Tale PCM · Chapitre 06 · Nombres complexes

Nombres complexes : forme exponentielle

STI2D uniquement

Notation exponentielle, formules d'addition et de duplication, linéarisation, transformation de a cos(ωt) + b sin(ωt).

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Notation exponentielle
Formules d'addition et de duplication
Linéarisation
Transformation de a cos(ωt) + b sin(ωt)

En première, vous avez découvert les nombres complexes et leurs deux écritures : la forme algébrique $a + i b$ , idéale pour les sommes et les produits développés, et la forme trigonométrique $r (\cos θ + i \sin θ)$ , qui raconte la géométrie du nombre — sa distance à l'origine et sa direction. Ce chapitre introduit une troisième écriture, la plus compacte et la plus puissante de toutes : la forme exponentielle $r e^{i θ}$ . Ce n'est pas une simple abréviation. En plaçant l'angle en exposant, elle transforme les produits, les quotients et les puissances de nombres complexes en jeux d'exposants, exactement comme pour la fonction exponentielle réelle étudiée en début d'année. Elle livrera en chemin les formules d'addition et de duplication de la trigonométrie, un outil de calcul de primitives, la transformation des signaux sinusoïdaux et l'écriture des transformations géométriques du plan.

Comme celui de première, ce chapitre est réservé à la série STI2D : les élèves de STL ne le traitent pas. Et comme en première, la motivation vient tout droit de l'électricité : en régime sinusoïdal, tensions et intensités se codent par des nombres complexes dont le module porte l'amplitude et l'argument le déphasage — les électriciens notent d'ailleurs $j$ ce que les mathématiciens notent $i$ , pour ne pas confondre avec l'intensité du courant. La forme exponentielle est précisément l'écriture qui rend ces calculs fluides.

De la forme trigonométrique à la notation exponentielle

Rappelons le point d'arrivée de la première : tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit sous forme trigonométrique $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ , où $r = ∣ z ∣$ est son module et $θ = \arg (z)$ un de ses arguments. Dans cette écriture, le facteur $\cos θ + i \sin θ$ concentre toute l'information de direction : c'est un nombre complexe de module $1$ , dont le point image est le point du cercle trigonométrique repéré par l'angle $θ$ .

Ce facteur possède une propriété étonnante. Souvenez-vous de ce qui caractérise la fonction exponentielle réelle : elle transforme les sommes en produits, $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ . Eh bien, on peut démontrer que la quantité $\cos θ + i \sin θ$ fait exactement la même chose avec les angles : additionner deux angles revient à multiplier les quantités correspondantes. Autrement dit, $θ \mapsto \cos θ + i \sin θ$ se comporte en tout point comme une exponentielle. C'est ce qui a conduit le mathématicien Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, à adopter pour elle une notation exponentielle — l'une des notations les plus fécondes de toutes les mathématiques.

Définition

Exponentielle complexe. Pour tout réel $θ$ , on pose

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

Cette notation n'aurait aucun intérêt si elle ne respectait pas les règles de calcul des exponentielles. C'est tout l'inverse : on admet que les propriétés algébriques de l'exponentielle réelle s'étendent à $e^{i θ}$ , et c'est ce qui fait toute sa valeur.

Propriété

Propriété fondamentale (admise). Pour tous réels $θ$ et $θ^{'}$ :

e^{i (θ + θ^{'})} = e^{i θ} \times e^{i θ^{'}}

Plus généralement, les règles de calcul de l'exponentielle réelle restent valables :

e^{- i θ} = \frac{1}{e^{i θ}}, e^{i (θ - θ^{'})} = \frac{e^{i θ}}{e^{i θ^{'}}}, {(e^{i θ})}^{n} = e^{i n θ} (n \in Z)

Prenons le temps de calculer quelques valeurs de $e^{i θ}$ , directement à partir de la définition : il suffit de remplacer $\cos θ$ et $\sin θ$ par leurs valeurs. Ces résultats serviront constamment et méritent d'être connus par cœur.

Propriété

Valeurs remarquables.

$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$- \frac{π}{2}$	$2 π$
$e^{i θ}$	$1$	$i$	$- 1$	$- i$	$1$

En particulier $e^{i \cdot 0} = 1$ (comme $e^{0} = 1$ chez les réels) et $e^{2 i π} = 1$ : ajouter $2 π$ à l'angle, c'est faire un tour complet, donc $e^{i (θ + 2 π)} = e^{i θ}$ pour tout réel $θ$ .

Vérifions par exemple la troisième colonne : $e^{i π} = \cos π + i \sin π = - 1 + i \times 0 = - 1$ . Cette égalité $e^{i π} = - 1$ est l'une des plus célèbres des mathématiques : elle relie en une ligne le nombre $e$ de l'analyse, le nombre $π$ de la géométrie et le nombre $i$ de l'algèbre.

Où vivent les nombres $e^{i θ}$ dans le plan complexe ? La réponse est géométriquement limpide.

Propriété

Module et argument de $e^{i θ}$ . Pour tout réel $θ$ :

∣ e^{i θ} ∣ = 1 et \arg (e^{i θ}) = θ (\overset{ˋ}{a} 2 k π pr \overset{ˋ}{e} s)

Le point image de $e^{i θ}$ est le point du cercle trigonométrique repéré par l'angle $θ$ .

En effet, $∣ e^{i θ} ∣ = \sqrt{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ} = \sqrt{1} = 1$ , et l'écriture $\cos θ + i \sin θ$ est exactement une forme trigonométrique de module $1$ et d'argument $θ$ . La figure ci-dessous rassemble les valeurs remarquables : les quatre points cardinaux du cercle sont les images de $1$ , $i$ , $- 1$ et $- i$ , et un point générique $e^{i θ}$ se promène sur le cercle au gré de l'angle $θ$ .

Le cercle trigonométrique et les valeurs remarquables de l'exponentielle complexe

La forme exponentielle d'un nombre complexe

La nouvelle notation permet de récrire la forme trigonométrique de manière beaucoup plus compacte : dans $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ , la parenthèse est exactement $e^{i θ}$ . Toute l'information sur $z$ tient alors en deux symboles : un module et un angle en exposant.

Définition

Forme exponentielle. Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme

z = r e^{i θ}

où $r = ∣ z ∣ > 0$ est le module de $z$ et $θ = \arg (z)$ un argument de $z$ . Cette écriture est appelée forme exponentielle de $z$ .

Module et argument d'un point du plan complexe

La figure montre la lecture géométrique : le point $M$ d'affixe $z = 1 + i \sqrt{3}$ est à distance $2$ de l'origine, dans la direction d'angle $\frac{π}{3}$ ; sa forme exponentielle est $2 e^{i π / 3}$ . Comme pour la forme trigonométrique, deux précautions s'imposent. D'abord, le coefficient $r$ devant l'exponentielle doit être strictement positif : c'est un module. Une écriture comme $- 2 e^{i π / 3}$ n'est pas une forme exponentielle ; pour la corriger, on absorbe le signe dans l'angle grâce à $- 1 = e^{i π}$ : $- 2 e^{i π / 3} = 2 e^{i π} e^{i π / 3} = 2 e^{i \cdot 4 π / 3}$ . Ensuite, l'argument n'est défini qu'à $2 k π$ près : $r e^{i θ} = r^{'} e^{i θ^{'}}$ (avec $r$ et $r^{'}$ strictement positifs) équivaut à $r = r^{'}$ et $θ^{'} = θ + 2 k π$ pour un entier relatif $k$ .

Le passage entre forme algébrique et forme exponentielle est la capacité centrale du chapitre. La démarche est celle de la première pour la forme trigonométrique — seule la présentation du résultat change.

Méthode

De la forme algébrique à la forme exponentielle. Soit $z = a + i b$ non nul (avec $a$ , $b$ réels).

Calculer le module : $r = ∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .
Chercher un angle $θ$ vérifiant les deux conditions

\cos θ = \frac{a}{r} et \sin θ = \frac{b}{r}

Reconnaître un angle remarquable (tableau des valeurs, cercle trigonométrique, angles associés pour trouver le bon quadrant).
Conclure : $z = r e^{i θ}$ .

Exemple

Forme exponentielle de $z = 1 + i \sqrt{3}$ . Le module vaut $r = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4} = 2$ . On cherche $θ$ tel que :

\cos θ = \frac{1}{2} et \sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}

L'angle $θ = \frac{π}{3}$ convient (valeurs remarquables). D'où :

1 + i \sqrt{3} = 2 e^{i π / 3}

C'est exactement le point $M$ de la figure ci-dessus.

Exemple

Forme exponentielle de $z = \sqrt{3} - i$ . Le module vaut $r = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + (- 1)^{2}} = 2$ . On cherche $θ$ tel que $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin θ = - \frac{1}{2}$ : cosinus positif, sinus négatif, le point est dans le quatrième quadrant, et l'angle $θ = - \frac{π}{6}$ convient. D'où :

\sqrt{3} - i = 2 e^{- i π / 6}

On retrouve, en plus compact, la forme trigonométrique calculée pour ce même nombre en première. Signalons aussi le cas d'un réel strictement négatif : $- 5 = 5 e^{i π}$ , puisque son module est $5$ et son argument $π$ .

Le passage inverse est plus simple : on revient à la définition de $e^{i θ}$ et on développe.

Méthode

De la forme exponentielle à la forme algébrique. Soit $z = r e^{i θ}$ .

Récrire $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ .
Remplacer $\cos θ$ et $\sin θ$ par leurs valeurs exactes (valeurs remarquables, angles associés).
Développer : la partie réelle est $r \cos θ$ , la partie imaginaire est $r \sin θ$ .

Exemple

Retour à la forme algébrique. Soit $z = 4 e^{- i π / 6}$ . Avec les angles associés, $\cos (- \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ . D'où :

z = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i) = 2 \sqrt{3} - 2 i

On lit au passage $Re (z) = 2 \sqrt{3}$ et $Im (z) = - 2$ , et l'on savait d'avance que $∣ z ∣ = 4$ et $\arg (z) = - \frac{π}{6}$ .

Calculer avec la forme exponentielle

Pourquoi introduire une troisième écriture, alors que deux suffisaient à décrire tous les nombres complexes ? Parce que la forme exponentielle est de très loin la meilleure pour multiplier. Sous forme algébrique, un produit exige une double distributivité et un remplacement de $i^{2}$ ; sous forme exponentielle, la propriété fondamentale fait tout le travail : les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent, comme des exposants.

Propriété

Opérations sous forme exponentielle. Soient $z = r e^{i θ}$ et $z^{'} = r^{'} e^{i θ^{'}}$ deux nombres complexes non nuls, et $n$ un entier relatif.

z \times z^{'} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})} \frac{z}{z^{'}} = \frac{r}{r^{'}} e^{i (θ - θ^{'})} \frac{1}{z} = \frac{1}{r} e^{- i θ}

z^{n} = r^{n} e^{i n θ} \overset{ˉ}{z} = r e^{- i θ}

Toutes ces formules découlent de la propriété fondamentale. Par exemple, pour le produit : $z z^{'} = r e^{i θ} \times r^{'} e^{i θ^{'}} = r r^{'} e^{i θ} e^{i θ^{'}} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}$ . Pour le conjugué, on revient à la définition : $\overset{ˉ}{z} = \overline{r (\cos θ + i \sin θ)} = r (\cos θ - i \sin θ) = r (\cos (- θ) + i \sin (- θ)) = r e^{- i θ}$ — géométriquement, la symétrie par rapport à l'axe des réels change l'angle en son opposé, ce que l'on savait depuis la première.

En termes de module et d'argument, ces formules se relisent ainsi : $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣$ (déjà connue), et surtout

\arg (z z^{'}) = \arg (z) + \arg (z^{'}), \arg (\frac{z}{z^{'}}) = \arg (z) - \arg (z^{'}), \arg (z^{n}) = n \arg (z)

toutes ces égalités s'entendant à $2 k π$ près. Retenez la philosophie : multiplier des nombres complexes, c'est additionner leurs arguments. C'est cette conversion des produits en sommes qui fait de la forme exponentielle l'outil roi du chapitre.

Exemple

Produit et quotient. Soient $z = 2 e^{i π / 3}$ et $z^{'} = 3 e^{i π / 6}$ . Alors :

z z^{'} = 2 \times 3 e^{i (π / 3 + π / 6)} = 6 e^{i π / 2} = 6 i et \frac{z}{z^{'}} = \frac{2}{3} e^{i (π / 3 - π / 6)} = \frac{2}{3} e^{i π / 6}

Le produit est un imaginaire pur, ce que la forme exponentielle révèle instantanément ( $\arg = \frac{π}{2}$ ), alors que rien ne le laissait deviner sur les formes algébriques de $z$ et $z^{'}$ .

Exemple

Une puissance sans effort. Calculons $(1 + i)^{8}$ . Développer huit facteurs serait pénible ; passons par la forme exponentielle. On sait que $1 + i = \sqrt{2} e^{i π / 4}$ , donc :

(1 + i)^{8} = {(\sqrt{2})}^{8} e^{i \cdot 8 π / 4} = 16 e^{2 i π} = 16

Un calcul de tête, là où la forme algébrique demandait des développements en cascade. C'est la marche à suivre pour toute puissance : convertir en exponentielle, appliquer $z^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ , reconvertir si besoin.

Formules d'addition et de duplication

La propriété fondamentale $e^{i (a + b)} = e^{i a} e^{i b}$ cache un trésor trigonométrique. Écrivons chacun de ses deux membres sous forme algébrique et comparons. D'une part, par définition :

e^{i (a + b)} = \cos (a + b) + i \sin (a + b)

D'autre part, en développant le produit par double distributivité et en remplaçant $i^{2}$ par $- 1$ :

\begin{aligned} e^{i a} e^{i b} & = (\cos a + i \sin a) (\cos b + i \sin b) \\ = \cos a \cos b + i \cos a \sin b + i \sin a \cos b + i^{2} \sin a \sin b \\ = (\cos a \cos b - \sin a \sin b) + i (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \end{aligned}

Les deux membres sont égaux : par unicité de la forme algébrique (deux nombres complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire), on peut identifier. La partie réelle donne une formule pour $\cos (a + b)$ , la partie imaginaire une formule pour $\sin (a + b)$ . Les versions en $a - b$ s'en déduisent en remplaçant $b$ par $- b$ et en utilisant la parité : $\cos (- b) = \cos b$ et $\sin (- b) = - \sin b$ .

Propriété

Formules d'addition. Pour tous réels $a$ et $b$ :

\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Voilà quatre formules obtenues d'un seul geste — c'est l'un des plus beaux services rendus par les nombres complexes à la trigonométrie. Un moyen mnémotechnique : pour le cosinus, les fonctions restent entre elles ( $\cos \cos$ et $\sin \sin$ ) et le signe s'inverse ; pour le sinus, les fonctions se croisent ( $\sin \cos$ et $\cos \sin$ ) et le signe se conserve.

En prenant $b = a$ dans les formules d'addition, on obtient les formules dites de duplication, qui expriment le cosinus et le sinus de l'angle double $2 a$ .

Propriété

Formules de duplication. Pour tout réel $a$ :

\cos (2 a) = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a

\sin (2 a) = 2 \sin a \cos a

La première forme vient directement de $\cos (a + a) = \cos a \cos a - \sin a \sin a$ . Les deux autres s'en déduisent avec la relation $\cos^{2} a + \sin^{2} a = 1$ : en remplaçant $\sin^{2} a$ par $1 - \cos^{2} a$ , on obtient $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} a - 1$ ; en remplaçant $\cos^{2} a$ par $1 - \sin^{2} a$ , on obtient $\cos (2 a) = 1 - 2 \sin^{2} a$ . Ces trois écritures d'un même résultat ne font pas double emploi : les deux dernières, qui relient $\cos (2 a)$ à un carré, seront le moteur de la linéarisation au paragraphe suivant.

Premier usage classique de ces formules : calculer des valeurs exactes pour des angles qui ne figurent pas dans le tableau des valeurs remarquables, en les écrivant comme somme ou différence d'angles connus.

Exemple

Valeur exacte de $\cos \frac{π}{12}$ . L'angle $\frac{π}{12}$ n'est pas dans le tableau, mais $\frac{π}{12} = \frac{4 π}{12} - \frac{3 π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ . La formule d'addition donne :

\cos \frac{π}{12} = \cos \frac{π}{3} \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

Le même découpage donne $\sin \frac{π}{12} = \sin \frac{π}{3} \cos \frac{π}{4} - \cos \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Exemple

Valeur exacte de $\cos \frac{π}{8}$ par duplication. L'angle $\frac{π}{8}$ est la moitié de $\frac{π}{4}$ : la duplication s'applique avec $a = \frac{π}{8}$ , donc $2 a = \frac{π}{4}$ :

\cos \frac{π}{4} = 2 \cos^{2} \frac{π}{8} - 1 d’o \overset{ˋ}{u} \cos^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}

Comme $\frac{π}{8}$ est dans le premier quadrant, son cosinus est positif : $\cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Linéarisation et primitives

Le chapitre Intégration nous a appris à calculer des intégrales à l'aide de primitives, et la physique nous demandera bientôt d'intégrer des carrés de signaux sinusoïdaux — c'est ainsi que se calcule une puissance électrique moyenne. Or aucune formule de notre catalogue ne donne de primitive de $\cos^{2}$ ou de $\sin^{2}$ . La parade s'appelle linéarisation : remplacer un carré de cosinus ou de sinus par une expression du premier degré en cosinus, que l'on sait primitiver. Les formules de duplication fournissent exactement la conversion cherchée : il suffit d'isoler le carré.

Partons de $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1$ : en isolant $\cos^{2} θ$ , il vient $2 \cos^{2} θ = 1 + \cos (2 θ)$ . De même, $\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ$ donne $2 \sin^{2} θ = 1 - \cos (2 θ)$ .

Propriété

Formules de linéarisation. Pour tout réel $θ$ :

\cos^{2} θ = \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} et \sin^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2}

Le carré a disparu : à droite ne figurent plus qu'une constante et un cosinus de l'angle double. Chacun de ces deux morceaux se primitive avec les formules de première — rappelons que $t \mapsto \frac{1}{ω} \sin (ω t)$ est une primitive de $t \mapsto \cos (ω t)$ .

Propriété

Primitives de $\cos^{2}$ et $\sin^{2}$ . Soit $ω$ un réel non nul. Sur $R$ :

les primitives de $t \mapsto \cos^{2} (ω t)$ sont les fonctions $t \mapsto \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 ω t)}{4 ω} + C$ ;
les primitives de $t \mapsto \sin^{2} (ω t)$ sont les fonctions $t \mapsto \frac{t}{2} - \frac{\sin (2 ω t)}{4 ω} + C$ ;

où $C$ est une constante réelle.

Vérifions la première : la linéarisation donne $\cos^{2} (ω t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (2 ω t)$ . Le terme $\frac{1}{2}$ a pour primitive $\frac{t}{2}$ ; le terme $\frac{1}{2} \cos (2 ω t)$ a pour primitive $\frac{1}{2} \times \frac{\sin (2 ω t)}{2 ω} = \frac{\sin (2 ω t)}{4 ω}$ . La formule pour $\sin^{2}$ s'obtient de la même façon, avec un signe moins.

Voyons ces primitives au travail sur la situation physique annoncée : la puissance dissipée par une résistance vaut $p (t) = \frac{u (t)^{2}}{R}$ , et la puissance moyenne fait donc intervenir la valeur moyenne du carré de la tension sur une période.

Exemple

Valeur moyenne d'un signal au carré. Une tension est modélisée par $u (t) = 5 \cos (100 π t)$ (en volts, $t$ en secondes), de période $T = \frac{2 π}{100 π} = 0,02$ s. Calculons la valeur moyenne de $u (t)^{2}$ sur une période, c'est-à-dire $m = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t$ .

On linéarise : $u (t)^{2} = 25 \cos^{2} (100 π t) = \frac{25}{2} + \frac{25}{2} \cos (200 π t)$ . Une primitive est $F (t) = \frac{25}{2} t + \frac{25}{2} \times \frac{\sin (200 π t)}{200 π}$ , d'où :

\int_{0}^{0,02} u (t)^{2} d t = F (0,02) - F (0) = \frac{25}{2} \times 0,02 + \frac{25 \sin (4 π)}{400 π} - 0 = 0,25

car $\sin (4 π) = 0$ . La valeur moyenne vaut donc $m = \frac{0,25}{0,02} = 12,5 V^{2}$ . Le terme en cosinus s'est intégré à zéro sur la période complète : il ne reste que le terme constant $\frac{25}{2}$ de la linéarisation. C'est un résultat général : la valeur moyenne de $\cos^{2} (ω t)$ sur une période vaut $\frac{1}{2}$ , donc celle de $u^{2}$ vaut la moitié du carré de l'amplitude. En électricité, la racine carrée de cette moyenne est la tension efficace : ici $U_{eff} = \sqrt{12,5} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3,5$ V. C'est exactement le sens du « 230 V » du secteur : la valeur efficace d'une tension sinusoïdale dont l'amplitude vaut en réalité $230 \sqrt{2} \approx 325$ V.

Le signal sinusoïdal : amplitude et phase

Dans un circuit électrique, il arrive constamment que deux tensions sinusoïdales de même fréquence se superposent : la tension résultante est alors une somme de la forme $a \cos (ω t) + b \sin (ω t)$ . Deux termes, deux coefficients… mais un seul signal ? La réponse est oui, et c'est un petit miracle des formules d'addition : cette somme est encore une sinusoïde pure de même pulsation $ω$ , dont on peut calculer l'amplitude et la phase.

L'idée est de partir de la forme cherchée et de la développer. Avec la formule d'addition du cosinus :

A \cos (ω t + φ) = A \cos (ω t) \cos φ - A \sin (ω t) \sin φ

Pour que cette expression coïncide avec $a \cos (ω t) + b \sin (ω t)$ à chaque instant $t$ , il faut et il suffit que les coefficients de $\cos (ω t)$ et de $\sin (ω t)$ soient les mêmes des deux côtés :

A \cos φ = a et A \sin φ = - b

En élevant au carré et en additionnant ces deux égalités, $A^{2} (\cos^{2} φ + \sin^{2} φ) = a^{2} + b^{2}$ , c'est-à-dire $A^{2} = a^{2} + b^{2}$ : l'amplitude est imposée, $A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Propriété

Transformation de $a \cos (ω t) + b \sin (ω t)$ . Soient $a$ et $b$ deux réels non tous deux nuls, et $ω$ un réel non nul. Il existe un réel $φ$ tel que, pour tout réel $t$ :

a \cos (ω t) + b \sin (ω t) = A \cos (ω t + φ)

où $A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $φ$ vérifie $\cos φ = \frac{a}{A}$ et $\sin φ = - \frac{b}{A}$ .

Méthode

Transformer $a \cos (ω t) + b \sin (ω t)$ en $A \cos (ω t + φ)$ .

Calculer l'amplitude : $A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .
Chercher un angle $φ$ vérifiant les deux conditions

\cos φ = \frac{a}{A} et \sin φ = - \frac{b}{A}

(attention au signe moins devant $b$ ) et le reconnaître parmi les angles remarquables. 3. Conclure : $a \cos (ω t) + b \sin (ω t) = A \cos (ω t + φ)$ . 4. Contrôler le résultat en redéveloppant $A \cos (ω t + φ)$ avec la formule d'addition.

Vous reconnaissez la démarche ? C'est, trait pour trait, celle du passage en forme exponentielle : un module à calculer, puis un angle à identifier par son cosinus et son sinus. Ce n'est pas un hasard : le couple $(A; φ)$ est exactement le module et un argument du nombre complexe $a - i b$ . La transformation du signal est un passage en forme exponentielle déguisé — et c'est précisément ainsi que l'électricien associe à chaque signal sinusoïdal un nombre complexe, son amplitude en module et sa phase en argument.

Physiquement, l'écriture $A \cos (ω t + φ)$ est la carte d'identité du signal : $A$ est l'amplitude (la valeur maximale du signal), $φ$ la phase à l'origine (le décalage du signal par rapport au cosinus pur), et $ω$ la pulsation, inchangée. La superposition de deux tensions sinusoïdales de même fréquence reste donc une tension sinusoïdale de cette fréquence : seuls l'amplitude et le déphasage changent.

Exemple

Transformation d'un signal. Transformons $u (t) = \sqrt{3} \cos (100 π t) + \sin (100 π t)$ , superposition de deux signaux de même pulsation $ω = 100 π$ rad/s. Ici $a = \sqrt{3}$ et $b = 1$ .

Amplitude : $A = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4} = 2$ .
On cherche $φ$ tel que $\cos φ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin φ = - \frac{1}{2}$ : l'angle $φ = - \frac{π}{6}$ convient.
Conclusion : $u (t) = 2 \cos (100 π t - \frac{π}{6})$ .
Contrôle : $2 \cos (100 π t - \frac{π}{6}) = 2 \cos (100 π t) \cos \frac{π}{6} + 2 \sin (100 π t) \sin \frac{π}{6} = \sqrt{3} \cos (100 π t) + \sin (100 π t)$ . C'est bien le signal de départ.

La superposition des deux signaux est donc une sinusoïde d'amplitude $2$ et de phase à l'origine $- \frac{π}{6}$ .

La transformation inverse — passer de $A \cos (ω t + φ)$ à la forme développée $a \cos (ω t) + b \sin (ω t)$ — ne demande aucune méthode nouvelle : c'est une simple application de la formule d'addition du cosinus, suivie d'une lecture des coefficients.

Exemple

Développer un signal. Développons $v (t) = 2 \cos (ω t + \frac{π}{4})$ :

v (t) = 2 \cos (ω t) \cos \frac{π}{4} - 2 \sin (ω t) \sin \frac{π}{4} = \sqrt{2} \cos (ω t) - \sqrt{2} \sin (ω t)

On lit $a = \sqrt{2}$ et $b = - \sqrt{2}$ , et l'on contrôle que $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2$ : on retrouve bien l'amplitude.

Équations dans C

Résoudre des équations est la raison d'être historique des nombres complexes : c'est en cherchant les solutions d'équations que Cardan et Bombelli ont accepté de calculer avec des racines carrées de nombres négatifs. Le programme retient deux familles d'équations : celles du premier degré, et celles de la forme $z^{2} = a$ avec $a$ réel — précisément le type d'équation impossible dans $R$ qui a tout déclenché.

Pour le premier degré, aucune théorie nouvelle : dans $C$ comme dans $R$ , on peut ajouter un même nombre aux deux membres et multiplier ou diviser par un nombre non nul. La seule technicité est le quotient final, que l'on met sous forme algébrique avec la méthode de première : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Méthode

Résoudre une équation du premier degré dans $C$ .

Regrouper les termes en $z$ dans un membre, les constantes dans l'autre, pour aboutir à $a z = c$ (avec $a \neq 0$ ).
Diviser : $z = \frac{c}{a}$ .
Mettre le quotient sous forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par $\overset{ˉ}{a}$ .
Vérifier en reportant la solution dans l'équation de départ.

Exemple

Premier degré, cas direct. Résolvons dans $C$ l'équation $(1 + i) z = 4 - 2 i$ . On divise par $1 + i$ (non nul), puis on multiplie par le conjugué $1 - i$ :

z = \frac{4 - 2 i}{1 + i} = \frac{(4 - 2 i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)} = \frac{4 - 4 i - 2 i + 2 i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{2 - 6 i}{2} = 1 - 3 i

Vérification : $(1 + i) (1 - 3 i) = 1 - 3 i + i - 3 i^{2} = 4 - 2 i$ . La solution est $z = 1 - 3 i$ .

Exemple

Premier degré, avec regroupement. Résolvons dans $C$ l'équation $2 z + 1 - i = i z + 3$ . On regroupe les termes en $z$ à gauche et les constantes à droite : $2 z - i z = 3 - 1 + i$ , c'est-à-dire $(2 - i) z = 2 + i$ . D'où :

z = \frac{2 + i}{2 - i} = \frac{(2 + i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} = \frac{4 + 4 i + i^{2}}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{3 + 4 i}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i

Venons-en à l'équation $z^{2} = a$ , pour $a$ réel. Dans $R$ , tout dépendait du signe de $a$ : deux solutions si $a > 0$ , une si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ . Dans $C$ , la troisième ligne du bilan change du tout au tout — et c'est ici que l'ensemble $C$ montre sa force.

Propriété

Équation $z^{2} = a$ , avec $a$ réel. Dans $C$ , l'équation $z^{2} = a$ admet :

si $a > 0$ : deux solutions réelles, $z = \sqrt{a}$ et $z = - \sqrt{a}$ ;
si $a = 0$ : une seule solution, $z = 0$ ;
si $a < 0$ : deux solutions imaginaires pures, $z = i \sqrt{- a}$ et $z = - i \sqrt{- a}$ .

Justifions le cas nouveau, $a < 0$ (notez que $- a > 0$ , donc $\sqrt{- a}$ existe bien). D'abord, $i \sqrt{- a}$ est solution : ${(i \sqrt{- a})}^{2} = i^{2} \times (- a) = a$ , et de même pour son opposé. Ensuite, il n'y en a pas d'autres : grâce à l'identité remarquable,

z^{2} - a = z^{2} - {(i \sqrt{- a})}^{2} = (z - i \sqrt{- a}) (z + i \sqrt{- a})

et un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Ainsi, dans $C$ , toute équation $z^{2} = a$ avec $a$ réel non nul possède exactement deux solutions, opposées l'une de l'autre : réelles quand $a > 0$ , imaginaires pures quand $a < 0$ .

Exemple

Trois équations $z^{2} = a$ .

$z^{2} = 9$ : deux solutions réelles, $z = 3$ et $z = - 3$ (rien de neuf par rapport à la seconde).
$z^{2} = - 4$ : ici $- a = 4$ , d'où deux solutions imaginaires pures, $z = 2 i$ et $z = - 2 i$ . Vérification : $(2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ .
$z^{2} = - 3$ : deux solutions, $z = i \sqrt{3}$ et $z = - i \sqrt{3}$ .

Transformations géométriques et nombres complexes

Le plan complexe, découvert en première, code chaque point par un nombre : toute opération sur les nombres se traduit donc en mouvement des points. Ce dictionnaire entre calcul et géométrie est l'un des grands atouts des nombres complexes : les transformations usuelles du plan — translations, rotations, homothéties — s'écrivent chacune par une formule d'une ligne. Dans toute cette section, une transformation associe à un point $M$ d'affixe $z$ un point image $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ , et l'on cherche l'écriture complexe de la transformation, c'est-à-dire l'expression de $z^{'}$ en fonction de $z$ .

Commençons par la plus simple : la translation, qui fait glisser tous les points d'un même vecteur.

Propriété

Écriture complexe d'une translation. Soit $\vec{w}$ un vecteur d'affixe $b$ . La translation de vecteur $\vec{w}$ transforme le point $M$ d'affixe $z$ en le point $M^{'}$ d'affixe

z^{'} = z + b

La justification tient en une ligne : dire que $M^{'}$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{w}$ , c'est dire que $\vec{M M^{'}} = \vec{w}$ , c'est-à-dire, en passant aux affixes, $z^{'} - z = b$ . Ajouter un nombre complexe, c'est translater : la partie réelle de $b$ pousse horizontalement, sa partie imaginaire pousse verticalement.

Exemple

Une translation. Soit $t$ la translation de vecteur d'affixe $2 + i$ (deux unités vers la droite, une vers le haut). L'image du point $A$ d'affixe $1 + i$ est le point $A^{'}$ d'affixe $z^{'} = (1 + i) + (2 + i) = 3 + 2 i$ .

Passons à l'homothétie de centre $O$ , qui dilate (ou contracte) le plan depuis l'origine : chaque point s'éloigne de $O$ (ou s'en rapproche) le long de la droite $(O M)$ , les distances étant multipliées par le rapport.

Propriété

Écriture complexe d'une homothétie de centre $O$ . Soit $k$ un réel non nul. L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme le point $M$ d'affixe $z$ en le point $M^{'}$ d'affixe

z^{'} = k z

En effet, $M^{'}$ est défini par la relation vectorielle $\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}$ , qui se traduit en affixes par $z^{'} = k z$ . Si $k > 1$ le plan est agrandi, si $0 < k < 1$ il est réduit ; si $k < 0$ , le point image se trouve de l'autre côté de $O$ (le cas $k = - 1$ est la symétrie centrale de centre $O$ , écriture complexe $z^{'} = - z$ ).

Exemple

Une homothétie. Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ . L'image du point $C$ d'affixe $1 - i$ est le point $C^{'}$ d'affixe $z^{'} = 2 (1 - i) = 2 - 2 i$ : le point $C^{'}$ est aligné avec $O$ et $C$ , deux fois plus loin de l'origine.

Reste la rotation de centre $O$ , et c'est ici que la forme exponentielle entre en scène. Multiplier par $e^{i θ}$ , nombre de module $1$ , ne change pas le module mais ajoute $θ$ à l'argument : le point tourne autour de $O$ d'un angle $θ$ , à distance constante. C'est exactement la définition d'une rotation.

Propriété

Écriture complexe d'une rotation de centre $O$ . Soit $θ$ un réel. La rotation de centre $O$ et d'angle $θ$ transforme le point $M$ d'affixe $z$ en le point $M^{'}$ d'affixe

z^{'} = e^{i θ} z

La forme exponentielle rend la justification transparente : si $z = r e^{i α}$ , alors $z^{'} = e^{i θ} \times r e^{i α} = r e^{i (α + θ)}$ . Le module reste $r$ (le point garde sa distance à $O$ ) et l'argument passe de $α$ à $α + θ$ (le point a tourné de l'angle $θ$ ). En particulier, la rotation d'angle $\frac{π}{2}$ (quart de tour direct) s'écrit $z^{'} = e^{i π / 2} z = i z$ : multiplier par $i$ , c'est faire un quart de tour autour de l'origine.

Exemple

Une rotation. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ , d'écriture complexe $z^{'} = i z$ . L'image du point $B$ d'affixe $2 + i$ est le point $B^{'}$ d'affixe $z^{'} = i (2 + i) = 2 i + i^{2} = - 1 + 2 i$ . Contrôle : $∣ 2 + i ∣ = \sqrt{5} = ∣ - 1 + 2 i ∣$ , les deux points sont bien à la même distance de $O$ .

Translation, rotation et homothétie dans le plan complexe

La figure récapitule les trois transformations sur les points des exemples : la translation fait glisser $A$ selon le vecteur d'affixe $2 + i$ , la rotation fait tourner $B$ d'un quart de tour autour de $O$ , l'homothétie double la distance de $C$ à l'origine.

Pour finir, que représente géométriquement $z \mapsto a z$ pour un nombre complexe $a$ quelconque non nul ? Écrivons $a$ sous forme exponentielle : $a = r e^{i θ}$ . Alors $a z = r \times e^{i θ} z$ : la multiplication par $a$ enchaîne une rotation d'angle $θ$ et une homothétie de rapport $r$ , toutes deux de centre $O$ (et l'ordre des deux n'a pas d'importance). Les cas au programme s'y retrouvent : si $a$ est un réel strictement positif, $θ = 0$ et il ne reste que l'homothétie ; si $a$ est un réel strictement négatif, $a = ∣ a ∣ e^{i π}$ et l'on compose l'homothétie de rapport $∣ a ∣$ avec un demi-tour — c'est l'homothétie de rapport $a$ ; si $a$ est de module $1$ , $r = 1$ et il ne reste que la rotation d'angle $\arg (a)$ .

Exemple

Multiplication par $2 i$ . Étudions $z \mapsto 2 i z$ . On écrit $2 i = 2 e^{i π / 2}$ : la transformation est la composée de la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ et de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ . Par exemple, l'image du point d'affixe $1 + i$ est le point d'affixe $2 i (1 + i) = 2 i + 2 i^{2} = - 2 + 2 i$ . Contrôle par les formes exponentielles : $1 + i = \sqrt{2} e^{i π / 4}$ a pour image $2 \sqrt{2} e^{i (π / 4 + π / 2)} = 2 \sqrt{2} e^{i \cdot 3 π / 4}$ — le module a doublé, l'argument a gagné un quart de tour.

Le tour du chapitre est bouclé, et le fil conducteur mérite d'être redit : une notation, $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ , choisie parce qu'elle transforme les sommes d'angles en produits, comme l'exponentielle réelle. De cette seule propriété, tout a découlé : les produits et puissances de nombres complexes réduits à des jeux d'exposants, les formules d'addition et de duplication obtenues en une ligne de calcul, la linéarisation qui ouvre les primitives de $\cos^{2}$ et $\sin^{2}$ , la transformation des signaux $a \cos (ω t) + b \sin (ω t)$ en une seule sinusoïde, et les rotations du plan écrites comme de simples multiplications. C'est ce bagage que l'électricien mobilise chaque fois qu'il remplace un signal sinusoïdal par son nombre complexe associé — avec son $j$ à la place du $i$ . Les exercices vont maintenant faire fonctionner ensemble les passages de forme à forme, le calcul exponentiel, la trigonométrie et la géométrie.

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