Exercices — Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

1. Calculer sans calculatrice :

   a. ${25}^{1\mathrm{/}2}$

   b. $8^{1\mathrm{/}3}$

   c. ${81}^{1\mathrm{/}4}$

   d. ${32}^{1\mathrm{/}5}$

   e. $1{000}^{1\mathrm{/}3}$

   f. $1^{1\mathrm{/}7}$

2. À la calculatrice, donner une valeur arrondie au millième :

   a. $5^{1\mathrm{/}2}$

   b. ${10}^{1\mathrm{/}3}$

   c. $2^{1\mathrm{/}10}$

3. Pour comprendre :

   a. Expliquer pourquoi $8^{1\mathrm{/}3}=2$, en vérifiant une égalité de puissances.

   b. Expliquer pourquoi ${50}^{1\mathrm{/}2}$ est compris entre $7$ et $8$.

1. Écrire chaque nombre sous la forme d'une puissance (avec un exposant fractionnaire) :

   a. $\sqrt{7}$

   b. la racine cubique de $20$

   c. la racine cinquième de $2$

2. Soit $a$ un réel positif et $n$ un entier naturel non nul. Justifier, à l'aide d'une propriété des puissances, que

   $${\left(a^{1\mathrm{/}n}\right)}^n=a$$

3. a. Calculer $4^{\mathrm{1,5}}$ sans calculatrice, en écrivant $\mathrm{1,5}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et en utilisant la propriété $(a^x{)}^y=a^{xy}$.

   b. Calculer de même ${27}^{2\mathrm{/}3}$ sans calculatrice.

4. Comparer sans calculatrice $3^{1\mathrm{/}2}$ et $2$. (On pourra élever les deux nombres au carré.)

1. Écrire chaque nombre sous la forme $2^x$ :

   a. $2^{\mathrm{1,5}}\times 2^{\mathrm{2,5}}$

   b. ${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{5,2}}}{2^{\mathrm{3,2}}}}$

   c. ${\left(2^{\mathrm{0,6}}\right)}^5$

   d. $2^{\mathrm{0,3}}\times 2^{\mathrm{0,7}}$

   e. ${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{7,1}}}{2^{\mathrm{6,1}}}}$

   f. ${\left(2^2\right)}^{\mathrm{0,8}}$

2. Écrire chaque nombre sous la forme $5^x$ :

   a. $5^{\mathrm{1,2}}\times 5^{\mathrm{0,8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{5^{\mathrm{4,5}}}{5^{\mathrm{1,5}}}}$

   c. ${\left(5^{\mathrm{0,5}}\right)}^4$

3. Simplifier $4^{\mathrm{0,5}}\times 9^{\mathrm{0,5}}$ à l'aide de la propriété $a^x\times b^x=(ab{)}^x$, puis donner le résultat sous forme d'un entier.

1. Écrire chaque nombre sous la forme $a^x$, avec $a$ le plus petit entier possible :

   a. $3^{\mathrm{0,4}}\times 3^{\mathrm{1,6}}$

   b. $9^{\mathrm{0,5}}\times 3^2$

   c. ${\displaystyle \frac{6^{\mathrm{2,5}}}{2^{\mathrm{2,5}}}}$

   d. $5^{\mathrm{0,5}}\times 5^{\mathrm{0,5}}\times 5^2$

   e. ${\left(2^{\mathrm{1,25}}\right)}^4$

   f. $8^{1\mathrm{/}3}\times 2^{\mathrm{3,5}}$

2. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par un calcul.

   a. $2^{\mathrm{3,5}}=2^3\times 2^{\mathrm{0,5}}$

   b. ${\left(2^3\right)}^{\mathrm{0,5}}=2^{\mathrm{3,5}}$

   c. $2^{\mathrm{0,5}}\times 3^{\mathrm{0,5}}=6^{\mathrm{0,5}}$

   d. $2^{\mathrm{0,5}}+2^{\mathrm{0,5}}=2^1$

On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $[0;4]$ par :

On a représenté ci-dessous leurs trois courbes, notées ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$, dans le désordre.

1. Associer chaque courbe à sa fonction. On justifiera chaque association en s'appuyant sur le sens de variation et, si nécessaire, sur la vitesse de croissance.
2. Expliquer pourquoi les trois courbes passent toutes par le point de coordonnées $(0;1)$.
3. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(\mathrm{1,5})$.
4. Les courbes de $f$ et de $h$ se recoupent-elles en un point d'abscisse $x>0$ ? Justifier.

1. Sans calculatrice, donner le sens de variation sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ de chacune des fonctions suivantes. Justifier en une phrase à chaque fois.

   a. $x\mapsto {\mathrm{1,05}}^x$

   b. $x\mapsto {\mathrm{0,97}}^x$

   c. $x\mapsto {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x$

   d. $x\mapsto 1^x$

   e. $x\mapsto {\mathrm{2,01}}^x$

   f. $x\mapsto {\mathrm{0,999}}^x$

2. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier soigneusement.

   a. « Si $f(x)={\mathrm{0,9}}^x$, alors $f(10)>f(12)$. »

   b. « La courbe de $x\mapsto {\mathrm{1,3}}^x$ est au-dessus de celle de $x\mapsto {\mathrm{1,2}}^x$ pour tout $x>0$. »

   c. « ${\mathrm{0,5}}^x$ devient négatif quand $x$ est assez grand. »

   d. « ${\mathrm{1,02}}^x$ finit par dépasser $100$ pour $x$ assez grand. »

3. Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant les nombres ${\mathrm{0,8}}^{10}$, ${\mathrm{0,8}}^5$ et ${\mathrm{0,8}}^0$. Justifier.

En plongée, dans une eau claire, l'intensité lumineuse diminue d'environ $25\mathrm{\%}$ par mètre de profondeur. En surface, elle vaut $4$ (dans une unité adaptée).

On modélise l'intensité lumineuse à la profondeur $x$ (en mètres) par

La courbe ${\mathcal{C}}_I$ de la fonction $I$ est représentée ci-dessous.

1. Justifier l'expression de $I(x)$ donnée par le modèle.
2. Calculer $I(2)$, puis contrôler la cohérence du résultat avec le graphique.
3. Donner le sens de variation de la fonction $I$ sur $[0;10]$. Justifier, puis expliquer pourquoi ce résultat est cohérent avec la situation.
4. Par lecture graphique, en s'aidant des pointillés, résoudre l'équation $I(x)=1$.
5. En dessous d'une intensité de $1$, une espèce d'algue ne peut plus vivre. À partir de quelle profondeur est-ce le cas ? Vérifier par un calcul à la calculatrice que la valeur lue graphiquement est cohérente.

On étudie en laboratoire une culture de levures. La population, exprimée en milliers de cellules, vaut $100$ à l'instant $x=0$, et elle est multipliée par $\mathrm{1,5}$ chaque heure.

Sur le graphique ci-dessous, les points orange représentent la population au bout de $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$ heures ; la courbe est celle de la fonction $x\mapsto 100\times {\mathrm{1,5}}^x$.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $u(n)$ la population (en milliers de cellules) au bout de $n$ heures. Justifier que $u(n)=100\times {\mathrm{1,5}}^n$, puis calculer $u(2)$ et $u(4)$.
2. En réalité, les levures ne se divisent pas toutes à heure pile : la population évolue en continu. Expliquer pourquoi il est alors raisonnable de « relier les points » du graphique. On pose désormais $N(x)=100\times {\mathrm{1,5}}^x$ pour tout réel $x⩾0$.
3. Calculer $N(\mathrm{2,5})$ à la calculatrice (arrondir à l'unité), puis vérifier la cohérence du résultat avec le graphique.
4. Par lecture graphique, puis par tâtonnement à la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps la population atteint $400$ milliers de cellules.
5. Ce modèle peut-il rester valable très longtemps ? Expliquer.

1. Pour chacune des situations suivantes, dire si la grandeur décrite suit une évolution exponentielle. Si oui, préciser s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance, puis donner une fonction de la forme $f(x)=C\times a^x$ qui modélise la grandeur. Si non, expliquer pourquoi.

   a. La population d'une commune compte $50000$ habitants et augmente de $2\mathrm{\%}$ par an.

   b. Un abonnement coûte $200$ € cette année et son prix augmente de $15$ € chaque année.

   c. Un scooter acheté $3000$ € perd $10\mathrm{\%}$ de sa valeur chaque année.

   d. Le nombre de partages d'une vidéo triple chaque jour ; il y a aujourd'hui $40$ partages.

2. Pour la situation c., calculer la valeur du scooter au bout de $3$ ans.

Après une tasse de café, l'organisme d'un adulte contient environ $80$ mg de caféine. Le corps en élimine ensuite environ $13\mathrm{\%}$ par heure. On note $Q(x)$ la quantité de caféine, en mg, présente dans l'organisme $x$ heures après la tasse, avec $x\ge 0$.

1. Justifier que $Q(x)=80\times {\mathrm{0,87}}^x$.

2. Calculer $Q(3)$. Arrondir au dixième.

3. Donner le sens de variation de la fonction $Q$. Justifier.

4. À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'heures entières la quantité de caféine devient inférieure à la moitié de la quantité initiale.

   Remarque : ce temps est appelé « demi-vie » de la caféine ; elle est effectivement d'environ $5$ heures chez l'adulte.

5. D'après ce modèle, la caféine finit-elle par disparaître totalement de l'organisme ? Commenter.

1. Le loyer d'un appartement a augmenté de $21\mathrm{\%}$ en $2$ ans. Montrer que le taux d'évolution moyen annuel est de $10\mathrm{\%}$.
2. Le prix d'un article a baissé de $\mathrm{27,1}\mathrm{\%}$ en $3$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel.
3. La fréquentation d'un musée a été multipliée par $\mathrm{1,44}$ en $2$ ans. Quel est le taux d'évolution moyen annuel ?
4. Vrai ou faux ? Justifier par un calcul : « Une hausse de $30\mathrm{\%}$ en $3$ ans correspond à une hausse moyenne de $10\mathrm{\%}$ par an. »

Le loyer mensuel d'un appartement est passé de $600$ € en 2020 à $695$ € en 2025, soit cinq évolutions annuelles successives.

1. Calculer le coefficient multiplicateur global du loyer sur la période 2020–2025. Arrondir au millième.
2. En déduire le taux d'évolution moyen annuel du loyer sur cette période. Arrondir au dixième de pourcent.
3. On suppose que le loyer continue d'augmenter de $3\mathrm{\%}$ par an après 2025, et on pose $L(x)=695\times {\mathrm{1,03}}^x$, où $x$ est le nombre d'années écoulées depuis 2025. Calculer le loyer prévu en 2030. Arrondir à l'euro.
4. À l'aide d'une table de valeurs, déterminer en quelle année le loyer dépassera $850$ €.
5. En réalité, les hausses annuelles entre 2020 et 2025 n'ont pas toutes été identiques. Que représente exactement le taux moyen calculé à la question 2 ?

On place un capital de $2000$ € sur un compte rémunéré à $3\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts.

Avec les suites géométriques, on ne pouvait suivre ce capital qu'année par année. Grâce aux fonctions exponentielles, on peut maintenant l'évaluer à tout instant : le capital, en euros, au bout de $x$ années de placement est donné par

y compris lorsque $x$ n'est pas un nombre entier d'années.

1. Calculer $C(1)$ et $C(10)$. On arrondira au centime d'euro.

2. Calculer le capital disponible au bout de deux ans et demi de placement, arrondi au centime.

3. Un mois représente ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ d'année. Le coefficient multiplicateur du capital sur un mois est donc ${\mathrm{1,03}}^{1\mathrm{/}12}$.

   Calculer ce coefficient, puis en déduire le taux d'évolution mensuel équivalent, arrondi au millième de pour cent.

4. On pourrait croire que le taux mensuel s'obtient simplement en divisant : ${\displaystyle \frac{3\mathrm{\%}}{12}}=\mathrm{0,25}\mathrm{\%}$. Or le taux trouvé à la question précédente est légèrement inférieur à $\mathrm{0,25}\mathrm{\%}$.

   Calculer ${\mathrm{1,0025}}^{12}$ et expliquer pourquoi douze hausses successives de $\mathrm{0,25}\mathrm{\%}$ font plus que $+3\mathrm{\%}$ sur l'année.

5. À l'aide d'une table de valeurs de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années entières le capital dépasse $2500$ €. On justifiera la réponse par les deux calculs qui encadrent le seuil.

Une agglomération produit actuellement $120000$ tonnes de déchets par an. Un plan de réduction est mis en place, avec pour objectif une baisse de $4\mathrm{\%}$ chaque année. On note $D(x)$ la production annuelle de déchets, en tonnes, $x$ années après le début du plan :

L'agglomération veut savoir quand sa production passera sous les $90000$ tonnes par an. Pour cela, on a commencé à écrire le script Python suivant, dans lequel deux valeurs ont été effacées (les points de suspension ...) :

D = 120000
n = 0
while D ... 90000:
    D = ... * D
    n = n + 1
print(n)

1. Justifier l'expression $D(x)=120000\times {\mathrm{0,96}}^x$ à partir de l'énoncé.

2. Recopier le script et compléter les deux trous pour qu'il réponde à la question posée.

3. Que représente la valeur affichée par print(n) ?

4. Déterminer la valeur affichée par le script, en justifiant par les deux calculs qui encadrent le passage sous le seuil (on pourra s'aider d'une table de valeurs).

5. L'agglomération vise à plus long terme les $60000$ tonnes par an. Indiquer la (seule) ligne du script à modifier, puis déterminer la valeur qu'il afficherait alors. Justifier par les calculs correspondants.

Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone, présent en très faible quantité dans l'atmosphère et absorbé par tous les organismes vivants. À la mort de l'organisme, l'absorption cesse et le carbone 14 se désintègre peu à peu : sa quantité est divisée par $2$ tous les $5730$ ans (on appelle cette durée la demi-vie). En mesurant la proportion de carbone 14 restant dans un échantillon, les archéologues peuvent estimer son âge.

La proportion de carbone 14 restant, $t$ années après la mort de l'organisme, est modélisée par

1. Vérifier que $p(5730)=\mathrm{0,5}$, puis calculer $p(11460)$. Interpréter ces deux résultats à l'aide de la demi-vie.

2. Calculer la proportion de carbone 14 restant $2865$ ans après la mort, arrondie au millième. Quel lien peut-on faire avec une racine carrée ?

3. Un fragment d'os contient $25\mathrm{\%}$ du carbone 14 initial. Quel est son âge ? Justifier sans calculatrice, en raisonnant en nombre de demi-vies.

4. Un autre fragment contient $60\mathrm{\%}$ du carbone 14 initial.

   a. Par tâtonnement à la calculatrice, encadrer son âge entre deux multiples de $1000$ ans consécutifs. On donnera les deux calculs qui justifient l'encadrement.

   b. Affiner le tâtonnement pour proposer un âge à $100$ ans près.

5. Regard critique. Expliquer pourquoi cette méthode est inutilisable pour dater un fossile vieux de plusieurs millions d'années. On pourra s'appuyer sur le nombre de demi-vies écoulées.

À l'issue de ses études, une jeune diplômée reçoit deux propositions d'embauche, avec le même salaire de départ de $2000$ € nets par mois, mais des évolutions différentes :

• Entreprise A : augmentation fixe de $80$ € par mois supplémentaires chaque année. Le salaire mensuel après $x$ années d'ancienneté est $A(x)=2000+80x$ ;
• Entreprise B : augmentation de $3\mathrm{\%}$ chaque année. Le salaire mensuel après $x$ années d'ancienneté est $B(x)=2000\times {\mathrm{1,03}}^x$.

Le graphique ci-dessous représente les deux salaires en fonction de l'ancienneté $x$, sur $30$ ans.

1. Pour chaque entreprise, préciser la nature de l'évolution du salaire (linéaire ou exponentielle) et le type de fonction associé.

2. Calculer $A(5)$ et $B(5)$, puis $A(10)$ et $B(10)$ (arrondir au centime). Que constate-t-on ?

3. Lecture graphique. Au bout de combien d'années d'ancienneté le salaire B dépasse-t-il le salaire A ? On s'aidera des pointillés de lecture tracés sur la figure.

4. Vérifier la lecture graphique par le calcul : comparer $A(19)$ et $B(19)$, puis $A(20)$ et $B(20)$, et conclure.

5. a. Calculer le coefficient multiplicateur global du salaire A entre $x=0$ et $x=20$, puis en déduire le taux d'évolution moyen annuel du salaire A sur ces $20$ années, arrondi au dixième de pour cent.

   b. Ce taux moyen est pratiquement égal aux $3\mathrm{\%}$ annuels de l'entreprise B. Pourquoi cela ne contredit-il pas le fait que le salaire A reste supérieur au salaire B pendant $19$ ans ? On pourra comparer le poids des $80$ € d'augmentation en début et en fin de carrière.

6. Conclusion. En deux ou trois phrases : quelle entreprise conseiller à quelqu'un qui pense rester $5$ ans ? À quelqu'un qui envisage d'y faire toute sa carrière ? Justifier.