Nombres complexes : géométrie et trigonométrie

À la fin du XVIIIe siècle, l'arpenteur danois Caspar Wessel, le libraire parisien Jean-Robert Argand puis l'immense Carl Friedrich Gauss ont, chacun de leur côté, la même idée lumineuse : un nombre complexe $a+ib$ étant entièrement déterminé par le couple de réels $(a;b)$, on peut le représenter par un point du plan. Les nombres « impossibles » de Bombelli deviennent alors des objets que l'on voit : l'addition se lit comme une translation, la conjugaison comme une symétrie, et la multiplication fait apparaître distances et angles. Ce chapitre construit ce dictionnaire entre calcul et géométrie : chaque énoncé sur les nombres complexes se traduira en énoncé sur les figures, et réciproquement.

Le plan complexe

Munissons le plan d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ — « direct » signifie que l'on passe de $\vec{u}$ à $\vec{v}$ en tournant d'un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct ou sens trigonométrique. L'idée de Wessel, Argand et Gauss tient alors en une définition.

L'unicité de la forme algébrique, établie au chapitre précédent, garantit que cette correspondance est parfaite : à un point correspond un complexe et un seul. L'axe des abscisses regroupe les images des nombres réels : on l'appelle axe des réels. L'axe des ordonnées regroupe les images des imaginaires purs : c'est l'axe des imaginaires.

Remarque. Le point $M$ a pour affixe $z$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour affixe $z$ : point et vecteur position portent la même information.

Démonstration. Les deux premiers points traduisent les règles de calcul sur les coordonnées : si $\vec{w}$ a pour coordonnées $(x;y)$ et $\overrightarrow{w^{\mathrm{\prime }}}$ pour coordonnées $(x^{\mathrm{\prime }};y^{\mathrm{\prime }})$, alors $\vec{w}+\overrightarrow{w^{\mathrm{\prime }}}$ a pour coordonnées $(x+x^{\mathrm{\prime }};y+y^{\mathrm{\prime }})$, donc pour affixe $(x+x^{\mathrm{\prime }})+i(y+y^{\mathrm{\prime }})=z_{\vec{w}}+z_{\overrightarrow{w^{\mathrm{\prime }}}}$ ; le raisonnement est identique pour $k\vec{w}$. Pour le deuxième point, la relation $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ donne $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$. Enfin, $\overrightarrow{OI}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ fournit $z_I={\displaystyle \frac{z_A+z_B}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Le conjugué et l'opposé, définis algébriquement au chapitre précédent, prennent maintenant un sens géométrique.

Démonstration. Écrivons $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. Les images de $z$, $\bar{z}$, $-z$ et $-\bar{z}$ ont pour coordonnées respectives $(a;b)$, $(a;-b)$, $(-a;-b)$ et $(-a;b)$ : on reconnaît les trois symétries annoncées. $\mathrm{\square }$

Le module

À quelle distance de l'origine se trouve l'image de $z$ ? La formule de la distance dans un repère orthonormé — c'est-à-dire le théorème de Pythagore — répond immédiatement, et cette réponse mérite un nom.

Remarque. Si $z$ est un réel $a$, alors $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2}$ est sa valeur absolue : la notation $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ prolonge donc sans conflit celle de la valeur absolue.

Démonstration. Le premier point est la formule de la distance appliquée à $O$ et $M(a;b)$. Pour le second : $AB$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$, dont l'affixe est $z_B-z_A$ ; ses coordonnées étant les parties réelle et imaginaire de $z_B-z_A$, sa norme vaut $\mathrm{\mid }{z}_B-z_A\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Le module est intimement lié au conjugué : le produit $z\bar{z}=a^2+b^2$, calculé au chapitre précédent, n'est autre que le carré du module.

Démonstration. Écrivons $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. Le chapitre précédent a établi $z\bar{z}=a^2+b^2$ ; or $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2={\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=a^2+b^2$, d'où $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z\bar{z}$. Ensuite $\mathrm{\mid }\bar{z}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+(-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$, et de même pour $\mathrm{\mid }-z\mathrm{\mid }$. Enfin $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=0$ équivaut à $a^2+b^2=0$, donc à $a=b=0$, c'est-à-dire $z=0$. $\mathrm{\square }$

Attention. Pour un complexe non réel, $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ et $z^2$ sont deux choses différentes : $\mathrm{\mid }i{\mathrm{\mid }}^2=1$ alors que $i^2=-1$. La bonne identité est $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z\bar{z}$, jamais $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z^2$.

Démonstration du module d'un produit. Calculons le carré de $\mathrm{\mid }z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ à l'aide de la relation $\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=w\bar{w}$ et des propriétés du conjugué :

$$\mathrm{\mid }z{z}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2=(z{z}^{\mathrm{\prime }})\left(\overline{z{z}^{\mathrm{\prime }}}\right)=z{z}^{\mathrm{\prime }}\bar{z}\overline{z^{\mathrm{\prime }}}=\left(z\bar{z}\right)\left(z^{\mathrm{\prime }}\overline{z^{\mathrm{\prime }}}\right)=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2={\left(\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\right)}^2\mathrm{.}$$

Les réels $\mathrm{\mid }z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ sont positifs et ont le même carré : ils sont donc égaux. $\mathrm{\square }$

Démonstration du module d'une puissance (par récurrence). Soit $z$ un nombre complexe. Pour $n$ entier naturel, notons $P(n)$ la propriété « $\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n$ ».

Initialisation. $\mathrm{\mid }{z}^0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }=1=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^0$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier naturel $n$. Alors, d'après le module d'un produit,

$$\mathrm{\mid }{z}^{n+1}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^n\times z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid }\times \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n\times \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^{n+1},$$

donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du module d'un inverse. Si $z\mathrm{\ne }0$, en prenant le module des deux membres de $z\times {\displaystyle \frac{1}{z}}=1$, on obtient $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\times \mid {\displaystyle \frac{1}{z}}\mid =1$, d'où $\mid {\displaystyle \frac{1}{z}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}$. Le module d'un quotient s'en déduit en écrivant ${\displaystyle \frac{z^{\mathrm{\prime }}}{z}}=z^{\mathrm{\prime }}\times {\displaystyle \frac{1}{z}}$. $\mathrm{\square }$

Le module d'un produit est le produit des modules — mais le module d'une somme n'est pas la somme des modules : par exemple $\mathrm{\mid }3+4i\mathrm{\mid }=5$ alors que $\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }4i\mathrm{\mid }=7$. La seule chose que l'on puisse affirmer en général est une inégalité, dont l'interprétation géométrique est limpide.

Interprétation géométrique. Notons $M$ le point d'affixe $z$ et $S$ le point d'affixe $z+z^{\mathrm{\prime }}$. Alors $OS=\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$, $OM=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ et $MS=\mathrm{\mid }(z+z^{\mathrm{\prime }})-z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ : l'inégalité s'écrit $OS⩽OM+MS$. Dans le triangle $OMS$, la longueur d'un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres — le chemin direct de $O$ à $S$ est plus court que le chemin qui fait étape en $M$. L'égalité a lieu exactement lorsque $O$, $M$, $S$ sont alignés dans cet ordre, c'est-à-dire lorsque les images de $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ sont situées sur une même demi-droite issue de l'origine.

Arguments et forme trigonométrique

Le module situe l'image de $z$ sur un cercle centré en $O$ ; pour la repérer complètement, il manque une direction, c'est-à-dire un angle.

Remarques.

• Un angle orienté possède une infinité de mesures, qui diffèrent toutes d'un multiple entier de $2\pi$. Un complexe non nul a donc une infinité d'arguments : si $\theta$ en est un, les autres sont les $\theta +2k\pi$ avec $k$ entier relatif. On écrit $\arg (z)=\theta [2\pi ]$, ce qui se lit « $\arg (z)$ est congru à $\theta$ modulo $2\pi$ » et signifie que $\arg (z)$ et $\theta$ diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$.
• Le nombre $0$ n'a pas d'argument : le vecteur $\overrightarrow{OM}$ serait nul et ne définirait aucun angle. Toute phrase contenant $\arg (z)$ suppose donc implicitement $z\mathrm{\ne }0$.

Sur la figure : le point $M$ d'affixe $z=\sqrt{3}+i$ est à distance $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{3+1}=2$ de l'origine, dans la direction $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, car $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Soit maintenant $z\mathrm{\ne }0$, de module $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ et d'argument $\theta$. Son image $M$ est le point à distance $r$ de $O$ dans la direction d'angle $\theta$ : ses coordonnées sont $(r\cos \theta ;r\sin \theta )$, d'après le cercle trigonométrique. Autrement dit, $z=r\cos \theta +ir\sin \theta$.

Démonstration. D'une part $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{r^2}=r$ car $r>0$ et ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. D'autre part, l'image de $z$ a pour coordonnées $(r\cos \theta ;r\sin \theta )$ : c'est le point à distance $r$ de $O$ dans la direction d'angle $\theta$, donc $(\vec{u},\overrightarrow{OM})=\theta [2\pi ]$. $\mathrm{\square }$

Cette unicité rend le passage entre les deux écritures parfaitement fiable, dans les deux sens.

Attention. Dans une forme trigonométrique, le facteur devant la parenthèse doit être strictement positif. L'écriture $-3(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})$ n'est pas une forme trigonométrique : comme $-1=\cos \pi +i\sin \pi$, ajouter $\pi$ à l'angle change les signes du cosinus et du sinus, et la forme correcte est $3(\cos {\displaystyle \frac{6\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{6\pi }{5}})$.

Le passage inverse est immédiat : il suffit de remplacer le cosinus et le sinus par leurs valeurs.

Les symétries de la première section se traduisent sur les arguments, et l'on peut caractériser les réels et les imaginaires purs.

Les deux premiers points se lisent sur les symétries des images de $\bar{z}$ et $-z$ (section 1) ; les suivants traduisent l'appartenance de l'image aux axes du repère.

Reste la question centrale : comment l'argument se comporte-t-il vis-à-vis des opérations ? La réponse est remarquable — l'argument transforme les produits en sommes.

Nous admettons provisoirement ces formules : elles seront démontrées à la fin de la section suivante, à l'aide des formules d'addition.

Formules d'addition et de duplication

Les propriétés des arguments reposent sur des formules qui expriment le cosinus et le sinus d'une somme d'angles. Le produit scalaire, étudié en première, permet de les établir.

Démonstration de la première formule (à partir du produit scalaire). Dans le repère $(O;\vec{u},\vec{v})$, soient $P$ et $Q$ les points du cercle trigonométrique associés aux angles $a$ et $b$ : $P$ a pour coordonnées $(\cos a;\sin a)$, $Q$ a pour coordonnées $(\cos b;\sin b)$, et $(\vec{u},\overrightarrow{OP})=a[2\pi ]$, $(\vec{u},\overrightarrow{OQ})=b[2\pi ]$. Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ de deux façons.

D'une part, avec les coordonnées, le repère étant orthonormé :

$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\cos a\cos b+\sin a\sin b\mathrm{.}$$

D'autre part, avec les normes et l'angle : comme $\parallel \overrightarrow{OP}\parallel =\parallel \overrightarrow{OQ}\parallel =1$,

$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=1\times 1\times \cos (\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})\mathrm{.}$$

Or, par la relation de Chasles sur les angles orientés, $(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})=(\overrightarrow{OP},\vec{u})+(\vec{u},\overrightarrow{OQ})=-a+b=b-a[2\pi ]$, et le cosinus étant pair, $\cos (b-a)=\cos (a-b)$.

En identifiant les deux expressions : $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. $\mathrm{\square }$

Les trois autres s'en déduisent. En remplaçant $b$ par $-b$ (avec $\cos (-b)=\cos b$ et $\sin (-b)=-\sin b$) : $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. Puis, avec les angles complémentaires vus en première ($\sin x=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$) :

$$\sin (a+b)=\cos (({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)-b)=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)\cos b+\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)\sin b=\sin a\cos b+\cos a\sin b,$$

et $\sin (a-b)$ s'obtient en y remplaçant $b$ par $-b$. $\mathrm{\square }$

En prenant $b=a$ dans les formules d'addition, on obtient les formules de duplication.

Démonstration. Avec $b=a$ : $\cos (2a)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$ et $\sin (2a)=2\sin a\cos a$. Les deux variantes du cosinus s'obtiennent en remplaçant ${\sin }^{2}a$ par $1-{\cos }^{2}a$, puis ${\cos }^{2}a$ par $1-{\sin }^{2}a$. $\mathrm{\square }$

Retour sur les arguments. Nous pouvons maintenant tenir la promesse de la section précédente. Soient $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ et $z^{\mathrm{\prime }}=r^{\mathrm{\prime }}(\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}+i\sin {\theta }^{\mathrm{\prime }})$ deux complexes non nuls sous forme trigonométrique. Développons leur produit :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z{z}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =r{r}^{\mathrm{\prime }}[(\cos \theta \cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}-\sin \theta \sin {\theta }^{\mathrm{\prime }})+i(\sin \theta \cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}+\cos \theta \sin {\theta }^{\mathrm{\prime }})]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r{r}^{\mathrm{\prime }}[\cos (\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})+i\sin (\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})],}\end{array}$$

d'après les formules d'addition. Comme $r{r}^{\mathrm{\prime }}>0$, c'est la forme trigonométrique de $z{z}^{\mathrm{\prime }}$ : par unicité, $\mathrm{\mid }z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=r{r}^{\mathrm{\prime }}$ (déjà connu) et surtout

$$\arg (z{z}^{\mathrm{\prime }})=\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }}=\arg (z)+\arg (z^{\mathrm{\prime }})[2\pi ]\mathrm{.}$$

Pour l'inverse, on prend l'argument des deux membres de $z\times {\displaystyle \frac{1}{z}}=1$ : $\arg (z)+\arg \left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)=\arg (1)=0[2\pi ]$, d'où $\arg \left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)=-\arg (z)[2\pi ]$. Le quotient s'en déduit en écrivant ${\displaystyle \frac{z^{\mathrm{\prime }}}{z}}=z^{\mathrm{\prime }}\times {\displaystyle \frac{1}{z}}$, et la formule $\arg \left(z^n\right)=n\arg (z)[2\pi ]$ se démontre par une récurrence immédiate à partir du produit. $\mathrm{\square }$

La forme exponentielle

Arrêtons-nous sur le calcul central de la section précédente. Posons, pour tout réel $\theta$, $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$. Nous venons de démontrer que

$$f(\theta )\times f({\theta }^{\mathrm{\prime }})=f(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

La fonction $f$ transforme donc les sommes en produits, exactement comme la fonction exponentielle réelle, dont la propriété fondamentale est $e^x\times e^{x^{\mathrm{\prime }}}=e^{x+x^{\mathrm{\prime }}}$. C'est Euler qui a osé franchir le pas et adopter la notation exponentielle pour $f$.

Démonstration. Le module vaut $\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$, et l'argument se lit sur la forme trigonométrique (de module $1$). La relation fonctionnelle est exactement le calcul de la fin de la section précédente, avec $r=r^{\mathrm{\prime }}=1$. Enfin $\overline{e^{i\theta }}=\cos \theta -i\sin \theta =\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )=e^{-i\theta }$, et la relation fonctionnelle donne $e^{i\theta }\times e^{-i\theta }=e^{i\times 0}=1$, donc $e^{-i\theta }$ est l'inverse de $e^{i\theta }$ ; le quotient s'en déduit. $\mathrm{\square }$

Les nombres $e^{i\theta }$ sont exactement les complexes de module $1$, dont les images décrivent le cercle trigonométrique. Cet ensemble joue un rôle si important qu'il porte un nom.

Démonstration. Pour le produit : $\mathrm{\mid }z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\times \mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=1\times 1=1$. Pour l'inverse : $\mid {\displaystyle \frac{1}{z}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}=1$ ; de plus $z\bar{z}=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1$, donc ${\displaystyle \frac{1}{z}}=\bar{z}$. $\mathrm{\square }$

En combinant module et exponentielle imaginaire, tout complexe non nul admet une écriture d'une compacité remarquable.

Ces règles condensent en une notation les propriétés des modules (section 2) et des arguments (sections 3 et 4) : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. C'est toute la puissance de la forme exponentielle — les calculs multiplicatifs, pénibles sous forme algébrique, deviennent immédiats.

Le tableau suivant rassemble les complexes usuels sous leurs trois formes ; il est à connaître parfaitement.

Formules d'Euler et de Moivre

La notation exponentielle livre deux formules d'une redoutable efficacité en trigonométrie. La première permet d'exprimer cosinus et sinus à partir de l'exponentielle imaginaire.

Démonstration. On additionne puis on soustrait les deux égalités $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ et $e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta$ :

$$e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta \text{et}{e}^{i\theta }-e^{-i\theta }=2i\sin \theta ,$$

puis on divise par $2$ et par $2i$ respectivement. $\mathrm{\square }$

Remarque. Plus généralement, pour tout entier $k$ : $e^{ik\theta }+e^{-ik\theta }=2\cos (k\theta )$ et $e^{ik\theta }-e^{-ik\theta }=2i\sin (k\theta )$. Ce regroupement des exponentielles conjuguées est la clé de la linéarisation ci-dessous.

Démonstration (par récurrence). Fixons un réel $\theta$ et notons, pour $n$ entier naturel, $P(n)$ la propriété « ${(\cos \theta +i\sin \theta )}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$ ».

Initialisation. Pour $n=0$, le membre de gauche vaut $1$ et le membre de droite vaut $\cos 0+i\sin 0=1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier naturel $n$. Alors :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(\cos \theta +i\sin \theta )}^{n+1}}& {\displaystyle =(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))(\cos \theta +i\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[\cos (n\theta )\cos \theta -\sin (n\theta )\sin \theta ]+i[\sin (n\theta )\cos \theta +\cos (n\theta )\sin \theta ]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos (n\theta +\theta )+i\sin (n\theta +\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos ((n+1)\theta )+i\sin ((n+1)\theta ),}\end{array}$$

d'après les formules d'addition : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel $n$. $\mathrm{\square }$

Remarque. La formule reste vraie pour un exposant entier négatif : si $n⩾1$, ${\left(e^{i\theta }\right)}^{-n}={\displaystyle \frac{1}{e^{in\theta }}}=e^{-in\theta }$.

Linéariser une expression trigonométrique, c'est transformer une puissance ou un produit de cosinus et de sinus en une somme de termes de la forme $\cos (k\theta )$ et $\sin (k\theta )$, sans aucune puissance. Cette opération, précieuse pour résoudre des équations trigonométriques ou simplifier des expressions, devient mécanique avec les formules d'Euler et le binôme de Newton.

L'opération inverse — exprimer $\cos (n\theta )$ ou $\sin (n\theta )$ en fonction des puissances de $\cos \theta$ et $\sin \theta$ — repose quant à elle sur la formule de Moivre.

Nombres complexes et géométrie

Il est temps de récolter les fruits du chapitre. Toutes les notions introduites — affixes, modules, arguments — convergent vers un outil unique, redoutablement efficace pour démontrer des propriétés géométriques.

Démonstration. Soit $M$ le point tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{w}$ : il a pour affixe $z_{\vec{w}}$, donc $\parallel \vec{w}\parallel =OM=\mid z_{\vec{w}}\mid$ et $(\vec{u},\vec{w})=(\vec{u},\overrightarrow{OM})=\arg \left(z_{\vec{w}}\right)[2\pi ]$. Le cas de $\overrightarrow{AB}$ s'obtient avec $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$. $\mathrm{\square }$

Voici maintenant le résultat central de la section : un seul quotient encode à la fois un rapport de distances et un angle.

Démonstration. Pour le module : $\mid {\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }c-a\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$. Pour l'argument, la propriété du quotient donne

$$\arg \left({\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}\right)=\arg (c-a)-\arg (b-a)=(\vec{u},\overrightarrow{AC})-(\vec{u},\overrightarrow{AB})[2\pi ],$$

et la relation de Chasles sur les angles orientés conclut :

$$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AB},\vec{u})+(\vec{u},\overrightarrow{AC})=-(\vec{u},\overrightarrow{AB})+(\vec{u},\overrightarrow{AC})[2\pi ]\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Deux configurations se lisent alors immédiatement sur ce quotient.

Démonstration. Les points sont alignés si et seulement si l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ vaut $0$ ou $\pi$ modulo $2\pi$, c'est-à-dire si et seulement si l'argument du quotient vaut $0$ ou $\pi$ modulo $2\pi$ : cela caractérise les réels non nuls (et le quotient n'est jamais nul, car $C\mathrm{\ne }A$). De même, la perpendicularité équivaut à un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ou $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ modulo $2\pi$, ce qui caractérise les imaginaires purs non nuls. $\mathrm{\square }$

Terminons par les ensembles de points, où le module joue à plein son rôle de distance : pour tout point $M(z)$ et tout point $A(z_A)$, on a $AM=\mathrm{\mid }z-z_A\mathrm{\mid }$.

Démonstration. La première équation s'écrit $AM=r$, ce qui définit le cercle de centre $A$ et de rayon $r$. La seconde s'écrit $AM=BM$ : c'est la caractérisation de la médiatrice de $[AB]$ comme ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$. $\mathrm{\square }$

Le bilan du chapitre tient dans un va-et-vient permanent : le module et l'argument traduisent les distances et les angles, la forme exponentielle transforme les produits de nombres en sommes d'angles, et les formules d'Euler et de Moivre font de la trigonométrie un simple calcul algébrique. Le quotient ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ condense à lui seul toute cette puissance : une division de nombres complexes démontre un alignement, une orthogonalité ou la nature d'un triangle. Cette double lecture, calculatoire et géométrique, est désormais l'un des outils les plus efficaces de la boîte du mathématicien — et elle n'a pas fini de servir.