MPSI · Chapitre 02 · Premier semestre

Exercices — Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

36 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

36 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Prendre en main les symboles somme et produit

Sommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Écrire en extension, puis calculer.

a. $\sum_{k = 1}^{5} (2 k - 1)$
b. $\prod_{k = 1}^{4} \frac{k + 1}{k}$
c. $\sum_{k = 4}^{12} 7$
d. $\prod_{k = 1}^{3} (k^{2} + 1)$
Soit $x$ un réel et soit $n \in N^{*}$ . Calculer $\sum_{k = 1}^{n} x^{2}$ et $\prod_{k = 1}^{n} x$ , en expliquant pourquoi le résultat ne fait pas intervenir $k$ .
Les deux sommes $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ et $\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$ sont-elles égales ? Et les deux sommes $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ et $\sum_{k = 1}^{n} n^{2}$ ?
Calculer $\sum_{k = 3}^{2} k$ et $\prod_{k = 5}^{4} k$ . Expliquer ensuite pourquoi il est cohérent de poser produit vide $= 1$ et non $0$ .
Écrire à l'aide du symbole $\sum$ chacune des sommes suivantes, puis donner le nombre de termes de chacune.

a. $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36$
b. $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \dots + \frac{9}{10}$
c. $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n$
d. $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2 n + 1}$

Exercice 2 ★★★★ — Changements d indice et decalages

Changements d'indice, regroupements et télescopage

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et $(a_{k})$ une famille de réels. À chaque question, on demande d'écrire explicitement le changement d'indice utilisé, sous la forme « on pose $j = \dots$ ».

Récrire chacune des sommes ou produits suivants de sorte que le nouvel indice parte de $0$ pour les deux premiers, de $1$ pour le troisième.

a. $\sum_{k = 3}^{n + 3} a_{k}$
b. $\sum_{k = 3}^{n + 3} (k - 3)^{2}$
c. $\prod_{k = 2}^{n} (k - 1)$
Récrire $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 2}$ comme une somme dont le terme général est $\frac{1}{j}$ , en précisant les nouvelles bornes.
Soit $S = \sum_{k = 0}^{n} k$ . En posant $j = n - k$ , montrer que $S = \sum_{j = 0}^{n} (n - j)$ , puis en déduire la valeur de $S$ en calculant $2 S$ .
On pose $A = \sum_{k = 1}^{10} (- 1)^{k} k$ . Séparer les indices pairs des indices impairs, puis calculer $A$ .
Montrer, par un changement d'indice, que $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Sommes arithmetiques et geometriques

Sommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissances

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et $q$ un réel.

Calculer les sommes arithmétiques suivantes, en fonction de $n$ pour les deux premières.

a. $\sum_{k = 1}^{n} k$ , puis $\sum_{k = 1}^{100} k$
b. $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)$
c. $4 + 7 + 10 + \dots + 301$
Calculer les sommes géométriques numériques $\sum_{k = 0}^{10} 2^{k}$ et $\sum_{k = 2}^{6} 3^{k}$ .
Calculer $\sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ en fonction de $n$ et de $q$ . On distinguera soigneusement deux cas.
Soit $n \geq 3$ . Calculer $\sum_{k = 3}^{n} q^{k}$ , en distinguant là encore les deux cas.
Calculer $\sum_{k = 1}^{n} (k + 2^{k})$ .

Exercice 4 ★★★★ — Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

On rappelle que pour $n \in N$ et $k \in {0, \dots, n}$ , le coefficient binomial est défini par $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Calculer les coefficients suivants.

a. $(\binom{5}{2})$
b. $(\binom{7}{3})$
c. $(\binom{10}{1})$
d. $(\binom{6}{4})$
e. $(\binom{8}{8})$
f. $(\binom{9}{0})$
Démontrer, à partir de la définition, que $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ pour tout $k \in {0, \dots, n}$ .
a. Vérifier numériquement que $(\binom{6}{2}) + (\binom{6}{3}) = (\binom{7}{3})$ , puis démontrer la formule de Pascal : pour $1 \leq k \leq n - 1$ , $(\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) = (\binom{n}{k})$ .

b. Sachant que la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal est $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ , écrire la ligne $n = 7$ sans calculer aucune factorielle.
Soit $n \in N^{*}$ et $k \in {1, \dots, n}$ . Simplifier le quotient $\frac{(\binom{n}{k})}{(\binom{n}{k - 1})}$ , puis démontrer que $k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1})$ .
Résoudre l'équation $(\binom{n}{2}) = 45$ d'inconnue $n \in N$ avec $n \geq 2$ , puis l'équation $(\binom{8}{k}) = 56$ d'inconnue $k \in {0, \dots, 8}$ .

Exercice 5 ★★★★ — Developper avec la formule du binome

Formule du binôme de Newton

On rappelle la formule du binôme de Newton : pour tous réels $a$ et $b$ et tout $n \in N$ ,

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

Développer et réduire $(a + b)^{5}$ , où $a$ et $b$ sont deux réels quelconques.
Développer et réduire $(x - 2)^{4}$ , où $x$ est un réel. On précisera quel rôle joue $- 2$ dans la formule.
Écrire $(1 + \sqrt{2})^{3}$ sous la forme $a + b \sqrt{2}$ , où $a$ et $b$ sont deux entiers.
Sans développer entièrement l'expression, déterminer le coefficient de $x^{4}$ , puis celui de $x^{3}$ , dans le développement de $(2 x - 3)^{6}$ .
a. Vérifier sur $n = 4$ que $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ , puis démontrer cette égalité pour tout $n \in N$ .

b. Calculer de même $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k})$ pour $n \in N^{*}$ .

Exercice 6 ★★★★ — Premiers systemes lineaires par le pivot de Gauss

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Résoudre dans $R^{2}$ ou dans $R^{3}$ les systèmes suivants par la méthode du pivot de Gauss. On exigera dans chaque cas que les opérations élémentaires soient écrites en clair, du type $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ , et que la réponse soit donnée sous la forme d'un ensemble de solutions.

Résoudre le système
$(S_{1}) : {\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ 5 x - y = 3 \end{cases}$
Résoudre le système
$(S_{2}) : {\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2 x - y + 3 z = 9 \\ x + 2 y - z = 2 \end{cases}$
Résoudre le système
$(S_{3}) : {\begin{cases} x + 2 y - z = 1 \\ 2 x + 5 y + z = 5 \\ 3 x + 7 y = 6 \end{cases}$
Reprendre le système $(S_{3})$ en remplaçant uniquement le second membre de la troisième équation par $7$ . Que devient l'ensemble des solutions ?

Exercice 7 ★★★★ — Valeur absolue, ecarts controles et partie positive

Inégalités dans R, valeur absolue et majorations

On rappelle que pour tout réel $x$ et tout réel $M \geq 0$ , on a $∣ x ∣ \leq M ⟺ - M \leq x \leq M$ , ainsi que la version stricte $∣ x ∣ < M ⟺ - M < x < M$ pour $M > 0$ , que $∣ x ∣^{2} = x^{2}$ , et que l'inégalité triangulaire s'écrit $∣ u + v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ pour tous réels $u$ et $v$ .

a. Écrire l'encadrement $3 < x < 8$ sous la forme $∣ x - c ∣ < r$ , où $c$ et $r$ sont deux réels à déterminer, avec $r > 0$ .

b. Résoudre dans $R$ l'inéquation $∣ 3 x + 1 ∣ < 4$ et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Résoudre dans $R$ l'inéquation $∣ x - 2 ∣ \geq ∣ 2 x + 1 ∣$ . On pourra élever au carré, après avoir justifié que cette opération fournit ici une équivalence.
Soient $a$ et $b$ deux réels vérifiant $∣ a - 3 ∣ \leq \frac{1}{4}$ et $∣ b + 2 ∣ \leq \frac{1}{2}$ .

a. Majorer $∣ a + b - 1 ∣$ .

b. En posant $u = a - 3$ et $v = b + 2$ , majorer $∣ a b + 6 ∣$ .
Pour tout réel $x$ , on pose
$x^{+} = \frac{x + ∣ x ∣}{2} et x^{-} = \frac{∣ x ∣ - x}{2} .$
a. Calculer $x^{+}$ et $x^{-}$ pour $x = 5$ , puis pour $x = - 3$ .

b. Démontrer que $x^{+} \geq 0$ et $x^{-} \geq 0$ , puis que $x^{+} - x^{-} = x$ et $x^{+} + x^{-} = ∣ x ∣$ .

c. Démontrer que $x^{+} x^{-} = 0$ et interpréter ce résultat.

Exercice 8 ★★★★ — Lire le cercle trigonometrique

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Aucune valeur ne doit être obtenue à la calculatrice : on ramènera chaque angle à un angle remarquable de $[0, \frac{π}{2}]$ à l'aide des formules de symétrie.

Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants.

a. $\cos \frac{5 π}{6}$
b. $\sin \frac{7 π}{4}$
c. $\tan \frac{2 π}{3}$
d. $\cos (- \frac{π}{3})$
e. $\sin \frac{5 π}{3}$
f. $\cos \frac{3 π}{4}$
g. $\sin (- \frac{5 π}{6})$
h. $\tan \frac{5 π}{4}$
i. $\cos \frac{7 π}{6}$
Simplifier les expressions suivantes, où $x$ désigne un réel quelconque (la dernière étant supposée définie).

a. $\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x)$
b. $\cos (π + x) + \cos (π - x)$
c. $\cos^{2} (\frac{π}{2} - x) + \cos^{2} (π - x)$
d. $\frac{\sin (π - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)}$
Déterminer, pour chacun des réels $\frac{27 π}{4}$ , $- \frac{17 π}{3}$ et $\frac{31 π}{6}$ , l'unique réel de $[0, 2 π [$ qui lui est égal modulo $2 π$ . En déduire $\cos \frac{31 π}{6}$ et $\sin \frac{31 π}{6}$ .
Déterminer le signe de $\cos x$ et celui de $\sin x$ lorsque $x$ appartient à l'un des intervalles suivants.

a. $] \frac{π}{2}, π [$
b. $] \frac{7 π}{6}, \frac{4 π}{3} [$
c. $] - \frac{π}{2}, 0 [$
d. $] \frac{7 π}{4}, 2 π [$
Soit $x$ un réel tel que $\cos x = - \frac{3}{5}$ et $x \in] \frac{π}{2}, π [$ . Calculer $\sin x$ , puis $\tan x$ .

Exercice 9 ★★★★ — Sommes telescopiques

Changements d'indice, regroupements et télescopageSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Soit $(a_{k})$ une famille de réels indexée par les entiers $k \geq 1$ . Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ ,
$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{1}$
a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k + 1}$ pour tout entier $k \geq 1$ .

b. En déduire la valeur de $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$ .
Calculer $\sum_{k = 1}^{n} \ln (1 + \frac{1}{k})$ .
Vérifier que $k \cdot k! = (k + 1)! - k!$ pour tout entier $k \geq 1$ , puis calculer $\sum_{k = 1}^{n} k \cdot k!$ .
On pose $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)}$ .

a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\frac{1}{k (k + 2)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k + 2}$ pour tout entier $k \geq 1$ .

b. On pose $u_{k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1}$ pour $k \geq 1$ . Vérifier que $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} = u_{k} - u_{k + 1}$ .

c. En déduire $T_{n}$ , puis contrôler le résultat sur $n = 1$ et $n = 2$ .

Exercice 10 ★★★★ — Les sommes de puissances par telescopage

Sommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissancesChangements d'indice, regroupements et télescopage

Soit $n \in N^{*}$ . On pose

S_{1} (n) = \sum_{k = 1}^{n} k, S_{2} (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2}, S_{3} (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} .

L'objectif est de calculer ces trois sommes sans aucune récurrence, en exploitant uniquement le télescopage.

1. Calculer de deux façons la somme $\sum_{k = 1}^{n} [(k + 1)^{2} - k^{2}]$ : d'abord par télescopage, puis en développant le crochet. En déduire $S_{1} (n)$ .

2. Reprendre la même méthode avec $\sum_{k = 1}^{n} [(k + 1)^{3} - k^{3}]$ et en déduire $S_{2} (n)$ .

3. Reprendre encore la méthode avec $\sum_{k = 1}^{n} [(k + 1)^{4} - k^{4}]$ et en déduire $S_{3} (n)$ .

4. En déduire, sous forme factorisée, les deux sommes suivantes.

a. $\sum_{k = 1}^{n} k (k + 1)$

b. $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)^{2}$

5. Vérifier les cinq résultats obtenus dans le cas $n = 3$ .

Exercice 11 ★★★★ — Somme geometrique et factorisation de a puissance n moins b puissance n

Sommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissances

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $n \in N^{*}$ . On adopte la convention $x^{0} = 1$ pour tout réel $x$ .

1. On pose $u_{k} = a^{k} b^{n - k}$ pour $k \in {0, \dots, n}$ . Calculer $u_{k} - u_{k - 1}$ pour $1 \leq k \leq n$ , puis en déduire par télescopage l'identité

a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{n - 1 - k} .

2. Appliquer cette identité pour factoriser les deux expressions suivantes.

a. $x^{3} - 8$ , pour $x \in R$

b. $a^{5} - b^{5}$

3. En prenant $a = q$ et $b = 1$ , retrouver la formule donnant $\sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k}$ pour $q \neq 1$ .

4. On suppose $n$ impair. Montrer que $a^{n} + b^{n} = (a + b) \sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} a^{k} b^{n - 1 - k}$ , et écrire le résultat pour $n = 3$ .

5. Soit $n \geq 2$ un entier qui n'est pas premier. Montrer que $2^{n} - 1$ n'est pas premier. Appliquer ce résultat à $2^{12} - 1$ . La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 12 ★★★★ — Produits et produits telescopiques

Sommes et produits : notations, manipulations, récurrence

1. Calculer, pour $n \geq 2$ , le produit $P_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k})$ .

2. Calculer, pour $n \geq 1$ , le produit $Q_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{k + 2}{k}$ .

3. Calculer, pour $n \geq 2$ , le produit $R_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k^{2}})$ en factorisant d'abord le terme général.

4. Retrouver le résultat de la question 3 en calculant $\ln R_{n}$ comme une somme télescopique.

5. Exprimer les deux produits suivants comme une puissance d'un seul entier, pour $n \geq 1$ .

a. $A_{n} = \prod_{k = 1}^{n} 2^{k}$

b. $B_{n} = \prod_{k = 1}^{n} 3^{2 k - 1}$

Exercice 13 ★★★★ — Identites classiques issues de la formule du binome

Formule du binôme de NewtonCoefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel. On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$ ,

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} .

1. Calculer $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})$ .

2. Calculer $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k})$ . On précisera pour quelles valeurs de $n$ le résultat est nul, en traitant à part le cas $n = 0$ .

3. On note $P_{n}$ la somme des coefficients binomiaux $(\binom{n}{k})$ pour $k$ pair, et $I_{n}$ la somme de ceux pour lesquels $k$ est impair. Déterminer $P_{n}$ et $I_{n}$ pour $n \geq 1$ , puis dire ce qu'il advient pour $n = 0$ .

4. Calculer les deux sommes suivantes, la seconde étant à mettre sous forme d'un quotient de deux puissances.

a. $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 3^{k}$

b. $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 2^{- k}$

5. Vérifier tous les résultats obtenus dans le cas $n = 3$ .

Exercice 14 ★★★★ — Formule du capitaine et sommes ponderees

Coefficients binomiaux et triangle de PascalFormule du binôme de Newton

Dans tout l'exercice, on utilise uniquement la définition $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $0 \leq k \leq n$ , ainsi que la formule du binôme.

1. Montrer que pour tous entiers $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n$ ,

k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1}) .

2. En déduire, pour $n \geq 1$ , la valeur de $\sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k})$ .

3. Montrer que pour $2 \leq k \leq n$ on a $k (k - 1) (\binom{n}{k}) = n (n - 1) (\binom{n - 2}{k - 2})$ , puis calculer $\sum_{k = 0}^{n} k (k - 1) (\binom{n}{k})$ pour $n \geq 2$ .

4. En écrivant $k^{2}$ à l'aide de $k (k - 1)$ et de $k$ , en déduire $\sum_{k = 0}^{n} k^{2} (\binom{n}{k})$ pour $n \geq 2$ .

5. Établir l'identité $\frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{n + 1} (\binom{n + 1}{k + 1})$ pour $0 \leq k \leq n$ , puis calculer $\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k})$ .

Exercice 15 ★★★★ — Sommes doubles rectangulaires et produit de deux sommes

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommes

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.

1. Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{p}$ des réels. Justifier soigneusement l'identité

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{j = 1}^{p} b_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{p} a_{i} b_{j} .

2. En déduire $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{p} i j$ .

3. Calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} (i + j)$ .

4. Calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} 2^{i} 3^{j}$ .

5. Calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} (i + j)^{2}$ . Pourquoi ne peut-on pas traiter cette somme comme celle de la question 4 ?

Exercice 16 ★★★★ — Sommes triangulaires

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommes

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1. Calculer les deux sommes suivantes, en sommant d'abord sur $i$ à $j$ fixé.

a. $\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} 1$

b. $\sum_{1 \leq i < j \leq n} 1$

2. Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels. En partageant l'ensemble des couples $(i, j)$ tels que $1 \leq i, j \leq n$ selon la position de $i$ par rapport à $j$ , démontrer l'identité

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j} .

3. En déduire $\sum_{1 \leq i < j \leq n} i j$ , sous forme factorisée.

4. En déduire $\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} i j$ , puis retrouver ce résultat par un calcul direct en sommant sur $i$ à $j$ fixé.

5. Vérifier les quatre résultats dans le cas $n = 3$ , en énumérant les couples concernés.

Exercice 17 ★★★★ — Systeme trois par trois dependant d un parametre

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Soit $m$ un nombre réel. On considère le système d'inconnues réelles $x$ , $y$ , $z$ :

(S_{m}) {\begin{cases} x + y + m z = 1 \\ x + m y + z = 1 \\ m x + y + z = 1 \end{cases}

1. Effectuer les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - m L_{1}$ . Expliquer pourquoi on ne peut pas, à ce stade, simplifier les équations obtenues par le facteur $m - 1$ .

2. Résoudre $(S_{m})$ lorsque $m$ n'est égal ni à $1$ ni à $- 2$ .

3. Résoudre $(S_{m})$ dans le cas $m = 1$ .

4. Étudier le cas $m = - 2$ . On pourra additionner les trois équations du système.

5. Récapituler la discussion, puis donner la solution pour $m = 0$ et pour $m = 3$ .

Exercice 18 ★★★★ — Systeme a second membre litteral

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Soient $a$ , $b$ , $c$ trois réels. On considère les deux systèmes d'inconnues réelles $x$ , $y$ , $z$ :

(S) {\begin{cases} x + y + z = a \\ x + 2 y + 3 z = b \\ x + 4 y + 9 z = c \end{cases} (T) {\begin{cases} x + y - z = a \\ 2 x - y + 3 z = b \\ x - 2 y + 4 z = c \end{cases}

1. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot, en exprimant $x$ , $y$ et $z$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$ .

2. Vérifier la solution obtenue en la substituant dans les trois équations de $(S)$ .

3. Donner la solution de $(S)$ pour $(a, b, c) = (1, 0, 1)$ , puis pour $(a, b, c) = (2, 2, 2)$ .

4. Montrer que $(T)$ n'admet de solution que si $a$ , $b$ et $c$ vérifient une certaine relation, que l'on déterminera.

5. Résoudre $(T)$ lorsque cette relation est vérifiée, puis traiter les deux cas numériques $(a, b, c) = (1, 2, 1)$ et $(a, b, c) = (1, 1, 1)$ .

Exercice 19 ★★★★ — Majorer, minorer, encadrer une somme

Inégalités dans R, valeur absolue et majorationsSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Toutes les inégalités demandées sont à établir pour un entier $n$ fixé, par manipulation algébrique. On rappelle que si $0 < a \leq b$ , alors $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ .

Pour $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ .

a. Encadrer $\frac{1}{n + k}$ , pour $k \in {1, \dots, n}$ , par deux quantités qui ne dépendent pas de $k$ .

b. En déduire que $\frac{1}{2} \leq S_{n} \leq \frac{n}{n + 1}$ , puis que $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

c. Vérifier ces encadrements pour $n = 1$ et $n = 4$ .
a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N^{*}$ et tous réels $a_{1}, \dots, a_{n}$ , on a $∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} ∣ \leq \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{k} ∣$ .

b. Pour $n \in N^{*}$ , on pose $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k (k + 1)}$ . Calculer $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$ par télescopage, puis en déduire que $∣ T_{n} ∣ < 1$ .
Pour $n \in N^{*}$ , on pose $U_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ .

a. Démontrer que, pour tout entier $k \geq 1$ , $\frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 (\sqrt{k} - \sqrt{k - 1})$ et $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq 2 (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k})$ .

b. En déduire que $2 \sqrt{n + 1} - 2 \leq U_{n} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ .

c. Vérifier cet encadrement pour $n = 1$ et $n = 4$ .
Question de méthode. La majoration terme à terme $\frac{1}{\sqrt{k}} \leq 1$ donne $U_{n} \leq n$ . Pourquoi ce résultat est-il sans intérêt ? Dire, à partir des questions 1 et 3, dans quel cas on majore terme à terme par une constante et dans quel cas on compare chaque terme à une différence de deux termes consécutifs.

Exercice 20 ★★★★ — Formules d addition, duplication et valeurs remarquables

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

On utilisera librement les valeurs remarquables de $\cos$ et $\sin$ en $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ , ainsi que les formules d'addition et de duplication. Toute racine carrée extraite devra être justifiée par une étude de signe.

a. En écrivant $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ , calculer $\cos \frac{π}{12}$ et $\sin \frac{π}{12}$ .

b. Vérifier le résultat en contrôlant que $\cos^{2} \frac{π}{12} + \sin^{2} \frac{π}{12} = 1$ .
a. À l'aide de la formule $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} a - 1$ , calculer $\cos \frac{π}{8}$ , puis $\sin \frac{π}{8}$ .

b. En posant $t = \tan \frac{π}{8}$ et en utilisant $\tan (2 a) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}$ , montrer que $t = \sqrt{2} - 1$ .

c. Retrouver ce résultat en calculant directement le quotient $\frac{\sin (π / 8)}{\cos (π / 8)}$ .
Démontrer que, pour tout réel $x$ , $\cos^{4} x - \sin^{4} x = \cos (2 x)$ .
a. Exprimer $\cos (3 x)$ en fonction de $\cos x$ seulement, pour tout réel $x$ .

b. Contrôler la formule obtenue en prenant $x = \frac{π}{4}$ .

c. Par la même méthode, exprimer $\sin (3 x)$ en fonction de $\sin x$ seulement.

Exercice 21 ★★★★ — Equations trigonometriques

Équations et inéquations trigonométriques

On rappelle que, pour tous réels $a$ et $b$ :

\cos a = \cos b ⟺ a = b + 2 k π ou a = - b + 2 k π (k \in Z)

\sin a = \sin b ⟺ a = b + 2 k π ou a = π - b + 2 k π (k \in Z)

et que, lorsque les deux tangentes existent, $\tan a = \tan b ⟺ a = b + k π$ avec $k \in Z$ .

Résoudre les équations suivantes dans $R$ , puis énumérer les solutions appartenant à $[0, 2 π [$ .

$\cos x = - \frac{1}{2}$
$\sin (2 x) = \cos x$ (on factorisera)
$\cos (3 x) = \sin x$
$\tan (2 x) = \tan x$ (on précisera d'abord l'ensemble des $x$ pour lesquels l'équation a un sens)
$2 \cos^{2} x - 3 \cos x + 1 = 0$ (on posera $t = \cos x$ )

Exercice 22 ★★★★ — Sommes doubles avec minimum et valeur absolue

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommes

Soit $n \in N^{*}$ . La notation $\sum_{1 \leq i, j \leq n}$ désigne la somme portant sur tous les couples $(i, j)$ tels que $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq n$ , soit $n^{2}$ termes. On rappelle que

\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} et \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Pour $n = 3$ , écrire les $9$ valeurs de $\min (i, j)$ et les $9$ valeurs de $∣ i - j ∣$ , puis calculer les deux sommes correspondantes.
Démontrer que $\sum_{1 \leq i < j \leq n} i = \frac{n (n + 1) (n - 1)}{6}$ .
En découpant l'ensemble des couples selon $i < j$ , $i = j$ et $i > j$ , et en utilisant la symétrie de $\min$ , calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} \min (i, j)$ .
Par un découpage analogue, en regroupant les couples selon la valeur de $j - i$ , calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} ∣ i - j ∣$ .
a. Justifier que $\min (i, j) + \max (i, j) = i + j$ pour tous entiers $i$ et $j$ , puis en déduire $\sum_{1 \leq i, j \leq n} \max (i, j)$ .

b. Contrôler la cohérence des trois résultats à l'aide de l'égalité $\max (i, j) - \min (i, j) = ∣ i - j ∣$ .

Exercice 23 ★★★★ — Interversion de sommes et calcul de la somme des k fois q puissance k

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommesSommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissances

Soient $n \in N^{*}$ et $q$ un réel. On pose $S_{n} (q) = \sum_{k = 1}^{n} k q^{k}$ . On rappelle que, pour $q \neq 1$ et $m \in N$ , $\sum_{j = 0}^{m} q^{j} = \frac{1 - q^{m + 1}}{1 - q}$ .

Calculer $S_{n} (1)$ .
On suppose désormais $q \neq 1$ .

a. Justifier que $k = \sum_{i = 1}^{k} 1$ pour tout $k \geq 1$ , en déduire que $S_{n} (q) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} q^{k}$ , puis intervertir les deux sommes en décrivant précisément l'ensemble des couples $(i, k)$ concernés.

b. Calculer $\sum_{k = i}^{n} q^{k}$ pour $i \in {1, \dots, n}$ .

c. En déduire que $S_{n} (q) = \frac{q - (n + 1) q^{n + 1} + n q^{n + 2}}{(1 - q)^{2}}$ .
Vérifier ce résultat pour $n = 2$ et $q = 2$ .
Déduire de la question 2. que, pour tout $n \in N^{*}$ , $\sum_{k = 1}^{n} k 2^{k} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ , et contrôler cette formule pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ .
Redémontrer la formule de la question 4. par récurrence sur $n$ , puis dire ce que la méthode d'interversion apporte de plus que la récurrence.

Exercice 24 ★★★★ — Formule de Vandermonde et somme des carres des coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans tout l'exercice, on adopte la convention usuelle suivante : pour $a \in N$ et $b \in Z$ ,

(\binom{a}{b}) = \frac{a!}{b! (a - b)!} si 0 \leq b \leq a, (\binom{a}{b}) = 0 sinon

On admet également le résultat suivant, qui sera démontré plus tard dans l'année : si deux expressions de la forme $\sum_{p = 0}^{N} α_{p} x^{p}$ et $\sum_{p = 0}^{N} β_{p} x^{p}$ prennent la même valeur pour tout réel $x$ , alors $α_{p} = β_{p}$ pour tout $p \in {0, \dots, N}$ .

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels.

Écrire le développement de $(1 + x)^{m + n}$ par la formule du binôme, et donner le coefficient de $x^{p}$ pour $p \in {0, \dots, m + n}$ .
Développer le produit $(1 + x)^{m} (1 + x)^{n}$ sous forme d'une somme double, puis regrouper les termes selon la valeur de la somme des deux indices. Montrer que le coefficient de $x^{p}$ vaut $\sum_{k = 0}^{p} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{p - k})$ .
En déduire la formule de Vandermonde : pour tout $p \in {0, \dots, m + n}$ ,
$\sum_{k = 0}^{p} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{p - k}) = (\binom{m + n}{p})$
Vérifier cette formule pour $m = n = 2$ et $p = 2$ .
En choisissant convenablement $m$ , $n$ et $p$ , et en utilisant la symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , démontrer que $\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$ . Vérifier pour $n = 3$ .
Exprimer $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{k + 1})$ à l'aide d'un seul coefficient binomial, et vérifier le résultat pour $n = 3$ .

Exercice 25 ★★★★ — Sommes de coefficients binomiaux divises par k plus un

Coefficients binomiaux et triangle de PascalFormule du binôme de Newton

Soit $n \in N$ . On rappelle que $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $k \in {0, \dots, n}$ , ainsi que les deux sommes classiques

\sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) = 2^{m} (m \in N) et \sum_{j = 0}^{m} (- 1)^{j} (\binom{m}{j}) = 0 (m \in N^{*})

toutes deux obtenues par la formule du binôme appliquée à $(1 + 1)^{m}$ et à $(1 - 1)^{m}$ .

Démontrer, par un calcul direct sur les factorielles, que pour tout $k \in {0, \dots, n}$ :
$\frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{n + 1} (\binom{n + 1}{k + 1})$
En déduire que $A_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}$ .
En déduire de même que $B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{n + 1}$ .
Vérifier les deux résultats pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ .
Sur le même modèle, démontrer que $\frac{1}{(k + 1) (k + 2)} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} (\binom{n + 2}{k + 2})$ , puis calculer $C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} (\binom{n}{k})$ . Contrôler pour $n = 1$ .

Exercice 26 ★★★★ — Un systeme trois par trois de type Vandermonde

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Pour trois réels $a$ , $b$ , $c$ , on note $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Toutes les résolutions se feront par opérations élémentaires sur les lignes, notées par exemple $L_{2} \leftarrow L_{2} - 4 L_{1}$ , chaque opération étant écrite en clair.

Étant donnés six réels $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ et $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ , la condition « $f (x_{i}) = y_{i}$ pour $i \in {1, 2, 3}$ » se traduit par le système d'inconnues $a$ , $b$ , $c$ suivant, que l'on appellera $(V)$ :

{\begin{cases} x_{1}^{2} a + x_{1} b + c = y_{1} \\ x_{2}^{2} a + x_{2} b + c = y_{2} \\ x_{3}^{2} a + x_{3} b + c = y_{3} \end{cases}

Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $f (1) = 2$ , $f (2) = 3$ et $f (3) = 6$ .
Vérifier la solution trouvée.
On suppose $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ deux à deux distincts, les réels $y_{1}$ , $y_{2}$ , $y_{3}$ étant quelconques. Montrer que $(V)$ admet une solution et une seule. On signalera précisément chaque endroit où l'hypothèse « les $x_{i}$ sont deux à deux distincts » est utilisée.
Que se passe-t-il si deux des abscisses sont égales ? On traitera les deux cas $x_{1} = x_{2} = 1$ , $x_{3} = 3$ avec d'une part $y_{1} = 2$ , $y_{2} = 5$ , $y_{3} = 6$ , d'autre part $y_{1} = y_{2} = 2$ , $y_{3} = 6$ .

Exercice 27 ★★★★ — Inegalite de Bernoulli et applications

Inégalités dans R, valeur absolue et majorations

Inégalité de Bernoulli. Soit $x$ un réel tel que $x \geq - 1$ .

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ .

b. Indiquer l'unique endroit de la démonstration où l'hypothèse $x \geq - 1$ est utilisée, et vérifier sur l'exemple $x = - 4$ , $n = 3$ que l'inégalité peut être fausse sans elle.
Cas d'égalité. Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$ et tout réel $x \geq - 1$ non nul, l'inégalité est stricte : $(1 + x)^{n} > 1 + n x$ . En déduire la liste exacte des couples $(n, x)$ pour lesquels il y a égalité.
Applications. Soit $n \in N^{*}$ .

a. Retrouver l'inégalité $2^{n} \geq n + 1$ , et préciser pour quels $n$ elle est stricte.

b. Démontrer que ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \geq 2$ .

c. Soit $x$ un réel tel que $0 < x < 1$ . Démontrer que $(1 - x)^{n} \leq \frac{1}{1 + n x}$ .
Un cran plus loin. Soient $n \in N$ et $x \geq 0$ .

a. Démontrer, à l'aide de la formule du binôme et sans récurrence, que $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{2} x^{2}$ .

b. Cette inégalité reste-t-elle valable pour $- 1 \leq x < 0$ ?

Exercice 28 ★★★★ — Encadrement de la somme des inverses des carres

Inégalités dans R, valeur absolue et majorationsChangements d'indice, regroupements et télescopage

Pour tout entier $n \geq 1$ , on pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ .

Démontrer que pour tout entier $k \geq 2$ , $\frac{1}{k (k + 1)} \leq \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{k (k - 1)}$ . Pourquoi l'entier $k = 1$ doit-il être exclu ?
Calculer $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (k - 1)}$ pour $n \geq 2$ , puis $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$ pour $n \geq 1$ .
En déduire que pour tout entier $n \geq 1$ , $\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} \leq S_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}$ . En particulier $S_{n} \leq 2$ .
Vérifier cet encadrement en calculant les trois quantités pour $n = 2$ , puis pour $n = 3$ .
Démontrer que pour tout entier $n \geq 1$ , $\frac{n}{(n + 1) (2 n + 1)} \leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{2 n}$ .

Chaque inégalité demandée est valable pour tout entier $n$ fixé : il ne s'agit à aucun moment d'étudier le comportement de $S_{n}$ lorsque $n$ devient grand.

Exercice 29 ★★★★ — Somme des cosinus par la technique de l angle moitie

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrieChangements d'indice, regroupements et télescopage

Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel. On pose

C_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k x) et S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \sin (k x) .

On suppose dans cette question que $x \equiv 0 [2 π]$ , c'est-à-dire qu'il existe un entier relatif $p$ tel que $x = 2 p π$ . Calculer $C_{n} (x)$ et $S_{n} (x)$ .
On suppose désormais $x \equiv̸ 0 [2 π]$ . Justifier que $\sin \frac{x}{2} \neq 0$ , puis démontrer que pour tout entier $k$ ,
$2 \sin \frac{x}{2} \cos (k x) = \sin ((k + \frac{1}{2}) x) - \sin ((k - \frac{1}{2}) x) .$
En déduire que $2 \sin \frac{x}{2} C_{n} (x) = \sin ((n + \frac{1}{2}) x) + \sin \frac{x}{2}$ , puis que
$C_{n} (x) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \cos (\frac{n x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} .$
Établir par la même méthode que $S_{n} (x) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})}{\sin \frac{x}{2}}$ .
Vérifier la formule de la question 3 pour $n = 1$ et $x = \frac{π}{2}$ . Calculer ensuite $\sum_{k = 0}^{5} \cos (\frac{k π}{3})$ à l'aide de la formule, puis retrouver le résultat en additionnant directement les six termes.

Exercice 30 ★★★★ — Reduire a cosinus x plus b sinus x et resoudre

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrieÉquations et inéquations trigonométriques

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. On pose $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Justifier que $R > 0$ , puis démontrer qu'il existe un réel $φ$ tel que $\cos φ = \frac{a}{R}$ et $\sin φ = \frac{b}{R}$ . En déduire que pour tout réel $x$ , $a \cos x + b \sin x = R \cos (x - φ)$ .
Écrire $\cos x + \sqrt{3} \sin x$ sous la forme $R \cos (x - φ)$ avec $R > 0$ et $φ$ explicite, puis résoudre l'équation $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 1$ sur $[0, 2 π [$ .
Déterminer le maximum et le minimum de la fonction $f : x \mapsto 3 \cos x - 4 \sin x$ sur $R$ , et préciser en quels réels ils sont atteints. Aucune dérivation n'est nécessaire.
Résoudre l'inéquation $\cos x - \sin x \geq 1$ sur $[0, 2 π [$ , puis donner l'ensemble de ses solutions dans $R$ .

Exercice 31 ★★★★ — Produit de cosinus d angles successivement divises par deux

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrieSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Pour tout entier $n \geq 1$ et tout réel $x$ , on pose $P_{n} (x) = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{x}{2^{k}})$ .

Rappeler pourquoi, pour tout réel $θ$ , $\sin θ = 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}$ .
Démontrer par récurrence sur $n \geq 1$ la propriété suivante : pour tout réel $x$ tel que $\sin (\frac{x}{2^{n}}) \neq 0$ ,
$P_{n} (x) = \frac{\sin x}{2^{n} \sin (\frac{x}{2^{n}})} .$
On prendra garde, dans l'hérédité, au cas où $\cos (\frac{x}{2^{n + 1}}) = 0$ .
Retrouver la même formule par télescopage, sous l'hypothèse plus forte que $\sin (\frac{x}{2^{k}}) \neq 0$ pour tout $k$ de ${1, \dots, n}$ .
Calculer $\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{8} \cos \frac{π}{16}$ et en donner la valeur exacte sous forme de radicaux, puis une valeur approchée à $10^{- 6}$ près.
Donner, pour tout entier $n \geq 1$ , la valeur de $\prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{π}{2^{k + 1}})$ .

Exercice 32 ★★★★ — Inegalite de Cauchy et Schwarz par le discriminant

Inégalités dans R, valeur absolue et majorationsSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Soient $n \geq 1$ un entier, $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ des réels. On pose

A = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}, B = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}, C = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2},

et, pour tout réel $t$ , $P (t) = \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} t + b_{k})^{2}$ .

Démontrer que pour tout réel $t$ , $P (t) = A t^{2} + 2 B t + C$ , et que $P (t) \geq 0$ .
On suppose que $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0$ . Vérifier directement l'inégalité $B^{2} \leq A C$ .
On suppose maintenant qu'au moins un des réels $a_{k}$ est non nul. Démontrer que $A > 0$ , puis, en étudiant le discriminant du trinôme $P$ , établir l'inégalité de Cauchy et Schwarz
${(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2} \leq (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}) .$
Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les deux familles sont proportionnelles, c'est-à-dire si tous les $a_{k}$ sont nuls, ou s'il existe un réel $λ$ tel que $b_{k} = λ a_{k}$ pour tout $k$ de ${1, \dots, n}$ .
Applications.

a. Démontrer que ${(\sum_{k = 1}^{n} k)}^{2} \leq n \sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ , puis retrouver cette inégalité par le calcul direct des deux membres.

b. Démontrer que ${(\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k})}^{2} \leq \frac{n^{2} (n + 1)}{2}$ .

Exercice 33 ★★★★ — Sommes doubles de coefficients binomiaux

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommesCoefficients binomiaux et triangle de Pascal

Soit $n$ un entier naturel. On rappelle que $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $0 \leq k \leq n$ , et l'on admet le résultat démontré dans un exercice précédent de la fiche :

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n}) .

On considère les trois sommes doubles suivantes.

\begin{aligned} Somme totale : & T & = \sum_{0 \leq i, j \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}), \\ partie stricte : & U & = \sum_{0 \leq i < j \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}), \\ partie large : & V & = \sum_{0 \leq i \leq j \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}) . \end{aligned}

Démontrer que $T = {(\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}))}^{2}$ , puis que $T = 4^{n}$ .
On pose $U^{'} = \sum_{0 \leq j < i \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j})$ . Démontrer que $U^{'} = U$ .
En séparant les couples $(i, j)$ de ${0, \dots, n}^{2}$ selon que $i < j$ , $i = j$ ou $i > j$ , démontrer que $T = 2 U + (\binom{2 n}{n})$ , puis que $U = \frac{4^{n} - (\binom{2 n}{n})}{2}$ .
Vérifier ce résultat pour $n = 1$ , puis pour $n = 2$ , en calculant $U$ directement.
En déduire la valeur de $V$ .

Exercice 34 ★★★★ — Discussion complete d un systeme a parametres

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Soit $m$ un réel. On considère le système d'inconnues réelles $(x, y, z)$

(S_{m}) {\begin{cases} x + y + m z = 1 \\ x + m y + z = m \\ m x + y + z = m^{2} \end{cases}

Le paramètre $m$ figure à la fois dans les coefficients et dans le second membre.

Effectuer les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ , et vérifier que $(S_{m})$ équivaut au système formé de $L_{1}$ , de $(m - 1) (y - z) = m - 1$ et de $(m - 1) (x - z) = (m - 1) (m + 1)$ .
Résoudre $(S_{1})$ .
On suppose $m \neq 1$ . Démontrer que $(S_{m})$ équivaut au système formé de $y = z + 1$ , de $x = z + m + 1$ et de $(m + 2) z = - (m + 1)$ . Pourquoi ne peut-on pas conclure immédiatement en divisant par $m + 2$ ?
Résoudre $(S_{- 2})$ .
Pour $m \notin {1, - 2}$ , donner l'unique solution de $(S_{m})$ et vérifier qu'elle satisfait les trois équations de départ. Récapituler alors la discussion complète selon les valeurs de $m$ .

Exercice 35 ★★★★ — Expression de cosinus de cinq x et valeur exacte de cosinus de pi sur cinq

Équations et inéquations trigonométriquesCercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Démontrer que pour tout réel $x$ , $\cos (3 x) = 4 \cos^{3} x - 3 \cos x$ .
En déduire que pour tout réel $x$ , $\cos (5 x) = 16 \cos^{5} x - 20 \cos^{3} x + 5 \cos x$ . Contrôler cette identité pour $x = 0$ , puis pour $x = \frac{π}{2}$ .
Résoudre dans $R$ l'équation $\cos (3 x) = \cos (2 x)$ .
On pose $c = \cos \frac{2 π}{5}$ . Démontrer que $4 c^{3} - 2 c^{2} - 3 c + 1 = 0$ , puis que $4 c^{2} + 2 c - 1 = 0$ . En déduire la valeur exacte de $c$ , en justifiant le choix de la racine du trinôme. Donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.
En déduire la valeur exacte de $d = \cos \frac{π}{5}$ , puis vérifier, à l'aide de la question 2, que $16 d^{5} - 20 d^{3} + 5 d = - 1$ .

Exercice 36 ★★★★ — Sommation en colonnes dans le triangle de Pascal

Coefficients binomiaux et triangle de PascalFormule du binôme de Newton

Pour des entiers $0 \leq k \leq n$ , on note $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ , et l'on convient que $(\binom{n}{k}) = 0$ dès que $k > n$ . On rappelle la formule de Pascal : pour tous entiers $m \geq 0$ et $k \geq 1$ ,

(\binom{m}{k - 1}) + (\binom{m}{k}) = (\binom{m + 1}{k}) .

L'objet de l'exercice est l'identité dite de la crosse de hockey : pour tous entiers $p$ et $n$ tels que $0 \leq p \leq n$ ,

\sum_{k = p}^{n} (\binom{k}{p}) = (\binom{n + 1}{p + 1}) .

Vérifier cette identité dans les deux cas particuliers $p = 0$ et $n = p$ .
Démontrer l'identité par récurrence sur $n$ , l'entier $p$ étant fixé.
Retrouver la valeur de $\sum_{k = 1}^{n} k$ , puis calculer $\sum_{k = 1}^{n} (\binom{k}{2})$ .
Vérifier que $k^{2} = 2 (\binom{k}{2}) + (\binom{k}{1})$ pour tout entier $k \geq 1$ , et en déduire $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ .
Calculer $\sum_{k = 1}^{n} k (k + 1) (k + 2)$ sous forme factorisée. On pourra remarquer que $k (k + 1) (k + 2) = 6 (\binom{k + 2}{3})$ et poser $j = k + 2$ .
Vérifier chacun des quatre résultats obtenus aux questions 3, 4 et 5 pour $n = 3$ .

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MPSI · Chapitre 02 · Premier semestre

Exercices — Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

36 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Exercice 1 ★★★★ — Prendre en main les symboles somme et produit

Sommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Écrire en extension, puis calculer.

a. $\sum_{k = 1}^{5} (2 k - 1)$
b. $\prod_{k = 1}^{4} \frac{k + 1}{k}$
c. $\sum_{k = 4}^{12} 7$
d. $\prod_{k = 1}^{3} (k^{2} + 1)$
Soit $x$ un réel et soit $n \in N^{*}$ . Calculer $\sum_{k = 1}^{n} x^{2}$ et $\prod_{k = 1}^{n} x$ , en expliquant pourquoi le résultat ne fait pas intervenir $k$ .
Les deux sommes $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ et $\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$ sont-elles égales ? Et les deux sommes $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ et $\sum_{k = 1}^{n} n^{2}$ ?
Calculer $\sum_{k = 3}^{2} k$ et $\prod_{k = 5}^{4} k$ . Expliquer ensuite pourquoi il est cohérent de poser produit vide $= 1$ et non $0$ .
Écrire à l'aide du symbole $\sum$ chacune des sommes suivantes, puis donner le nombre de termes de chacune.

a. $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36$
b. $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \dots + \frac{9}{10}$
c. $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n$
d. $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2 n + 1}$

Exercice 2 ★★★★ — Changements d indice et decalages

Changements d'indice, regroupements et télescopage

Récrire chacune des sommes ou produits suivants de sorte que le nouvel indice parte de $0$ pour les deux premiers, de $1$ pour le troisième.

a. $\sum_{k = 3}^{n + 3} a_{k}$
b. $\sum_{k = 3}^{n + 3} (k - 3)^{2}$
c. $\prod_{k = 2}^{n} (k - 1)$
Récrire $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 2}$ comme une somme dont le terme général est $\frac{1}{j}$ , en précisant les nouvelles bornes.
Soit $S = \sum_{k = 0}^{n} k$ . En posant $j = n - k$ , montrer que $S = \sum_{j = 0}^{n} (n - j)$ , puis en déduire la valeur de $S$ en calculant $2 S$ .
On pose $A = \sum_{k = 1}^{10} (- 1)^{k} k$ . Séparer les indices pairs des indices impairs, puis calculer $A$ .
Montrer, par un changement d'indice, que $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Sommes arithmetiques et geometriques

Sommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissances

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et $q$ un réel.

Calculer les sommes arithmétiques suivantes, en fonction de $n$ pour les deux premières.

a. $\sum_{k = 1}^{n} k$ , puis $\sum_{k = 1}^{100} k$
b. $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)$
c. $4 + 7 + 10 + \dots + 301$
Calculer les sommes géométriques numériques $\sum_{k = 0}^{10} 2^{k}$ et $\sum_{k = 2}^{6} 3^{k}$ .
Calculer $\sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ en fonction de $n$ et de $q$ . On distinguera soigneusement deux cas.
Soit $n \geq 3$ . Calculer $\sum_{k = 3}^{n} q^{k}$ , en distinguant là encore les deux cas.
Calculer $\sum_{k = 1}^{n} (k + 2^{k})$ .

Exercice 4 ★★★★ — Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

On rappelle que pour $n \in N$ et $k \in {0, \dots, n}$ , le coefficient binomial est défini par $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Calculer les coefficients suivants.

a. $(\binom{5}{2})$
b. $(\binom{7}{3})$
c. $(\binom{10}{1})$
d. $(\binom{6}{4})$
e. $(\binom{8}{8})$
f. $(\binom{9}{0})$
Démontrer, à partir de la définition, que $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ pour tout $k \in {0, \dots, n}$ .
a. Vérifier numériquement que $(\binom{6}{2}) + (\binom{6}{3}) = (\binom{7}{3})$ , puis démontrer la formule de Pascal : pour $1 \leq k \leq n - 1$ , $(\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) = (\binom{n}{k})$ .

b. Sachant que la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal est $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ , écrire la ligne $n = 7$ sans calculer aucune factorielle.
Soit $n \in N^{*}$ et $k \in {1, \dots, n}$ . Simplifier le quotient $\frac{(\binom{n}{k})}{(\binom{n}{k - 1})}$ , puis démontrer que $k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1})$ .
Résoudre l'équation $(\binom{n}{2}) = 45$ d'inconnue $n \in N$ avec $n \geq 2$ , puis l'équation $(\binom{8}{k}) = 56$ d'inconnue $k \in {0, \dots, 8}$ .

Exercice 5 ★★★★ — Developper avec la formule du binome

Formule du binôme de Newton

On rappelle la formule du binôme de Newton : pour tous réels $a$ et $b$ et tout $n \in N$ ,

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

Développer et réduire $(a + b)^{5}$ , où $a$ et $b$ sont deux réels quelconques.
Développer et réduire $(x - 2)^{4}$ , où $x$ est un réel. On précisera quel rôle joue $- 2$ dans la formule.
Écrire $(1 + \sqrt{2})^{3}$ sous la forme $a + b \sqrt{2}$ , où $a$ et $b$ sont deux entiers.
Sans développer entièrement l'expression, déterminer le coefficient de $x^{4}$ , puis celui de $x^{3}$ , dans le développement de $(2 x - 3)^{6}$ .
a. Vérifier sur $n = 4$ que $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ , puis démontrer cette égalité pour tout $n \in N$ .

b. Calculer de même $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k})$ pour $n \in N^{*}$ .

Exercice 6 ★★★★ — Premiers systemes lineaires par le pivot de Gauss

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Résoudre le système
$(S_{1}) : {\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ 5 x - y = 3 \end{cases}$
Résoudre le système
$(S_{2}) : {\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2 x - y + 3 z = 9 \\ x + 2 y - z = 2 \end{cases}$
Résoudre le système
$(S_{3}) : {\begin{cases} x + 2 y - z = 1 \\ 2 x + 5 y + z = 5 \\ 3 x + 7 y = 6 \end{cases}$
Reprendre le système $(S_{3})$ en remplaçant uniquement le second membre de la troisième équation par $7$ . Que devient l'ensemble des solutions ?

Exercice 7 ★★★★ — Valeur absolue, ecarts controles et partie positive

Inégalités dans R, valeur absolue et majorations

a. Écrire l'encadrement $3 < x < 8$ sous la forme $∣ x - c ∣ < r$ , où $c$ et $r$ sont deux réels à déterminer, avec $r > 0$ .

b. Résoudre dans $R$ l'inéquation $∣ 3 x + 1 ∣ < 4$ et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Résoudre dans $R$ l'inéquation $∣ x - 2 ∣ \geq ∣ 2 x + 1 ∣$ . On pourra élever au carré, après avoir justifié que cette opération fournit ici une équivalence.
Soient $a$ et $b$ deux réels vérifiant $∣ a - 3 ∣ \leq \frac{1}{4}$ et $∣ b + 2 ∣ \leq \frac{1}{2}$ .

a. Majorer $∣ a + b - 1 ∣$ .

b. En posant $u = a - 3$ et $v = b + 2$ , majorer $∣ a b + 6 ∣$ .
Pour tout réel $x$ , on pose
$x^{+} = \frac{x + ∣ x ∣}{2} et x^{-} = \frac{∣ x ∣ - x}{2} .$
a. Calculer $x^{+}$ et $x^{-}$ pour $x = 5$ , puis pour $x = - 3$ .

b. Démontrer que $x^{+} \geq 0$ et $x^{-} \geq 0$ , puis que $x^{+} - x^{-} = x$ et $x^{+} + x^{-} = ∣ x ∣$ .

c. Démontrer que $x^{+} x^{-} = 0$ et interpréter ce résultat.

Exercice 8 ★★★★ — Lire le cercle trigonometrique

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Aucune valeur ne doit être obtenue à la calculatrice : on ramènera chaque angle à un angle remarquable de $[0, \frac{π}{2}]$ à l'aide des formules de symétrie.

Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants.

a. $\cos \frac{5 π}{6}$
b. $\sin \frac{7 π}{4}$
c. $\tan \frac{2 π}{3}$
d. $\cos (- \frac{π}{3})$
e. $\sin \frac{5 π}{3}$
f. $\cos \frac{3 π}{4}$
g. $\sin (- \frac{5 π}{6})$
h. $\tan \frac{5 π}{4}$
i. $\cos \frac{7 π}{6}$
Simplifier les expressions suivantes, où $x$ désigne un réel quelconque (la dernière étant supposée définie).

a. $\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x)$
b. $\cos (π + x) + \cos (π - x)$
c. $\cos^{2} (\frac{π}{2} - x) + \cos^{2} (π - x)$
d. $\frac{\sin (π - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)}$
Déterminer, pour chacun des réels $\frac{27 π}{4}$ , $- \frac{17 π}{3}$ et $\frac{31 π}{6}$ , l'unique réel de $[0, 2 π [$ qui lui est égal modulo $2 π$ . En déduire $\cos \frac{31 π}{6}$ et $\sin \frac{31 π}{6}$ .
Déterminer le signe de $\cos x$ et celui de $\sin x$ lorsque $x$ appartient à l'un des intervalles suivants.

a. $] \frac{π}{2}, π [$
b. $] \frac{7 π}{6}, \frac{4 π}{3} [$
c. $] - \frac{π}{2}, 0 [$
d. $] \frac{7 π}{4}, 2 π [$
Soit $x$ un réel tel que $\cos x = - \frac{3}{5}$ et $x \in] \frac{π}{2}, π [$ . Calculer $\sin x$ , puis $\tan x$ .

Exercice 9 ★★★★ — Sommes telescopiques

Changements d'indice, regroupements et télescopageSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Soit $(a_{k})$ une famille de réels indexée par les entiers $k \geq 1$ . Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ ,
$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{1}$
a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k + 1}$ pour tout entier $k \geq 1$ .

b. En déduire la valeur de $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$ .
Calculer $\sum_{k = 1}^{n} \ln (1 + \frac{1}{k})$ .
Vérifier que $k \cdot k! = (k + 1)! - k!$ pour tout entier $k \geq 1$ , puis calculer $\sum_{k = 1}^{n} k \cdot k!$ .
On pose $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)}$ .

a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\frac{1}{k (k + 2)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k + 2}$ pour tout entier $k \geq 1$ .

b. On pose $u_{k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1}$ pour $k \geq 1$ . Vérifier que $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} = u_{k} - u_{k + 1}$ .

c. En déduire $T_{n}$ , puis contrôler le résultat sur $n = 1$ et $n = 2$ .

Exercice 10 ★★★★ — Les sommes de puissances par telescopage

Sommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissancesChangements d'indice, regroupements et télescopage

Soit $n \in N^{*}$ . On pose

S_{1} (n) = \sum_{k = 1}^{n} k, S_{2} (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2}, S_{3} (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} .

L'objectif est de calculer ces trois sommes sans aucune récurrence, en exploitant uniquement le télescopage.

1. Calculer de deux façons la somme $\sum_{k = 1}^{n} [(k + 1)^{2} - k^{2}]$ : d'abord par télescopage, puis en développant le crochet. En déduire $S_{1} (n)$ .

2. Reprendre la même méthode avec $\sum_{k = 1}^{n} [(k + 1)^{3} - k^{3}]$ et en déduire $S_{2} (n)$ .

3. Reprendre encore la méthode avec $\sum_{k = 1}^{n} [(k + 1)^{4} - k^{4}]$ et en déduire $S_{3} (n)$ .

4. En déduire, sous forme factorisée, les deux sommes suivantes.

a. $\sum_{k = 1}^{n} k (k + 1)$

b. $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)^{2}$

5. Vérifier les cinq résultats obtenus dans le cas $n = 3$ .

Exercice 11 ★★★★ — Somme geometrique et factorisation de a puissance n moins b puissance n

Sommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissances

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $n \in N^{*}$ . On adopte la convention $x^{0} = 1$ pour tout réel $x$ .

1. On pose $u_{k} = a^{k} b^{n - k}$ pour $k \in {0, \dots, n}$ . Calculer $u_{k} - u_{k - 1}$ pour $1 \leq k \leq n$ , puis en déduire par télescopage l'identité

a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{n - 1 - k} .

2. Appliquer cette identité pour factoriser les deux expressions suivantes.

a. $x^{3} - 8$ , pour $x \in R$

b. $a^{5} - b^{5}$

3. En prenant $a = q$ et $b = 1$ , retrouver la formule donnant $\sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k}$ pour $q \neq 1$ .

4. On suppose $n$ impair. Montrer que $a^{n} + b^{n} = (a + b) \sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} a^{k} b^{n - 1 - k}$ , et écrire le résultat pour $n = 3$ .

5. Soit $n \geq 2$ un entier qui n'est pas premier. Montrer que $2^{n} - 1$ n'est pas premier. Appliquer ce résultat à $2^{12} - 1$ . La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 12 ★★★★ — Produits et produits telescopiques

Sommes et produits : notations, manipulations, récurrence

1. Calculer, pour $n \geq 2$ , le produit $P_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k})$ .

2. Calculer, pour $n \geq 1$ , le produit $Q_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{k + 2}{k}$ .

3. Calculer, pour $n \geq 2$ , le produit $R_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k^{2}})$ en factorisant d'abord le terme général.

4. Retrouver le résultat de la question 3 en calculant $\ln R_{n}$ comme une somme télescopique.

5. Exprimer les deux produits suivants comme une puissance d'un seul entier, pour $n \geq 1$ .

a. $A_{n} = \prod_{k = 1}^{n} 2^{k}$

b. $B_{n} = \prod_{k = 1}^{n} 3^{2 k - 1}$

Exercice 13 ★★★★ — Identites classiques issues de la formule du binome

Formule du binôme de NewtonCoefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel. On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$ ,

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} .

1. Calculer $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})$ .

2. Calculer $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k})$ . On précisera pour quelles valeurs de $n$ le résultat est nul, en traitant à part le cas $n = 0$ .

4. Calculer les deux sommes suivantes, la seconde étant à mettre sous forme d'un quotient de deux puissances.

a. $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 3^{k}$

b. $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 2^{- k}$

5. Vérifier tous les résultats obtenus dans le cas $n = 3$ .

Exercice 14 ★★★★ — Formule du capitaine et sommes ponderees

Coefficients binomiaux et triangle de PascalFormule du binôme de Newton

Dans tout l'exercice, on utilise uniquement la définition $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $0 \leq k \leq n$ , ainsi que la formule du binôme.

1. Montrer que pour tous entiers $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n$ ,

k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1}) .

2. En déduire, pour $n \geq 1$ , la valeur de $\sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k})$ .

3. Montrer que pour $2 \leq k \leq n$ on a $k (k - 1) (\binom{n}{k}) = n (n - 1) (\binom{n - 2}{k - 2})$ , puis calculer $\sum_{k = 0}^{n} k (k - 1) (\binom{n}{k})$ pour $n \geq 2$ .

4. En écrivant $k^{2}$ à l'aide de $k (k - 1)$ et de $k$ , en déduire $\sum_{k = 0}^{n} k^{2} (\binom{n}{k})$ pour $n \geq 2$ .

5. Établir l'identité $\frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{n + 1} (\binom{n + 1}{k + 1})$ pour $0 \leq k \leq n$ , puis calculer $\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k})$ .

Exercice 15 ★★★★ — Sommes doubles rectangulaires et produit de deux sommes

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommes

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.

1. Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{p}$ des réels. Justifier soigneusement l'identité

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{j = 1}^{p} b_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{p} a_{i} b_{j} .

2. En déduire $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{p} i j$ .

3. Calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} (i + j)$ .

4. Calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} 2^{i} 3^{j}$ .

5. Calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} (i + j)^{2}$ . Pourquoi ne peut-on pas traiter cette somme comme celle de la question 4 ?

Exercice 16 ★★★★ — Sommes triangulaires

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommes

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1. Calculer les deux sommes suivantes, en sommant d'abord sur $i$ à $j$ fixé.

a. $\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} 1$

b. $\sum_{1 \leq i < j \leq n} 1$

2. Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels. En partageant l'ensemble des couples $(i, j)$ tels que $1 \leq i, j \leq n$ selon la position de $i$ par rapport à $j$ , démontrer l'identité

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j} .

3. En déduire $\sum_{1 \leq i < j \leq n} i j$ , sous forme factorisée.

4. En déduire $\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} i j$ , puis retrouver ce résultat par un calcul direct en sommant sur $i$ à $j$ fixé.

5. Vérifier les quatre résultats dans le cas $n = 3$ , en énumérant les couples concernés.

Exercice 17 ★★★★ — Systeme trois par trois dependant d un parametre

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Soit $m$ un nombre réel. On considère le système d'inconnues réelles $x$ , $y$ , $z$ :

(S_{m}) {\begin{cases} x + y + m z = 1 \\ x + m y + z = 1 \\ m x + y + z = 1 \end{cases}

2. Résoudre $(S_{m})$ lorsque $m$ n'est égal ni à $1$ ni à $- 2$ .

3. Résoudre $(S_{m})$ dans le cas $m = 1$ .

4. Étudier le cas $m = - 2$ . On pourra additionner les trois équations du système.

5. Récapituler la discussion, puis donner la solution pour $m = 0$ et pour $m = 3$ .

Exercice 18 ★★★★ — Systeme a second membre litteral

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Soient $a$ , $b$ , $c$ trois réels. On considère les deux systèmes d'inconnues réelles $x$ , $y$ , $z$ :

(S) {\begin{cases} x + y + z = a \\ x + 2 y + 3 z = b \\ x + 4 y + 9 z = c \end{cases} (T) {\begin{cases} x + y - z = a \\ 2 x - y + 3 z = b \\ x - 2 y + 4 z = c \end{cases}

1. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot, en exprimant $x$ , $y$ et $z$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$ .

2. Vérifier la solution obtenue en la substituant dans les trois équations de $(S)$ .

3. Donner la solution de $(S)$ pour $(a, b, c) = (1, 0, 1)$ , puis pour $(a, b, c) = (2, 2, 2)$ .

4. Montrer que $(T)$ n'admet de solution que si $a$ , $b$ et $c$ vérifient une certaine relation, que l'on déterminera.

5. Résoudre $(T)$ lorsque cette relation est vérifiée, puis traiter les deux cas numériques $(a, b, c) = (1, 2, 1)$ et $(a, b, c) = (1, 1, 1)$ .

Exercice 19 ★★★★ — Majorer, minorer, encadrer une somme

Inégalités dans R, valeur absolue et majorationsSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Toutes les inégalités demandées sont à établir pour un entier $n$ fixé, par manipulation algébrique. On rappelle que si $0 < a \leq b$ , alors $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ .

Pour $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ .

a. Encadrer $\frac{1}{n + k}$ , pour $k \in {1, \dots, n}$ , par deux quantités qui ne dépendent pas de $k$ .

b. En déduire que $\frac{1}{2} \leq S_{n} \leq \frac{n}{n + 1}$ , puis que $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

c. Vérifier ces encadrements pour $n = 1$ et $n = 4$ .
a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N^{*}$ et tous réels $a_{1}, \dots, a_{n}$ , on a $∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} ∣ \leq \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{k} ∣$ .

b. Pour $n \in N^{*}$ , on pose $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k (k + 1)}$ . Calculer $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$ par télescopage, puis en déduire que $∣ T_{n} ∣ < 1$ .
Pour $n \in N^{*}$ , on pose $U_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ .

a. Démontrer que, pour tout entier $k \geq 1$ , $\frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 (\sqrt{k} - \sqrt{k - 1})$ et $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq 2 (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k})$ .

b. En déduire que $2 \sqrt{n + 1} - 2 \leq U_{n} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ .

c. Vérifier cet encadrement pour $n = 1$ et $n = 4$ .
Question de méthode. La majoration terme à terme $\frac{1}{\sqrt{k}} \leq 1$ donne $U_{n} \leq n$ . Pourquoi ce résultat est-il sans intérêt ? Dire, à partir des questions 1 et 3, dans quel cas on majore terme à terme par une constante et dans quel cas on compare chaque terme à une différence de deux termes consécutifs.

Exercice 20 ★★★★ — Formules d addition, duplication et valeurs remarquables

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

a. En écrivant $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ , calculer $\cos \frac{π}{12}$ et $\sin \frac{π}{12}$ .

b. Vérifier le résultat en contrôlant que $\cos^{2} \frac{π}{12} + \sin^{2} \frac{π}{12} = 1$ .
a. À l'aide de la formule $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} a - 1$ , calculer $\cos \frac{π}{8}$ , puis $\sin \frac{π}{8}$ .

b. En posant $t = \tan \frac{π}{8}$ et en utilisant $\tan (2 a) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}$ , montrer que $t = \sqrt{2} - 1$ .

c. Retrouver ce résultat en calculant directement le quotient $\frac{\sin (π / 8)}{\cos (π / 8)}$ .
Démontrer que, pour tout réel $x$ , $\cos^{4} x - \sin^{4} x = \cos (2 x)$ .
a. Exprimer $\cos (3 x)$ en fonction de $\cos x$ seulement, pour tout réel $x$ .

b. Contrôler la formule obtenue en prenant $x = \frac{π}{4}$ .

c. Par la même méthode, exprimer $\sin (3 x)$ en fonction de $\sin x$ seulement.

Exercice 21 ★★★★ — Equations trigonometriques

Équations et inéquations trigonométriques

On rappelle que, pour tous réels $a$ et $b$ :

\cos a = \cos b ⟺ a = b + 2 k π ou a = - b + 2 k π (k \in Z)

\sin a = \sin b ⟺ a = b + 2 k π ou a = π - b + 2 k π (k \in Z)

et que, lorsque les deux tangentes existent, $\tan a = \tan b ⟺ a = b + k π$ avec $k \in Z$ .

Résoudre les équations suivantes dans $R$ , puis énumérer les solutions appartenant à $[0, 2 π [$ .

$\cos x = - \frac{1}{2}$
$\sin (2 x) = \cos x$ (on factorisera)
$\cos (3 x) = \sin x$
$\tan (2 x) = \tan x$ (on précisera d'abord l'ensemble des $x$ pour lesquels l'équation a un sens)
$2 \cos^{2} x - 3 \cos x + 1 = 0$ (on posera $t = \cos x$ )

Exercice 22 ★★★★ — Sommes doubles avec minimum et valeur absolue

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommes

\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} et \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Pour $n = 3$ , écrire les $9$ valeurs de $\min (i, j)$ et les $9$ valeurs de $∣ i - j ∣$ , puis calculer les deux sommes correspondantes.
Démontrer que $\sum_{1 \leq i < j \leq n} i = \frac{n (n + 1) (n - 1)}{6}$ .
En découpant l'ensemble des couples selon $i < j$ , $i = j$ et $i > j$ , et en utilisant la symétrie de $\min$ , calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} \min (i, j)$ .
Par un découpage analogue, en regroupant les couples selon la valeur de $j - i$ , calculer $\sum_{1 \leq i, j \leq n} ∣ i - j ∣$ .
a. Justifier que $\min (i, j) + \max (i, j) = i + j$ pour tous entiers $i$ et $j$ , puis en déduire $\sum_{1 \leq i, j \leq n} \max (i, j)$ .

b. Contrôler la cohérence des trois résultats à l'aide de l'égalité $\max (i, j) - \min (i, j) = ∣ i - j ∣$ .

Exercice 23 ★★★★ — Interversion de sommes et calcul de la somme des k fois q puissance k

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommesSommes usuelles : arithmétique, géométrique, puissances

Soient $n \in N^{*}$ et $q$ un réel. On pose $S_{n} (q) = \sum_{k = 1}^{n} k q^{k}$ . On rappelle que, pour $q \neq 1$ et $m \in N$ , $\sum_{j = 0}^{m} q^{j} = \frac{1 - q^{m + 1}}{1 - q}$ .

Calculer $S_{n} (1)$ .
On suppose désormais $q \neq 1$ .

a. Justifier que $k = \sum_{i = 1}^{k} 1$ pour tout $k \geq 1$ , en déduire que $S_{n} (q) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} q^{k}$ , puis intervertir les deux sommes en décrivant précisément l'ensemble des couples $(i, k)$ concernés.

b. Calculer $\sum_{k = i}^{n} q^{k}$ pour $i \in {1, \dots, n}$ .

c. En déduire que $S_{n} (q) = \frac{q - (n + 1) q^{n + 1} + n q^{n + 2}}{(1 - q)^{2}}$ .
Vérifier ce résultat pour $n = 2$ et $q = 2$ .
Déduire de la question 2. que, pour tout $n \in N^{*}$ , $\sum_{k = 1}^{n} k 2^{k} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ , et contrôler cette formule pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ .
Redémontrer la formule de la question 4. par récurrence sur $n$ , puis dire ce que la méthode d'interversion apporte de plus que la récurrence.

Exercice 24 ★★★★ — Formule de Vandermonde et somme des carres des coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans tout l'exercice, on adopte la convention usuelle suivante : pour $a \in N$ et $b \in Z$ ,

(\binom{a}{b}) = \frac{a!}{b! (a - b)!} si 0 \leq b \leq a, (\binom{a}{b}) = 0 sinon

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels.

Écrire le développement de $(1 + x)^{m + n}$ par la formule du binôme, et donner le coefficient de $x^{p}$ pour $p \in {0, \dots, m + n}$ .
Développer le produit $(1 + x)^{m} (1 + x)^{n}$ sous forme d'une somme double, puis regrouper les termes selon la valeur de la somme des deux indices. Montrer que le coefficient de $x^{p}$ vaut $\sum_{k = 0}^{p} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{p - k})$ .
En déduire la formule de Vandermonde : pour tout $p \in {0, \dots, m + n}$ ,
$\sum_{k = 0}^{p} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{p - k}) = (\binom{m + n}{p})$
Vérifier cette formule pour $m = n = 2$ et $p = 2$ .
En choisissant convenablement $m$ , $n$ et $p$ , et en utilisant la symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , démontrer que $\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$ . Vérifier pour $n = 3$ .
Exprimer $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{k + 1})$ à l'aide d'un seul coefficient binomial, et vérifier le résultat pour $n = 3$ .

Exercice 25 ★★★★ — Sommes de coefficients binomiaux divises par k plus un

Coefficients binomiaux et triangle de PascalFormule du binôme de Newton

Soit $n \in N$ . On rappelle que $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $k \in {0, \dots, n}$ , ainsi que les deux sommes classiques

\sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) = 2^{m} (m \in N) et \sum_{j = 0}^{m} (- 1)^{j} (\binom{m}{j}) = 0 (m \in N^{*})

toutes deux obtenues par la formule du binôme appliquée à $(1 + 1)^{m}$ et à $(1 - 1)^{m}$ .

Démontrer, par un calcul direct sur les factorielles, que pour tout $k \in {0, \dots, n}$ :
$\frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{n + 1} (\binom{n + 1}{k + 1})$
En déduire que $A_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}$ .
En déduire de même que $B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{n + 1}$ .
Vérifier les deux résultats pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ .
Sur le même modèle, démontrer que $\frac{1}{(k + 1) (k + 2)} (\binom{n}{k}) = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} (\binom{n + 2}{k + 2})$ , puis calculer $C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} (\binom{n}{k})$ . Contrôler pour $n = 1$ .

Exercice 26 ★★★★ — Un systeme trois par trois de type Vandermonde

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

{\begin{cases} x_{1}^{2} a + x_{1} b + c = y_{1} \\ x_{2}^{2} a + x_{2} b + c = y_{2} \\ x_{3}^{2} a + x_{3} b + c = y_{3} \end{cases}

Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $f (1) = 2$ , $f (2) = 3$ et $f (3) = 6$ .
Vérifier la solution trouvée.
On suppose $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ deux à deux distincts, les réels $y_{1}$ , $y_{2}$ , $y_{3}$ étant quelconques. Montrer que $(V)$ admet une solution et une seule. On signalera précisément chaque endroit où l'hypothèse « les $x_{i}$ sont deux à deux distincts » est utilisée.
Que se passe-t-il si deux des abscisses sont égales ? On traitera les deux cas $x_{1} = x_{2} = 1$ , $x_{3} = 3$ avec d'une part $y_{1} = 2$ , $y_{2} = 5$ , $y_{3} = 6$ , d'autre part $y_{1} = y_{2} = 2$ , $y_{3} = 6$ .

Exercice 27 ★★★★ — Inegalite de Bernoulli et applications

Inégalités dans R, valeur absolue et majorations

Inégalité de Bernoulli. Soit $x$ un réel tel que $x \geq - 1$ .

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ .

b. Indiquer l'unique endroit de la démonstration où l'hypothèse $x \geq - 1$ est utilisée, et vérifier sur l'exemple $x = - 4$ , $n = 3$ que l'inégalité peut être fausse sans elle.
Cas d'égalité. Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$ et tout réel $x \geq - 1$ non nul, l'inégalité est stricte : $(1 + x)^{n} > 1 + n x$ . En déduire la liste exacte des couples $(n, x)$ pour lesquels il y a égalité.
Applications. Soit $n \in N^{*}$ .

a. Retrouver l'inégalité $2^{n} \geq n + 1$ , et préciser pour quels $n$ elle est stricte.

b. Démontrer que ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \geq 2$ .

c. Soit $x$ un réel tel que $0 < x < 1$ . Démontrer que $(1 - x)^{n} \leq \frac{1}{1 + n x}$ .
Un cran plus loin. Soient $n \in N$ et $x \geq 0$ .

a. Démontrer, à l'aide de la formule du binôme et sans récurrence, que $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{2} x^{2}$ .

b. Cette inégalité reste-t-elle valable pour $- 1 \leq x < 0$ ?

Exercice 28 ★★★★ — Encadrement de la somme des inverses des carres

Inégalités dans R, valeur absolue et majorationsChangements d'indice, regroupements et télescopage

Pour tout entier $n \geq 1$ , on pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ .

Démontrer que pour tout entier $k \geq 2$ , $\frac{1}{k (k + 1)} \leq \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{k (k - 1)}$ . Pourquoi l'entier $k = 1$ doit-il être exclu ?
Calculer $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (k - 1)}$ pour $n \geq 2$ , puis $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$ pour $n \geq 1$ .
En déduire que pour tout entier $n \geq 1$ , $\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} \leq S_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}$ . En particulier $S_{n} \leq 2$ .
Vérifier cet encadrement en calculant les trois quantités pour $n = 2$ , puis pour $n = 3$ .
Démontrer que pour tout entier $n \geq 1$ , $\frac{n}{(n + 1) (2 n + 1)} \leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{2 n}$ .

Chaque inégalité demandée est valable pour tout entier $n$ fixé : il ne s'agit à aucun moment d'étudier le comportement de $S_{n}$ lorsque $n$ devient grand.

Exercice 29 ★★★★ — Somme des cosinus par la technique de l angle moitie

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrieChangements d'indice, regroupements et télescopage

Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel. On pose

C_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k x) et S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \sin (k x) .

On suppose dans cette question que $x \equiv 0 [2 π]$ , c'est-à-dire qu'il existe un entier relatif $p$ tel que $x = 2 p π$ . Calculer $C_{n} (x)$ et $S_{n} (x)$ .
On suppose désormais $x \equiv̸ 0 [2 π]$ . Justifier que $\sin \frac{x}{2} \neq 0$ , puis démontrer que pour tout entier $k$ ,
$2 \sin \frac{x}{2} \cos (k x) = \sin ((k + \frac{1}{2}) x) - \sin ((k - \frac{1}{2}) x) .$
En déduire que $2 \sin \frac{x}{2} C_{n} (x) = \sin ((n + \frac{1}{2}) x) + \sin \frac{x}{2}$ , puis que
$C_{n} (x) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \cos (\frac{n x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} .$
Établir par la même méthode que $S_{n} (x) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})}{\sin \frac{x}{2}}$ .
Vérifier la formule de la question 3 pour $n = 1$ et $x = \frac{π}{2}$ . Calculer ensuite $\sum_{k = 0}^{5} \cos (\frac{k π}{3})$ à l'aide de la formule, puis retrouver le résultat en additionnant directement les six termes.

Exercice 30 ★★★★ — Reduire a cosinus x plus b sinus x et resoudre

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrieÉquations et inéquations trigonométriques

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. On pose $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Justifier que $R > 0$ , puis démontrer qu'il existe un réel $φ$ tel que $\cos φ = \frac{a}{R}$ et $\sin φ = \frac{b}{R}$ . En déduire que pour tout réel $x$ , $a \cos x + b \sin x = R \cos (x - φ)$ .
Écrire $\cos x + \sqrt{3} \sin x$ sous la forme $R \cos (x - φ)$ avec $R > 0$ et $φ$ explicite, puis résoudre l'équation $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 1$ sur $[0, 2 π [$ .
Déterminer le maximum et le minimum de la fonction $f : x \mapsto 3 \cos x - 4 \sin x$ sur $R$ , et préciser en quels réels ils sont atteints. Aucune dérivation n'est nécessaire.
Résoudre l'inéquation $\cos x - \sin x \geq 1$ sur $[0, 2 π [$ , puis donner l'ensemble de ses solutions dans $R$ .

Exercice 31 ★★★★ — Produit de cosinus d angles successivement divises par deux

Cercle trigonométrique et formules de trigonométrieSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Pour tout entier $n \geq 1$ et tout réel $x$ , on pose $P_{n} (x) = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{x}{2^{k}})$ .

Rappeler pourquoi, pour tout réel $θ$ , $\sin θ = 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}$ .
Démontrer par récurrence sur $n \geq 1$ la propriété suivante : pour tout réel $x$ tel que $\sin (\frac{x}{2^{n}}) \neq 0$ ,
$P_{n} (x) = \frac{\sin x}{2^{n} \sin (\frac{x}{2^{n}})} .$
On prendra garde, dans l'hérédité, au cas où $\cos (\frac{x}{2^{n + 1}}) = 0$ .
Retrouver la même formule par télescopage, sous l'hypothèse plus forte que $\sin (\frac{x}{2^{k}}) \neq 0$ pour tout $k$ de ${1, \dots, n}$ .
Calculer $\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{8} \cos \frac{π}{16}$ et en donner la valeur exacte sous forme de radicaux, puis une valeur approchée à $10^{- 6}$ près.
Donner, pour tout entier $n \geq 1$ , la valeur de $\prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{π}{2^{k + 1}})$ .

Exercice 32 ★★★★ — Inegalite de Cauchy et Schwarz par le discriminant

Inégalités dans R, valeur absolue et majorationsSommes et produits : notations, manipulations, récurrence

Soient $n \geq 1$ un entier, $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ des réels. On pose

A = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}, B = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}, C = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2},

et, pour tout réel $t$ , $P (t) = \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} t + b_{k})^{2}$ .

Démontrer que pour tout réel $t$ , $P (t) = A t^{2} + 2 B t + C$ , et que $P (t) \geq 0$ .
On suppose que $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0$ . Vérifier directement l'inégalité $B^{2} \leq A C$ .
On suppose maintenant qu'au moins un des réels $a_{k}$ est non nul. Démontrer que $A > 0$ , puis, en étudiant le discriminant du trinôme $P$ , établir l'inégalité de Cauchy et Schwarz
${(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2} \leq (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}) .$
Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les deux familles sont proportionnelles, c'est-à-dire si tous les $a_{k}$ sont nuls, ou s'il existe un réel $λ$ tel que $b_{k} = λ a_{k}$ pour tout $k$ de ${1, \dots, n}$ .
Applications.

a. Démontrer que ${(\sum_{k = 1}^{n} k)}^{2} \leq n \sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ , puis retrouver cette inégalité par le calcul direct des deux membres.

b. Démontrer que ${(\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k})}^{2} \leq \frac{n^{2} (n + 1)}{2}$ .

Exercice 33 ★★★★ — Sommes doubles de coefficients binomiaux

Sommes doubles, sommes triangulaires et produits de sommesCoefficients binomiaux et triangle de Pascal

Soit $n$ un entier naturel. On rappelle que $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $0 \leq k \leq n$ , et l'on admet le résultat démontré dans un exercice précédent de la fiche :

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n}) .

On considère les trois sommes doubles suivantes.

\begin{aligned} Somme totale : & T & = \sum_{0 \leq i, j \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}), \\ partie stricte : & U & = \sum_{0 \leq i < j \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}), \\ partie large : & V & = \sum_{0 \leq i \leq j \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j}) . \end{aligned}

Démontrer que $T = {(\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}))}^{2}$ , puis que $T = 4^{n}$ .
On pose $U^{'} = \sum_{0 \leq j < i \leq n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{j})$ . Démontrer que $U^{'} = U$ .
En séparant les couples $(i, j)$ de ${0, \dots, n}^{2}$ selon que $i < j$ , $i = j$ ou $i > j$ , démontrer que $T = 2 U + (\binom{2 n}{n})$ , puis que $U = \frac{4^{n} - (\binom{2 n}{n})}{2}$ .
Vérifier ce résultat pour $n = 1$ , puis pour $n = 2$ , en calculant $U$ directement.
En déduire la valeur de $V$ .

Exercice 34 ★★★★ — Discussion complete d un systeme a parametres

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss

Soit $m$ un réel. On considère le système d'inconnues réelles $(x, y, z)$

(S_{m}) {\begin{cases} x + y + m z = 1 \\ x + m y + z = m \\ m x + y + z = m^{2} \end{cases}

Le paramètre $m$ figure à la fois dans les coefficients et dans le second membre.

Effectuer les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ , et vérifier que $(S_{m})$ équivaut au système formé de $L_{1}$ , de $(m - 1) (y - z) = m - 1$ et de $(m - 1) (x - z) = (m - 1) (m + 1)$ .
Résoudre $(S_{1})$ .
On suppose $m \neq 1$ . Démontrer que $(S_{m})$ équivaut au système formé de $y = z + 1$ , de $x = z + m + 1$ et de $(m + 2) z = - (m + 1)$ . Pourquoi ne peut-on pas conclure immédiatement en divisant par $m + 2$ ?
Résoudre $(S_{- 2})$ .
Pour $m \notin {1, - 2}$ , donner l'unique solution de $(S_{m})$ et vérifier qu'elle satisfait les trois équations de départ. Récapituler alors la discussion complète selon les valeurs de $m$ .

Exercice 35 ★★★★ — Expression de cosinus de cinq x et valeur exacte de cosinus de pi sur cinq

Équations et inéquations trigonométriquesCercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Démontrer que pour tout réel $x$ , $\cos (3 x) = 4 \cos^{3} x - 3 \cos x$ .
En déduire que pour tout réel $x$ , $\cos (5 x) = 16 \cos^{5} x - 20 \cos^{3} x + 5 \cos x$ . Contrôler cette identité pour $x = 0$ , puis pour $x = \frac{π}{2}$ .
Résoudre dans $R$ l'équation $\cos (3 x) = \cos (2 x)$ .
On pose $c = \cos \frac{2 π}{5}$ . Démontrer que $4 c^{3} - 2 c^{2} - 3 c + 1 = 0$ , puis que $4 c^{2} + 2 c - 1 = 0$ . En déduire la valeur exacte de $c$ , en justifiant le choix de la racine du trinôme. Donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.
En déduire la valeur exacte de $d = \cos \frac{π}{5}$ , puis vérifier, à l'aide de la question 2, que $16 d^{5} - 20 d^{3} + 5 d = - 1$ .

Exercice 36 ★★★★ — Sommation en colonnes dans le triangle de Pascal

Coefficients binomiaux et triangle de PascalFormule du binôme de Newton

(\binom{m}{k - 1}) + (\binom{m}{k}) = (\binom{m + 1}{k}) .

L'objet de l'exercice est l'identité dite de la crosse de hockey : pour tous entiers $p$ et $n$ tels que $0 \leq p \leq n$ ,

\sum_{k = p}^{n} (\binom{k}{p}) = (\binom{n + 1}{p + 1}) .

Vérifier cette identité dans les deux cas particuliers $p = 0$ et $n = p$ .
Démontrer l'identité par récurrence sur $n$ , l'entier $p$ étant fixé.
Retrouver la valeur de $\sum_{k = 1}^{n} k$ , puis calculer $\sum_{k = 1}^{n} (\binom{k}{2})$ .
Vérifier que $k^{2} = 2 (\binom{k}{2}) + (\binom{k}{1})$ pour tout entier $k \geq 1$ , et en déduire $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ .
Calculer $\sum_{k = 1}^{n} k (k + 1) (k + 2)$ sous forme factorisée. On pourra remarquer que $k (k + 1) (k + 2) = 6 (\binom{k + 2}{3})$ et poser $j = k + 2$ .
Vérifier chacun des quatre résultats obtenus aux questions 3, 4 et 5 pour $n = 3$ .

Les exercices(PDF, 124 Ko)Les corrigés(PDF, 493 Ko)

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