Maths compl. · Chapitre 01 · Analyse

Suites numériques et modèles discrets

Limites (approche intuitive), limite de qⁿ, suites arithmético-géométriques, récurrence u(n+1) = f(u(n)).

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Limites (approche intuitive)
Limite de qⁿ
Suites arithmético-géométriques
Récurrence u(n+1) = f(u(n))

Une population qui augmente chaque année, un capital placé à intérêts composés, la quantité de médicament dans le sang d'un patient jour après jour : beaucoup de phénomènes évoluent par étapes, et non de façon continue. Les suites numériques sont l'outil naturel pour décrire ces évolutions. En première, vous avez appris à calculer leurs termes et à reconnaître les suites arithmétiques et géométriques. Ce chapitre franchit une étape : comprendre le comportement d'une suite à long terme grâce à la notion de limite, et maîtriser une nouvelle famille de suites, les suites arithmético-géométriques, omniprésentes dans les modèles concrets.

Modéliser une situation par une suite

Un phénomène discret est un phénomène qui évolue par étapes successives : année après année, jour après jour, itération après itération. On le modélise par une suite $(u_{n})$ , où $u_{n}$ désigne la valeur de la grandeur étudiée à l'étape numéro $n$ .

Définition

Il y a deux manières de définir une suite $(u_{n})$ .

Par une formule explicite : $u_{n}$ s'exprime directement en fonction de $n$ , par exemple $u_{n} = 3 n^{2} + 1$ . On peut alors calculer n'importe quel terme immédiatement.
Par une relation de récurrence : on donne le premier terme, et une règle qui permet de passer d'un terme au suivant, par exemple $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ . Pour connaître $u_{10}$ , il faut calculer de proche en proche $u_{1}$ , $u_{2}$ , et ainsi de suite jusqu'à $u_{10}$ .

Les deux familles de suites étudiées en première correspondent aux deux évolutions les plus simples : ajouter toujours le même nombre, ou multiplier toujours par le même nombre.

	Suite arithmétique de raison $r$	Suite géométrique de raison $q$
Relation de récurrence	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \times u_{n}$
Terme général	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
Évolution modélisée	ajout constant de $r$ à chaque étape	multiplication par $q$ à chaque étape

Propriété

Évolutions en pourcentage. Augmenter une quantité de $t %$ revient à la multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; la diminuer de $t %$ revient à la multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . Ce nombre est le coefficient multiplicateur de l'évolution.

Une grandeur qui subit la même évolution en pourcentage à chaque étape est donc modélisée par une suite géométrique, dont la raison est le coefficient multiplicateur.

Exemple

La population d'une ville. Une ville compte $20 000$ habitants au 1er janvier 2026. On note $u_{n}$ sa population $n$ années plus tard.

Modèle 1. La population augmente de $2 %$ par an. Le coefficient multiplicateur vaut $1 + \frac{2}{100} = 1,02$ : la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_{0} = 20 000$ . On dispose d'une formule explicite : $u_{n} = 20 000 \times {1,02}^{n}$ . Par exemple, la population estimée dans dix ans est $u_{10} = 20 000 \times {1,02}^{10} \approx 24 380$ habitants.
Modèle 2. La population augmente de $2 %$ par an, et de plus $500$ nouveaux habitants s'installent chaque année. Alors pour tout entier naturel $n$ : $u_{n + 1} = 1,02 u_{n} + 500$ . La suite n'est ni arithmétique (l'accroissement n'est pas constant) ni géométrique (le quotient $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ n'est pas constant) : c'est une suite arithmético-géométrique, que nous étudierons dans la dernière partie de ce chapitre.

Une fois la situation modélisée, la question naturelle est celle du long terme : que devient $u_{n}$ lorsque $n$ devient très grand ? C'est l'objet de la notion de limite.

Limite d'une suite : approche intuitive

Lorsque $n$ devient très grand, trois comportements types se dégagent : les termes peuvent se stabiliser autour d'une valeur fixe, dépasser n'importe quel seuil, ou ne rien faire de tout cela.

Définition

Limite finie. Soit $ℓ$ un réel. On dit que la suite $(u_{n})$ a pour limite $ℓ$ si les termes $u_{n}$ deviennent aussi proches de $ℓ$ que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand. On note alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ , et on dit que la suite converge vers $ℓ$ .

Définition

Limite infinie. On dit que la suite $(u_{n})$ a pour limite $+ \infty$ si les termes $u_{n}$ deviennent aussi grands que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ . De même, $(u_{n})$ a pour limite $- \infty$ si ses termes deviennent aussi grands que l'on veut dans les négatifs.

Certaines suites n'ont aucune limite : par exemple, les termes de la suite $u_{n} = \cos n$ oscillent indéfiniment entre $- 1$ et $1$ sans jamais se stabiliser autour d'une valeur, ni partir vers l'infini.

$Nuage de points de la suite u_n = 1 + 6 \times 0{,}8^n avec la droite d'ordonnée \ell = 1 en pointillés et la bande ]0{,}5\,;\,1{,}5[$

La figure illustre la convergence de la suite $u_{n} = 1 + 6 \times {0,8}^{n}$ vers $ℓ = 1$ . Les premiers termes sont encore loin de la limite : $u_{0} = 7$ , $u_{1} = 5,8$ , $u_{2} = 4,84$ . Mais les points descendent vers la droite d'ordonnée $1$ , et pour la bande $] 0,5; 1,5 [$ représentée, tous les termes sont dans la bande à partir du rang $12$ et n'en sortent plus. Si l'on choisissait une bande plus étroite autour de $1$ , les termes y entreraient plus tard, mais ils finiraient toujours par y rester : c'est exactement le sens intuitif de la phrase « aussi proches de $ℓ$ que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand ».

Propriété

Limites de référence. Les suites suivantes ont pour limite $+ \infty$ :

\lim_{n \to + \infty} n = + \infty, \lim_{n \to + \infty} n^{2} = + \infty, \lim_{n \to + \infty} n^{3} = + \infty, \lim_{n \to + \infty} \sqrt{n} = + \infty .

Les suites suivantes convergent vers $0$ :

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0, \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0, \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.

Enfin, une suite constante égale à $c$ converge vers $c$ .

Opérations et comparaison

En pratique, on calcule rarement une limite en revenant à sa signification : on décompose la suite en briques élémentaires dont les limites sont connues, puis on combine. Les tableaux suivants résument les règles, qui sont conformes à l'intuition. La mention FI (forme indéterminée) signale les cas où l'on ne peut pas conclure directement : la limite dépend des suites en jeu et demande un travail supplémentaire.

Limite d'une somme.

$\lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
$\lim v_{n}$	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$\lim (u_{n} + v_{n})$	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	FI

Limite d'un produit (le signe de l'infini s'obtient par la règle des signes).

$\lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$0$
$\lim v_{n}$	$ℓ^{'}$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$
$\lim (u_{n} \times v_{n})$	$ℓ \times ℓ^{'}$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI

Limite d'un quotient (avec $v_{n} \neq 0$ à partir d'un certain rang).

$\lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ$	$\pm \infty$	$\pm \infty$
$\lim v_{n}$	$ℓ^{'} \neq 0$	$\pm \infty$	$ℓ^{'} \neq 0$	$\pm \infty$
$\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$	$\frac{ℓ}{ℓ^{'}}$	$0$	$\pm \infty$	FI

Les deux formes indéterminées emblématiques sont « $+ \infty - \infty$ » (une suite tire vers le haut, l'autre vers le bas, sans que l'on sache qui l'emporte) et « $\frac{\infty}{\infty}$ » (numérateur et dénominateur grandissent tous les deux). Quelques applications directes, sans indétermination :

a. $\lim_{n \to + \infty} (n^{2} + \sqrt{n}) = + \infty$ : somme de deux suites de limite $+ \infty$ .

b. $\lim_{n \to + \infty} (5 - \frac{3}{n}) = 5$ : somme d'une constante et d'une suite de limite $0$ .

c. $\lim_{n \to + \infty} (- 2 n^{3}) = - \infty$ : produit d'une constante strictement négative par une suite de limite $+ \infty$ .

d. $\lim_{n \to + \infty} \frac{- 3}{\sqrt{n}} = 0$ : quotient d'une constante par une suite de limite $+ \infty$ .

Les limites se comparent aussi grâce aux inégalités.

Propriété

Passage à la limite dans les inégalités. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes telles que $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang. Alors :

\lim_{n \to + \infty} u_{n} ⩽ \lim_{n \to + \infty} v_{n} .

Attention, une inégalité stricte peut devenir large à la limite : pour tout $n ⩾ 1$ on a $0 < \frac{1}{n}$ , et pourtant les deux limites sont égales à $0$ .

Propriété

Théorème de comparaison. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n} ⩾ v_{n}$ à partir d'un certain rang. Si $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ . De même, si $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang et si $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

L'idée est simple : une suite qui dépasse une suite tendant vers $+ \infty$ est entraînée vers $+ \infty$ avec elle. Par exemple, la suite $u_{n} = n^{2} + \cos n$ vérifie $u_{n} ⩾ n^{2} - 1$ pour tout $n$ ; comme $\lim_{n \to + \infty} (n^{2} - 1) = + \infty$ , on conclut que $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ . Pour une limite finie en revanche, une seule inégalité ne suffit plus : il faut encadrer la suite des deux côtés.

Propriété

Théorème des gendarmes. Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites telles que $u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n}$ à partir d'un certain rang. Si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(v_{n})$ converge aussi vers $ℓ$ .

Le nom est imagé : la suite $(v_{n})$ est escortée par deux « gendarmes » qui se rejoignent en $ℓ$ et ne lui laissent aucune échappatoire. Ce théorème est précieux quand la suite contient un terme sans limite, comme $\cos n$ , qui bloque les opérations.

Exemple

Déterminons la limite de $u_{n} = 2 + \frac{\cos n}{n}$ , définie pour $n ⩾ 1$ . Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on sait que $- 1 ⩽ \cos n ⩽ 1$ ; en divisant par $n$ , qui est strictement positif, puis en ajoutant $2$ :

2 - \frac{1}{n} ⩽ 2 + \frac{\cos n}{n} ⩽ 2 + \frac{1}{n} .

Or $\lim_{n \to + \infty} (2 - \frac{1}{n}) = 2$ et $\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2$ : d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ . Aucune opération sur les limites ne permettait de conclure ici, puisque la suite $(\cos n)$ n'a pas de limite.

Limite d'une suite géométrique de raison positive

Les suites géométriques sont au cœur des modèles discrets (évolutions en pourcentage, intérêts composés). Leur comportement à l'infini se ramène à celui de la suite $(q^{n})$ .

Propriété

Limite de $q^{n}$ pour $q > 0$ . Soit $q$ un réel strictement positif.

Si $0 < q < 1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ .
Si $q = 1$ , alors la suite $(q^{n})$ est constante égale à $1$ , donc $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 1$ .
Si $q > 1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ .

$Trois panneaux montrant le comportement de q^n pour q = 1{,}3, q = 1 et q = 0{,}75$

La figure illustre les trois cas. À gauche, ${1,3}^{n}$ dépasse n'importe quel seuil : chaque terme vaut $1,3$ fois le précédent, et cette croissance s'emballe (on passe de $1$ à environ $17,9$ en onze étapes). Au centre, $1^{n}$ reste constamment égal à $1$ . À droite, ${0,75}^{n}$ s'écrase sur l'axe des abscisses : chaque terme ne vaut que les trois quarts du précédent, et les valeurs deviennent aussi petites que l'on veut tout en restant positives.

De nombreuses suites des modèles s'écrivent sous la forme $u_{n} = c \times q^{n} + b$ . Si $0 < q < 1$ , alors $c \times q^{n}$ converge vers $0$ (produit d'une constante par une suite de limite $0$ ), donc par somme $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = b$ . Si $q > 1$ et $c > 0$ , la suite a pour limite $+ \infty$ ; si $q > 1$ et $c < 0$ , elle a pour limite $- \infty$ . C'est exactement la situation de la figure de la deuxième partie : $u_{n} = 1 + 6 \times {0,8}^{n}$ converge vers $1$ .

Intéressons-nous maintenant à la somme des termes d'une suite géométrique. Vous avez vu en première que pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ :

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} .

Propriété

Limite de la somme des termes. Soit $q$ un réel tel que $0 < q < 1$ , et soit $S_{n} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ . Alors la suite $(S_{n})$ converge et :

\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{1 - q} .

Démonstration. D'après la formule de première, $S_{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ . Comme $0 < q < 1$ , on a $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ , donc $\lim_{n \to + \infty} q^{n + 1} = 0$ (produit par la constante $q$ ). Par somme, $1 - q^{n + 1}$ converge vers $1$ , puis par quotient par la constante $1 - q$ , qui est non nulle :

\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{1 - q} . □

Exemple

Posons $S_{n} = 1 + 0,8 + {0,8}^{2} + \dots + {0,8}^{n}$ . Comme $0 < 0,8 < 1$ , la propriété donne directement :

\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{1 - 0,8} = \frac{1}{0,2} = 5.

Le tableau de valeurs confirme cette limite : la somme grimpe vite au début, puis se tasse sous le plafond $5$ .

$n$	$0$	$1$	$2$	$5$	$10$	$20$
$S_{n}$	$1$	$1,8$	$2,44$	$\approx 3,69$	$\approx 4,57$	$\approx 4,95$

Autrement dit, en ajoutant une infinité de termes tous strictement positifs, on n'obtient pas une quantité infinie : la somme s'approche d'aussi près que l'on veut de $5$ sans jamais l'atteindre.

Suites récurrentes : représentation graphique en escalier

Considérons une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , où $f$ est une fonction continue d'un intervalle $I$ dans lui-même. Sans formule explicite, comment se faire une idée du comportement de la suite ? Une construction graphique permet de visualiser les termes sur l'axe des abscisses et de conjecturer la limite.

Méthode

Construire les termes de $(u_{n})$ sur un graphique. On trace dans un même repère la courbe d'équation $y = f (x)$ et la droite $Δ$ d'équation $y = x$ .

Placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses.
Tracer un segment vertical depuis $u_{0}$ jusqu'à la courbe : la hauteur atteinte vaut $f (u_{0}) = u_{1}$ .
Tracer un segment horizontal jusqu'à la droite $Δ$ : comme $Δ$ a pour équation $y = x$ , le point atteint a pour abscisse $u_{1}$ . La valeur $u_{1}$ est ainsi rabattue sur l'axe des abscisses.
Recommencer à partir de $u_{1}$ : verticale vers la courbe pour lire $u_{2}$ , horizontale vers $Δ$ pour rabattre $u_{2}$ , et ainsi de suite.

$Construction en escalier de la suite u_0 = 9, u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 2 avec les droites y = 0{,}6x + 2 et y = x, convergeant vers le point d'intersection (5\,;\,5)$

La figure montre cette construction pour la suite définie par $u_{0} = 9$ et $u_{n + 1} = 0,6 u_{n} + 2$ . Ici la fonction est $f (x) = 0,6 x + 2$ , dont la courbe est une droite. On lit sous l'axe des abscisses les premiers termes : $u_{0} = 9$ , puis $u_{1} = 0,6 \times 9 + 2 = 7,4$ , puis $u_{2} = 0,6 \times 7,4 + 2 = 6,44$ . Les marches de l'escalier descendent et se resserrent vers le point d'intersection des deux droites.

Ce point d'intersection se calcule : son abscisse vérifie $f (x) = x$ , c'est-à-dire $0,6 x + 2 = x$ , d'où $2 = 0,4 x$ puis $x = 5$ . Le graphique suggère donc que la suite est décroissante et converge vers $5$ . Insistons : à ce stade, il s'agit d'une conjecture obtenue par lecture graphique, pas d'un résultat démontré. La partie suivante fournit l'outil qui permet de la confirmer par le calcul.

Suites arithmético-géométriques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n + 1} = a u_{n} + b .

Deux cas particuliers sont déjà connus : si $a = 1$ , la suite est arithmétique de raison $b$ ; si $b = 0$ , la suite est géométrique de raison $a$ .

Dans le cas général ( $a \neq 1$ et $b \neq 0$ ), la suite n'est ni arithmétique ni géométrique, et il n'y a pas de formule explicite évidente. La méthode du programme consiste à se ramener à une suite géométrique grâce à une suite auxiliaire.

Méthode

Étudier une suite arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ .

Chercher la suite constante solution. On cherche le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation de récurrence, c'est-à-dire $c = a c + b$ . Comme $a \neq 1$ , cette équation a une unique solution.
Introduire la suite auxiliaire. On pose $v_{n} = u_{n} - c$ et on vérifie, par un calcul direct de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .
En déduire la formule explicite. On a $v_{n} = v_{0} \times a^{n} = (u_{0} - c) \times a^{n}$ , d'où $u_{n} = c + (u_{0} - c) \times a^{n}$ .
Conclure sur la limite. Si $0 < a < 1$ , alors $a^{n}$ converge vers $0$ , donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$ : la suite converge vers la valeur d'équilibre $c$ , quel que soit son premier terme.

Exemple

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 10$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 3$ . Ici $a = 0,5$ et $b = 3$ .

Étape 1 : suite constante solution. On résout $c = 0,5 c + 3$ , c'est-à-dire $0,5 c = 3$ , d'où $c = 6$ .

Étape 2 : suite auxiliaire. Posons, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = u_{n} - 6$ . Calculons $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ :

\begin{aligned} v_{n + 1} & = u_{n + 1} - 6 \\ = 0,5 u_{n} + 3 - 6 \\ = 0,5 u_{n} - 3 \\ = 0,5 (u_{n} - 6) \\ = 0,5 v_{n} . \end{aligned}

Ce calcul est valable pour tout entier naturel $n$ : la suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0,5$ , de premier terme $v_{0} = u_{0} - 6 = 4$ .

Étape 3 : formule explicite. D'après le cours de première, $v_{n} = 4 \times {0,5}^{n}$ pour tout entier naturel $n$ , d'où :

u_{n} = 6 + 4 \times {0,5}^{n} .

Étape 4 : limite. Comme $0 < 0,5 < 1$ , on a $\lim_{n \to + \infty} {0,5}^{n} = 0$ , donc par produit puis par somme : $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 6$ .

La limite obtenue est précisément la valeur $c$ de la suite constante solution, c'est-à-dire l'abscisse du point d'intersection des droites $y = a x + b$ et $y = x$ de la construction en escalier : la conjecture graphique de la partie précédente et le calcul se confirment mutuellement.

Algorithmes : seuils et termes successifs

Python est un allié naturel pour les suites récurrentes : la machine enchaîne les calculs de proche en proche sans effort. Le premier programme type calcule les termes successifs d'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ à l'aide d'une boucle for.

u = 10
for k in range(1, 11):
    u = 0.5 * u + 3
    print(k, u)

Ce script affiche $u_{1}$ , $u_{2}$ , jusqu'à $u_{10}$ pour la suite de l'exemple précédent : à chaque tour de boucle, la variable u est remplacée par $0,5 u + 3$ , passant ainsi du terme courant au suivant. Les valeurs affichées se rapprochent de $6$ , en accord avec la limite calculée : $u_{10} = 6 + 4 \times {0,5}^{10} \approx 6,0039$ .

Le second programme type répond à une question de seuil : à partir de quel rang la suite franchit-elle une valeur donnée ? Le principe est celui du balayage : on essaie les rangs un par un, dans l'ordre, jusqu'à ce que la condition soit remplie. C'est le rôle d'une boucle while, qui avance tant que le seuil n'est pas franchi.

u = 1
n = 0
while u >= 0.01:
    u = 0.8 * u
    n = n + 1
print(n)

Ce script cherche le plus petit entier $n$ tel que ${0,8}^{n} < 0,01$ . La variable u contient la valeur de ${0,8}^{n}$ : à chaque tour, elle est multipliée par $0,8$ pendant que n augmente de $1$ , et la boucle s'arrête dès que u passe strictement sous $0,01$ . Le script affiche $21$ : en effet, ${0,8}^{20} \approx 0,0115$ dépasse encore le seuil, tandis que ${0,8}^{21} \approx 0,0092 < 0,01$ . Un tel rang existe à coup sûr, puisque $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ : les termes finissent par passer sous n'importe quel seuil strictement positif.

Ce chapitre a mis en place la démarche complète du modèle discret : traduire une situation par une suite, prévoir son comportement à long terme grâce aux limites, et vérifier les résultats à la machine. Ces outils reviendront tout au long de l'année, en particulier dès que les évolutions en pourcentage et les phénomènes d'équilibre entreront en jeu.

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