Maths expertes · Chapitre 01 · Nombres complexes

Nombres complexes : point de vue algébrique

Forme algébrique, conjugué, inverse, formule du binôme, équations simples.

Ce qu'il faut savoir faire

Forme algébrique
Conjugué
Inverse
Formule du binôme
Équations simples

Au XVIe siècle, les algébristes italiens Jérôme Cardan puis Rafael Bombelli s'attaquent aux équations de degré 3 et tombent sur un obstacle troublant : leurs formules de résolution font apparaître des racines carrées de nombres négatifs, alors même que les solutions finales sont des nombres réels parfaitement ordinaires. Plutôt que de renoncer, Bombelli ose calculer avec ces quantités « impossibles » comme s'il s'agissait de nombres, et ses calculs aboutissent. Il faudra deux siècles pour que ces objets soient pleinement acceptés et deviennent les nombres complexes, aujourd'hui indispensables des mathématiques à la physique. Ce chapitre les construit et apprend à calculer avec eux : c'est le point de vue algébrique.

L'ensemble des nombres complexes

Le point de départ est une frustration bien connue : l'équation $x^{2} = - 1$ n'a aucune solution réelle, puisque le carré d'un réel est toujours positif ou nul. L'idée fondatrice consiste à décider qu'il existe un nombre nouveau, hors de $R$ , dont le carré vaut $- 1$ , puis à étendre les calculs usuels à ce nombre.

Définition

Le nombre $i$ et l'ensemble $C$ . On admet l'existence d'un nombre, noté $i$ , vérifiant

i^{2} = - 1.

L'ensemble des nombres complexes, noté $C$ , est l'ensemble des nombres de la forme

z = a + i b où a et b sont des nombres réels.

Cette écriture est appelée forme algébrique de $z$ .

Définition

Partie réelle, partie imaginaire. Soit $z = a + i b$ un nombre complexe écrit sous forme algébrique ( $a$ et $b$ réels).

Le réel $a$ est la partie réelle de $z$ , notée $Re (z)$ .
Le réel $b$ est la partie imaginaire de $z$ , notée $Im (z)$ .

Remarques.

La partie imaginaire est un nombre réel : c'est le coefficient qui multiplie $i$ , pas le terme $i b$ tout entier. Ainsi $Im (3 - 5 i) = - 5$ , et non $- 5 i$ .
On écrit indifféremment $a + i b$ ou $a + b i$ : par exemple $2 + 3 i$ ou $2 + i \sqrt{3}$ (dans ce dernier cas, placer le $i$ devant évite toute ambiguïté sur ce qui est sous la racine).

Exemple

$z_{1} = 3 + 2 i$ : $Re (z_{1}) = 3$ et $Im (z_{1}) = 2$ .
$z_{2} = - \frac{1}{2} + i \sqrt{5}$ : $Re (z_{2}) = - \frac{1}{2}$ et $Im (z_{2}) = \sqrt{5}$ .
$z_{3} = 7$ : $Re (z_{3}) = 7$ et $Im (z_{3}) = 0$ . Tout réel est un nombre complexe.
$z_{4} = - 4 i$ : $Re (z_{4}) = 0$ et $Im (z_{4}) = - 4$ .

L'écriture $a + i b$ n'aurait guère d'intérêt si un même nombre complexe pouvait s'écrire de deux façons différentes. Le théorème suivant garantit que ce n'est pas le cas : la forme algébrique est unique.

Propriété

Égalité de deux nombres complexes. Soient $a$ , $b$ , $a^{'}$ , $b^{'}$ des nombres réels. Alors

a + i b = a^{'} + i b^{'} ⟺ a = a^{'} et b = b^{'} .

En particulier, $a + i b = 0 ⟺ a = 0 et b = 0$ .

Démonstration. Le sens réciproque est évident. Pour le sens direct, supposons $a + i b = a^{'} + i b^{'}$ , c'est-à-dire $a - a^{'} = i (b^{'} - b)$ . En élevant au carré :

(a - a^{'})^{2} = i^{2} (b^{'} - b)^{2} = - (b^{'} - b)^{2} .

Le membre de gauche est un réel positif ou nul, celui de droite un réel négatif ou nul : leur égalité impose que les deux soient nuls. Ainsi $(a - a^{'})^{2} = 0$ et $(b^{'} - b)^{2} = 0$ , d'où $a = a^{'}$ et $b = b^{'}$ . $□$

Ce théorème est l'outil central du chapitre : il permet d'identifier parties réelles et parties imaginaires, c'est-à-dire de transformer une égalité entre nombres complexes en un système de deux égalités entre nombres réels. Nous l'utiliserons constamment, notamment pour résoudre des équations.

Définition

Réels et imaginaires purs. Soit $z$ un nombre complexe.

$z$ est réel lorsque $Im (z) = 0$ . L'ensemble des réels est donc contenu dans l'ensemble des complexes : $R \subset C$ .
$z$ est un imaginaire pur lorsque $Re (z) = 0$ , c'est-à-dire lorsque $z = i b$ avec $b$ réel. L'ensemble des imaginaires purs se note $i R$ .

Remarque. Le nombre $0$ est à la fois réel et imaginaire pur : c'est le seul complexe dans ce cas, puisque $z = 0$ équivaut à $Re (z) = 0$ et $Im (z) = 0$ .

Deux mises en garde importantes avant de commencer à calculer.

Pas d'inégalités dans $C$ . Il n'existe pas de relation d'ordre sur $C$ compatible avec les opérations : on n'écrit jamais $z ⩽ z^{'}$ ni $z > 0$ entre complexes non réels. Une écriture comme $i > 0$ ou $2 + i ⩽ 3$ n'a aucun sens. Pour s'en convaincre : si l'on avait $i > 0$ , en multipliant par $i$ (supposé positif) on obtiendrait $i^{2} = - 1 > 0$ , absurde ; et si l'on avait $i < 0$ , alors $- i > 0$ donnerait $(- i)^{2} = - 1 > 0$ , tout aussi absurde. Les symboles $<$ , $>$ , $⩽$ , $⩾$ restent donc réservés aux nombres réels.
Pas de racine carrée de nombre négatif. Le symbole $\sqrt{}$ reste réservé aux réels positifs : on n'écrit jamais $\sqrt{- 1}$ ni $\sqrt{- 9}$ . Écrire $i = \sqrt{- 1}$ conduirait à des contradictions comme

- 1 = i \times i = \sqrt{- 1} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{(- 1) \times (- 1)} = \sqrt{1} = 1.

On dira donc « $i$ est un nombre dont le carré vaut $- 1$ », et rien d'autre.

Somme et produit

Comment calcule-t-on dans $C$ ? La réponse tient en une phrase : exactement comme dans $R$ , en remplaçant $i^{2}$ par $- 1$ chaque fois qu'il apparaît. On admet que l'addition et la multiplication des complexes conservent toutes les règles de calcul usuelles : commutativité, associativité, distributivité de la multiplication sur l'addition.

Propriété

Somme et produit sous forme algébrique. Soient $z = a + i b$ et $z^{'} = a^{'} + i b^{'}$ deux nombres complexes ( $a$ , $b$ , $a^{'}$ , $b^{'}$ réels). Alors :

z + z^{'} = (a + a^{'}) + i (b + b^{'})

z \times z^{'} = (a a^{'} - b b^{'}) + i (a b^{'} + a^{'} b)

Démonstration. La première formule est un simple regroupement de termes. Pour la seconde, on développe par distributivité :

\begin{aligned} (a + i b) (a^{'} + i b^{'}) & = a a^{'} + i a b^{'} + i a^{'} b + i^{2} b b^{'} \\ = a a^{'} + i a b^{'} + i a^{'} b - b b^{'} \\ = (a a^{'} - b b^{'}) + i (a b^{'} + a^{'} b) . \end{aligned}

$□$

Inutile d'apprendre la formule du produit par cœur : en pratique, on développe et on remplace $i^{2}$ par $- 1$ , comme dans l'exemple ci-dessous.

Exemple

$(3 + 2 i) + (- 1 + 5 i) = (3 - 1) + i (2 + 5) = 2 + 7 i$ .
$(5 - i) - (3 - 4 i) = 5 - i - 3 + 4 i = 2 + 3 i$ .
$(2 + 3 i) (4 - i) = 8 - 2 i + 12 i - 3 i^{2} = 8 + 10 i + 3 = 11 + 10 i$ .
$(1 + 2 i)^{2} = 1 + 4 i + 4 i^{2} = 1 + 4 i - 4 = - 3 + 4 i$ .

Puisque les règles de calcul sont les mêmes que dans $R$ , les identités remarquables restent valables dans $C$ — et il s'en ajoute une nouvelle, impossible dans $R$ , qui factorise une somme de deux carrés.

Propriété

Identités remarquables dans $C$ . Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{'}$ :

(z + z^{'})^{2} = z^{2} + 2 z z^{'} + z^{' 2} (z - z^{'})^{2} = z^{2} - 2 z z^{'} + z^{' 2}

(z + z^{'}) (z - z^{'}) = z^{2} - z^{' 2} (z + i z^{'}) (z - i z^{'}) = z^{2} + z^{' 2}

Démonstration de la dernière identité. D'après la troisième identité appliquée aux complexes $z$ et $i z^{'}$ :

(z + i z^{'}) (z - i z^{'}) = z^{2} - (i z^{'})^{2} = z^{2} - i^{2} z^{' 2} = z^{2} + z^{' 2} .

$□$

Exemple

Dans $R$ , l'expression $x^{2} + 9$ ne se factorise pas. Dans $C$ , si :

x^{2} + 9 = x^{2} + 3^{2} = (x + 3 i) (x - 3 i) .

Cette factorisation nouvelle annonce un fait majeur, que nous établirons en fin de chapitre : dans $C$ , toute équation du second degré à coefficients réels possède des solutions.

Les puissances de $i$

Calculons les premières puissances de $i$ :

i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = i^{2} \times i = - i, i^{4} = i^{3} \times i = - i^{2} = 1.

Arrivé à $i^{4} = 1$ , tout recommence : $i^{5} = i^{4} \times i = i$ , puis $i^{6} = - 1$ , etc. Les puissances de $i$ se répètent selon un cycle de longueur 4.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$
$i^{n}$	$1$	$i$	$- 1$	$- i$

Propriété

Cycle des puissances de $i$ . Pour tout entier naturel $n$ , la valeur de $i^{n}$ ne dépend que du reste $r$ de la division euclidienne de $n$ par $4$ : si $n = 4 q + r$ avec $r \in {0; 1; 2; 3}$ , alors

i^{n} = i^{r} .

Démonstration. Si $n = 4 q + r$ , alors $i^{n} = i^{4 q} \times i^{r} = {(i^{4})}^{q} \times i^{r} = 1^{q} \times i^{r} = i^{r}$ . $□$

Méthode

Calculer $i^{n}$ pour un grand exposant.

Effectuer la division euclidienne de $n$ par $4$ : $n = 4 q + r$ avec $0 ⩽ r ⩽ 3$ .
Conclure : $i^{n} = i^{r}$ , à lire dans la table ci-dessus.

Exemple

Calcul de $i^{2026}$ . On divise $2026$ par $4$ : comme $4 \times 506 = 2024$ , on a $2026 = 4 \times 506 + 2$ , donc le reste vaut $2$ et

i^{2026} = i^{2} = - 1.

Calcul de $i^{57}$ . Comme $57 = 4 \times 14 + 1$ , on obtient $i^{57} = i^{1} = i$ .

Le conjugué

Le calcul $(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 4 - 9 i^{2} = 13$ a de quoi surprendre : le produit de deux complexes non réels peut être un réel. Les deux nombres $2 + 3 i$ et $2 - 3 i$ , qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire, entretiennent une relation privilégiée qui mérite un nom.

Définition

Conjugué. Soit $z = a + i b$ un nombre complexe sous forme algébrique. Le conjugué de $z$ est le nombre complexe

\overline{z} = a - i b .

Exemple

$\overline{3 + 2 i} = 3 - 2 i$ , $\overline{- 1 - 5 i} = - 1 + 5 i$ , $\overline{7} = 7$ , $\overline{4 i} = - 4 i$ , $\overline{i} = - i$ .

Le conjugué se comporte remarquablement bien vis-à-vis des opérations : conjuguer une somme, un produit ou une puissance revient à conjuguer chaque morceau.

Propriété

Conjugué et opérations. Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{'}$ , et tout entier naturel $n$ :

$\overline{\overline{z}} = z$ (le conjugué du conjugué redonne le nombre de départ) ;
$\overline{z + z^{'}} = \overline{z} + \overline{z^{'}}$ ;
$\overline{z \times z^{'}} = \overline{z} \times \overline{z^{'}}$ ;
$\overline{z^{n}} = {(\overline{z})}^{n}$ .

Démonstration du conjugué d'un produit. Posons $z = a + i b$ et $z^{'} = a^{'} + i b^{'}$ avec $a$ , $b$ , $a^{'}$ , $b^{'}$ réels. D'une part, d'après la formule du produit :

z z^{'} = (a a^{'} - b b^{'}) + i (a b^{'} + a^{'} b), donc \overline{z z^{'}} = (a a^{'} - b b^{'}) - i (a b^{'} + a^{'} b) .

D'autre part :

\begin{aligned} \overline{z} \times \overline{z^{'}} & = (a - i b) (a^{'} - i b^{'}) \\ = a a^{'} - i a b^{'} - i a^{'} b + i^{2} b b^{'} \\ = (a a^{'} - b b^{'}) - i (a b^{'} + a^{'} b) . \end{aligned}

Les deux résultats coïncident, d'où $\overline{z z^{'}} = \overline{z} \times \overline{z^{'}}$ . La formule $\overline{z^{n}} = {(\overline{z})}^{n}$ s'en déduit par une récurrence immédiate, en appliquant la propriété du produit avec $z^{'} = z^{n - 1}$ . Les autres points se vérifient par un calcul direct analogue. $□$

Combiner $z$ et $\overline{z}$ fait apparaître les parties réelle et imaginaire, ce qui fournit des caractérisations très efficaces des réels et des imaginaires purs.

Propriété

Conjugué, partie réelle et partie imaginaire. Pour tout nombre complexe $z$ :

z + \overline{z} = 2 Re (z) et z - \overline{z} = 2 i Im (z) .

On en déduit deux caractérisations :

$z$ est réel $⟺ \overline{z} = z$ ;
$z$ est imaginaire pur $⟺ \overline{z} = - z$ .

Démonstration. Écrivons $z = a + i b$ sous forme algébrique. Alors

z + \overline{z} = (a + i b) + (a - i b) = 2 a = 2 Re (z), z - \overline{z} = (a + i b) - (a - i b) = 2 i b = 2 i Im (z) .

Pour la première caractérisation : $\overline{z} = z$ équivaut à $z - \overline{z} = 0$ , c'est-à-dire à $2 i Im (z) = 0$ , donc à $Im (z) = 0$ , ce qui signifie exactement que $z$ est réel. De même, $\overline{z} = - z$ équivaut à $z + \overline{z} = 0$ , donc à $Re (z) = 0$ , c'est-à-dire à $z$ imaginaire pur. $□$

Reste la propriété la plus importante du conjugué, celle qui explique le calcul surprenant du début de section — et qui ouvrira la porte de la division.

Propriété

Produit d'un complexe par son conjugué. Pour tout nombre complexe $z = a + i b$ (avec $a$ et $b$ réels) :

z \overline{z} = a^{2} + b^{2} .

Le produit $z \overline{z}$ est donc toujours un réel positif ou nul, et il est nul si et seulement si $z = 0$ .

Démonstration. C'est l'identité remarquable de la section précédente, lue à l'envers :

z \overline{z} = (a + i b) (a - i b) = a^{2} - (i b)^{2} = a^{2} + b^{2} .

Une somme de deux carrés de réels est positive ou nulle, et elle est nulle si et seulement si $a = 0$ et $b = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $z = 0$ . $□$

Exemple

Pour $z = 2 + 3 i$ : $z \overline{z} = 2^{2} + 3^{2} = 13$ . Pour $z = 1 - i$ : $z \overline{z} = 1^{2} + (- 1)^{2} = 2$ . Aucun développement n'est nécessaire : on ajoute les carrés des parties réelle et imaginaire.

Inverse et quotient

Peut-on diviser par un nombre complexe non nul ? Autrement dit, un complexe $z \neq 0$ admet-il un inverse, c'est-à-dire un complexe $z^{''}$ tel que $z z^{''} = 1$ ? La propriété $z \overline{z} = a^{2} + b^{2}$ répond immédiatement : puisque $z \overline{z}$ est un réel non nul dès que $z \neq 0$ , il suffit de diviser $\overline{z}$ par ce réel.

Propriété

Inverse d'un complexe non nul. Tout nombre complexe non nul $z = a + i b$ (avec $a$ et $b$ réels) admet un unique inverse, donné par

\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - i \frac{b}{a^{2} + b^{2}} .

Démonstration. Comme $z \neq 0$ , le réel $a^{2} + b^{2}$ est strictement positif, donc non nul. Posons $z^{''} = \frac{\overline{z}}{a^{2} + b^{2}}$ . Alors

z \times z^{''} = \frac{z \overline{z}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 1,

donc $z^{''}$ est bien un inverse de $z$ . Il est unique : si $z z_{1} = 1$ et $z z_{2} = 1$ , alors en multipliant l'égalité $z z_{1} = z z_{2}$ par $z^{''}$ on obtient $z_{1} = z_{2}$ . $□$

Exemple

Inverse de $i$ . Ici $a = 0$ et $b = 1$ , donc $\frac{1}{i} = \frac{\overline{i}}{0^{2} + 1^{2}} = - i$ . Vérification : $i \times (- i) = - i^{2} = 1$ .

Inverse de $2 - 3 i$ . On a $a^{2} + b^{2} = 2^{2} + (- 3)^{2} = 13$ , donc

\frac{1}{2 - 3 i} = \frac{2 + 3 i}{13} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13} i .

Une fois l'inverse disponible, le quotient s'en déduit : pour $z \neq 0$ , on pose $\frac{z^{'}}{z} = z^{'} \times \frac{1}{z}$ . En pratique, on ne calcule jamais l'inverse séparément : on utilise la technique suivante, à connaître parfaitement.

Méthode

Mettre un quotient sous forme algébrique. Pour écrire $\frac{z^{'}}{z}$ sous forme algébrique : Acquis depuis : première spé.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $\overline{z}$ , le conjugué du dénominateur.
Le nouveau dénominateur $z \overline{z} = a^{2} + b^{2}$ est un réel strictement positif.
Développer le numérateur, puis séparer partie réelle et partie imaginaire.

Exemple

Mettre $\frac{3 + 2 i}{1 - 2 i}$ sous forme algébrique. Le conjugué du dénominateur est $1 + 2 i$ . On multiplie en haut et en bas :

\begin{aligned} \frac{3 + 2 i}{1 - 2 i} & = \frac{(3 + 2 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} \\ = \frac{3 + 6 i + 2 i + 4 i^{2}}{1^{2} + (- 2)^{2}} \\ = \frac{- 1 + 8 i}{5} \\ = - \frac{1}{5} + \frac{8}{5} i . \end{aligned}

Ainsi $Re (\frac{3 + 2 i}{1 - 2 i}) = - \frac{1}{5}$ et $Im (\frac{3 + 2 i}{1 - 2 i}) = \frac{8}{5}$ .

Le conjugué traverse aussi les quotients, ce qui complète la liste de ses propriétés opératoires.

Propriété

Conjugué d'un inverse et d'un quotient. Pour tous nombres complexes $z^{'}$ et $z$ avec $z \neq 0$ :

\overline{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{\overline{z}} et \overline{(\frac{z^{'}}{z})} = \frac{\overline{z^{'}}}{\overline{z}} .

Démonstration. Notons d'abord que $\overline{z} \neq 0$ (si $\overline{z}$ était nul, son conjugué $z$ le serait aussi). Partons de $z \times \frac{1}{z} = 1$ et conjuguons les deux membres. Comme le conjugué d'un produit est le produit des conjugués et que $\overline{1} = 1$ :

\overline{z} \times \overline{(\frac{1}{z})} = 1.

Ainsi $\overline{(\frac{1}{z})}$ est l'inverse de $\overline{z}$ , ce qui est la première formule. La seconde s'en déduit : $\overline{(\frac{z^{'}}{z})} = \overline{z^{'} \times \frac{1}{z}} = \overline{z^{'}} \times \frac{1}{\overline{z}} = \frac{\overline{z^{'}}}{\overline{z}}$ . $□$

La formule du binôme de Newton

Développer $(z + z^{'})^{2}$ ou $(z + z^{'})^{3}$ se fait à la main. Mais $(z + z^{'})^{n}$ pour $n$ quelconque ? La réponse mobilise les coefficients binomiaux rencontrés dans le chapitre de combinatoire de la spécialité : rappelons que $(\binom{n}{k})$ désigne le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. On dispose notamment de $(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ , de la relation de symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , et de la relation de Pascal $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ , qui permet de construire le triangle de Pascal ligne par ligne. Les premières lignes, qui suffisent en pratique, sont :

n = 0 : 1 n = 1 : 1 1 n = 2 : 1 2 1 n = 3 : 1 3 3 1 n = 4 : 1 4 6 4 1.

Propriété

Formule du binôme de Newton. Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{'}$ , et tout entier naturel $n ⩾ 1$ :

(z + z^{'})^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) z^{n - k} z^{' k} = (\binom{n}{0}) z^{n} + (\binom{n}{1}) z^{n - 1} z^{'} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) z z^{' n - 1} + (\binom{n}{n}) z^{' n} .

Cette formule a été établie pour les nombres réels dans le chapitre de combinatoire (par un raisonnement de dénombrement, ou par récurrence à l'aide de la relation de Pascal). La démonstration n'utilise que les règles de calcul sur la somme et le produit — commutativité, associativité, distributivité — qui sont les mêmes dans $C$ que dans $R$ : la formule reste donc valable pour des nombres complexes, et nous l'admettons sous cette forme.

Exemple

Calcul de $(1 + i)^{4}$ . On applique la formule avec $z = 1$ , $z^{'} = i$ et $n = 4$ , dont les coefficients sont $1$ , $4$ , $6$ , $4$ , $1$ :

\begin{aligned} (1 + i)^{4} & = (\binom{4}{0}) + (\binom{4}{1}) i + (\binom{4}{2}) i^{2} + (\binom{4}{3}) i^{3} + (\binom{4}{4}) i^{4} \\ = 1 + 4 i + 6 \times (- 1) + 4 \times (- i) + 1 \\ = (1 - 6 + 1) + (4 - 4) i \\ = - 4. \end{aligned}

Résultat remarquable : une puissance d'un complexe non réel peut être un réel. On peut le contrôler sans le binôme : $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ , donc $(1 + i)^{4} = {((1 + i)^{2})}^{2} = (2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ . Les deux chemins concordent.

Exemple

Calcul de $(2 - i)^{3}$ . Avec $z = 2$ , $z^{'} = - i$ et les coefficients $1$ , $3$ , $3$ , $1$ :

\begin{aligned} (2 - i)^{3} & = 2^{3} + 3 \times 2^{2} \times (- i) + 3 \times 2 \times (- i)^{2} + (- i)^{3} \\ = 8 - 12 i + 6 \times (- 1) + i \\ = 2 - 11 i, \end{aligned}

car $(- i)^{2} = i^{2} = - 1$ et $(- i)^{3} = - i^{3} = i$ .

Résolution d'équations

Nous disposons maintenant de tous les outils de calcul : sommes, produits, conjugués, quotients. Ce dernier volet les met au service de la résolution d'équations, en trois familles de difficulté croissante — et il tiendra la promesse faite par Bombelli : donner des solutions aux équations du second degré qui n'en avaient pas dans $R$ .

Équations du premier degré

Méthode

Résoudre une équation du premier degré dans $C$ . Une équation de la forme $a z + b = 0$ , avec $a$ et $b$ complexes et $a \neq 0$ , se résout comme dans $R$ : Acquis depuis : collège.

Isoler $z$ : l'équation équivaut à $z = - \frac{b}{a}$ .
Mettre ce quotient sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur.

Les variantes du type $a z + b = c z + d$ (avec $a \neq c$ ) se ramènent à cette forme en regroupant les termes en $z$ d'un côté.

Exemple

Résoudre $(2 + i) z + 1 - 3 i = 0$ . Comme $2 + i \neq 0$ , l'équation équivaut à

z = \frac{- 1 + 3 i}{2 + i} = \frac{(- 1 + 3 i) (2 - i)}{(2 + i) (2 - i)} = \frac{- 2 + i + 6 i - 3 i^{2}}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{1 + 7 i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i .

L'équation admet une unique solution : $S = {\frac{1}{5} + \frac{7}{5} i}$ .

Équations faisant intervenir $z$ et $\overline{z}$

Lorsque l'inconnue apparaît à la fois sous la forme $z$ et sous la forme $\overline{z}$ , on ne peut plus isoler $z$ par les opérations usuelles : $z$ et $\overline{z}$ ne sont pas proportionnels. La bonne stratégie consiste à revenir à la forme algébrique.

Méthode

Résoudre une équation en $z$ et $\overline{z}$ . Acquis depuis : collège.

Poser $z = x + i y$ avec $x$ et $y$ réels, d'où $\overline{z} = x - i y$ .
Remplacer dans l'équation, développer, puis regrouper le résultat sous forme algébrique (partie réelle, partie imaginaire).
Identifier les parties réelles et imaginaires des deux membres (théorème d'égalité) : on obtient un système de deux équations à deux inconnues réelles $x$ et $y$ .
Résoudre le système, puis conclure en donnant $z$ .

Exemple

Résoudre $2 z + 3 \overline{z} = 5 - i$ . Posons $z = x + i y$ avec $x$ et $y$ réels. Alors

2 z + 3 \overline{z} = 2 (x + i y) + 3 (x - i y) = 5 x - i y .

L'équation devient $5 x - i y = 5 - i$ . Par identification des parties réelles et imaginaires :

\begin{aligned} 5 x & = 5 \\ - y & = - 1 \end{aligned}

d'où $x = 1$ et $y = 1$ . L'unique solution est $z = 1 + i$ , soit $S = {1 + i}$ . Vérification : $2 (1 + i) + 3 (1 - i) = 2 + 2 i + 3 - 3 i = 5 - i$ .

Équations du second degré à coefficients réels

Venons-en au résultat central du chapitre. En première, la résolution de $a x^{2} + b x + c = 0$ s'arrêtait net lorsque le discriminant était strictement négatif : « pas de solution réelle ». Dans $C$ , l'histoire se termine autrement.

Propriété

Théorème (second degré à coefficients réels). Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $a \neq 0$ , et $Δ = b^{2} - 4 a c$ le discriminant de l'équation

a z^{2} + b z + c = 0.

Si $Δ > 0$ : l'équation admet deux solutions réelles distinctes,

z_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} .

Si $Δ = 0$ : l'équation admet une unique solution, réelle : $z_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : l'équation admet deux solutions complexes non réelles, conjuguées l'une de l'autre :

z_{1} = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a} = \overline{z_{1}} .

Remarque. Dans le cas $Δ < 0$ , c'est bien $\sqrt{- Δ}$ qui apparaît : comme $Δ < 0$ , le réel $- Δ$ est strictement positif et sa racine carrée a un sens. On n'écrit jamais $\sqrt{Δ}$ quand $Δ < 0$ .

Démonstration (cas $Δ < 0$ ). Les deux premiers cas sont ceux de la classe de première. Supposons $Δ < 0$ . La mise sous forme canonique, valable pour tout complexe $z$ puisqu'elle ne repose que sur des identités remarquables, donne :

a z^{2} + b z + c = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] .

Comme $Δ < 0$ , on a $- \frac{Δ}{4 a^{2}} > 0$ , et ce réel positif est le carré de $\frac{\sqrt{- Δ}}{2 a}$ :

- \frac{Δ}{4 a^{2}} = {(\frac{\sqrt{- Δ}}{2 a})}^{2} .

On reconnaît alors une somme de deux carrés, que l'identité remarquable $u^{2} + v^{2} = (u + i v) (u - i v)$ permet d'écrire comme un produit :

\begin{aligned} a z^{2} + b z + c & = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(\frac{\sqrt{- Δ}}{2 a})}^{2}] \\ = a (z + \frac{b}{2 a} + i \frac{\sqrt{- Δ}}{2 a}) (z + \frac{b}{2 a} - i \frac{\sqrt{- Δ}}{2 a}) . \end{aligned}

Un produit de nombres complexes est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, et $a \neq 0$ : l'équation équivaut donc à

z = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a} ou z = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a} .

Ces deux nombres sont distincts (car $\sqrt{- Δ} \neq 0$ ) et conjugués l'un de l'autre, puisqu'ils ont la même partie réelle $- \frac{b}{2 a}$ et des parties imaginaires opposées $\mp \frac{\sqrt{- Δ}}{2 a}$ . $□$

Exemple

Résoudre $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ dans $C$ . Ici $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 13$ , donc

Δ = (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times 13 = 16 - 52 = - 36 < 0.

L'équation admet deux solutions complexes conjuguées, avec $\sqrt{- Δ} = \sqrt{36} = 6$ :

z_{1} = \frac{4 - 6 i}{2} = 2 - 3 i et z_{2} = \overline{z_{1}} = 2 + 3 i .

D'où $S = {2 - 3 i; 2 + 3 i}$ .

Résoudre $2 z^{2} + 3 z + 5 = 0$ dans $C$ . Ici $Δ = 3^{2} - 4 \times 2 \times 5 = 9 - 40 = - 31 < 0$ , et $\sqrt{- Δ} = \sqrt{31}$ :

S = {\frac{- 3 - i \sqrt{31}}{4}; \frac{- 3 + i \sqrt{31}}{4}} .

Remarque. Ce théorème ne s'applique que lorsque les coefficients $a$ , $b$ , $c$ sont réels. En particulier, la conclusion « les deux solutions sont conjuguées » repose de façon essentielle sur cette hypothèse.

Terminons par une propriété qui relie les solutions aux coefficients sans même les calculer — précieuse pour vérifier un résultat en quelques secondes.

Propriété

Somme et produit des solutions. Si l'équation $a z^{2} + b z + c = 0$ ( $a$ , $b$ , $c$ réels, $a \neq 0$ , $Δ \neq 0$ ) admet pour solutions $z_{1}$ et $z_{2}$ (réelles ou complexes conjuguées), alors

z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a} et z_{1} z_{2} = \frac{c}{a} .

Ces formules restent valables si $Δ = 0$ , en convenant que $z_{1} = z_{2} = - \frac{b}{2 a}$ .

Démonstration. Traitons simultanément les cas $Δ > 0$ et $Δ < 0$ en posant $δ = \sqrt{Δ}$ si $Δ > 0$ et $δ = i \sqrt{- Δ}$ si $Δ < 0$ : dans les deux cas, $δ^{2} = Δ$ et les solutions s'écrivent

z_{1} = \frac{- b - δ}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + δ}{2 a} .

Alors, pour la somme :

z_{1} + z_{2} = \frac{(- b - δ) + (- b + δ)}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} .

Pour le produit, l'identité remarquable $(u - v) (u + v) = u^{2} - v^{2}$ donne :

z_{1} z_{2} = \frac{(- b - δ) (- b + δ)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - δ^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} .

Le cas $Δ = 0$ se vérifie directement : $z_{1} + z_{2} = 2 \times (- \frac{b}{2 a}) = - \frac{b}{a}$ et $z_{1} z_{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}$ . $□$

Exemple

Contrôle rapide. Pour $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ , nous avons trouvé $z_{1} = 2 - 3 i$ et $z_{2} = 2 + 3 i$ . Vérifions :

z_{1} + z_{2} = (2 - 3 i) + (2 + 3 i) = 4 = - \frac{b}{a}, z_{1} z_{2} = (2 - 3 i) (2 + 3 i) = 2^{2} + 3^{2} = 13 = \frac{c}{a} .

Les deux vérifications concordent avec les coefficients : les solutions sont correctes. Notons que le calcul du produit n'a rien coûté, puisque $z_{2} = \overline{z_{1}}$ : le produit d'un complexe et de son conjugué est la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire.

Le bilan du chapitre est considérable : en adjoignant à $R$ un seul nombre nouveau, $i$ , nous avons obtenu un ensemble $C$ où l'on calcule avec les mêmes règles que dans $R$ , où tout nombre non nul admet un inverse, et où toute équation du second degré à coefficients réels possède des solutions. Les chapitres suivants montreront que ces nombres, nés d'un problème d'algèbre, ont encore beaucoup d'autres visages.

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Ce qu'il faut savoir faire

L'ensemble des nombres complexes

Somme et produit

Les puissances de i

Le conjugué

Inverse et quotient

La formule du binôme de Newton

Résolution d'équations

Équations du premier degré

Équations faisant intervenir z et z‾

Équations du second degré à coefficients réels

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Les puissances de $i$

Équations faisant intervenir $z$ et $\overline{z}$

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