5ᵉ · Chapitre 09 · Espace et géométrie

Symétrie centrale

Demi-tour : définition, propriétés, constructions ; entretien de la symétrie axiale en automatismes.

Ce qu'il faut savoir faire

Demi-tour : définition
Propriétés
Constructions
Entretien de la symétrie axiale en automatismes

Prends une dame de cœur et fais-la tourner d'un demi-tour sur la table : elle a exactement la même allure qu'avant, comme si rien ne s'était passé. Ce petit tour de magie se cache partout : dans les rosaces des cathédrales, dans certains panneaux de signalisation, dans les motifs des carrelages. En mathématiques, « faire tourner d'un demi-tour autour d'un point » porte un nom : la symétrie centrale. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à construire le symétrique d'une figure par un demi-tour, et à reconnaître les figures qui, comme la carte à jouer, se superposent à elles-mêmes quand on les retourne.

Rappel : la symétrie axiale

En 6e, tu as déjà rencontré une première symétrie : la symétrie axiale, celle du pliage et du miroir.

Définition

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu'elles se superposent par pliage le long de cette droite. Cette droite s'appelle l'axe de symétrie.

Méthode

Construire un symétrique sur quadrillage (rappel de 6e).

Pour chaque sommet de la figure, compte le nombre de carreaux qui le sépare de l'axe, en te déplaçant perpendiculairement à l'axe.
Reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe : tu obtiens le sommet image.
Relie les sommets images dans le même ordre que sur la figure de départ.

Rappel : symétrique d'un triangle par rapport à un axe vertical

Sur la figure, chaque sommet du triangle et son image se font face de part et d'autre de l'axe, à la même distance de celui-ci. Garde cette technique en tête : elle fonctionne aussi quand l'axe est horizontal ou en diagonale, et tu sais également construire un symétrique sur feuille blanche à l'équerre et au compas.

Le demi-tour, ou symétrie centrale

Cette année, tu découvres une nouvelle façon de « retourner » une figure. Au lieu de plier le long d'une droite, on fait tourner autour d'un point.

Définition

Soit $O$ un point. Le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$ est le point $M^{'}$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[M M^{'}]$ .

Construire $M^{'}$ , c'est faire tourner le point $M$ d'un demi-tour autour de $O$ . C'est pourquoi la symétrie centrale s'appelle aussi le demi-tour.

Le symétrique du point A par rapport au point O

Sur la figure, tu peux vérifier les deux conditions de la définition : les points $A$ , $O$ et $A^{'}$ sont alignés, et $O A = O A^{'}$ (les petits codages sur $[A O]$ et $[O A^{'}]$ indiquent ces deux longueurs égales). Il faut les deux à la fois : un point aligné avec $A$ et $O$ mais trop loin n'est pas le symétrique, et un point à la bonne distance mais en dehors de la droite $(A O)$ non plus.

Définition

Vocabulaire et notation. Quand $M^{'}$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ , on dit aussi que $M^{'}$ est l'image de $M$ par la symétrie de centre $O$ . Le point $O$ s'appelle le centre de la symétrie.

On écrit par exemple : « $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ ».

Deux remarques importantes :

Le centre ne bouge pas. Le symétrique de $O$ par rapport à $O$ est $O$ lui-même : quand on tourne autour d'un point, ce point reste sur place. C'est d'ailleurs le seul point qui ne bouge pas.
On peut lire la symétrie dans les deux sens. Si $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ , alors $A$ est aussi le symétrique de $A^{'}$ par rapport à $O$ . Deux demi-tours de suite font un tour complet : on revient au point de départ !

Exemple

Le point $O$ est le milieu d'un segment $[R S]$ . Alors, d'après la définition, $S$ est le symétrique de $R$ par rapport à $O$ , et $R$ est le symétrique de $S$ . Dire « $O$ est le milieu de $[R S]$ » ou dire « $R$ et $S$ sont symétriques par rapport à $O$ », c'est exactement la même chose.

Construire des symétriques

Méthode

Sur quadrillage : compter les carreaux. Pour construire le symétrique $M^{'}$ d'un point $M$ par rapport à un point $O$ :

Décris le chemin qui mène de $M$ à $O$ en suivant les carreaux. Par exemple : « $3$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le bas ».
À partir de $O$ , continue exactement le même chemin : encore $3$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le bas.
Tu arrives au point $M^{'}$ . Vérifie d'un coup d'œil que $O$ semble bien être le milieu de $[M M^{'}]$ .

Méthode

Sur feuille blanche : règle et compas. Pour construire le symétrique $M^{'}$ d'un point $M$ par rapport à un point $O$ :

Trace la droite $(M O)$ à la règle, en la prolongeant largement au-delà de $O$ .
Pique le compas en $O$ et prends pour écartement la longueur $O M$ .
Reporte cette longueur de l'autre côté de $O$ , sur la droite : le point d'intersection obtenu est $M^{'}$ .
Contrôle ta construction : $M$ , $O$ et $M^{'}$ doivent être alignés, avec $O M = O M^{'}$ .

Et pour une figure entière ? C'est simple : l'image d'un polygone s'obtient en construisant le symétrique de chacun de ses sommets, puis en reliant les points images dans le même ordre.

Un triangle et son image par la symétrie de centre O

Sur la figure, le point $O$ est à la fois le milieu de $[A A^{'}]$ , de $[B B^{'}]$ et de $[C C^{'}]$ : les trois pointillés passent tous par le centre $O$ . Remarque que le triangle image a « la tête en bas » par rapport au triangle de départ. C'est tout à fait normal : il a fait un demi-tour !

Les propriétés du demi-tour

Quand une figure fait un demi-tour, elle change de position et se retrouve à l'envers... mais elle ne change ni de forme, ni de dimensions. C'est ce qu'expriment les propriétés suivantes, que tu utiliseras sans cesse.

Propriété

La symétrie centrale conserve :

les longueurs ;
l'alignement des points ;
les angles ;
les aires.

Autrement dit, une figure et son image par une symétrie centrale sont superposables.

Propriété

Conséquences pour les figures usuelles.

L'image d'un segment est un segment de même longueur.
L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ.
L'image d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre.
L'image d'un triangle est un triangle dont les côtés et les angles ont les mêmes mesures.

L'image d'une droite est une droite parallèle

La propriété sur les droites mérite qu'on s'y arrête : après un demi-tour autour de $O$ , la droite $d$ se retrouve « dans le même sens » qu'avant, simplement de l'autre côté du centre. La droite image $d^{'}$ est donc parallèle à $d$ , et chaque point de $d$ , comme le point $M$ de la figure, a son image sur $d^{'}$ .

Exemple

Utiliser les propriétés pour éviter de mesurer. Le triangle $A B C$ est tel que $A B = 4$ cm, $B C = 5,2$ cm et $\hat{B A C} = 70^{\circ}$ . On construit son image $A^{'} B^{'} C^{'}$ par la symétrie de centre $O$ .

Sans prendre ni règle ni rapporteur, on peut affirmer que $A^{'} B^{'} = 4$ cm, que $B^{'} C^{'} = 5,2$ cm et que $\hat{B^{'} A^{'} C^{'}} = 70^{\circ}$ : la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles. Et si l'aire de $A B C$ vaut $9 {cm}^{2}$ , alors celle de $A^{'} B^{'} C^{'}$ vaut aussi $9 {cm}^{2}$ .

Centre de symétrie d'une figure

Certaines figures ont une propriété remarquable : quand on leur fait faire un demi-tour, elles retombent exactement sur elles-mêmes. C'est le cas de la dame de cœur du début du chapitre !

Définition

Un point $O$ est un centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport à $O$ est la figure elle-même.

Autrement dit : après un demi-tour autour de $O$ , la figure se superpose exactement à elle-même.

Exemple

Un segment a un centre de symétrie : son milieu.
Un cercle a un centre de symétrie : son centre.
Un rectangle a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.

Le centre de symétrie du rectangle

Méthode

Tester un centre de symétrie avec du papier calque.

Décalque la figure.
Pique la pointe du compas sur le point $O$ , à travers le calque, et fais tourner le calque d'un demi-tour.
Si le calque retombe exactement sur la figure, alors $O$ est un centre de symétrie. Sinon, ce n'en est pas un.

Attention à ne pas confondre les deux symétries du chapitre : un axe de symétrie correspond à un pliage le long d'une droite, tandis qu'un centre de symétrie correspond à un demi-tour autour d'un point. Une figure peut avoir l'un sans l'autre, les deux à la fois, ou aucun des deux. Les lettres de l'alphabet en donnent de très jolis exemples.

Lettres : centre de symétrie ou axe de symétrie ?

Les lettres N et S ont un centre de symétrie (fais-les tourner d'un demi-tour dans ta tête : elles se superposent à elles-mêmes) mais aucun axe de symétrie : quel que soit le pliage, les deux moitiés ne coïncident jamais.
Les lettres A et M ont un axe de symétrie vertical, mais pas de centre de symétrie : la tête en bas, un A ne ressemble plus du tout à un A !
Les lettres H et X sont les mieux servies : elles ont à la fois un centre de symétrie et des axes de symétrie.

Un peu d'histoire et de culture

La symétrie centrale décore le monde depuis bien longtemps. Au Moyen Âge, les bâtisseurs de cathédrales dessinaient d'immenses rosaces de pierre et de vitrail, dont les motifs se répondent autour d'un point central ; à la même époque, les artisans du palais de l'Alhambra, en Espagne, couvraient les murs de pavages dont beaucoup de motifs se superposent à eux-mêmes après un demi-tour. La nature n'est pas en reste : le cœur de nombreuses fleurs, les flocons de neige ou les alvéoles des abeilles présentent de superbes symétries, dont bien souvent un centre de symétrie. Quant aux cartes à jouer « à double tête », elles ont été adoptées au XIXe siècle pour une raison très pratique : comme la figure possède un centre de symétrie, plus besoin de retourner sa carte quand on la reçoit à l'envers... ce qui évitait de donner des indices à ses adversaires ! La prochaine fois que tu croiseras une rosace, un carrelage ou une dame de cœur, tu sauras quel demi-tour se cache derrière.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Demi-tour : définition, propriétés, constructions ; entretien de la symétrie axiale en automatismes.

Ce qu'il faut savoir faire

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Propriétés
Constructions
Entretien de la symétrie axiale en automatismes

Rappel : la symétrie axiale

En 6e, tu as déjà rencontré une première symétrie : la symétrie axiale, celle du pliage et du miroir.

Définition

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu'elles se superposent par pliage le long de cette droite. Cette droite s'appelle l'axe de symétrie.

Méthode

Construire un symétrique sur quadrillage (rappel de 6e).

Pour chaque sommet de la figure, compte le nombre de carreaux qui le sépare de l'axe, en te déplaçant perpendiculairement à l'axe.
Reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe : tu obtiens le sommet image.
Relie les sommets images dans le même ordre que sur la figure de départ.

Rappel : symétrique d'un triangle par rapport à un axe vertical

Le demi-tour, ou symétrie centrale

Cette année, tu découvres une nouvelle façon de « retourner » une figure. Au lieu de plier le long d'une droite, on fait tourner autour d'un point.

Définition

Soit $O$ un point. Le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$ est le point $M^{'}$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[M M^{'}]$ .

Construire $M^{'}$ , c'est faire tourner le point $M$ d'un demi-tour autour de $O$ . C'est pourquoi la symétrie centrale s'appelle aussi le demi-tour.

Le symétrique du point A par rapport au point O

Définition

On écrit par exemple : « $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ ».

Deux remarques importantes :

Le centre ne bouge pas. Le symétrique de $O$ par rapport à $O$ est $O$ lui-même : quand on tourne autour d'un point, ce point reste sur place. C'est d'ailleurs le seul point qui ne bouge pas.
On peut lire la symétrie dans les deux sens. Si $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ , alors $A$ est aussi le symétrique de $A^{'}$ par rapport à $O$ . Deux demi-tours de suite font un tour complet : on revient au point de départ !

Exemple

Construire des symétriques

Méthode

Sur quadrillage : compter les carreaux. Pour construire le symétrique $M^{'}$ d'un point $M$ par rapport à un point $O$ :

Décris le chemin qui mène de $M$ à $O$ en suivant les carreaux. Par exemple : « $3$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le bas ».
À partir de $O$ , continue exactement le même chemin : encore $3$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le bas.
Tu arrives au point $M^{'}$ . Vérifie d'un coup d'œil que $O$ semble bien être le milieu de $[M M^{'}]$ .

Méthode

Sur feuille blanche : règle et compas. Pour construire le symétrique $M^{'}$ d'un point $M$ par rapport à un point $O$ :

Trace la droite $(M O)$ à la règle, en la prolongeant largement au-delà de $O$ .
Pique le compas en $O$ et prends pour écartement la longueur $O M$ .
Reporte cette longueur de l'autre côté de $O$ , sur la droite : le point d'intersection obtenu est $M^{'}$ .
Contrôle ta construction : $M$ , $O$ et $M^{'}$ doivent être alignés, avec $O M = O M^{'}$ .

Et pour une figure entière ? C'est simple : l'image d'un polygone s'obtient en construisant le symétrique de chacun de ses sommets, puis en reliant les points images dans le même ordre.

Un triangle et son image par la symétrie de centre O

Les propriétés du demi-tour

Propriété

La symétrie centrale conserve :

les longueurs ;
l'alignement des points ;
les angles ;
les aires.

Autrement dit, une figure et son image par une symétrie centrale sont superposables.

Propriété

Conséquences pour les figures usuelles.

L'image d'un segment est un segment de même longueur.
L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ.
L'image d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre.
L'image d'un triangle est un triangle dont les côtés et les angles ont les mêmes mesures.

L'image d'une droite est une droite parallèle

Exemple

Centre de symétrie d'une figure

Certaines figures ont une propriété remarquable : quand on leur fait faire un demi-tour, elles retombent exactement sur elles-mêmes. C'est le cas de la dame de cœur du début du chapitre !

Définition

Un point $O$ est un centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport à $O$ est la figure elle-même.

Autrement dit : après un demi-tour autour de $O$ , la figure se superpose exactement à elle-même.

Exemple

Un segment a un centre de symétrie : son milieu.
Un cercle a un centre de symétrie : son centre.
Un rectangle a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.

Le centre de symétrie du rectangle

Méthode

Tester un centre de symétrie avec du papier calque.

Décalque la figure.
Pique la pointe du compas sur le point $O$ , à travers le calque, et fais tourner le calque d'un demi-tour.
Si le calque retombe exactement sur la figure, alors $O$ est un centre de symétrie. Sinon, ce n'en est pas un.

Lettres : centre de symétrie ou axe de symétrie ?

Les lettres N et S ont un centre de symétrie (fais-les tourner d'un demi-tour dans ta tête : elles se superposent à elles-mêmes) mais aucun axe de symétrie : quel que soit le pliage, les deux moitiés ne coïncident jamais.
Les lettres A et M ont un axe de symétrie vertical, mais pas de centre de symétrie : la tête en bas, un A ne ressemble plus du tout à un A !
Les lettres H et X sont les mieux servies : elles ont à la fois un centre de symétrie et des axes de symétrie.

Un peu d'histoire et de culture

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