible.

Exemple

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes ( $4$ couleurs, $8$ valeurs par couleur, dont $3$ figures : valet, dame, roi). Notons $C$ : « la carte est un cœur » et $F$ : « la carte est une figure ». Ces deux événements sont-ils indépendants ?

Commençons par les probabilités simples : le jeu compte $8$ cœurs, donc $P (C) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ , et $4 \times 3 = 12$ figures, donc $P (F) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ .

Première vérification, par la définition. Sachant que la carte est une figure, il reste $12$ cartes possibles, dont $3$ sont des cœurs (le valet, la dame et le roi de cœur) :

P_{F} (C) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = P (C)

Savoir que la carte est une figure ne change pas la probabilité qu'elle soit un cœur : $C$ et $F$ sont indépendants.

Seconde vérification, par le produit. L'événement $C \cap F$ (« être une figure de cœur ») compte $3$ cartes, donc $P (C \cap F) = \frac{3}{32}$ ; et le produit vaut $P (C) \times P (F) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{32}$ . L'égalité $P (C \cap F) = P (C) \times P (F)$ est vérifiée : les deux tests concordent.

L'explication est structurelle : les figures se répartissent équitablement entre les quatre couleurs, si bien que la proportion de cœurs est la même parmi les figures ( $\frac{3}{12}$ ) que dans tout le jeu ( $\frac{8}{32}$ ).

Répétition d'épreuves de Bernoulli

Beaucoup de situations aléatoires se ramènent à une expérience très simple — deux issues seulement — que l'on répète plusieurs fois : une série de lancers de pièce, plusieurs tirs au but, des tirages successifs avec remise dans une urne. Ce modèle porte le nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, qui l'a étudié à la fin du XVIIe siècle.

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à exactement deux issues : l'une appelée succès, notée $S$ , de probabilité $p$ ; l'autre appelée échec, notée $\overline{S}$ , de probabilité $1 - p$ .

Définition

On appelle répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes la succession de plusieurs épreuves de Bernoulli telles que :

les épreuves sont identiques : la probabilité de succès est la même, $p$ , à chaque épreuve ;
les épreuves sont indépendantes : le résultat d'une épreuve n'influence pas les résultats des suivantes.

Le modèle de référence est le tirage avec remise : en remettant à chaque fois l'objet tiré, on replace l'urne exactement dans son état initial, et chaque tirage se déroule dans les mêmes conditions, sans mémoire des tirages précédents.

Une répétition de $n$ épreuves se représente par un arbre à $n$ niveaux, dans lequel chaque nœud se sépare en deux branches, $S$ et $\overline{S}$ . L'indépendance se lit directement sur l'arbre : toutes les branches de succès portent la même pondération $p$ , quel que soit le chemin déjà parcouru — les pondérations conditionnelles coïncident avec les probabilités simples, c'est exactement la définition de l'indépendance vue à la section précédente. En pratique, cette représentation n'est raisonnable que pour $n ⩽ 4$ : au-delà, l'arbre compte trop de chemins ( $16$ dès $n = 4$ ) pour rester lisible, et c'est la limite fixée par le programme.

Arbre d'une répétition de trois épreuves de Bernoulli

Exemple

Une basketteuse réussit chacun de ses lancers francs avec une probabilité de $0,6$ , et l'on admet que ses lancers sont indépendants les uns des autres. Elle tire trois lancers francs. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès $S$ « le lancer est réussi », avec $p = 0,6$ et $P (\overline{S}) = 0,4$ : la situation est représentée par l'arbre à trois niveaux ci-dessus.

Probabilité de trois succès. Un seul chemin y mène : $S$ puis $S$ puis $S$ . Par la règle du produit (et grâce à l'indépendance, chaque branche $S$ porte $0,6$ ) :

P (trois succ \overset{ˋ}{e} s) = 0,6 \times 0,6 \times 0,6 = {0,6}^{3} = 0,216

La basketteuse réussit ses trois lancers environ une série sur cinq.

Probabilité d'exactement deux succès. Trois chemins de l'arbre comportent exactement deux $S$ : ( $S$ , $S$ , $\overline{S}$ ), ( $S$ , $\overline{S}$ , $S$ ) et ( $\overline{S}$ , $S$ , $S$ ). Chacun a pour probabilité $0,6 \times 0,6 \times 0,4 = 0,144$ — le produit ne dépend pas de l'ordre des branches. On additionne les probabilités de ces trois chemins :

P (exactement deux succ \overset{ˋ}{e} s) = 3 \times 0,144 = 0,432

C'est d'ailleurs le résultat le plus probable des quatre possibles (zéro, un, deux ou trois succès).

Méthode

Calculer une probabilité du type « au moins un succès ».

Passer par l'événement contraire : le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », c'est-à-dire « que des échecs » — un seul chemin de l'arbre, bien plus simple que la dizaine de chemins de l'événement direct.
Calculer la probabilité de ce chemin unique : $(1 - p) \times (1 - p) \times \dots$ , soit $(1 - p)^{n}$ pour $n$ épreuves.
Conclure : $P (au moins un succ \overset{ˋ}{e} s) = 1 - (1 - p)^{n}$ , et interpréter le résultat en français.

Exemple

Reprenons la basketteuse et ses trois lancers francs. Quelle est la probabilité qu'elle réussisse au moins un lancer ? Plutôt que d'additionner les probabilités des sept chemins comportant au moins un $S$ , passons par le contraire : « aucun succès » correspond au seul chemin ( $\overline{S}$ , $\overline{S}$ , $\overline{S}$ ), de probabilité ${0,4}^{3} = 0,064$ . D'où :

P (au moins un succ \overset{ˋ}{e} s) = 1 - {0,4}^{3} = 1 - 0,064 = 0,936

Dans plus de $93 %$ des séries de trois lancers, la basketteuse marque au moins une fois. Le détour par le contraire a remplacé sept calculs par un seul : ce réflexe « au moins un $\to$ contraire de aucun » est l'un des automatismes les plus rentables du chapitre.

Le hasard sur le long terme

Que signifie concrètement « la probabilité de succès vaut $0,3$ » ? Sur une épreuve, rien d'observable : le succès a lieu ou non. C'est sur le long terme que la probabilité prend un sens expérimental. Simulons un grand nombre de tirages avec remise dans une urne contenant $3$ boules rouges et $7$ boules bleues, le succès étant « tirer une rouge », de probabilité $0,3$ . Plutôt que de tirer mille fois à la main, on confie la répétition à un ordinateur — quelques lignes de Python suffisent, dans l'esprit des simulations déjà écrites en seconde :

from random import randint

def frequence_succes(n):
    """Frequence de succes sur n tirages avec remise (p = 0,3)."""
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 10) <= 3:   # 3 chances sur 10 : succes
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

La figure suivante montre l'évolution de la fréquence de succès au fil d'une simulation de $1 000$ tirages : en abscisse le nombre de tirages effectués, en ordonnée la fréquence de rouges obtenue jusque-là.

Fréquence observée d'un succès au fil de 1 000 tirages avec remise

Au début, la courbe fluctue fortement — après dix tirages, une fréquence de $0,1$ ou de $0,5$ n'a rien d'étonnant. Puis les fluctuations s'amortissent et la courbe se stabilise autour de la valeur $0,3$ : c'est la loi des grands nombres, dans la version vulgarisée déjà rencontrée en seconde — lorsque le nombre de répétitions devient grand, sauf exception, la fréquence observée d'un événement est proche de sa probabilité. La probabilité $0,3$ n'est donc pas une prédiction sur le prochain tirage, mais une promesse sur la tendance de long terme.

Remarque

Deux mises en garde, toutes deux essentielles.

Une loi de probabilité est une hypothèse du modèle : elle ne se démontre pas. Dire « la probabilité de tirer une rouge vaut $0,3$ » est un choix de modélisation — justifié ici par la composition de l'urne, ailleurs par des fréquences observées sur un grand nombre d'essais. La simulation ci-dessus ne prouve pas que $p = 0,3$ : elle illustre la cohérence entre le modèle choisi et les fréquences qu'il produit.
Le hasard n'a pas de mémoire. L'indépendance des tirages signifie qu'une série de dix échecs consécutifs ne rend pas le succès « dû » au onzième tirage : sa probabilité reste $0,3$ , exactement comme au premier. La loi des grands nombres parle de la fréquence sur mille tirages, pas du résultat du prochain — croire le contraire est une erreur si répandue qu'elle porte un nom, l'illusion du joueur.

Tests de dépistage : faux positifs et faux négatifs

Voici l'application phare du chapitre, celle où la distinction entre $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ cesse d'être une subtilité de cours pour devenir une question de santé publique. Un test de dépistage cherche à détecter une maladie, mais aucun test n'est parfait : il peut se tromper dans les deux sens. On appelle faux positif un test positif alors que la personne n'est pas malade, et faux négatif un test négatif alors que la personne est malade. Les qualités d'un test sont toujours annoncées « en partant de l'état de santé » : tel test est positif pour $90 %$ des malades, positif à tort pour $10 %$ des non-malades. Mais la personne qui reçoit un résultat positif se pose la question inverse : « sachant que mon test est positif, quelle est la probabilité que je sois malade ? ». Ce sont deux conditionnements opposés, et la méthode la plus sûre pour passer de l'un à l'autre est de repasser par des effectifs.

Méthode

Le tableau à $10 000$ .

Imaginer une population fictive de $10 000$ personnes (ou toute taille commode).
Remplir un tableau croisé malade / test à partir des pourcentages de l'énoncé : la proportion de malades donne les totaux des lignes, puis chaque pourcentage conditionnel répartit une ligne entre test positif et test négatif.
Compléter les totaux des colonnes par addition, puis lire la probabilité cherchée comme un quotient de deux effectifs, en prenant pour dénominateur le total de l'événement conditionnant.

Exemple

Une maladie touche $2 %$ d'une population. Un test de dépistage est positif pour $90 %$ des personnes malades, et positif à tort pour $10 %$ des personnes non malades. Une personne est prise au hasard dans la population et testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Déroulons la méthode sur une population fictive de $10 000$ personnes.

Maladie à $2 %$ : le tableau compte $0,02 \times 10 000 = 200$ malades, donc $9 800$ non-malades.
Parmi les $200$ malades, le test en détecte $90 %$ : $180$ tests positifs, et $20$ faux négatifs.
Parmi les $9 800$ non-malades, le test se trompe pour $10 %$ : $0,1 \times 9 800 = 980$ faux positifs, et $8 820$ tests négatifs corrects.

	Test positif	Test négatif	Total
Malades	$180$	$20$	$200$
Non-malades	$980$	$8 820$	$9 800$
Total	$1 160$	$8 840$	$10 000$

Il ne reste qu'à lire. Notons $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « son test est positif ». Les tests positifs sont au nombre de $180 + 980 = 1 160$ , et parmi eux, seuls $180$ concernent des personnes malades :

P_{T} (M) = \frac{180}{1 160} \approx 0,16

Sachant le test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ $16 %$ : moins d'un test positif sur six correspond à une personne réellement malade, alors même que le test détecte $90 %$ des malades ! L'explication se lit dans la colonne des positifs : la maladie étant rare, les non-malades sont quarante-neuf fois plus nombreux que les malades, et même un taux d'erreur modeste de $10 %$ suffit à produire $980$ faux positifs — qui submergent les $180$ vrais malades détectés. C'est pourquoi, en pratique, un premier test positif est suivi d'un second test de confirmation. Notons au passage la lecture rassurante de l'autre colonne : parmi les $8 840$ tests négatifs, seuls $20$ sont des faux négatifs — un test négatif, lui, est fiable à plus de $99 %$ dans cette situation.

Le réflexe à retenir est toujours le même : quand un énoncé mélange des pourcentages « dans un sens » et une question « dans l'autre sens », ne pas raisonner de tête — construire le tableau d'effectifs, où chaque conditionnement a sa ligne ou sa colonne, et où la confusion devient impossible.

Remarque

Un peu d'histoire pour finir. Le calcul des probabilités est né des jeux de hasard : en 1654, une correspondance entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat, provoquée par les questions du chevalier de Méré, résout le fameux problème des partis — comment partager équitablement les mises d'une partie interrompue avant son terme, en fonction des chances de chaque joueur de l'emporter. Quelques décennies plus tôt, le grand-duc de Toscane s'étonnait déjà, au jeu du passe-dix, que certaines sommes de trois dés sortent plus souvent que d'autres. Ces questions de joueurs ont fondé une théorie qui gouverne aujourd'hui la médecine, l'assurance et la physique — et les exercices du chapitre feront rejouer quelques énigmes célèbres, du « croix ou pile » de d'Alembert au problème de Monty Hall.

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