Probabilités : chaînes de Markov, densités et estimation

Jusqu'ici, toutes les variables aléatoires que vous avez rencontrées étaient discrètes : elles prenaient leurs valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable, leur loi se lisait sur la liste des $P(X=k)$, et leur espérance était une somme ou une série. Ce cadre suffit à compter des pièces défectueuses, des appels ou des succès, mais il devient impuissant dès que la grandeur observée est une mesure continue : la durée de vie d'un composant, le temps d'attente d'un client, une taille, un rendement. Pour une telle grandeur, la question « quelle est la probabilité que la durée de vie vaille exactement $3$ ans ? » n'a aucun intérêt, car la réponse est $0$ ; la bonne question est « quelle est la probabilité qu'elle soit comprise entre $3$ et $4$ ans ? ». Ce basculement de la valeur ponctuelle vers l'intervalle est l'idée centrale de ce chapitre, et il a une conséquence technique immédiate : l'intégrale remplace la somme.

Avant d'y venir, le chapitre commence par un objet d'une autre nature, qui prolonge l'algèbre linéaire du troisième semestre. Un graphe probabiliste décrit un système qui, à chaque étape, se trouve dans l'un de quelques états possibles et passe de l'un à l'autre selon des probabilités fixées. Un client abonné à une offre A ou à une offre B, une machine en marche ou en panne, un joueur dans l'une de trois situations : à chaque fois, la dynamique se résume à une matrice carrée, la matrice de transition, et l'évolution du système se calcule par des produits matriciels. Toute la question devient alors : que devient le système au bout de longtemps ? La réponse tient en un vecteur propre pour la valeur propre $1$, et l'algèbre linéaire répond à une question de probabilités. Le programme précise que tous les résultats de cette première partie sont admis ; les démonstrations données ici sont courtes et éclairantes, mais elles ne vous seront pas réclamées.

Le cœur du chapitre est la théorie des variables aléatoires à densité. On y définit une variable par sa fonction de répartition, on lui associe une densité, et l'on reconstruit tout le vocabulaire connu : espérance, variance, écart-type, transfert. Trois lois y jouent le rôle que jouaient la binomiale, la géométrique et la loi de Poisson chez les variables discrètes : la loi uniforme, qui modélise un tirage au hasard dans un intervalle, la loi exponentielle, qui modélise une durée de vie sans usure, et la loi normale, qui est la loi limite universelle de ce chapitre. Le programme impose ici un garde-fou dont il faut se souvenir en permanence : on se limite à des densités ayant des limites finies à gauche et à droite en tout point, ce qui signifie qu'aucune densité rencontrée ne s'envole vers l'infini en un point fini. Les seules bornes délicates d'une intégrale sont donc $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$, et toute intégration par parties ou tout changement de variable se pratique sur un segment, avant un passage à la limite explicite.

La quatrième partie enchaîne sur les convergences. Deux inégalités très simples, celle de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev, majorent la probabilité qu'une variable s'écarte de sa moyenne, sans rien connaître de sa loi. Elles suffisent à démontrer la loi faible des grands nombres, qui justifie enfin ce que l'intuition affirmait depuis toujours : la moyenne d'un grand nombre d'observations indépendantes se rapproche de l'espérance. Puis vient le théorème limite central, admis, qui va beaucoup plus loin en décrivant la forme des fluctuations autour de cette moyenne, et qui explique pourquoi la loi normale surgit partout.

La dernière partie, l'estimation, referme la boucle ouverte au premier semestre de la première année. Les statistiques descriptives résumaient des données observées ; les probabilités modélisaient une expérience ; l'estimation fait le pont entre les deux, en cherchant ce que des observations permettent d'affirmer sur le paramètre inconnu du modèle qui les a produites. On y construit des estimateurs, dont la moyenne empirique et l'estimateur du maximum de vraisemblance, puis des intervalles de confiance, d'abord par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ensuite, plus finement, par le théorème limite central. Le programme est explicite sur le ton à donner à ce paragraphe : il « ne doit pas faire l'objet d'un exposé théorique ». On y calcule, on y interprète, on n'y théorise pas.

Voici les notations en vigueur dans tout le chapitre. L'univers est noté $\mathrm{\Omega }$, les variables aléatoires réelles $X$, $Y$, $Z$, et les événements associés s'écrivent $[X⩽x]$, $[X\in I]$, $[a<X⩽b]$ comme en première année. La fonction de répartition de $X$ est $F_X$, définie par $F_X(x)=P(X⩽x)$, et une densité de $X$ est notée $f_X$. L'espérance est $E(X)$, la variance $V(X)$, l'écart-type $\sigma (X)$. Le symbole $\hookrightarrow$ se lit « suit la loi » : on écrit $X\hookrightarrow \mathcal{U}([a,b])$, $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$, $X\hookrightarrow \mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$, et l'on conserve $\mathcal{B}(n,p)$ pour la loi binomiale et $\mathcal{P}(\lambda )$ pour la loi de Poisson. La densité de la loi normale centrée réduite est notée $\phi$ et sa fonction de répartition $\mathrm{\Phi }$. Pour les chaînes de Markov, le nombre d'états est $r$, les sommets sont numérotés de $1$ à $r$, la matrice de transition est $M=\left(m_{i,j}\right)\in {\mathcal{M}}_r(\mathbb{R})$, la chaîne est ${\left(X_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et son $n$-ième état est la matrice ligne $V_n$. Pour l'estimation, la taille de l'échantillon est $n$, le paramètre inconnu $\theta$, l'estimateur $T_n$, la moyenne empirique $\overline{X_n}$ et la variance empirique $S_n^2$. Enfin, ${}^{t}A$ désigne la transposée de $A$ et le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

Graphes probabilistes et matrice de transition

Le modèle

On observe un système qui, à chaque instant entier $n=0,1,2,\dots$, se trouve dans exactement l'un de $r$ états possibles, numérotés de $1$ à $r$. À chaque étape, il change d'état, ou reste où il est, selon des probabilités qui ne dépendent que de l'état courant et pas du passé. Ce mécanisme se dessine sous la forme d'un graphe orienté et pondéré.

Le poids $m_{i,j}$ se lit « sachant que le système est dans l'état $i$, la probabilité qu'il soit dans l'état $j$ à l'étape suivante ». La condition de somme égale à $1$ n'est donc rien d'autre que la certitude d'être quelque part à l'étape suivante : partant de $i$, le système va forcément dans l'un des $r$ états.

La matrice de transition

Retenez le sens de lecture, car il est la source d'erreurs numéro un du chapitre : la ligne est l'état de départ, la colonne est l'état d'arrivée, et ce sont les lignes qui somment à $1$, jamais les colonnes. Une matrice dont les colonnes sommeraient à $1$ existe aussi dans la littérature, mais ce n'est pas la convention du programme, et mélanger les deux rend tous les calculs faux.

Chaînes de Markov, états successifs et état stable

La chaîne associée à un graphe probabiliste

Cette égalité est la traduction exacte de la phrase « les coefficients de $M$ sont des probabilités conditionnelles ». Elle contient deux hypothèses distinctes, qu'il faut savoir séparer. D'abord, la probabilité de passer en $j$ ne dépend que de l'état immédiatement précédent, et non de tout l'historique : c'est la propriété dite de Markov, l'absence de mémoire du système. Ensuite, cette probabilité ne dépend pas non plus de l'étape $n$ : le mécanisme est le même à chaque instant, ce que l'on résume en disant que la chaîne est homogène. Toutes les chaînes du programme sont homogènes.

Le vecteur d'état

Le vecteur $V_n$ n'est pas l'état du système : c'est la loi de $X_n$, écrite en ligne. Ses coefficients sont positifs et leur somme vaut $1$, puisque la famille ${([X_n=i])}_{1⩽i⩽r}$ est un système complet d'événements.

Démonstration. Le programme admet ce résultat, mais sa démonstration tient en trois lignes et il est bon de la connaître, car elle explique le sens de lecture de $M$.

La variable $X_{n-1}$ est à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,r]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, donc la famille ${([X_{n-1}=i])}_{1⩽i⩽r}$ est un système complet d'événements. La formule des probabilités totales appliquée à l'événement $[X_n=j]$ donne

$$P(X_n=j)=\sum _{i=1}^{r}P([X_{n-1}=i]\cap [X_n=j])\mathrm{.}$$

Pour chaque indice $i$ tel que $P(X_{n-1}=i)\mathrm{\ne }0$, la formule des probabilités composées donne

$$P([X_{n-1}=i]\cap [X_n=j])=P(X_{n-1}=i)P_{[X_{n-1}=i]}(X_n=j)=P(X_{n-1}=i)m_{i,j}\mathrm{.}$$

Pour un indice $i$ tel que $P(X_{n-1}=i)=0$, l'intersection $[X_{n-1}=i]\cap [X_n=j]$ est incluse dans $[X_{n-1}=i]$, donc sa probabilité est nulle elle aussi, et le produit $P(X_{n-1}=i)m_{i,j}$ est nul également : l'égalité reste vraie. En sommant sur $i$, on obtient bien

$$P(X_n=j)=\sum _{i=1}^r{m}_{i,j}P(X_{n-1}=i)\mathrm{.}$$

Reste à reconnaître un produit matriciel. Le coefficient de la colonne $j$ de la matrice ligne $V_{n-1}M$ vaut, par définition du produit,

$$\sum _{i=1}^r{\left(V_{n-1}\right)}_{1,i}{m}_{i,j}=\sum _{i=1}^{r}P(X_{n-1}=i)m_{i,j},$$

qui est exactement $P(X_n=j)$, c'est-à-dire le coefficient de la colonne $j$ de $V_n$. Les deux matrices lignes ont donc les mêmes coefficients : $V_n=V_{n-1}M$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, l'égalité s'écrit $V_0=V_0{I}_r$, qui est vraie. Supposons $V_n=V_0{M}^n$ pour un entier naturel $n$ fixé. Alors, d'après la propriété précédente appliquée au rang $n+1$,

$$V_{n+1}=V_{n}M=\left(V_0{M}^n\right)M=V_0{M}^{n+1},$$

ce qui achève la récurrence. $\mathrm{\square }$

Cette formule est la raison pour laquelle les chaînes de Markov apparaissent dans les sujets d'algèbre linéaire : calculer la loi de $X_n$ revient à calculer $M^n$, donc à diagonaliser $M$ quand c'est possible.

L'état stable

L'interprétation probabiliste est la suivante : si la loi de $X_0$ est donnée par $V$, alors $V_1=V_{0}M=VM=V$, puis $V_2=V$, et de proche en proche $V_n=V$ pour tout $n$. Autrement dit, un système lancé dans l'état stable y reste indéfiniment : les échanges entre les états ne cessent pas, mais ils se compensent exactement, et la répartition globale ne bouge plus.

Démonstration. La transposition est une bijection de ${\mathcal{M}}_{1,r}(\mathbb{R})$ sur ${\mathcal{M}}_{r,1}(\mathbb{R})$, donc deux matrices lignes sont égales si et seulement si leurs transposées le sont :

$$V=VM⟺{}^{t}V={}^t(VM)\mathrm{.}$$

Or la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse, donc ${}^t(VM)={}^{t}M{}^{t}V$. L'équivalence annoncée en découle :

$$V=VM⟺{}^{t}M{}^{t}V={}^{t}V=1\cdot {}^{t}V\mathrm{.}$$

Il reste à vérifier que ${}^{t}V$ est bien un vecteur propre, c'est-à-dire qu'il est non nul. C'est ici que sert l'hypothèse sur la somme : si ${}^{t}V$ était la colonne nulle, tous les $v_i$ seraient nuls et leur somme vaudrait $0$, et non $1$. Donc ${}^{t}V\mathrm{\ne }0$, et ${}^{t}V$ est un vecteur propre de ${}^{t}M$ associé à la valeur propre $1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Notez $U$ la colonne de ${\mathcal{M}}_{r,1}(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients valent $1$. Le coefficient de la ligne $i$ de $MU$ vaut ${\sum }_{j=1}^r{m}_{i,j}\times 1=1$, puisque chaque ligne de $M$ somme à $1$. Donc $MU=U$, et comme $U\mathrm{\ne }0$, le réel $1$ est valeur propre de $M$ et $U$ est un vecteur propre associé.

La matrice $M-I_r$ n'est donc pas inversible, puisque son noyau contient $U$ qui est non nul, et par conséquent $\mathrm{rg}(M-I_r)<r$. Or transposer ne change pas le rang, et ${}^{t}M-I_r={}^t(M-I_r)$, donc $\mathrm{rg}({}^{t}M-I_r)<r$ : la matrice ${}^{t}M-I_r$ n'est pas inversible non plus, et $1$ est valeur propre de ${}^{t}M$. $\mathrm{\square }$

L'existence d'une solution non nulle à $V=VM$ est donc toujours acquise. Ce qui n'est pas automatique, c'est que cette solution puisse être normalisée en un vecteur de probabilités, ni qu'elle soit unique, ni que $V_n$ converge vers elle. Le programme n'exige pas ces subtilités : sur les exemples traités, le calcul répond à la question.

Ce résultat se vérifie en recalculant $VM$ colonne par colonne, ce qu'il faut prendre l'habitude de faire systématiquement. Première colonne : $\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,7}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,175}+\mathrm{0,055}+\mathrm{0,02}=\mathrm{0,25}$. Deuxième colonne : $\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,05}+\mathrm{0,44}+\mathrm{0,06}=\mathrm{0,55}$. Troisième colonne : $\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,025}+\mathrm{0,055}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,2}$. On retrouve bien $V$, dont les coefficients sont positifs et de somme $\mathrm{0,25}+\mathrm{0,55}+\mathrm{0,2}=1$.

Les comportements d'un graphe à deux états

Le programme demande d'observer, sur des exemples, les différents comportements possibles d'un graphe probabiliste à deux états, en précisant que ce savoir-faire n'est pas exigible. Voici la situation générale, qui se traite entièrement à la main.

Variables aléatoires à densité

Rappel : la fonction de répartition

Démonstration. Les deux premiers points relèvent de la théorie générale et sont admis, conformément au programme, qui demande de ne soulever aucune difficulté sur l'ensemble des événements. Démontrons le troisième, qui est purement ensembliste. Soient $a⩽b$. Un résultat $\omega$ vérifie $X(\omega )⩽b$ si et seulement si $X(\omega )⩽a$ ou $a<X(\omega )⩽b$, et ces deux cas s'excluent. Donc

$$[X⩽b]=[X⩽a]\cup [a<X⩽b],$$

réunion de deux événements incompatibles. L'additivité donne $P(X⩽b)=P(X⩽a)+P(a<X⩽b)$, d'où le résultat. $\mathrm{\square }$

Une conséquence utile, obtenue par passage au contraire : $P(X>x)=1-F_X(x)$.

Définition d'une variable à densité

Trois remarques, à lire lentement. D'abord, la définition porte sur $F_X$, pas sur $f_X$ : c'est toujours par la fonction de répartition qu'on démontre qu'une variable est à densité. Ensuite, une variable à densité n'a pas une densité mais des densités : les valeurs de $f_X$ aux quelques points où $F_X$ n'est pas dérivable sont libres, on les choisit comme on veut, en général de façon à rendre la formule aussi simple que possible. Enfin, le programme se restreint à des densités ayant des limites finies à gauche et à droite en tout point de $\mathbb{R}$ : aucune densité de ce chapitre ne part vers l'infini au voisinage d'un point fini, et les seules bornes délicates d'une intégrale sont donc $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$.

Ces deux résultats sont explicitement déclarés admis par le programme, et ils forment ensemble l'aller-retour fondamental du chapitre : d'une densité on remonte à une fonction de répartition par intégration, et d'une fonction de répartition on redescend à une densité par dérivation, sauf en un nombre fini de points, où l'on choisit une valeur arbitraire positive.

Calculs de probabilités avec une densité

Démonstration. Montrons d'abord le point $1$. Soit $h>0$. Un résultat $\omega$ tel que $X(\omega )=a$ vérifie en particulier $a-h<X(\omega )⩽a$, donc $[X=a]\subset [a-h<X⩽a]$. La croissance de la probabilité donne alors

$$0⩽P(X=a)⩽P(a-h<X⩽a)=F_X(a)-F_X(a-h)\mathrm{.}$$

Comme $F_X$ est continue en $a$, le membre de droite tend vers $F_X(a)-F_X(a)=0$ quand $h$ tend vers $0$ par valeurs positives. Le théorème d'encadrement impose $P(X=a)=0$.

Le point $2$ s'en déduit : par la propriété de la fonction de répartition, $P(a<X⩽b)=F_X(b)-F_X(a)$. Ajouter ou retirer les extrémités ne change rien, puisque $P(X=a)=P(X=b)=0$. Enfin,

$${\int }_a^b{f}_X(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\mathrm{\infty }}^b{f}_X(t)\mathrm{d}t-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^a{f}_X(t)\mathrm{d}t=F_X(b)-F_X(a)\mathrm{.}$$

Le point $3$ est le passage au contraire, combiné à la relation de Chasles. $\mathrm{\square }$

Le point $1$ est le point de rupture avec tout ce que vous connaissiez : pour une variable à densité, tout événement ponctuel est de probabilité nulle. Cela ne signifie pas qu'il est impossible, seulement que sa probabilité est nulle. Conséquence pratique : les inégalités strictes et larges deviennent interchangeables, ce qui simplifie beaucoup les calculs, mais il faut avoir justifié une fois pour toutes que $X$ est à densité.

Moments d'une variable à densité

L'espérance

L'exigence de convergence absolue n'est pas une coquetterie : c'est elle qui rend $E(X)$ indépendante de la façon dont on découpe l'intégrale. Elle se vérifie donc explicitement, et elle se vérifie avant d'écrire la moindre valeur de $E(X)$. Une simplification utile : si $f_X$ est nulle sur $]-\mathrm{\infty },0[$, alors $t{f}_X(t)⩾0$ partout, et la convergence entraîne la convergence absolue. C'est le cas de la plupart des lois de durée du chapitre.

Le théorème de transfert

Ce théorème est le pendant exact du transfert discret $E(g(X))={\sum }_{k}g(x_k)P(X=x_k)$ : la somme devient une intégrale, et la probabilité ponctuelle devient $f(t)\mathrm{d}t$. Sa force est la même : on calcule $E(g(X))$ sans jamais déterminer la loi de $g(X)$.

Variance et écart-type

Démonstration. Posons $m=E(X)$. En développant le carré, $(X-m{)}^2=X^2-2mX+m^2$. Les trois variables $X^2$, $X$ et la constante $m^2$ admettent une espérance par hypothèse, donc la linéarité de l'espérance, admise par le programme pour les variables quelconques, donne

$$V(X)=E\left(X^2\right)-2mE(X)+m^2=E\left(X^2\right)-2m^2+m^2=E\left(X^2\right)-m^2\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Dans la pratique, on calcule toujours $V(X)$ par Kœnig-Huygens : l'intégrale $\int t^{2}f(t)\mathrm{d}t$ est presque toujours plus simple que $\int (t-m{)}^{2}f(t)\mathrm{d}t$.

Démonstration. Appliquons le théorème de transfert à $g(t)=at+b$, continue sur $\mathbb{R}$. L'intégrale $\int (at+b)f_X(t)\mathrm{d}t$ se scinde en $a\int t{f}_X(t)\mathrm{d}t+b\int f_X(t)\mathrm{d}t$, dont les deux morceaux convergent absolument par hypothèse ; la somme converge donc absolument, et

$$E(aX+b)=a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}t{f}_X(t)\mathrm{d}t+b{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(t)\mathrm{d}t=aE(X)+b\times 1.$$

Pour la variance, notons $m=E(X)$, de sorte que $E(aX+b)=am+b$. Alors

$$(aX+b)-E(aX+b)=aX+b-am-b=a(X-m),$$

donc $((aX+b)-E(aX+b){)}^2=a^2(X-m{)}^2$, et la linéarité de l'espérance donne $V(aX+b)=a^{2}V(X)$. L'écart-type s'obtient en prenant la racine carrée, d'où le $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Les deux égalités se lisent directement sur la propriété précédente, avec $a={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}$ et $b=-{\displaystyle \frac{m}{\sigma }}$ : l'espérance devient ${\displaystyle \frac{m}{\sigma }}-{\displaystyle \frac{m}{\sigma }}=0$ et la variance devient ${\displaystyle \frac{1}{{\sigma }^2}}\times {\sigma }^2=1$.

Les trois lois à densité usuelles

La loi uniforme

C'est bien une densité : la fonction est positive puisque $b-a>0$, elle est continue sauf aux deux points $a$ et $b$, et son intégrale vaut ${\displaystyle \frac{b-a}{b-a}}=1$. Cette loi modélise le tirage « au hasard » d'un nombre dans l'intervalle $[a,b]$, au sens où la probabilité de tomber dans un sous-intervalle ne dépend que de sa longueur, et pas de sa position.

Démonstration. Pour $x<a$, la densité est nulle sur $]-\mathrm{\infty },x]$, donc $F_X(x)=0$. Pour $a⩽x⩽b$, la relation de Chasles et la nullité de $f_X$ avant $a$ donnent

$$F_X(x)={\int }_a^x\frac{\mathrm{d}t}{b-a}=\frac{x-a}{b-a}\mathrm{.}$$

Pour $x>b$, on ajoute l'intégrale de $f_X$ sur $]b,x]$, qui est nulle, donc $F_X(x)=F_X(b)=1$. On vérifie la continuité aux raccords : en $a$, les deux expressions valent $0$ ; en $b$, elles valent $1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La densité est nulle hors de $[a,b]$, donc toutes les intégrales sont des intégrales de fonctions continues sur un segment : aucune question de convergence ne se pose.

Espérance.

$$E(X)={\int }_a^b\frac{t}{b-a}\mathrm{d}t=\frac{1}{b-a}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}\mathrm{.}$$

Moment d'ordre $2$. Par le théorème de transfert appliqué à $g(t)=t^2$,

$$E\left(X^2\right)={\int }_a^b\frac{t^2}{b-a}\mathrm{d}t=\frac{1}{b-a}{\left[\frac{t^3}{3}\right]}_a^b=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3},$$

en utilisant la factorisation $b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)$.

Variance. Par Kœnig-Huygens,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle =\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{(a+b{)}^2}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4(a^2+ab+b^2)-3(a+b{)}^2}{12}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^2-2ab+b^2}{12}=\frac{(b-a{)}^2}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$

$\mathrm{\square }$

L'espérance est le milieu de l'intervalle, ce qui était prévisible par symétrie. La variance, elle, ne dépend que de la longueur de l'intervalle, ce qui est cohérent : déplacer l'intervalle sans le déformer déplace la moyenne sans changer la dispersion.

La loi exponentielle

Les trois courbes partent respectivement des ordonnées $\mathrm{0,5}$, $1$ et $2$ en $t=0$, puis décroissent vers $0$ : plus $\lambda$ est grand, plus la densité est concentrée près de l'origine, donc plus la durée modélisée est courte.

Démonstration. Vérifions d'abord que $f_X$ est une densité. Elle est positive, continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en $0$, et pour tout $x⩾0$,

$${\int }_0^x\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t={[-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{.}$$

Comme $\lambda >0$, la quantité ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc l'intégrale converge et vaut $1$.

Le calcul ci-dessus donne aussi $F_X$ : pour $x<0$, la densité est nulle sur $]-\mathrm{\infty },x]$ donc $F_X(x)=0$ ; pour $x⩾0$, $F_X(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$. La continuité en $0$ se vérifie : les deux expressions y valent $0$. Enfin $P(X>x)=1-F_X(x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La densité étant nulle sur ${\mathbb{R}}_{-}$, l'intégrande $t{f}_X(t)$ est positif sur $\mathbb{R}$, donc la convergence simple des intégrales entraîne leur convergence absolue : il suffit d'étudier la convergence.

Espérance. Intégrons par parties sur le segment $[0,x]$, avec $u(t)=t$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc $u^{\mathrm{\prime }}(t)=1$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,x]$ :

$${\int }_0^{x}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}+\frac{1}{\lambda }(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x})\mathrm{.}$$

Faisons maintenant tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$. Par croissances comparées, $x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\to 0$, et ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}\to 0$. L'intégrale converge donc, et

$$E(X)=\frac{1}{\lambda }\mathrm{.}$$

Moment d'ordre $2$. Par le théorème de transfert avec $g(t)=t^2$, puis intégration par parties sur $[0,x]$ avec $u(t)=t^2$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ :

$${\int }_0^x{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-t^2{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^x+{\int }_0^{x}2t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-x^2{\mathrm{e}}^{-\lambda x}+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{x}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, le premier terme tend vers $0$ par croissances comparées et le second tend vers ${\displaystyle \frac{2}{\lambda }}\times {\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ d'après le calcul précédent. Donc

$$E\left(X^2\right)=\frac{2}{{\lambda }^2}\mathrm{.}$$

Variance. Par Kœnig-Huygens, $V(X)={\displaystyle \frac{2}{{\lambda }^2}}-{\left({\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}$, et $\sigma (X)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$. $\mathrm{\square }$

Retenez le lien : $\lambda$ est un taux (un nombre de pannes par heure, par exemple), et ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ est la durée moyenne correspondante. Un composant qui tombe en panne au taux $\lambda =\mathrm{0,25}$ par an dure en moyenne $4$ ans.

Démonstration du sens direct. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ et soient $s$ et $t$ deux réels positifs. On a $P(X>t)={\mathrm{e}}^{-\lambda t}>0$, donc le conditionnement est licite. Comme $s⩾0$, on a $s+t⩾t$, donc $[X>s+t]\subset [X>t]$, ce qui donne $[X>s+t]\cap [X>t]=[X>s+t]$. Par conséquent

$$P_{[X>t]}(X>s+t)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>t)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda (s+t)}}{{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}={\mathrm{e}}^{-\lambda s}=P(X>s)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Cette propriété se lit ainsi : un composant qui a déjà tenu $t$ heures a la même loi de durée de vie restante qu'un composant neuf. La loi exponentielle modélise donc une défaillance accidentelle, sans usure ni rodage. C'est l'analogue continu de l'absence de mémoire de la loi géométrique.

Démonstration de la réciproque. Posons $G(t)=P(X>t)=1-F_X(t)$ pour $t⩾0$. Comme $X$ est à densité, $F_X$ est continue, donc $G$ l'est aussi ; de plus $G$ est strictement positive par hypothèse, et $G(t)\to 0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$ puisque $F_X(t)\to 1$. Enfin, $X$ étant à valeurs positives et $P(X=0)=0$, on a $F_X(0)=0$, donc $G(0)=1$.

Étape 1 : l'équation fonctionnelle. L'hypothèse s'écrit ${\displaystyle \frac{P(X>s+t)}{P(X>t)}}=P(X>s)$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\forall }(s,t)\in {\mathbb{R}}_{+}^2,G(s+t)=G(s)G(t)\mathrm{.}$$

Étape 2 : les entiers. Une récurrence immédiate donne $G(nt)=G(t{)}^n$ pour tout entier naturel $n$ et tout $t⩾0$. En particulier, en notant $q=G(1)$, on a $G(n)=q^n$. On a $q>0$ par hypothèse, et $q\mathrm{\ne }1$ : sinon $G(n)=1$ pour tout $n$, ce qui contredirait $G(t)\to 0$. Comme $G$ est à valeurs dans $[0,1]$, on a donc $0<q<1$, et l'on peut poser $\lambda =-\ln q$, réel strictement positif, de sorte que $q={\mathrm{e}}^{-\lambda }$.

Étape 3 : les rationnels. Soient $p$ et $k$ deux entiers naturels non nuls. En appliquant l'étape $2$ avec $t={\displaystyle \frac{p}{k}}$ et $n=k$,

$$G\text{\hspace{0.17em}⁣}{\left(\frac{p}{k}\right)}^k=G(p)=q^p={\mathrm{e}}^{-\lambda p}\mathrm{.}$$

Or l'application $u⟼u^k$ est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, donc injective, et ${\left({\mathrm{e}}^{-\lambda p\mathrm{/}k}\right)}^k={\mathrm{e}}^{-\lambda p}$ également. On en déduit $G\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{p}{k}}\right)={\mathrm{e}}^{-\lambda p\mathrm{/}k}$ : l'égalité $G(r)={\mathrm{e}}^{-\lambda r}$ est vraie pour tout rationnel $r$ positif.

Étape 4 : passage aux réels. Soit $t⩾0$. Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, il existe une suite $(r_n)$ de rationnels positifs convergeant vers $t$. La fonction $G$ est continue en $t$, donc $G(r_n)\to G(t)$ ; et la fonction exponentielle est continue, donc ${\mathrm{e}}^{-\lambda r_n}\to {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$. Comme $G(r_n)={\mathrm{e}}^{-\lambda r_n}$ pour tout $n$, l'unicité de la limite donne $G(t)={\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

Ainsi $F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ pour $t⩾0$, et $F_X(t)=0$ pour $t<0$ : c'est exactement la fonction de répartition de $\mathcal{E}(\lambda )$, donc $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$. $\mathrm{\square }$

La loi normale

Démonstration de la convergence. La fonction $t⟼{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$ est continue et positive sur $\mathbb{R}$, et elle est paire. Il suffit donc d'étudier la convergence sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis de conclure par parité.

Sur $[0,1]$, la fonction est continue : l'intégrale y est une intégrale sur un segment, sans problème. Sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, on a $t⩾1$, donc $t^2⩾t$, donc $-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}⩽-{\displaystyle \frac{t}{2}}$, et par croissance de l'exponentielle

$$0⩽{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}⩽{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

Or ${\displaystyle {\int }_1^x{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}2}\mathrm{d}t={[-2{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}2}]}_1^x=2{\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}2}-2{\mathrm{e}}^{-x\mathrm{/}2}}$, qui tend vers $2{\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}2}$ : l'intégrale majorante converge. Par le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives, ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\mathrm{d}t}$ converge, donc ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\mathrm{d}t}$ aussi, et par parité l'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge. Le calcul de sa valeur exacte, en revanche, sort du cadre du programme : on admet qu'elle vaut $\sqrt{2\pi }$. $\mathrm{\square }$

La fonction $\phi$ est bien une densité : elle est positive, continue sur $\mathbb{R}$, et son intégrale vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\times \sqrt{2\pi }=1$ d'après la propriété précédente. Sa courbe est la fameuse « courbe en cloche », symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de maximum ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\approx \mathrm{0,399}$ atteint en $0$.

Démonstration.

Espérance. Étudions la convergence absolue. Pour $x⩾0$,

$${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x^2\mathrm{/}2}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1.$$

Donc ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\phi (t)\mathrm{d}t}$ converge, et vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}$. La fonction $t⟼\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\phi (t)$ étant paire, l'intégrale de $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\phi (t)$ sur $\mathbb{R}$ converge : $X$ admet une espérance. Or la fonction $t⟼t\phi (t)$ est impaire, et les deux morceaux de l'intégrale convergent séparément, donc ils se compensent :

$$E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}t\phi (t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\phi (t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}=0.$$

Moment d'ordre $2$. Par le théorème de transfert avec $g(t)=t^2$, intégrons par parties sur le segment $[0,x]$, en posant $u(t)=t$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=t{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$, donc $u^{\mathrm{\prime }}(t)=1$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$ :

$${\int }_0^x{t}^2{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x^2\mathrm{/}2}+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, le premier terme tend vers $0$ par croissances comparées, et le second tend vers ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi }}{2}}$ par parité. Donc ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2\phi (t)\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\times \frac{\sqrt{2\pi }}{2}=\frac{1}{2}}$, et par parité de $t⟼t^2\phi (t)$,

$$E\left(X^2\right)=2\times \frac{1}{2}=1.$$

Conclusion. Kœnig-Huygens donne $V(X)=1-0^2=1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $x$ un réel et soit $A>\max (x,-x)$. Effectuons dans ${\displaystyle {\int }_{-A}^{-x}\phi (t)\mathrm{d}t}$, intégrale sur un segment, le changement de variable affine $u=-t$, de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $\mathrm{d}u=-\mathrm{d}t$ ; les bornes $t=-A$ et $t=-x$ deviennent $u=A$ et $u=x$ :

$${\int }_{-A}^{-x}\phi (t)\mathrm{d}t={\int }_A^x\phi (-u)\times (-\mathrm{d}u)={\int }_x^A\phi (-u)\mathrm{d}u={\int }_x^A\phi (u)\mathrm{d}u,$$

la dernière égalité résultant de la parité de $\phi$, puisque $(-u{)}^2=u^2$. On fait maintenant tendre $A$ vers $+\mathrm{\infty }$ : le membre de gauche tend vers $\mathrm{\Phi }(-x)$, et le membre de droite tend vers $1-\mathrm{\Phi }(x)$, car ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\phi =1}$. D'où $\mathrm{\Phi }(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x)$.

En prenant $x=0$ : $\mathrm{\Phi }(0)=1-\mathrm{\Phi }(0)$, donc $2\mathrm{\Phi }(0)=1$ et $\mathrm{\Phi }(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. $\mathrm{\square }$

L'aire hachurée sur la figure représente $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,2})\approx \mathrm{0,8849}$ : c'est la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à $\mathrm{1,2}$. La relation $\mathrm{\Phi }(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x)$ se lit alors géométriquement : l'aire à gauche de $-x$ est l'image miroir de l'aire à droite de $x$.

La figure montre l'effet de chaque paramètre, et il faut savoir la commenter. Passer de $\mathcal{N}(0,1)$ à $\mathcal{N}(2,1)$ translate la cloche de deux unités vers la droite, sans la déformer : $m$ est le centre de symétrie. Passer de $\mathcal{N}(0,1)$ à $\mathcal{N}(0,4)$ aplatit et élargit la cloche, puisque $\sigma$ passe de $1$ à $2$ : l'aire totale valant toujours $1$, une courbe plus large est nécessairement moins haute.

Démonstration. Posons $Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$, qui suit $\mathcal{N}(0,1)$ par définition. Alors $X=\sigma Z+m$, et la propriété de la transformation affine donne

$$E(X)=\sigma E(Z)+m=\sigma \times 0+m=m,V(X)={\sigma }^{2}V(Z)={\sigma }^2\times 1={\sigma }^2\mathrm{.}$$

Pour la fonction de répartition, comme $\sigma >0$, l'inégalité $X⩽x$ équivaut à ${\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}⩽{\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }}$, c'est-à-dire à $Z⩽{\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }}$. Donc

$$P(X⩽x)=P\text{\hspace{0.17em}⁣}(Z⩽\frac{x-m}{\sigma })=\mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-m}{\sigma }\right)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

L'hypothèse d'indépendance est indispensable : sans elle, l'espérance de la somme reste la somme des espérances, mais la variance ne s'ajoute plus et la loi n'est plus normale en général.

Voici quelques valeurs de $\mathrm{\Phi }$, à connaître ou au moins à reconnaître.

Transferts : loi d'une fonction d'une variable à densité

La transformation affine

Démonstration. Distinguons les deux signes de $a$.

Cas $a>0$. Pour tout réel $x$, l'inégalité $aX+b⩽x$ équivaut à $X⩽{\displaystyle \frac{x-b}{a}}$, car diviser par $a>0$ conserve le sens. Donc

$$F_Y(x)=F_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-b}{a}\right)\mathrm{.}$$

La fonction $x⟼{\displaystyle \frac{x-b}{a}}$ est affine, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ ; par composition, $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ partout sauf aux antécédents des points où $F_X$ ne l'est pas, en nombre fini. Donc $Y$ est à densité et, en dérivant,

$$f_Y(x)=\frac{1}{a}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-b}{a}\right)=\frac{1}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-b}{a}\right)\mathrm{.}$$

Cas $a<0$. Cette fois, diviser par $a$ inverse l'inégalité : $aX+b⩽x$ équivaut à $X⩾{\displaystyle \frac{x-b}{a}}$. Donc

$$F_Y(x)=P\text{\hspace{0.17em}⁣}(X⩾\frac{x-b}{a})=1-P\text{\hspace{0.17em}⁣}(X<\frac{x-b}{a})=1-F_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-b}{a}\right),$$

la dernière égalité utilisant $P(X<c)=P(X⩽c)$, valable parce que $X$ est à densité. Le même argument de composition montre que $Y$ est à densité, et en dérivant,

$$f_Y(x)=-\frac{1}{a}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-b}{a}\right)=\frac{1}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x-b}{a}\right),$$

puisque $-a=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ lorsque $a<0$. Les deux cas donnent la même formule. $\mathrm{\square }$

Le carré

Démonstration. La variable $Y=X^2$ est positive, donc pour $x<0$ l'événement $[Y⩽x]$ est impossible et $F_Y(x)=0$. Pour $x⩾0$, l'inégalité $X^2⩽x$ équivaut à $-\sqrt{x}⩽X⩽\sqrt{x}$, donc

$$F_Y(x)=P\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\sqrt{x}⩽X⩽\sqrt{x})=F_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x}\right)-F_X\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\sqrt{x}),$$

en utilisant que $X$ est à densité, ce qui permet d'ignorer les bornes. Pour la densité, on dérive en $x>0$ par composition, la dérivée de $x⟼\sqrt{x}$ étant ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ et celle de $x⟼-\sqrt{x}$ étant $-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ :

$$f_Y(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2\sqrt{x}}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\sqrt{x})\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Le programme se limitant à des densités ayant des limites finies en tout point, on choisira des situations où le facteur ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ ne s'emballe pas, c'est-à-dire où $f_X$ est nulle au voisinage de $0$.

L'exponentielle

Démonstration. La variable $Y={\mathrm{e}}^X$ est strictement positive, donc $F_Y(x)=0$ pour $x⩽0$. Pour $x>0$, la fonction $\ln$ étant strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, l'inégalité ${\mathrm{e}}^X⩽x$ équivaut à $X⩽\ln x$, d'où $F_Y(x)=F_X(\ln x)$. On dérive par composition, la dérivée de $\ln$ étant $x⟼{\displaystyle \frac{1}{x}}$. $\mathrm{\square }$

Simuler une loi exponentielle à partir d'une loi uniforme

Démonstration. D'abord, $X$ est bien définie : $Y$ prend ses valeurs dans $[0,1[$, donc $1-Y$ prend les siennes dans $]0,1]$, ensemble sur lequel $\ln$ est définie. De plus $\ln (1-Y)⩽0$, donc $X⩾0$, et $F_X(x)=0$ pour $x<0$.

Soit maintenant $x⩾0$. En multipliant par $-\lambda <0$, ce qui inverse l'inégalité, puis en appliquant l'exponentielle, qui est strictement croissante :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X⩽x}& {\displaystyle ⟺-\frac{1}{\lambda }\ln (1-Y)⩽x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺\ln (1-Y)⩾-\lambda x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺1-Y⩾{\mathrm{e}}^{-\lambda x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺Y⩽1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{.}}\end{array}$$

Comme $x⩾0$, le réel $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ appartient à $[0,1[$, intervalle sur lequel la fonction de répartition de $Y$ vaut $F_Y(u)=u$. Donc

$$F_X(x)=P\text{\hspace{0.17em}⁣}(Y⩽1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x})=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{.}$$

On reconnaît la fonction de répartition de $\mathcal{E}(\lambda )$, donc $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$. $\mathrm{\square }$

C'est le principe de la simulation informatique d'une loi exponentielle : un générateur de nombres pseudo-aléatoires fournit une valeur uniforme sur $[0,1[$, et la formule ci-dessus la transforme en une valeur exponentielle.

Variables aléatoires quelconques : indépendance et opérations

Le programme est ici d'une netteté rare, et il faut la citer : « la définition de l'espérance ou des moments d'ordre supérieur d'une variable aléatoire quelconque est hors d'atteinte dans le cadre de ce programme ». Tous les résultats de cette section sont donc admis. On les utilise sans les démontrer, et sans se demander comment $E(X)$ serait définie pour une variable ni discrète ni à densité : on admet qu'une telle définition existe et qu'elle prolonge les deux cas connus.

Indépendance

Comme pour les variables discrètes, l'indépendance deux à deux est plus faible que l'indépendance mutuelle : trois variables peuvent être indépendantes deux à deux sans l'être mutuellement. Dans les énoncés, l'indépendance est presque toujours une hypothèse fournie, jamais quelque chose à démontrer.

Ce lemme est l'outil qui permet de séparer un échantillon en deux blocs disjoints et de traiter les deux blocs comme indépendants. Sa condition d'emploi est simple mais impérative : les deux paquets d'indices doivent être disjoints. Les variables $X_1+X_2$ et $X_2+X_3$ ne sont pas indépendantes, puisqu'elles partagent $X_2$.

Opérations sur l'espérance et la variance

Trois points de vigilance, qui reviennent à chaque copie. L'espérance d'une somme ne demande aucune hypothèse d'indépendance ; la variance d'une somme, si. L'implication du point $1$ ne se retourne pas : $E(XY)=E(X)E(Y)$ n'entraîne pas l'indépendance. Enfin, la variance n'est pas linéaire : $V(aX)=a^{2}V(X)$, avec un carré, et $V(X-Y)=V(X)+V(Y)$ pour des variables indépendantes, avec un plus, car $V(-Y)=(-1{)}^{2}V(Y)=V(Y)$.

Inégalités de concentration et loi faible des grands nombres

L'inégalité de Markov

Démonstration dans le cas d'une variable à densité. Soit $f$ une densité de $X$, nulle sur $]-\mathrm{\infty },0[$ puisque $X$ est positive. Soit $a>0$ et soit $A>a$. Sur le segment $[a,A]$, on a $t⩾a$ et $f(t)⩾0$, donc $tf(t)⩾af(t)$, et par croissance de l'intégrale sur un segment

$${\int }_a^{A}tf(t)\mathrm{d}t⩾a{\int }_a^{A}f(t)\mathrm{d}t=a(F(A)-F(a))\mathrm{.}$$

Par ailleurs ${\displaystyle {\int }_0^{a}tf(t)\mathrm{d}t⩾0}$, toujours parce que l'intégrande est positif, donc

$${\int }_0^{A}tf(t)\mathrm{d}t⩾a(F(A)-F(a))\mathrm{.}$$

Les deux membres admettent une limite quand $A$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, à gauche $E(X)$ par hypothèse, à droite $a(1-F(a))$ ; le passage à la limite conserve l'inégalité large :

$$E(X)⩾a(1-F(a))=aP(X>a)=aP(X⩾a),$$

la dernière égalité parce que $P(X=a)=0$ pour une variable à densité. En divisant par $a>0$, on obtient l'inégalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Démonstration dans le cas discret. Supposons $X(\mathrm{\Omega })$ fini ou dénombrable, contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}$. Tous les termes des sommes ci-dessous sont positifs, donc les manipulations sont licites :

$$E(X)=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}xP(X=x)⩾\sum _{\begin{array}{c}x\in X(\mathrm{\Omega })\\ x⩾a\end{array}}xP(X=x)⩾\sum _{\begin{array}{c}x\in X(\mathrm{\Omega })\\ x⩾a\end{array}}aP(X=x)=aP(X⩾a)\mathrm{.}$$

La première inégalité retire des termes positifs, la seconde minore chaque $x$ par $a$. On divise par $a>0$. $\mathrm{\square }$

Le programme précise que ce résultat n'est pas exigible en tant que tel, mais qu'on peut l'appliquer à $\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^r$ : pour $r>0$ et $a>0$, l'événement $[\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }⩾a]$ est égal à $[\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^r⩾a^r]$, donc

$$P(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }⩾a)⩽\frac{E\left(\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^r\right)}{a^r},$$

dès que $\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^r$ admet une espérance. Le cas $r=2$ conduit directement au résultat suivant.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Démonstration. Posons $Y=(X-m{)}^2$. C'est une variable positive, et elle admet une espérance, égale à $V(X)$ par définition de la variance. L'inégalité de Markov, applicable à $Y$ avec le réel strictement positif $a={\epsilon }^2$, donne

$$P(Y⩾{\epsilon }^2)⩽\frac{E(Y)}{{\epsilon }^2}=\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}\mathrm{.}$$

Il reste à identifier l'événement de gauche. Pour un réel positif $u$, l'inégalité $u^2⩾{\epsilon }^2$ équivaut à $u⩾\epsilon$ puisque la fonction carré est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$. Appliqué à $u=\mathrm{\mid }X-m\mathrm{\mid }$, cela donne

$$[Y⩾{\epsilon }^2]=[(X-m{)}^2⩾{\epsilon }^2]=[\mathrm{\mid }X-m\mathrm{\mid }⩾\epsilon ]\mathrm{.}$$

D'où le résultat. La démonstration vaut telle quelle dans le cas discret et dans le cas à densité, puisque l'inégalité de Markov a été établie dans les deux cas. $\mathrm{\square }$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev a une qualité et un défaut, et il faut connaître les deux. Sa qualité : elle ne suppose rien sur la loi de $X$, seulement l'existence d'une variance. Son défaut : elle est très grossière. Pour une variable normale, elle annonce $P(\mathrm{\mid }X-m\mathrm{\mid }⩾2\sigma )⩽\mathrm{0,25}$ alors que la valeur exacte est d'environ $\mathrm{0,046}$. On l'utilise donc quand la loi est inconnue, ou pour obtenir une majoration valable en toute généralité.

La loi faible des grands nombres

Démonstration. Toutes les $X_k$ ont la même loi, donc la même espérance $m$ et la même variance ${\sigma }^2$. Par linéarité de l'espérance, qui ne réclame aucune indépendance,

$$E\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}E(X_k)=\frac{1}{n}\times nm=m\mathrm{.}$$

Pour la variance, on utilise d'abord $V(aX)=a^{2}V(X)$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{n}}$, puis l'additivité de la variance, qui elle exige l'indépendance :

$$V\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n^2}V\left(\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}V(X_k)=\frac{1}{n^2}\times n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Ces deux formules sont le cœur de tout ce qui suit, et il faut en comprendre le contraste. La moyenne empirique est centrée sur la bonne valeur quel que soit $n$ : en moyenne, elle ne se trompe pas. Et sa dispersion décroît en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ : plus l'échantillon est grand, plus elle se resserre autour de $m$. L'écart-type, lui, décroît en ${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$, ce qui signifie qu'il faut multiplier la taille de l'échantillon par $4$ pour diviser l'incertitude par $2$.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. La variable $\overline{X_n}$ admet une espérance égale à $m$ et une variance égale à ${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$, donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique :

$$0⩽P(\mid \overline{X_n}-m\mid ⩾\epsilon )⩽\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}\mathrm{.}$$

Le membre de droite est le terme général d'une suite qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, puisque ${\sigma }^2$ et ${\epsilon }^2$ sont des constantes. Par le théorème d'encadrement, la probabilité du milieu tend vers $0$. $\mathrm{\square }$

La figure illustre le cas des épreuves de Bernoulli de paramètre $\mathrm{0,5}$. La fréquence cumulée de succès oscille beaucoup au début, quand $n$ est petit, puis se stabilise autour de $\mathrm{0,5}$. Notez bien ce que la loi faible affirme, et ce qu'elle n'affirme pas : elle ne dit pas que la courbe finit par coller à la droite, elle dit que la probabilité de s'en écarter de plus de $\epsilon$ tend vers $0$.

Convergence en loi, théorème limite central et approximations

La convergence en loi

Deux remarques sur cette définition. D'abord, elle ne porte que sur les lois : les variables $X_n$ et $X$ n'ont aucune raison d'être définies sur le même espace probabilisé, et il ne se passe rien « point par point ». Ensuite, la restriction aux points de continuité de $F_X$ n'est pas un détail technique gratuit : sans elle, la définition serait trop exigeante et beaucoup de convergences naturelles seraient perdues.

Pour des variables entières, il suffit donc de faire converger les probabilités ponctuelles, ce qui est en général beaucoup plus simple que de manipuler des fonctions de répartition en escalier.

Démonstration. Les variables $X_n$ et $X$ sont à valeurs entières, donc il suffit, d'après la caractérisation admise, de montrer que $P(X_n=k)\to P(X=k)$ pour tout entier naturel $k$ fixé. Écrivons

$$P(X_n=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}=\underset{A_n}{\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}}}\times \frac{{\lambda }^k}{k!}\times \underset{B_n}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}}}\mathrm{.}$$

Limite de $A_n$. Le numérateur est un produit de $k$ facteurs, donc

$$A_n=\frac{n}{n}\times \frac{n-1}{n}\times \cdots \times \frac{n-k+1}{n}=1\times (1-\frac{1}{n})\times \cdots \times (1-\frac{k-1}{n})\mathrm{.}$$

L'entier $k$ étant fixé, ce produit compte un nombre fixe de facteurs, chacun tendant vers $1$ : donc $A_n\to 1$.

Limite de $B_n$. Pour $n$ assez grand, $1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}}>0$, et l'on peut écrire

$$B_n=\exp ((n-k)\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-\frac{\lambda }{n}))\mathrm{.}$$

Le développement limité de $\ln (1+u)$ à l'ordre $1$ au voisinage de $0$ donne $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})=-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$, donc

$$(n-k)\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-\frac{\lambda }{n})=(n-k)(-\frac{\lambda }{n}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n}\right))=-\lambda +\frac{k\lambda }{n}+o(1)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}-\lambda \mathrm{.}$$

Par continuité de l'exponentielle, $B_n\to {\mathrm{e}}^{-\lambda }$.

Conclusion. En multipliant les limites,

$$P(X_n=k)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\times \frac{{\lambda }^k}{k!}\times {\mathrm{e}}^{-\lambda }={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}=P(X=k)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Ce résultat est la justification théorique de l'approximation « binomiale par Poisson » : quand on répète un très grand nombre de fois une épreuve dont la probabilité de succès est très petite, avec un nombre moyen de succès $np$ modéré, la loi de Poisson de paramètre $np$ décrit bien le nombre de succès.

Le théorème limite central

La figure prend $X\hookrightarrow \mathcal{B}(30;\mathrm{0,25})$, d'espérance $30\times \mathrm{0,25}=\mathrm{7,5}$ et de variance $30\times \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,75}=\mathrm{5,625}$, donc d'écart-type $\sqrt{\mathrm{5,625}}\approx \mathrm{2,37}$. L'histogramme de ${\displaystyle \frac{X-\mathrm{7,5}}{\mathrm{2,37}}}$ épouse déjà nettement la courbe en cloche, alors que $n=30$ seulement. Une loi binomiale est en effet une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même loi : le théorème limite central s'y applique directement, et c'est le prototype de son usage.

Mesurez la portée de l'énoncé. La loi commune des $X_k$ est quelconque : discrète ou à densité, symétrique ou non, peu importe. Seules trois hypothèses comptent, et ce sont exactement celles qu'il faut vérifier avant d'invoquer le théorème : indépendance, même loi, existence d'une variance non nulle. La conclusion, elle, est toujours la même loi normale centrée réduite. C'est cette universalité qui explique la place de la loi normale dans toutes les sciences expérimentales.

Les approximations usuelles

Le programme est explicite : « toutes les indications devront être fournies aux candidats quant à la justification de l'utilisation des approximations ». Un énoncé de concours vous dira donc par quelle loi approcher, et souvent avec quels seuils. Les conditions usuelles, données ici à titre de repère, sont les suivantes.

Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance

Le programme prévient : « ce paragraphe ne doit pas faire l'objet d'un exposé théorique ». On installe donc le vocabulaire minimal, puis on calcule.

Le cadre

La distinction entre l'estimateur et l'estimation est celle entre une variable aléatoire et un nombre. L'estimateur $T_n$ est une variable aléatoire : elle a une loi, une espérance, une variance, et elle change si l'on refait l'expérience. L'estimation est le nombre que l'on obtient une fois l'expérience faite. On peut calculer $E(T_n)$ ; on ne peut pas calculer l'espérance d'une estimation, qui n'est qu'un réel.

La moyenne empirique

La démonstration a été faite à la section « Inégalités de concentration et loi faible des grands nombres » : linéarité pour l'espérance, indépendance pour la variance. Ces deux égalités disent tout ce qu'il faut savoir sur $\overline{X_n}$ comme estimateur de $m$. D'une part $E\left(\overline{X_n}\right)$ vaut exactement le paramètre cherché : en moyenne sur un grand nombre de répétitions de l'expérience, l'estimateur vise juste. C'est ce calcul de $E(T_n)$, et la constatation qu'il redonne le paramètre, qu'on attend systématiquement d'un estimateur. D'autre part $V\left(\overline{X_n}\right)$ tend vers $0$, ce qui traduit la précision croissante avec la taille de l'échantillon.

L'estimateur du maximum de vraisemblance

Le principe est le suivant, et le programme demande de l'expliquer plutôt que de le théoriser. On a observé les valeurs $x_1,\dots ,x_n$. Pour chaque valeur possible du paramètre $\theta$, on calcule la probabilité d'observer précisément ces valeurs-là, quantité appelée vraisemblance. On retient alors la valeur de $\theta$ qui rend l'observation la plus probable.

L'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$ est donc

$$T_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k=\overline{X_n},$$

c'est-à-dire la fréquence empirique de succès. Restent les deux cas écartés en cours de route : $s=0$ et $s=n$ donnent respectivement $L(\theta )=(1-\theta {)}^n$ et $L(\theta )={\theta }^n$. Sur l'intervalle ouvert $]0,1[$ ces deux fonctions sont strictement monotones, donc sans maximum ; c'est en étendant l'étude au segment $[0,1]$ qu'on obtient un maximum, atteint respectivement en $\theta =0$ et en $\theta =1$, ce qui reste conforme à la formule ${\displaystyle \frac{s}{n}}$. C'est la raison pour laquelle un énoncé impose presque toujours $0<s<n$.

Intervalle de confiance par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Attention au sens de cette écriture : ce n'est pas $\theta$ qui est aléatoire, mais l'intervalle. Le paramètre $\theta$ est un nombre fixe, inconnu ; ce sont les bornes qui changent d'un échantillon à l'autre. La phrase correcte est : « la probabilité que l'intervalle produit par la méthode contienne $\theta$ est au moins $1-\alpha$ ».

Démonstration. La variable $\overline{X_n}$ admet pour espérance $m$ et pour variance ${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\epsilon >0$,

$$P(\mid \overline{X_n}-m\mid ⩾\epsilon )⩽\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}\mathrm{.}$$

Choisissons $\epsilon$ de sorte que le majorant vaille exactement $\alpha$ :

$$\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}=\alpha ⟺{\epsilon }^2=\frac{{\sigma }^2}{n\alpha }⟺\epsilon =\frac{\sigma }{\sqrt{n\alpha }},$$

en ne retenant que la racine positive. Par passage au contraire,

$$P(\mid \overline{X_n}-m\mid <\epsilon )⩾1-\alpha \mathrm{.}$$

Or $\mid \overline{X_n}-m\mid <\epsilon$ équivaut à $\overline{X_n}-\epsilon <m<\overline{X_n}+\epsilon$, ce qui entraîne l'appartenance de $m$ à l'intervalle fermé. D'où le résultat. $\mathrm{\square }$

Estimation de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu

Démonstration. Les $X_k$ sont normales et indépendantes, donc leur somme $S_n$ suit une loi normale, d'espérance $nm$ et de variance $n{\sigma }^2$. En multipliant par ${\displaystyle \frac{1}{n}}$, la propriété de transformation affine d'une normale donne

$$\overline{X_n}\hookrightarrow \mathcal{N}\text{\hspace{0.17em}⁣}(m,\frac{{\sigma }^2}{n}),\text{donc}Z=\frac{\overline{X_n}-m}{\sigma \mathrm{/}\sqrt{n}}\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)\mathrm{.}$$

Calculons $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽t_{\alpha })$. Par définition de $\mathrm{\Phi }$ et par la relation $\mathrm{\Phi }(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x)$,

$$P(-t_{\alpha }⩽Z⩽t_{\alpha })=\mathrm{\Phi }\left(t_{\alpha }\right)-\mathrm{\Phi }(-t_{\alpha })=2\mathrm{\Phi }\left(t_{\alpha }\right)-1=2(1-\frac{\alpha }{2})-1=1-\alpha \mathrm{.}$$

Enfin, $\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽t_{\alpha }$ équivaut successivement à $\mid \overline{X_n}-m\mid ⩽t_{\alpha }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$, puis à l'appartenance de $m$ à l'intervalle annoncé. D'où le résultat, avec une égalité et non une simple minoration. Pour $\alpha =\mathrm{0,05}$, on cherche $t$ tel que $\mathrm{\Phi }(t)=\mathrm{0,975}$, et la table donne $t=\mathrm{1,96}$. $\mathrm{\square }$

Variance empirique et intervalle de confiance asymptotique

En pratique, $\sigma$ est rarement connu. On l'estime alors sur l'échantillon lui-même.

Certains énoncés définissent la variance empirique avec un dénominateur $n-1$ au lieu de $n$ ; la différence est négligeable pour $n$ grand, et un exercice précise toujours la convention qu'il adopte. Lisez donc l'énoncé avant de calculer.

Ce résultat est une conséquence directe du théorème limite central, et le programme précise qu'il n'est pas exigible en l'état : tout exercice qui l'utilise vous en fournira la formule. Ce qu'il faut comprendre, c'est le sens du mot « asymptotique » : le niveau $1-\alpha$ n'est atteint qu'à la limite, donc l'intervalle n'offre aucune garantie pour un petit échantillon, contrairement à celui de Bienaymé-Tchebychev, qui est valable pour tout $n$.

L'essentiel

Chaînes de Markov. La matrice de transition $M$ se lit « ligne de départ, colonne d'arrivée », et ses lignes somment à $1$. L'état $V_n$ est une matrice ligne de probabilités, et la récurrence est $V_n=V_{n-1}M$, donc $V_n=V_0{M}^n$. L'état stable est la solution du système $V=VM$ complété par $v_1+\cdots +v_r=1$ ; sa transposée est un vecteur propre de ${}^{t}M$ pour la valeur propre $1$. Sur un graphe complet, $V_n$ converge vers l'état stable, quel que soit l'état initial.

Variables à densité. Une variable est à densité lorsque $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf en un nombre fini de points ; une densité est alors $f_X=F_X^{\mathrm{\prime }}$, complétée arbitrairement en ces points. On a $F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X$, $P(X=a)=0$, et $P(a⩽X⩽b)=F_X(b)-F_X(a)$. L'espérance existe si $\int t{f}_X(t)\mathrm{d}t$ converge absolument, la variance se calcule par transfert puis Kœnig-Huygens.

Les trois lois.

Transferts. Toujours par la fonction de répartition : calculer $F_Y(x)=P(g(X)⩽x)$, se ramener à $F_X$, vérifier la continuité, dériver. Les trois cas du programme sont $aX+b$, de densité ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}{f}_X\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{t-b}{a}}\right)$, le carré et l'exponentielle.

Concentration et limites. Markov : $P(X⩾a)⩽{\displaystyle \frac{E(X)}{a}}$ pour $X$ positive. Bienaymé-Tchebychev : $P(\mathrm{\mid }X-m\mathrm{\mid }⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}}$. Loi faible des grands nombres : $P(\mid \overline{X_n}-m\mid ⩾\epsilon )\to 0$. Théorème limite central : ${\displaystyle \frac{S_n-nm}{\sigma \sqrt{n}}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$, sous les trois hypothèses d'indépendance, de même loi et de variance non nulle.

Estimation. $\overline{X_n}$ estime $m$, avec $E\left(\overline{X_n}\right)=m$ et $V\left(\overline{X_n}\right)={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$. Le maximum de vraisemblance, sur Bernoulli comme sur Poisson, redonne $\overline{X_n}$. Deux intervalles de confiance de $m$ au niveau $1-\alpha$ : celui de Bienaymé-Tchebychev, de rayon ${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n\alpha }}}$, valable pour tout $n$ ; celui issu du théorème limite central, de rayon $t_{\alpha }{\displaystyle \frac{S_n}{\sqrt{n}}}$, valable asymptotiquement, avec $t_{\alpha }=\mathrm{1,96}$ pour $\alpha =\mathrm{0,05}$.

Les erreurs à ne pas commettre

Affirmer une espérance sans vérifier la convergence absolue. L'existence de $E(X)$ est une question, pas une évidence : elle se démontre avant tout calcul, et le chapitre fournit des contre-exemples explicites. Un calcul d'intégrale mené jusqu'au bout sans un mot sur la convergence ne vaut aucun point.

Confondre densité et probabilité. La quantité $f_X(t)$ n'est pas une probabilité : elle peut dépasser $1$, comme la densité de $\mathcal{U}([0;\mathrm{0,5}])$, qui vaut $2$. Seule l'aire sous la courbe est une probabilité.

Écrire $P(X=a)\mathrm{\ne }0$ pour une variable à densité. Tout événement ponctuel est de probabilité nulle. Corollaire : $P(X⩽a)=P(X<a)$, et une inégalité stricte ou large donnent le même résultat, ce qu'il faut justifier une fois par la phrase « $X$ est à densité ».

Appliquer Bienaymé-Tchebychev sans variance. L'inégalité, la loi faible des grands nombres et le théorème limite central exigent tous l'existence d'une variance. Une variable peut avoir une espérance et pas de variance ; dans ce cas, aucun de ces trois résultats ne s'applique.

Confondre $V_{n}M$ et $M{V}_n$. L'état $V_n$ est une matrice ligne de format $1\times r$, donc seul le produit $V_{n}M$ a un sens. Écrire $M{V}_n$ est une faute de dimension, pas une variante de notation.

Oublier que ce sont les lignes de $M$ qui somment à $1$. La ligne est l'état de départ. Additionner les colonnes pour vérifier une matrice de transition conduit à conclure qu'une matrice correcte est fausse, ou l'inverse.

Dériver $F_X$ en un point où la densité est discontinue. Aux points de raccord, $F_X$ n'est en général pas dérivable, et c'est permis : la définition tolère un nombre fini de tels points. On y choisit une valeur arbitraire positive pour $f_X$, et l'on n'écrit jamais que $F_X$ est dérivable partout.

Intégrer par parties directement sur un intervalle non borné. Le programme l'interdit. On écrit « pour tout $x>0$, ${\int }_0^x\dots$ », on effectue l'intégration par parties sur le segment, puis on fait tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$ en justifiant chaque limite, croissances comparées à l'appui.

Utiliser le théorème limite central sans indépendance ni même loi. Ses trois hypothèses ne sont pas décoratives. Une somme de variables dépendantes, ou de lois différentes, ne relève pas de ce théorème, et l'invoquer quand même invalide tout ce qui suit.

Additionner des variances sans indépendance. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ est toujours vrai ; $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ ne l'est que pour des variables indépendantes. Et pour une différence, les variances s'ajoutent encore.

Dire que « $\theta$ a $95\mathrm{\%}$ de chances d'être dans l'intervalle ». Le paramètre est un nombre fixe ; c'est l'intervalle qui est aléatoire. La formulation correcte est : la méthode produit, dans $95\mathrm{\%}$ des cas, un intervalle qui contient $\theta$.

Oublier le sens de l'inégalité dans un transfert. Multiplier par un nombre négatif, ou appliquer une fonction décroissante, inverse l'inégalité, ce qui remplace $F_X$ par $1-F_X$. C'est exactement ce qui distingue le cas $a>0$ du cas $a<0$ dans la densité de $aX+b$, et c'est la source d'erreurs la plus fréquente de la section « Transferts ».