L1 maths · Chapitre 01

Devoir surveillé — Logique, raisonnement, ensembles et applications

Sujet type, 120 min, barème sur 20 points. À faire en conditions réelles avant de regarder le corrigé.

Sujet type DS — 120 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (3,5 points) — Lire, écrire, nier

Partie A. On pose $E = {1, 2, 3, 4, 5}$ et $V = {0, 1, 2, 3}$ , et l'on considère l'application $g : E \to V$ donnée par le tableau suivant.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g (x)$	$2$	$0$	$3$	$0$	$2$

Pour chacune des deux propositions ci-dessous, faire les trois choses suivantes : l'écrire en langage quantifié, écrire sa négation en langage quantifié (aucune négation ne doit rester devant un quantificateur), et dire si elle est vraie ou fausse en justifiant sur le tableau.

(1,25 pt) $A_{1}$ : « chaque élément de $E$ a la même image qu'au moins un autre élément de $E$ ».
(1,25 pt) $A_{2}$ : « il existe un élément de $E$ dont l'image est supérieure ou égale à l'image de tous les éléments de $E$ ».

Partie B. On oublie maintenant le tableau : dans cette partie, $E$ et $V$ désignent deux ensembles non vides quelconques, et $g : E \to V$ une application quelconque.

(1 pt) On suppose que $g$ vérifie la propriété suivante :

pour tout $x \in E$ , il existe $y \in E$ tel que $y \neq x$ et $g (y) = g (x)$ .

Démontrer que si $E$ possède exactement trois éléments, alors ces trois éléments ont tous la même image par $g$ .

Exercice 2 (3,25 points) — Une copie à corriger

Voici un extrait de copie, dont les lignes sont numérotées.

Énoncé traité. Résoudre dans $R$ l'équation $\sqrt{x + 5} = x - 1$ . On rappelle que $\sqrt{x + 5}$ n'est défini que pour $x \geq - 5$ : l'équation est donc posée sur $[- 5, + \infty [$ .

L1. $\sqrt{x + 5} = x - 1$

L2. $⟹ x + 5 = (x - 1)^{2}$ (on élève les deux membres au carré)

L3. $⟹ x + 5 = x^{2} - 2 x + 1$

L4. $⟹ x^{2} - 3 x - 4 = 0$

L5. $⟹ x = 4$ ou $x = - 1$ (discriminant $Δ = 9 + 16 = 25$ )

L6. L'ensemble des solutions est donc ${- 1, 4}$ .

(0,5 pt) La conclusion annoncée à la ligne L6 est-elle vraie ? Justifier par un calcul complet.
(1 pt) La démonstration tient-elle ? Si non, à quelle ligne exactement se situe la faute, et comment se nomme-t-elle ?
(0,75 pt) Quel énoncé, exactement, sort de ces six lignes ? On l'écrira sous la forme d'une implication : il ne s'agit pas de redire la faute, mais d'énoncer ce que le texte a effectivement établi.
(1 pt) Une seule ligne manque à cette copie. L'écrire, dire à quel endroit elle s'insère, et donner la conclusion à laquelle elle conduit. Comment se nomme la structure de raisonnement ainsi obtenue, et quel rôle y jouent les lignes L1 à L5 ?

Exercice 3 (5 points) — Trois raisonnements

Les trois questions sont indépendantes. Chacune impose un mode de raisonnement : il est attendu qu'il soit nommé et annoncé en tête de la démonstration.

1. Par contraposée. Soient $E$ un ensemble et $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ quatre parties de $E$ vérifiant

A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset A_{4}

Pour $i \in {1, 2, 3}$ , on dit que l'inclusion $A_{i} \subset A_{i + 1}$ est stricte lorsque $A_{i} \neq A_{i + 1}$ . On veut démontrer l'énoncé suivant :

si $A_{1} \neq A_{4}$ , alors il existe un indice $i \in {1, 2, 3}$ tel que l'inclusion $A_{i} \subset A_{i + 1}$ soit stricte.

a. (0,5 pt) Écrire la contraposée de cet énoncé.

b. (0,75 pt) Démontrer la contraposée, puis conclure.

c. (0,25 pt) Donner, pour $E = {1, 2, 3}$ , quatre parties vérifiant les hypothèses et pour lesquelles exactement une des trois inclusions est stricte.

2. Par l'absurde. (1,5 pt) On admet le principe du bon ordre : toute partie non vide de $N$ admet un plus petit élément.

Démontrer qu'il n'existe aucune application $f : N \to N$ vérifiant $f (n + 1) < f (n)$ pour tout $n \in N$ . On pourra considérer l'ensemble $W$ des valeurs prises par $f$ .

3. Par récurrence. On définit la suite $(v_{n})_{n \geq 2}$ par

v_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}})

c'est-à-dire, de façon rigoureuse, par $v_{2} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$ et, pour tout $n \geq 2$ ,

v_{n + 1} = v_{n} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}})

a. (0,25 pt) Calculer $v_{3}$ sous forme de fraction irréductible.

b. (1,75 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geq 2$ ,

v_{n} = \frac{n + 1}{2 n}

La démonstration sera rédigée en entier, avec la propriété nommée, l'initialisation, l'hypothèse de récurrence énoncée, l'hérédité et la conclusion. On pourra utiliser la factorisation

1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n (n + 2)}{(n + 1)^{2}}

Exercice 4 (8,25 points) — Un opérateur de fermeture

Soit $E$ un ensemble. On appelle fermeture sur $E$ toute application $c : P (E) \to P (E)$ vérifiant, pour toutes parties $X$ et $Y$ de $E$ :

(i) $X \subset c (X)$ ;
(ii) si $X \subset Y$ , alors $c (X) \subset c (Y)$ ;
(iii) $c (c (X)) = c (X)$ .

Les quatre parties se suivent : la partie A rend l'objet concret, les parties B, C et D travaillent dans le cas général et reviennent à chaque fois sur l'exemple de la partie A.

Partie A — un exemple que l'on peut énumérer.

Dans cette partie, $E = {1, 2, 3, 4}$ et $c$ est définie par

c (X) = X \cup {1} si X \neq \emptyset, c (\emptyset) = \emptyset

(0,5 pt) Calculer $c (\emptyset)$ , $c ({3})$ et $c ({2, 4})$ .
(0,75 pt) Vérifier que $c$ satisfait les axiomes (i) et (iii).
(1 pt) Vérifier que $c$ satisfait l'axiome (ii). Indication : traiter à part le cas $X = \emptyset$ , et se demander, dans l'autre cas, si $Y$ peut être vide.

Partie B — deux inclusions dans le cas général.

Dans cette partie, $E$ est un ensemble quelconque, $c$ une fermeture quelconque sur $E$ , et $X$ , $Y$ deux parties de $E$ .

(1,25 pt) Démontrer les deux inclusions

c (X) \cup c (Y) \subset c (X \cup Y) et c (X \cap Y) \subset c (X) \cap c (Y)

(0,5 pt) On revient à la fermeture de la partie A. Trouver deux parties $X$ et $Y$ de $E = {1, 2, 3, 4}$ pour lesquelles la seconde inclusion de la question 4 est stricte, et calculer les deux membres.

Partie C — les points fixes.

On revient au cas général : $E$ est un ensemble quelconque et $c$ une fermeture sur $E$ . On pose

F = {X \in P (E); c (X) = X}

On rappelle que, dans un ensemble ordonné, un plus petit élément d'une partie $G$ est un élément de $G$ qui est inférieur ou égal à tous les éléments de $G$ . Ici l'ordre est celui de l'inclusion.

(0,5 pt) Démontrer que $c (X) \in F$ pour toute partie $X$ de $E$ .
(1,75 pt) Soit $X$ une partie de $E$ . On pose

G_{X} = {Y \in F; X \subset Y}

Démontrer que $c (X)$ est le plus petit élément de $G_{X}$ pour l'ordre de l'inclusion.

(0,5 pt) Pour la fermeture de la partie A, caractériser les parties qui appartiennent à $F$ , et donner $c a r d (F)$ . On ne demande pas la liste des éléments de $F$ .

Partie D — le quotient.

On reste dans le cas général. On définit sur $P (E)$ la relation $S$ par

X S Y ⟺ c (X) = c (Y)

Cette relation hérite des trois propriétés de l'égalité : c'est une relation d'équivalence sur $P (E)$ , et on l'admet dans toute cette partie. On note $c l (X)$ la classe de $X$ , et $P (E) / S$ l'ensemble quotient.

(1 pt) Démontrer que toute classe d'équivalence pour $S$ contient exactement un élément de $F$ .
(0,25 pt) En déduire, en une phrase, que $P (E) / S$ et $F$ ont le même nombre d'éléments.
(0,25 pt) Vérifier le compte sur l'exemple de la partie A : l'ensemble $P (E)$ y possède $16$ éléments ; combien y a-t-il de classes ?

Le sujet du DS(PDF, 54 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 95 Ko)

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