Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires

Vous savez depuis le collège résoudre un système de deux équations à deux inconnues, par substitution ou par combinaison. Ce chapitre part exactement de là, et va beaucoup plus loin. Il commence par une remarque d'apparence anodine : dans un système linéaire, les noms des inconnues ne servent qu'à la mise en forme ; ce qui compte réellement, ce sont les coefficients, et l'ordre dans lequel ils sont rangés. Il suffit donc d'écrire ces coefficients dans un tableau rectangulaire, et de travailler sur ce tableau. Ce tableau de nombres, c'est une matrice.

L'idée décisive est qu'un tel tableau ne se contente pas d'enregistrer un système : il se manipule pour lui-même. On peut additionner deux matrices, les multiplier par un nombre, les multiplier entre elles, élever une matrice carrée à une puissance, parfois l'inverser. On obtient ainsi une arithmétique complète, qui ressemble beaucoup à celle des nombres réels, avec deux différences considérables : le produit n'est pas commutatif, et un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit. La quasi-totalité des fautes graves de début d'année vient de l'oubli de ces deux points.

Le chapitre poursuit deux objectifs qui se répondent. Le premier est calculatoire : résoudre sans faute un système de trois équations à trois inconnues par la méthode du pivot de Gauss, discuter un système dépendant d'un paramètre, multiplier deux matrices, calculer une puissance $n$-ième, décider si une matrice est inversible et calculer son inverse. Ces gestes seront exigés en permanence, aux concours comme dans les autres chapitres : l'étude des suites couplées en dépend directement, et toute l'algèbre du second semestre repose dessus. Le second objectif est économique : montrer qu'un tableau d'échanges entre secteurs de production se lit comme une matrice, et qu'une question de planification devient alors une simple équation matricielle. C'est l'objet de la dernière section, consacrée aux tableaux entrée-sortie et au modèle de Leontief.

Le programme de la voie ECG fixe pour ce chapitre un parti pris qu'il faut connaître : sur le calcul matriciel, tout développement théorique est hors programme. On ne démontre donc pas l'associativité du produit, ni les règles de distributivité, ni les propriétés générales des opérations : on les énonce, on les admet, et on les utilise. En revanche, tout ce qui a une valeur de méthode est démontré, et vous le retrouverez ici en entier : les propriétés de stabilité de l'ensemble des solutions d'un système homogène, le lien entre solution générale et solution particulière, l'unicité de l'inverse, la formule de l'inverse d'un produit, celle de la transposée d'un produit, la caractérisation de l'inversibilité à l'ordre $2$, la condition d'inversibilité d'une matrice triangulaire, le calcul d'une puissance par récurrence, l'inversion à l'aide d'une relation polynomiale. Ce ne sont pas des ornements : ce sont les démonstrations qui contiennent les gestes de l'exercice.

Le plan est le suivant. Les sections $1$ à $3$ traitent les systèmes linéaires pour eux-mêmes : vocabulaire, méthode du pivot de Gauss, description de l'ensemble des solutions. Les sections $4$ à $7$ mettent en place les matrices et leurs opérations : vocabulaire, somme, produit par un réel, produit matriciel, transposition. Les sections $8$ à $12$ traitent les deux grandes questions du calcul sur les matrices carrées, à savoir calculer $A^n$ et inverser $A$, avec le déterminant d'ordre $2$, la résolution de $AX=Y$ et les relations polynomiales. Les sections $13$ et $14$ sont les deux grandes applications : les suites récurrentes et les tableaux entrée-sortie. Les sections $2$, $6$, $9$ et $11$ sont, de très loin, les plus utilisées dans la suite de l'année.

Voici enfin les notations en vigueur dans tout le chapitre. L'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels est noté ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$, et l'on abrège ${\mathcal{M}}_{n,n}(\mathbb{R})$ en ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Le coefficient situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ d'une matrice $A$ est noté $a_{i,j}$, et l'on écrit $A=(a_{i,j})$. La matrice identité d'ordre $n$ est $I_n$, la matrice nulle de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ est $0_{n,p}$, abrégée en $0_n$ si elle est carrée. La transposée de $A$ est notée ${}^{t}A$, son inverse $A^{-1}$, et son déterminant, lorsque $A$ est d'ordre $2$, est noté $\det (A)$. Les lignes d'une matrice ou d'un système sont notées $L_1,L_2,\dots$ et les colonnes $C_1,C_2,\dots$ ; une opération sur les lignes s'écrit par exemple $L_2\leftarrow L_2-2L_1$. L'ensemble des solutions d'un système est noté $\mathcal{S}$, et celui du système homogène associé ${\mathcal{S}}_0$. Enfin, le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

Systèmes linéaires : le problème de départ

Définition et vocabulaire

Le mot linéaire est essentiel : dans chaque équation, les inconnues n'apparaissent qu'à la puissance $1$, jamais élevées au carré, jamais multipliées entre elles, jamais sous une racine ou dans un dénominateur. Le système formé de $x^2+y=1$ et $xy=2$ n'est donc pas linéaire, et rien de ce chapitre ne s'y applique.

Deux précautions de rédaction, qui coûtent des points chaque année. D'abord, une solution est un $p$-uplet ordonné : le triplet $(1,2,3)$ et le triplet $(3,2,1)$ ne désignent pas la même solution. Ensuite, résoudre un système, ce n'est pas trouver une solution, c'est décrire l'ensemble de toutes les solutions ; une réponse correcte se termine donc toujours par une phrase du type « l'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\dots$ ».

Un système homogène est toujours compatible : le $p$-uplet nul $(0,0,\dots ,0)$ en est solution, puisque chaque équation devient $0=0$. On l'appelle la solution triviale. Toute la question, pour un système homogène, est donc de savoir s'il en possède d'autres, et la section $3$ montrera que la réponse gouverne le comportement du système complet.

Trois exemples pour fixer les idées

Un système linéaire ne se comporte que de trois façons. Les trois exemples suivants, volontairement minuscules, méritent d'être connus par cœur, car tout le reste du chapitre y ramène.

Voici enfin, sur ce même exemple, ce que devient le système homogène associé.

Systèmes équivalents et opérations élémentaires

Résoudre un système consiste à le remplacer, étape après étape, par un système plus simple qui a exactement les mêmes solutions. Encore faut-il savoir quelles transformations préservent l'ensemble des solutions.

Démonstration. Le point commun aux trois opérations est qu'elles sont réversibles, et que leur inverse est encore une opération élémentaire. L'échange $L_i\leftrightarrow L_j$ se défait par le même échange. L'opération $L_i\leftarrow \lambda L_i$, avec $\lambda \mathrm{\ne }0$, se défait par $L_i\leftarrow \frac{1}{\lambda }{L}_i$ : c'est précisément ici que sert l'hypothèse $\lambda \mathrm{\ne }0$. L'opération $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ se défait par $L_i\leftarrow L_i-\lambda L_j$, car la ligne $L_j$, elle, n'a pas été modifiée.

Montrons alors l'égalité des ensembles de solutions dans le cas de la troisième opération, les deux autres étant immédiates. Soit $(x_1,\dots ,x_p)$ une solution du système de départ : les équations $L_i$ et $L_j$ étant vérifiées, l'égalité obtenue en ajoutant à $L_i$ le produit de $L_j$ par $\lambda$ l'est aussi, membre à membre. Donc toute solution du système de départ est solution du système transformé. Réciproquement, en appliquant au système transformé l'opération inverse $L_i\leftarrow L_i-\lambda L_j$, le même argument montre que toute solution du système transformé est solution du système de départ. Les deux systèmes ont donc exactement les mêmes solutions. $\mathrm{\square }$

Deux mises en garde accompagnent la troisième opération. D'une part, la ligne ajoutée doit être différente de la ligne modifiée : écrire $L_1\leftarrow L_1-L_1$ détruirait purement et simplement une équation. D'autre part, on ne modifie qu'une ligne à la fois en s'appuyant sur une ligne qui, elle, reste intacte ; enchaîner deux opérations qui se servent mutuellement l'une de l'autre est la source d'erreurs la plus fréquente en début d'apprentissage.

Enfin, une habitude à prendre immédiatement : écrire en marge, à chaque étape, l'opération effectuée. C'est ce qui permet, en cas d'erreur, de la retrouver sans tout recommencer, et c'est ce que le correcteur cherche des yeux pour suivre le raisonnement.

La méthode du pivot de Gauss

Systèmes échelonnés

L'intérêt d'un système échelonné est qu'il se résout de bas en haut, sans aucune difficulté : la dernière équation donne la dernière inconnue principale en fonction des paramètres, on remonte à l'avant-dernière, et ainsi de suite jusqu'à la première. Tout le travail consiste donc à ramener un système quelconque à cette forme. C'est exactement ce que fait la méthode du pivot de Gauss.

L'algorithme

Un système à solution unique

Un système avec une infinité de solutions

Un système sans solution

Discussion d'un système dépendant d'un paramètre

L'ensemble des solutions d'un système

Systèmes de Cramer

Le système à solution unique de la section $2$ est donc un système de Cramer. Attention : un système carré n'est pas toujours de Cramer, comme le montrent les systèmes $(S_2)$ et $(S_3)$ de la section $1$, tous deux carrés, l'un sans solution et l'autre avec une infinité. Nous verrons en section $11$ que le caractère de Cramer se lit sur la matrice du système, à travers son inversibilité.

Stabilité de l'ensemble des solutions d'un système homogène

Le cas homogène joue un rôle particulier, parce que son ensemble de solutions possède deux propriétés remarquables, qui sont exactement celles que le programme demande de mettre en évidence.

Démonstration. Notons $a_{i,j}$ les coefficients de $(S_0)$, dont la $i$-ième équation s'écrit

$$a_{i,1}{x}_1+a_{i,2}{x}_2+\cdots +a_{i,p}{x}_p=0.$$

Point $1$. En remplaçant chaque $x_j$ par $0$, le membre de gauche vaut $0$ : le $p$-uplet nul est solution.

Point $2$. Soient $u=(u_1,\dots ,u_p)$ et $v=(v_1,\dots ,v_p)$ deux solutions de $(S_0)$, et posons $w=u+v=(u_1+v_1,\dots ,u_p+v_p)$. Pour tout indice $i$ de $1$ à $n$,

$$a_{i,1}(u_1+v_1)+\cdots +a_{i,p}(u_p+v_p)=(a_{i,1}{u}_1+\cdots +a_{i,p}{u}_p)+(a_{i,1}{v}_1+\cdots +a_{i,p}{v}_p)=0+0=0,$$

où l'on a simplement développé puis regroupé les termes. Chaque équation de $(S_0)$ est donc vérifiée par $w$ : ainsi $w\in {\mathcal{S}}_0$.

Point $3$. Soient $u=(u_1,\dots ,u_p)$ une solution de $(S_0)$ et $\lambda$ un réel. Pour tout indice $i$,

$$a_{i,1}(\lambda u_1)+\cdots +a_{i,p}(\lambda u_p)=\lambda (a_{i,1}{u}_1+\cdots +a_{i,p}{u}_p)=\lambda \times 0=0.$$

Donc $\lambda u\in {\mathcal{S}}_0$. $\mathrm{\square }$

Ces deux propriétés de stabilité sont caractéristiques du cas homogène : elles tombent en défaut dès que l'un des seconds membres est non nul. Prenons le système $(S_1)$ de la section $1$, dont l'unique solution est $(2,1)$ : le double $(4,2)$ n'est pas solution, puisque $4+2=6\mathrm{\ne }3$. De même, la somme de deux solutions de $(S_3)$, par exemple $(3,0)$ et $(2,1)$, donne $(5,1)$, qui vérifie $5+1=6\mathrm{\ne }3$.

Ces propriétés de stabilité ne sont pas une curiosité : elles décrivent une structure très générale, que l'on retrouvera dans de nombreux ensembles et qui recevra un nom au second semestre. Pour l'instant, retenez le fait, et sachez le démontrer sur un exemple : c'est exactement ce que l'on attend de vous cette année.

Solution générale et solution particulière

Démonstration. Notons $a_{i,j}$ les coefficients de $(S)$ et $b_i$ ses seconds membres, et écrivons $u^{\star }=(u_1^{\star },\dots ,u_p^{\star })$, de sorte que pour tout $i$,

$$a_{i,1}{u}_1^{\star }+\cdots +a_{i,p}{u}_p^{\star }=b_i\mathrm{.}$$

Procédons par double inclusion.

Première inclusion. Soit $u=(u_1,\dots ,u_p)$ une solution de $(S)$, et posons $w=u-u^{\star }$. Pour tout indice $i$,

$$a_{i,1}(u_1-u_1^{\star })+\cdots +a_{i,p}(u_p-u_p^{\star })=(a_{i,1}{u}_1+\cdots +a_{i,p}{u}_p)-(a_{i,1}{u}_1^{\star }+\cdots +a_{i,p}{u}_p^{\star })=b_i-b_i=0.$$

Donc $w\in {\mathcal{S}}_0$, et $u=u^{\star }+w$ est bien de la forme annoncée.

Seconde inclusion. Soit $w=(w_1,\dots ,w_p)\in {\mathcal{S}}_0$, et posons $u=u^{\star }+w$. Pour tout indice $i$,

$$a_{i,1}(u_1^{\star }+w_1)+\cdots +a_{i,p}(u_p^{\star }+w_p)=b_i+0=b_i,$$

donc $u$ est solution de $(S)$. Les deux inclusions donnent l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Zéro, une, ou une infinité

Démonstration. Supposons le système compatible et supposons qu'il admette au moins deux solutions distinctes $u$ et $u^{\mathrm{\prime }}$. Posons $w=u^{\mathrm{\prime }}-u$ : d'après la propriété précédente, $w$ appartient à ${\mathcal{S}}_0$, et $w$ n'est pas le $p$-uplet nul puisque $u\mathrm{\ne }{u}^{\mathrm{\prime }}$. Les propriétés de stabilité donnent alors $\lambda w\in {\mathcal{S}}_0$ pour tout réel $\lambda$, donc $u+\lambda w\in \mathcal{S}$ pour tout réel $\lambda$. Or ces $p$-uplets sont deux à deux distincts : si $u+\lambda w=u+\mu w$, alors $(\lambda -\mu )w=0$, et comme $w$ possède au moins une coordonnée non nulle, $\lambda =\mu$. Le système a donc une infinité de solutions. $\mathrm{\square }$

Ce résultat est un outil de contrôle immédiat : un calcul qui aboutit à « ce système possède exactement deux solutions » contient à coup sûr une erreur. Il donne aussi la bonne façon de lire un résultat de pivot : dès qu'une inconnue secondaire subsiste, il y a une infinité de solutions ; dès qu'une équation impossible apparaît, il n'y en a aucune.

Matrices : vocabulaire

Définition et égalité

L'ordre des deux indices est une convention absolue : le premier indice est celui de la ligne, le second celui de la colonne. On peut retenir que l'on repère un coefficient comme on lit un plan, d'abord en descendant, puis en allant vers la droite. Inverser cette convention revient à transposer sans le savoir toutes les matrices que l'on écrit, et rend tout calcul faux.

Deux matrices de formats différents ne sont donc jamais égales, même si elles contiennent exactement les mêmes nombres. Une égalité entre deux matrices de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ équivaut à $np$ égalités entre réels : c'est ce qui permet, en pratique, de transformer une équation matricielle en un système.

Formats particuliers

Matrices carrées particulières

Une matrice carrée est diagonale si et seulement si elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure : les deux conditions réunies signifient exactement que les seuls coefficients éventuellement non nuls sont ceux d'indices $i=j$. Notez également qu'une matrice diagonale peut parfaitement avoir des zéros sur sa diagonale : la définition n'impose rien aux coefficients $a_{i,i}$.

Somme et produit par un réel

Ces deux opérations se font coefficient par coefficient, aux mêmes positions. La somme n'a de sens que pour des matrices de même format : additionner une matrice $2\times 3$ et une matrice $3\times 2$ ne veut rien dire, et une copie qui écrit une telle somme perd immédiatement la confiance de son correcteur.

Toutes ces égalités se vérifient coefficient par coefficient et ne font que traduire les règles de calcul dans $\mathbb{R}$ : par exemple, le coefficient d'indice $(i,j)$ de $A+B$ est $a_{i,j}+b_{i,j}$, celui de $B+A$ est $b_{i,j}+a_{i,j}$, et ces deux réels sont égaux. Conformément au programme, ces vérifications ne sont pas exigibles : on les admet et on les utilise sans commentaire. Retenez surtout la conséquence pratique : une somme de matrices se manipule comme une somme de nombres, c'est-à-dire que l'on peut développer, factoriser, faire passer un terme de l'autre côté d'une égalité. C'est le produit, en section $6$, qui exigera de la prudence.

Le produit matriciel

Définition et condition sur les formats

Le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$. Cette condition se retient par un schéma de formats :

$$(n\times p)\times (p\times q)⟶(n\times q)\mathrm{.}$$

Les deux $p$ qui se touchent doivent être égaux, et ils disparaissent ; il reste le format du produit. En particulier, si $A$ est de format $2\times 3$ et $B$ de format $3\times 2$, les deux produits $AB$ et $BA$ existent, mais $AB$ est d'ordre $2$ et $BA$ est d'ordre $3$ : ils n'ont même pas le même format.

Un exemple entièrement détaillé

Propriétés admises

Le programme indique explicitement que tout développement théorique sur le calcul matriciel est hors programme : la démonstration de l'associativité, qui consiste à écrire deux sommes doubles et à les échanger, n'est donc pas exigible, et nous ne la donnons pas. Ce qu'il faut retenir des égalités $I_{n}A=A$ et $A{I}_p=A$, c'est que la matrice identité joue pour le produit matriciel le rôle que joue le nombre $1$ pour le produit des réels. C'est elle qui rendra possible, en section $9$, la définition de l'inverse.

Deux pièges à connaître par cœur

Produit par une colonne et lien avec les colonnes de $B$

Le produit d'une matrice par une matrice colonne mérite d'être isolé, car c'est lui qui relie les matrices aux systèmes linéaires.

Démonstration. Fixons un indice de colonne $j$. La colonne $C_j$ a pour coefficients $b_{1,j},b_{2,j},\dots ,b_{p,j}$, donc le $i$-ième coefficient de la colonne $A{C}_j$ vaut, d'après la propriété précédente,

$$a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+\cdots +a_{i,p}{b}_{p,j}=\sum _{k=1}^p{a}_{i,k}{b}_{k,j}\mathrm{.}$$

Or c'est exactement le coefficient d'indice $(i,j)$ de $AB$, par définition du produit. Les deux colonnes ont donc les mêmes coefficients : la $j$-ième colonne de $AB$ est $A{C}_j$. $\mathrm{\square }$

Transposition

Démonstration. Ces trois égalités se lisent sur les coefficients. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^t({}^{t}A)$ est le coefficient d'indice $(j,i)$ de ${}^{t}A$, c'est-à-dire $a_{i,j}$ : d'où la première égalité. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^t(A+B)$ est le coefficient d'indice $(j,i)$ de $A+B$, soit $a_{j,i}+b_{j,i}$, qui est bien le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^{t}A+{}^{t}B$. Le raisonnement est identique pour la troisième. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Notons $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$, et comparons les coefficients d'indice $(i,j)$ des deux membres.

Le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^t(AB)$ est, par définition de la transposition, le coefficient d'indice $(j,i)$ de $AB$, c'est-à-dire

$$\sum _{k=1}^n{a}_{j,k}{b}_{k,i}\mathrm{.}$$

Le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^{t}B{}^{t}A$ est, par définition du produit,

$$\sum _{k=1}^n\left({}^{t}B{)}_{i,k}\right({}^{t}A{)}_{k,j}=\sum _{k=1}^n{b}_{k,i}{a}_{j,k}\mathrm{.}$$

Les deux sommes ont les mêmes termes, écrits dans un ordre différent au sein de chaque produit de réels : elles sont égales. Les deux matrices ont donc les mêmes coefficients, et elles sont égales. $\mathrm{\square }$

L'inversion de l'ordre n'est pas une coquetterie : c'est la seule possibilité pour que les formats s'accordent lorsque les matrices ne sont pas carrées. Si $A$ est de format $n\times p$ et $B$ de format $p\times q$, alors ${}^t(AB)$ est de format $q\times n$, tandis que ${}^{t}B$ est de format $q\times p$ et ${}^{t}A$ de format $p\times n$ : seul le produit ${}^{t}B{}^{t}A$ existe. Contrôler les formats est donc un moyen sûr de ne jamais se tromper sur cette formule.

Une matrice symétrique se lit de la même façon de part et d'autre de sa diagonale principale : on peut se la représenter comme invariante par pliage le long de cette diagonale. Seule une matrice carrée peut être symétrique, puisque $A$ et ${}^{t}A$ doivent avoir le même format.

Puissances d'une matrice carrée

Définition

La définition n'a de sens que pour une matrice carrée : c'est la seule situation où le produit $AA$ existe. On admet, comme le reste des règles de calcul, les égalités $A^m{A}^{m^{\mathrm{\prime }}}=A^{m+m^{\mathrm{\prime }}}$ et $(A^m{)}^{m^{\mathrm{\prime }}}=A^{m{m}^{\mathrm{\prime }}}$, valables pour tous entiers naturels $m$ et $m^{\mathrm{\prime }}$. En revanche, $(AB{)}^m$ n'a aucune raison de valoir $A^m{B}^m$ : le produit $ABAB\cdots AB$ ne peut être réorganisé que si $A$ et $B$ commutent, c'est-à-dire si $AB=BA$.

Les cas faciles : matrices diagonales et triangulaires

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur $m$. Pour $m=0$, $D^0=I_n$ est bien diagonale de coefficients diagonaux tous égaux à $1=d_i^0$.

Supposons la propriété vraie au rang $m$ : $D^m$ est diagonale, de coefficients diagonaux $d_1^m,\dots ,d_n^m$. Calculons le coefficient d'indice $(i,j)$ de $D^{m+1}=D^{m}D$ :

$$\sum _{k=1}^n(D^m{)}_{i,k}{d}_{k,j}\mathrm{.}$$

Dans cette somme, le facteur $(D^m{)}_{i,k}$ est nul sauf si $k=i$, et le facteur $d_{k,j}$ est nul sauf si $k=j$. Le seul terme éventuellement non nul est donc celui pour lequel $k=i=j$ : la somme vaut $0$ si $i\mathrm{\ne }j$, et $d_i^m\times d_i=d_i^{m+1}$ si $i=j$. La matrice $D^{m+1}$ est donc diagonale, de coefficients diagonaux $d_1^{m+1},\dots ,d_n^{m+1}$, ce qui achève la récurrence. $\mathrm{\square }$

On admet de même que les puissances d'une matrice triangulaire supérieure sont triangulaires supérieures, et que leurs coefficients diagonaux sont les puissances correspondantes des coefficients diagonaux de départ. Attention : cela ne donne pas les autres coefficients, qui demandent un vrai calcul, comme le montre l'exemple traité ci-dessous.

La méthode générale : conjecturer puis démontrer par récurrence

Une matrice de la forme $I_3+N$

Le cas suivant revient très souvent : la matrice s'écrit $A=I_3+N$, où les puissances de $N$ finissent par être nulles. La méthode reste la même, à savoir conjecture puis récurrence, mais la décomposition explique la forme du résultat.

Démonstration par récurrence. Pour $n=0$, le membre de droite vaut $I_3$, et $A^0=I_3$ : la formule est vraie.

Supposons-la vraie au rang $n$. Alors $A^{n+1}=A^{n}A$, et il suffit de calculer ce produit ligne par ligne. La première ligne de $A^n$ est $\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n(n+1)}{2}\end{array}\right)$ ; multipliée par les trois colonnes de $A$, elle donne

$$1,1+n,1+n+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2+2n+n^2+n}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\mathrm{.}$$

La deuxième ligne de $A^n$ est $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& n\end{array}\right)$ ; multipliée par les trois colonnes de $A$, elle donne $0$, puis $1$, puis $1+n$. La troisième ligne est $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$, et donne $0$, $0$, $1$. Ainsi

$$A^{n+1}=\left(\begin{array}{ccc}1& n+1& {\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\\ 0& 1& n+1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

ce qui est bien la formule au rang $n+1$. La propriété est donc vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Contrôle. Pour $n=2$, la formule donne $\frac{2\times 3}{2}=3$ en position $(1,3)$, et pour $n=3$ elle donne $\frac{3\times 4}{2}=6$ : les deux valeurs coïncident avec les calculs directs.

Matrices inversibles

Définition et unicité

Trois précautions accompagnent cette définition. D'abord, l'inversibilité ne concerne que les matrices carrées. Ensuite, les deux égalités figurent dans la définition, précisément parce que le produit n'est pas commutatif. Enfin, la notation $A^{-1}$ ne peut être employée qu'après avoir établi que $A$ est inversible : écrire $A^{-1}$ pour une matrice dont on ignore le statut est une faute de raisonnement, pas une maladresse d'écriture. Il n'existe par ailleurs aucune « division » de matrices : une écriture comme $\frac{B}{A}$ n'a aucun sens.

Démonstration. Utilisons le fait que $I_n$ est neutre pour le produit, puis l'associativité :

$$C=C{I}_n=C(AB)=(CA)B=I_{n}B=B\mathrm{.}$$

L'inverse, lorsqu'il existe, est donc unique, ce qui légitime la notation $A^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Autrement dit, pour une matrice carrée, un inverse à gauche ou à droite suffit : il est inutile de vérifier les deux produits. Ce résultat, admis dans ce programme, fait gagner la moitié du travail dans tous les exercices d'inversion. Attention toutefois : il ne vaut que pour des matrices carrées de même ordre.

Ce raisonnement mérite d'être retenu pour lui-même, car il resservira constamment : si $A$ est inversible, on peut simplifier. De $AB=AC$ on tire $A^{-1}AB=A^{-1}AC$, donc $B=C$ ; et de $AB=0$ on tire $B=0$. Le second piège de la section $6$ ne se produit que pour des matrices non inversibles.

Inverse d'un produit, d'une transposée, d'une puissance

Démonstration. Calculons les deux produits, en regroupant les facteurs centraux par associativité :

$$(AB)\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)=A\left(B{B}^{-1}\right)A^{-1}=A{I}_n{A}^{-1}=A{A}^{-1}=I_n,$$ $$\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)(AB)=B^{-1}\left(A^{-1}A\right)B=B^{-1}{I}_{n}B=B^{-1}B=I_n\mathrm{.}$$

La matrice $B^{-1}{A}^{-1}$ vérifie donc les deux égalités de la définition : $AB$ est inversible, d'inverse $B^{-1}{A}^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Là encore, l'ordre est inversé, exactement comme pour la transposition. L'image usuelle est celle de l'habillage : pour défaire ce que l'on a fait en enfilant d'abord les chaussettes puis les chaussures, il faut commencer par retirer les chaussures. Par récurrence immédiate, on en déduit que si $A$ est inversible, alors $A^m$ l'est pour tout $m\in \mathbb{N}$, d'inverse $(A^m{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^m$.

Démonstration. Transposons l'égalité $A{A}^{-1}=I_n$. La formule de la transposée d'un produit donne

$${}^t\left(A^{-1}\right){}^{t}A={}^t{I}_n=I_n\mathrm{.}$$

Les deux matrices étant carrées d'ordre $n$, le résultat admis plus haut permet de conclure : ${}^{t}A$ est inversible, d'inverse ${}^t(A^{-1})$. $\mathrm{\square }$

Inversibilité d'une matrice triangulaire

Démonstration. Traitons le cas d'une matrice triangulaire supérieure $T=(t_{i,j})$, le cas inférieur étant identique en lisant les équations de haut en bas. Pour une colonne $X$ de coefficients $x_1,\dots ,x_n$, le produit $TX$ a pour $i$-ième coefficient $t_{i,i}{x}_i+t_{i,i+1}{x}_{i+1}+\cdots +t_{i,n}{x}_n$, puisque les coefficients situés avant la diagonale sont nuls.

Supposons d'abord tous les $t_{i,i}$ non nuls. Soit $Y$ une colonne quelconque, de coefficients $y_1,\dots ,y_n$, et cherchons les colonnes $X$ telles que $TX=Y$. La dernière équation s'écrit $t_{n,n}{x}_n=y_n$ et donne $x_n=\frac{y_n}{t_{n,n}}$. En remontant, l'équation d'indice $i$ s'écrit

$$t_{i,i}{x}_i=y_i-(t_{i,i+1}{x}_{i+1}+\cdots +t_{i,n}{x}_n),$$

et détermine $x_i$ de façon unique, puisque $t_{i,i}\mathrm{\ne }0$. Chaque $x_i$ s'obtient donc à partir des $y_j$ par des additions et des multiplications par des réels fixes, indépendants de $Y$ : il existe par conséquent une matrice $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, ne dépendant que de $T$, telle que l'unique solution soit $X=BY$. On a donc $T(BY)=Y$, c'est-à-dire $(TB)Y=Y$, pour toute colonne $Y$. En prenant successivement pour $Y$ les colonnes de $I_n$, on obtient que les colonnes de $TB$ sont celles de $I_n$, d'où $TB=I_n$. Le résultat admis plus haut donne alors : $T$ est inversible.

Supposons maintenant qu'un coefficient diagonal soit nul, et notons $k$ le plus petit indice tel que $t_{k,k}=0$. Construisons une colonne $X$ non nulle vérifiant $TX=0$. Posons $x_j=0$ pour tout $j>k$, et $x_k=1$. Pour $i>k$, l'équation d'indice $i$ ne fait intervenir que $x_i,\dots ,x_n$, qui sont tous nuls : elle s'écrit $0=0$. Pour $i=k$, elle s'écrit $t_{k,k}{x}_k+t_{k,k+1}{x}_{k+1}+\cdots +t_{k,n}{x}_n=0\times 1+0=0$ : elle est également vérifiée. Pour $i<k$, on a $t_{i,i}\mathrm{\ne }0$ par minimalité de $k$, et l'on détermine successivement $x_{k-1},x_{k-2},\dots ,x_1$ par

$$x_i=-\frac{1}{t_{i,i}}(t_{i,i+1}{x}_{i+1}+\cdots +t_{i,n}{x}_n)\mathrm{.}$$

On obtient ainsi une colonne $X$ vérifiant $TX=0$ et $X\mathrm{\ne }0$, puisque $x_k=1$. Si $T$ était inversible, on aurait $X=I_{n}X=(T^{-1}T)X=T^{-1}(TX)=T^{-1}0=0$, ce qui est faux. Donc $T$ n'est pas inversible. $\mathrm{\square }$

On admet, ce que les exemples confirment, que l'inverse d'une matrice triangulaire inversible est triangulaire de même type.

Déterminant d'une matrice d'ordre 2

Le déterminant se calcule donc en faisant le produit des coefficients de la diagonale principale, puis en retranchant le produit des deux autres. Il est défini ici pour les seules matrices d'ordre $2$ : c'est une définition suffisante pour tout ce programme, et il ne faut surtout pas chercher à l'appliquer à une matrice d'ordre $3$.

Démonstration. Posons $A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Un calcul direct donne

$$A{A}^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}ad-bc& -ab+ba\\ cd-dc& -cb+da\end{array}\right)=(ad-bc)I_2,A^{\mathrm{\prime }}A=\left(\begin{array}{cc}da-bc& db-bd\\ -ca+ac& -cb+ad\end{array}\right)=(ad-bc)I_2\mathrm{.}$$

Premier sens. Si $ad-bc\mathrm{\ne }0$, on peut diviser par ce réel : la matrice $\frac{1}{ad-bc}{A}^{\mathrm{\prime }}$ vérifie les deux égalités de la définition, donc $A$ est inversible et son inverse est bien celui annoncé.

Second sens. Supposons $ad-bc=0$ et raisonnons par l'absurde en supposant $A$ inversible. Le calcul ci-dessus donne alors $A{A}^{\mathrm{\prime }}=0_2$. En multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient $A^{\mathrm{\prime }}=0_2$, c'est-à-dire $a=b=c=d=0$, donc $A=0_2$. Or la matrice nulle n'est pas inversible : contradiction. Ainsi $A$ n'est pas inversible. $\mathrm{\square }$

La formule se retient en trois gestes : on échange les deux coefficients de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, et on divise par $\det (A)$. Le contrôle est immédiat : le produit de la matrice de départ par l'inverse annoncé doit donner $I_2$.

Écriture matricielle d'un système et recherche d'un inverse

Du système à l'équation matricielle

Cette écriture n'est pas un tour de passe-passe : elle traduit exactement le calcul du produit d'une matrice par une colonne, fait en section $6$. Le $i$-ième coefficient de $AX$ vaut $a_{i,1}{x}_1+\cdots +a_{i,p}{x}_p$, et l'égalité de deux colonnes équivaut à l'égalité de leurs coefficients un à un.

Démonstration. Analyse. Soit $X$ une solution, c'est-à-dire $AX=B$. En multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient

$$A^{-1}(AX)=A^{-1}B,\text{soit}(A^{-1}A)X=A^{-1}B,\text{soit}X=A^{-1}B\mathrm{.}$$

Il y a donc au plus une solution, et si elle existe, c'est celle-là.

Synthèse. Réciproquement, posons $X=A^{-1}B$. Alors $AX=A(A^{-1}B)=(A{A}^{-1})B=I_{n}B=B$, donc cette colonne est bien solution.

Le système admet donc exactement une solution. Enfin, en prenant $B=0$, on obtient $X=A^{-1}0=0$ : le système homogène n'a que la solution nulle. $\mathrm{\square }$

Attention à l'ordre des facteurs : la solution est $A^{-1}B$, et non $B{A}^{-1}$, qui d'ailleurs n'existe pas pour des raisons de format. Attention aussi à l'usage : si l'on n'a qu'un seul second membre à traiter, le pivot de Gauss est plus rapide qu'un calcul d'inverse. L'inverse devient intéressant lorsqu'il faut résoudre le même système avec plusieurs seconds membres différents, situation typique du modèle de Leontief de la section $14$.

Inverser une matrice en résolvant $AX=Y$

Polynôme annulateur et inverse

Inverser à partir d'une relation polynomiale

Calculer les puissances à partir de la même relation

Suites récurrentes et puissances de matrices

Deux suites couplées

Lorsque deux suites sont définies l'une par rapport à l'autre, l'écriture matricielle ramène le problème à un calcul de puissances.

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, $A^0{X}_0=I_2{X}_0=X_0$ : la formule est vraie. Supposons-la vraie au rang $n$, c'est-à-dire $X_n=A^n{X}_0$. Alors

$$X_{n+1}=A{X}_n=A\left(A^n{X}_0\right)=\left(A{A}^n\right)X_0=A^{n+1}{X}_0,$$

en utilisant l'associativité du produit. La formule est donc vraie au rang $n+1$, et par récurrence pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Une suite récurrente linéaire d'ordre 2

La même technique s'applique à une suite définie par une relation de récurrence linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants : il suffit d'empiler deux termes consécutifs dans une colonne.

Notez que cette méthode n'est intéressante que lorsque le trinôme associé possède des racines réelles : c'est le seul cas au programme cette année, et le seul que vous rencontrerez.

Tableaux entrée-sortie et modèle de Leontief

Le tableau des échanges

Une économie est décrite par plusieurs secteurs de production. Chaque secteur produit un bien, mais pour le produire il consomme une partie de sa propre production et une partie de celle des autres : une usine d'acier consomme de l'électricité, une centrale électrique consomme de l'acier. Ce qui reste après ces consommations internes est livré aux ménages, à l'État ou à l'exportation : c'est la demande finale.

Le sens de lecture des indices est le point délicat : $a_{i,j}$ se lit « du secteur $i$ vers le secteur $j$ ». La ligne $i$ décrit donc ce que le secteur $i$ fournit aux autres, et la colonne $j$ ce que le secteur $j$ consomme. Une inversion des deux indices donne un modèle faux tout en restant calculable, ce qui la rend particulièrement difficile à détecter : prenez l'habitude de vérifier le sens sur une ligne du tableau chiffré.

Démonstration de la seconde écriture. De $X=AX+D$ on tire $X-AX=D$. Or $X=I_{n}X$, donc $I_{n}X-AX=D$, et la distributivité du produit par rapport à la somme donne $(I_n-A)X=D$. $\mathrm{\square }$

Ce petit calcul mérite une remarque : on ne peut pas écrire $X-AX=(1-A)X$, car $1$ est un nombre et $A$ une matrice, et leur différence n'a aucun sens. C'est bien $I_n$ qu'il faut faire apparaître. Lorsque la matrice $I_n-A$ est inversible, l'équation admet une unique solution

$$X=(I_n-A{)}^{-1}D,$$

et l'on obtient la production à mettre en œuvre pour satisfaire n'importe quelle demande finale. C'est exactement la situation où le calcul de l'inverse est plus rentable que le pivot : on résout une fois pour toutes, puis on applique la formule à chaque nouvelle demande.

Un exemple chiffré complet

Le tableau entrée-sortie de cette économie se lit alors ligne par ligne : chaque ligne indique comment la production d'un secteur se répartit entre les consommations des deux secteurs et la demande finale.

On vérifie chaque ligne : $40+90+70=200$ pour l'agriculture, et $80+30+190=300$ pour l'industrie. On peut aussi lire les colonnes : le secteur agricole consomme $40$ de produits agricoles et $80$ de biens industriels pour produire $200$, ce qui redonne bien les coefficients techniques $\frac{40}{200}=\mathrm{0,2}$ et $\frac{80}{200}=\mathrm{0,4}$, c'est-à-dire la première colonne de $A$.

L'essentiel

Ce chapitre est le socle de toute l'algèbre de l'année. Voici les gestes à maîtriser, puis les erreurs qui reviennent chaque année.

• Résoudre un système : pivot de Gauss, opérations écrites en marge, remontée, puis vérification en réinjectant.
• Décrire une infinité de solutions : nommer les paramètres parmi les inconnues secondaires, puis exprimer les inconnues principales en fonction d'eux.
• Discuter selon un paramètre : ne jamais prendre le paramètre comme pivot, factoriser sans diviser, isoler les valeurs qui annulent le dernier pivot.
• Multiplier deux matrices : vérifier les formats, poser la disposition ligne par colonne, contrôler le format du résultat.
• Calculer $A^n$ : calculer $A^2$ et $A^3$, conjecturer, démontrer par récurrence ; ou exploiter une relation du type $A^2=\alpha A+\beta I_n$.
• Montrer qu'une matrice est inversible : $\det (A)\mathrm{\ne }0$ à l'ordre $2$ ; coefficients diagonaux non nuls si elle est triangulaire ; relation polynomiale factorisée par $A$ ; ou résolution de $AX=Y$.
• Calculer un inverse : formule à l'ordre $2$ ; sinon résolution de $AX=Y$ à second membre littéral, puis vérification $A{A}^{-1}=I_n$.
• Traiter des suites couplées : écrire $X_{n+1}=A{X}_n$, en déduire $X_n=A^n{X}_0$, puis calculer $A^n$.
• Traiter un problème économique : coefficients techniques, équation $X=AX+D$, puis $(I_n-A)X=D$.

Échanger deux facteurs dans un produit. Le produit matriciel n'est pas commutatif : $AB$ et $BA$ sont en général deux matrices différentes, quand elles existent toutes les deux. Ce seul oubli suffit à invalider une démonstration entière.

Développer $(A+B{)}^2$ en $A^2+2AB+B^2$. Le développement correct est $A^2+AB+BA+B^2$, et le regroupement n'est licite qu'après avoir vérifié $AB=BA$, vérification qui doit figurer sur la copie.

Simplifier par une matrice. De $AB=AC$ on ne déduit $B=C$ que si $A$ est inversible ; de même, $AB=0$ n'entraîne $B=0$ que dans ce cas. Sans cette hypothèse, la simplification est fausse et l'on dispose de contre-exemples élémentaires.

Écrire $A^{-1}$ avant d'avoir prouvé que $A$ est inversible. C'est une faute de logique : la notation présuppose le résultat que l'on cherche à établir.

Calculer un déterminant d'ordre $3$. Il n'existe pas dans ce programme. À l'ordre $3$ ou $4$, l'inversibilité se décide par le pivot de Gauss, par une relation polynomiale ou, pour une matrice triangulaire, par ses coefficients diagonaux.

Prendre un paramètre comme pivot. Diviser par $m$ sans discuter le cas $m=0$ fait perdre l'essentiel des points d'une question de discussion. Le bon réflexe est de commencer par un échange de lignes qui amène un pivot numérique.

Confondre les indices dans un tableau entrée-sortie. Le coefficient $a_{i,j}$ va du secteur $i$ vers le secteur $j$, et il se calcule en divisant par la production du secteur $j$, c'est-à-dire par le total de la colonne.

Oublier de vérifier. Une solution de système se réinjecte dans les équations de départ, un inverse se contrôle par $A{A}^{-1}=I_n$, une formule de puissance se teste sur $n=2$. Ces vérifications prennent trente secondes et sauvent des copies entières.