5ᵉ · Chapitre 10 · Espace et géométrie

Angles et parallélisme

Angles alternes-internes et correspondants, caractérisation du parallélisme.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Angles alternes-internes et correspondants
Caractérisation du parallélisme

Regarde les rails d'une voie ferrée, les lignes d'un cahier ou les barreaux d'une échelle : des droites parallèles, il y en a partout autour de toi. Mais comment être certain que deux droites sont parallèles, puisqu'on ne peut pas les prolonger à l'infini pour vérifier qu'elles ne se croisent jamais ? Dans ce chapitre, tu vas découvrir un outil redoutablement efficace pour répondre à cette question : les angles. En mesurant seulement deux angles, tu pourras prouver que deux droites sont parallèles, ou qu'elles ne le sont pas.

Le vocabulaire des angles

Avant d'attaquer le cœur du chapitre, remettons en place le vocabulaire des angles vu en 6e. Ce ne sont pas de simples rappels : chacune de ces notions va nous servir d'outil dans la suite.

Définition

Rappels de 6e. Un angle nul mesure $0^{\circ}$ , un angle droit mesure $90^{\circ}$ , un angle plat mesure $180^{\circ}$ et un angle plein mesure $360^{\circ}$ . Un angle aigu mesure entre $0^{\circ}$ et $90^{\circ}$ , un angle obtus entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ .

Tu connais aussi la bissectrice d'un angle (la demi-droite qui le partage en deux angles de même mesure) et les angles de tes deux équerres : $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ et $90^{\circ}$ pour l'une, $45^{\circ}$ , $45^{\circ}$ et $90^{\circ}$ pour l'autre.

Angles adjacents

Définition

Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

Autrement dit, deux angles adjacents sont posés côte à côte, sans se chevaucher, comme deux parts de tarte voisines. Quand deux angles sont adjacents, l'angle total qu'ils forment ensemble a pour mesure la somme de leurs deux mesures.

Angles opposés par le sommet

Définition

Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement les uns des autres.

C'est exactement la situation créée par deux droites sécantes : elles forment quatre angles, qui se regroupent en deux paires d'angles opposés par le sommet.

Deux droites sécantes en A et les deux paires d'angles opposés par le sommet

Propriété

Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

Pourquoi est-ce toujours vrai ? Regarde la figure : l'angle bleu $\hat{x A y}$ et l'angle orange $\hat{y A x^{'}}$ forment ensemble l'angle plat $\hat{x A x^{'}}$ , donc

\hat{x A y} + \hat{y A x^{'}} = 180^{\circ}

De la même façon, l'angle orange $\hat{y A x^{'}}$ et l'angle bleu $\hat{x^{'} A y^{'}}$ forment l'angle plat $\hat{y A y^{'}}$ , donc

\hat{y A x^{'}} + \hat{x^{'} A y^{'}} = 180^{\circ}

Les deux angles bleus complètent donc le même angle orange pour arriver à $180^{\circ}$ : ils sont forcément de même mesure. Ce petit raisonnement est ta première démonstration du chapitre !

Angles supplémentaires

Définition

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut $180^{\circ}$ .

Exemple

Un angle de $110^{\circ}$ et un angle de $70^{\circ}$ sont supplémentaires, car $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$ . De même pour $132^{\circ}$ et $48^{\circ}$ , ou encore pour deux angles droits. En revanche, deux angles de $80^{\circ}$ et $90^{\circ}$ ne sont pas supplémentaires : leur somme vaut $170^{\circ}$ .

Attention : deux angles supplémentaires n'ont pas besoin d'être collés l'un à l'autre, ni même d'être sur la même figure ! Mais le cas le plus fréquent est celui de deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont alignés : ensemble, ils forment un angle plat.

Deux angles adjacents et supplémentaires : ensemble ils forment un angle plat

Cette situation te donne un réflexe de calcul très utile : si tu connais l'un des deux angles, tu obtiens l'autre par une soustraction. Par exemple, si $\hat{x} = 125^{\circ}$ , alors $\hat{y} = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$ .

Deux droites et une sécante : les paires d'angles

Entrons maintenant dans le vif du sujet. La configuration de tout le chapitre est la suivante : deux droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont coupées par une troisième droite $(s)$ , appelée sécante. La sécante coupe $(d)$ en un point $A$ et $(d^{'})$ en un point $B$ .

Autour de $A$ , la sécante et la droite $(d)$ forment quatre angles ; autour de $B$ , la sécante et la droite $(d^{'})$ en forment quatre autres. Au total, la figure contient donc huit angles.

Deux droites coupées par une sécante : les huit angles de la configuration

Sur la figure, la zone grisée située entre les deux droites joue un rôle important : les angles $\hat{3}$ , $\hat{4}$ , $\hat{5}$ et $\hat{6}$ sont « à l'intérieur », les angles $\hat{1}$ , $\hat{2}$ , $\hat{7}$ et $\hat{8}$ sont « à l'extérieur ». Parmi ces huit angles, deux types de paires vont nous intéresser.

Les angles alternes-internes

Définition

Deux droites sont coupées par une sécante. Deux angles sont alternes-internes lorsque :

ils ont des sommets différents (l'un en $A$ , l'autre en $B$ ) ;
ils sont situés entre les deux droites ;
ils sont de part et d'autre de la sécante.

Le mot dit tout : « internes » parce qu'ils sont entre les deux droites, « alternes » parce qu'ils alternent d'un côté à l'autre de la sécante. Sur la figure précédente, les angles $\hat{4}$ et $\hat{6}$ forment une paire d'angles alternes-internes, et les angles $\hat{3}$ et $\hat{5}$ forment l'autre paire. Il y a donc exactement deux paires d'angles alternes-internes dans la configuration.

Une paire d'angles alternes-internes : le chemin en forme de Z

Méthode

Repérer des angles alternes-internes : le « Z ». Pars de l'une des droites, descends le long de la sécante jusqu'à l'autre droite, puis repars dans l'autre sens : tu dessines un Z. Les deux angles nichés dans les coins du Z sont alternes-internes.

Attention, le Z peut être penché, étiré, ou retourné comme un S : ce qui compte, c'est le chemin « droite, sécante, autre droite » avec un changement de côté.

Les angles correspondants

Définition

Deux droites sont coupées par une sécante. Deux angles sont correspondants lorsque :

ils ont des sommets différents (l'un en $A$ , l'autre en $B$ ) ;
ils sont situés du même côté de la sécante ;
l'un est entre les deux droites, l'autre non.

Sur la figure des huit angles, les paires d'angles correspondants sont : $\hat{1}$ et $\hat{5}$ , $\hat{2}$ et $\hat{6}$ , $\hat{3}$ et $\hat{7}$ , $\hat{4}$ et $\hat{8}$ . Il y a donc quatre paires d'angles correspondants. Une image pour t'en souvenir : deux angles correspondants occupent la même position autour de leurs sommets respectifs, comme si la configuration autour de $A$ avait glissé le long de la sécante jusqu'en $B$ .

Une paire d'angles correspondants : le chemin en forme de F

Méthode

Repérer des angles correspondants : le « F ». Suis la sécante, puis les deux demi-droites qui partent du même côté : tu dessines un F. Les deux angles logés contre la barre verticale du F, au coin de chaque barre horizontale, sont correspondants.

Là encore, le F peut être penché, à l'envers ou en miroir : l'essentiel est que les deux angles soient du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur.

Un point très important avant de continuer : ces deux définitions ne demandent pas que les droites soient parallèles. Sur toutes les figures de cette partie, $(d)$ et $(d^{'})$ ne sont pas parallèles, et pourtant on y trouve bien des angles alternes-internes et des angles correspondants. Être alternes-internes ou correspondants, c'est une question de position, pas de mesure. C'est justement quand les droites deviennent parallèles que les mesures entrent en scène.

Quand les droites sont parallèles

Voici la première propriété majeure du chapitre : si les deux droites sont parallèles, alors les paires d'angles que tu viens d'apprendre à repérer sont formées d'angles égaux.

Propriété

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :

les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure ;
les angles correspondants qu'elles forment sont de même mesure.

Deux droites parallèles coupées par une sécante : les angles alternes-internes sont égaux

Sur la figure, les deux angles bleus sont alternes-internes et les droites sont parallèles : ils mesurent donc tous les deux $52^{\circ}$ . Intuitivement, c'est assez naturel : deux droites parallèles ont exactement « la même direction », donc la sécante les traverse avec le même angle d'inclinaison en $A$ et en $B$ .

Cette propriété transforme un seul angle connu en une cascade d'angles calculables. Encore faut-il rédiger proprement : en mathématiques, on ne se contente pas de donner le résultat, on cite la propriété qui le justifie.

Méthode

Calculer un angle dans une configuration de parallèles. La rédaction attendue tient en trois étapes :

Les données : indique que les droites sont parallèles et donne la mesure de l'angle connu.
La propriété : identifie la paire d'angles (alternes-internes ou correspondants, en t'aidant du Z ou du F) et cite la propriété : « Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu'elles forment sont de même mesure. »
La conclusion : donne la mesure de l'angle cherché.

Exemple

Exemple rédigé. Sur la figure ci-dessus, les droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont parallèles et l'angle bleu de sommet $A$ mesure $52^{\circ}$ . Calculons l'angle bleu de sommet $B$ .

On sait que les droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont parallèles et sont coupées par la sécante $(s)$ . Les deux angles bleus, de sommets $A$ et $B$ , sont alternes-internes.

Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure.

Donc l'angle bleu de sommet $B$ mesure lui aussi $52^{\circ}$ .

Et on peut continuer ! L'angle adjacent à l'angle bleu en $B$ , situé de l'autre côté de la sécante, forme avec lui un angle plat : il mesure donc $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ . Et l'angle opposé par le sommet à l'angle bleu en $B$ mesure aussi $52^{\circ}$ . De proche en proche, un seul angle donné permet de calculer les huit angles de la figure.

Démontrer que deux droites sont parallèles

Retournons maintenant la situation. Dans la partie précédente, tu savais que les droites étaient parallèles et tu en déduisais des angles. Ici, c'est l'inverse : tu connais les angles, et tu veux savoir si les droites sont parallèles. La propriété fonctionne aussi dans ce sens, et c'est ce qui la rend si puissante : on dit qu'elle caractérise le parallélisme.

Propriété

Caractérisation du parallélisme. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

De même, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Propriété

Et si les angles ne sont pas égaux ? Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de mesures différentes, alors ces droites ne sont pas parallèles.

En effet, si elles étaient parallèles, la propriété de la partie précédente imposerait des angles égaux : des angles différents rendent le parallélisme impossible.

Deux angles bien choisis suffisent donc à trancher, sans jamais prolonger les droites : mesures égales, les droites sont parallèles ; mesures différentes, elles ne le sont pas.

Méthode

Démontrer que deux droites sont (ou ne sont pas) parallèles.

Repère une paire d'angles alternes-internes ou correspondants formée par les deux droites et une sécante (cherche le Z ou le F).
Compare les deux mesures.
Conclus en citant la propriété :
- mesures égales : « Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors elles sont parallèles. » Les droites sont parallèles.
- mesures différentes : si les droites étaient parallèles, ces angles seraient de même mesure ; ce n'est pas le cas, donc les droites ne sont pas parallèles.

Deux angles alternes-internes de même mesure : les droites sont parallèles

Exemple

Cas 1 : on démontre le parallélisme. Sur la figure ci-dessus, les droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont coupées par la sécante $(s)$ en $A$ et $B$ , et les deux angles verts mesurent chacun $47^{\circ}$ .

On sait que les deux angles verts sont alternes-internes et qu'ils sont de même mesure : $47^{\circ}$ tous les deux.

Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Donc les droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont parallèles.

Deux angles alternes-internes de mesures différentes : les droites ne sont pas parallèles

Exemple

Cas 2 : on démontre que les droites ne sont pas parallèles. Sur la figure ci-dessus, les deux angles rouges sont alternes-internes ; celui de sommet $A$ mesure $62^{\circ}$ et celui de sommet $B$ mesure $55^{\circ}$ .

On sait que ces deux angles sont alternes-internes et que $62^{\circ} \neq 55^{\circ}$ .

Or, si les droites $(d)$ et $(d^{'})$ étaient parallèles, alors ces angles alternes-internes seraient de même mesure.

Donc les droites $(d)$ et $(d^{'})$ ne sont pas parallèles.

Un dernier conseil pour éviter le piège classique : ne confonds pas les deux sens de la propriété. « Les droites sont parallèles, donc les angles sont égaux » et « les angles sont égaux, donc les droites sont parallèles » sont deux raisonnements différents. Avant de rédiger, demande-toi toujours ce que tu sais (la donnée) et ce que tu veux prouver (la conclusion) : c'est la donnée qui te dit quelle version de la propriété citer.

Un théorème vieux de 2300 ans

La propriété que tu viens d'apprendre n'a rien d'anecdotique : c'est l'un des plus anciens théorèmes des mathématiques. Vers 300 avant J.-C., le mathématicien grec Euclide d'Alexandrie rassemble tout le savoir géométrique de son époque dans les Éléments, l'un des livres les plus lus de l'histoire. Au Livre I, les propositions 27 et 28 énoncent et démontrent exactement ce que tu viens de voir : des angles alternes égaux entraînent le parallélisme des droites. Cette caractérisation du parallélisme par les angles est au cœur de la géométrie depuis 2300 ans, et tu la retrouveras très vite : c'est elle qui permettra, dans le chapitre sur les triangles, de démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ .

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