Fonctions numériques de deux variables réelles

Une entreprise ne choisit presque jamais une seule grandeur. Elle fixe une quantité produite et un prix, un budget de publicité et un budget de recherche, une main-d'œuvre et un capital. Un ménage répartit un revenu entre deux biens. Un statisticien qui ajuste une droite à un nuage de points cherche simultanément une pente et une ordonnée à l'origine. Dans tous ces cas, la quantité que l'on veut rendre maximale ou minimale, profit, coût, utilité, erreur, dépend de deux variables, et les outils du premier semestre, taillés pour une seule variable, ne suffisent plus. Ce chapitre construit les outils manquants : dériver dans deux directions, repérer les points candidats, et trancher leur nature. Il est le dernier chapitre d'analyse de la deuxième année, et il est aussi, avec les probabilités, celui qui revient le plus souvent dans les sujets de concours, sous une forme d'ailleurs très stable : on donne une fonction, on demande les points critiques, on demande leur nature, on demande éventuellement l'extremum global.

Ce chapitre a une particularité que peu d'autres ont : il réutilise le troisième semestre au lieu de l'oublier. Vous avez appris à réduire une matrice, c'est-à-dire à en chercher les valeurs propres, et vous vous êtes peut-être demandé à quoi cela servait au-delà du calcul des puissances $A^n$. La réponse est ici. À chaque point critique d'une fonction de deux variables, on associe une matrice carrée d'ordre $2$, la matrice hessienne, et ce sont les signes de ses deux valeurs propres qui décident si l'on est en présence d'un minimum, d'un maximum ou de rien du tout. Deux valeurs propres strictement positives, c'est un creux ; deux strictement négatives, c'est un sommet ; deux de signes contraires, c'est une selle de cheval, et il n'y a pas d'extremum. Le programme est explicite sur ce point, et c'est pour cela que la réduction figure au semestre précédent. Une conséquence pratique immédiate : si le calcul des valeurs propres d'une matrice $2\times 2$ n'est pas automatique chez vous, révisez-le maintenant, parce que la moitié des points de ce chapitre en dépend.

Il faut ensuite dire franchement une chose que le programme officiel écrit noir sur blanc : « tous les résultats concernant les fonctions réelles de deux variables réelles seront admis ». Aucune des grandes propriétés de ce chapitre ne sera démontrée, ni ici ni ailleurs : ni la continuité des fonctions polynomiales, ni le théorème de Schwarz, ni la condition nécessaire du premier ordre, ni la condition suffisante du second ordre, ni le théorème des bornes atteintes. Ce n'est pas une paresse de rédaction, c'est une décision du texte officiel, motivée par le fait que les démonstrations correctes exigeraient une topologie que la voie ECG n'enseigne pas. Il faut en tirer la conséquence pour votre travail : on ne vous demandera jamais de démontrer ces énoncés, on vous demandera de les appliquer correctement. Ce qui est évalué, c'est la méthode et le calcul : poser proprement un système de deux équations, le résoudre sans erreur, écrire une hessienne symétrique, trouver deux valeurs propres justes, conclure avec le bon énoncé et les bonnes hypothèses. Autrement dit, la théorie vous est offerte, la rigueur d'application ne l'est pas. En revanche, tout ce qui est démontrable à votre niveau le sera dans ce cours, et il y en a beaucoup : les calculs de dérivées partielles, les formes canoniques, la recherche des valeurs propres d'une hessienne, l'étude des cas douteux, et la démonstration complète des formules de la droite de régression.

Le plan suit l'ordre naturel du travail. Les sections $1$ à $3$ installent l'objet et le vocabulaire : ce qu'est une fonction de deux variables, comment on mesure une distance dans le plan, ce que signifie la continuité, et comment on visualise une telle fonction par ses lignes de niveau, qui sont exactement les isoquantes et les courbes d'indifférence de vos cours d'économie. Les sections $4$ à $6$ construisent le calcul différentiel : les dérivées partielles d'ordre $1$, le gradient, puis les dérivées partielles d'ordre $2$, le théorème de Schwarz et la matrice hessienne. Les sections $7$ et $8$ forment le cœur du chapitre : la recherche des points critiques par la condition d'ordre $1$, puis la détermination de leur nature par les valeurs propres de la hessienne. La section $9$ traite la question la plus délicate, le passage du local au global, qui ne se règle jamais par la hessienne seule. La section $10$ déroule les deux applications que le programme cite explicitement : la droite de régression et l'optimisation économique. La section $11$ résume tout en une page et liste les erreurs qui coûtent des points chaque année.

Un dernier avertissement sur le cadre. Le programme prend soin d'« éviter tout problème de nature topologique » : il précise que « le domaine de définition sera systématiquement ${\mathbb{R}}^2$ », et que « la détermination de la nature topologique d'un ensemble n'est pas un objectif du programme et devra toujours être indiquée ». Traduction concrète : sauf mention contraire, toutes nos fonctions sont définies sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier ; et quand une partie du plan est ouverte, fermée ou bornée, l'énoncé vous le dira, ou bien ce cours l'admettra explicitement. Vous n'aurez jamais à le démontrer, et vous ne devez jamais faire semblant de le démontrer. En contrepartie, vous devez apprendre à lire cette information dans l'énoncé et à l'utiliser au bon endroit, parce qu'elle conditionne l'application des théorèmes.

Voici enfin les notations en vigueur dans tout le chapitre.

Les lettres $f$, $g$, $h$ désignent des fonctions de deux variables, les lettres $\phi$ et $\psi$ des fonctions d'une seule variable obtenues par substitution. Le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration. Enfin, chaque énoncé que le programme impose d'admettre porte la mention (admis) : elle n'est pas décorative, elle vous dit que la seule chose attendue de vous est de savoir l'appliquer.

Fonctions de deux variables réelles

Définition et premiers exemples

Conformément au programme, le domaine de définition sera systématiquement ${\mathbb{R}}^2$. Lorsqu'une expression n'a pas de sens partout, par exemple $\sqrt{xy}$ ou $\ln (xy)$, on ne « cherche pas le domaine » comme en première année : l'énoncé donne l'ensemble de départ, et il précise s'il est ouvert. Ce cours fera de même.

Deux couples sont égaux si et seulement si leurs deux coordonnées le sont, de sorte que l'ordre compte : en général $f(x,y)\mathrm{\ne }f(y,x)$. Ainsi, pour $f(x,y)=x^2-3y$, on a $f(1,2)=1-6=-5$ tandis que $f(2,1)=4-3=1$.

Fonctions coordonnées et fonctions polynomiales

Le programme part de deux fonctions minimales, à partir desquelles tout se construit.

Elles paraissent triviales, et elles le sont ; leur rôle est d'être les briques de base. Un monôme de deux variables est un produit $c{x}^i{y}^j$, où $c$ est un réel et où $i$ et $j$ sont des entiers naturels ; l'entier $i+j$ en est le degré.

Fonctions partielles

Voici la notion la plus utile de cette section, celle qui ramènera tout le chapitre à des calculs d'une seule variable.

Retenez le principe, car il structure tout le chapitre : une fonction partielle est une fonction d'une seule variable, à laquelle s'applique intégralement le programme de première année. Dérivation, tableau de variations, forme canonique, limites : tout ce que vous savez faire reste valable dès que l'une des deux variables est gelée.

Représentation graphique

Une fonction d'une variable se représente par une courbe dans un plan. Une fonction de deux variables se représente par une surface dans l'espace : à chaque couple $(x,y)$ du plan horizontal on associe l'altitude $z=f(x,y)$, et l'ensemble des points $(x,y,f(x,y))$ dessine un relief.

L'image mentale à retenir est celle d'un paysage de montagne vu d'avion. Le couple $(x,y)$ est la position sur la carte, le nombre $f(x,y)$ est l'altitude. Un maximum local est un sommet, un minimum local est le fond d'une cuvette, et l'on rencontrera en section $8$ un troisième type de point, le col, exactement au sens des cols de montagne : un point qui est un sommet quand on le parcourt dans une direction, et un creux quand on le parcourt dans l'autre.

Cette représentation en trois dimensions est difficile à dessiner et impossible à exploiter dans une copie. C'est pourquoi on lui préfère systématiquement la représentation plate de la section $3$, celle des cartes d'état-major : les lignes de niveau.

Distance euclidienne et continuité sur ${\mathbb{R}}^2$

La distance euclidienne du plan

Pour parler de continuité, il faut d'abord savoir dire que deux points sont proches. Sur $\mathbb{R}$, on disposait de la valeur absolue $\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }$. Sur ${\mathbb{R}}^2$, c'est la distance usuelle du plan, celle du théorème de Pythagore.

Démonstration. Le point $1$ vient de ce qu'une racine carrée est positive, et qu'elle est nulle si et seulement si son argument l'est : ici $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=0$ est une somme de deux carrés, nulle seulement si les deux carrés le sont, c'est-à-dire si $x=x_0$ et $y=y_0$. Le point $2$ vient de $(x_0-x{)}^2=(x-x_0{)}^2$. Pour le point $3$, on écrit $(x-x_0{)}^2⩽(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2$, puis on prend la racine carrée des deux membres, la fonction racine étant croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et l'on utilise $\sqrt{(x-x_0{)}^2}=\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Le point $3$ mérite d'être souligné : il dit que si deux points sont proches dans le plan, alors leurs abscisses sont proches et leurs ordonnées sont proches. C'est ce qui permettra, en pratique, de majorer une expression en $x$ et $y$ par une expression en $d(M,A)$ seule.

Le disque ouvert

L'adjectif « ouvert » signifie ici que le bord est exclu : les points situés exactement à la distance $r$ de $A$ n'appartiennent pas à $D(A,r)$, puisque l'inégalité est stricte. C'est l'analogue exact de l'intervalle ouvert $]x_0-r,x_0+r[$ de $\mathbb{R}$, qui est d'ailleurs l'ensemble des réels $x$ tels que $\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }<r$.

La figure représente le disque ouvert de centre $A(1,1)$ et de rayon $r=\mathrm{1,5}$. Le segment joignant $A$ à un point $M$ du plan matérialise la distance $d(M,A)$, calculée par Pythagore à partir des deux écarts de coordonnées $x-1$ et $y-1$. Le cercle qui borde le disque est tracé en pointillés : c'est la façon usuelle de signaler que le bord ne fait pas partie de l'ensemble. Retenez cette image, car elle est la définition même du mot « voisinage » : dire qu'une propriété est vraie « au voisinage de $A$ », c'est dire qu'elle est vraie sur un disque ouvert centré en $A$, aussi petit soit-il.

Continuité en un point

Cette définition est la copie conforme de celle d'une variable, où l'on lisait « $\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }<r$ entraîne $\mathrm{\mid }f(x)-f(x_0)\mathrm{\mid }<\epsilon$ ». La seule modification est le remplacement de la valeur absolue par la distance euclidienne, c'est-à-dire de l'intervalle par le disque. Le sens est inchangé : on peut rendre $f(M)$ aussi proche que l'on veut de $f(A)$, à condition de prendre $M$ assez proche de $A$. Le réel $\epsilon$ est l'exigence de précision sur les images, imposée d'abord ; le rayon $r$ est la marge de manœuvre sur les antécédents, trouvée ensuite, et il dépend en général de $\epsilon$.

Une différence de fond avec la dimension $1$ mérite d'être signalée, même si le programme n'en fera rien : sur la droite réelle, on ne peut approcher $x_0$ que par la gauche ou par la droite, alors que dans le plan on peut approcher $A$ par une infinité de directions, et même par des chemins qui tournent. C'est précisément ce qui rend la théorie difficile, et c'est pourquoi le programme admet tous les résultats et interdit les fonctions à problème en un point.

Les résultats admis

La conséquence se lit ainsi : un monôme $c{x}^i{y}^j$ est un produit de fonctions continues, donc il est continu ; une fonction polynomiale est une somme finie de monômes, donc elle est continue. Vous pouvez présenter ce raisonnement en une ligne dans une copie, ou vous contenter de citer le résultat.

L'hypothèse « à valeurs dans $I$ » n'est pas décorative : c'est elle qui garantit que la composition a un sens partout. Dans les exercices, elle se vérifie en une phrase, et cette phrase est attendue.

Notez la structure de la minoration : on ne dit pas « le dénominateur est différent de $0$ », on exhibe un minorant strictement positif. C'est plus court et c'est incontestable.

Lignes de niveau

Définition et lecture

C'est le procédé des cartes d'état-major et des cartes de randonnée. Plutôt que de dessiner le relief en perspective, on découpe la surface par des plans horizontaux d'altitudes régulièrement espacées, et l'on projette les courbes obtenues sur le plan de la carte. Le dessin est plat, mais il contient toute l'information : là où les lignes de niveau sont serrées, la pente est forte ; là où elles sont écartées, le terrain est plat ; une ligne fermée qui se referme sur un point signale un sommet ou une cuvette.

Une ligne de niveau peut être vide, réduite à un point, ou être une véritable courbe. Deux lignes de niveau d'indices différents ne se coupent jamais : un point du plan a une image et une seule, il ne peut pas avoir deux altitudes.

Trois familles à connaître

La figure représente les lignes de niveau $k=1$, $3$, $6$ et $9$ de $f(x,y)=x^2+2y^2$. On y voit quatre ellipses emboîtées, d'autant plus grandes que le niveau est élevé : la fonction a bien un creux unique à l'origine, où elle vaut $0$, et elle croît dans toutes les directions quand on s'en éloigne. Le vecteur tracé à partir du point $A(1,1)$ est le gradient de $f$ en ce point, dont la section $5$ donnera la définition, représenté à l'échelle $1\mathrm{/}3$ pour tenir dans le cadre ; observez dès maintenant qu'il pointe vers les niveaux croissants et qu'il est perpendiculaire à l'ellipse qui passe par $A$.

La figure trace ces trois lignes de niveau sur le domaine $]0,6]\times ]0,6]$. Chacune est décroissante et convexe, et elles s'éloignent de l'origine à mesure que le niveau augmente. Les trois points marqués, $(1,4)$, $(2,2)$ et $(4,1)$, sont sur la même ligne de niveau : ils correspondent à trois façons différentes de produire exactement $2$ unités, en utilisant beaucoup du premier facteur et peu du second, autant des deux, ou l'inverse. Cette forme n'est pas un hasard mathématique, elle traduit un fait économique précis, développé au paragraphe suivant.

Interprétation économique

En économie, les lignes de niveau ont deux noms suivant ce que la fonction représente, mais c'est le même objet mathématique.

Reprenons la figure des isoquantes de $\sqrt{xy}$. Que dit sa forme ?

D'abord, chaque isoquante est décroissante : pour maintenir la production constante, toute baisse du travail doit être compensée par une hausse du capital. Les deux facteurs sont substituables, et la pente de l'isoquante mesure le taux auquel on peut les échanger sans changer la production.

Ensuite, chaque isoquante est convexe, c'est-à-dire qu'elle s'aplatit quand on se déplace vers la droite. Traduction : plus le travail est déjà abondant par rapport au capital, plus il faut de travail supplémentaire pour compenser la perte d'une unité de capital. C'est la décroissance du taux de substitution, l'un des postulats de base de la microéconomie, et l'on voit ici qu'il est inscrit dans la forme même de la fonction de Cobb-Douglas.

Enfin, les isoquantes ne se coupent jamais et sont ordonnées : celle de niveau $3$ est entièrement au-dessus de celle de niveau $2$. Se déplacer vers le haut à droite, c'est produire plus.

Dérivées partielles d'ordre $1$

Définition

L'idée est celle des fonctions partielles de la section $1$ : pour dériver une fonction de deux variables, on gèle l'une des deux et l'on dérive la fonction d'une variable qui reste.

Les notations ${\mathrm{\partial }}_{1}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f$ sont celles du programme et sont les seules à employer dans une copie. Vous rencontrerez ailleurs les écritures ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$, qui désignent exactement les mêmes objets ; elles ont l'inconvénient de faire croire que les variables s'appellent nécessairement $x$ et $y$, alors que l'indice, lui, désigne sans ambiguïté la place de la variable dans le couple.

Exemples de calcul

Fonctions de classe $C^1$

L'exigence de continuité des dérivées partielles peut sembler superflue ; elle est en réalité indispensable, et c'est elle qui rend valables tous les théorèmes des sections suivantes. Retenez simplement que, dans ce programme, il ne s'agira jamais de la discuter : les fonctions rencontrées seront construites à partir de polynômes et de fonctions usuelles, donc automatiquement de classe $C^1$.

C'est l'analogue exact du résultat d'une variable, « dérivable entraîne continue ». Attention à ne pas l'inverser : une fonction continue n'a aucune raison d'être de classe $C^1$, comme le montre déjà la valeur absolue en dimension $1$.

Le gradient

Définition

Le gradient n'apporte aucune information nouvelle : il empile simplement les deux dérivées partielles dans une colonne. Son intérêt est de permettre d'écrire d'un seul coup les deux conditions ${\mathrm{\partial }}_{1}f=0$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f=0$ sous la forme compacte $\mathrm{\nabla }f(x,y)=0$, ce qui sera l'écriture standard de la section $7$. Attention à la nature de l'objet : c'est une colonne, pas un couple. On écrit

$$\mathrm{\nabla }f(1,1)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right),\text{et non}\mathrm{\nabla }f(1,1)=(2,4)\mathrm{.}$$

De même, l'égalité $\mathrm{\nabla }f(x,y)=0$ signifie que la colonne est nulle, c'est-à-dire que ses deux coefficients sont nuls : c'est un système de deux équations.

Ce que le gradient donne à voir

Reprenons la figure des lignes de niveau de $f(x,y)=x^2+2y^2$, sur laquelle le gradient $\mathrm{\nabla }f(1,1)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ est tracé à partir du point $A(1,1)$. Deux faits s'y lisent, et il faut être précis sur leur statut.

Premièrement, le gradient pointe vers les niveaux croissants, et sa direction est celle de la plus forte pente : c'est le chemin par lequel on monte le plus vite. Sur la figure, la flèche part de l'ellipse de niveau $3$, celle qui passe par $A$, et traverse celles de niveaux $6$ puis $9$ en s'éloignant de l'origine.

Deuxièmement, le gradient est perpendiculaire à la ligne de niveau qui passe par le point. Cela se comprend bien : le long d'une ligne de niveau, la fonction ne varie pas ; la direction de plus forte variation ne peut donc pas avoir de composante le long de cette ligne.

Ces deux faits sont à retenir comme des lectures graphiques, utiles pour interpréter une figure ou une question d'économie. Ce ne sont pas des théorèmes de ce programme, ils ne s'appuient sur aucun énoncé exigible, et ils ne doivent jamais servir d'argument dans une démonstration. Ce que le gradient vous servira à faire dans une copie, c'est très exactement une chose : écrire la condition $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=0$ et résoudre le système correspondant.

Une formule citée, et non exigible

Le programme mentionne, en la signalant comme résultat non exigible, une formule d'approximation d'ordre $1$ pour les fonctions de classe $C^1$ : pour $(h,k)$ voisin de $(0,0)$,

$$f(x+h,y+k)=f(x,y)+{}^t\mathrm{\nabla }f(x,y)\left(\begin{array}{c}h\\ k\end{array}\right)+\sqrt{h^2+k^2}\epsilon (h,k),$$

où $\epsilon (h,k)$ tend vers $0$ quand $(h,k)$ tend vers $(0,0)$. Elle généralise l'approximation affine $f(x_0+h)\approx f(x_0)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(x_0)$ d'une variable, et elle explique pourquoi le gradient contient toute l'information de premier ordre.

Elle est citée ici une fois pour la culture, parce qu'elle éclaire le sens du gradient. Elle ne sera utilisée nulle part dans ce cours, et elle ne doit apparaître dans aucune de vos copies : ni comme outil de calcul, ni comme argument dans une démonstration. Toutes les méthodes de ce chapitre s'en passent entièrement.

Dérivées partielles d'ordre $2$, Schwarz et hessienne

Les quatre dérivées secondes

Les deux dérivées partielles ${\mathrm{\partial }}_{1}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f$ sont elles-mêmes des fonctions de deux variables. On peut donc les dériver à nouveau, chacune par rapport à chacune des deux variables : cela fait quatre dérivées d'ordre $2$.

La convention de lecture est la suivante, et il faut la fixer une fois pour toutes : dans ${\mathrm{\partial }}_{i,j}^{2}f$, le premier indice est celui de la dérivation effectuée en dernier. Ainsi ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f={\mathrm{\partial }}_1\left({\mathrm{\partial }}_{2}f\right)$ se lit « on dérive d'abord par rapport à la seconde variable, puis par rapport à la première ». Le théorème de Schwarz rendra bientôt cette distinction sans conséquence pratique, mais la notation doit être juste.

Le théorème de Schwarz

C'est un résultat remarquable, et nullement évident : rien, a priori, n'oblige deux opérations successives à commuter. Il devient faux si l'on abandonne l'hypothèse $C^2$, mais le programme exclut explicitement l'étude de tels contre-exemples, et vous n'en rencontrerez jamais. Conséquence pratique, et elle est double : d'une part on n'a que trois dérivées secondes distinctes à calculer au lieu de quatre ; d'autre part, calculer les deux dérivées croisées séparément fournit une vérification gratuite de vos calculs. Si vous ne trouvez pas la même chose, c'est qu'il y a une erreur, et il faut la chercher immédiatement.

La matrice hessienne

Cette symétrie n'est pas un détail esthétique. Elle sera l'ingrédient qui garantira, en section $8$, que la hessienne possède toujours deux valeurs propres réelles, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour classer les points critiques. Elle est aussi le meilleur contrôle d'erreur du chapitre : une hessienne non symétrique est nécessairement fausse, et il est inutile d'en chercher les valeurs propres avant d'avoir trouvé la faute.

Exemples entièrement calculés

Extrema : vocabulaire et condition d'ordre $1$

Ouvert, fermé, borné

Le programme demande une simple sensibilisation à ces trois mots, et il précise que « la détermination de la nature topologique d'un ensemble n'est pas un objectif du programme et devra toujours être indiquée ». Voici donc ce qu'il faut en savoir, et rien de plus.

Ces quatre affirmations sont admises, et c'est précisément le point : vous ne les démontrerez jamais. Un énoncé de concours écrira « soit $K$ la partie fermée bornée définie par… » ou « on admet que $O$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ », et votre travail consiste à repérer cette phrase et à en tirer les conséquences. Si l'énoncé ne dit rien, c'est que le domaine est ${\mathbb{R}}^2$ tout entier, qui est un ouvert.

Pourquoi ces mots comptent-ils ? Pour deux raisons, et deux seulement.

• La condition nécessaire d'ordre $1$, ci-dessous, exige un ouvert. Sur un ensemble à bord, elle est fausse aux points du bord, et le contre-exemple d'une variable suffit à s'en convaincre : la fonction $x\mapsto x$ sur $[0,1]$ atteint son maximum en $1$, où sa dérivée vaut $1$ et non $0$.
• Le théorème des bornes atteintes exige un fermé borné. C'est lui qui garantit l'existence d'un maximum et d'un minimum, avant même de savoir où ils sont.

Extremum local, extremum global

Toute la différence tient dans le quantificateur. Le global compare $f(x_0,y_0)$ à toutes les valeurs de $f$ sur $P$ ; le local ne la compare qu'aux valeurs prises dans un petit disque autour du point. Un extremum global est donc toujours local, mais la réciproque est fausse : dans un paysage de montagne, chaque sommet est un maximum local, un seul est le point culminant.

Cette remarque paraît anodine, et elle est pourtant à l'origine de la faute la plus coûteuse du chapitre. La condition d'ordre $2$ de la section $8$ ne conclut jamais au global. Elle donne un renseignement purement local, et si l'énoncé demande un extremum global, il faudra un argument supplémentaire, entièrement différent, que la section $9$ fournira.

C'est la transposition exacte du théorème d'une variable sur un segment $[a,b]$. Son rôle est d'être un théorème d'existence : il ne dit pas où sont les extrema, il garantit qu'ils existent, ce qui autorise ensuite à les chercher par comparaison d'une liste finie de candidats. Sans lui, la méthode de la section $9$ n'aurait aucune validité. Et il tombe en défaut dès qu'une des deux hypothèses saute : sur l'ouvert $]0,1[\times ]0,1[$, la fonction $f(x,y)=x$ n'atteint ni $0$ ni $1$ ; sur ${\mathbb{R}}^2$, qui est fermé mais non borné, la fonction $f(x,y)=x$ n'est même pas bornée.

La condition nécessaire d'ordre $1$

Le mot « nécessaire » est à prendre au pied de la lettre, et il se lit dans les deux sens.

Dans le bon sens, l'énoncé fournit la méthode de recherche : les extrema locaux, s'il y en a, se trouvent nécessairement parmi les points critiques. On peut donc oublier tous les autres points du plan, ce qui ramène une recherche sur un ensemble infini à la résolution d'un système de deux équations.

Dans l'autre sens, il ne dit rien : un point critique n'a aucune raison d'être un extremum. C'est déjà vrai en dimension $1$, où la fonction $x\mapsto x^3$ a une dérivée nulle en $0$ sans y avoir d'extremum, et c'est encore plus fréquent en dimension $2$, où apparaît un phénomène nouveau, le point col.

La condition d'ordre $2$ et la nature d'un point critique

L'énoncé du programme

Trois remarques avant d'apprendre à s'en servir.

La condition est suffisante, pas nécessaire : elle permet de conclure quand elle s'applique, mais son échec ne prouve rien. Elle ne s'applique d'ailleurs pas dans tous les cas, puisqu'il en manque un, celui où l'une au moins des valeurs propres est nulle. Le programme ne le traite pas, et ce cas s'appelle le cas douteux ; il est étudié plus bas, à la main.

La conclusion est strictement locale. Aucune de ces trois lignes ne parle d'un extremum global, et il serait faux d'écrire « les deux valeurs propres sont positives donc c'est le minimum de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$ ». Cette confusion est la faute la plus fréquente du chapitre.

Enfin, la condition exige un ouvert et la classe $C^2$. En pratique, ces deux hypothèses sont satisfaites et se justifient en une phrase, mais cette phrase doit figurer dans la copie.

Calculer les valeurs propres d'une hessienne $2\times 2$

Voici le calcul central du chapitre. Il repose uniquement sur des outils de première année : la définition d'une valeur propre, la caractérisation de l'inversibilité, et le déterminant d'ordre $2$.

Démonstration. Le calcul du discriminant est fait ci-dessus, et $(r-t{)}^2+4s^2$ est une somme de deux carrés, donc positive ou nulle. Une équation du second degré à coefficients réels et à discriminant positif ou nul admet deux racines réelles, confondues si $\mathrm{\Delta }=0$. $\mathrm{\square }$

Ce petit résultat est la clé de voûte du chapitre. C'est parce que la hessienne est symétrique, donc parce que $f$ est de classe $C^2$ et que Schwarz s'applique, que ses deux valeurs propres sont réelles et que leurs signes sont comparables. Une matrice quelconque d'ordre $2$ n'a pas cette propriété.

Le tableau des quatre cas

Ce tableau est à connaître par cœur, mais il ne remplace pas la rédaction : dans une copie, on écrit la hessienne, on écrit l'équation $\det (H-\lambda I_2)=0$, on donne les valeurs propres ou leur signe, et on cite l'énoncé du cours avant de conclure.

Le point col

Le nom vient de la géographie, et il est parfaitement descriptif. Un col de montagne est le point le plus bas du chemin qui franchit une crête, et en même temps le point le plus haut du chemin qui longe cette crête : minimum dans une direction, maximum dans l'autre. La selle du cheval offre la même image, et l'on dit d'ailleurs aussi « point selle ».

La figure représente les lignes de niveau de $f(x,y)=x^2-y^2$ au voisinage de l'origine, qui est le point col de cette fonction comme la section $7$ l'a établi. Les niveaux positifs $k=1$ et $k=4$ donnent des hyperboles ouvertes vers la droite et la gauche ; les niveaux négatifs $k=-1$ et $k=-4$ donnent des hyperboles ouvertes vers le haut et le bas ; et le niveau $0$ se réduit aux deux droites $y=x$ et $y=-x$, qui se croisent à l'origine et séparent les régions où $f$ est positive de celles où elle est négative.

C'est là toute la signature graphique d'un point col : des lignes de niveau qui se croisent au point. Autour d'un minimum ou d'un maximum, au contraire, les lignes de niveau forment des courbes fermées emboîtées, comme les ellipses de la section $3$. Vérifions le calcul sur cet exemple : ici

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right),$$

donc $r=2$, $s=0$, $t=-2$, et $rt-s^2=-4<0$. On est bien dans la troisième ligne du tableau. Et le calcul complet donne $\det (H-\lambda I_2)=(2-\lambda )(-2-\lambda )=0$, d'où ${\lambda }_1=2$ et ${\lambda }_2=-2$, non nulles et de signes opposés.

Trois études complètes

Le cas douteux

Lorsque l'une au moins des valeurs propres est nulle, aucune des trois lignes de la condition d'ordre $2$ ne s'applique, et le programme ne fournit aucun outil. Il faut alors revenir à la définition, c'est-à-dire étudier directement le signe de la différence

$$\mathrm{\Delta }(x,y)=f(x,y)-f(x_0,y_0)$$

au voisinage du point. Voici pourquoi ce travail est indispensable : trois fonctions peuvent avoir exactement la même hessienne en un point critique et trois comportements différents.

Du local au global

La condition d'ordre $2$ ne conclut jamais qu'au local. Or les énoncés demandent très souvent un extremum global, sur ${\mathbb{R}}^2$ ou sur une partie donnée. Cette section rassemble les quatre techniques qui permettent d'y parvenir. Aucune n'est un théorème nouveau : ce sont des raisonnements élémentaires, et c'est là que se joue la différence entre une copie moyenne et une bonne copie.

Technique 1 : la minoration directe

La plus simple, et souvent la plus rapide : on majore ou l'on minore $f$ par un calcul direct, et l'on exhibe le point où la borne est atteinte.

Technique 2 : la forme canonique d'un polynôme du second degré

C'est la technique la plus puissante pour les polynômes du second degré, qui constituent la grande majorité des exercices. Elle donne le résultat global d'un seul coup, et elle redonne au passage le point critique.

Technique 3 : le comportement à l'infini

Cette technique sert surtout à réfuter l'existence d'un extremum global, et c'est un réflexe à avoir dès qu'un énoncé demande « le minimum est-il global ? ».

Technique 4 : optimisation sur une partie fermée bornée

C'est la situation la plus complète, et celle que les sujets aiment poser en fin de problème. Elle combine tout ce qui précède.

Deux applications au programme

La droite de régression par les moindres carrés

Le programme cite explicitement, comme application du calcul différentiel à deux variables, « la détermination des coefficients de la droite de régression ». Vous connaissez déjà les formules depuis le chapitre de statistique bivariée, où elles ont été obtenues en minimisant successivement deux trinômes du second degré. Nous allons les redémontrer autrement, par la méthode générale de ce chapitre : gradient, point critique, hessienne. C'est l'occasion de voir la machinerie fonctionner sur un cas réel, et c'est un grand classique des sujets de concours.

Le problème. On dispose de $n$ couples de données $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$, avec $n⩾2$. On note

$$\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i,\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{y}_i,s_x^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\bar{x}}^2,s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\bar{x}\bar{y},$$

et l'on suppose $s_x^2\mathrm{\ne }0$, ce qui signifie que les $x_i$ ne sont pas tous égaux. On cherche la droite d'équation $y=ax+b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux :

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^n{(y_i-a{x}_i-b)}^2\mathrm{.}$$

La nouveauté est de considérer $S$ comme une fonction des deux variables $a$ et $b$, les données $x_i$ et $y_i$ étant des constantes.

Démonstration.

Étape 1 : cadre. La fonction $S$ est une fonction polynomiale des deux variables $a$ et $b$ : en développant chaque carré, on obtient une somme de termes en $a^2$, $ab$, $b^2$, $a$, $b$ et de constantes. Elle est donc de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, qui est un ouvert.

Étape 2 : les dérivées partielles. Dérivons terme à terme. Chaque sommande est de la forme $u^2$ avec $u=y_i-a{x}_i-b$, et la dérivée de $u^2$ est $2u{u}^{\mathrm{\prime }}$. Par rapport à $a$, on a ${\mathrm{\partial }}_{1}u=-x_i$ ; par rapport à $b$, on a ${\mathrm{\partial }}_{2}u=-1$. D'où

$${\mathrm{\partial }}_{1}S(a,b)=-2\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-a{x}_i-b)\text{et}{\mathrm{\partial }}_{2}S(a,b)=-2\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i-b)\mathrm{.}$$

Étape 3 : le système des points critiques. On annule les deux dérivées et l'on divise par $-2$ :

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-a\sum _{i=1}^n{x}_i^2-b\sum _{i=1}^n{x}_i=0}\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^n{y}_i-a\sum _{i=1}^n{x}_i-nb=0}\end{array}$$

Ces deux relations s'appellent les équations normales. Traitons la seconde : comme $\sum y_i=n\bar{y}$ et $\sum x_i=n\bar{x}$, elle s'écrit $n\bar{y}-an\bar{x}-nb=0$, et en divisant par $n$,

$$b=\bar{y}-a\bar{x}\mathrm{.}$$

Reportons cette valeur dans la première équation, après l'avoir divisée par $n$. En utilisant ${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_i{y}_i=s_{xy}+\bar{x}\bar{y}$ et ${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_i^2=s_x^2+{\bar{x}}^2$, qui sont les formules de Kœnig-Huygens réécrites, il vient

$$s_{xy}+\bar{x}\bar{y}-a(s_x^2+{\bar{x}}^2)-(\bar{y}-a\bar{x})\bar{x}=0.$$

Développons le dernier terme : $-\bar{x}\bar{y}+a{\bar{x}}^2$. La somme devient

$$s_{xy}+\bar{x}\bar{y}-a{s}_x^2-a{\bar{x}}^2-\bar{x}\bar{y}+a{\bar{x}}^2=s_{xy}-a{s}_x^2=0.$$

Les termes en $\bar{x}\bar{y}$ et en $a{\bar{x}}^2$ se compensent exactement, et comme $s_x^2\mathrm{\ne }0$ on obtient

$$a={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x^2}}\mathrm{.}$$

Le système admet donc un unique point critique $(a^{\star },b^{\star })$, avec $a^{\star }={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x^2}}$ et $b^{\star }=\bar{y}-a^{\star }\bar{x}$.

Étape 4 : la hessienne. Reprenons les dérivées partielles développées :

$${\mathrm{\partial }}_{1}S(a,b)=-2\sum x_i{y}_i+2a\sum x_i^2+2b\sum x_i,{\mathrm{\partial }}_{2}S(a,b)=-2\sum y_i+2a\sum x_i+2nb\mathrm{.}$$

En dérivant à nouveau :

$${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}S=2\sum _{i=1}^n{x}_i^2,{\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}S={\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}S=2\sum _{i=1}^n{x}_i,{\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}S=2n\mathrm{.}$$

Les dérivées croisées coïncident, conformément à Schwarz, et la hessienne est constante :

$${\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)=\left(\begin{array}{cc}2\sum x_i^2& 2\sum x_i\\ 2\sum x_i& 2n\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Avec les notations de la section $8$, $r=2\sum x_i^2$, $s=2\sum x_i$ et $t=2n$. Calculons le produit des valeurs propres :

$$rt-s^2=4n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-4{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2=4n(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\bar{x}}^2)=4n\times n({\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\bar{x}}^2)=4n^2{s}_x^2,$$

où l'on a utilisé $\sum x_i=n\bar{x}$, donc ${(\sum x_i)}^2=n^2{\bar{x}}^2=n\times n{\bar{x}}^2$. Comme $s_x^2={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$ est une somme de carrés, il est positif, et l'hypothèse $s_x^2\mathrm{\ne }0$ le rend strictement positif : on a donc $rt-s^2>0$. De plus $r=2\sum x_i^2>0$ : en effet, si tous les $x_i$ étaient nuls ils seraient tous égaux, ce qui contredirait $s_x^2\mathrm{\ne }0$. D'après la lecture des signes de la section $8$, les deux valeurs propres de la hessienne sont strictement positives, et le point critique $(a^{\star },b^{\star })$ est un minimum local de $S$.

Étape 5 : du local au global. Notons $e_i=y_i-a^{\star }{x}_i-b^{\star }$ les résidus au point critique. Les deux équations normales de l'étape $3$ disent exactement que

$$\sum _{i=1}^n{e}_i=0\text{et}\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i=0.$$

Soit maintenant $(a,b)$ un couple quelconque de réels, et posons $\alpha =a-a^{\star }$ et $\beta =b-b^{\star }$. Alors

$$y_i-a{x}_i-b=(y_i-a^{\star }{x}_i-b^{\star })-\alpha x_i-\beta =e_i-(\alpha x_i+\beta ),$$

et en élevant au carré puis en sommant :

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^n{e}_i^2-2\sum _{i=1}^n{e}_i(\alpha x_i+\beta )+\sum _{i=1}^n{(\alpha x_i+\beta )}^2\mathrm{.}$$

Or le terme du milieu est nul, puisque

$$\sum _{i=1}^n{e}_i(\alpha x_i+\beta )=\alpha \sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i+\beta \sum _{i=1}^n{e}_i=\alpha \times 0+\beta \times 0=0.$$

Il reste donc, en reconnaissant $\sum e_i^2=S(a^{\star },b^{\star })$,

$$S(a,b)=S(a^{\star },b^{\star })+\sum _{i=1}^n{(\alpha x_i+\beta )}^2⩾S(a^{\star },b^{\star })\mathrm{.}$$

Le minimum est donc global sur ${\mathbb{R}}^2$.

Unicité. L'égalité impose $\sum {(\alpha x_i+\beta )}^2=0$, donc $\alpha x_i+\beta =0$ pour tout $i$, puisqu'une somme de carrés nulle a tous ses termes nuls. Comme $s_x^2\mathrm{\ne }0$, les $x_i$ ne sont pas tous égaux : il existe deux indices $i$ et $j$ avec $x_i\mathrm{\ne }{x}_j$. En soustrayant les deux relations, $\alpha (x_i-x_j)=0$, d'où $\alpha =0$, puis $\beta =0$. Le minimum n'est atteint qu'en $(a^{\star },b^{\star })$. $\mathrm{\square }$

C'est le contrôle le plus rapide d'un calcul de régression : si l'on remplace $x$ par $\bar{x}$ dans l'équation trouvée et que l'on n'obtient pas $\bar{y}$, il y a une erreur, et elle est presque toujours dans $b$.

L'optimisation économique

Deuxième application, la plus fréquente dans les sujets à contexte : maximiser un profit, minimiser un coût, maximiser une utilité. Les trois exemples ci-dessous illustrent les trois situations types.

L'essentiel du chapitre

Les huit réflexes

1. Vérifier le cadre avant tout calcul. Le domaine est-il ${\mathbb{R}}^2$ ou un ouvert annoncé par l'énoncé ? La fonction est-elle de classe $C^1$, de classe $C^2$ ? Ces deux phrases coûtent trente secondes et conditionnent la validité de tout ce qui suit.

2. Dériver en gelant l'autre variable. Pour ${\mathrm{\partial }}_{1}f$, la lettre $y$ est une constante ; pour ${\mathrm{\partial }}_{2}f$, c'est $x$. Toutes les règles d'une variable s'appliquent alors sans changement.

3. Chercher les points critiques en résolvant $\mathrm{\nabla }f(x,y)=0$, c'est-à-dire le système de deux équations ${\mathrm{\partial }}_{1}f=0$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f=0$. Ne perdre aucune solution, et penser à factoriser plutôt qu'à développer.

4. Écrire la hessienne et vérifier qu'elle est symétrique. Si les deux dérivées croisées diffèrent, il y a une erreur de calcul, et il faut la corriger avant d'aller plus loin.

5. Chercher les valeurs propres par $\det (H-\lambda I_2)=0$, soit ${\lambda }^2-(r+t)\lambda +(rt-s^2)=0$, équation du second degré que l'on résout par le discriminant. Le signe de $rt-s^2$ permet souvent de conclure plus vite.

6. Conclure sur la nature du point critique en citant la condition d'ordre $2$ : deux valeurs propres strictement positives donnent un minimum local, deux strictement négatives un maximum local, deux de signes opposés un point col. Une valeur propre nulle, et l'on est en cas douteux, à traiter à la main.

7. Ne jamais confondre local et global. La hessienne ne dit rien du global. Pour le global, il faut une minoration directe, une forme canonique, un argument de comportement à l'infini, ou une étude complète sur un fermé borné.

8. Sur une partie fermée bornée, traiter l'intérieur ET la frontière. Le théorème des bornes atteintes garantit l'existence, les points critiques intérieurs donnent une première liste de candidats, la substitution sur chaque morceau du bord en donne d'autres, et la comparaison des valeurs tranche.

Les erreurs classiques

Confondre point critique et extremum. C'est l'erreur numéro un. La condition d'ordre $1$ est nécessaire, pas suffisante : elle produit une liste de candidats, rien de plus. La fonction $f(x,y)=x^2-y^2$ a un point critique à l'origine et n'y a aucun extremum. Tant que la hessienne n'a pas parlé, on écrit « point critique », jamais « minimum ».

Appliquer la condition d'ordre $1$ sans ouvert. La condition $\mathrm{\nabla }f=0$ ne vaut qu'en un point intérieur. Sur le bord d'un carré ou d'un disque fermé, elle n'a aucune raison d'être vérifiée, et l'oublier conduit à passer à côté de l'extremum. Le réflexe : lire dans l'énoncé la nature de l'ensemble, qui y figure toujours, et adapter la méthode.

Conclure au global à partir de la hessienne. Écrire « les deux valeurs propres sont positives, donc $f$ admet un minimum global » est une faute lourde, et fréquente. Les valeurs propres ne donnent qu'un renseignement local. Le contre-exemple à garder en tête est $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$, qui a un vrai minimum local en $(1,1)$ et aucun minimum global.

Invoquer la trace ou le polynôme caractéristique. Ces deux notions n'existent pas dans le programme de la voie ECG, et les citer signale une méthode apprise ailleurs, hors cadre. Les valeurs propres d'une hessienne se cherchent par $\det (H-\lambda I_2)=0$, avec le déterminant d'ordre $2$, et l'on parle de la somme et du produit des racines de l'équation du second degré obtenue, ce qui est parfaitement légitime.

Oublier la frontière sur un fermé borné. L'exemple du carré de la section $9$ est éloquent : le minimum était intérieur, le maximum était dans un coin. Une copie qui s'arrête aux points critiques manque la moitié de la réponse, et souvent la plus intéressante.

Dériver en $x$ sans traiter $y$ comme une constante. L'erreur prend deux formes. Soit on oublie le facteur : dans $f(x,y)=x^{2}y$, écrire ${\mathrm{\partial }}_{1}f=2x$ au lieu de $2xy$. Soit on dérive $y$ comme s'il dépendait de $x$, ce qui n'a aucun sens ici : les deux variables sont indépendantes.

Écrire une hessienne non symétrique. Si vous trouvez ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f\mathrm{\ne }{\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}f$ sur une fonction de classe $C^2$, ce n'est pas une exception à Schwarz : c'est une erreur de calcul, et il faut la trouver. Reprenez les deux dérivées d'ordre $1$ avant de reprendre celles d'ordre $2$, car la faute y est souvent déjà.

Traiter une contrainte autrement que par substitution. Les multiplicateurs de Lagrange sont hors programme dans la voie appliquée. Une contrainte se résout en exprimant une variable en fonction de l'autre, puis en étudiant une fonction d'une seule variable. Pensez à préciser l'intervalle de variation de la variable restante, car il détermine les bornes de l'étude.

Oublier de vérifier la cohérence économique. Dans un exercice à contexte, une quantité négative, un prix négatif ou un point critique hors du domaine admissible signalent soit une erreur de calcul, soit un optimum situé au bord du domaine. Une phrase de vérification en fin d'exercice évite de rendre une réponse absurde.

Utiliser la formule d'approximation d'ordre $1$. Elle est explicitement signalée comme non exigible par le programme, et aucune méthode de ce chapitre n'en a besoin. L'employer comme argument dans une démonstration, c'est s'appuyer sur un résultat que le correcteur n'attend pas et qui ne prouve rien de ce qui est demandé.