Devoir surveillé — Variables aléatoires réelles

On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2. Traduire par une phrase l'événement $\{X⩽0\}$, puis écrire en notation symbolique l'événement « $X$ prend une valeur strictement positive ».
3. Calculer $P(X⩽0)$ et $P(X⩾2)$.
4. Calculer l'espérance $E(X)$.
5. Question de cours. Énoncer la formule de König-Huygens permettant de calculer la variance d'une variable aléatoire $X$.

Une association organise une tombola : $200$ tickets sont vendus, au prix de $1$ € le ticket. Parmi ces $200$ tickets :

• $1$ ticket fait gagner un lot d'une valeur de $50$ € ;
• $4$ tickets font gagner un lot d'une valeur de $10$ € ;
• $15$ tickets font gagner un lot d'une valeur de $2$ € ;
• les autres tickets ne font rien gagner.

Une personne achète un ticket au hasard. On note $G$ la variable aléatoire égale à son gain algébrique, c'est-à-dire la valeur du lot éventuellement reçu diminuée du prix du ticket.

1. Justifier que les valeurs prises par $G$ sont $49$, $9$, $1$ et $-1$, puis dresser le tableau de la loi de probabilité de $G$ (les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles).
2. Calculer $E(G)$.
3. Interpréter ce résultat pour l'acheteur d'un ticket, puis en déduire la recette nette de l'association si les $200$ tickets sont vendus.
4. On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique du joueur est nulle. À quel prix l'association devrait-elle vendre le ticket pour que cette tombola soit un jeu équitable ? (Les lots restent inchangés.)

Une entreprise de livraison étudie la qualité de son service. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en retard au cours d'une journée. Sa loi de probabilité est donnée par :

1. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.
2. Calculer $E(X^2)$, puis en déduire $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, et enfin l'écart type $\sigma (X)$ (arrondi au centième).
3. Chaque colis en retard coûte à l'entreprise $8$ € de dédommagement, auxquels s'ajoutent $5$ € de frais fixes quotidiens de gestion. On note $C$ le coût quotidien, en euros, lié aux retards : $C=8X+5$. Calculer $E(C)$, $V(C)$ et $\sigma (C)$ (arrondi au centième).
4. Justifier les formules de transformation utilisées à la question précédente, c'est-à-dire exprimer $E(aX+b)$ et $V(aX+b)$ en fonction de $E(X)$ et $V(X)$, pour des réels $a$ et $b$.

Une loi de probabilité est représentée en Python par deux listes de même longueur : valeurs contient les valeurs prises par la variable aléatoire, et probas contient les probabilités correspondantes.

1. Recopier et compléter la fonction suivante pour qu'elle renvoie l'espérance de la loi :

def esperance(valeurs, probas):
    E = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        E = E + ...
    return E

2. Écrire une fonction variance(valeurs, probas) qui renvoie la variance de la loi, calculée à l'aide de la formule de König-Huygens. On pourra réutiliser la fonction esperance.

3. On exécute les instructions suivantes, avec la loi de l'exercice 3 :

valeurs = [0, 1, 2, 3]
probas = [0.5, 0.3, 0.15, 0.05]
print(esperance(valeurs, probas))
print(variance(valeurs, probas))

Qu'affiche ce programme ?

Un parking de centre-ville propose deux tarifs. La durée de stationnement d'un client, en heures entières, est modélisée par une variable aléatoire $D$ de loi :

• Tarif A : $\mathrm{2,50}$ € par heure de stationnement. Le coût, en euros, est donc $\mathrm{2,5}D$.
• Tarif B : un forfait de $4$ € auquel s'ajoute $1$ € par heure. Le coût, en euros, est donc $D+4$.

1. Calculer $E(D)$ et interpréter ce résultat.
2. En utilisant la linéarité de l'espérance, calculer le coût moyen avec chacun des deux tarifs.
3. Pour quelles valeurs de $D$ le tarif B est-il strictement plus avantageux que le tarif A ? Quelle est la probabilité que cela se produise ?
4. Un client hésite entre les deux tarifs. En vous appuyant sur les questions précédentes, rédiger une conclusion argumentée : quel tarif lui conseiller, et dans quel cas l'autre tarif peut-il malgré tout se justifier ?