Variables aléatoires réelles

Lancer un dé, gratter un ticket de loterie, prélever une pièce au hasard dans une production : dans chacune de ces expériences, le hasard produit un nombre — un gain, une durée, une masse. Ce chapitre donne un nom à cette idée de « nombre qui dépend du hasard » : la variable aléatoire. L'enjeu est double : d'abord décrire complètement le comportement de ce nombre aléatoire (c'est la loi de la variable), puis le résumer par quelques indicateurs bien choisis — une valeur moyenne (l'espérance) et une mesure de dispersion (la variance et l'écart type). Ces outils, cousins directs de la moyenne et de l'écart type des séries statistiques de seconde, permettent par exemple de décider si un jeu d'argent est avantageux, et pour qui.

Variable aléatoire réelle

Commençons par un jeu concret. On lance un dé équilibré à six faces. Si le résultat est $6$, on gagne $10$ € ; si le résultat est pair sans être $6$ (c'est-à-dire $2$ ou $4$), on gagne $2$ € ; sinon, on perd $3$ €.

L'univers de cette expérience est $\mathrm{\Omega }=\{1;2;3;4;5;6\}$ : c'est l'ensemble des issues possibles du lancer. Mais ce qui intéresse le joueur, ce n'est pas le numéro de la face : c'est son gain. À chaque issue du lancer correspond un gain bien déterminé : à l'issue $6$ correspond le gain $10$ ; aux issues $2$ et $4$ correspond le gain $2$ ; aux issues $1$, $3$ et $5$ correspond le gain $-3$ (perdre $3$ €, c'est « gagner » $-3$ €). Ce procédé, qui associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience, est exactement ce qu'on appelle une fonction définie sur $\mathrm{\Omega }$.

Remarque. Le nom est trompeur : une variable aléatoire n'est ni une variable (comme le $x$ d'une équation), ni aléatoire (la fonction elle-même est parfaitement déterminée). C'est l'issue de l'expérience qui est aléatoire ; le nombre $X(\omega )$ en découle mécaniquement. On note traditionnellement les variables aléatoires par des lettres majuscules : $X$, $Y$, $G$ (comme gain), $S$ (comme somme)…

Puisque les valeurs de $X$ dépendent du hasard, on veut pouvoir parler de la probabilité que $X$ prenne telle ou telle valeur. On introduit pour cela des notations qui désignent des événements.

Un point de méthode important : savoir traduire dans les deux sens entre la langue naturelle et le registre symbolique. « Le joueur perd de l'argent » se traduit par $\{X<0\}$ ; « le gain est d'au moins $2$ € » par $\{X\ge 2\}$ ; réciproquement, $P(X\le 2)$ se lit « la probabilité que le gain soit inférieur ou égal à $2$ € ». Attention aux nuances : « au moins » signifie $\ge$, « au plus » signifie $\le$, « strictement plus » signifie $>$. Une erreur de traduction à cet endroit fausse tout le calcul qui suit.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Une fois la variable aléatoire définie, la question naturelle est : avec quelles probabilités prend-elle ses différentes valeurs ? Répondre à cette question, c'est donner sa loi.

Cette propriété est un outil de vérification systématique : après avoir calculé une loi, on additionne les probabilités. Si la somme ne vaut pas $1$, il y a une erreur quelque part — une valeur oubliée, ou une probabilité fausse. C'est aussi un outil de calcul : si toutes les probabilités sont connues sauf une, la dernière s'en déduit par complément à $1$.

On peut représenter une loi par un diagramme en bâtons : en abscisse les valeurs $x_i$, en ordonnée les probabilités $P(X=x_i)$. La figure ci-dessous représente la loi de la roue de loterie ; on y lit d'un coup d'œil que la valeur la plus probable est $-1$, et que les gros gains sont rares.

Remarque. Deux expériences différentes peuvent produire la même loi : ce qui compte pour la suite (espérance, variance…), c'est la loi elle-même, pas le mécanisme qui l'engendre. C'est pourquoi on travaille le plus souvent directement sur le tableau de la loi.

Espérance

La loi décrit tout, mais elle est encombrante : quatre valeurs et quatre probabilités pour la roue de loterie. Peut-on résumer la situation par un seul nombre qui indiquerait ce que le jeu « rapporte en moyenne » ? Ce nombre existe : c'est l'espérance, moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités — exactement comme la moyenne pondérée d'une série statistique, les probabilités jouant le rôle des fréquences.

Que signifie « en moyenne » ? Remarquons d'abord que $\mathrm{0,5}$ n'est aucune des valeurs possibles de $X$ : on ne gagnera jamais exactement $\mathrm{0,50}$ € en une partie. L'espérance s'interprète sur un grand nombre de parties : si on joue très souvent, le gain moyen par partie se rapproche de $E(X)$. La figure ci-dessous montre une simulation de $1000$ parties de la roue de loterie : la moyenne des gains observés, très irrégulière au début, se stabilise progressivement autour de $E(X)=\mathrm{0,5}$.

Attention à ne pas confondre l'espérance $E(X)$, qui est un nombre théorique calculé à partir de la loi, et la moyenne observée sur une série de parties, qui dépend du hasard et change d'une série à l'autre. La moyenne observée fluctue autour de l'espérance ; elle ne lui est presque jamais exactement égale.

L'espérance est l'outil central pour analyser les jeux d'argent. Un vocabulaire s'est fixé autour d'elle.

Le calcul $E(X-m)=E(X)-m$ que l'on vient de faire à la main n'est pas un hasard : c'est un cas particulier d'une propriété générale, la linéarité de l'espérance.

Linéarité de l'espérance

Quand on transforme une variable aléatoire par une opération simple — multiplier par une constante, ajouter une constante, additionner deux variables — l'espérance se transforme de la façon la plus simple possible.

Démonstration (de la première formule). Notons $x_1,\dots ,x_n$ les valeurs de $X$ et $p_i=P(X=x_i)$. La variable aléatoire $aX+b$ prend la valeur $a{x}_i+b$ exactement lorsque $X$ prend la valeur $x_i$ (les valeurs $a{x}_i+b$ étant deux à deux distinctes si $a\mathrm{\ne }0$ ; si $a=0$, la formule se réduit à $E(b)=b$, immédiate). Donc, par définition de l'espérance :

$$E(aX+b)=\sum _{i=1}^n(a{x}_i+b)p_i=a\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i+b\sum _{i=1}^n{p}_i\mathrm{.}$$

La première somme vaut $E(X)$ par définition, et la seconde vaut $1$ (somme des probabilités d'une loi). D'où $E(aX+b)=aE(X)+b$. $\mathrm{\square }$

La seconde formule, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$, est admise en première. Elle est remarquable par sa généralité : elle est vraie sans aucune hypothèse sur le lien entre $X$ et $Y$. C'est ce qui la rend si utile, comme le montre l'exemple suivant.

Attention. La linéarité concerne les transformations affines et les sommes. Elle ne s'étend pas aux autres opérations : en général, $E(X^2)\mathrm{\ne }{[E(X)]}^2$. On le vérifiera sur un exemple dans la section suivante — et c'est précisément l'écart entre ces deux quantités qui va nous intéresser.

Variance et écart type

L'espérance résume la loi par une valeur moyenne, mais elle ne dit rien de la façon dont les valeurs s'étalent autour d'elle. Comparons deux ateliers d'une usine, dont les productions journalières $A$ et $B$ (en dizaines de pièces) suivent les lois :

Les deux espérances sont égales :

$$E(A)=8\times \mathrm{0,25}+10\times \mathrm{0,5}+12\times \mathrm{0,25}=2+5+3=10,$$ $$E(B)=4\times \mathrm{0,25}+10\times \mathrm{0,5}+16\times \mathrm{0,25}=1+5+4=10.$$

Pourtant les deux situations sont très différentes : l'atelier $A$ produit toujours entre $8$ et $12$, quand l'atelier $B$ oscille entre $4$ et $16$ — même moyenne, mais bien plus d'irrégularité. Le diagramme en bâtons rend cette différence visible : les bâtons de $B$ sont plus éloignés du centre que ceux de $A$.

Pour quantifier cette dispersion, l'idée est de mesurer les écarts $x_i-E(X)$ entre chaque valeur et l'espérance. Comme ces écarts sont tantôt positifs, tantôt négatifs (et se compensent en moyenne), on les élève au carré avant d'en prendre la moyenne pondérée : c'est la variance, déjà rencontrée en statistiques.

La variance est une somme de termes positifs ou nuls : elle est toujours positive ou nulle (une variance négative en fin de calcul signale à coup sûr une erreur), ce qui autorise à en prendre la racine carrée. Pourquoi introduire l'écart type en plus de la variance ? Une question d'unités : si $X$ est en euros, les écarts $(x_i-\mu {)}^2$ sont en euros au carré, et la variance aussi — ce qui ne s'interprète pas directement. L'écart type, lui, retrouve l'unité de $X$ : c'est lui qu'on interprète comme « l'ordre de grandeur de l'écart à la moyenne ».

Calculons les écarts types des deux ateliers, directement par la définition :

$$V(A)=(8-10{)}^2\times \mathrm{0,25}+(10-10{)}^2\times \mathrm{0,5}+(12-10{)}^2\times \mathrm{0,25}=1+0+1=2,$$ $$V(B)=(4-10{)}^2\times \mathrm{0,25}+(10-10{)}^2\times \mathrm{0,5}+(16-10{)}^2\times \mathrm{0,25}=9+0+9=18.$$

D'où $\sigma (A)=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$ et $\sigma (B)=\sqrt{18}\approx \mathrm{4,24}$ : l'écart type de $B$ est trois fois celui de $A$. Les deux ateliers produisent la même quantité en moyenne, mais $B$ est trois fois plus irrégulier — une information cruciale pour organiser les stocks, invisible sur la seule espérance.

Le calcul par la définition oblige à soustraire $\mu$ avant d'élever au carré, ce qui devient pénible dès que $\mu$ n'est pas un nombre simple. La formule suivante, dite de König-Huygens, évite cette soustraction.

Démonstration. Posons $\mu =E(X)$ et développons le carré :

$$(X-\mu {)}^2=X^2-2\mu X+{\mu }^2\mathrm{.}$$

Prenons l'espérance des deux membres. Par linéarité (le réel $\mu$ est une constante), l'espérance de la somme est la somme des espérances, et

$$V(X)=E((X-\mu {)}^2)=E\left(X^2\right)-2\mu E(X)+{\mu }^2=E\left(X^2\right)-2{\mu }^2+{\mu }^2=E\left(X^2\right)-{\mu }^2\mathrm{.}$$

C'est la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

On lit au passage sur cette formule que $E\left(X^2\right)=V(X)+{[E(X)]}^2\ge {[E(X)]}^2$ : l'espérance du carré n'est jamais inférieure au carré de l'espérance, avec égalité seulement quand la variance est nulle, c'est-à-dire quand $X$ est constante. Voilà la confirmation annoncée à la fin de la section précédente : en général, $E(X^2)\mathrm{\ne }[E(X){]}^2$.

Comment la variance se comporte-t-elle quand on transforme la variable ? Contrairement à l'espérance, elle n'est pas linéaire.

Démonstration. On applique König-Huygens à la variable $aX+b$. D'une part, par linéarité, $E(aX+b)=a\mu +b$ où $\mu =E(X)$. D'autre part, $(aX+b{)}^2=a^2{X}^2+2abX+b^2$, donc, toujours par linéarité,

$$E((aX+b{)}^2)=a^{2}E\left(X^2\right)+2ab\mu +b^2\mathrm{.}$$

On soustrait le carré de l'espérance, $(a\mu +b{)}^2=a^2{\mu }^2+2ab\mu +b^2$ :

$$V(aX+b)=a^{2}E\left(X^2\right)+2ab\mu +b^2-a^2{\mu }^2-2ab\mu -b^2=a^2(E\left(X^2\right)-{\mu }^2)=a^{2}V(X)\mathrm{.}$$

En prenant la racine carrée, $\sigma (aX+b)=\sqrt{a^{2}V(X)}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\sigma (X)$. $\mathrm{\square }$

Deux remarques pour retenir cette propriété sans se tromper.

• Le terme $b$ disparaît : ajouter une constante décale toutes les valeurs du même pas, sans modifier leur dispersion. Ainsi, dans l'exemple de la mise ($G=X-m$), la variance du gain ne dépend pas de la mise : $V(G)=V(X)$.
• Le coefficient $a$ sort au carré de la variance, mais en valeur absolue de l'écart type : si l'on double tous les gains ($a=2$), l'écart type double, mais la variance est multipliée par $4$. Écrire $\sigma (aX+b)=a\sigma (X)$ est faux dès que $a<0$ : un écart type est toujours positif.

Algorithmes en Python

Les calculs d'espérance et de variance sont répétitifs : ce sont des sommes de produits, exactement ce qu'une boucle fait bien. On représente une loi par deux listes de même longueur, valeurs et probas, et on accumule la somme dans une variable.

from math import sqrt

def esperance(valeurs, probas):
    e = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        e = e + valeurs[i] * probas[i]
    return e

def variance(valeurs, probas):
    e = esperance(valeurs, probas)
    e2 = 0  # espérance de X^2
    for i in range(len(valeurs)):
        e2 = e2 + valeurs[i] ** 2 * probas[i]
    return e2 - e ** 2  # formule de König-Huygens

def ecart_type(valeurs, probas):
    return sqrt(variance(valeurs, probas))

La fonction esperance parcourt les deux listes en parallèle grâce à l'indice i et accumule les produits $x_i{p}_i$. La fonction variance applique la formule de König-Huygens : elle calcule $E\left(X^2\right)$ avec la même structure de boucle (en élevant chaque valeur au carré), puis soustrait le carré de l'espérance. Sur la loi de la roue de loterie :

>>> esperance([-1, 0, 2, 5], [0.4, 0.3, 0.2, 0.1])
0.5
>>> variance([-1, 0, 2, 5], [0.4, 0.3, 0.2, 0.1])
3.45

On retrouve les valeurs calculées à la main — c'est un bon réflexe de vérification dans les deux sens : la machine contrôle le calcul manuel, et le calcul manuel contrôle le programme.

En résumé : une variable aléatoire transforme les issues d'une expérience en nombres ; sa loi dit avec quelles probabilités ; l'espérance en donne la valeur moyenne à long terme, l'écart type l'ampleur des fluctuations autour de cette moyenne. Avec la linéarité de l'espérance et la formule de König-Huygens, on dispose de tous les outils de calcul — et d'un critère précis pour juger un jeu d'argent : le signe de l'espérance du gain algébrique.