PCSI · Chapitre 09 · Second semestre

Analyse asymptotique

Relations de comparaison, développements limités usuels, formule de Taylor-Young, équivalents de suites, asymptotes.

Ce qu'il faut savoir faire

Relations de comparaison
Développements limités usuels
Formule de Taylor-Young
Équivalents de suites
Asymptotes

Le chapitre sur les limites répond à une question binaire : la fonction tend-elle vers quelque chose, et vers quoi ? Cette réponse est souvent beaucoup trop grossière. Savoir que $\sin x - x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ ne dit rien de la vitesse à laquelle cette différence s'écrase ; or c'est précisément cette vitesse qui décide de la limite de $\frac{\sin x - x}{x^{3}}$ , de la position de la sinusoïde par rapport à sa tangente à l'origine, ou encore du comportement de la suite définie par $u_{n + 1} = \sin (u_{n})$ . L'analyse asymptotique est l'outil qui mesure ces vitesses.

Elle procède en deux temps. D'abord un langage qualitatif : trois relations, la domination $O$ , la négligeabilité $o$ et l'équivalence $\sim$ , qui permettent de dire « $f$ est du même ordre que $g$ », « $f$ est infiniment plus petite que $g$ », « $f$ se comporte comme $g$ ». Ensuite un outil quantitatif : le développement limité, qui remplace une fonction compliquée par un polynôme au voisinage d'un point, avec un contrôle explicite de l'erreur commise. Le développement limité est à l'ordre $n$ ce que la dérivabilité est à l'ordre $1$ : une approximation polynomiale, de plus en plus fine.

L'enjeu est très concret. Toutes les formes indéterminées du chapitre sur les limites, que l'on levait à la main par des astuces ponctuelles (quantité conjuguée, factorisation, taux d'accroissement), se traitent désormais par une méthode unique : on développe, on simplifie, on lit. Et l'on obtient en prime des informations que la limite seule ne donnait pas : de quel côté la courbe passe, à quelle vitesse une suite converge, quel est le terme correctif du premier ordre.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. La lettre $I$ désigne un intervalle de $R$ non vide et non réduit à un point ; $D$ désigne une partie de $R$ ; la lettre $a$ désigne un élément de $R \cup {- \infty, + \infty}$ adhérent à l'ensemble de départ des fonctions considérées, et les fonctions sont à valeurs réelles. Tout ce qui concerne les limites, la continuité, la dérivabilité, l'égalité des accroissements finis, les fonctions usuelles et les primitives est supposé connu et utilisé librement.

Comparer deux fonctions au voisinage d'un point

Le cadre de travail

Comparer $f$ et $g$ près de $a$ , c'est regarder le quotient $\frac{f}{g}$ près de $a$ . Encore faut-il que ce quotient existe : c'est le rôle de l'hypothèse suivante, qui sera sous-entendue dans toute la section.

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $D$ de $R$ et $a$ un point adhérent à $D$ . On dit que $g$ ne s'annule pas localement en $a$ lorsque $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ , sauf éventuellement en $a$ lui-même : il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $g (x) \neq 0$ pour tout $x \in D \cap V$ vérifiant $x \neq a$ .

Cette hypothèse est très peu contraignante en pratique : les fonctions de comparaison utilisées sont $x^{n}$ , $\frac{1}{x^{n}}$ , $\ln x$ , $e^{γ x}$ , ou des produits de celles-ci, qui ne s'annulent qu'en un point isolé.

Définition

Soient $f$ et $g$ définies sur $D$ , $a$ adhérent à $D$ , et $g$ ne s'annulant pas localement en $a$ .

Domination. On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ , et on écrit $f (x) \underset{x \to a}{=} O (g (x))$ , lorsque le quotient $\frac{f}{g}$ est borné au voisinage de $a$ : il existe $M ⩾ 0$ et un voisinage $V$ de $a$ tels que $∣ f (x) ∣ ⩽ M ∣ g (x) ∣$ pour tout $x \in D \cap V$ .
Négligeabilité. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ , et on écrit $f (x) \underset{x \to a}{=} o (g (x))$ , lorsque $\frac{f (x)}{g (x)} \underset{x \to a}{⟶} 0$ .
Équivalence. On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ , et on écrit $f (x) \underset{x \to a}{\sim} g (x)$ , lorsque $\frac{f (x)}{g (x)} \underset{x \to a}{⟶} 1$ .

Lorsque le point $a$ est clair d'après le contexte, on allège en écrivant $f = O (g)$ , $f = o (g)$ et $f \sim g$ . L'indice ne doit jamais être omis quand plusieurs points sont en jeu dans le même raisonnement : $x^{2} = o (x)$ en $0$ , mais $x = o (x^{2})$ en $+ \infty$ . C'est la même paire de fonctions et la conclusion s'inverse.

Remarque

Le signe « $=$ » des notations $f = o (g)$ et $f = O (g)$ est un abus d'écriture universel : il ne s'agit pas d'une égalité, mais de l'appartenance de $f$ à un ensemble de fonctions. On lit toujours ces relations de la gauche vers la droite, et on ne les retourne jamais : $x^{3} = o (x^{2})$ en $0$ est correct, $o (x^{2}) = x^{3}$ n'a aucun sens. En particulier, de $f = o (h)$ et $g = o (h)$ on ne déduit surtout pas $f = g$ .

Premiers exemples

Exemple

En $0$ . On a $x^{3} = o (x^{2})$ , car $\frac{x^{3}}{x^{2}} = x \to 0$ . Plus généralement, $x^{m} = o (x^{n})$ dès que $m > n$ : au voisinage de $0$ , plus l'exposant est grand, plus la fonction est petite.

En $+ \infty$ . On a $x^{2} = o (x^{3})$ , car $\frac{x^{2}}{x^{3}} = \frac{1}{x} \to 0$ . Ainsi $x^{n} = o (x^{m})$ dès que $m > n$ : au voisinage de $+ \infty$ , plus l'exposant est grand, plus la fonction est grande. Les deux règles sont exactement opposées, il faut y prendre garde.

Fonctions bornées. Si $f$ est bornée au voisinage de $a$ , alors $f (x) = O (1)$ en $a$ . Ainsi $\sin x = O (1)$ en $+ \infty$ et $x \sin x = O (x)$ en $+ \infty$ . En revanche $x \sin x$ n'est pas équivalente à $x$ en $+ \infty$ , puisque $\frac{x \sin x}{x} = \sin x$ n'a pas de limite.

Un $o$ de $1$ . La relation $f (x) = o (1)$ en $a$ signifie simplement $f (x) \to 0$ . De même $f (x) = O (1)$ en $a$ signifie que $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Une limite finie non nulle. Si $f (x) \to l$ avec $l \in R^{*}$ , alors $f (x) \sim l$ en $a$ (la fonction constante $l$ ). Attention : ceci est faux pour $l = 0$ , comme on le verra au paragraphe 1.12.

Les deux visages de l'équivalence

L'écriture $\frac{f}{g} \to 1$ est commode pour vérifier une équivalence ; elle est très maladroite pour s'en servir dans un calcul. La forme suivante, parfaitement équivalente, est celle qu'on utilise pour calculer.

Propriété

Soient $f$ et $g$ définies sur $D$ , $a$ adhérent à $D$ , et $g$ ne s'annulant pas localement en $a$ . Les deux assertions suivantes sont équivalentes.

$f (x) \underset{x \to a}{\sim} g (x)$ , c'est-à-dire $\frac{f (x)}{g (x)} \to 1$ .
$f (x) = g (x) + o (g (x))$ au voisinage de $a$ .

Démonstration. Supposons $\frac{f}{g} \to 1$ en $a$ . Alors $\frac{f}{g} - 1 \to 0$ , c'est-à-dire $\frac{f - g}{g} \to 0$ , ce qui est exactement la définition de $f - g = o (g)$ en $a$ . En ajoutant $g$ des deux côtés, $f = g + o (g)$ .

Réciproquement, supposons $f = g + o (g)$ , c'est-à-dire $f - g = o (g)$ . En divisant par $g$ , qui ne s'annule pas au voisinage de $a$ sauf peut-être en $a$ , on obtient $\frac{f - g}{g} \to 0$ , donc $\frac{f}{g} \to 1$ . Les deux assertions sont donc équivalentes.

La deuxième forme dit ce qu'est vraiment un équivalent : $g$ est le terme principal de $f$ , l'erreur commise en remplaçant $f$ par $g$ étant négligeable devant $g$ elle-même. C'est cette lecture qui rend les équivalents compatibles avec les développements limités : écrire $\sin x \sim x$ en $0$ , c'est écrire $\sin x = x + o (x)$ , autrement dit le début d'un développement limité.

Lien entre les trois relations

Propriété

Soient $f$ et $g$ comme ci-dessus, au voisinage de $a$ .

Si $f = o (g)$ , alors $f = O (g)$ . La réciproque est fausse.
Si $f \sim g$ , alors $f = O (g)$ et $g = O (f)$ .
$f \sim g$ si et seulement si $f - g = o (g)$ , si et seulement si $f - g = o (f)$ .
La relation $\sim$ en $a$ est réflexive, symétrique et transitive sur l'ensemble des fonctions ne s'annulant pas localement en $a$ .

Démonstration. Point 1. Une fonction qui tend vers $0$ est bornée au voisinage de $a$ , donc $\frac{f}{g} \to 0$ entraîne $\frac{f}{g}$ bornée. La réciproque est fausse : en $0$ , $\frac{x}{x} = 1$ est bornée, donc $x = O (x)$ , mais $x$ n'est pas négligeable devant $x$ .

Point 2. Si $\frac{f}{g} \to 1$ , alors $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$ , donc $f = O (g)$ ; et $\frac{g}{f} \to 1$ également (la limite $1$ étant non nulle, on peut passer à l'inverse), donc $g = O (f)$ .

Point 3. La première équivalence est le paragraphe 1.3. Pour la seconde, remarquons que $\frac{f - g}{f} = \frac{f - g}{g} \times \frac{g}{f}$ ; comme $\frac{g}{f} \to 1$ , les deux quotients $\frac{f - g}{g}$ et $\frac{f - g}{f}$ tendent vers $0$ en même temps.

Point 4. La réflexivité vient de $\frac{f}{f} = 1$ . La symétrie vient de $\frac{g}{f} = \frac{1}{f / g} \to \frac{1}{1} = 1$ . La transitivité vient de $\frac{f}{h} = \frac{f}{g} \times \frac{g}{h} \to 1 \times 1 = 1$ .

Étude locale en un point $a$ différent de $0$

Les fonctions de comparaison naturelles sont les puissances de $x$ ; elles sont adaptées à une étude en $0$ ou en $\pm \infty$ , pas en un point $a$ quelconque. On se ramène systématiquement en $0$ par une translation.

Méthode

Étudier $f$ au voisinage de $a$ réel non nul. On pose $x = a + h$ et l'on étudie la fonction $h \mapsto f (a + h)$ au voisinage de $h = 0$ . Les fonctions de comparaison redeviennent alors $h$ , $h^{2}$ , $h^{3}$ , etc. On revient ensuite à la variable $x$ en remplaçant $h$ par $x - a$ .

Exemple

Cherchons un équivalent de $f (x) = \ln x$ au voisinage de $a = 1$ . On pose $x = 1 + h$ :

f (1 + h) = \ln (1 + h) \underset{h \to 0}{\sim} h .

En revenant à $x$ , on obtient $\ln x \underset{x \to 1}{\sim} x - 1$ .

Remarquons au passage qu'il aurait été catastrophique d'écrire $\ln x \sim \ln 1 = 0$ : un équivalent nul n'a aucun sens, comme on le verra au paragraphe 1.12.

Croissances comparées, traduites avec le symbole $o$

Les croissances comparées du chapitre sur les fonctions usuelles se réécrivent en une ligne avec le symbole $o$ , et sous cette forme elles s'utilisent dans les calculs.

Propriété

Croissances comparées. Soient $α > 0$ , $β > 0$ et $γ > 0$ .

En $+ \infty$ : ${(\ln x)}^{β} = o (x^{α})$ et $x^{α} = o (e^{γ x})$ .
En $0^{+}$ : ${∣ \ln x ∣}^{β} = o (\frac{1}{x^{α}})$ , ce qui s'écrit aussi $x^{α} {∣ \ln x ∣}^{β} \underset{x \to 0^{+}}{⟶} 0$ .
En $- \infty$ : $e^{γ x} = o (\frac{1}{{∣ x ∣}^{α}})$ , ce qui s'écrit aussi ${∣ x ∣}^{α} e^{γ x} \underset{x \to - \infty}{⟶} 0$ .

Démonstration. Ce sont exactement les limites de référence établies au chapitre sur les fonctions usuelles, réécrites sous forme de quotients. Pour le point 1, $\frac{{(\ln x)}^{β}}{x^{α}} = {(\frac{\ln x}{x^{α / β}})}^{β} \to 0$ et $\frac{x^{α}}{e^{γ x}} = {(\frac{x}{e^{γ x / α}})}^{α} \to 0$ . Pour le point 2, on pose $x = \frac{1}{y}$ avec $y \to + \infty$ : $x^{α} {∣ \ln x ∣}^{β} = \frac{{(\ln y)}^{β}}{y^{α}} \to 0$ d'après le point 1. Le point 3 s'obtient de même en posant $x = - y$ .

L'ordre à retenir, en $+ \infty$ , est : logarithme, puis puissances, puis exponentielle. Chaque famille écrase la précédente, quels que soient les exposants.

Exemple

En $+ \infty$ : $x^{100} = o (e^{x / 1000})$ , et ${(\ln x)}^{2026} = o (x^{0,001})$ . Aucune puissance de $\ln$ , si grande soit-elle, ne rattrape la plus petite puissance positive de $x$ .

Conséquence pratique : un équivalent d'une somme de termes de croissances différentes est le terme dominant. Par exemple, en $+ \infty$ ,

e^{x} + x^{5} + \ln x \sim e^{x}, 3 x^{2} - 7 x + \ln x \sim 3 x^{2} .

Règles de calcul sur les symboles $o$ et $O$

Propriété

Toutes les relations ci-dessous sont écrites au voisinage d'un même point $a$ , et se lisent de la gauche vers la droite. Les lettres $f$ , $g$ , $h$ désignent des fonctions et $λ$ un réel.

$o (g) + o (g) = o (g)$ et $λ o (g) = o (g)$ ; de même pour $O$ .
$o (λ g) = o (g)$ pour $λ \neq 0$ ; de même pour $O$ .
$h \times o (g) = o (h g)$ et $h \times O (g) = O (h g)$ .
Si $f_{1} = o (g_{1})$ et $f_{2} = o (g_{2})$ , alors $f_{1} f_{2} = o (g_{1} g_{2})$ .
$o (o (g)) = o (g)$ , $o (O (g)) = o (g)$ , $O (o (g)) = o (g)$ et $O (O (g)) = O (g)$ .
Si $f = o (g)$ et $g = o (h)$ , alors $f = o (h)$ (transitivité) ; idem pour $O$ .
Si $f \sim g$ , alors $o (f) = o (g)$ et $O (f) = O (g)$ .

Démonstration. Toutes ces règles se ramènent à des opérations sur les limites. Montrons les points 1, 3 et 5, les autres étant analogues.

Point 1. Soient $φ_{1}$ et $φ_{2}$ deux fonctions telles que $\frac{φ_{1}}{g} \to 0$ et $\frac{φ_{2}}{g} \to 0$ . Alors $\frac{φ_{1} + φ_{2}}{g} = \frac{φ_{1}}{g} + \frac{φ_{2}}{g} \to 0$ , donc $φ_{1} + φ_{2} = o (g)$ . De même $\frac{λ φ_{1}}{g} = λ \frac{φ_{1}}{g} \to 0$ .

Point 3. Si $\frac{φ}{g} \to 0$ , alors $\frac{h φ}{h g} = \frac{φ}{g} \to 0$ partout où $h$ ne s'annule pas, donc $h φ = o (h g)$ .

Point 5. Soit $φ = o (ψ)$ avec $ψ = O (g)$ . Alors $\frac{φ}{g} = \frac{φ}{ψ} \times \frac{ψ}{g}$ est le produit d'une fonction tendant vers $0$ et d'une fonction bornée, donc tend vers $0$ : $φ = o (g)$ .

Remarque

Le point 1 est celui qui surprend le plus : la somme de deux $o (g)$ est un $o (g)$ , et non un « $2 o (g)$ ». C'est cohérent, puisque $o (g)$ ne désigne pas une fonction précise mais n'importe quelle fonction négligeable devant $g$ . Dans un calcul, on écrit sans hésiter

3 o (x^{2}) - 5 o (x^{2}) + x o (x) = o (x^{2}) .

Règles de calcul sur les équivalents

Propriété

Au voisinage d'un même point $a$ , et pour des fonctions ne s'annulant pas localement en $a$ :

Produit. Si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ , alors $f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}$ .
Quotient. Si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ , alors $\frac{f_{1}}{f_{2}} \sim \frac{g_{1}}{g_{2}}$ .
Puissance d'exposant constant. Si $f \sim g$ et si $f$ et $g$ sont strictement positives au voisinage de $a$ , alors $f^{α} \sim g^{α}$ pour tout réel $α$ fixé.
Multiplication par une constante. Si $f \sim g$ et $λ \neq 0$ , alors $λ f \sim λ g$ .
Fonctions polynomiales. Une fonction polynomiale non nulle est équivalente, en $\pm \infty$ , à son terme de plus haut degré, et en $0$ à son terme non nul de plus bas degré.

Démonstration. Point 1. $\frac{f_{1} f_{2}}{g_{1} g_{2}} = \frac{f_{1}}{g_{1}} \times \frac{f_{2}}{g_{2}} \to 1 \times 1 = 1$ .

Point 2. $\frac{f_{1} / f_{2}}{g_{1} / g_{2}} = \frac{f_{1}}{g_{1}} \times \frac{g_{2}}{f_{2}} \to 1 \times 1 = 1$ , en utilisant la symétrie de $\sim$ .

Point 3. Sur un voisinage où $f > 0$ et $g > 0$ , on peut écrire $\frac{f^{α}}{g^{α}} = {(\frac{f}{g})}^{α} = \exp (α \ln \frac{f}{g})$ . Comme $\frac{f}{g} \to 1$ , la continuité de $\ln$ en $1$ donne $\ln \frac{f}{g} \to 0$ , puis la continuité de $\exp$ en $0$ donne $\exp (α \ln \frac{f}{g}) \to 1$ .

Point 4. Cas particulier du point 1 avec la fonction constante $λ$ .

Point 5. Soit $P (x) = a_{p} x^{p} + \dots + a_{n} x^{n}$ avec $a_{n} \neq 0$ et $a_{p} \neq 0$ , $p ⩽ n$ . En $+ \infty$ , $\frac{P (x)}{a_{n} x^{n}} = 1 + \frac{a_{n - 1}}{a_{n} x} + \dots \to 1$ . En $0$ , $\frac{P (x)}{a_{p} x^{p}} = 1 + \frac{a_{p + 1}}{a_{p}} x + \dots \to 1$ .

L'exposant du point 3 doit être constant : l'énoncé ne dit rien de $f^{u}$ lorsque l'exposant $u$ dépend lui aussi de $x$ . On traite ce cas en repassant par l'exponentielle, $f^{u} = e^{u \ln f}$ .

Propriété

Passage au logarithme. Soient $f \sim g$ en $a$ , avec $g > 0$ au voisinage de $a$ . Si $g$ admet en $a$ une limite $L \in [0, + \infty]$ avec $L \neq 1$ , alors $\ln f \sim \ln g$ en $a$ .

Démonstration. Au voisinage de $a$ , $f = g \times \frac{f}{g}$ avec $\frac{f}{g} \to 1$ , donc $f > 0$ au voisinage de $a$ et

\ln f = \ln g + \ln \frac{f}{g} .

Le terme $\ln \frac{f}{g}$ tend vers $0$ par continuité de $\ln$ en $1$ . Par ailleurs $\ln g$ tend vers $\ln L$ si $L \in] 0, + \infty [$ , vers $- \infty$ si $L = 0$ , vers $+ \infty$ si $L = + \infty$ ; dans tous les cas, comme $L \neq 1$ , la quantité $∣ \ln g ∣$ est minorée par une constante strictement positive au voisinage de $a$ . Le quotient

\frac{\ln f}{\ln g} = 1 + \frac{\ln (f / g)}{\ln g}

tend donc vers $1$ , ce qui est la conclusion. L'hypothèse $L \neq 1$ est indispensable : en $+ \infty$ , $1 + \frac{1}{x} \sim 1 + \frac{2}{x}$ , alors que $\ln (1 + \frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$ et $\ln (1 + \frac{2}{x}) \sim \frac{2}{x}$ ne sont pas équivalents.

Ce que l'équivalence conserve : le signe et la limite

Propriété

Conservation du signe. Soient $f \sim g$ en $a$ . Alors $f$ et $g$ ont le même signe au voisinage de $a$ : il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que, pour tout $x \in D \cap V$ avec $x \neq a$ , les réels $f (x)$ et $g (x)$ soient non nuls et de même signe.

Démonstration. Posons $q = \frac{f}{g}$ , qui tend vers $1$ en $a$ . En appliquant la définition de la limite avec $ε = \frac{1}{2}$ , on obtient un voisinage $V$ de $a$ sur lequel $∣ q (x) - 1 ∣ ⩽ \frac{1}{2}$ , donc

\frac{1}{2} ⩽ q (x) ⩽ \frac{3}{2} .

En particulier $q (x) > 0$ sur $V$ (privé éventuellement de $a$ ). Comme $f (x) = q (x) g (x)$ avec $q (x) > 0$ et $g (x) \neq 0$ , les réels $f (x)$ et $g (x)$ sont non nuls et de même signe.

Propriété

Conservation de la limite. Soient $f \sim g$ en $a$ et $l \in R \cup {- \infty, + \infty}$ . Si $g (x) \to l$ quand $x \to a$ , alors $f (x) \to l$ .

Démonstration. Écrivons $f = \frac{f}{g} \times g$ , avec $\frac{f}{g} \to 1$ .

Cas $l$ fini. Le produit d'une fonction tendant vers $1$ par une fonction tendant vers $l$ tend vers $1 \times l = l$ .

Cas $l = + \infty$ . Comme $g \to + \infty$ , on a $g > 0$ au voisinage de $a$ . Comme $\frac{f}{g} \to 1$ , la démonstration précédente fournit un voisinage sur lequel $\frac{f}{g} ⩾ \frac{1}{2}$ , donc $f ⩾ \frac{1}{2} g$ sur ce voisinage. Soit $M \in R$ ; il existe un voisinage de $a$ sur lequel $g ⩾ 2 M$ , donc $f ⩾ M$ . Ainsi $f \to + \infty$ . Le cas $l = - \infty$ s'obtient en appliquant ce qui précède à $- f$ et $- g$ .

Remarque

La réciproque est fausse, et c'est tout l'intérêt de la notion : deux fonctions peuvent avoir la même limite sans être équivalentes. En $+ \infty$ , $x$ et $x^{2}$ tendent toutes deux vers $+ \infty$ , et pourtant $\frac{x}{x^{2}} \to 0$ : elles ne sont pas équivalentes, elles n'ont pas la même vitesse. L'équivalence est strictement plus fine que l'égalité des limites.

Méthode

Calculer une limite par équivalent. Pour lever une forme indéterminée, on remplace chaque facteur de l'expression par un équivalent plus simple, puis on lit la limite du résultat. On ne remplace jamais un terme d'une somme.

Exemple

Calculons $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \ln (1 + x)}{x (1 - \cos x)}$ .

Au numérateur : $\sin (3 x) \sim 3 x$ et $\ln (1 + x) \sim x$ , donc le numérateur est équivalent à $3 x^{2}$ (règle du produit). Au dénominateur : $1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ , donc le dénominateur est équivalent à $\frac{x^{3}}{2}$ . Par la règle du quotient,

\frac{\sin (3 x) \ln (1 + x)}{x (1 - \cos x)} \underset{x \to 0}{\sim} \frac{3 x^{2}}{x^{3} / 2} = \frac{6}{x} .

Comme $\frac{6}{x} \to + \infty$ quand $x \to 0^{+}$ , la conservation de la limite donne une limite égale à $+ \infty$ à droite de $0$ , et à $- \infty$ à gauche.

Obtenir un équivalent par encadrement

Propriété

Équivalent par encadrement. Soient $f$ , $g$ , $h$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ , avec $f$ ne s'annulant pas localement en $a$ . On suppose que

f (x) ⩽ g (x) ⩽ h (x) au voisinage de a, et h (x) \underset{x \to a}{\sim} f (x) .

Alors $g (x) \underset{x \to a}{\sim} f (x)$ .

Démonstration. Plaçons-nous sur un voisinage $V$ de $a$ sur lequel les inégalités sont vérifiées et sur lequel $f$ ne s'annule pas (sauf éventuellement en $a$ ). Pour $x \in V$ avec $x \neq a$ , les inégalités $f (x) ⩽ g (x) ⩽ h (x)$ donnent

0 ⩽ g (x) - f (x) ⩽ h (x) - f (x),

donc $∣ g (x) - f (x) ∣ = g (x) - f (x) ⩽ h (x) - f (x) = ∣ h (x) - f (x) ∣$ . En divisant par $∣ f (x) ∣ > 0$ :

∣ \frac{g (x)}{f (x)} - 1 ∣ = \frac{∣ g (x) - f (x) ∣}{∣ f (x) ∣} ⩽ \frac{∣ h (x) - f (x) ∣}{∣ f (x) ∣} = ∣ \frac{h (x)}{f (x)} - 1 ∣ .

Or $h \sim f$ en $a$ signifie $\frac{h}{f} \to 1$ , donc le membre de droite tend vers $0$ . Par le théorème d'encadrement, $∣ \frac{g}{f} - 1 ∣ \to 0$ , c'est-à-dire $\frac{g}{f} \to 1$ : $g \sim f$ en $a$ .

Exemple

Soit $g$ la fonction définie sur $R$ par $g (x) = x + \sin x$ ; cherchons un équivalent de $g$ en $+ \infty$ .

Pour tout réel $x$ , on a $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ , donc

x - 1 ⩽ g (x) ⩽ x + 1.

Or $x + 1 \underset{x \to + \infty}{\sim} x - 1$ (leur quotient $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{1 + 1 / x}{1 - 1 / x}$ tend vers $1$ ). Le théorème s'applique : $g (x) \sim x - 1$ , et par transitivité $g (x) \underset{x \to + \infty}{\sim} x$ .

Remarque

L'hypothèse $h \sim f$ est essentielle : un simple encadrement ne suffit jamais. En $+ \infty$ , $x ⩽ x + x ∣ \sin x ∣ ⩽ 2 x$ , mais $2 x$ n'est pas équivalente à $x$ , et de fait $x + x ∣ \sin x ∣$ n'admet pas d'équivalent simple.

Les équivalents usuels en $0$

Ils se déduisent tous des limites de référence du chapitre précédent, et se retrouveront en une ligne à partir des développements limités de la section 3.

a. $\sin x \sim x$

b. $\tan x \sim x$

c. $Arctan x \sim x$

d. $sh x \sim x$

e. $1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$

f. $ch x - 1 \sim \frac{x^{2}}{2}$

g. $e^{x} - 1 \sim x$

h. $\ln (1 + x) \sim x$

i. $(1 + x)^{α} - 1 \sim α x$

Dans tout ce tableau, le point de référence est $0$ , et l'on suppose $α \neq 0$ au dernier item. Ces équivalents ne servent qu'en $0$ : écrire $\sin x \sim x$ en $+ \infty$ est faux.

Méthode

Adapter un équivalent usuel. Tous ces équivalents restent valables lorsque $x$ est remplacé par n'importe quelle expression $u (x)$ qui tend vers $0$ . Par exemple, en $+ \infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ donc

\sin (\frac{1}{x}) \underset{x \to + \infty}{\sim} \frac{1}{x}, \ln (1 + \frac{3}{x^{2}}) \underset{x \to + \infty}{\sim} \frac{3}{x^{2}}, e^{1 / x} - 1 \underset{x \to + \infty}{\sim} \frac{1}{x} .

Il faut impérativement vérifier que l'argument tend vers $0$ avant d'appliquer la règle.

Les cinq interdits

Propriété

Les cinq pièges classiques des équivalents. Chacun a coûté des points à des générations d'élèves.

On n'additionne pas les équivalents. En $+ \infty$ , $x + x^{2} \sim x^{2}$ et $- x^{2} \sim - x^{2}$ , mais la somme $x$ n'est pas équivalente à $x^{2} - x^{2} = 0$ . Face à une somme, on développe (section 3) au lieu de remplacer.
On ne compose pas un équivalent par $\exp$ . En $+ \infty$ , $x + 1 \sim x$ , mais $e^{x + 1} = e \times e^{x}$ n'est pas équivalent à $e^{x}$ : le quotient vaut $e \neq 1$ .
On ne compose pas un équivalent par $\ln$ sans vérifier les hypothèses du paragraphe 1.8. En $+ \infty$ , $1 + \frac{1}{x} \sim 1 + \frac{2}{x}$ , mais $\ln (1 + \frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$ et $\ln (1 + \frac{2}{x}) \sim \frac{2}{x}$ ne sont pas équivalents.
On ne dérive pas un équivalent. En $+ \infty$ , $x + \sin x \sim x$ , mais $1 + \cos x$ n'a pas de limite : ce n'est pas équivalent à $1$ . De même, on ne primitive pas un équivalent.
On n'écrit jamais $f \sim 0$ . La relation $f \sim 0$ exigerait $\frac{f}{0} \to 1$ , ce qui n'a pas de sens ; et si l'on convenait de l'écrire $f - 0 = o (0)$ , cela forcerait $f$ à être identiquement nulle au voisinage de $a$ . Un équivalent est un terme principal : il n'est jamais nul. De la même façon, on n'écrit jamais $f \sim \pm \infty$ .

Le piège 1 est de loin le plus fréquent. On ne remplace jamais un morceau d'une somme par un équivalent : dans $\frac{\sin x - x}{x^{3}}$ en $0$ , remplacer $\sin x$ par $x$ donne $0$ , alors que la limite vaut $- \frac{1}{6}$ .

Comparaison des suites

Tout ce qui précède s'adapte aux suites : une suite est une fonction définie sur $N$ , et le seul point d'étude possible est $+ \infty$ . Les définitions sont donc les mêmes, avec « au voisinage de $+ \infty$ » remplacé par « à partir d'un certain rang ».

Définitions

Définition

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles, avec $v_{n} \neq 0$ à partir d'un certain rang.

$u_{n} = O (v_{n})$ lorsque la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est bornée à partir d'un certain rang, c'est-à-dire lorsqu'il existe $M ⩾ 0$ et $N \in N$ tels que $∣ u_{n} ∣ ⩽ M ∣ v_{n} ∣$ pour tout $n ⩾ N$ .
$u_{n} = o (v_{n})$ lorsque $\frac{u_{n}}{v_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0$ .
$u_{n} \sim v_{n}$ lorsque $\frac{u_{n}}{v_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1$ .

L'indice « $n \to + \infty$ » est toujours sous-entendu : il n'y a pas d'ambiguïté possible.

Propriété

Tous les résultats de la section 1 se transposent mot pour mot aux suites :

$u_{n} \sim v_{n}$ si et seulement si $u_{n} = v_{n} + o (v_{n})$ ;
$\sim$ est réflexive, symétrique, transitive ; elle est compatible avec le produit, le quotient et les puissances d'exposant constant, jamais avec la somme ;
deux suites équivalentes ont le même signe à partir d'un certain rang, et la même limite (finie ou infinie) ;
équivalent par encadrement : si $u_{n} ⩽ w_{n} ⩽ t_{n}$ à partir d'un certain rang et si $t_{n} \sim u_{n}$ , alors $w_{n} \sim u_{n}$ ;
les cinq interdits du paragraphe 1.12 restent des interdits.

Démonstration. Les démonstrations sont identiques, en remplaçant « il existe un voisinage $V$ de $a$ » par « il existe un rang $N$ » et « pour tout $x \in V$ » par « pour tout $n ⩾ N$ ». Elles ne sont pas reprises.

Croissances comparées pour les suites

Propriété

Soient $α > 0$ , $β > 0$ , $q > 1$ . Quand $n \to + \infty$ :

{(\ln n)}^{β} = o (n^{α}), n^{α} = o (q^{n}), q^{n} = o (n!) .

Démonstration. Les deux premières relations sont les croissances comparées du paragraphe 1.6 appliquées à $x = n$ , en écrivant $q^{n} = e^{n \ln q}$ avec $\ln q > 0$ . Pour la troisième, posons $w_{n} = \frac{q^{n}}{n!}$ ; alors $\frac{w_{n + 1}}{w_{n}} = \frac{q}{n + 1} ⩽ \frac{1}{2}$ dès que $n ⩾ 2 q$ . Par récurrence, à partir d'un rang $N$ , $0 < w_{n} ⩽ {(\frac{1}{2})}^{n - N} w_{N}$ , et le théorème d'encadrement donne $w_{n} \to 0$ .

Exemple

Suite polynomiale. $\frac{3 n^{3} - 5 n + 1}{2 n^{3} + n^{2}} \sim \frac{3 n^{3}}{2 n^{3}} = \frac{3}{2}$ , donc la suite converge vers $\frac{3}{2}$ .

Argument tendant vers $0$ . Comme $\frac{1}{n} \to 0$ , on a $\sin (\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$ et $\ln (1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$ . Par conséquent

n \ln (1 + \frac{1}{n}) ⟶ 1, donc {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} ⟶ e .

Noter le passage obligé par l'exponentielle : l'exposant $n$ n'est pas constant, la règle sur les puissances ne s'applique pas directement.

Somme dominée. $2^{n} + n^{10} + {(\ln n)}^{3} \sim 2^{n}$ , d'après les croissances comparées.

Développements limités

L'équivalent donne le terme principal d'une fonction. Le développement limité en donne les premiers termes, avec un contrôle de l'erreur : c'est l'outil qui permet enfin de traiter les sommes.

Définition

Soient $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ (sauf peut-être en $0$ ) et $n \in N$ . On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ , en abrégé ${D L}_{n} (0)$ , lorsqu'il existe des réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) quand x \to 0.

Le polynôme $P (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ s'appelle la partie régulière du développement, et le terme $o (x^{n})$ le reste.

Dire que le reste est un $o (x^{n})$ , c'est dire qu'il s'écrit $x^{n} ε (x)$ avec $ε (x) \to 0$ quand $x \to 0$ . On rencontre les deux écritures ; la seconde est parfois commode dans les démonstrations.

Exemple

La fonction $x \mapsto \frac{1}{1 - x}$ admet un ${D L}_{n} (0)$ pour tout $n$ . En effet, l'identité de la somme géométrique donne, pour $x \neq 1$ ,

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \dots + x^{n} + \frac{x^{n + 1}}{1 - x},

et le dernier terme vaut $x^{n} \times \frac{x}{1 - x}$ avec $\frac{x}{1 - x} \to 0$ : c'est bien un $o (x^{n})$ . Ainsi

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n}) .

Ce calcul, entièrement élémentaire, sert de point de départ à beaucoup d'autres.

Unicité des coefficients

Propriété

Unicité. Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ , alors sa partie régulière est unique : les coefficients $a_{0}, \dots, a_{n}$ sont entièrement déterminés par $f$ et par $n$ .

Démonstration. Supposons que l'on ait deux écritures

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n}) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} x^{k} + o (x^{n}) .

En soustrayant, et en utilisant que la différence de deux $o (x^{n})$ est un $o (x^{n})$ , on obtient

\sum_{k = 0}^{n} c_{k} x^{k} = o (x^{n}) où c_{k} = a_{k} - b_{k} .

Raisonnons par l'absurde en supposant que les $c_{k}$ ne sont pas tous nuls, et notons $p$ le plus petit indice tel que $c_{p} \neq 0$ ; on a $0 ⩽ p ⩽ n$ . La relation s'écrit

x^{p} (c_{p} + c_{p + 1} x + \dots + c_{n} x^{n - p}) = o (x^{n}) .

Divisons par $x^{p}$ , ce qui est licite pour $x \neq 0$ : le membre de gauche devient $c_{p} + c_{p + 1} x + \dots + c_{n} x^{n - p}$ , qui tend vers $c_{p}$ quand $x \to 0$ . Le membre de droite devient $\frac{o (x^{n})}{x^{p}} = o (x^{n - p})$ , qui tend vers $0$ puisque $n - p ⩾ 0$ . Par unicité de la limite, $c_{p} = 0$ , ce qui contredit le choix de $p$ .

Tous les $c_{k}$ sont donc nuls, c'est-à-dire $a_{k} = b_{k}$ pour tout $k$ .

Remarque

Cette unicité est ce qui rend la notion utilisable : peu importe la méthode employée pour obtenir un développement limité (formule de Taylor-Young, produit, composition, primitivation, astuce ad hoc), on trouvera toujours les mêmes coefficients. C'est aussi elle qui autorise le raisonnement par identification.

Troncature

Propriété

Troncature. Si $f$ admet un ${D L}_{n} (0)$ de partie régulière $P$ , alors pour tout entier $m$ tel que $0 ⩽ m ⩽ n$ , $f$ admet un ${D L}_{m} (0)$ , dont la partie régulière est le polynôme $P$ tronqué à l'ordre $m$ , c'est-à-dire la somme de ses termes de degré au plus $m$ .

Démonstration. Écrivons $f (x) = \sum_{k = 0}^{m} a_{k} x^{k} + \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ . Pour $m + 1 ⩽ k ⩽ n$ , on a $x^{k} = o (x^{m})$ car $k > m$ ; et $o (x^{n}) = o (x^{m})$ car $n ⩾ m$ . La somme de ces termes est donc un $o (x^{m})$ , d'où le résultat.

Autrement dit, un développement limité contient tous ceux d'ordre inférieur. C'est l'inverse qui est faux : on ne peut jamais « allonger » un développement limité déjà écrit.

Développement limité en un point $a$ quelconque

Définition

Soient $f$ définie au voisinage de $a \in R$ (sauf peut-être en $a$ ) et $n \in N$ . On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ lorsque la fonction $h \mapsto f (a + h)$ admet un ${D L}_{n} (0)$ , c'est-à-dire lorsqu'il existe des réels $a_{0}, \dots, a_{n}$ tels que

f (a + h) = a_{0} + a_{1} h + \dots + a_{n} h^{n} + o (h^{n}) quand h \to 0,

ce qui s'écrit aussi, en revenant à la variable $x = a + h$ ,

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} (x - a)^{n} + o ((x - a)^{n}) quand x \to a .

Tout se ramène donc au cas $a = 0$ , et on ne travaille jamais autrement : dès qu'un développement limité est demandé en $a \neq 0$ , le premier geste est de poser $x = a + h$ .

Exemple

Développement limité de $f (x) = \frac{1}{x}$ à l'ordre $3$ en $a = 2$ . On pose $x = 2 + h$ :

\frac{1}{2 + h} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 + \frac{h}{2}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{h}{2} + \frac{h^{2}}{4} - \frac{h^{3}}{8} + o (h^{3})) = \frac{1}{2} - \frac{h}{4} + \frac{h^{2}}{8} - \frac{h^{3}}{16} + o (h^{3}),

en utilisant $\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^{2} - u^{3} + o (u^{3})$ avec $u = \frac{h}{2} \to 0$ . En revenant à $x$ :

\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{x - 2}{4} + \frac{(x - 2)^{2}}{8} - \frac{(x - 2)^{3}}{16} + o ((x - 2)^{3}) .

Parité

Propriété

Soit $f$ définie sur un voisinage de $0$ symétrique par rapport à $0$ , admettant un ${D L}_{n} (0)$ de partie régulière $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ .

Si $f$ est paire, alors $a_{k} = 0$ pour tout $k$ impair.
Si $f$ est impaire, alors $a_{k} = 0$ pour tout $k$ pair.

Démonstration. Partons de $f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ et remplaçons $x$ par $- x$ : quand $x \to 0$ , on a aussi $- x \to 0$ , donc

f (- x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (- x)^{k} + o ((- x)^{n}) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} a_{k} x^{k} + o (x^{n}),

puisque $∣ (- x)^{n} ∣ = ∣ x^{n} ∣$ , si bien qu'un $o ((- x)^{n})$ est un $o (x^{n})$ .

Cas pair. Si $f$ est paire, $f (- x) = f (x)$ , et les deux écritures obtenues sont deux développements limités de $f$ à l'ordre $n$ en $0$ . Par unicité, $(- 1)^{k} a_{k} = a_{k}$ pour tout $k$ , donc $2 a_{k} = 0$ dès que $k$ est impair : $a_{k} = 0$ .

Cas impair. Si $f$ est impaire, $f (- x) = - f (x)$ , donc $\sum (- 1)^{k} a_{k} x^{k} + o (x^{n}) = \sum (- a_{k}) x^{k} + o (x^{n})$ . Par unicité, $(- 1)^{k} a_{k} = - a_{k}$ , donc $2 a_{k} = 0$ dès que $k$ est pair : $a_{k} = 0$ .

Ce résultat fait gagner beaucoup de temps : le développement limité de $\cos$ , fonction paire, ne contient que des puissances paires, celui de $\sin$ que des puissances impaires. Il améliore aussi le reste gratuitement. Si $f$ est impaire et admet un ${D L}_{2 p + 2} (0)$ , ce que la formule de Taylor-Young garantit dès que $f$ est de classe $C^{2 p + 2}$ , alors le coefficient de $x^{2 p + 2}$ est nul : la partie régulière du ${D L}_{2 p + 1} (0)$ convient déjà, avec un reste en $o (x^{2 p + 2})$ . C'est la raison pour laquelle on écrit $\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4})$ et non $o (x^{3})$ .

Remarque

Attention au sens de ce gain : la parité seule ne crée jamais un développement d'ordre supérieur, il faut savoir par ailleurs qu'il existe. La fonction paire $x \mapsto x^{2} + ∣ x ∣^{3}$ admet le ${D L}_{2} (0)$ $x^{2} + o (x^{2})$ , mais aucun ${D L}_{3} (0)$ : le quotient $\frac{∣ x ∣^{3}}{x^{3}}$ vaut $1$ pour $x > 0$ et $- 1$ pour $x < 0$ , il n'a pas de limite en $0$ .

Les ordres $0$ et $1$ : continuité et dérivabilité

Propriété

Soit $f$ définie au voisinage de $0$ (sauf peut-être en $0$ ).

$f$ admet un ${D L}_{0} (0)$ si et seulement si $f$ admet une limite finie en $0$ , et l'on a alors $a_{0} = \lim_{x \to 0} f (x)$ . Si $f$ est définie en $0$ , cela équivaut à la continuité de $f$ en $0$ , avec $a_{0} = f (0)$ .
Si $f$ est définie en $0$ : $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $f$ admet un ${D L}_{1} (0)$ , et ce développement est alors

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + o (x) .

Démonstration. Point 1. Dire que $f (x) = a_{0} + o (1)$ quand $x \to 0$ , c'est dire que $f (x) - a_{0} \to 0$ , c'est-à-dire $f (x) \to a_{0}$ . Si $f$ est définie en $0$ et admet une limite en $0$ , cette limite vaut nécessairement $f (0)$ et $f$ est continue en $0$ .

Point 2, sens direct. Supposons $f$ dérivable en $0$ . Par définition, $\frac{f (x) - f (0)}{x} \to f^{'} (0)$ quand $x \to 0$ . Posons, pour $x \neq 0$ ,

ε (x) = \frac{f (x) - f (0)}{x} - f^{'} (0),

et $ε (0) = 0$ ; alors $ε (x) \to 0$ quand $x \to 0$ et, pour tout $x$ du voisinage,

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + x ε (x) = f (0) + f^{'} (0) x + o (x) .

Point 2, sens réciproque. Supposons que $f$ admette un ${D L}_{1} (0)$ , soit $f (x) = a_{0} + a_{1} x + o (x)$ . En faisant $x \to 0$ , le point 1 donne $a_{0} = f (0)$ (la troncature à l'ordre $0$ est un ${D L}_{0}$ ). Alors, pour $x \neq 0$ ,

\frac{f (x) - f (0)}{x} = \frac{a_{1} x + o (x)}{x} = a_{1} + \frac{o (x)}{x} \to_{x \to 0}^{} a_{1},

donc $f$ est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = a_{1}$ .

Remarque

Le résultat s'arrête à l'ordre $1$ . L'existence d'un ${D L}_{2} (0)$ n'entraîne pas que $f$ soit deux fois dérivable en $0$ . Considérons

f (x) = x^{3} \sin (\frac{1}{x}) pour x \neq 0, f (0) = 0.

Comme $∣ f (x) ∣ ⩽ {∣ x ∣}^{3}$ , on a $f (x) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + o (x^{2})$ : $f$ admet un ${D L}_{2} (0)$ . Pourtant $f^{'} (x) = 3 x^{2} \sin (\frac{1}{x}) - x \cos (\frac{1}{x})$ pour $x \neq 0$ et $f^{'} (0) = 0$ , et le taux d'accroissement

\frac{f^{'} (x) - f^{'} (0)}{x} = 3 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})

n'a pas de limite en $0$ : $f^{''} (0)$ n'existe pas. Un développement limité est une information locale d'approximation, pas une information de régularité.

Signe d'une fonction au voisinage d'un point

Propriété

Soit $f$ admettant en $a$ un développement limité dont la partie régulière n'est pas nulle. En notant $a_{p} (x - a)^{p}$ son terme non nul de plus bas degré, on a

f (x) \underset{x \to a}{\sim} a_{p} (x - a)^{p},

et par conservation du signe, $f (x)$ a le signe de $a_{p} (x - a)^{p}$ au voisinage de $a$ (privé de $a$ ).

Démonstration. Le développement s'écrit $f (x) = a_{p} (x - a)^{p} + a_{p + 1} (x - a)^{p + 1} + \dots + o ((x - a)^{n})$ . Tous les termes qui suivent $a_{p} (x - a)^{p}$ sont négligeables devant $(x - a)^{p}$ , donc $f (x) = a_{p} (x - a)^{p} + o ((x - a)^{p})$ , ce qui est exactement l'équivalence annoncée d'après le paragraphe 1.3. La conservation du signe est le paragraphe 1.9.

Concrètement : si $p$ est pair, $f$ garde le signe de $a_{p}$ des deux côtés de $a$ ; si $p$ est impair, $f$ change de signe en traversant $a$ .

La formule de Taylor-Young

Le résultat suivant est le théorème central du chapitre : il garantit qu'une fonction suffisamment régulière possède un développement limité, et il en donne les coefficients.

Propriété

Formule de Taylor-Young. Soient $I$ un intervalle, $a \in I$ , $n \in N$ et $f : I \to R$ une fonction de classe $C^{n}$ sur $I$ . Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ , donné par

f (a + h) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} h^{k} + o (h^{n}) quand h \to 0.

Démonstration. Par récurrence sur $n$ , la propriété $P (n)$ étant : « pour tout intervalle $I$ , tout $a \in I$ et toute fonction $f$ de classe $C^{n}$ sur $I$ , la formule ci-dessus est vraie ».

Initialisation ( $n = 0$ ). Une fonction de classe $C^{0}$ est continue, donc $f (a + h) \to f (a)$ quand $h \to 0$ , ce qui s'écrit $f (a + h) = f (a) + o (1)$ : c'est bien la formule à l'ordre $0$ .

Hérédité. Soit $n ⩾ 1$ ; supposons $P (n - 1)$ vraie et soit $f$ de classe $C^{n}$ sur $I$ , avec $a \in I$ . Posons, pour tout $h$ tel que $a + h \in I$ ,

φ (h) = f (a + h) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} h^{k} .

La fonction $φ$ est de classe $C^{n}$ sur l'intervalle $J = {h \in R; a + h \in I}$ , qui contient $0$ , et $φ (0) = 0$ . Sa dérivée vaut

φ^{'} (h) = f^{'} (a + h) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{(k - 1)!} h^{k - 1} = f^{'} (a + h) - \sum_{j = 0}^{n - 1} \frac{{(f^{'})}^{(j)} (a)}{j!} h^{j},

où l'on a posé $j = k - 1$ et utilisé $f^{(j + 1)} = {(f^{'})}^{(j)}$ . Or $f^{'}$ est de classe $C^{n - 1}$ sur $I$ : l'hypothèse de récurrence appliquée à $f^{'}$ donne exactement

φ^{'} (h) = o (h^{n - 1}) quand h \to 0.

Il reste à en déduire $φ (h) = o (h^{n})$ . Soit $ε > 0$ . Il existe $δ > 0$ tel que

\forall t \in J, ∣ t ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ φ^{'} (t) ∣ ⩽ ε {∣ t ∣}^{n - 1} .

Soit $h \in J$ avec $0 < ∣ h ∣ ⩽ δ$ . La fonction $φ$ est continue sur le segment d'extrémités $0$ et $h$ et dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant : l'égalité des accroissements finis fournit un réel $c$ strictement compris entre $0$ et $h$ tel que

φ (h) - φ (0) = h φ^{'} (c) .

Comme $φ (0) = 0$ et $∣ c ∣ < ∣ h ∣ ⩽ δ$ , on en déduit

∣ φ (h) ∣ = ∣ h ∣ ∣ φ^{'} (c) ∣ ⩽ ∣ h ∣ \times ε {∣ c ∣}^{n - 1} ⩽ ε {∣ h ∣}^{n} .

Ceci valant pour tout $ε > 0$ , on a bien $φ (h) = o (h^{n})$ , c'est-à-dire la formule au rang $n$ . La récurrence est établie.

Remarque

Deux lectures de cette formule, également importantes.

D'une part, elle produit des développements limités : il suffit de savoir dériver $n$ fois. D'autre part, elle se lit à l'envers : si l'on connaît le développement limité d'une fonction de classe $C^{n}$ par un autre moyen, alors l'unicité des coefficients donne $f^{(k)} (a) = k! a_{k}$ . C'est souvent la façon la plus rapide de calculer une dérivée $n$ -ième en un point.

Enfin, la formule est purement locale : elle ne dit rien de l'écart entre $f$ et son polynôme de Taylor loin de $a$ , seulement que cet écart est négligeable devant $h^{n}$ quand $h$ tend vers $0$ .

Les développements limités usuels en $0$

Ceux-là s'obtiennent tous par Taylor-Young et doivent être connus par cœur. Ils constituent le cœur du chapitre : presque tout calcul de développement limité consiste à les combiner.

Fonction	Développement limité en $0$
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})$
$ch x$	$1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots + \frac{x^{2 p}}{(2 p)!} + o (x^{2 p + 1})$
$sh x$	$x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + \frac{x^{2 p + 1}}{(2 p + 1)!} + o (x^{2 p + 2})$
$\cos x$	$1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p}}{(2 p)!} + o (x^{2 p + 1})$
$\sin x$	$x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p + 1}}{(2 p + 1)!} + o (x^{2 p + 2})$
$\tan x$	$x + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{4})$
$\ln (1 + x)$	$x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 - x}$	$1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 + x}$	$1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n})$
$(1 + x)^{α}$	$1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})$
$Arctan x$	$x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2})$

Trois remarques sur ce tableau. Les ordres des restes de $\cos$ , $\sin$ , $ch$ , $sh$ et $Arctan$ gagnent une unité grâce à la parité (paragraphe 3.5) : le terme suivant est nul. Le développement de $(1 + x)^{α}$ redonne celui de $\frac{1}{1 + x}$ pour $α = - 1$ , et pour $α \in N$ il redonne la formule du binôme, le reste étant alors nul. Enfin, il faut mémoriser les deux cas particuliers les plus utilisés de $(1 + x)^{α}$ :

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + o (x^{2}), \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3 x^{2}}{8} + o (x^{2}) .

Démonstration du développement de $e^{x}$ . La fonction $\exp$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et $\exp^{(k)} = \exp$ , donc $\exp^{(k)} (0) = 1$ pour tout $k$ . Taylor-Young en $0$ à l'ordre $n$ donne le résultat. Les développements de $\cos$ , $\sin$ , $ch$ , $sh$ s'obtiennent de la même façon, à partir des valeurs en $0$ des dérivées successives, qui sont périodiques de période $4$ pour $\cos$ et $\sin$ , de période $2$ pour $ch$ et $sh$ . Celui de $\frac{1}{1 - x}$ a été démontré au paragraphe 3.1 ; celui de $\frac{1}{1 + x}$ s'en déduit en remplaçant $x$ par $- x$ . Ceux de $\ln (1 + x)$ et de $Arctan$ sont obtenus par primitivation au paragraphe 3.14, et celui de $\tan$ par quotient au paragraphe 3.13.

Combinaison linéaire et produit

Propriété

Soient $f$ et $g$ admettant des ${D L}_{n} (0)$ de parties régulières respectives $P$ et $Q$ , et $λ, μ$ deux réels.

Combinaison linéaire. $λ f + μ g$ admet un ${D L}_{n} (0)$ de partie régulière $λ P + μ Q$ .
Produit. $f g$ admet un ${D L}_{n} (0)$ de partie régulière la troncature à l'ordre $n$ du produit $P Q$ , c'est-à-dire la somme des termes de $P Q$ de degré au plus $n$ .

Démonstration. Point 1. On a $λ f + μ g = λ P + μ Q + λ o (x^{n}) + μ o (x^{n}) = λ P + μ Q + o (x^{n})$ , d'après les règles du paragraphe 1.7.

Point 2. Écrivons $f = P + o (x^{n})$ et $g = Q + o (x^{n})$ . En développant,

f g = P Q + P \times o (x^{n}) + Q \times o (x^{n}) + o (x^{n}) \times o (x^{n}) .

Les fonctions polynomiales $P$ et $Q$ sont bornées au voisinage de $0$ , donc $P \times o (x^{n}) = o (x^{n})$ et de même pour $Q$ ; enfin $o (x^{n}) \times o (x^{n}) = o (x^{2 n}) = o (x^{n})$ . Il reste $f g = P Q + o (x^{n})$ . Or, en notant $T$ la troncature de $P Q$ à l'ordre $n$ , la différence $P Q - T$ ne contient que des monômes de degré au moins $n + 1$ , donc $P Q - T = o (x^{n})$ . Finalement $f g = T + o (x^{n})$ .

Méthode

Prévoir l'ordre dans un produit. Puisque tous les termes de degré supérieur à $n$ finiront à la poubelle, on ne les calcule pas. Dans un produit $f g$ à l'ordre $n$ :

si $f$ et $g$ ont un terme constant non nul, on développe chaque facteur à l'ordre $n$ ;
si $f$ commence par un terme $x^{p}$ (c'est-à-dire $f = x^{p} \times \tilde{f}$ avec $\tilde{f} (0) \neq 0$ ), il suffit de développer $g$ à l'ordre $n - p$ : la multiplication par $x^{p}$ décale tout de $p$ crans ;
dans le calcul du produit des parties régulières, on n'écrit que les monômes de degré au plus $n$ .

Exemple

Développement limité de $f (x) = e^{x} \cos x$ à l'ordre $3$ en $0$ .

Les deux facteurs ont un terme constant non nul : on développe chacun à l'ordre $3$ .

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o (x^{3}), \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3}) .

Le produit des parties régulières, en ne gardant que les degrés au plus $3$ , donne

1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{2} = 1 + x + 0 \cdot x^{2} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}) x^{3} = 1 + x - \frac{x^{3}}{3} .

D'où $e^{x} \cos x = 1 + x - \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})$ .

Exemple

Développement limité de $g (x) = x^{2} \ln (1 + x)$ à l'ordre $5$ en $0$ .

Le facteur $x^{2}$ décale de $2$ : il suffit de développer $\ln (1 + x)$ à l'ordre $3$ .

g (x) = x^{2} (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})) = x^{3} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{5}}{3} + o (x^{5}) .

Développer $\ln (1 + x)$ à l'ordre $5$ aurait été un pur gaspillage.

Factoriser par le terme prépondérant

Certaines fonctions n'admettent pas de développement limité en $0$ , parce qu'elles y explosent : $\frac{\sin x}{x^{3}}$ , par exemple, tend vers l'infini. On les traite en mettant en facteur la puissance qui gêne.

Méthode

Factoriser par le terme prépondérant. Face à une expression qui n'est pas bornée en $0$ (ou dont on ne connaît pas l'ordre de grandeur), on écrit $f (x) = x^{p} g (x)$ où $p \in Z$ est choisi pour que $g$ ait une limite finie non nulle en $0$ , puis on développe $g$ . Pour obtenir $f$ à la précision voulue, on développe $g$ à l'ordre diminué de $p$ . Acquis depuis : terminale spé.

La même méthode s'applique en $+ \infty$ en factorisant par le terme dominant, ce qui ramène la variable à $\frac{1}{x} \to 0$ .

Exemple

Cherchons le comportement de $f (x) = \frac{\sin x}{x^{3}}$ au voisinage de $0$ .

On factorise : $f (x) = \frac{1}{x^{2}} \times \frac{\sin x}{x}$ . Le facteur $\frac{\sin x}{x}$ tend vers $1$ ; développons-le à l'ordre $2$ :

\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4})) = 1 - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3}) .

Donc

f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{6} + o (x) .

Cette écriture, qui n'est pas un développement limité (à cause du terme $\frac{1}{x^{2}}$ ), donne pourtant toute l'information : $f (x) \sim \frac{1}{x^{2}}$ en $0$ , et $f (x) - \frac{1}{x^{2}} \to - \frac{1}{6}$ .

Exemple

Comportement de $f (x) = \sqrt{x^{2} + x + 1}$ en $+ \infty$ . On factorise par $x$ , qui est le terme dominant sous la racine, en prenant garde à $\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣ = x$ pour $x > 0$ :

f (x) = x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} .

Posons $u = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ , qui tend vers $0$ ; alors $u^{2} = \frac{1}{x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}})$ et

\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^{2}}{8} + o (u^{2}) = 1 + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{8 x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}}) = 1 + \frac{1}{2 x} + \frac{3}{8 x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}}) .

En multipliant par $x$ :

f (x) = x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8 x} + o (\frac{1}{x}) .

On lit d'un coup que $f (x) \sim x$ , et que la droite d'équation $y = x + \frac{1}{2}$ est asymptote à la courbe en $+ \infty$ , la courbe étant au-dessus puisque $f (x) - (x + \frac{1}{2}) \sim \frac{3}{8 x} > 0$ .

Composition

Le programme est explicite : aucun résultat général n'est exigible sur la composition. On procède sur des exemples, en appliquant une règle de bon sens.

Méthode

Composer un développement limité. Pour développer $f \circ u$ à l'ordre $n$ en $0$ :

vérifier que $u (x) \to 0$ quand $x \to 0$ (sinon la méthode est fausse) ;
repérer la plus petite puissance $x^{q}$ apparaissant dans $u$ , avec $q ⩾ 1$ ; il suffit alors de développer $f$ à l'ordre $⌊ n / q ⌋$ , car $u^{k}$ est d'ordre $x^{q k}$ ;
développer $u$ à l'ordre $n$ , poser cette expression dans le développement de $f$ , puis développer les puissances $u^{2}, u^{3}, \dots$ en ne gardant que les monômes de degré au plus $n$ .

Exemple

Développement limité de $f (x) = \ln (\cos x)$ à l'ordre $4$ en $0$ .

D'abord $\cos x \to 1$ : on écrit $\ln (\cos x) = \ln (1 + u)$ avec

u = \cos x - 1 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o (x^{5}),

qui tend bien vers $0$ . La plus petite puissance de $u$ est $x^{2}$ , donc $u^{3}$ est en $x^{6}$ : il suffit de développer $\ln (1 + u)$ à l'ordre $2$ :

\ln (1 + u) = u - \frac{u^{2}}{2} + o (u^{2}) .

Or $u^{2} = \frac{x^{4}}{4} + o (x^{4})$ et $o (u^{2}) = o (x^{4})$ . D'où

\ln (\cos x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{4}}{8} + o (x^{4}) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{12} + o (x^{4}) .

Le résultat est bien pair, comme il se doit puisque $x \mapsto \ln (\cos x)$ est paire.

Exemple

Développement limité de $g (x) = e^{\sin x}$ à l'ordre $3$ en $0$ .

On pose $u = \sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{3}) \to 0$ . La plus petite puissance de $u$ est $x^{1}$ , il faut donc développer $\exp$ à l'ordre $3$ :

e^{u} = 1 + u + \frac{u^{2}}{2} + \frac{u^{3}}{6} + o (u^{3}) .

On calcule $u^{2} = x^{2} + o (x^{3})$ et $u^{3} = x^{3} + o (x^{3})$ , d'où

e^{\sin x} = 1 + (x - \frac{x^{3}}{6}) + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o (x^{3}) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3}) .

Le coefficient de $x^{3}$ est nul : c'est le genre de simplification qu'aucun raisonnement par équivalents ne pouvait prévoir.

Quotient

Méthode

Développer un quotient $\frac{f}{g}$ à l'ordre $n$ en $0$ , avec $g (0) \neq 0$ . On factorise $g$ par son terme constant $b_{0}$ , ce qui met le dénominateur sous la forme $b_{0} (1 + u)$ avec $u \to 0$ , puis on compose avec $\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^{2} - \dots$ et on multiplie par le développement de $f$ .

Si $g (0) = 0$ , on factorise d'abord la puissance de $x$ qui convient au numérateur et au dénominateur (paragraphe 3.11), puis on se ramène au cas précédent.

Exemple

Développement limité de $\tan$ à l'ordre $3$ en $0$ . Par définition $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , avec $\cos 0 = 1 \neq 0$ . On écrit

\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4}), \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3}) .

Puis, avec $u = - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3}) \to 0$ et $u^{2} = o (x^{3})$ :

\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 + u} = 1 - u + o (x^{3}) = 1 + \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3}) .

Enfin, le produit, tronqué à l'ordre $3$ :

\tan x = (x - \frac{x^{3}}{6}) (1 + \frac{x^{2}}{2}) + o (x^{4}) = x + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4}) = x + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{4}) .

Le reste est en $o (x^{4})$ et non $o (x^{3})$ parce que $\tan$ est impaire : le coefficient de $x^{4}$ est nul.

Exemple

Développement limité de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{\sin x}$ à l'ordre $2$ en $0$ .

Ici le dénominateur s'annule en $0$ : on factorise $x$ en haut et en bas. Pour obtenir l'ordre $2$ après simplification, il faut partir de l'ordre $3$ :

e^{x} - 1 = x (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{6} + o (x^{2})), \sin x = x (1 - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{2})) .

Après simplification par $x$ , puis composition avec $\frac{1}{1 + u}$ où $u = - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{2})$ :

f (x) = (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{6}) (1 + \frac{x^{2}}{6}) + o (x^{2}) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} + o (x^{2}) .

En particulier $f (x) \to 1$ , ce qui prolonge $f$ par continuité en $0$ , et la fonction prolongée est dérivable en $0$ de nombre dérivé $\frac{1}{2}$ .

Primitivation d'un développement limité

On ne dérive jamais un développement limité (rien ne garantit que la dérivée en admette un). En revanche, on peut toujours le primitiver, et c'est très utile.

Propriété

Primitivation. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ contenant $0$ . On suppose que $f^{'}$ admet un ${D L}_{n} (0)$ :

f^{'} (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) .

Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n + 1$ en $0$ , obtenu en primitivant terme à terme et en ajustant la constante :

f (x) = f (0) + a_{0} x + \frac{a_{1}}{2} x^{2} + \dots + \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1} + o (x^{n + 1}) .

Démonstration. Posons, pour $x \in I$ ,

φ (x) = f (x) - f (0) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{k}}{k + 1} x^{k + 1} .

La fonction $φ$ est dérivable sur $I$ , vérifie $φ (0) = 0$ , et

φ^{'} (x) = f^{'} (x) - \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} = o (x^{n}) par hypothèse.

Soit $ε > 0$ . Il existe $δ > 0$ tel que $∣ φ^{'} (t) ∣ ⩽ ε {∣ t ∣}^{n}$ pour tout $t \in I$ vérifiant $∣ t ∣ ⩽ δ$ . Soit $x \in I$ avec $0 < ∣ x ∣ ⩽ δ$ . La fonction $φ$ étant continue sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ et dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, l'égalité des accroissements finis fournit $c$ strictement compris entre $0$ et $x$ tel que $φ (x) - φ (0) = x φ^{'} (c)$ . Comme $∣ c ∣ < ∣ x ∣ ⩽ δ$ ,

∣ φ (x) ∣ = ∣ x ∣ ∣ φ^{'} (c) ∣ ⩽ ∣ x ∣ \times ε {∣ c ∣}^{n} ⩽ ε {∣ x ∣}^{n + 1} .

Ceci valant pour tout $ε > 0$ , on a $φ (x) = o (x^{n + 1})$ , ce qui est exactement la conclusion.

Exemple

Développement de $\ln (1 + x)$ . La fonction $f : x \mapsto \ln (1 + x)$ est dérivable sur $] - 1, + \infty [$ , de dérivée $\frac{1}{1 + x}$ , dont on connaît le développement :

f^{'} (x) = 1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n - 1} x^{n - 1} + o (x^{n - 1}) .

Comme $f (0) = \ln 1 = 0$ , la primitivation donne

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n}) .

Exemple

Développement de $Arctan$ . La fonction $Arctan$ est dérivable sur $R$ , de dérivée $\frac{1}{1 + x^{2}}$ . En remplaçant $x$ par $x^{2}$ dans le développement de $\frac{1}{1 + x}$ (licite car $x^{2} \to 0$ ) :

\frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - \dots + (- 1)^{p} x^{2 p} + o (x^{2 p + 1}),

le reste gagnant un ordre par parité. Comme $Arctan 0 = 0$ , la primitivation donne

Arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2}) .

Applications à l'étude locale

Limites et équivalents par développement limité

Méthode

Lever une forme indéterminée. On développe numérateur et dénominateur séparément, à un ordre suffisant pour que le premier terme non nul apparaisse dans chacun ; on simplifie ensuite par la plus petite puissance commune.

Si l'ordre choisi ne suffit pas (tous les termes calculés se compensent), on recommence un cran plus loin : c'est normal, cela ne signifie pas qu'on s'est trompé.

Exemple

Une limite classique. Calculons $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \sqrt{1 - x^{2}}}{x^{4}}$ .

Le dénominateur est en $x^{4}$ : on développe le numérateur à l'ordre $4$ .

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o (x^{4}) .

Pour $\sqrt{1 - x^{2}}$ , on pose $u = - x^{2} \to 0$ dans $\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^{2}}{8} + o (u^{2})$ :

\sqrt{1 - x^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + o (x^{4}) .

En soustrayant, les termes $1$ et $- \frac{x^{2}}{2}$ disparaissent :

\cos x - \sqrt{1 - x^{2}} = (\frac{1}{24} + \frac{1}{8}) x^{4} + o (x^{4}) = \frac{x^{4}}{6} + o (x^{4}) .

Donc le quotient tend vers $\frac{1}{6}$ . Remarquons qu'un raisonnement par équivalents était impossible ici : $\cos x \sim 1$ et $\sqrt{1 - x^{2}} \sim 1$ , et la soustraction des équivalents aurait donné $0$ , ce qui est le piège numéro 1 du paragraphe 1.12.

Exemple

Une puissance indéterminée. Calculons $\lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{1 / x^{2}}$ .

C'est une forme $1^{\infty}$ : on passe à l'exponentielle. Pour $x \neq 0$ assez petit, $\frac{\sin x}{x} > 0$ et

{(\frac{\sin x}{x})}^{1 / x^{2}} = \exp (\frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x}) .

Or $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3})$ , donc, avec $u = - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3}) \to 0$ et $\ln (1 + u) = u + o (u)$ :

\ln \frac{\sin x}{x} = - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{2}), puis \frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x} = - \frac{1}{6} + o (1) .

Par continuité de $\exp$ , la limite cherchée vaut $e^{- 1 / 6}$ .

Approximations polynomiales du sinus en 0 aux ordres 1, 3 et 5

La figure ci-dessus montre ce que gagne chaque ordre. Le polynôme $x$ colle à la sinusoïde sur un tout petit intervalle autour de $0$ ; $x - \frac{x^{3}}{6}$ la suit nettement plus longtemps ; $x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}$ plus longtemps encore. Attention toutefois : un développement limité ne dit rien loin de $0$ , et tous ces polynômes finissent par s'échapper vers l'infini alors que $\sin$ reste borné.

Tangente et position relative de la courbe

Propriété

Soit $f$ admettant en $a$ un développement limité à l'ordre $n ⩾ 2$ ,

f (a + h) = a_{0} + a_{1} h + a_{p} h^{p} + o (h^{p}),

où $p$ est le plus petit entier tel que $2 ⩽ p ⩽ n$ avec $a_{p} \neq 0$ (on suppose qu'un tel $p$ existe). Alors :

la courbe $C_{f}$ admet en son point d'abscisse $a$ la tangente $T$ d'équation $y = a_{0} + a_{1} (x - a)$ ;
la position relative de $C_{f}$ et de $T$ est donnée par le signe de $a_{p} (x - a)^{p}$ , puisque

f (x) - (a_{0} + a_{1} (x - a)) \underset{x \to a}{\sim} a_{p} (x - a)^{p} .

Démonstration. Le point 1 découle du paragraphe 3.6 : la troncature à l'ordre $1$ montre que $f$ est dérivable en $a$ avec $f (a) = a_{0}$ et $f^{'} (a) = a_{1}$ , et l'équation de la tangente est bien $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ . Pour le point 2, la différence $f (x) - (a_{0} + a_{1} (x - a))$ a pour développement $a_{p} (x - a)^{p} + o ((x - a)^{p})$ , elle est donc équivalente à $a_{p} (x - a)^{p}$ (paragraphe 3.7), et la conservation du signe conclut.

Méthode

Étudier la position d'une courbe par rapport à sa tangente en $a$ .

Poser $x = a + h$ et développer $f (a + h)$ jusqu'au premier terme non nul de degré au moins $2$ .
Écrire l'équation de la tangente à partir des termes de degré $0$ et $1$ .
Lire le signe du premier terme non nul restant : si son degré $p$ est pair, la courbe reste du même côté des deux côtés de $a$ ; s'il est impair, elle traverse la tangente, et le point est un point d'inflexion.

Exemple

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ ; étudions la position de $C_{f}$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $a = 1$ .

Posons $x = 1 + h$ et développons (ici le calcul est exact, $f$ étant polynomiale) :

f (1 + h) = (1 + h)^{3} - 3 (1 + h)^{2} + 2 (1 + h) + 1 = 1 - h + h^{3} .

On lit $f (1) = 1$ et $f^{'} (1) = - 1$ : la tangente $T$ a pour équation $y = 1 - (x - 1)$ , c'est-à-dire $y = 2 - x$ . Le premier terme non nul suivant est $h^{3}$ , de degré impair, donc

f (x) - (2 - x) = (x - 1)^{3} .

Le signe se lit immédiatement.

x

-\infty

1

+\infty

(x-1)^3

-

0

+

La courbe est donc en dessous de sa tangente pour $x < 1$ et au-dessus pour $x > 1$ : elle traverse $T$ au point $A (1, 1)$ , qui est un point d'inflexion.

Courbe, tangente au point d'abscisse 1 et position relative

Extremum local : les conditions à l'ordre $2$

Le chapitre sur la dérivation a donné une condition nécessaire d'extremum en un point intérieur : la dérivée s'y annule. Cette condition n'est pas suffisante ( $x \mapsto x^{3}$ en $0$ ). Le développement limité à l'ordre $2$ tranche la question dans presque tous les cas.

Propriété

Soient $I$ un intervalle, $a$ un point intérieur à $I$ et $f : I \to R$ de classe $C^{2}$ .

Condition nécessaire. Si $f$ admet un minimum local en $a$ , alors $f^{'} (a) = 0$ et $f^{''} (a) ⩾ 0$ . Si $f$ admet un maximum local en $a$ , alors $f^{'} (a) = 0$ et $f^{''} (a) ⩽ 0$ .
Condition suffisante. Si $f^{'} (a) = 0$ et $f^{''} (a) > 0$ , alors $f$ admet en $a$ un minimum local strict. Si $f^{'} (a) = 0$ et $f^{''} (a) < 0$ , alors $f$ admet en $a$ un maximum local strict.
Si $f^{'} (a) = f^{''} (a) = 0$ , on ne peut rien conclure à cet ordre.

Démonstration. La formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$ s'écrit

f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + \frac{f^{''} (a)}{2} h^{2} + o (h^{2}) .

Point 2. Supposons $f^{'} (a) = 0$ et $f^{''} (a) > 0$ . Le développement devient $f (a + h) - f (a) = h^{2} (\frac{f^{''} (a)}{2} + ε (h))$ avec $ε (h) \to 0$ . En appliquant la définition de la limite avec la valeur particulière $\frac{f^{''} (a)}{4} > 0$ , on obtient $δ > 0$ tel que $∣ ε (h) ∣ ⩽ \frac{f^{''} (a)}{4}$ pour $∣ h ∣ ⩽ δ$ . Quitte à diminuer $δ$ , on peut supposer $[a - δ, a + δ] \subset I$ , ce qui est possible car $a$ est intérieur à $I$ . Alors, pour $0 < ∣ h ∣ ⩽ δ$ ,

f (a + h) - f (a) ⩾ h^{2} (\frac{f^{''} (a)}{2} - \frac{f^{''} (a)}{4}) = \frac{f^{''} (a)}{4} h^{2} > 0.

Donc $f (a + h) > f (a)$ pour tout $h$ non nul de module au plus $δ$ : $f$ admet en $a$ un minimum local strict. Le cas $f^{''} (a) < 0$ s'obtient en appliquant ce résultat à $- f$ .

Point 1. L'annulation de $f^{'} (a)$ est la condition nécessaire connue, valable car $a$ est intérieur à $I$ . Supposons $f$ minimale localement en $a$ et raisonnons par l'absurde en supposant $f^{''} (a) < 0$ . D'après le point 2 appliqué à $- f$ , la fonction $f$ admettrait en $a$ un maximum local strict : il existerait $δ > 0$ tel que $f (a + h) < f (a)$ pour tout $h$ non nul avec $∣ h ∣ ⩽ δ$ . Ceci contredit le minimum local, qui donne $f (a + h) ⩾ f (a)$ sur un voisinage. Donc $f^{''} (a) ⩾ 0$ .

Point 3. Trois exemples en $a = 0$ suffisent à montrer que tous les cas se produisent : $x \mapsto x^{4}$ (minimum strict), $x \mapsto - x^{4}$ (maximum strict), $x \mapsto x^{3}$ (ni l'un ni l'autre). Les trois vérifient $f^{'} (0) = f^{''} (0) = 0$ .

Remarque

La condition nécessaire donne une inégalité large, la condition suffisante exige une inégalité stricte : il y a un trou entre les deux, exactement le cas $f^{''} (a) = 0$ . Dans ce cas, on repart avec un développement limité d'ordre supérieur, et le paragraphe 3.7 tranche : le premier terme non nul $a_{p} h^{p}$ décide, selon la parité de $p$ et le signe de $a_{p}$ .

L'hypothèse « $a$ intérieur à $I$ » est indispensable : sur $[0, 1]$ , la fonction $x \mapsto x$ atteint son minimum en $0$ et son maximum en $1$ sans que sa dérivée s'y annule.

Branches infinies et asymptotes

Méthode

Chercher une asymptote oblique en $+ \infty$ . Soit $f$ définie au voisinage de $+ \infty$ .

Calculer $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ . Si cette limite est un réel $m$ non nul, il peut y avoir une asymptote de pente $m$ .
Calculer $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - m x)$ . Si cette limite est un réel $q$ , la droite d'équation $y = m x + q$ est asymptote à $C_{f}$ en $+ \infty$ .
Pour la position, développer $f (x) - (m x + q)$ et lire le signe de son terme principal.

En pratique, les trois étapes se font d'un coup : on pose $t = \frac{1}{x}$ (qui tend vers $0$ ) et l'on écrit un développement de $f$ sous la forme

f (x) = m x + q + \frac{c}{x} + o (\frac{1}{x}),

qui donne simultanément la pente, l'ordonnée à l'origine et la position (signe de $c$ ).

Exemple

Étudions les branches infinies de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ , définie sur $R ∖ {1}$ .

En $\pm \infty$ . Factorisons par la puissance dominante en haut et en bas :

f (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}{x (1 - \frac{1}{x})} = x (1 + \frac{1}{x^{2}}) \times \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} .

Avec $t = \frac{1}{x} \to 0$ , le développement $\frac{1}{1 - t} = 1 + t + t^{2} + o (t^{2})$ donne

f (x) = x (1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}})) = x (1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}})),

c'est-à-dire

f (x) = x + 1 + \frac{2}{x} + o (\frac{1}{x}) .

La droite $Δ$ d'équation $y = x + 1$ est donc asymptote à $C_{f}$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ . De plus

f (x) - (x + 1) \sim \frac{2}{x},

qui est strictement positif en $+ \infty$ et strictement négatif en $- \infty$ : la courbe est au-dessus de $Δ$ en $+ \infty$ , en dessous en $- \infty$ .

En $1$ . Le numérateur tend vers $2 \neq 0$ et le dénominateur vers $0$ : la droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale.

Courbe, asymptote oblique et position relative en plus et moins l'infini

Développements asymptotiques

De quoi s'agit-il

Un développement limité écrit une fonction comme un polynôme plus un reste négligeable. Il arrive que le polynôme ne suffise pas : les exemples du paragraphe 3.11 ont fait apparaître des termes en $\frac{1}{x^{2}}$ , et les exemples ci-dessous feront apparaître des termes en $\frac{\ln n}{n}$ ou $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

On parle alors de développement asymptotique : on écrit la quantité étudiée comme une somme de termes explicites, chacun négligeable devant le précédent, plus un reste négligeable devant le dernier terme écrit. Il n'y a pas de théorie générale à connaître ici, seulement une démarche à maîtriser sur des exemples, toujours la même : on obtient un premier terme, on le soustrait, on recommence sur le reste.

Méthode

Démarrer un développement asymptotique.

Établir d'abord une existence et une limite (théorème de la bijection, monotonie et bornes, encadrement).
Obtenir un équivalent du premier terme.
Poser la quantité étudiée moins ce premier terme, et recommencer l'étude sur cette différence.
À chaque étape, réinjecter les informations déjà obtenues dans la relation de départ : c'est ce va-et-vient qui fait avancer le calcul.

Une fonction réciproque

Exemple

Soit $f : R \to R$ définie par $f (x) = x + e^{x}$ . Cherchons un développement asymptotique de $f^{- 1} (y)$ quand $y \to + \infty$ .

Existence. $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et $f^{'} (x) = 1 + e^{x} > 0$ : $f$ est strictement croissante. Comme $\lim_{- \infty} f = - \infty$ et $\lim_{+ \infty} f = + \infty$ , le théorème de la bijection assure que $f$ réalise une bijection de $R$ sur $R$ . Notons $g = f^{- 1}$ ; c'est une bijection strictement croissante de $R$ sur $R$ , donc $g (y) \to + \infty$ quand $y \to + \infty$ .

Premier terme. Posons $x = g (y)$ , de sorte que $x + e^{x} = y$ avec $x \to + \infty$ . Alors $e^{x} = y - x$ , et

y = e^{x} (1 + \frac{x}{e^{x}}) .

Par croissances comparées, $\frac{x}{e^{x}} \to 0$ , donc $y \sim e^{x}$ . Comme $e^{x} \to + \infty$ , le passage au logarithme (paragraphe 1.8) est licite et donne $\ln y \sim \ln (e^{x}) = x$ . Autrement dit

g (y) \underset{y \to + \infty}{\sim} \ln y .

Deuxième terme. Repartons de $e^{x} = y - x$ , qui donne $x = \ln (y - x)$ , puis

x = \ln y + \ln (1 - \frac{x}{y}) .

Comme $x \sim \ln y$ , on a $\frac{x}{y} \sim \frac{\ln y}{y} \to 0$ , et $\ln (1 - u) = - u + o (u)$ donne

\ln (1 - \frac{x}{y}) = - \frac{x}{y} + o (\frac{x}{y}) = - \frac{\ln y}{y} + o (\frac{\ln y}{y}) .

Finalement

f^{- 1} (y) = \ln y - \frac{\ln y}{y} + o (\frac{\ln y}{y}) quand y \to + \infty .

Une suite définie par une équation

Exemple

Pour $n ⩾ 1$ , considérons l'équation $x^{n} + x - 1 = 0$ d'inconnue $x \in [0, 1]$ .

Existence et unicité. Notons $f_{n} (x) = x^{n} + x - 1$ . Cette fonction est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$ (somme de deux fonctions croissantes dont l'une est strictement croissante), avec $f_{n} (0) = - 1 < 0$ et $f_{n} (1) = 1 > 0$ . Le théorème de la bijection assure l'existence d'un unique $x_{n} \in] 0, 1 [$ tel que $f_{n} (x_{n}) = 0$ .

Limite. Comparons $x_{n}$ et $x_{n + 1}$ . On a

f_{n + 1} (x_{n}) = x_{n}^{n + 1} + x_{n} - 1 = x_{n}^{n + 1} - x_{n}^{n} = x_{n}^{n} (x_{n} - 1) < 0 = f_{n + 1} (x_{n + 1}),

car $0 < x_{n} < 1$ . Comme $f_{n + 1}$ est strictement croissante, il vient $x_{n} < x_{n + 1}$ : la suite $(x_{n})$ est strictement croissante et majorée par $1$ , donc elle converge vers un réel $l \in] 0, 1]$ .

Supposons $l < 1$ . Alors $0 < x_{n} ⩽ l$ pour tout $n$ , donc $0 < x_{n}^{n} ⩽ l^{n} \to 0$ puisque $0 < l < 1$ ; ainsi $x_{n}^{n} \to 0$ . Or la relation $x_{n}^{n} = 1 - x_{n}$ donne $x_{n}^{n} \to 1 - l > 0$ , contradiction. Donc $l = 1$ et $x_{n} \to 1$ .

Développement asymptotique. Posons $ε_{n} = 1 - x_{n}$ , de sorte que $ε_{n} \to 0$ avec $ε_{n} > 0$ . La relation $x_{n}^{n} = 1 - x_{n}$ s'écrit, en passant au logarithme,

n \ln (1 - ε_{n}) = \ln ε_{n} .

Comme $ε_{n} \to 0$ , on a $\ln (1 - ε_{n}) \sim - ε_{n}$ , donc

n ε_{n} \sim - \ln ε_{n} .

Posons $t_{n} = - \ln ε_{n}$ , qui tend vers $+ \infty$ ; alors $ε_{n} = e^{- t_{n}}$ et la relation précédente s'écrit $n e^{- t_{n}} \sim t_{n}$ . En prenant le logarithme des deux membres, ce qui est licite puisque $t_{n} \to + \infty$ (paragraphe 1.8) :

\ln n - t_{n} = \ln t_{n} + o (1), soit t_{n} = \ln n - \ln t_{n} + o (1) .

Comme $t_{n} \to + \infty$ , on a $\ln t_{n} = o (t_{n})$ , donc l'égalité ci-dessus donne $t_{n} \sim \ln n$ . En réinjectant, $\ln t_{n} = \ln (\ln n) + \ln \frac{t_{n}}{\ln n} = \ln (\ln n) + o (1)$ , d'où

t_{n} = \ln n - \ln (\ln n) + o (1) .

Enfin $ε_{n} = e^{- t_{n}} = \frac{\ln n}{n} e^{o (1)}$ , et $e^{o (1)} \to 1$ , donc $ε_{n} \sim \frac{\ln n}{n}$ . Conclusion :

x_{n} = 1 - \frac{\ln n}{n} + o (\frac{\ln n}{n}) .

Une suite récurrente

L'outil suivant transforme une information sur les accroissements d'une suite en une information sur la suite elle-même. Sa démonstration n'utilise qu'une somme finie et le théorème d'encadrement.

Propriété

Lemme des accroissements moyens. Soit $(v_{n})$ une suite réelle telle que $v_{n + 1} - v_{n} \to ℓ$ , avec $ℓ \in R$ . Alors $\frac{v_{n}}{n} \to ℓ$ .

Démonstration. Soit $ε > 0$ . Il existe $N \in N^{*}$ tel que $∣ v_{k + 1} - v_{k} - ℓ ∣ ⩽ ε$ pour tout $k ⩾ N$ . Pour $n > N$ , la somme finie télescopique donne

v_{n} - v_{N} = \sum_{k = N}^{n - 1} (v_{k + 1} - v_{k}), donc ∣ v_{n} - v_{N} - (n - N) ℓ ∣ ⩽ \sum_{k = N}^{n - 1} ∣ v_{k + 1} - v_{k} - ℓ ∣ ⩽ (n - N) ε .

En divisant par $n$ et en isolant :

∣ \frac{v_{n}}{n} - ℓ ∣ = ∣ \frac{v_{N} - N ℓ + (v_{n} - v_{N} - (n - N) ℓ)}{n} ∣ ⩽ \frac{∣ v_{N} - N ℓ ∣}{n} + \frac{(n - N) ε}{n} ⩽ \frac{∣ v_{N} - N ℓ ∣}{n} + ε .

Le premier terme tend vers $0$ quand $n \to + \infty$ ( $N$ et $v_{N}$ sont fixés) : il existe $N^{'} ⩾ N$ tel qu'il soit inférieur à $ε$ pour $n ⩾ N^{'}$ . Alors $∣ \frac{v_{n}}{n} - ℓ ∣ ⩽ 2 ε$ pour $n ⩾ N^{'}$ , ce qui est la définition de $\frac{v_{n}}{n} \to ℓ$ .

Exemple

Soit $u_{0} \in] 0, 1 [$ et $u_{n + 1} = u_{n} (1 - u_{n})$ . Cherchons un équivalent de $u_{n}$ .

Existence et limite. L'intervalle $J =] 0, 1 [$ est stable : si $u \in J$ , alors $u (1 - u) > 0$ et $u (1 - u) ⩽ \frac{1}{4} < 1$ , donc $u (1 - u) \in J$ . La suite est donc bien définie et à valeurs dans $J$ . De plus $u_{n + 1} - u_{n} = - u_{n}^{2} < 0$ : elle est strictement décroissante, minorée par $0$ , donc convergente vers un réel $l ⩾ 0$ . Par continuité de $u \mapsto u (1 - u)$ , la limite vérifie $l = l (1 - l)$ , soit $l^{2} = 0$ : donc $u_{n} \to 0^{+}$ .

Le bon changement de variable. On cherche l'exposant $α$ pour lequel la suite $v_{n} = u_{n}^{α}$ a des accroissements convergents. Essayons $α = - 1$ , c'est-à-dire $v_{n} = \frac{1}{u_{n}}$ , ce qui est licite car $u_{n} > 0$ . Pour $u \to 0^{+}$ , le développement $\frac{1}{1 - u} = 1 + u + o (u)$ donne

\frac{1}{u (1 - u)} = \frac{1}{u} (1 + u + o (u)) = \frac{1}{u} + 1 + o (1),

donc, en appliquant cette égalité à $u = u_{n} \to 0^{+}$ ,

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{u_{n} (1 - u_{n})} - \frac{1}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1.

On peut d'ailleurs le voir sans aucun développement, par un calcul exact : $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1 - (1 - u_{n})}{u_{n} (1 - u_{n})} = \frac{1}{1 - u_{n}} \to 1$ .

Conclusion. Le lemme des accroissements moyens donne $\frac{v_{n}}{n} \to 1$ , c'est-à-dire $n u_{n} \to 1$ , soit

u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n} .

La convergence est donc très lente : partant de $u_{0} = \frac{1}{2}$ , il faut $992$ itérations pour descendre sous $10^{- 3}$ , ce que l'équivalent prévoyait à l'unité près.

Remarque

L'exposant $α$ se lit sur le développement limité de la fonction itérée : ici $f (u) = u - u^{2}$ , le premier terme correctif est en $u^{2}$ et $α = - 1$ convient. Quand ce terme est en $u^{3}$ , c'est $α = - 2$ qu'il faut prendre : l'exercice 32 de la fiche traite ainsi la suite $u_{n + 1} = \sin (u_{n})$ , dont l'équivalent est $\sqrt{3 / n}$ .

Une suite d'intégrales

Exemple

Pour $n \in N$ , posons

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} d x .

Existence et limite. La fonction intégrée est continue sur le segment $[0, 1]$ , donc $I_{n}$ est bien définie. Pour $x \in [0, 1]$ , on a $1 ⩽ 1 + x ⩽ 2$ , donc $\frac{x^{n}}{2} ⩽ \frac{x^{n}}{1 + x} ⩽ x^{n}$ , et la croissance de l'intégrale donne

\frac{1}{2 (n + 1)} ⩽ I_{n} ⩽ \frac{1}{n + 1} .

En particulier $I_{n} \to 0$ .

Une relation de récurrence. Par linéarité,

I_{n} + I_{n + 1} = \int_{0}^{1} \frac{x^{n} (1 + x)}{1 + x} d x = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} .

Par ailleurs, pour $x \in [0, 1]$ , $x^{n + 1} ⩽ x^{n}$ , donc la suite $(I_{n})$ est décroissante. En combinant :

2 I_{n} ⩾ I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} et 2 I_{n} ⩽ I_{n - 1} + I_{n} = \frac{1}{n} (n ⩾ 1),

soit

\frac{1}{2 (n + 1)} ⩽ I_{n} ⩽ \frac{1}{2 n} .

Les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{2 n}$ ; le théorème d'obtention d'un équivalent par encadrement donne

I_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{2 n} .

Le terme suivant, par intégration par parties. Les fonctions $x \mapsto \frac{1}{1 + x}$ et $x \mapsto \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ sont de classe $C^{1}$ sur $[0, 1]$ , donc

I_{n} = {[\frac{x^{n + 1}}{(n + 1) (1 + x)}]}_{0}^{1} + \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n + 1}}{(1 + x)^{2}} d x = \frac{1}{2 (n + 1)} + \frac{K_{n + 1}}{n + 1},

où l'on a posé $K_{m} = \int_{0}^{1} \frac{x^{m}}{(1 + x)^{2}} d x$ .

Il reste à estimer $K_{m}$ . Comme $x^{m} (1 + x)^{2} = x^{m} + 2 x^{m + 1} + x^{m + 2}$ , la linéarité donne

K_{m} + 2 K_{m + 1} + K_{m + 2} = \int_{0}^{1} x^{m} d x = \frac{1}{m + 1},

et la suite $(K_{m})$ est décroissante par le même argument que ci-dessus. On en déduit $4 K_{m + 2} ⩽ \frac{1}{m + 1} ⩽ 4 K_{m}$ , c'est-à-dire, pour $m ⩾ 2$ ,

\frac{1}{4 (m + 1)} ⩽ K_{m} ⩽ \frac{1}{4 (m - 1)} .

Les deux bornes étant équivalentes à $\frac{1}{4 m}$ , l'encadrement donne $K_{m} \sim \frac{1}{4 m}$ , donc $\frac{K_{n + 1}}{n + 1} \sim \frac{1}{4 n^{2}}$ .

Conclusion. En développant $\frac{1}{2 (n + 1)} = \frac{1}{2 n} \times \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2 n} - \frac{1}{2 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}})$ , il vient

I_{n} = \frac{1}{2 n} - \frac{1}{2 n^{2}} + \frac{1}{4 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}) = \frac{1}{2 n} - \frac{1}{4 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}) .

Récapitulatif

Ce qu'il faut savoir par cœur

a. $e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + o (x^{n})$

b. $\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o (x^{5})$

c. $\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + o (x^{6})$

d. $ch x = 1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o (x^{5})$

e. $sh x = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + o (x^{6})$

f. $\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{4})$

g. $\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})$

h. $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + o (x^{2})$

i. $Arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + o (x^{4})$

À quoi s'ajoutent le développement de $(1 + x)^{α}$ , les équivalents usuels du paragraphe 1.11 et les croissances comparées du paragraphe 1.6.

Les méthodes

Méthode

1. Calculer une limite. Essayer d'abord les équivalents sur les facteurs. Si une somme empêche de conclure, passer aux développements limités : développer numérateur et dénominateur au même ordre, augmenter l'ordre tant que tout se compense. Acquis depuis : terminale spé.

Méthode

2. Choisir l'ordre. Dans un produit $x^{p} g (x)$ à l'ordre $n$ , développer $g$ à l'ordre $n - p$ . Dans une composée $f (u)$ où $u$ commence par $x^{q}$ , développer $f$ à l'ordre $⌊ n / q ⌋$ . Dans une somme où l'on redoute des compensations, prévoir un ordre de marge.

Méthode

3. Travailler en un point $a \neq 0$ . Poser $x = a + h$ et tout ramener à $h \to 0$ . En $\pm \infty$ , poser $t = \frac{1}{x}$ après avoir factorisé par le terme dominant.

Méthode

4. Étudier une courbe localement. Le ${D L}_{1}$ donne la tangente ; le premier terme non nul suivant donne la position (degré pair : la courbe reste du même côté ; degré impair : point d'inflexion). En l'infini, le développement $f (x) = m x + q + \frac{c}{x} + o (\frac{1}{x})$ donne l'asymptote et la position d'un seul coup.

Méthode

5. Chercher un extremum. Point intérieur, $f^{'} (a) = 0$ , puis signe de $f^{''} (a)$ . Si $f^{''} (a) = 0$ , pousser le développement jusqu'au premier terme non nul.

Méthode

6. Mener un développement asymptotique. Existence, puis limite, puis équivalent, puis on soustrait et on recommence. À chaque étape, réinjecter dans la relation de départ ce que l'on vient d'apprendre.

Les erreurs à ne pas commettre

Propriété

Huit pièges classiques.

Additionner des équivalents, ou remplacer un terme d'une somme par un équivalent : remplacer $\sin x$ par $x$ dans $\sin x - x$ donne $0$ , alors que $\sin x - x \sim - \frac{x^{3}}{6}$ en $0$ .
Composer un équivalent par $\exp$ ou par $\ln$ sans précaution : $x + 1 \sim x$ mais $e^{x + 1} \sim̸ e^{x}$ en $+ \infty$ .
Dériver ou primitiver un équivalent : c'est interdit dans les deux sens.
Écrire $f \sim 0$ ou $f \sim + \infty$ : ces écritures n'ont aucun sens.
Oublier de vérifier que l'argument tend vers $0$ avant d'appliquer un équivalent usuel ou de composer un développement limité.
Additionner deux développements limités d'ordres différents sans tronquer au plus petit des deux : le reste le moins précis impose sa loi.
Dériver un développement limité : rien ne le permet, seule la primitivation est licite.
Croire qu'un ${D L}_{n} (0)$ avec $n ⩾ 2$ entraîne que $f$ est $n$ fois dérivable en $0$ : c'est faux dès l'ordre $2$ (contre-exemple du paragraphe 3.6).

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Bloqué sur « Analyse asymptotique » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Fonction

Développement limité en

0

e^{x}

1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})

ch x

1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots + \frac{x^{2 p}}{(2 p)!} + o (x^{2 p + 1})

sh x

x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + \frac{x^{2 p + 1}}{(2 p + 1)!} + o (x^{2 p + 2})

\cos x

1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p}}{(2 p)!} + o (x^{2 p + 1})

\sin x

x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p + 1}}{(2 p + 1)!} + o (x^{2 p + 2})

\tan x

x + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{4})

\ln (1 + x)

x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})

\frac{1}{1 - x}

1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n})

\frac{1}{1 + x}

1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n})

(1 + x)^{α}

1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})

Arctan x

x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2})

Ce qu'il faut savoir faire

Comparer deux fonctions au voisinage d'un point

Le cadre de travail

Premiers exemples

Les deux visages de l'équivalence

Lien entre les trois relations

Étude locale en un point a différent de 0

Croissances comparées, traduites avec le symbole o

Règles de calcul sur les symboles o et O

Règles de calcul sur les équivalents

Ce que l'équivalence conserve : le signe et la limite

Obtenir un équivalent par encadrement

Les équivalents usuels en 0

Les cinq interdits

Comparaison des suites

Définitions

Croissances comparées pour les suites

Développements limités

Définition

Unicité des coefficients

Troncature

Développement limité en un point a quelconque

Parité

Les ordres 0 et 1 : continuité et dérivabilité

Signe d'une fonction au voisinage d'un point

La formule de Taylor-Young

Les développements limités usuels en 0

Combinaison linéaire et produit

Factoriser par le terme prépondérant

Composition

Quotient

Primitivation d'un développement limité

Applications à l'étude locale

Limites et équivalents par développement limité

Tangente et position relative de la courbe

Extremum local : les conditions à l'ordre 2

Branches infinies et asymptotes

Développements asymptotiques

De quoi s'agit-il

Une fonction réciproque

Une suite définie par une équation

Une suite récurrente

Une suite d'intégrales

Récapitulatif

Ce qu'il faut savoir par cœur

Les méthodes

Les erreurs à ne pas commettre

Bloqué sur « Analyse asymptotique » ?

Ce qu'il faut savoir faire

Comparer deux fonctions au voisinage d'un point

Le cadre de travail

Premiers exemples

Les deux visages de l'équivalence

Lien entre les trois relations

Étude locale en un point a différent de 0

Croissances comparées, traduites avec le symbole o

Règles de calcul sur les symboles o et O

Règles de calcul sur les équivalents

Ce que l'équivalence conserve : le signe et la limite

Obtenir un équivalent par encadrement

Les équivalents usuels en 0

Les cinq interdits

Comparaison des suites

Définitions

Croissances comparées pour les suites

Développements limités

Définition

Unicité des coefficients

Troncature

Développement limité en un point a quelconque

Parité

Les ordres 0 et 1 : continuité et dérivabilité

Signe d'une fonction au voisinage d'un point

La formule de Taylor-Young

Les développements limités usuels en 0

Combinaison linéaire et produit

Factoriser par le terme prépondérant

Composition

Quotient

Primitivation d'un développement limité

Étude locale en un point $a$ différent de $0$

Croissances comparées, traduites avec le symbole $o$

Règles de calcul sur les symboles $o$ et $O$

Les équivalents usuels en $0$

Développement limité en un point $a$ quelconque

Les ordres $0$ et $1$ : continuité et dérivabilité

Les développements limités usuels en $0$

Extremum local : les conditions à l'ordre $2$

Étude locale en un point $a$ différent de $0$

Croissances comparées, traduites avec le symbole $o$

Règles de calcul sur les symboles $o$ et $O$

Les équivalents usuels en $0$

Développement limité en un point $a$ quelconque

Les ordres $0$ et $1$ : continuité et dérivabilité

Les développements limités usuels en $0$

Extremum local : les conditions à l'ordre $2$