Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

En première année, vous avez appris qu'une matrice n'est pas un objet mathématique autonome : c'est la photographie d'un endomorphisme, prise dans une base. Changez la base, la photographie change, l'endomorphisme non. Le chapitre des matrices s'achevait sur une question restée ouverte, et c'est celle que nous allons résoudre : quelle base choisir pour que la photographie soit la plus simple possible ?

La réponse idéale s'appelle la diagonalisation. Si l'on parvient à construire une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ formée de vecteurs que $u$ se contente de dilater, c'est-à-dire vérifiant $u(e_i)={\lambda }_i{e}_i$, alors la matrice de $u$ dans cette base est diagonale, et tout devient facile : les puissances se calculent coefficient par coefficient, l'inverse aussi, le déterminant est un produit, le rang un comptage. L'endomorphisme, qui mélangeait les coordonnées, se décompose en $n$ dilatations indépendantes le long de $n$ droites. C'est la situation la plus confortable de toute l'algèbre linéaire.

Elle n'est malheureusement pas toujours atteignable, et il faut le savoir dès la première page. Deux obstacles distincts se présentent. Le premier tient au corps de base : la rotation d'angle droit du plan réel ne dilate aucun vecteur non nul, puisqu'elle ne conserve aucune direction, et il n'existe donc aucune base de ${\mathbb{R}}^2$ dans laquelle sa matrice soit diagonale. Cet obstacle disparaît si l'on travaille sur $\mathbb{C}$. Le second est plus profond : l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ ne conserve qu'une seule direction, et aucun changement de corps n'y changera rien. Il faudra donc se contenter, dans le cas général, d'une forme triangulaire, ce qui reste très utile.

Le chapitre organise cette recherche autour de trois idées, et il vaut la peine de les avoir en tête avant de commencer.

La première est géométrique : chercher des sous-espaces stables, c'est-à-dire des sous-espaces que $u$ ne fait pas sortir d'eux-mêmes. Un sous-espace stable produit des zéros dans la matrice, une décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces stables produit une matrice diagonale par blocs, et les sous-espaces stables les plus petits possibles, les droites stables, produisent des coefficients diagonaux. Diagonaliser, c'est exactement casser $E$ en droites stables.

La deuxième est polynomiale, et c'est la grande nouveauté de la deuxième année. À un endomorphisme $u$, on peut associer non seulement ses puissances $u^k$, mais tout polynôme $P(u)$, et l'on découvre que la structure de $u$ est entièrement lisible sur les polynômes qui l'annulent. Deux polynômes vont jouer un rôle central : le polynôme caractéristique ${\chi }_u$, qui se calcule par un déterminant et dont les racines sont les valeurs propres, et le polynôme minimal ${\mu }_u$, le plus petit polynôme unitaire annulant $u$. Le théorème le plus spectaculaire du chapitre tiendra en une ligne : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples. Aucun calcul de sous-espace propre n'y figure.

La troisième est arithmétique : le lemme de décomposition des noyaux transforme une factorisation de polynômes en une décomposition de l'espace en somme directe. C'est l'outil qui relie les deux premières idées, et c'est lui qui fait fonctionner presque toutes les démonstrations de la fin du chapitre.

Le plan suit cet ordre. Nous étudions d'abord les sous-espaces stables et la forme des matrices qu'ils produisent, puis les éléments propres, puis le polynôme caractéristique qui permet de les calculer. Viennent ensuite la diagonalisation, la trigonalisation et le cas particulier des endomorphismes nilpotents, qui sont les briques élémentaires de tout ce qui n'est pas diagonalisable. La seconde moitié du chapitre est polynomiale : algèbre $\mathbb{K}[u]$ et polynôme minimal, lemme des noyaux, critère de diagonalisabilité, théorème de Cayley-Hamilton, sous-espaces caractéristiques. Une section de méthodes ferme le chapitre.

Les notations suivantes valent partout. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; lorsque le résultat dépend du corps, ce sera dit explicitement, et c'est un point sur lequel il ne faut jamais être négligent. L'espace $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$, sauf mention expresse du contraire. Les endomorphismes sont notés $u$, $v$, $w$, l'ensemble des endomorphismes de $E$ est $\mathcal{L}(E)$, l'identité est ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, et l'on écrit $u^k$ pour la composée $u\circ \cdots \circ u$ à $k$ facteurs, avec la convention $u^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Les matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ forment ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, la matrice identité est $I_n$, la matrice nulle $0_n$, et ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est le groupe des matrices inversibles. Les bases sont notées $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$, la matrice d'un endomorphisme dans une base est ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$, et une matrice de passage est notée $P$. On conserve $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}$, $\mathrm{I}\mathrm{m}$, $\mathrm{r}\mathrm{g}$, $\mathrm{t}\mathrm{r}$, $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$, $\det$, $\dim$, $\mathrm{deg}$, et ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ pour la transposée. Les objets nouveaux sont le spectre $\mathrm{S}\mathrm{p}(u)$, le sous-espace propre $E_{\lambda }(u)$, le sous-espace caractéristique $F_{\lambda }(u)$, la multiplicité $m_{\lambda }(u)$, le polynôme caractéristique ${\chi }_u$ et le polynôme minimal ${\mu }_u$.

Une convention doit être fixée avant tout, car deux usages coexistent dans la littérature et le mélange des deux est une source d'erreurs de signe permanente. Dans tout ce chapitre, le polynôme caractéristique est pris unitaire :

$${\chi }_A(X)=\det (X{I}_n-A),{\chi }_u(X)=\det (X{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-u)\mathrm{.}$$

Jamais $\det (A-X{I}_n)$. Les deux conventions sont reliées par $\det (A-X{I}_n)=(-1{)}^n{\chi }_A(X)$ : les racines sont évidemment les mêmes, les deux polynômes coïncident lorsque $n$ est pair, et tous leurs coefficients sont opposés lorsque $n$ est impair. Prenez l'habitude de la convention unitaire et n'en changez plus.

Sous-espaces stables et endomorphismes induits

Définition

Démonstration. Somme. Soit $z\in F+G$, écrit $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. Alors $u(z)=u(x)+u(y)$, avec $u(x)\in F$ et $u(y)\in G$ par stabilité, donc $u(z)\in F+G$.

Intersection. Soit $x\in F\cap G$. Alors $u(x)\in F$ car $F$ est stable, et $u(x)\in G$ car $G$ est stable, donc $u(x)\in F\cap G$.

Noyau. Si $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, alors $u(x)=0_E\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$.

Image. Si $y\in \mathrm{I}\mathrm{m}u$, alors $u(y)\in \mathrm{I}\mathrm{m}u$ par définition même de l'image. $\mathrm{\square }$

L'endomorphisme induit

La matrice dans une base adaptée

C'est ici que la notion prend toute sa valeur : un sous-espace stable se lit sur la matrice sous forme d'un bloc de zéros.

Démonstration. Notons $M={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ et ${\mathcal{B}}_F=(e_1,\dots ,e_p)$.

Supposons $F$ stable. Pour $j\in \{1,\dots ,p\}$, le vecteur $e_j$ appartient à $F$, donc $u(e_j)\in F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,\dots ,e_p)$. Les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal{B}$ sur $e_{p+1},\dots ,e_n$ sont donc nulles : la $j$-ème colonne de $M$ a ses $n-p$ derniers coefficients nuls. C'est exactement la forme annoncée, et les $p$ premiers coefficients de cette colonne sont les coordonnées de $u_F(e_j)$ dans ${\mathcal{B}}_F$, d'où $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}_F}(u_F)$.

Réciproquement, supposons $M$ de cette forme. Pour $j⩽p$, la colonne $j$ donne $u(e_j)={\sum }_{i=1}^p{a}_{i,j}{e}_i\in F$. Un vecteur quelconque de $F$ s'écrit $x={\sum }_{j=1}^p{x}_j{e}_j$, donc $u(x)={\sum }_{j=1}^p{x}_{j}u(e_j)$ est une combinaison linéaire d'éléments de $F$ : il appartient à $F$. Ainsi $F$ est stable. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Chaque vecteur $e$ de la base choisie de $F_i$ appartient à $F_i$, donc $u(e)\in F_i$ par stabilité. Ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont donc nulles en dehors du paquet d'indices correspondant à $F_i$, et à l'intérieur de ce paquet elles sont les coordonnées de $u_{F_i}(e)$ dans la base de $F_i$. La colonne correspondante de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ est donc nulle hors du bloc diagonal numéro $i$, où elle vaut la colonne correspondante de $A_i$. $\mathrm{\square }$

Droites stables

Démonstration. Si $D$ est stable, alors $u(x)\in D=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$, donc $u(x)=\lambda x$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{K}$. Réciproquement, si $u(x)=\lambda x$, alors pour tout $\mu \in \mathbb{K}$ on a $u(\mu x)=\mu \lambda x\in D$, donc $u(D)\subseteq D$. $\mathrm{\square }$

Commutation et stabilité

Voici le résultat de cette section qui servira le plus souvent, et notamment dans presque toutes les démonstrations de la seconde moitié du chapitre.

Démonstration. Stabilité de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$. Soit $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$, c'est-à-dire $v(x)=0_E$. Calculons l'image de $u(x)$ par $v$ en utilisant la commutation :

$$v(u(x))=(v\circ u)(x)=(u\circ v)(x)=u(v(x))=u(0_E)=0_E\mathrm{.}$$

Donc $u(x)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$, ce qui prouve $u(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v)\subseteq \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$.

Stabilité de $\mathrm{I}\mathrm{m}v$. Soit $y\in \mathrm{I}\mathrm{m}v$ : il existe $x\in E$ tel que $y=v(x)$. Alors

$$u(y)=u(v(x))=(u\circ v)(x)=(v\circ u)(x)=v(u(x))\in \mathrm{I}\mathrm{m}v\mathrm{.}$$

Donc $u(\mathrm{I}\mathrm{m}v)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m}v$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'endomorphisme $P(u)$ est une combinaison linéaire de puissances de $u$, et $u$ commute avec chacune de ses puissances. Par linéarité de la composition, $u$ commute donc avec $P(u)$, et le théorème s'applique avec $v=P(u)$. $\mathrm{\square }$

Éléments propres

Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre

Démonstration. C'est le noyau de l'application linéaire $u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, donc un sous-espace vectoriel. Il est stable par $u$ d'après le corollaire de la section précédente, appliqué au polynôme $P=X-\lambda$. Enfin, pour $x\in E_{\lambda }(u)$, on a par définition $u(x)=\lambda x$, ce qui signifie exactement que $u_{E_{\lambda }(u)}=\lambda \mathrm{i}\mathrm{d}$. $\mathrm{\square }$

Définitions matricielles

Caractérisations d'une valeur propre

Démonstration. L'équivalence entre 1, 2 et 3 est la définition : $\lambda$ est valeur propre s'il existe $x\mathrm{\ne }{0}_E$ avec $(u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)(x)=0_E$, c'est-à-dire si le noyau de $u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ n'est pas réduit à $\{0_E\}$, c'est-à-dire si cet endomorphisme n'est pas injectif.

L'équivalence entre 3 et 4 est le théorème du rang : en dimension finie, un endomorphisme est injectif si et seulement s'il est bijectif. C'est le seul endroit où l'hypothèse de dimension finie intervient.

L'équivalence entre 4 et 5 est la caractérisation d'un automorphisme par son déterminant : $v$ est bijectif si et seulement si $\det v\mathrm{\ne }0$. Enfin $\det (\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-u)=(-1{)}^n\det (u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ s'annule en même temps que $\det (u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$. $\mathrm{\square }$

La somme des sous-espaces propres est directe

Voici le premier théorème structurel du chapitre. Il exprime que des directions propres associées à des dilatations différentes ne peuvent pas se recouper.

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur $r⩾1$. Notons $\mathcal{P}(r)$ l'assertion : « pour toutes valeurs propres ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ deux à deux distinctes de $u$, la somme des $E_{{\lambda }_i}(u)$ est directe ».

Initialisation. Pour $r=1$, une somme d'un seul sous-espace est toujours directe : $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $r⩾2$ ; supposons $\mathcal{P}(r-1)$ vraie et donnons-nous ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ deux à deux distinctes. Pour montrer que la somme est directe, considérons des vecteurs $x_i\in E_{{\lambda }_i}(u)$ pour $1⩽i⩽r$ tels que

$$x_1+x_2+\cdots +x_r=0_E,$$

et montrons qu'ils sont tous nuls. Appliquons l'endomorphisme $u-{\lambda }_r{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ à cette égalité. Pour chaque $i$, on a $u(x_i)={\lambda }_i{x}_i$, donc

$$(u-{\lambda }_r{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)(x_i)={\lambda }_i{x}_i-{\lambda }_r{x}_i=({\lambda }_i-{\lambda }_r)x_i\mathrm{.}$$

Le dernier terme, celui d'indice $r$, s'annule puisque ${\lambda }_r-{\lambda }_r=0$. Il reste donc

$$({\lambda }_1-{\lambda }_r)x_1+({\lambda }_2-{\lambda }_r)x_2+\cdots +({\lambda }_{r-1}-{\lambda }_r)x_{r-1}=0_E\mathrm{.}$$

Pour chaque $i⩽r-1$, le vecteur $({\lambda }_i-{\lambda }_r)x_i$ appartient encore à $E_{{\lambda }_i}(u)$, qui est un sous-espace vectoriel. L'hypothèse de récurrence $\mathcal{P}(r-1)$, appliquée aux valeurs propres deux à deux distinctes ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{r-1}$, affirme que la somme des $E_{{\lambda }_i}(u)$ pour $i⩽r-1$ est directe : la décomposition du vecteur nul y est donc unique, et chaque terme est nul,

$$({\lambda }_i-{\lambda }_r)x_i=0_E\text{pour tout }i\in \{1,\dots ,r-1\}\mathrm{.}$$

Or ${\lambda }_i\mathrm{\ne }{\lambda }_r$ par hypothèse, donc ${\lambda }_i-{\lambda }_r\mathrm{\ne }0$ est inversible dans $\mathbb{K}$, et $x_i=0_E$ pour tout $i⩽r-1$. En reportant dans l'égalité de départ, il vient $x_r=0_E$.

Tous les $x_i$ sont nuls : la somme est directe, et $\mathcal{P}(r)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(r)$ est vraie pour tout $r⩾1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\in \mathbb{K}$ tels que ${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_r{x}_r=0_E$. Pour chaque $i$, le vecteur ${\alpha }_i{x}_i$ appartient à $E_{{\lambda }_i}(u)$. La somme des $E_{{\lambda }_i}(u)$ étant directe d'après le théorème, l'écriture du vecteur nul est unique et chaque terme est nul : ${\alpha }_i{x}_i=0_E$. Comme $x_i\mathrm{\ne }{0}_E$ (c'est un vecteur propre), on obtient ${\alpha }_i=0$ pour tout $i$. La famille est libre. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La somme des sous-espaces propres est directe, donc la dimension de cette somme est la somme des dimensions. Cette somme étant un sous-espace de $E$, sa dimension est majorée par $n$ :

$$\sum _{i=1}^r\dim E_{{\lambda }_i}(u)=\dim (\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}{E}_{{\lambda }_i}(u))⩽\dim E=n\mathrm{.}$$

Chaque valeur propre fournissant un sous-espace propre de dimension au moins $1$, on obtient $r⩽n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration (elle anticipe la section suivante, qui ne réutilise jamais cette propriété : il n'y a donc aucun cercle vicieux). Nous établirons à la section suivante que la fonction $\lambda \mapsto \det (\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-u)$ est la fonction polynomiale associée à un polynôme unitaire de degré $n$, le polynôme caractéristique ${\chi }_u$. Comme $n⩾1$, ce polynôme n'est pas constant, et le théorème de d'Alembert-Gauss lui fournit au moins une racine $\lambda \in \mathbb{C}$. D'après la caractérisation des valeurs propres, $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(u)$. $\mathrm{\square }$

Polynôme caractéristique

Définition et convention

Démonstration. Écrivons $B=P^{-1}AP$ avec $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$. Comme $P^{-1}(X{I}_n)P=X{I}_n$, on a

$$X{I}_n-B=X{I}_n-P^{-1}AP=P^{-1}(X{I}_n-A)P\mathrm{.}$$

Le déterminant étant multiplicatif, et $\det (P^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\det P}}$,

$${\chi }_B(X)=\det (P^{-1})\det (X{I}_n-A)\det (P)={\chi }_A(X)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Degré et coefficients

Démonstration. Notons $A=(a_{i,j})$ et $M(X)=X{I}_n-A$, dont le coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $X{\delta }_{i,j}-a_{i,j}$. La formule de Leibniz donne

$${\chi }_A(X)=\det M(X)=\sum _{\sigma \in {\mathcal{S}}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n(X{\delta }_{i,\sigma (i)}-a_{i,\sigma (i)}),$$

où ${\mathcal{S}}_n$ désigne l'ensemble des permutations de $\{1,\dots ,n\}$ et $\epsilon (\sigma )$ la signature de $\sigma$. Examinons les degrés. Dans le produit associé à une permutation $\sigma$, le facteur d'indice $i$ est de degré $1$ en $X$ si $\sigma (i)=i$, et de degré $0$ sinon. Le degré du produit est donc le nombre de points fixes de $\sigma$.

Si $\sigma \mathrm{\ne }\mathrm{i}\mathrm{d}$, la permutation déplace au moins deux éléments, donc elle a au plus $n-2$ points fixes et le produit correspondant est de degré au plus $n-2$. Ces termes ne contribuent donc ni au coefficient de $X^n$, ni à celui de $X^{n-1}$.

Le seul terme à contribuer est celui de $\sigma =\mathrm{i}\mathrm{d}$, de signature $1$ :

$$\prod _{i=1}^n(X-a_{i,i})=X^n-\left(\sum _{i=1}^n{a}_{i,i}\right)X^{n-1}+(\text{termes de degr}\acute{\text{e}}⩽n-2),$$

où le coefficient de $X^{n-1}$ s'obtient en choisissant $-a_{i,i}$ dans exactement un facteur et $X$ dans tous les autres. Comme ${\sum }_i{a}_{i,i}=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$, on obtient que ${\chi }_A$ est unitaire de degré $n$ et que son coefficient de $X^{n-1}$ vaut $-\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$.

Pour le terme constant, il suffit d'évaluer en $0$ :

$${\chi }_A(0)=\det (0\cdot I_n-A)=\det (-A)=(-1{)}^n\det (A),$$

la dernière égalité venant du caractère $n$-linéaire du déterminant par rapport aux colonnes, chacune des $n$ colonnes étant multipliée par $-1$. $\mathrm{\square }$

Racines du polynôme caractéristique

Démonstration. Fixons une base $\mathcal{B}$ de $E$ et posons $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$. On a, par définition de ${\chi }_A$ et par évaluation en $\lambda$,

$${\chi }_u(\lambda )={\chi }_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)\mathrm{.}$$

D'après la caractérisation des valeurs propres établie à la section précédente, $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(u)$ si et seulement si $\det (\lambda I_n-A)=0$, c'est-à-dire si et seulement si ${\chi }_u(\lambda )=0$. $\mathrm{\square }$

L'encadrement fondamental

Voici l'inégalité la plus utilisée du chapitre, et la source d'erreur numéro un chez les étudiants.

Démonstration. L'inégalité de gauche est la définition d'une valeur propre : $E_{\lambda }(u)$ contient un vecteur non nul, donc est de dimension au moins $1$.

Pour l'inégalité de droite, posons $p=\dim E_{\lambda }(u)$ et choisissons une base $(e_1,\dots ,e_p)$ de $E_{\lambda }(u)$. Complétons-la, par le théorème de la base incomplète, en une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$.

Pour $j⩽p$, le vecteur $e_j$ est un vecteur propre associé à $\lambda$, donc $u(e_j)=\lambda e_j$ : la $j$-ème colonne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ ne contient que des zéros, sauf le coefficient $\lambda$ en position $j$. La matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ est donc triangulaire par blocs :

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)=\left(\begin{array}{cc}\lambda I_p& B\\ 0& C\end{array}\right),$$

avec $B\in {\mathcal{M}}_{p,n-p}(\mathbb{K})$ et $C\in {\mathcal{M}}_{n-p}(\mathbb{K})$. Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs étant le produit des déterminants de ses blocs diagonaux (résultat de première année, repris ci-dessous pour le polynôme caractéristique), on obtient

$${\chi }_u(X)=\det \left(\begin{array}{cc}(X-\lambda )I_p& -B\\ 0& X{I}_{n-p}-C\end{array}\right)=(X-\lambda {)}^p{\chi }_C(X)\mathrm{.}$$

Ainsi $(X-\lambda {)}^p$ divise ${\chi }_u$, donc la multiplicité de $\lambda$ comme racine de ${\chi }_u$ est au moins $p$ :

$$m_{\lambda }(u)⩾p=\dim E_{\lambda }(u)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Cas triangulaire et triangulaire par blocs

Démonstration. Si $T$ est triangulaire supérieure, la matrice $X{I}_n-T$ l'est aussi, de coefficients diagonaux $X-t_{i,i}$. Le déterminant d'une matrice triangulaire étant le produit de ses coefficients diagonaux, on obtient la formule annoncée. Les racines de ce produit sont exactement les $t_{i,i}$, avec la multiplicité annoncée. Le cas triangulaire inférieur est identique. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La matrice $X{I}_{p+q}-M$ s'écrit par blocs

$$X{I}_{p+q}-M=\left(\begin{array}{cc}X{I}_p-A& -B\\ 0& X{I}_q-C\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux, résultat établi en première année. Donc

$${\chi }_M(X)=\det (X{I}_p-A)\det (X{I}_q-C)={\chi }_A(X){\chi }_C(X)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. Si $F=E$, l'égalité est immédiate. Sinon, posons $p=\dim F$ avec $1⩽p⩽n-1$, prenons une base de $F$ et complétons-la en une base $\mathcal{B}$ de $E$. Comme $F$ est stable, la propriété de la première section donne

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right)\text{avec}A=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(u_F)\mathrm{.}$$

Le calcul par blocs donne alors ${\chi }_u={\chi }_A{\chi }_C={\chi }_{u_F}{\chi }_C$, donc ${\chi }_{u_F}$ divise ${\chi }_u$. $\mathrm{\square }$

Diagonalisation

Définitions

Le théorème des équivalences

Démonstration. Nous montrons $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 5\Rightarrow 3\Rightarrow 1$, en notant que la somme des sous-espaces propres est toujours directe (théorème de la section 2), ce qui rend équivalentes les assertions 3 et 4.

$1\Rightarrow 2$. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base dans laquelle ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$. La $j$-ème colonne donne $u(e_j)={\alpha }_j{e}_j$, et $e_j\mathrm{\ne }{0}_E$ puisqu'il appartient à une base : chaque $e_j$ est un vecteur propre. La base $\mathcal{B}$ est donc formée de vecteurs propres.

$2\Rightarrow 3$. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de vecteurs propres. Chaque $e_j$ appartient à l'un des $E_{{\lambda }_i}(u)$, donc

$$E=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,\dots ,e_n)\subseteq \sum _{i=1}^r{E}_{{\lambda }_i}(u)\subseteq E\mathrm{.}$$

La somme des sous-espaces propres vaut donc $E$, et elle est directe d'après le théorème de la section 2.

$3\Rightarrow 4$. Dans une somme directe, la dimension est la somme des dimensions, d'où ${\sum }_i\dim E_{{\lambda }_i}(u)=\dim E=n$.

$4\Rightarrow 5$. Supposons ${\sum }_i\dim E_{{\lambda }_i}(u)=n$ et posons $d_i=\dim E_{{\lambda }_i}(u)$. D'après l'encadrement fondamental, $d_i⩽m_{{\lambda }_i}(u)$ pour tout $i$. Par ailleurs, chaque $(X-{\lambda }_i{)}^{m_{{\lambda }_i}}$ divise ${\chi }_u$ et ces polynômes sont deux à deux premiers entre eux, donc leur produit divise ${\chi }_u$, ce qui donne en comparant les degrés

$$\sum _{i=1}^r{m}_{{\lambda }_i}(u)⩽\mathrm{deg}{\chi }_u=n\mathrm{.}$$

En combinant, il vient

$$n=\sum _{i=1}^r{d}_i⩽\sum _{i=1}^r{m}_{{\lambda }_i}(u)⩽n\mathrm{.}$$

Les deux inégalités sont donc des égalités. De ${\sum }_i{d}_i={\sum }_i{m}_{{\lambda }_i}$ avec $d_i⩽m_{{\lambda }_i}$ terme à terme, on tire $d_i=m_{{\lambda }_i}$ pour tout $i$. Et de ${\sum }_i{m}_{{\lambda }_i}=n=\mathrm{deg}{\chi }_u$, on tire que le polynôme unitaire ${\prod }_i(X-{\lambda }_i{)}^{m_{{\lambda }_i}}$, qui divise ${\chi }_u$ et a le même degré que lui, lui est égal : ${\chi }_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$.

$5\Rightarrow 3$. Supposons ${\chi }_u$ scindé, c'est-à-dire ${\chi }_u={\prod }_{i=1}^r(X-{\lambda }_i{)}^{m_{{\lambda }_i}}$, et $\dim E_{{\lambda }_i}(u)=m_{{\lambda }_i}(u)$ pour tout $i$. En comparant les degrés, ${\sum }_i{m}_{{\lambda }_i}=n$, donc

$$\dim (\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}{E}_{{\lambda }_i}(u))=\sum _{i=1}^r\dim E_{{\lambda }_i}(u)=\sum _{i=1}^r{m}_{{\lambda }_i}(u)=n=\dim E\mathrm{.}$$

Un sous-espace de $E$ de dimension $\dim E$ est égal à $E$ : la somme directe vaut $E$.

$3\Rightarrow 1$. Concaténons une base de chaque $E_{{\lambda }_i}(u)$. Comme la somme est directe et vaut $E$, la famille obtenue est une base de $E$, et elle est formée de vecteurs propres. La matrice de $u$ dans cette base est diagonale, avec ${\lambda }_i$ répété $\dim E_{{\lambda }_i}(u)$ fois. $\mathrm{\square }$

Critères suffisants

Démonstration. Notons ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ les valeurs propres, deux à deux distinctes. Chaque sous-espace propre est de dimension au moins $1$, donc

$$n⩾\sum _{i=1}^n\dim E_{{\lambda }_i}(u)⩾\sum _{i=1}^{n}1=n,$$

la première inégalité venant du corollaire de la section 2. Il y a donc égalité partout, ce qui d'une part force $\dim E_{{\lambda }_i}(u)=1$ pour tout $i$, et d'autre part donne ${\sum }_i\dim E_{{\lambda }_i}(u)=n$ : le critère 4 du théorème s'applique. $\mathrm{\square }$

Traduction matricielle et méthode

Démonstration. La matrice $P$ est celle d'une base dans la base canonique, donc elle est inversible. La $j$-ème colonne de $AP$ est $A{V}_j={\lambda }_j{V}_j$ ; celle de $PD$ est $P$ appliquée à la $j$-ème colonne de $D$, c'est-à-dire ${\lambda }_j$ fois la $j$-ème colonne de $P$, soit ${\lambda }_j{V}_j$. Les deux matrices $AP$ et $PD$ ont les mêmes colonnes, donc $AP=PD$, d'où $A=PD{P}^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Trigonalisation

Lorsque la diagonalisation échoue, il reste un objectif plus modeste et souvent suffisant : rendre la matrice triangulaire. On y gagne déjà beaucoup, puisqu'une matrice triangulaire laisse lire ses valeurs propres sur sa diagonale, son déterminant comme un produit, et son inversibilité d'un coup d'œil.

Définition

Le théorème de trigonalisation

Démonstration. Condition nécessaire. Supposons $u$ trigonalisable, de matrice triangulaire $T$ de coefficients diagonaux $t_{1,1},\dots ,t_{n,n}$ dans une base $\mathcal{B}$. Alors

$${\chi }_u={\chi }_T=\prod _{i=1}^n(X-t_{i,i}),$$

qui est un produit de facteurs de degré $1$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ : ${\chi }_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$.

Condition suffisante. Nous montrons par récurrence sur $n⩾1$ l'assertion $\mathcal{P}(n)$ : « toute matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure ». C'est bien la formulation cherchée, puisqu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque l'est.

Initialisation. Pour $n=1$, toute matrice de ${\mathcal{M}}_1(\mathbb{K})$ est déjà triangulaire : $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n⩾2$ ; supposons $\mathcal{P}(n-1)$ vraie. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que ${\chi }_A$ soit scindé sur $\mathbb{K}$, et soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{K}}^n$ canoniquement associé à $A$.

Comme ${\chi }_A$ est scindé et de degré $n⩾1$, il admet une racine ${\lambda }_1\in \mathbb{K}$, qui est donc une valeur propre de $u$. Choisissons un vecteur propre associé ${\epsilon }_1\mathrm{\ne }0$, et complétons-le en une base $\mathcal{C}=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)$ de ${\mathbb{K}}^n$. La droite $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\epsilon }_1)$ étant stable par $u$, la matrice de $u$ dans $\mathcal{C}$ est triangulaire par blocs :

$$A^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C}}(u)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& L\\ 0& B\end{array}\right),L\in {\mathcal{M}}_{1,n-1}(\mathbb{K}),B\in {\mathcal{M}}_{n-1}(\mathbb{K})\mathrm{.}$$

Les matrices $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ sont semblables, donc ${\chi }_{A^{\mathrm{\prime }}}={\chi }_A$, et le calcul par blocs donne

$${\chi }_A={\chi }_{A^{\mathrm{\prime }}}=(X-{\lambda }_1){\chi }_B\mathrm{.}$$

Ainsi ${\chi }_B$ divise ${\chi }_A$, qui est scindé sur $\mathbb{K}$ ; par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, tout diviseur unitaire d'un polynôme scindé est scindé, donc ${\chi }_B$ est scindé sur $\mathbb{K}$.

L'hypothèse de récurrence appliquée à $B\in {\mathcal{M}}_{n-1}(\mathbb{K})$ fournit $Q\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_{n-1}(\mathbb{K})$ et $T^{\mathrm{\prime }}$ triangulaire supérieure telles que $Q^{-1}BQ=T^{\mathrm{\prime }}$. Posons alors

$$R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\mathrm{.}$$

Cette matrice est inversible, d'inverse la matrice construite de même à partir de $Q^{-1}$, et le produit par blocs donne

$$R^{-1}{A}^{\mathrm{\prime }}R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& L\\ 0& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& LQ\\ 0& Q^{-1}BQ\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& LQ\\ 0& T^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

La matrice obtenue est triangulaire supérieure, et elle est semblable à $A^{\mathrm{\prime }}$, donc à $A$ par transitivité de la similitude. $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n⩾1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sur $\mathbb{C}$, le théorème de d'Alembert-Gauss assure que tout polynôme non constant est scindé. Le polynôme caractéristique l'est donc, et le théorème s'applique. $\mathrm{\square }$

Trace et déterminant à l'aide des valeurs propres

Démonstration. Par hypothèse, ${\chi }_u={\prod }_{i=1}^n(X-{\lambda }_i)$. Développons ce produit et identifions avec l'écriture générale du polynôme caractéristique établie à la section 3.

Le coefficient de $X^{n-1}$ dans ${\prod }_i(X-{\lambda }_i)$ s'obtient en choisissant $-{\lambda }_i$ dans exactement un facteur : il vaut $-{\sum }_i{\lambda }_i$. Or ce coefficient vaut $-\mathrm{t}\mathrm{r}(u)$, d'où $\mathrm{t}\mathrm{r}(u)={\sum }_i{\lambda }_i$.

Le terme constant s'obtient en évaluant en $0$ : il vaut ${\prod }_i(-{\lambda }_i)=(-1{)}^n{\prod }_i{\lambda }_i$. Or il vaut aussi $(-1{)}^n\det (u)$, d'où $\det (u)={\prod }_i{\lambda }_i$ après simplification par $(-1{)}^n$. $\mathrm{\square }$

Trigonaliser en pratique, en dimensions $2$ et $3$

Endomorphismes et matrices nilpotents

Les endomorphismes nilpotents sont, en un sens précis, l'exact opposé des endomorphismes diagonalisables : les seconds n'ont que des directions propres, les premiers n'en ont presque pas. Ils apparaissent naturellement dans les blocs des matrices trigonalisées, et c'est à ce titre qu'ils sont indispensables.

Définition et indice

Caractérisations

Démonstration. $1\Rightarrow 2$. Supposons $u^p=0$ avec $p⩾1$. Montrons d'abord que la seule valeur propre possible est $0$ : si $u(x)=\lambda x$ avec $x\mathrm{\ne }{0}_E$, une récurrence immédiate donne $u^k(x)={\lambda }^{k}x$, donc $0_E=u^p(x)={\lambda }^{p}x$, ce qui force ${\lambda }^p=0$, puis $\lambda =0$.

Fixons une base et notons $A$ la matrice de $u$. Regardons $A$ comme un élément de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ : elle y est encore nilpotente, puisque $A^p=0_n$ ne dépend pas du corps dans lequel on lit les coefficients, et son polynôme caractéristique est le même polynôme ${\chi }_u$. Sur $\mathbb{C}$, ${\chi }_u$ est scindé par d'Alembert-Gauss ; ses racines sont les valeurs propres complexes de $A$, qui sont toutes nulles par l'argument précédent. Donc ${\chi }_u=X^n$, égalité entre polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$.

$2\Rightarrow 3$. Si ${\chi }_u=X^n$, alors ${\chi }_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$, donc $u$ est trigonalisable : il existe une base $\mathcal{B}$ dans laquelle ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)=T$ est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux de $T$ sont les racines de ${\chi }_T={\chi }_u=X^n$, donc ils sont tous nuls : $T$ est triangulaire supérieure stricte.

$3\Rightarrow 1$. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure stricte. Posons $F_0=\{0_E\}$ et $F_j=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,\dots ,e_j)$ pour $1⩽j⩽n$. La colonne $j$ de la matrice n'ayant de coefficients non nuls qu'aux lignes d'indice strictement inférieur à $j$, on a

$$u(e_j)\in F_{j-1}\text{pour tout }j\in \{1,\dots ,n\},$$

donc $u(F_j)\subseteq F_{j-1}$ par linéarité. En itérant $n$ fois,

$$u^n(E)=u^n(F_n)\subseteq u^{n-1}(F_{n-1})\subseteq \cdots \subseteq u(F_1)\subseteq F_0=\{0_E\},$$

donc $u^n=0$ et $u$ est nilpotent, d'indice au plus $n$. $\mathrm{\square }$

Polynômes d'un endomorphisme

L'algèbre $\mathbb{K}[u]$

Démonstration. La linéarité est immédiate par regroupement des coefficients. Pour le produit, écrivons $P={\sum }_k{a}_k{X}^k$ et $Q={\sum }_l{b}_l{X}^l$ ; alors $PQ={\sum }_{k,l}{a}_k{b}_l{X}^{k+l}$, donc

$$(PQ)(u)=\sum _{k,l}{a}_k{b}_l{u}^{k+l}=\sum _{k,l}{a}_k{b}_l{u}^k\circ u^l=\left(\sum _k{a}_k{u}^k\right)\circ \left(\sum _l{b}_l{u}^l\right)=P(u)\circ Q(u),$$

où l'on a utilisé $u^{k+l}=u^k\circ u^l$ et la bilinéarité de la composition. Enfin $1(u)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ par définition.

L'image d'un morphisme d'algèbres est une sous-algèbre. Elle est commutative car, $\mathbb{K}[X]$ étant commutatif,

$$P(u)\circ Q(u)=(PQ)(u)=(QP)(u)=Q(u)\circ P(u)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Polynômes annulateurs et polynôme minimal

Démonstration. Existence d'un annulateur non nul. L'espace $\mathcal{L}(E)$ est de dimension finie $n^2$. La famille $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E,u,u^2,\dots ,u^{n^2})$ compte $n^2+1$ vecteurs de $\mathcal{L}(E)$ : elle est donc liée. Il existe des scalaires $a_0,\dots ,a_{n^2}$ non tous nuls tels que ${\sum }_k{a}_k{u}^k=0$, c'est-à-dire $P(u)=0$ avec $P={\sum }_k{a}_k{X}^k$ non nul.

Existence de ${\mu }_u$. L'ensemble des degrés des polynômes annulateurs non nuls est une partie non vide de $\mathbb{N}$ ; elle admet donc un plus petit élément $d$. Soit $\mu$ un polynôme annulateur non nul de degré $d$ ; quitte à le diviser par son coefficient dominant, ce qui ne change pas le fait qu'il annule $u$, on le suppose unitaire. Notons ${\mu }_u=\mu$.

Soit $P\in {\mathcal{I}}_u$. La division euclidienne de $P$ par ${\mu }_u$, licite puisque ${\mu }_u\mathrm{\ne }0$, s'écrit $P={\mu }_{u}Q+R$ avec $\mathrm{deg}R<d$. En évaluant en $u$,

$$R(u)=P(u)-{\mu }_u(u)\circ Q(u)=0-0=0,$$

donc $R$ est un polynôme annulateur de degré strictement inférieur à $d$ : par minimalité de $d$, il est nul. Ainsi $P={\mu }_{u}Q$, et ${\mu }_u\mid P$. Réciproquement, si $P={\mu }_{u}Q$, alors $P(u)={\mu }_u(u)\circ Q(u)=0$.

Unicité. Si $\mu$ et $\nu$ sont deux polynômes unitaires vérifiant la propriété, chacun divise l'autre, donc ils sont associés ; étant tous deux unitaires, ils sont égaux. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Famille génératrice. Soit $v\in \mathbb{K}[u]$, disons $v=P(u)$. La division euclidienne $P={\mu }_{u}Q+R$ avec $\mathrm{deg}R⩽d-1$ donne $v=P(u)=R(u)$, qui est combinaison linéaire de ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E,u,\dots ,u^{d-1}$.

Famille libre. Si ${\sum }_{k=0}^{d-1}{\alpha }_k{u}^k=0$, le polynôme $S={\sum }_{k=0}^{d-1}{\alpha }_k{X}^k$ annule $u$ et vérifie $\mathrm{deg}S⩽d-1<d$. Par minimalité du degré de ${\mu }_u$, il est nul, donc tous les ${\alpha }_k$ sont nuls. $\mathrm{\square }$

Valeurs propres et polynômes annulateurs

Démonstration. Commençons par un lemme : si $x$ est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$, alors pour tout $Q\in \mathbb{K}[X]$,

$$Q(u)(x)=Q(\lambda )x\mathrm{.}$$

En effet, une récurrence immédiate donne $u^k(x)={\lambda }^{k}x$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ : c'est vrai pour $k=0$, et si $u^k(x)={\lambda }^{k}x$ alors $u^{k+1}(x)=u({\lambda }^{k}x)={\lambda }^{k}u(x)={\lambda }^{k+1}x$. En écrivant $Q={\sum }_k{a}_k{X}^k$ et en utilisant la linéarité,

$$Q(u)(x)=\sum _k{a}_k{u}^k(x)=\sum _k{a}_k{\lambda }^{k}x=Q(\lambda )x\mathrm{.}$$

Appliquons-le à $Q=P$. Soit $x$ un vecteur propre associé à $\lambda$, donc $x\mathrm{\ne }{0}_E$. Alors

$$0_E=P(u)(x)=P(\lambda )x,$$

et comme $x\mathrm{\ne }{0}_E$, il vient $P(\lambda )=0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Inclusion directe. Toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur, donc de ${\mu }_u$.

Inclusion réciproque. Soit $\lambda$ une racine de ${\mu }_u$ dans $\mathbb{K}$. Écrivons ${\mu }_u=(X-\lambda )Q$ avec $\mathrm{deg}Q=\mathrm{deg}{\mu }_u-1$. Par minimalité du degré de ${\mu }_u$, le polynôme $Q$ n'annule pas $u$ : il existe donc $x\in E$ tel que $y=Q(u)(x)\mathrm{\ne }{0}_E$. Or

$$(u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)(y)=(u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)(Q(u)(x))={\mu }_u(u)(x)=0_E,$$

donc $y$ est un vecteur non nul du noyau de $u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ : c'est un vecteur propre, et $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(u)$. $\mathrm{\square }$

Lemme de décomposition des noyaux

C'est le théorème charnière du chapitre : il traduit une factorisation de polynômes en une décomposition de l'espace.

Démonstration. Les polynômes $P$ et $Q$ étant premiers entre eux, le théorème de Bézout fournit $U,V\in \mathbb{K}[X]$ tels que

$$UP+VQ=1.$$

En appliquant le morphisme ${\mathrm{\Phi }}_u$, qui transforme sommes en sommes et produits en composées, on obtient l'identité fondamentale entre endomorphismes :

$$U(u)\circ P(u)+V(u)\circ Q(u)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\mathrm{.}$$

Nous appellerons cette égalité l'identité de Bézout dans la suite de la démonstration.

Les deux noyaux sont inclus dans le grand. Comme $(PQ)(u)=Q(u)\circ P(u)=P(u)\circ Q(u)$, tout $x$ annulé par $P(u)$ est annulé par $(PQ)(u)$, et de même pour $Q(u)$. Donc $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P(u)+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q(u)\subseteq \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((PQ)(u))$.

La somme est directe. Soit $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P(u)\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q(u)$. En appliquant l'identité de Bézout à $x$,

$$x=U(u)(P(u)(x))+V(u)(Q(u)(x))=U(u)(0_E)+V(u)(0_E)=0_E\mathrm{.}$$

L'intersection est donc réduite à $\{0_E\}$ et la somme est directe.

Inclusion réciproque. Soit $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((PQ)(u))$. Posons

$$x_1=V(u)(Q(u)(x))\text{et}{x}_2=U(u)(P(u)(x)),$$

de sorte que $x=x_1+x_2$ d'après l'identité de Bézout. Montrons que $x_1\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P(u)$ : comme tous ces endomorphismes sont des polynômes en $u$, ils commutent entre eux, donc

$$P(u)(x_1)=P(u)\circ V(u)\circ Q(u)(x)=V(u)\circ (P(u)\circ Q(u))(x)=V(u)((PQ)(u)(x))=V(u)(0_E)=0_E\mathrm{.}$$

Le même calcul, en échangeant les rôles, donne $Q(u)(x_2)=U(u)((PQ)(u)(x))=0_E$, donc $x_2\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q(u)$. Ainsi $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P(u)+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q(u)$.

Stabilité. Chacun de ces sous-espaces est le noyau d'un polynôme en $u$, donc stable par $u$ d'après le corollaire de la section 1. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Récurrence sur $r$. Le cas $r=2$ est le théorème précédent. Supposons le résultat vrai au rang $r-1$ et donnons-nous $P_1,\dots ,P_r$ deux à deux premiers entre eux. Le polynôme $P_r$ est premier avec chacun des $P_1,\dots ,P_{r-1}$, donc il est premier avec leur produit $P_1\cdots P_{r-1}$ (propriété classique de l'arithmétique des polynômes). Le cas de deux facteurs donne alors

$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P(u)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((P_1\cdots P_{r-1})(u))\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{P}_r(u),$$

et l'hypothèse de récurrence décompose le premier terme en ${⨁}_{i=1}^{r-1}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{P}_i(u)$. D'où le résultat.

Pour le cas particulier, si $P(u)=0$ alors $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P(u)=E$. $\mathrm{\square }$

Diagonalisabilité et polynôme annulateur

Nous arrivons au résultat le plus efficace du chapitre. Il caractérise la diagonalisabilité sans calculer aucun sous-espace propre, et même sans calculer le polynôme caractéristique.

Démonstration. $1\Rightarrow 2$. Supposons $u$ diagonalisable et notons ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ ses valeurs propres distinctes. Posons

$$P=\prod _{i=1}^r(X-{\lambda }_i),$$

qui est scindé sur $\mathbb{K}$ à racines simples. Montrons que $P(u)=0$. Comme $u$ est diagonalisable, $E={⨁}_i{E}_{{\lambda }_i}(u)$, et il suffit donc de vérifier que $P(u)$ s'annule sur chaque $E_{{\lambda }_i}(u)$. Soit $x\in E_{{\lambda }_i}(u)$. Les facteurs de $P(u)$ étant des polynômes en $u$, ils commutent, et l'on peut écrire

$$P(u)(x)=\left[\prod _{j\mathrm{\ne }i}\right(u-{\lambda }_j{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\left)\right]\left(\right(u-{\lambda }_i{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)(x))=\left[\prod _{j\mathrm{\ne }i}\right(u-{\lambda }_j{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\left)\right](0_E)=0_E\mathrm{.}$$

Par linéarité, $P(u)$ est nul sur toute somme de tels vecteurs, c'est-à-dire sur $E$ tout entier.

$2\Rightarrow 3$. Soit $P$ scindé à racines simples annulant $u$. Alors ${\mu }_u$ divise $P$. Or tout diviseur unitaire d'un polynôme scindé à racines simples est lui-même scindé à racines simples, puisque sa décomposition en facteurs irréductibles est extraite de celle de $P$. Donc ${\mu }_u$ est scindé à racines simples.

$3\Rightarrow 1$. Supposons ${\mu }_u={\prod }_{i=1}^s(X-{\alpha }_i)$ avec les ${\alpha }_i$ deux à deux distincts. Les polynômes $X-{\alpha }_i$ sont deux à deux premiers entre eux, et ${\mu }_u$ annule $u$ ; le lemme des noyaux donne donc

$$E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\mu }_u(u)=\underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-{\alpha }_i{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}{E}_{{\alpha }_i}(u)\mathrm{.}$$

L'espace $E$ est donc somme directe de sous-espaces propres de $u$ : d'après le théorème des équivalences de la section 4, $u$ est diagonalisable. (Au passage, chaque ${\alpha }_i$ est bien une valeur propre, sinon le sous-espace correspondant serait nul et l'on pourrait supprimer le facteur, contredisant la minimalité de ${\mu }_u$.)

Expression de ${\mu }_u$. Si $u$ est diagonalisable, le polynôme $P={\prod }_{\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(u)}(X-\lambda )$ annule $u$ d'après la première implication, donc ${\mu }_u\mid P$. Réciproquement, toute valeur propre est racine de ${\mu }_u$, donc $P\mid {\mu }_u$. Ces deux polynômes unitaires se divisent mutuellement : ils sont égaux. $\mathrm{\square }$

Applications immédiates

Démonstration. Le polynôme $X^2-X=X(X-1)$ annule $p$ ; il est scindé sur $\mathbb{K}$ à racines simples, donc $p$ est diagonalisable, et ses valeurs propres sont parmi les racines $\{0,1\}$. Le lemme des noyaux donne $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, et l'on reconnaît $E_1(p)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\mathrm{I}\mathrm{m}p$, puisque tout vecteur de l'image s'écrit $p(x)$ et vérifie alors $p(p(x))=p(x)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le polynôme $X^2-1=(X-1)(X+1)$ annule $s$. Il est scindé sur $\mathbb{K}$, et ses racines $1$ et $-1$ sont distinctes puisque $\mathbb{K}$ vaut $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Le théorème s'applique. $\mathrm{\square }$

Endomorphisme induit

Démonstration. Commençons par une observation : pour tout $P\in \mathbb{K}[X]$, on a $P(u_F)=(P(u){)}_F$, c'est-à-dire que $P(u_F)$ est la restriction de $P(u)$ à $F$. En effet, $u_F$ est la restriction de $u$ à $F$, donc $(u_F{)}^k$ est la restriction de $u^k$ à $F$ pour tout $k$ (ce qui a un sens car $F$ est stable), et l'on conclut par linéarité.

Comme $u$ est diagonalisable, son polynôme minimal ${\mu }_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ à racines simples. Or

$${\mu }_u(u_F)=({\mu }_u(u){)}_F=0_F,$$

donc ${\mu }_u$ est un polynôme annulateur de $u_F$, scindé à racines simples. D'après le théorème, $u_F$ est diagonalisable. $\mathrm{\square }$

Théorème de Cayley-Hamilton

Énoncé

Conséquences

Démonstration. Point 1. Le théorème de Cayley-Hamilton dit que ${\chi }_u$ est un polynôme annulateur de $u$ ; or tout polynôme annulateur est multiple de ${\mu }_u$.

Point 2. Conséquence immédiate du point 1, puisque $\mathrm{deg}{\chi }_u=n$.

Point 3. Les racines de ${\mu }_u$ sont exactement les valeurs propres (théorème de la section 7), et les racines de ${\chi }_u$ aussi (théorème de la section 3).

Point 4. Un diviseur unitaire d'un polynôme scindé est scindé. $\mathrm{\square }$

Application : l'inverse comme polynôme en $A$

Démonstration. Cayley-Hamilton donne $A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_0{I}_n=0_n$. En isolant le terme constant puis en factorisant par $A$,

$$A(A^{n-1}+c_{n-1}{A}^{n-2}+\cdots +c_1{I}_n)=-c_0{I}_n\mathrm{.}$$

Comme $A$ est inversible, $\det (A)\mathrm{\ne }0$, donc $c_0\mathrm{\ne }0$ et l'on peut diviser par $-c_0$ : la matrice entre parenthèses, divisée par $-c_0$, est l'inverse de $A$. $\mathrm{\square }$

Application : calculer $A^k$ par division euclidienne

Sous-espaces caractéristiques

La section précédente nous laisse avec une question naturelle. Quand $u$ est diagonalisable, $E$ se casse en sous-espaces propres. Quand il ne l'est pas, les sous-espaces propres sont trop petits pour remplir $E$ : par quoi faut-il les remplacer ? La réponse consiste à élargir chaque $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ en $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E{)}^{m_{\lambda }})$.

Démonstration. C'est le noyau du polynôme $P=(X-\lambda {)}^{m_{\lambda }}$ évalué en $u$, donc un sous-espace vectoriel stable par $u$ d'après le corollaire de la section 1. L'inclusion vient de ce que $(u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)(x)=0_E$ entraîne $(u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E{)}^{m_{\lambda }}(x)=0_E$. Si $m_{\lambda }=1$, les deux sous-espaces sont définis par la même équation. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Décomposition. Les polynômes $(X-{\lambda }_i{)}^{m_i}$ sont deux à deux premiers entre eux, puisque les ${\lambda }_i$ sont deux à deux distincts et que ces polynômes n'ont donc aucune racine commune. Leur produit est ${\chi }_u$, qui annule $u$ d'après le théorème de Cayley-Hamilton. Le lemme des noyaux, appliqué à cette factorisation, donne

$$E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\chi }_u(u)=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\left(\right(u-{\lambda }_i{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E{)}^{m_i})=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}{F}_{{\lambda }_i}(u)\mathrm{.}$$

Dimensions. Posons $d_i=\dim F_{{\lambda }_i}(u)$ et notons $u_i$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $F_{{\lambda }_i}(u)$, qui est bien défini par stabilité. Par définition de $F_{{\lambda }_i}(u)$, on a

$$(u_i-{\lambda }_i\mathrm{i}\mathrm{d}{)}^{m_i}=0,$$

donc $u_i-{\lambda }_i\mathrm{i}\mathrm{d}$ est un endomorphisme nilpotent de $F_{{\lambda }_i}(u)$. D'après la caractérisation des endomorphismes nilpotents, son polynôme caractéristique est $X^{d_i}$, et par conséquent

$${\chi }_{u_i}(X)=(X-{\lambda }_i{)}^{d_i},$$

puisque le polynôme caractéristique de $v+\lambda \mathrm{i}\mathrm{d}$ s'obtient à partir de celui de $v$ en remplaçant $X$ par $X-\lambda$ (translation immédiate sur le déterminant $\det (X\mathrm{i}\mathrm{d}-v-\lambda \mathrm{i}\mathrm{d})$).

Par ailleurs, les $F_{{\lambda }_i}(u)$ étant stables et en somme directe égale à $E$, la matrice de $u$ dans une base adaptée est diagonale par blocs, d'où

$${\chi }_u=\prod _{i=1}^r{\chi }_{u_i}=\prod _{i=1}^r(X-{\lambda }_i{)}^{d_i}\mathrm{.}$$

En comparant avec ${\chi }_u={\prod }_i(X-{\lambda }_i{)}^{m_i}$ et par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, on conclut $d_i=m_i$ pour tout $i$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Prenons une base adaptée à la décomposition $E={⨁}_i{F}_{{\lambda }_i}$. La matrice de $u$ y est diagonale par blocs, le bloc $B_i$ étant la matrice de $u_i$ dans la base choisie de $F_{{\lambda }_i}$, de taille $m_i$ d'après le théorème. Or $u_i-{\lambda }_i\mathrm{i}\mathrm{d}$ est nilpotent, donc $B_i-{\lambda }_i{I}_{m_i}=N_i$ est nilpotente. Quitte à choisir dans chaque $F_{{\lambda }_i}$ une base qui triangularise l'endomorphisme nilpotent $u_i-{\lambda }_i\mathrm{i}\mathrm{d}$, ce qui est possible d'après la caractérisation des nilpotents, on peut supposer $N_i$ triangulaire supérieure stricte. $\mathrm{\square }$

Méthodes et applications

Calculer les puissances d'une matrice

Résoudre un système de suites récurrentes couplées

Déterminer un commutant

Démonstration. Réduction au cas diagonal. Écrivons $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ à coefficients deux à deux distincts. Pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, posons $M^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}MP$. Alors

$$AM=MA⟺PD{P}^{-1}M=MPD{P}^{-1}⟺D{M}^{\mathrm{\prime }}=M^{\mathrm{\prime }}D,$$

en multipliant à gauche par $P^{-1}$ et à droite par $P$. L'application $M\mapsto P^{-1}MP$ étant un isomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, il suffit de déterminer le commutant de $D$ et de revenir par cet isomorphisme, qui conserve les dimensions.

Commutant d'une matrice diagonale à coefficients distincts. Notons $M^{\mathrm{\prime }}=(m_{i,j})$. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de $D{M}^{\mathrm{\prime }}$ vaut ${\lambda }_i{m}_{i,j}$, celui de $M^{\mathrm{\prime }}D$ vaut $m_{i,j}{\lambda }_j$. L'égalité $D{M}^{\mathrm{\prime }}=M^{\mathrm{\prime }}D$ équivaut donc à

$$m_{i,j}({\lambda }_i-{\lambda }_j)=0\text{pour tous }i,j\mathrm{.}$$

Pour $i\mathrm{\ne }j$, on a ${\lambda }_i\mathrm{\ne }{\lambda }_j$, donc $m_{i,j}=0$ ; pour $i=j$, la condition est vide. Le commutant de $D$ est donc l'ensemble des matrices diagonales, de dimension $n$. Par transport, $\dim \mathcal{C}(A)=n$.

Identification avec $\mathbb{K}[A]$. Tout polynôme en $A$ commute avec $A$, donc $\mathbb{K}[A]\subseteq \mathcal{C}(A)$. Par ailleurs $A$ est diagonalisable avec $n$ valeurs propres distinctes, donc ${\mu }_A={\prod }_{i=1}^n(X-{\lambda }_i)$ est de degré $n$, et $\dim \mathbb{K}[A]=\mathrm{deg}{\mu }_A=n$. Un sous-espace de dimension $n$ inclus dans un espace de dimension $n$ lui est égal : $\mathbb{K}[A]=\mathcal{C}(A)$. $\mathrm{\square }$

Montrer qu'une matrice est diagonalisable sans calculer ses sous-espaces propres

Les réflexes du chapitre

Pour finir, la liste des automatismes à installer, et des fautes qui coûtent le plus de points.

1. Toujours préciser le corps. La diagonalisabilité, la trigonalisabilité et le spectre dépendent de $\mathbb{K}$. Écrire « $A$ est diagonalisable » sans dire où est une phrase incomplète dès que la matrice est réelle et que ${\chi }_A$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$.

2. Ne jamais confondre $\dim E_{\lambda }(u)$ et $m_{\lambda }(u)$. L'inégalité $1⩽\dim E_{\lambda }⩽m_{\lambda }$ va toujours dans ce sens, et l'égalité pour toutes les valeurs propres est exactement la diagonalisabilité (quand ${\chi }_u$ est scindé). Corollaire à exploiter systématiquement : une valeur propre simple ne demande aucun calcul de dimension.

3. Une racine d'un polynôme annulateur n'est pas forcément une valeur propre. Le bon énoncé est l'inclusion $\mathrm{S}\mathrm{p}(u)\subseteq \{\text{racines de }P\}$ pour tout annulateur $P$. L'égalité n'est garantie que pour ${\mu }_u$ et pour ${\chi }_u$.

4. Utiliser la trace et le déterminant comme contrôles. Après tout calcul de valeurs propres avec un polynôme caractéristique scindé, vérifier que leur somme vaut $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$ et leur produit $\det (A)$. Après toute diagonalisation, vérifier $AP=PD$ colonne par colonne, jamais $A=PD{P}^{-1}$.

5. Choisir le bon critère de diagonalisabilité. Un énoncé qui fournit une relation algébrique ($u^2=u$, $u^3=\mathrm{i}\mathrm{d}$, $u^2=5u-6\mathrm{i}\mathrm{d}$) appelle le critère du polynôme annulateur. Un énoncé qui fournit une matrice numérique appelle le calcul de ${\chi }_A$ puis des dimensions. Ne pas calculer un déterminant $4\times 4$ quand une relation évidente donne la réponse en deux lignes.

6. Penser aux sous-espaces stables dès qu'il y a commutation. Si $u\circ v=v\circ u$, alors $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$, $\mathrm{I}\mathrm{m}v$ et tous les sous-espaces propres de $v$ sont stables par $u$. C'est le point de départ de presque tous les exercices sur le commutant et sur la réduction simultanée.

7. Le lemme des noyaux se déclenche sur une factorisation. Dès qu'un polynôme annulateur se factorise en facteurs deux à deux premiers entre eux, l'espace se décompose en somme directe de sous-espaces stables. C'est le moteur du critère de diagonalisabilité, de la décomposition en sous-espaces caractéristiques, et de l'étude des projecteurs et symétries.

8. Cayley-Hamilton est admis, mais il s'utilise partout. Retenir surtout ses trois usages : ${\mu }_u\mid {\chi }_u$, l'inverse comme polynôme en $A$, et le calcul de $A^k$ par division euclidienne. Et ne jamais écrire la fausse démonstration ${\chi }_A(A)=\det (A-A)=0$.

9. Quand la diagonalisation échoue, penser aux sous-espaces caractéristiques. Ils ont toujours la bonne dimension $m_{\lambda }$, et ils fournissent la forme réduite « blocs $\lambda I+N$ avec $N$ nilpotente », qui rend les puissances calculables par la formule du binôme.

10. Vérifier ses calculs sur des cas particuliers. Une formule donnant $A^k$ doit redonner $I_n$ pour $k=0$ et $A$ pour $k=1$. Une solution de suite récurrente doit redonner les conditions initiales et satisfaire la relation au rang $1$. Ces contrôles prennent trente secondes et sauvent des copies entières.