5ᵉ · Chapitre 08 · Espace et géométrie

Solides, volumes et aire du disque

Perspectives et patrons (pavé, prisme, cylindre), volumes, aire du disque, unités et conversions.

Ce qu'il faut savoir faire

Perspectives et patrons (pavé, prisme, cylindre)
Volumes
Aire du disque
Unités et conversions

Jusqu'ici, tu as surtout travaillé sur des figures planes, dessinées sur une feuille. Dans ce chapitre, on passe en trois dimensions ! Tu vas apprendre à reconnaître et à représenter les solides droits, à fabriquer leurs patrons, à calculer l'aire d'un disque, puis le volume de ces solides, et enfin à convertir des unités de volume et de capacité.

Les solides droits

Commençons par faire connaissance avec les quatre solides au programme : le pavé droit, le cube, le prisme droit et le cylindre de révolution.

Les quatre solides du programme

Définition

Un prisme droit est un solide qui possède :

deux faces polygonales superposables et parallèles, appelées les bases ;
des faces rectangulaires, appelées les faces latérales, qui relient les deux bases.

La hauteur d'un prisme droit est la distance entre ses deux bases : c'est aussi la longueur commune de toutes ses arêtes latérales.

Rappelons le vocabulaire des solides : les surfaces planes qui le délimitent sont les faces, les segments qui bordent les faces sont les arêtes, et les extrémités des arêtes sont les sommets.

Un prisme droit et ses éléments

Remarque. Le pavé droit est un prisme droit particulier : ses bases sont des rectangles. Et le cube est un pavé droit encore plus particulier : toutes ses arêtes ont la même longueur. Quand tu apprends une propriété sur les prismes droits, elle est donc automatiquement vraie pour les pavés et les cubes !

Exemple

Compter les faces, les arêtes et les sommets d'un prisme droit à base triangulaire. Ses bases sont deux triangles, il a donc $3$ faces latérales rectangulaires (une par côté de la base) : en tout, $2 + 3 = 5$ faces. Chaque base apporte $3$ arêtes, et il y a $3$ arêtes latérales : en tout, $3 + 3 + 3 = 9$ arêtes. Enfin, chaque base apporte $3$ sommets : en tout, $3 + 3 = 6$ sommets.

Définition

Un cylindre de révolution est un solide qui possède :

deux faces planes superposables et parallèles, qui sont des disques, appelées les bases ;
une surface courbe qui les relie.

La hauteur du cylindre est la distance entre ses deux bases, et le rayon du cylindre est le rayon de ses bases.

Un cylindre de révolution

Attention ! Le cylindre n'est pas un prisme droit : ses bases sont des disques, pas des polygones, et sa surface latérale est courbe, pas faite de rectangles. Il n'a d'ailleurs ni arête latérale ni sommet.

La perspective cavalière

Comment dessiner un solide, objet en trois dimensions, sur une feuille plate ? Les mathématiciens utilisent une convention de dessin appelée la perspective cavalière. Tu l'as déjà rencontrée en sixième avec le cube et le pavé : voici ses règles officielles.

Propriété

Dans une représentation en perspective cavalière :

la face avant est dessinée en vraie grandeur, sans déformation ;
les arêtes qui « s'enfoncent » dans le dessin, appelées arêtes fuyantes, sont parallèles entre elles, inclinées toutes du même angle, et réduites (souvent de moitié) ;
les arêtes visibles sont en trait plein, les arêtes cachées sont en pointillés ;
les longueurs et les angles ne sont donc pas tous respectés : seule la face avant est fidèle.

Pour un cylindre vu debout, les cercles des bases sont déformés : ils deviennent des ovales (on dit aussi des ellipses).

Méthode

Dessiner un pavé droit de dimensions $5 cm \times 3 cm \times 2 cm$ en perspective cavalière.

On dessine la face avant en vraie grandeur : un rectangle de $5 cm$ sur $3 cm$ .
Depuis chaque sommet de ce rectangle, on trace les arêtes fuyantes : des segments parallèles entre eux, inclinés (par exemple à $45^{\circ}$ ), de longueur réduite de moitié ( $2 cm$ en réalité, donc $1 cm$ sur le dessin).
On relie les extrémités des fuyantes pour dessiner la face arrière, un rectangle identique à la face avant.
On repasse en pointillés les trois arêtes cachées : celles qui partent du sommet arrière invisible.

Un même solide peut être dessiné de plusieurs façons en perspective cavalière, selon la face choisie comme face avant. Savoir reconnaître un même solide sous plusieurs points de vue, c'est exactement l'un des objectifs de ce chapitre !

Les patrons

Passer du dessin au vrai solide, c'est possible : il suffit de fabriquer son patron, de le découper et de le plier.

Définition

Un patron d'un solide est une figure plane, d'un seul morceau, qui permet de reconstituer le solide en la pliant, sans trou ni superposition.

Propriété

Un patron d'un prisme droit est constitué :

des deux bases (deux polygones superposables) ;
d'autant de rectangles que la base a de côtés, tous de même largeur : la hauteur du prisme.

Par exemple, un prisme à base triangulaire a un patron formé de deux triangles et de trois rectangles.

Patron d'un prisme droit

Pour le cylindre, une surprise t'attend : quand on déroule sa surface courbe, on obtient... un rectangle ! Observe bien d'où viennent ses dimensions.

Méthode

Construire le patron d'un cylindre de rayon $3 cm$ et de hauteur $8 cm$ .

Un patron du cylindre est formé de deux disques (les bases) et d'un rectangle (la surface courbe déroulée). Ce rectangle a :

pour largeur la hauteur du cylindre, ici $8 cm$ ;
pour longueur le périmètre de la base : le rectangle doit s'enrouler exactement autour du disque !

On calcule donc le périmètre du cercle de base :

2 \times π \times 3 = 6 π \approx 18,8 cm .

Le rectangle mesure $8 cm$ sur environ $18,8 cm$ , et chaque disque a un rayon de $3 cm$ .

Patron d'un cylindre de révolution

Le piège classique : la longueur du rectangle n'est ni le rayon, ni le diamètre, mais bien le périmètre du disque de base. Vérifie-le avec une boîte de conserve et une feuille de papier enroulée autour !

L'aire du disque

Avant de calculer des volumes, il nous manque un outil : l'aire du disque. Tu connais déjà, depuis la sixième, le périmètre du cercle de rayon $r$ :

P = 2 \times π \times r .

C'est une longueur : elle se mesure en $cm$ , en $m$ ... Ici, on s'intéresse à autre chose : la surface colorée à l'intérieur du cercle.

Le disque de rayon r

Propriété

L'aire du disque de rayon $r$ est donnée par la formule :

A = π \times r \times r = π \times r^{2} .

C'est une aire : elle se mesure en ${cm}^{2}$ , en $m^{2}$ ...

Ne confonds pas les deux formules : le périmètre $2 \times π \times r$ est une longueur (le tour du cercle), l'aire $π \times r^{2}$ mesure la surface intérieure. Un moyen mnémotechnique : dans une aire, le rayon apparaît deux fois ( $r \times r$ ), c'est ce qui donne les ${cm}^{2}$ .

Méthode

Calculer l'aire d'un disque.

On repère le rayon. Attention : si l'énoncé donne le diamètre, on le divise par $2$ d'abord ! C'est le piège le plus fréquent du chapitre.
On applique la formule $A = π \times r^{2}$ et on donne d'abord la valeur exacte, en laissant $π$ dans le résultat.
Si l'énoncé le demande, on donne ensuite une valeur approchée à la calculatrice, en arrondissant.

Exemple

Un disque de rayon $4 cm$ . On applique la formule :

A = π \times 4^{2} = π \times 16 = 16 π {cm}^{2} .

L'écriture $16 π$ signifie « $16$ fois le nombre $π$ » : c'est la valeur exacte de l'aire, sans aucun arrondi. À la calculatrice, $16 π \approx 50,3 {cm}^{2}$ (valeur arrondie au dixième).

Un disque de diamètre $10 cm$ . Le diamètre vaut $10 cm$ , donc le rayon vaut $10 \div 2 = 5 cm$ . Alors :

A = π \times 5^{2} = 25 π \approx 78,5 {cm}^{2} .

Si on avait oublié de diviser par $2$ , on aurait obtenu $100 π$ , soit quatre fois trop !

Le volume des solides droits

Le volume d'un solide mesure la place qu'il occupe dans l'espace : c'est le nombre de cubes unités (par exemple des cubes de $1 cm$ d'arête) nécessaires pour le remplir. Bonne nouvelle : pour tous les solides droits de ce chapitre, une seule formule suffit.

Propriété

Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution s'obtient en multipliant l'aire de la base par la hauteur :

V = B \times h,

où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur du solide.

Cas particuliers à connaître :

cube d'arête $a$ : $V = a \times a \times a = a^{3}$ ;
pavé droit de dimensions $L$ , $l$ et $h$ : $V = L \times l \times h$ ;
cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $V = π \times r^{2} \times h$ (l'aire de la base est celle du disque !).

Remarque importante. Tu n'as pas encore appris l'aire d'un triangle quelconque (ce sera pour le chapitre sur les triangles). Mais pour un triangle rectangle, pas besoin d'attendre : en le complétant, on obtient un rectangle, que la diagonale découpe en deux triangles rectangles superposables. L'aire d'un triangle rectangle est donc la moitié de celle du rectangle obtenu en le complétant.

Méthode

Calculer le volume d'un solide droit.

On identifie la base du solide et on calcule son aire $B$ (rectangle, triangle rectangle, disque...).
On repère la hauteur $h$ , perpendiculaire aux bases. Attention à ne pas la confondre avec une autre dimension !
On calcule $V = B \times h$ . Le résultat s'exprime en unités cubes : ${cm}^{3}$ , $m^{3}$ ...

Exemple

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6 cm$ et $4 cm$ , et sa hauteur mesure $7 cm$ .

En complétant le triangle rectangle, on obtient un rectangle de $6 cm$ sur $4 cm$ , d'aire $6 \times 4 = 24 {cm}^{2}$ . L'aire de la base est la moitié :

B = 24 \div 2 = 12 {cm}^{2} .

Le volume du prisme vaut donc :

V = B \times h = 12 \times 7 = 84 {cm}^{3} .

Exemple

Un cylindre a un rayon de $5 cm$ et une hauteur de $10 cm$ .

L'aire de la base est celle d'un disque de rayon $5 cm$ : $B = π \times 5^{2} = 25 π {cm}^{2}$ . Le volume vaut donc :

V = B \times h = 25 π \times 10 = 250 π {cm}^{3},

c'est la valeur exacte. À la calculatrice : $250 π \approx 785,4 {cm}^{3}$ (arrondi au dixième).

Unités de volume et de capacité

Un volume en ${cm}^{3}$ , une bouteille en litres... comment passer de l'un à l'autre ? Il faut d'abord comprendre comment les unités de volume s'emboîtent.

Propriété

Chaque unité de volume vaut $1 000$ fois la suivante :

1 m^{3} = 1 000 {dm}^{3}, 1 {dm}^{3} = 1 000 {cm}^{3}, 1 {cm}^{3} = 1 000 {mm}^{3} .

En effet, un cube de $1 m$ d'arête a des arêtes de $10 dm$ : son volume vaut $10 \times 10 \times 10 = 1 000 {dm}^{3}$ . C'est pour cela que, dans le tableau de conversion, chaque unité occupe trois colonnes (et non une seule comme pour les longueurs).

Dans le tableau ci-dessous, chaque case peut donc contenir jusqu'à trois chiffres. La première ligne se lit « $2,5 m^{3} = 2 500 {dm}^{3}$ », la seconde « $350 {cm}^{3} = 350 000 {mm}^{3}$ ».

${km}^{3}$	${hm}^{3}$	${dam}^{3}$	$m^{3}$	${dm}^{3}$	${cm}^{3}$	${mm}^{3}$
			$2$	$500$
					$350$	$000$

Pour les liquides, on utilise plutôt les unités de capacité : le litre ( $L$ ) et ses sous-multiples, avec $1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL$ . Le lien entre les deux familles d'unités est fondamental.

Propriété

Un litre, c'est exactement le volume d'un cube de $1 dm$ d'arête :

1 L = 1 {dm}^{3} .

On en déduit deux autres correspondances très utiles : $1 mL = 1 {cm}^{3}$ et $1 000 L = 1 m^{3}$ .

Méthode

Convertir un volume.

On place le nombre dans le tableau : le chiffre des unités dans la colonne de droite de l'unité de départ, les autres chiffres à sa gauche.
On complète avec des zéros jusqu'à la colonne de droite de l'unité d'arrivée (trois zéros par unité franchie vers la droite).
Pour passer aux capacités, on utilise $1 L = 1 {dm}^{3}$ ou $1 mL = 1 {cm}^{3}$ .

Exemple

Convertir $2,5 m^{3}$ en litres. On convertit d'abord en ${dm}^{3}$ : franchir une unité vers la droite multiplie par $1 000$ , donc $2,5 m^{3} = 2 500 {dm}^{3}$ . Comme $1 L = 1 {dm}^{3}$ , on conclut : $2,5 m^{3} = 2 500 L$ .

Convertir $350 {cm}^{3}$ en centilitres. D'abord les millilitres : $350 {cm}^{3} = 350 mL$ . Puis, comme $1 cL = 10 mL$ , on obtient $350 mL = 35 cL$ .

Exemple

L'aquarium. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de dimensions $50 cm \times 30 cm \times 40 cm$ . Quelle est sa capacité en litres ?

On calcule le volume : $V = 50 \times 30 \times 40 = 60 000 {cm}^{3}$ . On convertit : $60 000 {cm}^{3} = 60 {dm}^{3}$ . Et comme $1 L = 1 {dm}^{3}$ , l'aquarium peut contenir $60 L$ d'eau.

Pour la culture : la formule d'Euler

Reprends le prisme à base triangulaire du début du chapitre : il a $5$ faces, $9$ arêtes et $6$ sommets, et on remarque que $5 - 9 + 6 = 2$ . Essaie avec le cube : $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets, et $6 - 12 + 8 = 2$ encore ! Ce n'est pas un hasard : le mathématicien suisse Leonhard Euler a démontré au dix-huitième siècle que pour tous les solides « sans trou » dont les faces sont des polygones, on a toujours faces $-$ arêtes $+$ sommets $= 2$ . Le cylindre, lui, échappe à la règle : sa surface courbe n'est pas un polygone. Cette formule magique est l'un des points de départ d'une branche entière des mathématiques modernes, la topologie.

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