Maths compl. · Chapitre 01 · Analyse

Exercices — Suites numériques et modèles discrets

16 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

16 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Premiers termes d'une suite

Modéliser une situation par une suite

Calculer les quatre premiers termes (indices $0$ à $3$ ) de chacune des suites suivantes.

a. $u_{n} = 5 - 3 n$
b. $v_{n} = 2 \times 3^{n}$
c. $w_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n + 1} = 2 w_{n} - 3$
d. $t_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $t_{n + 1} = t_{n}^{2} - 1$
Parmi ces quatre suites, une seule est géométrique : laquelle ? Préciser sa raison.
Pour la suite $(t_{n})$ , que peut-on conjecturer sur le comportement des termes quand $n$ augmente ?

Exercice 2 ★★★★ — Modéliser par une suite

Modéliser une situation par une suite

Les trois situations suivantes sont indépendantes. Pour chacune d'elles :

définir une suite adaptée à la situation, en précisant ce que représente $u_{n}$ et la valeur de $u_{0}$ ;
exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ ;
préciser si la suite est arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre (justifier).

En 2026, le salaire mensuel d'une employée est de $1 800$ €. Son contrat prévoit une augmentation de $60$ € chaque année.
Une ville compte $24 000$ habitants. Sa population baisse de $2 %$ par an.
Un bassin contient $40$ m $^{3}$ d'eau. Chaque semaine, $10 %$ de l'eau s'évapore, puis on ajoute $3$ m $^{3}$ d'eau.

Exercice 3 ★★★★ — Conjecturer une limite sur un nuage de points

Limite d'une suite : approche intuitive

On a représenté ci-dessous les premiers termes de trois suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ par des nuages de points.

Trois nuages de points

Pour chacune des trois suites, conjecturer son comportement quand $n$ devient grand : les termes semblent-ils se rapprocher d'une valeur finie (laquelle ?), devenir aussi grands que l'on veut (limite $+ \infty$ ), ou bien la suite ne semble-t-elle pas avoir de limite ?
La suite $(u_{n})$ est en fait définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = 4 - 6 \times {0,7}^{n}$ .

a. Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ (arrondir au centième si nécessaire).

b. Expliquer, sans utiliser de théorème, pourquoi les termes de la suite se rapprochent de $4$ quand $n$ devient grand.

Exercice 4 ★★★★ — Limites de référence

Limite d'une suite : approche intuitive

Donner la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n ⩾ 1$ .

a. $u_{n} = n^{2}$
b. $u_{n} = \sqrt{n}$
c. $u_{n} = \frac{1}{n}$
d. $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$
e. $u_{n} = - n^{3}$
f. $u_{n} = 12$
On considère la suite définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ . Donner sa limite, puis interpréter en une phrase la position des termes de la suite par rapport à $3$ .
Vrai ou faux ? Justifier par un contre-exemple ou un argument : « si une suite tend vers $+ \infty$ , alors elle est croissante ».

Exercice 5 ★★★★ — Opérations sur les limites

Opérations sur les limites et théorème des gendarmes

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n ⩾ 1$ , en précisant à chaque fois l'opération utilisée (somme, produit ou quotient).

a. $u_{n} = n^{2} + 5 n$
b. $v_{n} = 4 - \frac{1}{n}$
c. $w_{n} = (2 + \frac{1}{n}) (5 - \frac{3}{n^{2}})$
d. $t_{n} = \frac{5}{n + 2}$
On pose, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $s_{n} = \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2}}$ . Vérifier que $s_{n} = 3 + \frac{1}{n^{2}}$ , puis en déduire la limite de la suite $(s_{n})$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n} = n^{2} - 5 n$ . Expliquer pourquoi les règles d'opérations ne permettent pas de conclure directement (forme « $+ \infty - \infty$ »), puis vérifier que $a_{n} = n (n - 5)$ et déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ .

Exercice 6 ★★★★ — Encadrer pour conclure

Opérations sur les limites et théorème des gendarmes

On considère la suite définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $u_{n} = 3 + \frac{\cos (n)}{n}$ .

a. Justifier que pour tout entier $n ⩾ 1$ : $3 - \frac{1}{n} ⩽ u_{n} ⩽ 3 + \frac{1}{n}$ .

b. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .
Une suite $(v_{n})$ vérifie, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} ⩾ n^{2} - 5$ . Que peut-on dire de sa limite ? Justifier.
On considère la suite définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $w_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$ . Encadrer $w_{n}$ par deux suites de même limite, puis en déduire la limite de la suite $(w_{n})$ .

Exercice 7 ★★★★ — Limites de suites géométriques

Limite d'une suite géométrique et de la somme de ses termes

Donner la limite de chacune des suites suivantes, en citant le résultat du cours sur la limite de $(q^{n})$ :

a. $u_{n} = {1,05}^{n}$
b. $u_{n} = {0,9}^{n}$
c. $u_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}$
d. $u_{n} = {(\frac{4}{3})}^{n}$
e. $u_{n} = 7 \times {0,8}^{n}$
f. $u_{n} = - 2 \times {1,5}^{n}$
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = 5 - 3 \times {0,6}^{n}$ .

Exercice 8 ★★★★ — Un placement à intérêts composés

Modéliser une situation par une suiteLimite d'une suite géométrique et de la somme de ses termesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

On place $1 000$ € sur un compte rémunéré à $2 %$ par an, à intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts l'année suivante. On note $c_{n}$ le capital, en euros, disponible au bout de $n$ années. Ainsi $c_{0} = 1000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $c_{n + 1} = 1,02 c_{n}$ . En déduire la nature de la suite $(c_{n})$ .
Exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le capital disponible au bout de $10$ ans, arrondi au centime.
Déterminer la limite de la suite $(c_{n})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On souhaite déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse pour la première fois $1 500$ €. Recopier et compléter le script Python ci-dessous, puis donner la valeur renvoyée par la fonction seuil() et l'interpréter.
```
def seuil():
    c = 1000
    n = 0
    while ... :
        c = ...
        n = n + 1
    return n
```

Exercice 9 ★★★★ — Sommes de termes d'une suite géométrique

Limite d'une suite géométrique et de la somme de ses termes

Rappel de première : pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ ,

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

On pose, pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} = 1 + 0,8 + {0,8}^{2} + \dots + {0,8}^{n}$ . Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer la limite de la suite $(S_{n})$ .
Une balle est lâchée d'une hauteur de $2$ m. À chaque rebond, elle remonte à $60 %$ de la hauteur précédente. On note $h_{n}$ la hauteur, en mètres, atteinte après le $n$ -ième rebond, avec $h_{0} = 2$ (hauteur initiale).

a. Exprimer $h_{n}$ en fonction de $n$ .

b. On pose $D_{n} = h_{0} + h_{1} + \dots + h_{n}$ (cumul des hauteurs atteintes). Exprimer $D_{n}$ en fonction de $n$ .

c. Déterminer la limite de la suite $(D_{n})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 10 ★★★★ — Lire une construction en escalier

Suites récurrentes : représentation graphique en escalier

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 1$ .

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $d$ d'équation $y = 0,5 x + 1$ et la droite $Δ$ d'équation $y = x$ , puis on a construit « en escalier » les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.

Construction en escalier

Décrire le principe de cette construction : comment passe-t-on de $u_{n}$ à $u_{n + 1}$ sur l'axe des abscisses, et à quoi sert la droite $Δ$ ?
Lire graphiquement les valeurs de $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ , puis vérifier ces trois valeurs par le calcul.
Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_{n})$ ainsi que sa limite.
Résoudre l'équation $0,5 x + 1 = x$ . Quel lien peut-on faire avec la conjecture de la question précédente ?

Exercice 11 ★★★★ — Construire l'escalier et conjecturer

Suites récurrentes : représentation graphique en escalier

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 1,5 u_{n} - 1$ .

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $d$ d'équation $y = 1,5 x - 1$ et la droite $Δ$ d'équation $y = x$ .

Les droites d et Delta

Reproduire la figure, puis construire « en escalier » les termes $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses, sans les calculer au préalable.
Vérifier par le calcul les valeurs de $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Conjecturer le comportement de la suite $(u_{n})$ (sens de variation et limite).
Déterminer par le calcul l'abscisse du point d'intersection des droites $d$ et $Δ$ . Que se passe-t-il si l'on choisit $u_{0} = 2$ ?
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ lorsque $u_{0} = 1,5$ . Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite dans ce cas ?

Exercice 12 ★★★★ — La méthode de la suite auxiliaire

Suites arithmético-géométriques

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 10$ et, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 3

Cet exercice détaille, étape par étape, la méthode de la suite auxiliaire, qui permet d'exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la même relation, c'est-à-dire tel que $c = 0,5 c + 3$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = u_{n} - 6$ . Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ . En déduire la nature de la suite $(v_{n})$ et préciser son premier terme $v_{0}$ .
Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
Justifier, à l'aide de la forme explicite obtenue à la question 3, que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

Exercice 13 ★★★★ — Rembourser un emprunt

Modéliser une situation par une suiteSuites arithmético-géométriquesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Un particulier emprunte $10 000$ € à sa banque. Chaque mois, la banque ajoute d'abord $1 %$ d'intérêts sur le capital restant dû, puis le particulier rembourse une mensualité de $300$ €.

On note $D_{n}$ le capital restant dû, en euros, après $n$ mois. Ainsi $D_{0} = 10 000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :
$D_{n + 1} = 1,01 D_{n} - 300$
Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c = 1,01 c - 300$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = D_{n} - 30 000$ . Montrer, par un calcul direct de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $1,01$ , préciser son premier terme $v_{0}$ , et en déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$D_{n} = 30 000 - 20 000 \times {1,01}^{n}$
Justifier, à l'aide de la forme explicite, que la suite $(D_{n})$ est décroissante, puis calculer $D_{12}$ arrondi à l'euro. Interpréter ce résultat.
La dette est éteinte au premier mois $n$ pour lequel $D_{n} ⩽ 0$ . Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche ce mois :
```
D = 10000
n = 0
while ... :
    D = ...
    n = n + 1
print(n)
```
Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Interpréter concrètement ce résultat pour le particulier.

Exercice 14 ★★★★ — Des programmes pour explorer une suite

Recherche de seuils et calcul de termes en Python

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 200$ et, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 30

La fonction Python termes(k) ci-dessous doit renvoyer la valeur de $u_{k}$ . Recopier et compléter les deux lignes marquées ... :
```
def termes(k):
    u = 200
    for i in range(k):
        u = ...
    return ...
```
Que renvoie l'appel termes(3) ? Détailler les valeurs successives calculées par la boucle.
On considère maintenant la fonction seuil() ci-dessous. Recopier et compléter les deux lignes marquées ... (mise à jour de u et incrément de n), puis indiquer la valeur renvoyée par l'appel seuil() :
```
def seuil():
    u = 200
    n = 0
    while u > 160:
        u = ...
        n = ...
    return n
```
Interpréter en une phrase le résultat renvoyé par seuil().

Exercice 15 ★★★★ — Le refroidissement d'un café

Modéliser une situation par une suiteSuites arithmético-géométriquesLimite d'une suite géométrique et de la somme de ses termesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Un café est servi à $80$ °C dans une pièce dont la température est constante, égale à $20$ °C. Chaque minute, l'écart de température entre le café et la pièce diminue de $10 %$ .

On note $T_{n}$ la température du café, en degrés Celsius, au bout de $n$ minutes. Ainsi $T_{0} = 80$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $T_{n + 1} - 20 = 0,9 (T_{n} - 20)$ , puis en déduire que :
$T_{n + 1} = 0,9 T_{n} + 2$
Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c = 0,9 c + 2$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = T_{n} - 20$ . Montrer, par un calcul direct de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , que la suite $(v_{n})$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme $v_{0}$ , puis exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(T_{n})$ et interpréter physiquement ce résultat.
On considère que le café est buvable lorsque sa température est strictement inférieure à $35$ °C. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche le premier entier $n$ tel que $T_{n} < 35$ :
```
T = 80
n = 0
while ... :
    T = ...
    n = n + 1
print(n)
```
Quelle valeur ce script affiche-t-il ?

Exercice 16 ★★★★ — Un médicament dans le sang

Modéliser une situation par une suiteSuites arithmético-géométriquesLimite d'une suite géométrique et de la somme de ses termesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Chaque matin, un patient prend une dose de $0,5$ mg d'un médicament. En $24$ heures, l'organisme élimine $40 %$ de la quantité de médicament présente dans le sang.

On note $m_{n}$ la quantité de médicament, en mg, présente dans le sang juste après la prise du matin du jour $n$ . Le jour $0$ correspond à la première prise : $m_{0} = 0,5$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :
$m_{n + 1} = 0,6 m_{n} + 0,5$
Calculer $m_{1}$ et $m_{2}$ .
Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c = 0,6 c + 0,5$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $w_{n} = m_{n} - 1,25$ . Montrer, par un calcul direct de $w_{n + 1}$ en fonction de $w_{n}$ , que la suite $(w_{n})$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme $w_{0}$ , puis en déduire l'expression de $m_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer, à l'aide de la forme explicite, le sens de variation de la suite $(m_{n})$ , puis sa limite. Interpréter ces résultats : que peut-on dire de la quantité de médicament dans le sang au fil du traitement ?
Le traitement est efficace lorsque la quantité présente dans le sang juste après la prise atteint au moins $1,1$ mg. Déterminer par balayage le premier jour où le traitement est efficace. On pourra compléter et utiliser le script Python ci-dessous :
```
m = 0.5
n = 0
while ... :
    m = ...
    n = n + 1
print(n)
```
Un médecin s'inquiète : la quantité de médicament dans le sang peut-elle un jour dépasser $1,3$ mg ? Justifier rigoureusement à l'aide de la forme explicite de $m_{n}$ .

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Exercice 1 ★★★★ — Premiers termes d'une suite

Modéliser une situation par une suite

Calculer les quatre premiers termes (indices $0$ à $3$ ) de chacune des suites suivantes.

a. $u_{n} = 5 - 3 n$
b. $v_{n} = 2 \times 3^{n}$
c. $w_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n + 1} = 2 w_{n} - 3$
d. $t_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $t_{n + 1} = t_{n}^{2} - 1$
Parmi ces quatre suites, une seule est géométrique : laquelle ? Préciser sa raison.
Pour la suite $(t_{n})$ , que peut-on conjecturer sur le comportement des termes quand $n$ augmente ?

Exercice 2 ★★★★ — Modéliser par une suite

Modéliser une situation par une suite

Les trois situations suivantes sont indépendantes. Pour chacune d'elles :

définir une suite adaptée à la situation, en précisant ce que représente $u_{n}$ et la valeur de $u_{0}$ ;
exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ ;
préciser si la suite est arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre (justifier).

En 2026, le salaire mensuel d'une employée est de $1 800$ €. Son contrat prévoit une augmentation de $60$ € chaque année.
Une ville compte $24 000$ habitants. Sa population baisse de $2 %$ par an.
Un bassin contient $40$ m $^{3}$ d'eau. Chaque semaine, $10 %$ de l'eau s'évapore, puis on ajoute $3$ m $^{3}$ d'eau.

Exercice 3 ★★★★ — Conjecturer une limite sur un nuage de points

Limite d'une suite : approche intuitive

On a représenté ci-dessous les premiers termes de trois suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ par des nuages de points.

Trois nuages de points

Pour chacune des trois suites, conjecturer son comportement quand $n$ devient grand : les termes semblent-ils se rapprocher d'une valeur finie (laquelle ?), devenir aussi grands que l'on veut (limite $+ \infty$ ), ou bien la suite ne semble-t-elle pas avoir de limite ?
La suite $(u_{n})$ est en fait définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = 4 - 6 \times {0,7}^{n}$ .

a. Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ (arrondir au centième si nécessaire).

b. Expliquer, sans utiliser de théorème, pourquoi les termes de la suite se rapprochent de $4$ quand $n$ devient grand.

Exercice 4 ★★★★ — Limites de référence

Limite d'une suite : approche intuitive

Donner la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n ⩾ 1$ .

a. $u_{n} = n^{2}$
b. $u_{n} = \sqrt{n}$
c. $u_{n} = \frac{1}{n}$
d. $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$
e. $u_{n} = - n^{3}$
f. $u_{n} = 12$
On considère la suite définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ . Donner sa limite, puis interpréter en une phrase la position des termes de la suite par rapport à $3$ .
Vrai ou faux ? Justifier par un contre-exemple ou un argument : « si une suite tend vers $+ \infty$ , alors elle est croissante ».

Exercice 5 ★★★★ — Opérations sur les limites

Opérations sur les limites et théorème des gendarmes

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n ⩾ 1$ , en précisant à chaque fois l'opération utilisée (somme, produit ou quotient).

a. $u_{n} = n^{2} + 5 n$
b. $v_{n} = 4 - \frac{1}{n}$
c. $w_{n} = (2 + \frac{1}{n}) (5 - \frac{3}{n^{2}})$
d. $t_{n} = \frac{5}{n + 2}$
On pose, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $s_{n} = \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2}}$ . Vérifier que $s_{n} = 3 + \frac{1}{n^{2}}$ , puis en déduire la limite de la suite $(s_{n})$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n} = n^{2} - 5 n$ . Expliquer pourquoi les règles d'opérations ne permettent pas de conclure directement (forme « $+ \infty - \infty$ »), puis vérifier que $a_{n} = n (n - 5)$ et déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ .

Exercice 6 ★★★★ — Encadrer pour conclure

Opérations sur les limites et théorème des gendarmes

On considère la suite définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $u_{n} = 3 + \frac{\cos (n)}{n}$ .

a. Justifier que pour tout entier $n ⩾ 1$ : $3 - \frac{1}{n} ⩽ u_{n} ⩽ 3 + \frac{1}{n}$ .

b. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .
Une suite $(v_{n})$ vérifie, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} ⩾ n^{2} - 5$ . Que peut-on dire de sa limite ? Justifier.
On considère la suite définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $w_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$ . Encadrer $w_{n}$ par deux suites de même limite, puis en déduire la limite de la suite $(w_{n})$ .

Exercice 7 ★★★★ — Limites de suites géométriques

Limite d'une suite géométrique et de la somme de ses termes

Donner la limite de chacune des suites suivantes, en citant le résultat du cours sur la limite de $(q^{n})$ :

a. $u_{n} = {1,05}^{n}$
b. $u_{n} = {0,9}^{n}$
c. $u_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}$
d. $u_{n} = {(\frac{4}{3})}^{n}$
e. $u_{n} = 7 \times {0,8}^{n}$
f. $u_{n} = - 2 \times {1,5}^{n}$
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = 5 - 3 \times {0,6}^{n}$ .

Exercice 8 ★★★★ — Un placement à intérêts composés

Modéliser une situation par une suiteLimite d'une suite géométrique et de la somme de ses termesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $c_{n + 1} = 1,02 c_{n}$ . En déduire la nature de la suite $(c_{n})$ .
Exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le capital disponible au bout de $10$ ans, arrondi au centime.
Déterminer la limite de la suite $(c_{n})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On souhaite déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse pour la première fois $1 500$ €. Recopier et compléter le script Python ci-dessous, puis donner la valeur renvoyée par la fonction seuil() et l'interpréter.
```
def seuil():
    c = 1000
    n = 0
    while ... :
        c = ...
        n = n + 1
    return n
```

Exercice 9 ★★★★ — Sommes de termes d'une suite géométrique

Limite d'une suite géométrique et de la somme de ses termes

Rappel de première : pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ ,

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

On pose, pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} = 1 + 0,8 + {0,8}^{2} + \dots + {0,8}^{n}$ . Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer la limite de la suite $(S_{n})$ .
Une balle est lâchée d'une hauteur de $2$ m. À chaque rebond, elle remonte à $60 %$ de la hauteur précédente. On note $h_{n}$ la hauteur, en mètres, atteinte après le $n$ -ième rebond, avec $h_{0} = 2$ (hauteur initiale).

a. Exprimer $h_{n}$ en fonction de $n$ .

b. On pose $D_{n} = h_{0} + h_{1} + \dots + h_{n}$ (cumul des hauteurs atteintes). Exprimer $D_{n}$ en fonction de $n$ .

c. Déterminer la limite de la suite $(D_{n})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 10 ★★★★ — Lire une construction en escalier

Suites récurrentes : représentation graphique en escalier

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 1$ .

Construction en escalier

Décrire le principe de cette construction : comment passe-t-on de $u_{n}$ à $u_{n + 1}$ sur l'axe des abscisses, et à quoi sert la droite $Δ$ ?
Lire graphiquement les valeurs de $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ , puis vérifier ces trois valeurs par le calcul.
Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_{n})$ ainsi que sa limite.
Résoudre l'équation $0,5 x + 1 = x$ . Quel lien peut-on faire avec la conjecture de la question précédente ?

Exercice 11 ★★★★ — Construire l'escalier et conjecturer

Suites récurrentes : représentation graphique en escalier

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 1,5 u_{n} - 1$ .

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $d$ d'équation $y = 1,5 x - 1$ et la droite $Δ$ d'équation $y = x$ .

Les droites d et Delta

Reproduire la figure, puis construire « en escalier » les termes $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses, sans les calculer au préalable.
Vérifier par le calcul les valeurs de $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Conjecturer le comportement de la suite $(u_{n})$ (sens de variation et limite).
Déterminer par le calcul l'abscisse du point d'intersection des droites $d$ et $Δ$ . Que se passe-t-il si l'on choisit $u_{0} = 2$ ?
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ lorsque $u_{0} = 1,5$ . Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite dans ce cas ?

Exercice 12 ★★★★ — La méthode de la suite auxiliaire

Suites arithmético-géométriques

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 10$ et, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 3

Cet exercice détaille, étape par étape, la méthode de la suite auxiliaire, qui permet d'exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la même relation, c'est-à-dire tel que $c = 0,5 c + 3$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = u_{n} - 6$ . Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ . En déduire la nature de la suite $(v_{n})$ et préciser son premier terme $v_{0}$ .
Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
Justifier, à l'aide de la forme explicite obtenue à la question 3, que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

Exercice 13 ★★★★ — Rembourser un emprunt

Modéliser une situation par une suiteSuites arithmético-géométriquesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Un particulier emprunte $10 000$ € à sa banque. Chaque mois, la banque ajoute d'abord $1 %$ d'intérêts sur le capital restant dû, puis le particulier rembourse une mensualité de $300$ €.

On note $D_{n}$ le capital restant dû, en euros, après $n$ mois. Ainsi $D_{0} = 10 000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :
$D_{n + 1} = 1,01 D_{n} - 300$
Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c = 1,01 c - 300$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = D_{n} - 30 000$ . Montrer, par un calcul direct de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $1,01$ , préciser son premier terme $v_{0}$ , et en déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$D_{n} = 30 000 - 20 000 \times {1,01}^{n}$
Justifier, à l'aide de la forme explicite, que la suite $(D_{n})$ est décroissante, puis calculer $D_{12}$ arrondi à l'euro. Interpréter ce résultat.
La dette est éteinte au premier mois $n$ pour lequel $D_{n} ⩽ 0$ . Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche ce mois :
```
D = 10000
n = 0
while ... :
    D = ...
    n = n + 1
print(n)
```
Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Interpréter concrètement ce résultat pour le particulier.

Exercice 14 ★★★★ — Des programmes pour explorer une suite

Recherche de seuils et calcul de termes en Python

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 200$ et, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 30

La fonction Python termes(k) ci-dessous doit renvoyer la valeur de $u_{k}$ . Recopier et compléter les deux lignes marquées ... :
```
def termes(k):
    u = 200
    for i in range(k):
        u = ...
    return ...
```
Que renvoie l'appel termes(3) ? Détailler les valeurs successives calculées par la boucle.
On considère maintenant la fonction seuil() ci-dessous. Recopier et compléter les deux lignes marquées ... (mise à jour de u et incrément de n), puis indiquer la valeur renvoyée par l'appel seuil() :
```
def seuil():
    u = 200
    n = 0
    while u > 160:
        u = ...
        n = ...
    return n
```
Interpréter en une phrase le résultat renvoyé par seuil().

Exercice 15 ★★★★ — Le refroidissement d'un café

Modéliser une situation par une suiteSuites arithmético-géométriquesLimite d'une suite géométrique et de la somme de ses termesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Un café est servi à $80$ °C dans une pièce dont la température est constante, égale à $20$ °C. Chaque minute, l'écart de température entre le café et la pièce diminue de $10 %$ .

On note $T_{n}$ la température du café, en degrés Celsius, au bout de $n$ minutes. Ainsi $T_{0} = 80$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $T_{n + 1} - 20 = 0,9 (T_{n} - 20)$ , puis en déduire que :
$T_{n + 1} = 0,9 T_{n} + 2$
Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c = 0,9 c + 2$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = T_{n} - 20$ . Montrer, par un calcul direct de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , que la suite $(v_{n})$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme $v_{0}$ , puis exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(T_{n})$ et interpréter physiquement ce résultat.
On considère que le café est buvable lorsque sa température est strictement inférieure à $35$ °C. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche le premier entier $n$ tel que $T_{n} < 35$ :
```
T = 80
n = 0
while ... :
    T = ...
    n = n + 1
print(n)
```
Quelle valeur ce script affiche-t-il ?

Exercice 16 ★★★★ — Un médicament dans le sang

Modéliser une situation par une suiteSuites arithmético-géométriquesLimite d'une suite géométrique et de la somme de ses termesRecherche de seuils et calcul de termes en Python

Chaque matin, un patient prend une dose de $0,5$ mg d'un médicament. En $24$ heures, l'organisme élimine $40 %$ de la quantité de médicament présente dans le sang.

On note $m_{n}$ la quantité de médicament, en mg, présente dans le sang juste après la prise du matin du jour $n$ . Le jour $0$ correspond à la première prise : $m_{0} = 0,5$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :
$m_{n + 1} = 0,6 m_{n} + 0,5$
Calculer $m_{1}$ et $m_{2}$ .
Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c = 0,6 c + 0,5$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $w_{n} = m_{n} - 1,25$ . Montrer, par un calcul direct de $w_{n + 1}$ en fonction de $w_{n}$ , que la suite $(w_{n})$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme $w_{0}$ , puis en déduire l'expression de $m_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer, à l'aide de la forme explicite, le sens de variation de la suite $(m_{n})$ , puis sa limite. Interpréter ces résultats : que peut-on dire de la quantité de médicament dans le sang au fil du traitement ?
Le traitement est efficace lorsque la quantité présente dans le sang juste après la prise atteint au moins $1,1$ mg. Déterminer par balayage le premier jour où le traitement est efficace. On pourra compléter et utiliser le script Python ci-dessous :
```
m = 0.5
n = 0
while ... :
    m = ...
    n = n + 1
print(n)
```
Un médecin s'inquiète : la quantité de médicament dans le sang peut-elle un jour dépasser $1,3$ mg ? Justifier rigoureusement à l'aide de la forme explicite de $m_{n}$ .

Les exercices(PDF, 104 Ko)Les corrigés(PDF, 180 Ko)

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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