L’équation cartésienne d’une droite ou l’équation cartésienne d’un plan est très utile en géométrie repérée. Elles permettent principalement de mettre en lumière un vecteur normal.
On va voir ensemble les définitions et méthodes liées à ces équations cartésiennes et on s’entraînera dans des exercices.
Définition de l’équation cartésienne d’une droite
Une équation cartésienne de droite est avant tout une équation de droite. C’est à dire c’est une égalité avec deux inconnues (notées généralement x et y).
La particularité d’une équation cartésienne par rapport à une équation réduite c’est qu’un des côtés de l’égalité vaut 0.
Une équation cartésienne de droite est donc de la forme
avec a, b et c des constantes qu’il faut déterminer si besoin, et on va voir comment.
Déterminer les valeurs de a et b
Une particularité d’une équation de droite est que a et b ne sont pas quelconques. Ces nombres correspondent aux coordonnées d’un vecteur normal à la droite.
rappel 1 : un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite.
rappel 2 : un vecteur directeur d’une droite est un vecteur dont la direction est parallèle à la droite d.
Et donc si on a un vecteur normal à la droite, on a directement a et b.
Si on a pas de vecteur normal à cette droite, mais qu’on a un vecteur directeur, on utilise la définition des vecteurs orthogonaux pour trouver les coordonnées d’un vecteur normal.
Un vecteur directeur de d sera donc :
Exemple :
Déterminons les coefficients a et b dans l’équation cartésienne de la droite d de vecteur directeur
On sait qu’un vecteur directeur a pour coordonnées
Donc ici a=3 et b= -2.
L’équation de d sera donc d:3x-2y+c=0
Il reste maintenant à déterminer c, et on va voir comment.
Remarque :
Une équation de la tangente est une équation de droite, souvent donnée sous forme d'une équation réduite.
Déterminer la valeur de c
Une fois qu’on a déterminé a et b on va chercher à trouver c. Pour se faire, il nous faut les coordonnées d’un point de la droite.
La méthode est simple, on remplace dans l’équation x et y par les coordonnées du point que l’on connaît et on se retrouve avec une équation à une inconnue : c.
Il ne reste plus qu’à résoudre cette équation pour trouver c
Exemple :
Reprenons la suite de l’exemple ci- dessus et cherchons c. On complète en ajoutant l’information que le point A(5;4) est sur la droite d.
On avait l’équation suivante : d:3x-2y+c=0
En remplaçant x par 5 et y par 4 (les coordonnées de A), on trouve :
3x5-2x4+c=0
et donc -2+c=0
Une résolution rapide de cette équation nous donne c= 2
La droite d a donc pour équation cartésienne d:3x-2y+2=0
Passer d’une équation réduite de droite à une équation cartésienne de droite
Il y a plusieurs formes d’équations de droites et l’équation réduite en est une.
rappel : L’équation réduite d’une droite d est une équation de la forme d: y = mx+p
Pour déterminer une équation cartésienne à partir de l’équation réduite, il faut simplement tout mettre du même côté dans l’égalité de l’équation réduite. Ce qui, si on décide de tout passer à droite, nous donne :
d : 0=mx-y+p
On a alors dans ce cas là : a=m, b=-1 et c=p.
Déterminer un vecteur directeur d’une droite
Si on a une équation cartésienne d’une droite
et qu’on souhaite faire apparaître un vecteur directeur de cette droite, il suffit simplement d’utiliser le fait que le vecteur
est un vecteur directeur de cette droite, ainsi que tout vecteur colinéaire à celui-ci.
Exemple:
Déterminons un vecteur directeur d’une droite d d’équation :
Un vecteur directeur de cette droite est :
Donner les coordonnées d'un point de la droite
Si on a l’équation cartésienne d’une droite
et qu’on souhaite trouver les coordonnées d’un point dont on connaît l’abscisse (ou l’ordonnée) il faut simplement remplacer x (ou y) par l’abscisse (ou l’ordonnée) du point dont on connaît cette information. Cela nous donne donc une équation à une inconnue : y (ou x)
Exemple :
On sait que la droite d a pour équation cartésienne :
On veut connaître les coordonnées du point de la droite d'abscisse 4
On remplace donc x par 4 dans l’équation, ce qui nous donne :
et donc
En isolant y on trouve que
Le point de la droite ayant pour abscisse 4 a donc pour coordonnées
Montrer qu’un point appartient à une droite
Pour montrer qu’un point appartient à une droite lorsque l’on connaît l’équation cartésienne de la droite et les coordonnées du point, il faut simplement remplacer x par l’abscisse du point et y par l’ordonnée du point et vérifier que l’égalité est vérifiée.