5ᵉ · Chapitre 01 · Nombres et calculs

Enchaînements d'opérations et priorités

Priorités opératoires, sommes et produits, distributivité simple sur exemples numériques, parenthèses.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Priorités opératoires
Sommes et produits
Distributivité simple sur exemples numériques
Parenthèses

Additionner, soustraire, multiplier, diviser : tu sais déjà tout faire depuis l'école primaire. Mais que se passe-t-il quand plusieurs opérations se retrouvent dans le même calcul ? Pour que tout le monde obtienne le même résultat, les mathématiciens ont fixé des règles du jeu, les mêmes partout dans le monde : c'est ce que tu vas découvrir dans ce chapitre.

Le vocabulaire des calculs

Définition

Chaque opération a un nom, et les nombres qui la composent aussi :

Le résultat d'une addition s'appelle une somme. Les nombres que l'on additionne s'appellent les termes de la somme. Dans $12 + 5$ , les termes sont $12$ et $5$ .
Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. Les nombres s'appellent là aussi les termes de la différence. Dans $12 - 5$ , les termes sont $12$ et $5$ .
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Les nombres que l'on multiplie s'appellent les facteurs du produit. Dans $12 \times 5$ , les facteurs sont $12$ et $5$ .
Le résultat d'une division s'appelle un quotient. Dans $12 \div 5$ , le nombre $12$ est le dividende et le nombre $5$ est le diviseur.

Par extension, on donne aussi ces noms aux expressions elles-mêmes : on dit que $12 + 5$ « est une somme », avant même de l'avoir calculée.

Retiens bien la paire de mots : des termes pour une somme ou une différence, des facteurs pour un produit. Dire « les termes du produit $12 \times 5$ » est une erreur de vocabulaire très fréquente.

Définition

Quand une expression contient plusieurs opérations, c'est la dernière opération effectuée qui donne son nom au calcul (la dernière en respectant l'ordre des calculs, que tu vas apprendre dans la section suivante).

Exemple

Comment s'appelle $5 + 3 \times 2$ ? La multiplication est prioritaire : on calcule d'abord $3 \times 2$ , et l'addition est effectuée en dernier. Cette expression est donc une somme : la somme de $5$ et du produit $3 \times 2$ . Ses termes sont $5$ et $3 \times 2$ .

Et $(5 + 3) \times 2$ ? Cette fois, les parenthèses obligent à calculer d'abord $5 + 3$ : la multiplication est effectuée en dernier. Cette expression est donc un produit : le produit de la somme $5 + 3$ par le nombre $2$ . Ses facteurs sont $(5 + 3)$ et $2$ .

Et $20 - 6 \div 2$ ? La division est prioritaire : on calcule d'abord $6 \div 2$ , et la soustraction vient en dernier. C'est donc une différence : la différence entre $20$ et le quotient $6 \div 2$ .

Les priorités opératoires

Que vaut $5 + 3 \times 2$ ? Si on calcule de gauche à droite, on trouve $8 \times 2 = 16$ . Si on commence par la multiplication, on trouve $5 + 6 = 11$ . Deux résultats différents pour le même calcul : impossible ! Il faut une règle commune, et la voici.

Propriété

Dans une expression sans parenthèses :

on effectue d'abord les multiplications et les divisions ;
puis les additions et les soustractions.

Lorsque des opérations ont la même priorité (que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions), on les effectue de gauche à droite.

Exemple

$7 + 3 \times 5 = 7 + 15 = 22$ (et surtout pas $10 \times 5 = 50$ ).
$20 - 8 + 3 = 12 + 3 = 15$ : même priorité, donc de gauche à droite (et non pas $20 - 11 = 9$ ).
$24 \div 4 \times 2 = 6 \times 2 = 12$ : là encore de gauche à droite (et non pas $24 \div 8 = 3$ ).

Propriété

Dans une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. À l'intérieur des parenthèses, les règles de priorité s'appliquent normalement.

Méthode

Calculer $18 - 2 \times (9 - 4) + 6 \div 3$ en détaillant chaque étape. À chaque ligne, on recopie toute l'expression et on souligne l'opération que l'on va effectuer :

\begin{aligned} 18 - 2 \times \underline{(9 - 4)} + 6 \div 3 & = 18 - \underline{2 \times 5} + 6 \div 3 \\ = 18 - 10 + \underline{6 \div 3} \\ = \underline{18 - 10} + 2 \\ = \underline{8 + 2} \\ = 10 \end{aligned}

On commence par la parenthèse : $9 - 4 = 5$ .
Plus de parenthèses : place aux multiplications et divisions. On calcule $2 \times 5 = 10$ …
… puis $6 \div 3 = 2$ .
Il ne reste que des additions et des soustractions : on termine de gauche à droite, $18 - 10 = 8$ puis $8 + 2 = 10$ .

Recopier l'expression entière à chaque ligne peut sembler long, mais c'est ce qui évite les erreurs : on ne perd aucun morceau du calcul en route.

Exemple

Le piège classique : $8 - 2 \times 3$ . L'envie de calculer de gauche à droite est forte… et fausse ! La multiplication est prioritaire :

8 - 2 \times 3 = 8 - 6 = 2.

Calculer $8 - 2 = 6$ puis $6 \times 3 = 18$ donne un résultat très éloigné du bon. Réflexe à adopter : avant de calculer, repérer d'abord les multiplications et les divisions.

Propriété

La barre de fraction joue le rôle de deux paires de parenthèses invisibles : une autour du numérateur (en haut), une autour du dénominateur (en bas). On calcule donc séparément le haut et le bas, puis on effectue la division.

Par exemple :

\frac{15 + 5}{9 - 5} = (15 + 5) \div (9 - 5) = 20 \div 4 = 5.

Sans cette règle, l'écriture $15 + 5 \div 9 - 5$ voudrait dire tout autre chose, car la division y serait prioritaire.

Écrire une seule expression

Savoir calculer, c'est bien ; savoir écrire un calcul, c'est tout aussi important. L'objectif de cette section : traduire une succession d'étapes, ou un problème concret, en une seule expression.

Méthode

Pour traduire un programme de calcul ou un problème en une seule expression :

On repère le nombre de départ et on traduit les étapes dans l'ordre, une par une.
À chaque nouvelle étape, on se demande : si j'écris l'opération telle quelle, les priorités feront-elles le calcul dans le bon ordre ? Si non, on place des parenthèses autour de ce qui doit être calculé d'abord.
On vérifie en calculant l'expression obtenue : on doit retrouver le résultat des étapes faites une à une.

Exemple

Un programme de calcul. « Choisis $8$ ; ajoute $4$ ; multiplie le résultat par $5$ . »

Étape par étape : $8 + 4 = 12$ , puis $12 \times 5 = 60$ .

En une seule expression : il faut que l'addition soit faite avant la multiplication. Sans parenthèses, $8 + 4 \times 5 = 8 + 20 = 28$ : la priorité de la multiplication casse l'ordre voulu. On écrit donc :

(8 + 4) \times 5 = 12 \times 5 = 60.

Un autre programme. « Choisis $7$ ; multiplie-le par $3$ ; ajoute $9$ . » Ici, la multiplication doit être faite en premier… et elle est déjà prioritaire ! Aucune parenthèse n'est nécessaire :

7 \times 3 + 9 = 21 + 9 = 30.

Exemple

Un problème de courses. À la boulangerie, tu achètes $3$ croissants à $1,10$ € l'un et $2$ baguettes à $1,20$ € l'une. Tu paies avec un billet de $10$ €. Combien la boulangère te rend-elle ?

En une seule expression : la monnaie rendue, c'est $10$ € moins le total des achats, qu'il faut donc mettre entre parenthèses :

10 - (3 \times 1,10 + 2 \times 1,20) = 10 - (3,30 + 2,40) = 10 - 5,70 = 4,30.

La boulangère rend $4,30$ €. Remarque : à l'intérieur des parenthèses, les multiplications ont été effectuées avant l'addition, conformément aux priorités.

La distributivité simple

Voici maintenant une propriété très utile pour calculer de tête, en transformant un produit en une somme (ou l'inverse).

Propriété

Pour multiplier une somme par un nombre, on peut multiplier chaque terme de la somme par ce nombre, puis additionner les deux produits obtenus.

Pour multiplier une différence par un nombre, on peut multiplier chaque terme de la différence par ce nombre, puis soustraire les deux produits obtenus.

Par exemple :

12 \times 105 = 12 \times (100 + 5) = 12 \times 100 + 12 \times 5

Cette propriété s'appelle la distributivité (la multiplication « se distribue » sur chaque terme). Elle s'utilise dans les deux sens : transformer un produit en somme s'appelle développer ; regrouper une somme en produit s'appelle factoriser.

Méthode

Développer pour calculer astucieusement. Quand un facteur est proche d'un nombre « rond » ( $100$ , $1 000$ …), on le découpe en une somme ou une différence, puis on distribue :

$12 \times 105$ : on écrit $105 = 100 + 5$ , puis

12 \times 105 = 12 \times 100 + 12 \times 5 = 1 200 + 60 = 1 260.

$8 \times 99$ : on écrit $99 = 100 - 1$ , puis

8 \times 99 = 8 \times (100 - 1) = 8 \times 100 - 8 \times 1 = 800 - 8 = 792.

Factoriser pour regrouper. Quand un même facteur apparaît dans deux produits que l'on additionne (ou soustrait), on le met « en facteur » :

12 \times 7 + 12 \times 3 = 12 \times (7 + 3) = 12 \times 10 = 120.

Le facteur commun est $12$ ; il ne reste plus qu'à additionner $7$ et $3$ … et le calcul devient immédiat.

Exemple

Calculer de tête $25 \times 102$ . On découpe : $102 = 100 + 2$ , donc

25 \times 102 = 25 \times 100 + 25 \times 2 = 2 500 + 50 = 2 550.

Calculer de tête $35 \times 14 - 35 \times 4$ . Le facteur commun est $35$ :

35 \times 14 - 35 \times 4 = 35 \times (14 - 4) = 35 \times 10 = 350.

Sans la factorisation, il aurait fallu poser deux multiplications puis une soustraction !

Diviser par un nombre décimal

Comment diviser par $1,2$ ? Poser une division dont le diviseur a une virgule, personne ne sait faire… et personne n'a besoin de savoir : il existe une astuce pour se ramener à une division par un nombre entier.

Propriété

Un quotient ne change pas lorsqu'on multiplie son dividende et son diviseur par un même nombre (par exemple par $10$ , par $100$ ou par $1 000$ ).

Par exemple, $8 \div 2$ et $80 \div 20$ valent tous les deux $4$ : partager $8$ entre $2$ personnes ou $80$ entre $20$ personnes, c'est la même part pour chacun.

Méthode

Calculer $7,56 \div 1,2$ .

On rend le diviseur entier. Le diviseur $1,2$ a un chiffre après la virgule : on multiplie le dividende et le diviseur par $10$ . Le quotient ne change pas :

7,56 \div 1,2 = 75,6 \div 12.

On pose la division de $75,6$ par $12$ . En $75$ , combien de fois $12$ ? Six fois, car $6 \times 12 = 72$ . On écrit $6$ au quotient et on calcule $75 - 72 = 3$ .
On franchit la virgule du dividende : à cet instant précis, on écrit la virgule au quotient.
On abaisse le chiffre suivant, $6$ : on obtient $36$ . En $36$ , combien de fois $12$ ? Trois fois exactement, car $3 \times 12 = 36$ . On écrit $3$ au quotient et le reste est nul.
Conclusion et vérification : le quotient est $6,3$ , et on contrôle que $6,3 \times 1,2 = 7,56$ . Donc

7,56 \div 1,2 = 6,3.

Si le diviseur avait eu deux chiffres après la virgule (comme $1,25$ ), on aurait multiplié le dividende et le diviseur par $100$ .

Exemple

Le prix au litre. Une bouteille de $1,5$ L de jus de pomme coûte $4,35$ €. Quel est le prix d'un litre ?

Il faut calculer $4,35 \div 1,5$ . On multiplie le dividende et le diviseur par $10$ pour rendre le diviseur entier :

4,35 \div 1,5 = 43,5 \div 15.

On pose la division : en $43$ , combien de fois $15$ ? Deux fois, car $2 \times 15 = 30$ , et il reste $43 - 30 = 13$ . On franchit la virgule (on l'écrit au quotient), on abaisse le $5$ : en $135$ , combien de fois $15$ ? Neuf fois exactement, car $9 \times 15 = 135$ . Le quotient est donc $2,9$ :

4,35 \div 1,5 = 2,9.

Le jus de pomme coûte $2,90$ € le litre. C'est exactement le « prix au litre » affiché en petit sur les étiquettes des magasins, celui qui permet de comparer deux bouteilles de tailles différentes.

Pour la culture : d'où viennent les symboles des opérations ?

Les symboles que tu utilises tous les jours sont bien plus récents que les opérations elles-mêmes : pendant des siècles, on écrivait les calculs en toutes lettres ! Les signes $+$ et $-$ apparaissent dans un livre imprimé à la fin du XVe siècle, chez l'Allemand Johannes Widmann (1489). La croix de multiplication $\times$ est popularisée par l'Anglais William Oughtred en 1631, et le signe de division $\div$ par le Suisse Johann Rahn en 1659. Quant aux priorités opératoires, elles ne sont pas une loi de la nature mais une convention, installée progressivement avec le développement du calcul et fixée dans les manuels scolaires il y a environ un siècle seulement.

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