Analyse asymptotique

Le chapitre sur les limites répond à une question binaire : la fonction tend-elle vers quelque chose, et vers quoi ? Cette réponse est souvent beaucoup trop grossière. Savoir que $\sin x-x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ ne dit rien de la vitesse à laquelle cette différence s'écrase ; or c'est précisément cette vitesse qui décide de la limite de ${\displaystyle \frac{\sin x-x}{x^3}}$, de la position de la sinusoïde par rapport à sa tangente à l'origine, ou encore du comportement de la suite définie par $u_{n+1}=\sin (u_n)$. L'analyse asymptotique est l'outil qui mesure ces vitesses.

Elle procède en deux temps. D'abord un langage qualitatif : trois relations, la domination $O$, la négligeabilité $o$ et l'équivalence $\sim$, qui permettent de dire « $f$ est du même ordre que $g$ », « $f$ est infiniment plus petite que $g$ », « $f$ se comporte comme $g$ ». Ensuite un outil quantitatif : le développement limité, qui remplace une fonction compliquée par un polynôme au voisinage d'un point, avec un contrôle explicite de l'erreur commise. Le développement limité est à l'ordre $n$ ce que la dérivabilité est à l'ordre $1$ : une approximation polynomiale, de plus en plus fine.

L'enjeu est très concret. Toutes les formes indéterminées du chapitre sur les limites, que l'on levait à la main par des astuces ponctuelles (quantité conjuguée, factorisation, taux d'accroissement), se traitent désormais par une méthode unique : on développe, on simplifie, on lit. Et l'on obtient en prime des informations que la limite seule ne donnait pas : de quel côté la courbe passe, à quelle vitesse une suite converge, quel est le terme correctif du premier ordre.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. La lettre $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point ; $D$ désigne une partie de $\mathbb{R}$ ; la lettre $a$ désigne un élément de $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ adhérent à l'ensemble de départ des fonctions considérées, et les fonctions sont à valeurs réelles. Tout ce qui concerne les limites, la continuité, la dérivabilité, l'égalité des accroissements finis, les fonctions usuelles et les primitives est supposé connu et utilisé librement.

Comparer deux fonctions au voisinage d'un point

Le cadre de travail

Comparer $f$ et $g$ près de $a$, c'est regarder le quotient ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ près de $a$. Encore faut-il que ce quotient existe : c'est le rôle de l'hypothèse suivante, qui sera sous-entendue dans toute la section.

Cette hypothèse est très peu contraignante en pratique : les fonctions de comparaison utilisées sont $x^n$, ${\displaystyle \frac{1}{x^n}}$, $\ln x$, $e^{\gamma x}$, ou des produits de celles-ci, qui ne s'annulent qu'en un point isolé.

Lorsque le point $a$ est clair d'après le contexte, on allège en écrivant $f=O(g)$, $f=o(g)$ et $f\sim g$. L'indice ne doit jamais être omis quand plusieurs points sont en jeu dans le même raisonnement : $x^2=o(x)$ en $0$, mais $x=o\left(x^2\right)$ en $+\mathrm{\infty }$. C'est la même paire de fonctions et la conclusion s'inverse.

Premiers exemples

Les deux visages de l'équivalence

L'écriture ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$ est commode pour vérifier une équivalence ; elle est très maladroite pour s'en servir dans un calcul. La forme suivante, parfaitement équivalente, est celle qu'on utilise pour calculer.

Démonstration. Supposons ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$ en $a$. Alors ${\displaystyle \frac{f}{g}}-1\to 0$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{f-g}{g}}\to 0$, ce qui est exactement la définition de $f-g=o(g)$ en $a$. En ajoutant $g$ des deux côtés, $f=g+o(g)$.

Réciproquement, supposons $f=g+o(g)$, c'est-à-dire $f-g=o(g)$. En divisant par $g$, qui ne s'annule pas au voisinage de $a$ sauf peut-être en $a$, on obtient ${\displaystyle \frac{f-g}{g}}\to 0$, donc ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$. Les deux assertions sont donc équivalentes.

La deuxième forme dit ce qu'est vraiment un équivalent : $g$ est le terme principal de $f$, l'erreur commise en remplaçant $f$ par $g$ étant négligeable devant $g$ elle-même. C'est cette lecture qui rend les équivalents compatibles avec les développements limités : écrire $\sin x\sim x$ en $0$, c'est écrire $\sin x=x+o(x)$, autrement dit le début d'un développement limité.

Lien entre les trois relations

Démonstration. Point 1. Une fonction qui tend vers $0$ est bornée au voisinage de $a$, donc ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 0$ entraîne ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ bornée. La réciproque est fausse : en $0$, ${\displaystyle \frac{x}{x}}=1$ est bornée, donc $x=O(x)$, mais $x$ n'est pas négligeable devant $x$.

Point 2. Si ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$, alors ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ est bornée au voisinage de $a$, donc $f=O(g)$ ; et ${\displaystyle \frac{g}{f}}\to 1$ également (la limite $1$ étant non nulle, on peut passer à l'inverse), donc $g=O(f)$.

Point 3. La première équivalence est le paragraphe 1.3. Pour la seconde, remarquons que ${\displaystyle \frac{f-g}{f}}={\displaystyle \frac{f-g}{g}}\times {\displaystyle \frac{g}{f}}$ ; comme ${\displaystyle \frac{g}{f}}\to 1$, les deux quotients ${\displaystyle \frac{f-g}{g}}$ et ${\displaystyle \frac{f-g}{f}}$ tendent vers $0$ en même temps.

Point 4. La réflexivité vient de ${\displaystyle \frac{f}{f}}=1$. La symétrie vient de ${\displaystyle \frac{g}{f}}={\displaystyle \frac{1}{f\mathrm{/}g}}\to {\displaystyle \frac{1}{1}}=1$. La transitivité vient de ${\displaystyle \frac{f}{h}}={\displaystyle \frac{f}{g}}\times {\displaystyle \frac{g}{h}}\to 1\times 1=1$.

Étude locale en un point $a$ différent de $0$

Les fonctions de comparaison naturelles sont les puissances de $x$ ; elles sont adaptées à une étude en $0$ ou en $\pm \mathrm{\infty }$, pas en un point $a$ quelconque. On se ramène systématiquement en $0$ par une translation.

Croissances comparées, traduites avec le symbole $o$

Les croissances comparées du chapitre sur les fonctions usuelles se réécrivent en une ligne avec le symbole $o$, et sous cette forme elles s'utilisent dans les calculs.

Démonstration. Ce sont exactement les limites de référence établies au chapitre sur les fonctions usuelles, réécrites sous forme de quotients. Pour le point 1, ${\displaystyle \frac{{(\ln x)}^{\beta }}{x^{\alpha }}}={\left({\displaystyle \frac{\ln x}{x^{\alpha \mathrm{/}\beta }}}\right)}^{\beta }\to 0$ et ${\displaystyle \frac{x^{\alpha }}{e^{\gamma x}}}={\left({\displaystyle \frac{x}{e^{\gamma x\mathrm{/}\alpha }}}\right)}^{\alpha }\to 0$. Pour le point 2, on pose $x={\displaystyle \frac{1}{y}}$ avec $y\to +\mathrm{\infty }$ : $x^{\alpha }{\mid \ln x\mid }^{\beta }={\displaystyle \frac{{(\ln y)}^{\beta }}{y^{\alpha }}}\to 0$ d'après le point 1. Le point 3 s'obtient de même en posant $x=-y$.

L'ordre à retenir, en $+\mathrm{\infty }$, est : logarithme, puis puissances, puis exponentielle. Chaque famille écrase la précédente, quels que soient les exposants.

Règles de calcul sur les symboles $o$ et $O$

Démonstration. Toutes ces règles se ramènent à des opérations sur les limites. Montrons les points 1, 3 et 5, les autres étant analogues.

Point 1. Soient ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$ deux fonctions telles que ${\displaystyle \frac{{\phi }_1}{g}}\to 0$ et ${\displaystyle \frac{{\phi }_2}{g}}\to 0$. Alors ${\displaystyle \frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{g}}={\displaystyle \frac{{\phi }_1}{g}}+{\displaystyle \frac{{\phi }_2}{g}}\to 0$, donc ${\phi }_1+{\phi }_2=o(g)$. De même ${\displaystyle \frac{\lambda {\phi }_1}{g}}=\lambda {\displaystyle \frac{{\phi }_1}{g}}\to 0$.

Point 3. Si ${\displaystyle \frac{\phi }{g}}\to 0$, alors ${\displaystyle \frac{h\phi }{hg}}={\displaystyle \frac{\phi }{g}}\to 0$ partout où $h$ ne s'annule pas, donc $h\phi =o(hg)$.

Point 5. Soit $\phi =o\left(\psi \right)$ avec $\psi =O(g)$. Alors ${\displaystyle \frac{\phi }{g}}={\displaystyle \frac{\phi }{\psi }}\times {\displaystyle \frac{\psi }{g}}$ est le produit d'une fonction tendant vers $0$ et d'une fonction bornée, donc tend vers $0$ : $\phi =o(g)$.

Règles de calcul sur les équivalents

Démonstration. Point 1. ${\displaystyle \frac{f_1{f}_2}{g_1{g}_2}}={\displaystyle \frac{f_1}{g_1}}\times {\displaystyle \frac{f_2}{g_2}}\to 1\times 1=1$.

Point 2. ${\displaystyle \frac{f_1\mathrm{/}{f}_2}{g_1\mathrm{/}{g}_2}}={\displaystyle \frac{f_1}{g_1}}\times {\displaystyle \frac{g_2}{f_2}}\to 1\times 1=1$, en utilisant la symétrie de $\sim$.

Point 3. Sur un voisinage où $f>0$ et $g>0$, on peut écrire ${\displaystyle \frac{f^{\alpha }}{g^{\alpha }}}={\left({\displaystyle \frac{f}{g}}\right)}^{\alpha }=\exp (\alpha \ln {\displaystyle \frac{f}{g}})$. Comme ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$, la continuité de $\ln$ en $1$ donne $\ln {\displaystyle \frac{f}{g}}\to 0$, puis la continuité de $\exp$ en $0$ donne $\exp (\alpha \ln {\displaystyle \frac{f}{g}})\to 1$.

Point 4. Cas particulier du point 1 avec la fonction constante $\lambda$.

Point 5. Soit $P(x)=a_p{x}^p+\cdots +a_n{x}^n$ avec $a_n\mathrm{\ne }0$ et $a_p\mathrm{\ne }0$, $p⩽n$. En $+\mathrm{\infty }$, ${\displaystyle \frac{P(x)}{a_n{x}^n}}=1+{\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_{n}x}}+\cdots \to 1$. En $0$, ${\displaystyle \frac{P(x)}{a_p{x}^p}}=1+{\displaystyle \frac{a_{p+1}}{a_p}}x+\cdots \to 1$.

L'exposant du point 3 doit être constant : l'énoncé ne dit rien de $f^u$ lorsque l'exposant $u$ dépend lui aussi de $x$. On traite ce cas en repassant par l'exponentielle, $f^u=e^{u\ln f}$.

Démonstration. Au voisinage de $a$, $f=g\times {\displaystyle \frac{f}{g}}$ avec ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$, donc $f>0$ au voisinage de $a$ et

$$\ln f=\ln g+\ln \frac{f}{g}\mathrm{.}$$

Le terme $\ln {\displaystyle \frac{f}{g}}$ tend vers $0$ par continuité de $\ln$ en $1$. Par ailleurs $\ln g$ tend vers $\ln L$ si $L\in ]0,+\mathrm{\infty }[$, vers $-\mathrm{\infty }$ si $L=0$, vers $+\mathrm{\infty }$ si $L=+\mathrm{\infty }$ ; dans tous les cas, comme $L\mathrm{\ne }1$, la quantité $\mid \ln g\mid$ est minorée par une constante strictement positive au voisinage de $a$. Le quotient

$$\frac{\ln f}{\ln g}=1+\frac{\ln \left(f\mathrm{/}g\right)}{\ln g}$$

tend donc vers $1$, ce qui est la conclusion. L'hypothèse $L\mathrm{\ne }1$ est indispensable : en $+\mathrm{\infty }$, $1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\sim 1+{\displaystyle \frac{2}{x}}$, alors que $\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\sim {\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $\ln (1+{\displaystyle \frac{2}{x}})\sim {\displaystyle \frac{2}{x}}$ ne sont pas équivalents.

Ce que l'équivalence conserve : le signe et la limite

Démonstration. Posons $q={\displaystyle \frac{f}{g}}$, qui tend vers $1$ en $a$. En appliquant la définition de la limite avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$, on obtient un voisinage $V$ de $a$ sur lequel $\mid q(x)-1\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc

$$\frac{1}{2}⩽q(x)⩽\frac{3}{2}\mathrm{.}$$

En particulier $q(x)>0$ sur $V$ (privé éventuellement de $a$). Comme $f(x)=q(x)g(x)$ avec $q(x)>0$ et $g(x)\mathrm{\ne }0$, les réels $f(x)$ et $g(x)$ sont non nuls et de même signe.

Démonstration. Écrivons $f={\displaystyle \frac{f}{g}}\times g$, avec ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$.

Cas $l$ fini. Le produit d'une fonction tendant vers $1$ par une fonction tendant vers $l$ tend vers $1\times l=l$.

Cas $l=+\mathrm{\infty }$. Comme $g\to +\mathrm{\infty }$, on a $g>0$ au voisinage de $a$. Comme ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$, la démonstration précédente fournit un voisinage sur lequel ${\displaystyle \frac{f}{g}}⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $f⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}g$ sur ce voisinage. Soit $M\in \mathbb{R}$ ; il existe un voisinage de $a$ sur lequel $g⩾2M$, donc $f⩾M$. Ainsi $f\to +\mathrm{\infty }$. Le cas $l=-\mathrm{\infty }$ s'obtient en appliquant ce qui précède à $-f$ et $-g$.

Obtenir un équivalent par encadrement

Démonstration. Plaçons-nous sur un voisinage $V$ de $a$ sur lequel les inégalités sont vérifiées et sur lequel $f$ ne s'annule pas (sauf éventuellement en $a$). Pour $x\in V$ avec $x\mathrm{\ne }a$, les inégalités $f(x)⩽g(x)⩽h(x)$ donnent

$$0⩽g(x)-f(x)⩽h(x)-f(x),$$

donc $\mid g(x)-f(x)\mid =g(x)-f(x)⩽h(x)-f(x)=\mid h(x)-f(x)\mid$. En divisant par $\mid f(x)\mid >0$ :

$$\mid \frac{g(x)}{f(x)}-1\mid =\frac{\mid g(x)-f(x)\mid }{\mid f(x)\mid }⩽\frac{\mid h(x)-f(x)\mid }{\mid f(x)\mid }=\mid \frac{h(x)}{f(x)}-1\mid \mathrm{.}$$

Or $h\sim f$ en $a$ signifie ${\displaystyle \frac{h}{f}}\to 1$, donc le membre de droite tend vers $0$. Par le théorème d'encadrement, $\mid {\displaystyle \frac{g}{f}}-1\mid \to 0$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{g}{f}}\to 1$ : $g\sim f$ en $a$.

Les équivalents usuels en $0$

Ils se déduisent tous des limites de référence du chapitre précédent, et se retrouveront en une ligne à partir des développements limités de la section 3.

Dans tout ce tableau, le point de référence est $0$, et l'on suppose $\alpha \mathrm{\ne }0$ au dernier item. Ces équivalents ne servent qu'en $0$ : écrire $\sin x\sim x$ en $+\mathrm{\infty }$ est faux.

Les cinq interdits

Le piège 1 est de loin le plus fréquent. On ne remplace jamais un morceau d'une somme par un équivalent : dans ${\displaystyle \frac{\sin x-x}{x^3}}$ en $0$, remplacer $\sin x$ par $x$ donne $0$, alors que la limite vaut $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Comparaison des suites

Tout ce qui précède s'adapte aux suites : une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$, et le seul point d'étude possible est $+\mathrm{\infty }$. Les définitions sont donc les mêmes, avec « au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ » remplacé par « à partir d'un certain rang ».

Définitions

L'indice « $n\to +\mathrm{\infty }$ » est toujours sous-entendu : il n'y a pas d'ambiguïté possible.

Démonstration. Les démonstrations sont identiques, en remplaçant « il existe un voisinage $V$ de $a$ » par « il existe un rang $N$ » et « pour tout $x\in V$ » par « pour tout $n⩾N$ ». Elles ne sont pas reprises.

Croissances comparées pour les suites

Démonstration. Les deux premières relations sont les croissances comparées du paragraphe 1.6 appliquées à $x=n$, en écrivant $q^n=e^{n\ln q}$ avec $\ln q>0$. Pour la troisième, posons $w_n={\displaystyle \frac{q^n}{n!}}$ ; alors ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{q}{n+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ dès que $n⩾2q$. Par récurrence, à partir d'un rang $N$, $0<w_n⩽{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-N}{w}_N$, et le théorème d'encadrement donne $w_n\to 0$.

Développements limités

L'équivalent donne le terme principal d'une fonction. Le développement limité en donne les premiers termes, avec un contrôle de l'erreur : c'est l'outil qui permet enfin de traiter les sommes.

Définition

Dire que le reste est un $o\left(x^n\right)$, c'est dire qu'il s'écrit $x^n\epsilon (x)$ avec $\epsilon (x)\to 0$ quand $x\to 0$. On rencontre les deux écritures ; la seconde est parfois commode dans les démonstrations.

Unicité des coefficients

Démonstration. Supposons que l'on ait deux écritures

$$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)=\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k+o\left(x^n\right)\mathrm{.}$$

En soustrayant, et en utilisant que la différence de deux $o\left(x^n\right)$ est un $o\left(x^n\right)$, on obtient

$$\sum _{k=0}^n{c}_k{x}^k=o\left(x^n\right)\text{o}\grave{\text{u}}{c}_k=a_k-b_k\mathrm{.}$$

Raisonnons par l'absurde en supposant que les $c_k$ ne sont pas tous nuls, et notons $p$ le plus petit indice tel que $c_p\mathrm{\ne }0$ ; on a $0⩽p⩽n$. La relation s'écrit

$$x^p(c_p+c_{p+1}x+\cdots +c_n{x}^{n-p})=o\left(x^n\right)\mathrm{.}$$

Divisons par $x^p$, ce qui est licite pour $x\mathrm{\ne }0$ : le membre de gauche devient $c_p+c_{p+1}x+\cdots +c_n{x}^{n-p}$, qui tend vers $c_p$ quand $x\to 0$. Le membre de droite devient ${\displaystyle \frac{o\left(x^n\right)}{x^p}}=o\left(x^{n-p}\right)$, qui tend vers $0$ puisque $n-p⩾0$. Par unicité de la limite, $c_p=0$, ce qui contredit le choix de $p$.

Tous les $c_k$ sont donc nuls, c'est-à-dire $a_k=b_k$ pour tout $k$.

Troncature

Démonstration. Écrivons $f(x)={\sum }_{k=0}^m{a}_k{x}^k+{\sum }_{k=m+1}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)$. Pour $m+1⩽k⩽n$, on a $x^k=o\left(x^m\right)$ car $k>m$ ; et $o\left(x^n\right)=o\left(x^m\right)$ car $n⩾m$. La somme de ces termes est donc un $o\left(x^m\right)$, d'où le résultat.

Autrement dit, un développement limité contient tous ceux d'ordre inférieur. C'est l'inverse qui est faux : on ne peut jamais « allonger » un développement limité déjà écrit.

Développement limité en un point $a$ quelconque

Tout se ramène donc au cas $a=0$, et on ne travaille jamais autrement : dès qu'un développement limité est demandé en $a\mathrm{\ne }0$, le premier geste est de poser $x=a+h$.

Parité

Démonstration. Partons de $f(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)$ et remplaçons $x$ par $-x$ : quand $x\to 0$, on a aussi $-x\to 0$, donc

$$f(-x)=\sum _{k=0}^n{a}_k(-x{)}^k+o((-x{)}^n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right),$$

puisque $\mid (-x{)}^n\mid =\mid x^n\mid$, si bien qu'un $o((-x{)}^n)$ est un $o\left(x^n\right)$.

Cas pair. Si $f$ est paire, $f(-x)=f(x)$, et les deux écritures obtenues sont deux développements limités de $f$ à l'ordre $n$ en $0$. Par unicité, $(-1{)}^k{a}_k=a_k$ pour tout $k$, donc $2a_k=0$ dès que $k$ est impair : $a_k=0$.

Cas impair. Si $f$ est impaire, $f(-x)=-f(x)$, donc $\sum (-1{)}^k{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)=\sum (-a_k)x^k+o\left(x^n\right)$. Par unicité, $(-1{)}^k{a}_k=-a_k$, donc $2a_k=0$ dès que $k$ est pair : $a_k=0$.

Ce résultat fait gagner beaucoup de temps : le développement limité de $\cos$, fonction paire, ne contient que des puissances paires, celui de $\sin$ que des puissances impaires. Il améliore aussi le reste gratuitement. Si $f$ est impaire et admet un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_{2p+2}(0)$, ce que la formule de Taylor-Young garantit dès que $f$ est de classe $C^{2p+2}$, alors le coefficient de $x^{2p+2}$ est nul : la partie régulière du ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_{2p+1}(0)$ convient déjà, avec un reste en $o\left(x^{2p+2}\right)$. C'est la raison pour laquelle on écrit $\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+o\left(x^4\right)$ et non $o\left(x^3\right)$.

Les ordres $0$ et $1$ : continuité et dérivabilité

Démonstration. Point 1. Dire que $f(x)=a_0+o(1)$ quand $x\to 0$, c'est dire que $f(x)-a_0\to 0$, c'est-à-dire $f(x)\to a_0$. Si $f$ est définie en $0$ et admet une limite en $0$, cette limite vaut nécessairement $f(0)$ et $f$ est continue en $0$.

Point 2, sens direct. Supposons $f$ dérivable en $0$. Par définition, ${\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}\to f^{\mathrm{\prime }}(0)$ quand $x\to 0$. Posons, pour $x\mathrm{\ne }0$,

$$\epsilon (x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}-f^{\mathrm{\prime }}(0),$$

et $\epsilon (0)=0$ ; alors $\epsilon (x)\to 0$ quand $x\to 0$ et, pour tout $x$ du voisinage,

$$f(x)=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x+x\epsilon (x)=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x+o(x)\mathrm{.}$$

Point 2, sens réciproque. Supposons que $f$ admette un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_1(0)$, soit $f(x)=a_0+a_{1}x+o(x)$. En faisant $x\to 0$, le point 1 donne $a_0=f(0)$ (la troncature à l'ordre $0$ est un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_0$). Alors, pour $x\mathrm{\ne }0$,

$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{a_{1}x+o(x)}{x}=a_1+\frac{o(x)}{x}\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}{a}_1,$$

donc $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a_1$.

Signe d'une fonction au voisinage d'un point

Démonstration. Le développement s'écrit $f(x)=a_p(x-a{)}^p+a_{p+1}(x-a{)}^{p+1}+\cdots +o((x-a{)}^n)$. Tous les termes qui suivent $a_p(x-a{)}^p$ sont négligeables devant $(x-a{)}^p$, donc $f(x)=a_p(x-a{)}^p+o((x-a{)}^p)$, ce qui est exactement l'équivalence annoncée d'après le paragraphe 1.3. La conservation du signe est le paragraphe 1.9.

Concrètement : si $p$ est pair, $f$ garde le signe de $a_p$ des deux côtés de $a$ ; si $p$ est impair, $f$ change de signe en traversant $a$.

La formule de Taylor-Young

Le résultat suivant est le théorème central du chapitre : il garantit qu'une fonction suffisamment régulière possède un développement limité, et il en donne les coefficients.

Démonstration. Par récurrence sur $n$, la propriété $\mathcal{P}(n)$ étant : « pour tout intervalle $I$, tout $a\in I$ et toute fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $I$, la formule ci-dessus est vraie ».

Initialisation ($n=0$). Une fonction de classe ${\mathcal{C}}^0$ est continue, donc $f(a+h)\to f(a)$ quand $h\to 0$, ce qui s'écrit $f(a+h)=f(a)+o(1)$ : c'est bien la formule à l'ordre $0$.

Hérédité. Soit $n⩾1$ ; supposons $\mathcal{P}(n-1)$ vraie et soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $I$, avec $a\in I$. Posons, pour tout $h$ tel que $a+h\in I$,

$$\phi (h)=f(a+h)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{h}^k\mathrm{.}$$

La fonction $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur l'intervalle $J=\{h\in \mathbb{R};a+h\in I\}$, qui contient $0$, et $\phi (0)=0$. Sa dérivée vaut

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(h)=f^{\mathrm{\prime }}(a+h)-\sum _{k=1}^n\frac{f^{(k)}(a)}{(k-1)!}{h}^{k-1}=f^{\mathrm{\prime }}(a+h)-\sum _{j=0}^{n-1}\frac{{\left(f^{\mathrm{\prime }}\right)}^{(j)}(a)}{j!}{h}^j,$$

où l'on a posé $j=k-1$ et utilisé $f^{(j+1)}={\left(f^{\mathrm{\prime }}\right)}^{(j)}$. Or $f^{\mathrm{\prime }}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n-1}$ sur $I$ : l'hypothèse de récurrence appliquée à $f^{\mathrm{\prime }}$ donne exactement

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(h)=o\left(h^{n-1}\right)\text{quand }h\to 0.$$

Il reste à en déduire $\phi (h)=o\left(h^n\right)$. Soit $\epsilon >0$. Il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }t\in J,\mid t\mid ⩽\delta ⟹\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\epsilon {\mid t\mid }^{n-1}\mathrm{.}$$

Soit $h\in J$ avec $0<\mid h\mid ⩽\delta$. La fonction $\phi$ est continue sur le segment d'extrémités $0$ et $h$ et dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant : l'égalité des accroissements finis fournit un réel $c$ strictement compris entre $0$ et $h$ tel que

$$\phi (h)-\phi (0)=h{\phi }^{\mathrm{\prime }}(c)\mathrm{.}$$

Comme $\phi (0)=0$ et $\mid c\mid <\mid h\mid ⩽\delta$, on en déduit

$$\mid \phi (h)\mid =\mid h\mid \mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(c)\mid ⩽\mid h\mid \times \epsilon {\mid c\mid }^{n-1}⩽\epsilon {\mid h\mid }^n\mathrm{.}$$

Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, on a bien $\phi (h)=o\left(h^n\right)$, c'est-à-dire la formule au rang $n$. La récurrence est établie.

Les développements limités usuels en $0$

Ceux-là s'obtiennent tous par Taylor-Young et doivent être connus par cœur. Ils constituent le cœur du chapitre : presque tout calcul de développement limité consiste à les combiner.

Trois remarques sur ce tableau. Les ordres des restes de $\cos$, $\sin$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{Arctan}$ gagnent une unité grâce à la parité (paragraphe 3.5) : le terme suivant est nul. Le développement de $(1+x{)}^{\alpha }$ redonne celui de ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$ pour $\alpha =-1$, et pour $\alpha \in \mathbb{N}$ il redonne la formule du binôme, le reste étant alors nul. Enfin, il faut mémoriser les deux cas particuliers les plus utilisés de $(1+x{)}^{\alpha }$ :

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o\left(x^2\right),\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}+o\left(x^2\right)\mathrm{.}$$

Démonstration du développement de $e^x$. La fonction $\exp$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ et ${\exp }^{(k)}=\exp$, donc ${\exp }^{(k)}(0)=1$ pour tout $k$. Taylor-Young en $0$ à l'ordre $n$ donne le résultat. Les développements de $\cos$, $\sin$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ s'obtiennent de la même façon, à partir des valeurs en $0$ des dérivées successives, qui sont périodiques de période $4$ pour $\cos$ et $\sin$, de période $2$ pour $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$. Celui de ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ a été démontré au paragraphe 3.1 ; celui de ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$ s'en déduit en remplaçant $x$ par $-x$. Ceux de $\ln (1+x)$ et de $\mathrm{Arctan}$ sont obtenus par primitivation au paragraphe 3.14, et celui de $\tan$ par quotient au paragraphe 3.13.

Combinaison linéaire et produit

Démonstration. Point 1. On a $\lambda f+\mu g=\lambda P+\mu Q+\lambda o\left(x^n\right)+\mu o\left(x^n\right)=\lambda P+\mu Q+o\left(x^n\right)$, d'après les règles du paragraphe 1.7.

Point 2. Écrivons $f=P+o\left(x^n\right)$ et $g=Q+o\left(x^n\right)$. En développant,

$$fg=PQ+P\times o\left(x^n\right)+Q\times o\left(x^n\right)+o\left(x^n\right)\times o\left(x^n\right)\mathrm{.}$$

Les fonctions polynomiales $P$ et $Q$ sont bornées au voisinage de $0$, donc $P\times o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right)$ et de même pour $Q$ ; enfin $o\left(x^n\right)\times o\left(x^n\right)=o\left(x^{2n}\right)=o\left(x^n\right)$. Il reste $fg=PQ+o\left(x^n\right)$. Or, en notant $T$ la troncature de $PQ$ à l'ordre $n$, la différence $PQ-T$ ne contient que des monômes de degré au moins $n+1$, donc $PQ-T=o\left(x^n\right)$. Finalement $fg=T+o\left(x^n\right)$.

Factoriser par le terme prépondérant

Certaines fonctions n'admettent pas de développement limité en $0$, parce qu'elles y explosent : ${\displaystyle \frac{\sin x}{x^3}}$, par exemple, tend vers l'infini. On les traite en mettant en facteur la puissance qui gêne.

Composition

Le programme est explicite : aucun résultat général n'est exigible sur la composition. On procède sur des exemples, en appliquant une règle de bon sens.

Quotient

Primitivation d'un développement limité

On ne dérive jamais un développement limité (rien ne garantit que la dérivée en admette un). En revanche, on peut toujours le primitiver, et c'est très utile.

Démonstration. Posons, pour $x\in I$,

$$\phi (x)=f(x)-f(0)-\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}{x}^{k+1}\mathrm{.}$$

La fonction $\phi$ est dérivable sur $I$, vérifie $\phi (0)=0$, et

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=o\left(x^n\right)\text{par hypoth}\grave{\text{e}}\text{se.}$$

Soit $\epsilon >0$. Il existe $\delta >0$ tel que $\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\epsilon {\mid t\mid }^n$ pour tout $t\in I$ vérifiant $\mid t\mid ⩽\delta$. Soit $x\in I$ avec $0<\mid x\mid ⩽\delta$. La fonction $\phi$ étant continue sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ et dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, l'égalité des accroissements finis fournit $c$ strictement compris entre $0$ et $x$ tel que $\phi (x)-\phi (0)=x{\phi }^{\mathrm{\prime }}(c)$. Comme $\mid c\mid <\mid x\mid ⩽\delta$,

$$\mid \phi (x)\mid =\mid x\mid \mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(c)\mid ⩽\mid x\mid \times \epsilon {\mid c\mid }^n⩽\epsilon {\mid x\mid }^{n+1}\mathrm{.}$$

Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, on a $\phi (x)=o\left(x^{n+1}\right)$, ce qui est exactement la conclusion.

Applications à l'étude locale

Limites et équivalents par développement limité

La figure ci-dessus montre ce que gagne chaque ordre. Le polynôme $x$ colle à la sinusoïde sur un tout petit intervalle autour de $0$ ; $x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$ la suit nettement plus longtemps ; $x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^5}{120}}$ plus longtemps encore. Attention toutefois : un développement limité ne dit rien loin de $0$, et tous ces polynômes finissent par s'échapper vers l'infini alors que $\sin$ reste borné.

Tangente et position relative de la courbe

Démonstration. Le point 1 découle du paragraphe 3.6 : la troncature à l'ordre $1$ montre que $f$ est dérivable en $a$ avec $f(a)=a_0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)=a_1$, et l'équation de la tangente est bien $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$. Pour le point 2, la différence $f(x)-(a_0+a_1(x-a))$ a pour développement $a_p(x-a{)}^p+o((x-a{)}^p)$, elle est donc équivalente à $a_p(x-a{)}^p$ (paragraphe 3.7), et la conservation du signe conclut.

Extremum local : les conditions à l'ordre $2$

Le chapitre sur la dérivation a donné une condition nécessaire d'extremum en un point intérieur : la dérivée s'y annule. Cette condition n'est pas suffisante ($x\mapsto x^3$ en $0$). Le développement limité à l'ordre $2$ tranche la question dans presque tous les cas.

Démonstration. La formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$ s'écrit

$$f(a+h)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h+\frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{2}{h}^2+o\left(h^2\right)\mathrm{.}$$

Point 2. Supposons $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)>0$. Le développement devient $f(a+h)-f(a)=h^2({\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{2}}+\epsilon (h))$ avec $\epsilon (h)\to 0$. En appliquant la définition de la limite avec la valeur particulière ${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{4}}>0$, on obtient $\delta >0$ tel que $\mid \epsilon (h)\mid ⩽{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{4}}$ pour $\mid h\mid ⩽\delta$. Quitte à diminuer $\delta$, on peut supposer $[a-\delta ,a+\delta ]\subset I$, ce qui est possible car $a$ est intérieur à $I$. Alors, pour $0<\mid h\mid ⩽\delta$,

$$f(a+h)-f(a)⩾h^2(\frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{2}-\frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{4})=\frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}{4}{h}^2>0.$$

Donc $f(a+h)>f(a)$ pour tout $h$ non nul de module au plus $\delta$ : $f$ admet en $a$ un minimum local strict. Le cas $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)<0$ s'obtient en appliquant ce résultat à $-f$.

Point 1. L'annulation de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est la condition nécessaire connue, valable car $a$ est intérieur à $I$. Supposons $f$ minimale localement en $a$ et raisonnons par l'absurde en supposant $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)<0$. D'après le point 2 appliqué à $-f$, la fonction $f$ admettrait en $a$ un maximum local strict : il existerait $\delta >0$ tel que $f(a+h)<f(a)$ pour tout $h$ non nul avec $\mid h\mid ⩽\delta$. Ceci contredit le minimum local, qui donne $f(a+h)⩾f(a)$ sur un voisinage. Donc $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)⩾0$.

Point 3. Trois exemples en $a=0$ suffisent à montrer que tous les cas se produisent : $x\mapsto x^4$ (minimum strict), $x\mapsto -x^4$ (maximum strict), $x\mapsto x^3$ (ni l'un ni l'autre). Les trois vérifient $f^{\mathrm{\prime }}(0)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$.

Branches infinies et asymptotes

Développements asymptotiques

De quoi s'agit-il

Un développement limité écrit une fonction comme un polynôme plus un reste négligeable. Il arrive que le polynôme ne suffise pas : les exemples du paragraphe 3.11 ont fait apparaître des termes en ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, et les exemples ci-dessous feront apparaître des termes en ${\displaystyle \frac{\ln n}{n}}$ ou ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$.

On parle alors de développement asymptotique : on écrit la quantité étudiée comme une somme de termes explicites, chacun négligeable devant le précédent, plus un reste négligeable devant le dernier terme écrit. Il n'y a pas de théorie générale à connaître ici, seulement une démarche à maîtriser sur des exemples, toujours la même : on obtient un premier terme, on le soustrait, on recommence sur le reste.

Une fonction réciproque

Une suite définie par une équation

Une suite récurrente

L'outil suivant transforme une information sur les accroissements d'une suite en une information sur la suite elle-même. Sa démonstration n'utilise qu'une somme finie et le théorème d'encadrement.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Il existe $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\mid v_{k+1}-v_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $k⩾N$. Pour $n>N$, la somme finie télescopique donne

$$v_n-v_N=\sum _{k=N}^{n-1}(v_{k+1}-v_k),\text{donc}\mid v_n-v_N-(n-N)\mathrm{\ell }\mid ⩽\sum _{k=N}^{n-1}\mid v_{k+1}-v_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽(n-N)\epsilon \mathrm{.}$$

En divisant par $n$ et en isolant :

$$\mid \frac{v_n}{n}-\mathrm{\ell }\mid =\mid \frac{v_N-N\mathrm{\ell }+(v_n-v_N-(n-N)\mathrm{\ell })}{n}\mid ⩽\frac{\mid v_N-N\mathrm{\ell }\mid }{n}+\frac{(n-N)\epsilon }{n}⩽\frac{\mid v_N-N\mathrm{\ell }\mid }{n}+\epsilon \mathrm{.}$$

Le premier terme tend vers $0$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$ ($N$ et $v_N$ sont fixés) : il existe $N^{\mathrm{\prime }}⩾N$ tel qu'il soit inférieur à $\epsilon$ pour $n⩾N^{\mathrm{\prime }}$. Alors $\mid {\displaystyle \frac{v_n}{n}}-\mathrm{\ell }\mid ⩽2\epsilon$ pour $n⩾N^{\mathrm{\prime }}$, ce qui est la définition de ${\displaystyle \frac{v_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$.

Une suite d'intégrales

Récapitulatif

Ce qu'il faut savoir par cœur

À quoi s'ajoutent le développement de $(1+x{)}^{\alpha }$, les équivalents usuels du paragraphe 1.11 et les croissances comparées du paragraphe 1.6.

Les méthodes

Les erreurs à ne pas commettre